chap 2: postulate mekanika statistik dan teori ensembel
Post on 16-Oct-2021
13 Views
Preview:
TRANSCRIPT
Chap 2: Postulate Mekanika Statistik dan
Teori Ensembel
Ref. Kerson Huang, Statistical Mechanics, Chap. 7
Beberapa Pengertian Dasar Mekanika Statistik
• Macrostate : keadaan system keseluruhan yang dikarakterisasi oleh besaran variable makro (nilai rata-ratanya, seperti tekanan P, volume V dan temperature T, untuk system fluid)
• Microstate: konfigurasi tertentu system yang dinyatakan oleh keadaan individualatom atau molekul penyusun system, misal dinyatakan oleh kecepatan {𝑣𝑘} dan atau posisinya {𝒓𝑘}.
• Untuk satu keadaan microstate terdapat banyak keadaan microstate yang bersesuaian.
• Thermodinamika : mendeskripsikan hubungan microstate (variable makro) secara empiris.
• Mekanika Statistik : menjelaskan hubungan antara macrostate dengan microstate. Hubungan tsb bisa dilakukan melalui konsep entropi S dengan banyaknya keadaan mikro Ω
• Besaran makroskopik akan diperoleh sebagai rata-rata keadaan microstate dengan bobot tertentu (rapat probabilitas).
Pendekatan Pemodelan Mekanika Statistik
Non Interacting
Interacting
Distinguishable 1 2
Identical/Non Dist.
3 4
Hal yg dipertimbangkan:1.Apakah partikel bisa dibedakan →
klasik /kuantum2.Apakah ada interaksi antar partikel →menentukan kompleksitasnya
Pendekatan klasik: volume Ruang fasa sistemPendekatan kuantum : jumlah status keadaan diskrit sistem
Ruang Fasa Klasik (Classical Phase Space)
• Model : Gas dalam volum V sejumlah N partikel klasikyang terbedakan.
• Satu keadaan dari sistem ini dikarakterisasi oleh 1 buahkoordinat di ruang fasa yang berdimensi 6N yaitu : (q1,..,qN, p1,…,pN) dengan qk adalah posisi partikel ke-k dan pk: momentum partikel ke-k. Titik ini disebut juga titikfasa (phase point)
• Ruang fasa terdiri dari 6 koordinat (x,y,z, Px,Py,Pz), setiap keadaan 1 partikel diwakili oleh 1 titik.
• Ruang yg berdimensi 6N, dengan koordinat di atas disebutruang fasa (Γ). Sketsa gambar berikut ini menunjukkanhubungan ruang fasa dan Γ dalam menggambarkan 1 sistem N partikel yang sama:
Ruang Fasa dan
r(x,y,z)
(Px, py, pz)
r1,…,rN
P1,…,pN
1 partikel
1 sistem N partikel
1 sistem N partikelsaat t tertentu
1 sistem N partikel
Simbolik Ruang Fasa Simbolik Ruang Fasa Γ
Dinamika sistem N partikel dinyatakan oleh koordinat posisisebanyak 3N q={q1,…,qN} dan momentum p={p1,p2,…pN},dengan qk, pk : koordinat vektor posisi dan momentum partikel ke –k.
Misal hamiltonian sistem diberikan oleh : H= H(p1,p2,…pN, q1,q2,…qN,), maka persamaan gerak sistem diberikan oleh(perkomponen):
Njq
Hq
q
Hp
j
j
j
j 3,..,1=
−=
−=
Dinamika Sistem N Partikel (Hamiltonian)
Dinamika Sistem N Partikel (Hamiltonian)
• Spefisikasi keadaan 1 sistem N partikel ini akan diberikanoleh 3N+3N koordinat posisi dan momentum {q,p}.
• Tiap titik di ruang fasa Γ mewakili satu keadaan system pada suatu saat t.
• Evolusi sistem N-partikel ini akan berupa trayektori di ruang fasa Γ.
Jika sistem bersifat konservatif (kekekalan energi), makaberlaku
H(q,p)= E= konstan.
• Misal gas dengan keadaan makroskopik tertentu (misalP,V,T tertentu) akan terkait dengan sejumlah sangat besarkeadaan mikroskopik {q,p} yang semuanya terkait dengankeadaan makroskopik yang sama tsb.
• Kumpulan dari sistem-sistem dengan keadaanmakroskopik yang sama ini disebut sebagai ENSEMBEL.
• Dalam limit thermodinamika(N--> , N/V : berhingga},
maka kumpulan titik-titik di ruang fasa tsb dapat didekatisebagai kontinuum.
Ensembel dan Fungsi Rapat Keadaan
• Sehingga jumlah total keadaan mikroskopik di ruang fasatsb, akan diberikan oleh volume sbb:
: jumlah seluruh keadaan mikroskopiksistem yang berada di dalam volumd3Np d3Nq.
• Dengan fungsi ρ= ρ(q,p,t) disebut fungsi rapat keadaan ygmenyatakan jumlah keadaan mikroskopik per satuanvolum di ruang fasa.
• Sehingga deskripsi lengkap evolusi sistem diberikan olehevolusi fungsi ρ(p,q,t).
pqddt NN 33),,( pq
Ensembel dan Fungsi Rapat Keadaan
Kecepatan Evolusi Titik-titik Fasa
Di ruang fasa, titik-titik fasa {q,p} akan bergerak dengankecepatan yang diberikan oleh vektor kecepatan:
},{ pqv =
• Gerak titik ini di Γ akan terbatas dalam volume di Γsebab TOTAL ENERGI dan momentum sistem sudahtertentu dan terbatas.
• Tinjau sekumpulan (ensembel) titik-titik representasisistem yang terkait dengan makroskopik yang sama di ruang Γ.
• Sejalan dengan t, titik-titik tsb akan bergerak(mengalir), pergerakan ini digambarkan oleh evolusidari fungsi kerapatan ρ(q,p,t).
Rata-rata Ensembel
=
pqpq
pqpqpq
NN
NN
ddt
ddtff
33
33
),,(
),,(),(
• Dengan mengetahui ρ ini dapat dihitung rata-rata dari suatubesaran f tertentu (rata-rata ensembel):
• Integral tsb prinsipnya dilakukan di seluruh ruang fasa 6N-D, akan tetapi secara efektif, hanya perlu dilakukan dimana ρ≠0 saja.
• Suatu ensembel disebut stasioner kalau nilai ρ bukan fungsiwaktu (t) secara eksplisit, yaitu jika
•
• Untuk ensembel stasioner, maka nilai rata-rata ensembelnya juga tidak bergantung waktu, jadi <f> independent dari waktu.
0=
t
Tinjau suatu elemen volume dωdengan luas permukaan σdi ruang fasa Γ.
Adalah Laju (rate) penambahan jumlah titik dalam elemenvolum ω
Sedangkan laju netto arus titik-titik yang menembus keluarpermuakaan batas σ:
Teorema Liouville:Pergerakan Titik Representasi
σ
ω
n
v
dσ
pqqpNN ddddt
t
33),,( =
• dt nvqp ˆ),,(
Menurut teorema Divergensi Gauss maka :
Dengan divergensi ruas kanan adalah:
Karena titik-titik representasi dlm ruang fasa kekal (tidak adasumber atau sumur), maka berlaku hukum kekekalan jumlahtitik representasi, sehingga:
Atau:
Pers. Ini harus berlaku tak peduli berapapun ukuran ω, sehingga mestilah:Pers. Kontinutas/Liouville:
Persamaan Kontinuitas/Liouville
=
+
•
N
k k
k
k
k3
1
)(p
p
q
qv
•=• dd )(ˆ vnv
•−=
dd
t)( v
0)( =
+•
dt
v
0)( =
+•
t
v
Jadi mestilah:
Tetapi suku terakhir =0, sebab berlaku :
Sehingga: atauSedang suku kedua dapat dituliskan sbg:
Teorema Liouville
03
1
=
+
+
=
N
k k
k
k
k
t p
p
q
q
03
1
3
1
=
+
+
+
+
==
N
k k
k
k
kN
k
k
k
k
kt p
p
q
qp
pq
q
kkk
k
k
k
HH
pqq
q
pq
=
→
=
2
kkk
k
k
k
HH
qpp
p
qp
−=
→
−=
2
0=
+
k
k
k
k
p
p
q
q 0
3
1
22
=
−
=
N
k kkkkk
HH
ppqpq
kkkk
k
k
k
k q
H
pp
H
qp
pq
q
−
=
+
Berarti pers kontinutas menjadi:
Atau dapat dituliskan sbg:
Telah dipakai definisi Poisson Bracket :
Berarti secara umum karena dρ/dt=0, maka jumlah titikkekal dan aliran titik tsb seperti fluida incompressible.
Jikalau ensembel stasioneratau dalam Kesetimbanganmaka akibatnya:
atau {ρ,H}=0
Teorema Liouville
03
1
==
+
+
= dt
d
t
N
k
k
k
k
k
p
pq
q
03
1
=
+
=
N
k
k
k
k
k
pp
0=
t
0},{ =+
= H
tdt
d
=
−
=
N
k kkkk q
H
pp
H
qH
3
1
},{
Solusi dari kondisi stasioner ini adalah(1) jika: ρ independent dari q dan p!
Dengan ω adalah daerah dimana titik-titik fasa (microstate) memenuhi syarat batas persoalannya (macrostate yg sama)
Nilai fungsi rapat keadaan ρ = konstan, artinya sembarangnilai (q,p) punya peluang nilai sama untuk muncul! Asal di dalam volume ω yg memenuhi syarat batas!
Postulate : Equal Apriori Probability
=lainnya
kons
0
),(tan),(
pqpq
Ergodisitas
• Nilai rata-rata besaran 𝑓{𝑞, 𝑝} mestinya dihitung menurut nilai 𝑓 𝑡 sepanjang trayektori di ruang fasa ketika system berevolusi :
ҧ𝑓 = lim𝑇→∞
1
𝑇න 𝑑𝑡 𝑓{𝑞 𝑡 , 𝑝 𝑡 }
• Rata –rata ensemble < 𝑓 > dan rata-rata thd waktu ( ҧ𝑓) ini akan sama jikalau dalam evolusinya setiap keadaan di permukaan energi konstan dikunjungi sekali (atau sejumlah yg sama)! (Postulate Ergodicitas –Boltzmannn)
• Secara teoritis, hal ini tidak mungkin sebab trayektori tidak boleh memotong dirinya sendiri! Why?
• Maka kondisi diperlunak : tidak perlu lewat tiap titik di ruang fasa, asal lewat cukup dekat saja (quasi ergodic)
• Jika system memenuhi ergodisitas (atau secara kuasi) maka :𝒓𝒂𝒕𝒂 − 𝒓𝒂𝒕𝒂 𝒕𝒉𝒅 𝒘𝒂𝒌𝒕𝒖 = 𝒓𝒂𝒕𝒂 − 𝒓𝒂𝒕𝒂 𝒕𝒉𝒅 𝒆𝒏𝒔𝒆𝒎𝒃𝒆𝒍
Prinsip Equal Apriori Probability:Setiap keadaan mikroskopik (microstate) yg berkenaandengan keadaan makroskopik (macrostate) yang sama(syarat batas), memiliki peluang yang sama untuk munculatau terpilih.
Akibatnya nilai rata-rata besaran f(q,p) diberikan oleh:
Postulate : Equal Apriori Probability
=
pqddtff
NN 33),,(),( pqpq Ensembelmikrokanonik
Ensembel Mikrokanonik1. = Hypersurface
2. = Hypershell
3. = Hypervolumel
f rata-rata ensembel f = rata-rata thd waktu f
= rata-rata thd waktu f 2 perata2an ini independen
= rata-rata waktu f dari 1 anggota ensembel untuk t
lama sekali = f terukur
=lainnya
C
0
),(),(
pqpq
==−− 2/
33
2/
33),,(EH
NN
EH
NN pqddCpqddtpq = volume Hypershell
EH
EH
EH
−
=
),(
2/),(
),(
pq
pq
pq
contoh:
Ensembel Mikrokanonik
Jika 0 = volume (fundamental) yg berisi 1 keadaan
microstate, maka banyak keadaan untuk “volume” ω
adalah:
Kaitan mekanika statistik dengan thermodinamika
diberikan oleh definisi entropi :
0
=
= lnkS
Mengapa S=k ln Ω
• Secara termodinamika, kesetimbangan termal terjadi jika temperatur sistem sama (T1=T2).
• Bagaimana hal ini dipahami di Mekanika Statistik?
• Definisikan Ω (N,V,E)= banyak microstate terkait denganmacrostate dengan nilai besaran (N,V,E) tertentu.
• Tinjau 2 buah sistem makroskopik 1 dan 2 yg dipisah dindingdiathermal. Gabungan sistem 1+2 terisolasi.
• Asumsi
• N1, N2 : masing-masing konstan
• V1, V2 : masing-masing konstan
• E0= E1+E2= konstan
N1,
E1
V1
N2,
E2
V2
Kesetimbangan Thermal DalamMekanika Statistik
• Banyak keadaan sistem-1 : Ω1 (N1 ,V1 ,E1)
• Banyak keadaan sistem-2 : Ω2 (N2 ,V2 ,E2)
• Banyak keadaan sistem 1+2, dimana energi sistem 1: E1 dansistem 2: E2 adalah:
Ω (E1,E2) = Ω1 (E1)Ω2 (E2) = Ω1 (E1)Ω2 (E0-E1)
• Kesetimbangan tercapai jika nilai E1 memaksimalkan Ω (E1,E2)
• Saat kesetimbangan berarti : dΩ/dE1 =0
0)()(
)()(
11
*1
2222
*1
11
*1221111
=
+
=
===
EE
EE
E
E
EEEEEEE
Syarat Kesetimbangan Thermal
• Karena E0=E1+E2, maka saat kesetimbangan thermal :
)()(
)()(
11
*2
2222
*1
11
2211
EE
EE
E
E
EEEE
=
==
2211 *2
22
12*1
11
11
)(
)(
1)(
)(
1
EEEEE
E
EE
E
E==
=
2211 *2
22
*1
11 )(ln)(ln
EEEEE
E
E
E
==
=
0)()(
)()(
11
1
2
*2
2222
*1
11
*1221111
=
+
=
===
EE
E
E
EE
E
E
EEEEEEE
Kesetimbangan Thermal DalamMekanika Statistik
• Bandingkan dengan kesetimbangan thermal menurutthermodinamika, yaitu T1= T2, dan
• Maka ln Ω sebanding dengan S (entropi thermodinamika). Planck mengusulkan :
• Dengan k: konstanta Boltzmann.
)(ln EkS =
TE
S
VN
1
,
=
Kesetimbangan Thermal DalamMekanika Statistik
• Dalam limit thermodinamika, formulasi yang ekivalen daribentuk diatas adalah :
• Γ(E) : banyak keadaan dengan H < E
• ρ(E) : density of states (dΩ/dE) atau rapat keadaan
)(ln EkS =
)(ln EkS =
Berapa Besar Fundamental Volume ω0?
Tinjau kasus Osilator harmonis 1D.
Hamiltonian sistem 1 partikel :
Persamaan geraknya :
Dengan solusi umum :
Energi total osilator E :
Persamaan trayektori di ruang fasa (q,p) untuk H=E=konstan→Permukaan
0=+ qm
kq
m
pkqpqH
22
1),(
22 +=
)cos()( 0 += tAtq
222
2
1
2
1AmkAE ==
Em
p
k
qEH =+=
2/2
22
12/2
22
=+mE
p
kE
q
Persamaan Ellips
2mk =
12/2
2
2
2
=+mE
p
mE
q
• “Volume” (Luas) ellips di ruang fasa
• Luas kulit ellips dengan energi antara
E-1/2 dan E-1/2:
Berapa Besar Fundamental Volume ω0?
q
pmE2
2/2 mE
EmEmEA
2/22 2 ==
=−−+==
−−
2)2/1()2/1(
2
2/12/1
EEdqdpAEHE
• Menurut Mekanika Kuantum, energy 1 Osilator Harmonis :
En= (n+1/2)ћω
Menghitung Banyak Keadaan (semi klasik)
hA ==
2
Nh3
=
• Jadi jarak antara 2 energi berdekatan E= ћω
• Berarti nilai terkecil : = ћω
• Luas terkecil di ruang fasa yang berisi 1 status keadaan:
• “Volume” fundamental di ruang fasa yg berisi 1 status keadaan:ω0=h
• Hal ini berlaku umum, (px)terkecil berisi 1 status keadaan = h
• Sehingga secara umum: untuk N partikel dalam V banyakstatus keadaan Ω:
Banyak Keadaan Ensembel Mikrokanonik
==−− 2/
33
32/
33 1),,(
EH
NN
NEH
NN pqddh
pqddtpq
• Jadi banyak status keadaan untuk ensembel mikrokanonik :
• Batasan Volume di ruang fasa di atas dapat diganti menjadi: hypersurface atau hypervolume
Strategi Menerapkan EnsembelMikrokanonik
1. Dapatkan Hamiltonian sistem yang terisolasi
2. Tentukan “volume” di ruang fasa yg dipakai (alternative):
H= E= konstan = hypersurface
E-/2 < H < E+/2 : hypershell
H < E = konstan : hypervolume
3. Hitung banyak keadaan microstate terkait:
Ω, atau ρ atau Γ
4. Pakai definisi entropi S = k ln Ω, atau k ln ρ atau k ln Γ
Strategi Menerapkan EnsembelMikrokanonik
5. Pecahkan persamaan U = fungs (S,V) dengan U=E= energisystem
6. Pakai hubungan-hubungan Thermodinamika, misalnya:
7. Pergunakan berbagai hubungan thermodinamika yg lain untuk mendapatkan berbagai besaran thermodinamika ygdikehendaki, misalnya
USV V
ST
S
UP
S
UT
−=
−=
=
Strategi Menerapkan EnsembelMikrokanonik
A = U – TS
G = U+PV – TS
V
VT
UC
=
Partikel Tunggal bebas dalam Volume V
++++
===
mEppp
zyx
mEpppVEHzyxzyx
dpdpdph
Vpdqd
hpqddt
2)(
3
2)(
33
3
33
1222222
1),,( pq
m
pppH
zyx
2
222 ++=
3
3
4pVp =
3
3
13
4)(
h
pVp
=
mEp 22 =
3
2/3
13
)2(4)(
h
mEVE
=
Hamiltonian Partikel tunggal bebas :Banyak keadaan dalam hypervolumedengan H =<E:
Integralnya = volume bola dalam ruangmomentum dengan jari-jari, p2=2mE
Sehingga banyak keadaannya :
Atau dalam variabel energi :
Partikel Tunggal bebas dalam Volume V
Density of state (rapat keadaan, thd energi:
Dengan cara serupa akan kita turunkan untuk N partikel bebas dalam ruang volume V.
dEh
EmV
dE
EddEEg
3
2/12/3
1 )2(2)()(
=
=
Gas Ideal dalam Volume V
=
== ++
mEpppV
N
NEH
NN
N
iziyix
pdqdh
pqddt
2
33
3
33
222
1),,( pq
=
++=N
i
iziyix pppm
H1
222
2
1
Hamiltonian N partikel bebas dalam volume V :
Banyak keadaan dalam hypervolume dengan H =<E:
++
=
mEppp
NzNyNxzyx
N
N
iziyix
dpdpdpdpdpdph
V
2
1113222
Gas Ideal dalam Volume V
)12
3(
)2()(
)12
3(
)(2/32/3
3
32/3
3
+
=
+
=N
mEEV
N
RRV
NN
N
NN
N
Integralnya = volume hypersphere dalam ruang momentum dengan jari-jari, R2=2mE, sehingga volum hypersphere-nyaadalah :
Dengan Γ(x) : fungsi gamma!Jadi banyak keadaan dalam hypervolume dengan H <=E:
)12
3(
)2()(
2/32/3
33
+
=
N
mE
h
VE
NNN
N
Hubungan Thermodinamika Gas Ideal
Definisi entropi diberikan oleh
Entropi S : S= k ln ΩUntuk N besar dapat dipakai aproksimasi Stirling :
ln x! xlnx - x
+
+
+
== )2ln(2
3ln
)12
3(
ln)(ln),(3
2/3
3 mEN
h
VN
NkEkVES
N
N
2
3)
2
3ln(
2
3ln
2
3)!
2
3ln(ln
2
3
)12
3(
ln2/3 NNNNNN
N
N
+−−=
+
Hubungan Thermodinamika Gas Ideal
Sehingga entropi dapat diaproksimasi sbb:
Untuk menurunkan berbagai perilaku thermodinamika, tuliskan E sebagai fungsi E:
Temperature T: atauPersamaan keadaan diperoleh dari :
2
3
3
4ln),(
2/3
2
Nk
Nh
mEVNkVES +
=
Nk
U
S
UT
V 3
2=
=
−
= 1
3
2exp
4
3),(
3/2
2
Nk
S
V
N
m
hVSEU
NkTU2
3=
V
NkT
V
U
V
UP
S
==
−=
3
2
Paradox Gibbs
Telah diturunkan entropi Gas Ideal is:
Untuk gas ideal monoatomik telah diperoleh bahwa:
Sehingga S dapat ditulis ulang sbb:
2
3
3
4ln),(
2/3
2
Nk
Nh
mEVNkVES +
=
NkTUE2
3==
+==
+=
20
0
2/3
3
4ln1
2
3
2
3)(
)ln(),(
h
mkskTTu
NsVuNkVES
Paradox Gibbs
• Sekarang, tinjau sebuah volume V yang disekat 2, masing V1 berisi N1 dan V2 berisi N2, sehinggaV=V1+V2, N=N1+N2.
• Misal kedua gas memiliki massa dan temperature ygsama.
• Kemudian kedua gas tersebut diperbolehkanbercampur! Tentu suku u(T) tetap sama setelahpencampuran.
Pertanyaan : berapa perubahan entropi yang terjadiakibat pencampuran ini ?
Paradox Gibbs
Entropi sistem mula-mula Si = S1+S2
Entropi sistem setelah pencampuran: Sf
Perubahan entropinya : S
Karena V>V1 V>V2, maka S>0
02
2/3
2201
2/3
11 )ln()ln( sNuVkNsNuVkNSi +++=
021
2/3
21210
2/3 )())ln(()()ln( sNNuVVkNNNsVuNkS f ++++=+=
if SSS −=
)ln()ln(
)ln()ln()ln(
2
2
1
1
2211
V
VkN
V
VkNS
VkNVkNVNkS
+=
−−=
Paradox Gibbs
• Padahal kedua volum mengandung gas dengantemperatur sama dan massa sama (sejenis),
• maka ketika dicampur tak ada alasan entropinyabertambah!
• Bayangkan berapa entropinya jika partisi ruang V, banyak?
• Entropi jadi tak terdefinisikan! (Kenapa?)
Solusi Gibbs:Menghitung jumlah status keadaan salah, mestinyadibagi N! (tanpa ada penjelasan alasannya!)Buktikan hal ini tidak mempengaruhi fungsi-fungsithermodinamika yang diperoleh dan mampumenjelaskan perubahan entropinya!
top related