chapitre 3 multiplication, division et problèmes
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CHAPITRE 3 Multiplication, Division et
Problèmes
Objectifs:- Savoir multiplier des nombres mentalement,à la main et avec la calculatrice, dans des situations simples techniquement.
-Savoir multiplier un décimal par 10 ; 100 ; 1000 ou par 0,1 ; 0,01 ; 0,001.
- Connaître le vocabulaire : f acteur, dividende, diviseur, quotient, reste.
- Calculer le quotient et le reste de la division euclidienne d’un nombre entier par un nombre entier d’un ou deux chiff res. - Savoir utiliser les critères de divisibilité par 2, 3, 4, 5, 9.
- Savoir diviser un décimal par 10 ; 100 ; 1000
- Savoir donner une valeur approchée d’un nombre.
Le symbole ÷ a été introduit en 1698 par l’allemand Gottfried Willhelm Leibniz, un des plus grands génies qui aient existé.
A la f ois philosophe, théologien, mathématicien, physicien, historien, Leibniz cultive et perfectionne presque toutes les branches des connaissances humaines.
I. La multiplication
Remarque :
844,7 x 3,68 = 3108,496
les facteurs le produit
facteur vient du latin « factor » = celui qui est fait.
1) Vocabulaire
2) Méthode pour le calcul posé
Exemple : Poser et effectuer 844,7 x 3,68
8 4 4,7
x 3,6 8
On va effectuer la multiplication sansse préoccuper desvirgules pour l’instant. 6 5 7 35 36 7
. 2 48 26 25 0 . . 1 24 13 12 5
3 1 0 8 4 9 6
3 chiffres après la virgule en tout dans les deux facteurs de la multiplication…
… donc 3 chiffres après la virgule dans le produit.
,
3) Quelques astuces pour le calcul posé
Multiplier par 4 (c’est x 2 puis x 2)
41 x 4 =
x 2 82x 2
164
Multiplier par 0,5 (c’est ÷ 2)
32 x 0,5 =
÷ 2
16
Multiplier par 5 (c’est x 10 puis ÷2)
66 x 5 =
x 10660 ÷ 2
330
Multiplier par 10, 100, 1000,…
Lorsqu'on multiplie un nombre par 10 ;100 ; 1 000… il « grandit » de 1 ; 2 ; 3 rangs.
32 x 1 000 = 32 000
6,3 x 100 = 630
21,21 x 10 = 212,1
12 x 500 = 12 x 5 x 100 = 6 000
Multiplier par 0,1; 0,01; 0,001 …
Lorsqu'on multiplie un nombre par 0,1 ; 0,01 ; 0,001…
il « réduit » de 1 ; 2 ; 3 rangs.
312 x 0,001 = 0,312 63 x 0,01 = 0,63
1,2 x 0,001 = 0,0012 21,23 x 0,1 = 2,123
Grouper astucieusement les facteurs Pour le calcul d’un produit, l’ordre des facteurs n’a pas d’importance.
Remarque : Ce n’est pas vrai pour un quotient.
2,5 x 6,68 x 4 = 2,5 x 6,68 x 4
= 2,5 x 4 x 6,68= 10 x 6,68= 66,8
II. Divisibilité
Exemple : 56 = 8 x 7
On dit que 7 et 8 sont des diviseurs de 56.
Remarque :
56 est divisible par 7 et par 8.
56 est un multiple de 7 et de 8.
56 est dans la table de 7 et de 8.
1) Définition
On dit aussi
2) Critères de divisibilité
Un nombre entier est divisible :
- par 2, s’il est pair ( il se termine par 0, 2, 4, 6 ou 8),
- par 3, si la somme de ses chiffres est dans la table de 3,
exemples : 26 48 10 024
exemple : 532 587 (car 5 + 3 + 2 + 5 + 8 + 7 = 30 et 30 est dans la table de 3)
- par 4, si le nombre formé par ses deux derniers chiffres est dans la table de 4,
exemples : 5 148 632 10 024
- par 5, si son chiffre des unités est 0 ou 5,
- par 9, si la somme de ses chiffres est dans la table de 9.
exemples : 855 1 250
exemple : 73 854 (car 7 + 3 + 8 + 5 + 4 = 27 et 27 est dans la table de 9)
Remarque : … un nombre divisible par 9 est donc f orcément divisible par 3.
II. Division posée1) La division euclidienne
On veut eff ectuer la division euclidienne de 731 par 34
7 3 1 3 4Le dividende
Le diviseur
Méthode: Dans 73, combien de f ois 34 ? 2 f ois !
2
2 x 34 = 68
- 6 8
73 – 68 = 5 (inf érieur au diviseur)
0 5
On abaisse le 1
1
Dans 51, combien de f ois 34 ? 1 f ois !
1
1 x 34 = 34
- 3 4
51 – 34 = 17 (inf érieur au diviseur)
1 7
Le quotient
Le reste
Remarque : Le reste est toujours inf érieur au diviseur.
731 = 34 x 21 + 17
DIVIDENDE = DIVISEUR X QUOTIENT + RESTEs
I I . Division posée1) La division euclidienne
On veut eff ectuer la division euclidienne de 731 par 34
7 3 1 3 4Le dividende
Le diviseur
Méthode: Dans 73, combien de f ois 34 ? 2 f ois !
2
2 x 34 = 68
- 6 8
73 – 68 = 5 (inférieur au diviseur)
0 5
On abaisse le 1
1
Dans 51, combien de f ois 34 ? 1 f ois !
1
1 x 34 = 34
- 3 4
51 – 34 = 17 (inférieur au diviseur)
1 7
Le quotient
Le reste
…et de manière générale :
Calculatrice : pour effectuer la division euclidienne avec la
machine, on utilise la touche R
2) La division décimale On distingue 2 types de divisions décimales :
- celles dont le quotient est fini ( la division « s’arrête », on obtient un reste nul )
- et celles dont le quotient est infini (la division « ne s’arrête jamais », on n’obtient jamais un reste nul)
Exemples de divisions à quotient fini
3 2 , 1 2 4 - 3 2
0 0 - 0
1 -1 2
0
Lorsqu’on franchit la virgule au dividende, on la franchit également au quotient.
1 8 , 0 3
2
4 5 8
5
- 4 8 0 5
2 - 1 6
4 - 4 0
0
Ici, on est obligé d’ajouter des zéros inutiles au dividende pour finir la division.
, 0 0 0
, 0
- 4 0 6
2
5
0
0
Calculatrice : pour effectuer des divisions avec
la machine, on utilise la touche
Exemple de division à quotient infini
2 3 11
2 - 2 2 1
, 0 0 0
0 ,
- 0 1 0
- 9 91
- 01 0
Ici, on va « retomber» àà chaque fois sur le reste 10…
le quotient sera donc 2,090909090909…
0 09
0
0
1 0
1 0
9 0 9 0…
le quotient est infini
3) Calcul mental: diviser par 10, 100, 1000,…
Lorsqu’on divise un nombre par 10 ; 100 ; 1000…
il « réduit » de 1 ; 2 ; 3 …. rangs.
exemples : 312 ÷ 1000 = 0,312
21,1 ÷ 10 = 2,11
6,3 ÷ 100 = 0,063
0,12 ÷ 100 = 0,0012
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