chapitre 4 calcul littéral et identités remarquables
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CHAPITRE 4
Calcul littéral et Identités Remarquables
Objectifs:
-Factoriser et développer des expressions en utilisant les identités remarquables.
-Tester la validité d’une factorisation ou d’un développement.
I. Les outils
1) La simple et la double distributivité
Quelques soient les nombres relatifs a, b, c, d et k on a :
k x ( a + b ) = k x a + k x b
( a + b ) x ( c + d )= a x c + a x d + b x c + b x d
Exemples : 143 x 102 = 143 x ( 100 + 2 )
= 143 x 100 + 143 x 2
k x ( a + b ) = k x a + k x b
= 14 300 + 286
= 14 586
102 x 209 = ( 100 + 2 ) x ( 200 + 9 ) ( a + b ) x ( c + d )= a x c + a x d + b x c + b x d
= 100 x 200 + 100 x 9 + 2 x 200 + 2 x 9
= 20 000 + 900 + 400 + 18
= 21 318
A = 3(- 6x + 4)
= -18x
k x ( a + b ) = k x a + k x b
+ 12
B = (2x + 3)(3x - 4) ( a + b ) x ( c + d )= a x c + a x d + b x c + b x d
= 6x² - 8x + 9x – 12
= 6x² + x - 12
2) Règle de suppression des parenthèses
Dans un calcul, on peut supprimer les parenthèses :
- précédées du signe + et ce signe +, sans changer le signe des nombres à l’intérieur des parenthèses.
- précédées du signe - et ce signe -, en changeant chaque nombre à l’intérieur des parenthèses en son opposé.
Exemple : A = 8 + (- 3 + x ) - ( 4 - 3x )
= 8 + (- 3 + x ) - ( 4 - 3x )
= 8 – 3 + x – 4 + 3x
= 4x + 1
3) Les trois identités remarquables
Quelques soient les nombres relatifs a et b on a :
(a + b)² = a² + 2ab + b²
(a - b)² = a² - 2ab + b²
Voir les démonstrations de ces identités dans le cahier d’exercices.
Exemples : 103² = ( 100 + 3 )² (a + b)² = a² + 2ab + b²
= 100² + 2 x 100 x 3 + 3²
= 10 000 + 600 + 9
= 10 609
(a + b)(a – b) = a² - b²
96² = ( 100 - 4 )² (a - b)² = a² - 2ab + b²
= 100² - 2 x 100 x 4 + 4²
= 10 000 - 800 + 16
= 9 216
105 x 95 = ( 100 + 5 ) x ( 100 - 5 ) (a + b)(a - b) = a² - b²
= 100² - 5²
= 10 000 - 25
= 9 975
II. Développer une expression littérale
Développer une expression littérale, c’est la transformer en une somme de termes.
1) Développer une identité remarquable
Exemples :
Développer en utilisant les identités remarquables
(a + b)² = a² + 2ab + b²A = (x + 3)²
a est représenté par x : donc a² vaut x²= x²
b est représenté par 3 : donc 2ab vaut 2 x x x 3 = 6x
+ 6x
et b² vaut 3²= 9
+ 9
B = (4 - 3x)² (a - b)² = a² - 2ab + b²
a est représenté par 4 : donc a² vaut 4²=16= 16
b est représenté par 3x :
donc 2ab vaut 2 x 4 x 3 x = 24 x
- 24x
et b² vaut (3x )²= 9x²
+ 9x²
C = (2x + 3)(2x - 3) (a + b)(a - b) = a² - b²
a est représenté par 2x : donc a² vaut (2x )²= 4x²
= 4x²
b est représenté par 3 : donc b² vaut 3²= 9
- 9
2) Application à des développements plus complexes
Exemples : Développer et réduire les expressions suivantes.
A = (2x - 3)² + (x + 5)(3 - x )
= (2x - 3)² + (x + 5)(3 - x )(a - b)² = a² - 2ab + b² ( a + b ) x ( c + d )= a x c + a x d + b x c + b x d
= 4x² - 12x + 9 + 3x – x ² + 15 - 5x
= 3x² - 14x + 24
B = ( x - 3)( x + 3) - (4 - 3x)²
= ( x - 3)( x + 3) - (4 - 3x)²
(a + b)(a - b) = a² - b²
= x² - 9 -
(a - b)² = a² - 2ab + b²
( 16 - 24x + 9x² )
= x² - 9 - 16 + 24x - 9x² Règle de suppression des parenthèses précédées du signe -
= -8x²+ 24x - 25
III.Factoriser une expression littérale
Factoriser une expression littérale, c’est la transformer en un produit de facteurs.
1) Le facteur commun est apparentRemarque : pour factoriser, il faut trouver dans l’expression un facteur commun, puis utiliser la formule de simple distributivité.
k a + k b = k ( a + b )
Exemples : Factoriser et réduire les expressions suivantes.
A = 4x - 4y + 8= 4x - 4y + 4x2= 4( x - y + 2 )
B = x² + 3x - 5x²
= x x x + x x 3 - x x 5x
= x ( x + 3 - 5x )
= x (- 4x + 3)
C = (1 - 6x)² - (1 - 6x)(2 + 5x)
= (1 - 6x)(1 - 6x) - (1 - 6x)(2 + 5x)
= (1 - 6x)[ (1 - 6x) - (2 + 5x)]
= (1 - 6x)[ 1 - 6x - 2 - 5x]
Règle de suppression des parenthèses précédées du signe -
= (1 - 6x)( - 11x - 1 )
2) Le facteur commun n’est pas apparent
Remarque : pour factoriser, il faut utiliser une identité remarquable. a² + 2ab + b² = (a +
b)²a² - 2ab + b² = (a - b)²
Exemples : Factoriser et réduire les expressions suivantes.
4x² + 12x + 9 =
a² + 2ab + b²= (a + b)²
(2x + 3 )²
avec a = 2x et b = 3
2x 3
a² - b² = (a + b)(a - b)
x² - 2x + 1 =
a² - 2ab + b²= (a - b)²
(2x - 3 )²avec a = x et b = 1
x 1
25x² - 49 = ( + )( - )
a² - b²= (a + b) (a - b) avec a = 5x et b = 7
5x 7 5x 7
A = (2x + 3)² - 64 a² - b²= (a + b) (a - b)
=[ – ][ + ] avec a = (2x + 3) et b = 8
(2x + 3) (2x + 3) 8 8
= [2x + 3 – 8][2x + 3 + 8]
= (2x – 5)(2x + 11)
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