chapitre iii : exponentielle, logarithme, puissance
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Mathématiques Terminale S – V10/10 – page 22 © Complétude 2010/2011
Chapitre III : EXPONENTIELLE, LOGARITHME, PUISSANCE
I. FONCTION EXPONENTIELLE
1° Fonction exponentielle de base e a - Définition
On appelle exponentielle de base e la fonction définie, continue et dérivable sur ℝ telle que : f '(x) f (x)f (0) 1
=⎧⎨ =⎩
On note f(x)=exp(x)
b - Propriétés algébriques Relation fonctionnelle : Pour tous réels a et b, on a : bae + = ea × eb Conséquences :
e b− =1
eb ea b− = ee
a
b
( )nae = n.ae (n∈ ℕ) ( )ea n1
= ean (n∈ ℕ*)
c - Etude de la fonction exponentielle La fonction exp est dérivable sur ℝ de dérivée ( )( ) ( )exp x ' exp x=
De plus, exp(x) > 0 pour tout x donc la fonction exp est continue et strictement croissante sur ℝ. Elle réalise donc une bijection de ℝ sur ] [0;+ ∞ .
( ) ( )exp a exp b a b< ⇔ < et ( ) ( )exp a = exp b a b⇔ = . L'image de 1 par la fonction exponentielle est unique et est noté e ( exp(1) = e1= e ) . Ce nombre e est un nombre irrationnel proche de 2,718 appelé nombre de Néper. On adopte alors la notation exp(x) = ex .
xlim exp(x) 0→−∞
= xlim exp(x)→+∞
= +∞ .
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d - Formes indéterminées
Il y a trois formules de formes indéterminées à connaître :
+∞=+∞→ x
elimx
x 0x.elim x
x=
−∞→ 1
x1elim
x
0x=
−→
e - Fonction eu , où u est une fonction Si u est une fonction dérivable et strictement positive : ( exp u ) ′= u ′. exp u
2° Fonction exponentielle de base a
On appelle exponentielle de base a (a > 0) la fonction, notée a x , définie sur ℝ par :
a x = e x ln (a) ( ax se lit « a puissance x »). Cette définition est cohérente avec les notations « puissance » qui ont été introduites pour la fonction exponentielle de base e. De plus, la fonction exponentielle de base a, a > 0, donne un sens à des expressions telles que : 2 1,8, 5 2− , πe , 2π , ... Les règles de calcul connues dans le cas d’exposants entiers s’étendent aux exposants réels non entiers. Soient les réels a > 0 , a ′ > 0, b et b′ :
( ) 'b.b'bb aa = 'bb'b
b
aaa −= b
bb
'aa
'aa
=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
( ) bbb 'a.a'a.a = 'bb'bb aa.a += bb
a1a =−
1
0 x 1
y y = e x e
x
+ ∞
0 1
e
+
0 1 + ∞ − ∞
( ex )’ = ex
exp
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Remarque : La racine n ième d’un nombre correspond à une puissance réelle (voir paragraphe III pour la définition de la fonction puissance ).
En effet : nn1
aa =
II. FONCTION LOGARITHME
1° Fonction logarithme népérien a - Définition
On sait que la fonction exponentielle réalise une bijection de ℝ sur ] [0;+ ∞ .
Autrement dit, pour tout ] [k 0;∈ +∞ , l'équation xe k= admet une solution unique dans ℝ. Cette solution est appelée logarithme népérien de k, et noté ln(k). Autrement dit : La fonction logarithme népérien, notée ln est la fonction qui à tout réel x>0 associe le réel ln(x) dont l'exponentielle est x. Elle est donc définie sur ] [ 0, ∞+ .
ln(1)=0 car e0=1 et ln(e)=1 car e1=e.
La fonction logarithme népérien est définie sur ] [∞+ 0, . Il ne faut pas prendre le logarithme d’un nombre sans vérifier au préalable qu’il est strictement positif.
b - Liens avec la fonction exponentielle On a l'équivalence :
⎩⎨⎧
>=
⇔⎩⎨⎧
>=
réel x 0,yln(y)x
réel x 0,yey x
Autrement dit, les courbes représentatives Cf et Cg des fonctions f : x ln(x)a et g : xx ea sont symétriques par
rapport à la droite d'équation y=x (première bissectrice). On dit que la fonction ln est la bijection réciproque définie sur ] [ 0, ∞+ de la fonction exp.
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c - Propriétés algébriques
Pour tous réels a > 0 et b > 0 et pour tout entier relatif p, on a :
ln ( b1 ) = - ln (b) ln
ab
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟ = ln (a) - ln (b)
ln (ap )= p × ln (a) ln( a )=12
ln (a)
Equation fonctionnelle : Pour tous réels a et b, on a ln (a × b) = ln (a) + ln (b)
d - Etude du logarithme népérien
La fonction ln est dérivable sur ] 0 ; + ∞ [, de fonction dérivée (ln (x) ) ′ = 1x
donc la
fonction ln est continue et strictement croissante sur ] 0 ; + ∞ [ .
ln(x) < 0 si x < 1 et ln (x) > 0 si x > 1
ln(a) ln(b) a b< ⇔ < et ln(a) ln(b) a b= ⇔ =
−∞=→
)xln(lim0x
+∞=+∞→
)xln(limx
e - Formes indéterminées
Il y a trois formules de formes indéterminées à connaître :
x
ln(x)lim 0x→+∞
= 0)xln(xlim0x
=→
1x)1xln(lim
0x=+
→
f - Fonction ln(u), où u est une fonction
Si u est une fonction dérivable et strictement positive alors : ( )u'u'uln =
1
0 x
y = ln x
1 e
y
x
0 1
+
1 e + ∞
( ln x ) / = x1
ln x + ∞
− ∞
0
= 1
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2° Fonction logarithme de base a
On appelle logarithme de base a (a > 0 et a≠ 1) la fonction Loga
, définie sur ] 0 ; + ∞ [ par :
a
ln(x)log(x)ln(a)
=
Comme ln (e) = 1, le logarithme népérien est donc le logarithme de base e. Les propriétés de
alog
sont les suivantes :
alog(1) 0=
alog(a) 1=
a
1log(x) 'x ln(a)
⎛ ⎞ =⎜ ⎟⎝ ⎠
pour x > 0
La fonction log vue en physique ou en chimie correspond à la fonction logarithme de base 10 (ou décimal ) soit
10log .
III. FONCTION PUISSANCE
1° Définition On appelle fonction puissance a la fonction x → x a = e a ln (x) (a non nul), définie (et
continue) sur ] [∞+;0 .
ERREUR A NE PAS COMMETTRE
Il ne faut pas confondre : Fonction exponentielle de base a Fonction puissance a ax = e x ln( a) et x a = e a ln (x)
2° Propriétés algébriques
Pour tous réels x > 0 et y > 0 et pour tous réels a et b, on a :
xaxb = xa+ b
xa
xb = xa− b
x−a =1xa
( x y ) a = x a y a
xa( )b= xab
a
aa
yx
yx
=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
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3° Etude des fonctions puissances a - Sens de variation
La fonction puissance x → xa est dérivable sur ] 0 ; + ∞ [ de dérivée la fonction x → a xa-1
Si a > 0, alors f est strictement croissante et a pour limites :
+∞==+∞→→ +
a
x
a
0xxlimet 0xlim
Si a < 0, alors f est strictement décroissante et a pour limites :
0xlimet xlim a
x
a
0x=∞+=
+∞→→ +
b - Courbes représentatives pour a > 0
0 x
y
1
1
y = x
y = xaa > 1
y = xa0 < a < 1
IV. CROISSANCE COMPAREE
1° Résultat fondamental
En ce qui concerne la croissance comparée en + ∞ des fonctions logarithme, exponentielle et puissance, le théorème suivant permet de retrouver tous les cas.
Pour tout entier n ≥ 1 , limx→+∞ n
ln(x)x
= 0 et limx→+∞ n
x
xe
= + ∞ .
2° Interprétation du théorème Les fonctions exponentielles « l’emportent » sur les fonctions puissances et les fonctions puissances « l’emportent » sur les fonctions logarithmes.
« ex » l’emporte sur « x n » qui l’emporte sur « ln(x) »
Mathématiques Terminale S – V10/10 – page 28 © Complétude 2010/2011
3° Applications
Voici quelques résultats utiles issus du théorème précédent :
limxx
→>
00
xα ln(x) = 0 , α > 0
lim
x→+∞x e xα − = 0 , α > 0
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