chapter 8. three-dimensional object representations

2009-1 학기Chapter 8. Three-Dimensional Object

Representations 1

Chapter 8. Three-Dimensional Object Representations

Representations 2

Solid objects representation schemeSolid objects representation scheme

Boundary representation (B-reps) three-dimensional objects 를 , 물체의 내부와 외부를 분리하는 surface 의

집합으로 표현하는 것 전형적인 예로 polygon facets 와 spline patches 가 있음

Space-Partitioning representation 물체를 포함하는 spatial region 을 small, nonoverlapping, contiguous solids

(usually cubes) 로 분할하여 내부의 성질을 표현하는데 이용 3 차원 물체에 대해선 octree-representation 이 대표적

Representations 3

OpenGL Polyhedron FunctionsOpenGL Polyhedron Functions

OpenGL Regular Polyhedron Functions glutWireTetrahedron ( ); // 4 면체 glutSolidTetrahedron ( ); glutWireCube (edgeLength); glutSolidCube (edgeLength); glutWireOctahedron ( ); glutSolidOctahedron ( ); glutWireDodecahedron ( ); // 12 면체 glutSolidDodecahedron ( ); glutWireIcosahedron ( ); glutSolidIcosahedron ( );

Representations 4

Quadric Surfaces Quadric Surfaces

quadric surfaces: 2 차 방정식을 이용하여 objects 를 표현 sphere, ellipsoid, tori, paraboloids( 포물면 ), hyperboloids ( 쌍곡면 ) 이 포함됨

Sphere x2 + y2 + z2 = r2 으로 표현 latitude( 위선 ) angle 과 longitude( 경선 ) angle 을 이용한 parametric form 으로

표현하면 ( 그림 8-2) x = rcos cos y = rcos sin z = rsin

Representations 5

Parametric Coordinate positionParametric Coordinate position

P = (x, y, z)

Representations 6

Ellipsoid ( 타원체 ) 서로 다른 값을 가지며 서로 수직인 세 개 반지름으로 표현 (x / rx)

2 + (y / ry)2 + (z / rz)

parametric form 으로 표현하면 x = rxcos cos

y = rycos sin

z = rzsin

Torus ( 윤환체 ) 도넛 모양의 물체 circle 이나 conic 을 어떤 축을 중심으로 회전시켰을 때 생김

Representations 7

( 그림 8-5)

[ r - (x/rx)2 + (y/ry)

2 ]2 + (z/rz)2 = 1

parametric form

x = rx(r+cos)cos

y = ry(r+cos)sin

z = rzsin

Representations 8

SuperquadricsSuperquadrics

superquadrics: quadric representation 을 일반화시킨 것 quadric equations 에 파라미터를 추가시켜서 object shape 를 조정하기 위한

flexibility 를 제공함 추가되는 파라미터는 object dimension 을 나타냄 curve 에 대해선 one parameter surface 에 대해선 two parameters

Representations 9

SuperellipseSuperellipse

x, y 항에 대한 지수를 변형시킴 (x/rx)

2/s + (y/ry)2/s = 1

파라미터 s 는 real value superellipse 에 대한 parametric equations

x = rxcoss

y = rysins ( 그림 8-6)

Representations 10

Superellipsoid Superellipsoid

two exponent parameters 를 포함시켜서 얻음 [ (x/rx)

2/s2 + (y/ry)2/s2]s2/s1 + (z/rz)

2/s1 = 1

parametric equations

x = rxcoss1 coss2

y = rycoss1 sins2

z = rzsins1

Representations 11

GLUT Quadric-Surface Functions glutWireSphere (r, nLongitudes, nLatitudes); glutSolidSphere (r, nLongitudes, nLatitudes); glutWireCone (rBase, height, nLongitudes, nLatitudes); glutSolidCone (rBase, height, nLongitudes, nLatitudes); glutWireTorus (rCrossSection, rAxial, nConcentrics, nRadiaSlices); glutSolidTorus (rCrossSection, rAxial, nConcentrics, nRadialSlices);

GLUT Cubic-Surface Teapot Function glutWireTeapot (size); glutSolidTeapot (size);

Representations 12

GLU Quadric-Surface Functions GLUquadricobj *sphere1; gluSphere (sphere1, r, nLongitudes, nLatitudes);

기타 책 참고

Representations 13

blobby objectsblobby objects

molecular structures, water droplets, melting objects, muscle shape 등과 같이 fixed shape 을 갖지않고 표면의 모양이 변화하는 것

molecular shape: isolation 형태에서는 sphere 로 표현되나 다른 molecule 로 접근하면 모양이 변하게 됨 . 이것은 two molecules 의 “ bonding” 의 성질 때문임 ( 그림 8-9)

blobby objects 를 표현하는 방법으로 Gaussian density functions (bumps) 이용 ( 그림 8-11) 하여 다음의 surface

function 으로 구함 f(x, y, z) = bke

-akrk2 - T = 0

r = x2 + y2 + z2

T: threshold a, b: blobbiness 를 조정하기 위한 파라미터

Representations 14

Spline RepresentationsSpline Representations

spline curve first and second derivatives 가 여러 curve sections 을 통해 continuous 한 a

piecewise cubic polynomial function 으로 구할 수 있다 . 즉 , spline curve 란 각 picece 의 boundary 에서 continuity condition 을

만족하는 polynomial sections 들로 구성된다 . spline surface

two sets of orthogonal spline curves 로 정의됨

interpolation and approximation splines a set of coordinate positions (control points) 가 주어졌을 때 spline curve 는

다음의 두 가지 방법으로 정의됨

Representations 15

1) curve 가 각 control points 를 지나가도록 polynomial sections 을 구성 -> interpolate control points ( 그림 8-14)

=> digitize drawings, specify animation path 등에 이용2)control points 를 통과하는 것이 아니고 general control-point path 를 따라 curve

형성 -> approximate control points ( 그림 8-15)

=> design tools to structure object shapes 에 이용

convex hull control points 로 둘러싸인 convex polygon boundary 를 의미

Representations 16

A set of points interpolated with piecewise continuous polynomial sections

A set of control points approximated with piecewise continuous polynomial sections

Representations 17

Parametric Continuity ConditionsParametric Continuity Conditions

piecewise parametric curve 의 한 section 에서 다음 section 으로 smooth transition을 위해선 connection points 에서 continuity conditions 를 만족해야 함

spline 의 각 section 이 다음의 parametric coordinate functions 으로 정의됨을 가정 x = x(u) y = y(u) z = z(u), u1 <= u <= u2

zero-order parametric continuity: C0 continuity 라고 함 단순히 서로 만나는 것을 의미 first curve section 의 u2 에서의 x, y, z 값이 next curve section 의 u1 에서의

z, y, z 값이 같음

Representations 18

first order parametric continuity: C1 continuity two succesive curve sections 에서의 coordinate functions 의 first parametric

derivatives (tangent lines) 이 jointing point 에서 같은 값을 가짐

second order parametric continuity: C2 continuity intersection 에서 two curve sections 의 first and second parameteric derivatives

가 같음을 의미

( 그림 8-19)

Representations 19

(a)(b)

(c)(a) zero-order continuity

(b) first-order continuity

(c) second-order continuity

Representations 20

Geometric continuityGeometric continuity

two successive curve sections 을 연결할 때 two sections 의 parametric derivatives가 같은 것을 이용하는 것이 아니고 서로 비례하도록 한 것

zero-order geometric continuity: G0 continuity zero-order parametric continuity 와 같음 즉 , two curve sections 의 boundary point 에서 같은 coordinate position 을

갖는다 . first-order geometric continuity: G1 continuity

parametric first derivatives 가 two successive sections 의 intersection 에서 서로 비례값을 갖는다 .

second-order geometric continuity: G2 continuity first and second parametric derivatives 가 boundary 에서 서로 비례값을 갖는

다 . geometric continuity conditions 로 생성한 curve 는 parametric continuity 를 이용한

것과 비슷하나 curve shape 에 약간 차이가 있다 . ( 그림 8-20)

Representations 21

(a) (b)

Three control points with two curve sections with

(a) parametric continuity and

(b) geometric continuity

Representations 22

Spline specificationsSpline specifications

a spline section 에서 x coordinate 가 다음의 식으로 나타내진다고 가정 x(u) = axu

3 + bxu2 + cxu + dx 0 <= u <= 1

1) spline 에 주어진 boundary conditions 으로 나타냄 boundary conditions 가 x(0), x(1), x’(0), x’(1) 로 나타내짐

2) matrix 로 표현 ax

x(u) = [u3 u2 u 1] bx

= U · C boundary conditions 을 matrix 형태로 표현하고 coefficient matrix C 를 구할 수 있음

Representations 23

C = Mspline • Mgeom

Mgeom 은 geometric constraint value (boundary conditions) 를 포함하는 four-

element column matrix 이고 Mspline 은 geometric constraint values 를 polynomial coefficients 로 변형시키기 위한 4 by 4 matrix 이다 (basis matrix 라고도 함 )

3) 위의 x(u) 는 다음의 matrix form 으로 바꾸어 표현할 수 있다 :

x(u) = U · Mspline · Mgeom

위의 matrix 형태는 polynomial representation 으로 바꾸어 표현하면x(u) = gk · BFk(u)

where gk : constraint parameters (control-point coordinates, slope)

BFk(u): polynomial blending functions

Representations 24

Cubic Spline Interpolation MethodsCubic Spline Interpolation Methods

control points 가 주어졌을 때 a piecewise cubic polynomial curve 를 이용하여 모든 control points 를 통과하도록 하는 cubic interpolation splines 를 구할 수 있다

each pair of control points 에 대해 다음의 방정식으로 나타낼 수 있다 (parametric cubic polynomial)

x(u) = axu3 + bxu

2 + cxu + dx

y(u) = ayu3 + byu

2 + cyu + dy

z(u) = azu3 + bzu

2 + czu + dz

Representations 25

A piecewise continuous cubic-spline interpolation of n+1 control points

Representations 26

Natural Cubic SplinesNatural Cubic Splines

two adjacent curve sections 는 common boundary 에서 the same first and second derivatives 를 갖는다 . -> C2 continuity 를 가짐

n+1 control points 가 주어졌을 때 n curve sections 을 갖고 전체 4n polynomial coefficients 를 결정해야 함 n-1 interior control points 에서 four boundary conditions 을 갖는다 control point 양측의 two curve sections 는 the same first and second parametric

derivatives 를 가져야 한다 . 각 curve 는 반드시 그 control point 를 지나가야 한다 .

이상의 조건에서 4n-4 equations 가 생성됨 first control point and last control point 에서 각각 하나씩의 equation 이 얻어짐

Representations 27

two more additional conditions 가 필요 one method 로

p0, pn 에서의 second derivatives 를 0 으로 함 다른 방법으로는

two extra dummy control points 를 양 끝에 하나씩 추가시킨다 .

모든 original control points 가 interior points 가 되고 4n boundary conditions 를 갖게 됨

단점 : any one control point 의 위치가 변경하면 전체 curve 에 영향을 미침 즉 , local control 을 허용하지 않음

Representations 28

Hermite InterpolationHermite Interpolation

각 control point 에서 a specified tangent 로 piecewise cubic polynomial 을 interpolating 함

natural cubic splines 와 다르게 Hermite splines 는 각 curve section 이 자신의 endpoint constraints 에만 의존하기 때문에 local control 이 가능함

P(u) 가 control points pk, pk+1 사이의 curve section 에 대한 parametric cubic point

function 이라고 하면 Hermite curve section 을 정의하는 boundary conditions 는 다음과 같다 P(0) = pk

P(1) = pk+1

P’(0) = Dpk

P’(1) = Dpk+1

where Dpk , Dpk+1 는 control points pk, pk+1 에서 parametric derivatives (slope of

the curve) 값을 지정함

Representations 29

P(u) = (x(u), y(u), z(u))

Parametric point function P(u) for a Hermite curve section

Representations 30

Hermite curve section 은 다음의 식으로 나타낼 수 있슴 P(u) = au3 + bu2 + cu + d 0 <= u <= 1

where P 의 x-component 는 x(u) = axu3 + bxu

2 + cxu + dx

y-component 는 y(u) = ayu3 + byu

2 + cyu + dy

z-component 는 z(u) = azu3 + bzu

2 + czu + dz

P(u), P’(u) 를 matrix form 으로 나타내면 a

P(u) = [u3 u2 u 1] b

Representations 31

P’(u) = [3u2 2u 1 0] b

위의 두 방정식에 파라미터 u 값 0 과 1 을 넣으면 Hermite boundary conditions는 다음의 matrix form 으로 표현됨

pk 0 0 0 1 a

pk+1 = 1 1 1 1 · b

Dpk 0 0 1 0 c

Dpk+1 3 2 1 0 d

Representations 32

이것을 polynomial coefficients 에 대해 풀면

a 0 0 0 1 -1 pk

b = 1 1 1 1 · pk+1

c 0 0 1 0 Dpk

d 3 2 1 0 Dpk+1

2 -2 1 1 pk

= -3 3 -2 -1 · pk+1

0 0 1 0 Dpk

1 0 0 0 Dpk+1

Representations 33

= MH · pk+1

where MH는 boundary constraint matrix 의 inverse 인 Hermite matrix 이다 이것을 이용하여 P(u) 를 다음과 같이 나타낼 수 있다

P(u) = [u3 u2 u 1] · MH · pk+1

Representations 34

= pk (2u3 - 3u2 + 1) + pk+1(-2u3 + 3u2) + Dpk(u3 - 2u2 + u) +

Dpk+1 (u3 - u2)

= pkH0(u) + pk+1H1(u) + DpkH2(u) + Dpk+1H3(u)

polynomial Hk(u) for k=0,1,2,3 을 blending functions 이라고 함

Representations 35

Cardinal Splines => 생략Cardinal Splines => 생략 Hermite splines 와 마찬가지로 각 curve section 의 경계에서 지정된 endpoint

tangent 로 piecewise cubics 을 보간한다 . 차이점은 endpoint tangent 값을 직접 주지 않는다는 것 cardinal spline 에서는 하나의 control point 에서의 기울기 값은 두개의

인접한 control points 로부터 계산된다 ( 그림 8-25) 하나의 cardinal spline section 은 4 개의 연속적인 control points 로부터

지정된다 . 가운데 두개의 control points 가 section endpoints 이고 , 다른 2 개 points 가 endpoint 의 기울기를 계산하는데 이용된다 .

( 그림 8-26) 에서 cardinal spline section(P(u)) 을 위한 boundary conditions 은 P(0) = pk

P(1) = pk+1

P’(0) = (1/2)(1-t)(pk+1 – pk-1)

P’(1) = (1/2)(1-t)(pk+2 – pk)

Representations 36

where t: tension parameter -> cardinal spline 이 input control points 에 맞추어지는 정도 (loosely or tightly) ( 그림 8-27)

위의 boundary condition 을 matrix 형태로 바꾸면 ,

P(u) = [u3 u2 u 1] MC pk

where MC =

-s 2-s s-2 s

2s s-3 3-2s -s

-s 0 s 0

0 1 0 0

s = (1-t)/2

Representations 37

polynomial form 으로 나타내면

P(u) = pk-1(-su3 + 2su2 – su) + pk[(2-s)u3 + (s-3)u2 + 1] + pk+1[(s-2)u3 + (3-2s)u2 + su] +

pk+2(su3 – su2)

= pk-1CAR0(u) + pkCAR1(u) + pk+1CAR2(u) + pk+2CAR3(u)

where CARk(u), k=0, 1, 2, 3: cardinal blending functions ( 그림 8-28)

Representations 38

Bezier Spline CurvesBezier Spline Curves

Bezier curves spline approximation method interpolation splines 에서와 같이 boundary conditions, matrix, blending functions

으로 나타낼 수 있으나 blending functions 으로 나타내는 것이 가장 일반적이다 .

n+1 control points 가 주어졌을 때 , pk = (xk, yk, zk), 0 <= k < n, 이 coordinate points 가 blend 되어 p0 에서 pn 사이에서 Bezier polynomial

function 의 path 를 기술하는 position vector P(u) 를 생성 :

P(u) = pk ·BEZk,n(u) 0 <= u <= 1

Bezier blending function BEZk,n(u) 은 Bernstein polynomials 로 다음과 같다

BEZk,n(u) = C(n, k) uk (1-u)n-k

C(n, k) 는 binomial coefficient

n!(n-k)!k!

Representations 39

Bezier blending function 은 recursive calculation 으로 정의할 수 있다 :

BEZk,n(u) = (1-u) BEZk,n-1(u) + u BEZk-1,n-1(u) n > k >= 1

각 curve coordinates 에 대해 three parametric equations 로 표현 x(u) = xkBEZk,n(u)

y(u) = ykBEZk,n(u)

z(u) = zkBEZk,n(u)

Representations 40

Properties of Bezier CurvesProperties of Bezier Curves

Bezier curve 는 first and last control points 를 항상 지난다 . curve 의 two ends 에서의 boundary conditions 는 P(0) = P0 P(1) = Pn endpoints 에서의 first derivatives 는 control point coordinates 로 부터 다음과 같이

계산됨P’(0) = -np0 + np1

P(u) = p0 BEZ0,n(u) + p1 BEZ1,n(u)

= p0 {c(n,0)u0(1-u)n } + p1 {c(n,1)u(1-u)n-1}

= p0 {(1-u)n} + np1{u(1-u)n-1}

P’(u) = -np0(1-u)n-1 + np1{(1-u)n-1 - (n-1)u(1-u)n-2} 에서 구해짐

Representations 41

P’(1) = -npn-1 + npn

curve 의 시작점에서의 slope 는 first two control points 를 join 하는 line 을 따르게되며 마지막점에서의 slope 는 last two control points 를 join 하는 line 을 따르게 됨

endpoints 에서의 parametric second derivatives 는 다음의 식에서 구해짐 P”(0) = n(n-1)[(p2 - p1) - (p1 - p0)]

P”(1) = n(n-1)[pn-2 - pn-1] - (pn-1 - pn)]

Bezier curve 는 control points 의 convex hull 내에 존재한다 .

Representations 42

Cubic Bezier CurvesCubic Bezier Curves

대부분의 그래픽스 패키지는 cubic spline functions 를 제공한다 . Cubic Bezier curve 는 four control points 로 생성되며 four blending functions 는

다음과 같다 BEZ0,3(u) = (1-u)3

BEZ1,3(u) = 3u(1-u)2

BEZ2,3(u) = 3u2(1-u)

BEZ3,3(u) = u3

blending functions 의 모양이 control points 가 파라미터 u 에대한 곡선의 모양에 어떤 영향을 미칠지를 결정한다 u=0 이면 nonzero blending function 은 1 값을 갖는 BEZ0,3이다 .

u=1 이면 nonzero blending function 은 1 값을 갖는 BEZ3,3 이다 .

따라서 cubic Bezier Curve 는 항상 p0 와 p3 을 통과한다 .

BEZ1,3, BEZ2,3 는 파라미터 u 의 중간 값에서 곡선의 형태에 영향을 미친다 . -> p1, p2 쪽으로 향하도록 한다 .

BEZ1,3은 u = 1/3 에서 maximum 이고 BEZ2,3은 u=2/3 에서 maximum 이다 .

Representations 43

BEZ0,3(u) BEZ1,3(u)

BEZ3,3(u)BEZ2,3(u)

The four blending functions for cubic curves (n=3)

Representations 44

four blending functions 은 parameter u 값이 전 영역에 걸쳐 nonzero 이므로 Bezier Curve 는 곡선 형태를 local control 할 수 없게 된다 .-> control point하나라도 위치가 바뀌면 전체 곡선에 영향을 미침

cubic Bezier curve 의 end positions 에서 parametric first derivatives 는 P’(0) = 3(p1 - p0) P’(1) = 3(p3 - p2)

parametric second derivativs 는 P”(0) = 6(p0 - 2p1 + p2) P”(1) = 6(p1 - 2p2+p3)

C1 혹은 C2 continuity 를 갖는 piecewise curves 생성에 위의 derivatives 를 이용

Representations 45

cubic Bezier point function 을 matrix form 으로 나타내면 p0

P(u) = [u3 u2 u 1] MBEZ p1

where -1 3 -3 1

MBEZ = 3 -6 3 0

-3 3 0 0

1 0 0 0

Representations 46

Bezier SurfacesBezier Surfaces

two sets of orthogonal Bezier curves 를 사용하여 input mesh of control points 를 지정해서 object surface 를 설계할 수 있음

P(u, v) = pj,k BEZj,m(v) BEZk,n(u)

j=0 k=0

where pj,k 는 (m+1) by (n+1) control points 의 위치를 지정함

Representations 47

B-Spline CurvesB-Spline Curves

two advantages over Bezier splines B-spline polynomial 의 degree 는 control points 수에 관계없이 설정할 수

있다 . spline curve or surface 의 모양에 대한 local control 을 허용

disadvantage more complex than Bezier surfaces

B-Spline curves

P(u) = pk Bk,d(u), umin <= u <= umax, 2 <= d <= n+1

where pk: an input set of n+1 control points B-splines 의 local control 은 u 의 total range 중의 subintervals 에 대한 blending

functions 를 정의하여 얻어짐

Representations 48

B-splines 의 blending functions: Cox-deBoor recursion formulas 이용

Bk,1(u) = 1 if uk <= u <= uk+1

0 otherwise

u - uk uk+d - u

Bk,d(u) = Bk,d-1(u) + Bk+1,d-1(u)

uk+d-1 - uk uk+d - uk+1

각 blending function 은 d subintervals 에서 정의 각 subinterval 의 uj 를 knot 라고 함 선택된 subinterval endpoints 전체를 knot vector 라고 함

Representations 49

B-Splines 의 특성B-Splines 의 특성 polynomial curve 는 degree d-1 이며 u 의 범위에서 Cd-2 continuity 를 갖는다 n+1 control points 에 대해 curve 는 n+1 blending functions 으로 나타낸다 .

각 blending function Bk,d 는 u 의 total range 중 d subintervals 에서 정의되며 knot

value uk에서 시작한다 .

파라미터 u 의 range 는 knot vector 에서 지정된 n+d+1 values 에 의해 n+d subintervals 로 분할된다 .

knot values 가 {u0, u1, ..., un+d} 이면 B-spline curve 는 knot value 가 ud-1 부터 un+1까지 구간에서 정의된다 .

spline curve 의 각 section 은 d control points 에 의해 영향을 받는다 . one control point 는 기껏해야 d curve sections 에 영향을 미친다 .

Representations 50

B0,3(u) B1,3(u)

B3,3(u)B2,3(u)

1 2 3 4 5 6

Fig.8-42 Periodic blending functions for n=d=3 and a uniform, integer knot vector

Representations 51

knot values ud-1 부터 un+1까지 구간에서 모든 basis functions 의 합은 1 이다 .

Bk,d(u) = 1

k=0 Three general classifications for knot vectors: uniform, open uniform, nonuniform Uniform, Periodic B-Splines

knot values 사이의 spacing 이 constant 할 때 uniform B-spline 이라고 함 예 ) {-1.5, -1.0, -0.5, 0.0, 0.5, 1.0, 1.5, 2.0} 때때로 knot values 가 0 과 1 사이로 normalize 되어 {0.0, 0.2, 0.4, 0.6, 0.8,

1.0} {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} 의 형태로 많이 쓰임 uniform B-splines 는 periodic blending functions 를 가짐 -> n, d 가 주어졌을

때 all blending functions 는 same shape 를 갖는 것을 말함 ( 그림 8-42) Example 8-1 Uniform Quadratic B-Splines

Representations 52

Cubic, periodic B-splines, open Uniform B-splines, nonuniform B-splines -> 책 참고

B-Spline Surfaces Bezier splines 와 비슷하게 B-spline surface 의 vector point function 은 B-

spline blending functions 의 Cartesian product 로 구해짐 식 8-64

P(u) = pku, kv Bku,du(u) Bkv,dv(v)

ku =0 kv =0

Representations 53

OpenGL Approximation-Spline FunctionsOpenGL Approximation-Spline Functions

OpenGL Bezier-Spline Curve Functions glMap1* (GL_MAP1_VERTEX_3, uMin, uMax, stride, nPts, *ctrlPts); glEnable (GL_MAP1_VERTEX_3); glDisable (GL_MAP1_VERTEX_3);

suffix code: f or d uMin, uMax: curve parameter u, 보통은 0 과 1 ctrlPts: Bezier control points stride: ctrlPts 에서 data value 의 수를 나타내는 integer offset, 3 차원의 경우엔 stride = 3

glEvaluate1* (uValue); // evaluate position along the spline path

Representations 54

사용 예사용 예 Glfloat ctrlPts[4][3] = {{-40.0, 40.0, 0.0}, {-10.0, 200.0, 0.0}, {10.0, -200.0, 0.0}, {40.0,

40.0, 0.0}; GlMaplf (GL_MAP1_VERTEX_3, 0.0, 1.0, 3, 4, *ctrlPts); GlEnable (GL_MAP1-VERTEX_3);

GLint k;

glColor3f (0.0, 0.0, 1.0); // Set line color to blue glBegin (GL_LINE_STRIP); for (k = 0; k <= 50; k++) glEvalCoordlf (Glfloat (k) / 50.0); glEnd ( );

Representations 55

glColor (1.0, 0.0, 0.0); // Set point color to red glPointSize (5.0); glBegin (GL_POINTS); for (k = 0; k < 4; k++); glVertex3fv (&ctrlPts[k][0]); glEnd ( );

OpenGL Bezier-Spline Surface Functions glMap2* (GL_MAP2_VERTEX_3, uMin, uMax, uStride, nuPts, vMin, vMax, vStride,

nvPts, *ctrlPts); glEnable (GL_MAP2_VERTEX_3); glDisable (GL_MAP2_VERTEX_3);

Representations 56

Sweep RepresentationsSweep Representations

translational, rotational, or other symmetries 를 보유한 3D 물체를 만드는데 편리 two dimensional shape 와 a sweep 을 이용하여 물체를 표현함 circle 혹은 rectangle 과 같은 primitives 가 menu options 로 제공됨 ( 그림 8-55), ( 그림 8-56) 참고

Representations 57

P(u,v)u

Fig. 8-55 Constructing a solid with a translational sweep

Representations 58

Constructive Solid-Geometry MethodsConstructive Solid-Geometry Methods

set operations 를 이용하여 3 차원 물체의 volume 을 결합하는 방법으로 solid modeling

two specified volumes 에 union, intersection, difference operation 을 수행하여 new volume 을 생성

예 : ( 그림 8-57) ( 그림 8-58) primitives (blocks, pyramids, cylinders, cones, spheres and closed spline surfaces 등 ) 이

menu options 으로 제공됨 primitives 를 이용하여 set operation (union, intersection, difference) 로 새로운

물체를 생성하고 다시 이 물체를 set operation 에 이용하여 final object 를 만든다 .

( 그림 8-59)

Representations 59

(a) (b)

Fig.8-57 Combining two objects with a union operation

Representations 60

CSGObject

oper1 oper2

obj1 obj2 obj4 oper2

obj2 obj3

Fig.8-59 A CSG tree representation for an objectFig.8-59 A CSG tree representation for an object

Representations 61

OctreesOctrees

Octrees: medical imaging applications 등에서 solid objects 표현을 위해 쓰이는 hierarchical tree structure

object cross sections 표현 tree structure 의 각 노드는 3 D space 의 한 region 을 나타냄 spatial coherence 의 성질을 이용해 3D objects 를 나타내는데 필요한 storage

requirements 를 줄일 수 있음

Representations 62

Quadtree: 2D region 을 다시 quadrants 로 분할해 감 quadtree 의 각 노드는 quadrants 를 가리키는 4 elements 로 구성됨 ( 그림 8-63) a quadrant 내 모든 픽셀의 색이 same color 이면 (homogeneous quadrant) 해당

data element 는 그 color 를 저장하고 , homogeneous quadrant 임을 나타내기 위해 data element 내 flag 를 set 함

heterogeneous quadrants 의 경우엔 다시 quadrants 로 분할되고 heterogeneous 를 나타내도록 flag 가 set 되고 quadtree 의 다음 노드의 포인터를 저장한다 .

heterogeneous quadrant 의 경우 homogeneous quadrants 로 구성될 때까지 계속하여 분할해 간다 .

( 그림 8-64), ( 그림 8-65)

Representations 63

0 1 2 3

Fig.8-64 Region of a two-dimensional space with two levels of quadrant divisions and the associated quadtree representation

Representations 64

Octree-encoding schemes 3 dimensional space (cube) 를 octants 로 분할하여 tree 의 각 노드에 8 data

elements 를 저장한다 . octants 의 각 element 를 volume element or voxel이라고 함

an octant 내 모든 voxel 이 same type 이면 그 노드의 해당하는 data element에 그 type value 를 저장한다 .

heterogeneous octant 의 경우엔 다시 octants 로 분할된다 . homogeneous octants 로만 구성되도록 분할해 간다 . ( 그림 8-66)

BSP Trees

octree encoding 과 비슷하나 two partitions 로 나눈다는 것이 차이 - Binary

Space Partitioning (BSP) tree

Representations 65

Fig.8-66 Region of a three-dimensional space divided into numbered octants and the associated octree node with eight data elements

0 1 2 3 4 5 6 7

Representations 66

Fractal-Geometry MethodsFractal-Geometry Methods

natural objects (mountain, clouds) 의 경우엔 Euclidean-geometry methods(object shape 를 equation 으로 기술 ) 로는 나타내기 어렵다 .

fractal-geometry methods 로 표현 : procedures 사용 fractal object 가 갖는 두 가지 특성

infinite detail at every point self-similarity between the object parts and the overall features of the object

fractal object object subparts 의 detail 한 부분을 생성하는 repeated operation 을 나타내는

프로시듀어로 기술함 fractal representations

terrain, clouds, water, trees, plants, feathers, fur, textures 등 표현

Representations 67

Fractal-Generation Procedures 한 space region 내에의 모든 점들에 대해 특정 변환함수를 반복적으로

적용하여 fractal object 를 생성함 P0 = (x0, y0, z0) 이면 transformation function F 를 반복 적용하여 계속된

levels of detail 을 구함 P1 = F(P0), P2 = F(P1), P3=F(P2),...

( 그림 8-70) ( 그림 8-71)

Representations 68

Particle SystemsParticle Systems

자연 물체 혹은 불규칙적인 모양의 물체 중에서 유체적 속성을 나타내는 방법으로 모델링하는 기법

시간에 흐름에 따라 흘러간다든지 , 파도가 친다든지 , 튀거나 흩어지는 모습을 나타냄

clouds, smoke, fire, fireworks, waterfall, water spray 등 표현에 이용 정의된 공간 내에서 random processes 를 이용하여 시간에 따라 파라미터 값을

변화시키면서 물체를 생성해내고 random time 이 지나면 생성된 물체가 제거되도록 함

particle 의 lifetime 중에 그것의 경로나 표면의 특성이 색으로 표현되기도 함

Representations 69

파티클의 모양 : 작은 구 , 타원체 , 상자 혹은 다른 모양으로 표현

시간에 따라 파티클 모양이 바뀌기도 함 파티클의 투명도 , 색 , 움직임이 바뀌기도 함 응용에 따라 파티클 움직임이 특정 힘에 의해 조정되기도 함 파티클이 움직이면서 경로가 지정된 색으로 디스플레이 됨

물리 기반 모델링 (Physically Based Modeling) physically based modeling: 물체의 운동을 외적 및 내적 힘의 상호작용으로

기술하는 방법을 말함 nonrigid object (rope, cloth, soft rubber ball 등 ) 표현에 이용 책 참고

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Visualization of Data setsVisualization of Data sets

과학적 가시화 (scientific visualization) 그래픽스 방법을 이용해서 data sets 을 가시화하는 것 data sets 은 공간 분포와 데이터형에 따라 분류됨 2 차원 data sets 은 면에 걸쳐 분산된 값을 가지며 3 차원 data sets 는 정육면체나 구와 같은 한 공간 내에 분산된 값을 갖는다 . 데이터 형으로는 scalars, vectors, tensors, multivariate data 등을 가짐

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스칼라 (scalar) 필드의 시각적 표현 Scalar quantity: 단일 값을 갖는 것 scalar data sets: 시간이나 위치에 따라 변하는 값을 갖기도 하고 다른 스칼라 파라미터의 함수로 나타내는 값을 갖기도 함

예 : energy, density, mass, temperature, pressure, charge, resistance, reflectivity, frequency, water content 등

scalar data sets 을 나타내는 일반 방법으로는 그래프나 차트를 이용하여 시간이나 위치를 인수로 하는 함수로 데이터 값의 분포를 나타냄

contour plots 을 이용하여 면에 분포되어 있는 data set 의 isolines(lines of constant scalar value) 를 디스플레이

Representations 72

3 차원 scalar data fields 를 위해선 , cross-sectional slices 를 취해서 slice 의 2D data distributions 을 디스플레이

함 ( 그림 8-128) isosurfaces: 3D contour plots ( 그림 8-129)

volume rendering X-ray picture 와 비슷한 방법으로 3D data set 을 가시화하는 방법 data set 의 내부 정보가 ray-casting method 를 이용하여 디스플레이

스크린에 투영됨 각 스크린 픽셀로부터의 ray path 를 따라 interior data value 가 조사되고

디스플레이를 위해 인코딩됨 ( 그림 8-131)

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벡터 필드 (Vector field) 의 시각적 표현 3D 공간의 벡터 양 V 는 세 스칼라 값 (Vx, Vy, Vz) 을 가짐 다른 표현으로는 크기 |V| 와 방향을 나타내는 unit vector, u 로 나타냄 스칼라와 마찬가지로 벡터 양은 시간 , 위치 , 혹은 다른 파라미터의

함수로 나타낼 수 있음 예 : velocity, acceleration, force, electric fields, magnetic fields, ... 벡터필드를 가시화하는 방법으로는

점을 찍은 후 작은 화살표로 방향을 나타냄 ( 그림 8-133) field lines or streamlines 등 이용 : ( 그림 8-134) 그 외 Tensor fields 혹은 Multivariate data fields 로 나타내는 방법이 있음

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chapter 8. three-dimensional object representations

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