chapter three

Chapter ThreeChapter Three流体静力学流体静力学

Fluid StaticsFluid Statics

第三章 流体静力学

第三章第三章 流体静力学流体静力学 §3.1§3.1 流体静压强及其特性§3.2§3.2 流体平衡 (微分 )方程式§3.3§3.3 流体静力学基本方程式 (重力场中流体的平衡帕斯卡原理 )§3.4§3.4 绝对压强 计示压强 液柱式测压计§3.5§3.5 液体的相对平衡§3.6§3.6 静止液体作用在平面上的总压力§3.7§3.7 静止液体作用在平面上的总压力§3.8§3.8 静止液体作用在潜体和浮体上的浮力

流体模型分类

流体模型

按粘性分类

无粘性流体 粘性流体

牛顿流体

非牛顿流体

按可压缩性分类

可压缩流体 不可压缩流体

其他分类

完全气体 正压流体 斜压流体

均质流体 等熵流体 恒温流体

本章基本要求本章基本要求• 流体静压强及其特性，流体的平衡微分方程式，绝对与相对静止流体中的压强分布规律及计算，平面与曲面上的流体总压力。

DefinitionDefinition

Fluid statics is the study of fluids in which there is no relative motion between fluid particles.

“ 静”——绝对静止、相对静止

•质量力 Mass Force

•表面力 Surface force

作用在流体上的力作用在流体上的力The forces on fluidThe forces on fluid

表面力的分类表面力的分类

A

Flimp n

A

0

内法线方向 Normal compressive force :法向应力——压强

切线方向 Shear force ：

切向应力——剪切力

A

FA

0

lim

流体相对运动时因粘性而产生的内摩擦力

ΔF

ΔA

ΔFn

ΔFτ

第二章 流体静力学

§3.1 §3.1 流体静压强及其特性

流体处于绝对静止或相对静止时的压强

一、流体的静压强一、流体的静压强

dA

dP

A

Pp

A

lim

A

Fp

)(lim0

PadA

dF

A

Fp

A

)(NnpdAFA ΔF

ΔA

ΔFn

ΔFτ

第三章 流体静力学

§3.1 §3.1 流体静压强及其特性

二、流体静压强的两个特性二、流体静压强的两个特性

1. 方向性 流体静压力的方向总是沿着作用面的内法线方向；

(2)(2) 因流体几乎不能承受拉力，故 p指向受压面。原原因 :(1) 静止流体不能承受剪力，即 τ=0 ，故 p垂直受压面；

第三章 流体静力学

§3.1 §3.1 流体静压强及其特性

二、流体静压强的两个特性二、流体静压强的两个特性 2. 大小性 流体静压力与作用面在空间的方位无关，仅是该点坐标的函数。

0ddd6

1cosddd

2

1 zyxρf(n,x)Apzyp xnx

xp

yp

np

zp

0d3

1

0d3

1

0d3

1

xfpp

xfpp

xfpp

znz

yny

xnx

nzyx pppp 略去无穷小项

o

z

xdz dx

dy

y

B

D

Co

0d

3

1n xfpp xx

静压强特征静压强特征 Characters of Pressure of a Static Fluid at ResCharacters of Pressure of a Static Fluid at Res

tt • 1. 静压强方向沿作用面的内法线方向 There is only compressive stress (or pressure ) in a fluid at r

est , and the direction of pressure is the same as the direction of inward normal line of acting point .

Fluid at rest cannot bear pulling force because of the trends to flow.

• 2. 任一点静压强的大小与作用面的方位无关 The pressure at a point in a fluid at rest is the same in all dir

ections. It has nothing to do with the normal direction of the acting surface

第三章 流体静力学

§3.2 §3.2 流体平衡微分方程式

一、一、平衡微分方程式

在静止流体中取如图所示微小六面体。 设其中心点 a(x,y,z) 的密度为 ρ ，压强为 p ，所受质量力为f 。

y

z

o y

x z

y dx dz

dy a f, p,ρ

第二章 流体静力学

§3.2 §3.2 流体平衡微分方程式

以 x方向为例 ,列力平衡方程式

zyxx

pzypzyp cb ddddddd

表面力：表面力：

zyxρf x ddd质量力质量力 ::

,0 xF据p- p/x•dx/2

p+ p/x•dx/2 0dddddd

zyxx

pzyxρf x

01

x

pf x

y

z

o y

x z

y dx dz

dy b a c f,p,ρ

第三章 流体静力学

§3.2 §3.2 流体平衡微分方程式

同理，考虑 y， z方向，可得 :

01

01

01

z

pf

y

pf

x

pf

z

y

x

上式即为流体平衡微分方程 ( 欧拉平衡微分方程 )

一、一、平衡微分方程式（续） 1.1. 平衡微分方程式 （续）

物理意义：

在静止流体中，单位质量流体上的质量力与静压强的合力相平衡

适用范围：

所有静止流体或相对静止的流体。

第三章 流体静力学

§3.2 §3.2 流体平衡微分方程式

流体静压强的增量决定于质量力。

一、一、平衡微分方程式（续） 2.2. 压强差公式压强差公式

)( dzfdyfdxfdp zyx

dzz

pdy

y

pdx

x

pdp

01

01

01

z

pf

y

pf

x

pf

z

y

x

z

y

x

fz

p

fy

p

fx

p

物理意义：

第三章 流体静力学

§3.2 §3.2 流体平衡微分方程式

二、力的势函数和有势力二、力的势函数和有势力 1. 1. 力的势函数力的势函数

)( dzfdyfdxfp

ddp

zyx

若存在函数 π(x,y,z) 满足 f=-gradπ, 则称 f 有势，π为 f 的势函数。

若质量力 f 存在势函数，则 π 为 质量力 的势函数，质量力为有势力

（ 1）不可压流体

p

gradf

p

第三章 流体静力学

§3.2 §3.2 流体平衡微分方程式

二、力的势函数和有势力（续）二、力的势函数和有势力（续）

)()(

dzfdyfdxfp

dpd

dpzyx

2. 正压流体

p

gradf

)( p

dp

重力是否有势？

gz

f

yf

xf

z

y

x

0

0

cgz 重力有势！

)( p

第三章 流体静力学

§3.2 §3.2 流体平衡微分方程式

三、等压面三、等压面 1. 1. 定义定义 流场中压强相等的各点组成的面。 0dp

2. 2. 微分方程微分方程

0 dzfdyfdxf zyx 0 rdf

0dp

dzfdyfdxfdp zyx 3. 3. 性质性质

或

0 rdf

等压面恒与质量力正交。

rdf

第三章 流体静力学

§3.3 §3.3 流体静力学基本方程式

一、一、流体静力学基本方程式

 作用在流体上的质量力只有重力

gf

f

f

z

y

x

－

0

0

0g

dpdz

 均匀的不可压缩流体

gdzdp

积分得： Cg

pz

g

pz

g

pz

2

21

1

z

x

p1

1

基准面

z2

p2

2 p0

g

o

z1

1.1. 基本方程式

第三章 流体静力学

§3.3 §3.3 流体静力学基本方程式

一、一、流体静力学基本方程式（续）2.2. 物理意义物理意义

ox

z

a

p

p0

z

hp

h

Cg

pz

位势能

压强势能hp

总势能

在重力作用下的连续均质不可压所静止流体中，各点的单位重力流体的总势能保持不变。

第三章 流体静力学

§3.3 §3.3 流体静力学基本方程式

一、一、流体静力学基本方程式（续）3.3. 几何意义几何意义

Cg

pz

位置水头

压强水头

静水头

在重力作用下的连续均质不可压静止流体中，静水头线为水平线。

p0

2 p2

z2

z1

1 p1

完全真空

z1 1

2 z2

pe2/g

A A

A' A'

基准面

pe1/g

pa/g

p2/g p1/g

p1

p0p2

pa

第三章 流体静力学

§3.3 §3.3 流体静力学基本方程式

一、一、流体静力学基本方程式（续）4.4. 帕斯卡原理帕斯卡原理

g

phz

g

pz

0) （

在重力作用下不可压缩流体表面上的压强，将以同一数值沿各个方向传递到流体中的所有流体质点。

ox

z

a

p

p0

z

hp

h

a 点压强：

ghpp 0

压强分布规律的最常用公式：

ghpzzgpp 000

——帕斯卡原理

（压强的传递性）

00 gzpgzp

适用范围：

1.重力场、不可压缩的流体

2.同种、连续、静止

第三章 流体静力学

§3.4 §3.4 绝对压强 计示压强 液柱式测压计绝对压强 计示压强 液柱式测压计

一、压强的计量1. 绝对压强

以完全真空为基准计量的压强。

2. 计示压强以当地大气压强为基准计量的压强。

app

app

表压：

真空：

完全真空 p=0

大气压强 p=p a

p

o

绝对 压强

绝对 压强

a p>p

a p<p

计示 压强 （真空）

计示 压强

ghppp ae

eav pppp

2. 压强的表示方法

a.绝对压强 p

以绝对真空为零点压强

pa—— 当地大气压强

gaa ppghpp pa

A

h

b. 相对压强（计算压强、表压） pg

c. 真空度 pv

以当地大气压强为零点压强

pghppp ag

ppp av

注意： pv 表示绝对压强小于当地大气压强而形成

真空的程度，读正值！

pv

3. 压强单位

工程大气压（ at ）

=0.9807×105Pa=735.5mmHg=10mH2O

=1kg/cm2 （每平方厘米千克力，简读公斤）

标准大气压（ atm ）

=1.013×105Pa=760mmHg=10.33mH2O

换算：

1kPa=103Pa 　　　　　 1bar=105Pa

Pa( 应力单位） 1 Pa=1N/m2

第三章 流体静力学

§3.4 §3.4 绝对压强 计示压强 液柱式测压计绝对压强 计示压强 液柱式测压计

二、液柱式测压计1. 测压管 测压管是一根直径均匀的玻璃管，直接连在需要测量压强的容器上，以流体静力学基本方程式为理论依据。

pa

p0

A

hh

pa

pv表压

真空

ghpe

ghpv

优点：结构简单缺点：只能测量较小的压强

第三章 流体静力学

§3.4 §3.4 绝对压强 计示压强 液柱式测压计绝对压强 计示压强 液柱式测压计

二、液柱式测压计2.U 形管测压计

21 pp

11 ghpp

222 ghpp a

122 ghghpp a

p

h1

1 2

A h 2

ρ2

ρ

pa

122 ghghpe

优点：可以测量较大的压强

第三章 流体静力学

§3.4 §3.4 绝对压强 计示压强 液柱式测压计绝对压强 计示压强 液柱式测压计

二、液柱式测压计3.U 形管差压计测量同一容器两个不同位置的压差或不同容器的压强差。

1

A

△z

2

h 2h

B

2

)( 21 hhgpp A

222 )( ghzhgpp B

222 )()( ghzhgphhgp BA

)()( 22222 hhgzgghhzgpp BA

21 pp

第三章 流体静力学

§3.4 §3.4 绝对压强 计示压强 液柱式测压计绝对压强 计示压强 液柱式测压计

二、液柱式测压计4. 倾斜微压计

)(sin2

121 A

Alhhh

p2

l

p1

h1

0

h2

A2 A1

2

12 A

Alh

sin1 lh

lA

Agghppp )(sin

2

121

优点：可以测量较小的压强

第三章 流体静力学

§3.4 §3.4 绝对压强 计示压强 液柱式测压计绝对压强 计示压强 液柱式测压计

二、液柱式测压计5. 补偿式微压计

pa

p

h

pa

pa

hgpp a

hgpe

三重密封容器上都装有真空表三重密封容器上都装有真空表 ,, 它们它们的读数均相同 的读数均相同 ,p,p1=p=p2=p=p3=20kPa(=20kPa( 真真空度空度 ),), 试求图示试求图示 UU 型水银测压计的的型水银测压计的的高度高度 hh 及最里边的窗口中的气体压强及最里边的窗口中的气体压强p.p.

hh11=1.2m,h=1.2m,h22=1m,h=1m,h33=0.8m,h=0.8m,h44=1m,h=1m,h55=1.5m,=1.5m,PPaa=101300Pa,ρ=101300Pa,ρ 水水 =100=1000kg/m0kg/m33, ρ, ρ 酒精酒精 =760kg/m=760kg/m33 　　 ,, 试求各点的压强及表试求各点的压强及表 1,3,61,3,6 的读数的读数 ..　　

两杯中分别装入互不相溶密度相近的两种液体两杯中分别装入互不相溶密度相近的两种液体 , ρ, ρ 酒精酒精 =870kg=870kg/m/m33, ρ, ρ 煤油煤油 =830kg/m=830kg/m33,, 当气体压强差这当气体压强差这 P1-P2=0P1-P2=0 时时 ,, 两种液两种液体的初始交界面在标尺体的初始交界面在标尺 OO 处处 ,, 已知已知 UU 形管直径形管直径 d=5mm,d=5mm, 两两杯直径相同杯直径相同 D=50mm.D=50mm. 试确定使交界面上升至试确定使交界面上升至 h=280mmh=280mm 时时的压强差的压强差 ..

第三章 流体静力学

§3.5 §3.5 液体的相对平衡液体的相对平衡

一、等加速水平运动容器中液体的相对平衡

流体相对于地球有相对运动，而流体微团及流体与容器壁之间没有相对运动。

质量力

g f a

h z s

z

p 0 o

z

a

x m

gf

af

f

z

y

x 0

容器以等加速度 a向右作水平直线运动

第三章 流体静力学

§3.5 §3.5 液体的相对平衡液体的相对平衡

一、等加速水平运动容器中液体的相对平衡（续）质量力

g f a

h z s

z

p 0 o

z

a

x m 1. 等压面方程

gffaf zyx 0

0)dd()dd( zgxazfxfdp zx

积分Cgzax

等压面是一簇平行的斜面。g

aarctg

自由液面： 000 Czx

0 sgzax

Cxg

az

第三章 流体静力学

§3.5 §3.5 液体的相对平衡液体的相对平衡

一、等加速水平运动容器中液体的相对平衡（续）

g f a

h z s

z

p 0 o

z

a

x m

2. 静压强分布规律)()d( gdzadxdzfxfdp zx

Cgzaxp )( 积分

000 ppzx

得： 0pC

)(0 gzaxpp

利用边界条件：

ghpzzgpp s 00 )(

0 sgzax

)(0 zxg

agpp

第三章 流体静力学

§3.5 §3.5 液体的相对平衡液体的相对平衡

一、等加速水平运动容器中液体的相对平衡（续）

g f a

h z s

z

p 0 o

z

a

x m

3. 与绝对静止情况比较

（ 2）压强分布

（ 1）等压面

绝对静止：

ghpp 0

相对静止： ghpzzgpp s 00 )(

绝对静止：

cz

相对静止： cxg

az

水平面

斜面

h －任一点距离自由液面的淹深

例　一洒水车以等加速 a=0.98m/s2 在平地行驶，静止

时， B 点处水深 1m ，距 o 点水平距 1.5m ，求运动时

B 点的水静压强 ( 计示压强 )(mmH2O)

解： p ax gz

a=0.98m/s2 ， x= － 1.5m ， z= － 1m ，代入

21.15p

mH Og

注意坐标的正负号

a

o

B

z

x

0 ( )a

p p g x zg

计示压强

0.98( 1.5) 0.15

9.8s

aZ x m

g 0.15 ( 1) 1.15h Zs Z m

质量力

1. 等压面方程

gafff zyx 00

0d)()d( zgazfdp z

Czga )(

等压面是一簇平行的水平面。

自由液面： 000 Czx

§3.5 §3.5 液体的相对平衡液体的相对平衡

二、等加速铅垂向下运动容器中液体的相对平衡

2. 静压强分布规律

zgazfdp z d)(d

Czgap )(

000 ppzx

0pC

zgapp )(0

利用边界条件：

§3.5 §3.5 液体的相对平衡液体的相对平衡

二、等加速铅垂向下运动容器中液体的相对平衡

0

0

( )

(1 )

p h g a

ap gh

g

112 g

ak

111 g

ak

失重系数 Weightlessness coefficient

超重系数 Overweight coefficient

0 (1 )a

p p ghg

第三章 流体静力学

§3.5 §3.5 液体的相对平衡液体的相对平衡

二、等角速旋转容器中液体的相对平衡

质量力

容器以等角速度ω旋转z

z s

h z m

p 0 o

o

y 2y

2r2x x

x y

r

y

gf

yrf

xrf

z

y

x

22

22

sin

cos

第二章 流体静力学

§3.5 §3.5 液体的相对平衡液体的相对平衡

质量力

1. 等压面方程

积分

等压面是一簇绕 z轴的旋转抛物面。

自由液面： 000 Czx

二、等角速旋转容器中液体的相对平衡（续）gfyrfxrf zyx 2222 sincos

0ddd 22 zgyyxxdp

Cgzyx

22

2222 Cgz

r

2

22

Cgzr

s 2

22

z

z s h

z m p

0 o

o

y 2y

2r2x x

x y

r

y

第三章 流体静力学

§3.5 §3.5 液体的相对平衡液体的相对平衡

2. 静压强分布规律

积分

000 ppzx 得： 0pC

利用边界条件：

ghpzzgpp s 00 )(

z

z s h

z m p

0 o

o

y 2y

2r2x x

x y

r

y

)ddd( 22 zgyyxxdp

Cgzyx

p )22

(2222 Cz

g

rgp )

2(

22

)2

(22

0 zg

rgpp

Cgzr

s 2

22

二、等角速旋转容器中液体的相对平衡（续）

第三章 流体静力学

§3.5 §3.5 液体的相对平衡液体的相对平衡

3. 与绝对静止情况比较

（ 2）压强分布

（ 1）等压面

绝对静止：

ghpp 0

相对静止： ghpzzgpp s 00 )(

绝对静止：

cz

相对静止：

水平面

旋转抛物面

h －任一点距离自由液面的淹深

Cgzr

2

22

z

z s h

z m p

0 o

o

y 2y

2r2x x

x y

r

y

二、等角速旋转容器中液体的相对平衡（续）

等压面等压面 Equipressure SurfaceEquipressure Surface

0ddd zfyfxf zyx

2 2

2 2

cos

sin

x

y

z

f r x

f r y

f g

2 2d d d 0x x y y g z

Cgzr

2

22

Cgzr

2

22

2 2 2

2 2s

r vz

g g

Czg

rgp )

2(

22

2222

2

1

2r

g

rgp

42

0 42 RrdrpF

R

在表面上在表面上

顶盖上的作用力顶盖上的作用力

中心开口中心开口 Czg

rgp )

2(

22

, 0 , C=a ar R z p p p 处

zrR

ggpp a

222

2

2 2

( )2

rp gz C

2 2

, 0 , C=2a a

Rr R z p p p g

g

处

222

2rRp

表压强

绝对压强Absolute pressure

42

0 42 RrdrpF

R

压力

边缘开口边缘开口

第三章 流体静力学

§3.5 §3.5 液体的相对平衡液体的相对平衡

4. 实例 二、等角速旋转容器中液体的相对平衡（续）

应用（ 1）：离心铸造机

中心开孔

ω

例　浇铸生铁车轮的砂型，已知 h=180mm ， D=600mm ，

铁水密度 ρ=7000kg/m3 ，求 M 点的压强；为使铸件密实，使

砂型以 n=600r/min 的速度旋转，则 M 点的压强是多少？

解： PaghpM41024.1

当砂型旋转

gzrp MM 2/22

srn /202

压强增大约 100 倍

ghrM 2/22

Pa61025.1

2 2

2

rp gz

应用（ 2）：离心泵（边缘开口） z

o边界条件：当 r=R ， p=pa=0

r

R

zpgdzrdrdp

0

2

0

gz

Rrp

22

2222

在 r=0 处，

压力最低　　　　真空抽吸作用

ω

gz

Rp

2

22

应用（ 3）：清除杂质（容器敞开）

杂质 m1 ，流体 m

杂质受力：

ω

mg （浮力）

m1g （自重）

m1ω2r （惯性离心力）

mω2r （向心力） m1=m 　不可清除

m1<m 　斜上

m1>m 　斜下

例 1　一半径为 R 的圆柱形容器中盛满水，然后用螺

栓连接的盖板封闭，盖板中心开有一小孔，当容器以

ω 转动时，求作用于盖板上螺栓的拉力

解：盖板任一点承受的压强为

2

22rp

任一微小圆环受力

rdrppdAdP 2

2 2

2

rp gz

整个盖板受力（即螺栓承受的拉力）

gVg

Rg

Rrdr

rdPP

R 442

2

4242

0

22

注意：　　　　就是压力体的体积 Vg

R

4

42

2 2

2

rp gz

例 2　在 D=30cm ，高 H=50cm 的圆柱形容器中盛

水， h=30cm ，当容器绕中心轴等角速度转动时，求

使水恰好上升到 H 时的转数

解： O 点的位置

g

Rz.zhH'z

220

22

由上题可知

zRg

R 242

4

H

h

ω

o

z’

z

mz

g

Rz 2.0

2

'

4

22

mg

Rzz 4.0

22'

22

s/rad.972

rpmn 178602

结论：未转动时的水位在转动时最高水位与最低水位的正中间

Hh

ω

o

z’

z解得：

例 3　一圆筒 D=0.6m ， h=0.8m ，盛满水，现以 n=60r

pm 转动，求筒内溢出的水量

解： 260

2

n

1802

22

.g

Rz

利用例 2结论

溢出的水量体积 32 025602

1m.RzV

rad/s

m

z

第三章 流体静力学

§3.6 §3.6 静止液体作用在平面上的总压力静止液体作用在平面上的总压力

各点压强大小：

一、水平平面上的液体总压力

处处相等各点压强方向： 方向一致

b c

d a p

a

A

a

b A

p a

d

c c A

b

a

p a

d

b

a p

a

A c

d

h

ghAApF e

第二章 流体静力学

§3.6 §3.6 静止液体作用在平面上的总压力静止液体作用在平面上的总压力

各点压强大小：

二、倾斜平面上的液体总压力处处不相等

各点压强方向： 方向一致

作用在微分面积 dA上的压力： x

o y

A

C D

dA

a

b

p F dF p

hD hC

y yCyD

h

AxgAghApFp d)sin(ddd

作用在平面 ab上的总压力：

AA pp AgFF xdsind

2. 总压力的大小

1. 总压力的方向总压力的方向垂直于受压的平面

第二章 流体静力学

§3.6 §3.6 静止液体作用在平面上的总压力静止液体作用在平面上的总压力

二、倾斜平面上的液体总压力 (续）

x

o

y

A

C D

dA

a

b

p F dF p

hD hC

y yC yD

h

作用在平面 ab上的总压力：

AA pp AgFF xdsind

由工程力学知：

AxA cAxd

故 AygF Cp )sin(

sincc yh

Aghc

即静止液体作用在平面上的总压力等于受压面面积与其形心处的相对压强的乘积。

受压面面积 A对 OY 轴的静矩

第三章 流体静力学

§3.6 §3.6 静止液体作用在平面上的总压力静止液体作用在平面上的总压力

二、倾斜平面上的液体总压力（续）

x

o

y

A

C D

dA

a

b

p F dF p

hD hC

y yC yD

h

3. 总压力的作用点合力矩定理：合力对某轴的矩等于各分力对同一轴的矩的代数和。

xdFxF pp D

A

c dAxgAxxgD

2sinsin

Ax

Ix

Ax

I

Ax

dAxx

c

cyc

c

y

cD

2

A yIAx d2 受压面 A对 ox轴的惯性矩。

cyI 受压面 A对过形心点 C 且平行于 oy轴的轴线的惯性矩。

压力中心 D 必位于受压面形心 c 之下。

常见图形的 xC和 IC

图形名称

矩形

三角形

Cx CI

2

h 3

12h

b

h3

2 3

36h

b

梯形

圆

半圆

ba

bah

2

3

ba

babah 223 4

36

2

d 4

64d

d

3

2 42

1152

649d

第三章 流体静力学

§3.7 §3.7 静止液体作用在曲面上的总压力静止液体作用在曲面上的总压力

各点压强大小： 大小不等各点压强方向： 方向不同

因作用在曲面上的总压力为空间力系问题，为便于分析，拟采用理论力学中的分解概念将其分解为水平分力和垂直分力求解。

一、总压力的大小和方向作用在微分面积 dA上的压力：

ghdApdAdFp x

A z d c P a o

h c h

A x

z b

a

dA A dF p

dF p dF pz

dF px

dA dA x dA z

第三章 流体静力学

§3.7 §3.7 静止液体作用在曲面上的总压力静止液体作用在曲面上的总压力

一、总压力的大小和方向（续） x

A z d c

P a o

h c h

A x

z b

a

dA

A dF p

dF p dF pz

dF px

dA dA x

dA z 1. 水平分力

αAρghαFF ppx cosdcosdd xAghd

xAαA dcosd

xC

A

xpx AghhdAgFx

作用在曲面上的水平分力等于受压面形心处的相对压强与其在垂直坐标面 oyz 的投影面积 Ax 的乘积。

第三章 流体静力学

§3.7 §3.7 静止液体作用在曲面上的总压力静止液体作用在曲面上的总压力

一、总压力的大小和方向（续）2. 垂直分力

αAρghαdFdF ppz sindsin zAghd

zAαA dsind

p

A

zpz gVAhgFz

d

作用在曲面上的垂直分力等于压力体的液体重力

x

A z

d c

P a o

h c h

A x

z

b

a

dA

A

dF p

dF p dF pz

dF px

dA dA x

dA z

zA zp AhV d式中：

为曲面 ab 上的液柱体积 abcd 的体积，称为压力体。

第三章 流体静力学

§3.7 §3.7 静止液体作用在曲面上的总压力静止液体作用在曲面上的总压力

一、总压力的大小和方向（续） 3. 总压力

22pypxp FFF

pz

px

F

Ftg

大小：

总压力与垂线间的夹角方向：A x

z b

a

P a A z

x

dF p

D

D'

（ 1）水平分力 Fpx 的作用线通过 Ax 的压力中心；

（ 4）将 Fp 的作用线延长至受压面，其交点 D即为总压力在曲面上的作用点。（ 3）总压力 Fp 的作用线由 Fpx 、 Fpz 的交点和 确定；

px

pz

F

Ftg 1

（ 2）铅垂分力 Fpz 的作用线通过 Vp 的重心；

确定方法：

二、总压力的作用点

第三章 流体静力学

§3.7 §3.7 静止液体作用在曲面上的总压力静止液体作用在曲面上的总压力

三、压力体的两点说明

压力体仅表示 的积分结果压力体仅表示 的积分结果 (( 体积体积 )) ，与该体积内是否有液体存在无关。，与该体积内是否有液体存在无关。

zAAh

z d

1. 压力体的虚实性

实压力体：压力体 abc 包含液体体积，垂直分力方向垂直向下。

虚压力体：压力体 abc不包含液体体积，垂直分力方向垂直向上。

b

c a

b

a c

第三章 流体静力学

§3.7 §3.7 静止液体作用在曲面上的总压力静止液体作用在曲面上的总压力

2. 压力体的组成

受压曲面（压力体的底面）

由受压曲面边界向自由液面或自由液面的延长面所作的铅垂柱面（压力体的侧面）

压力体一般是由三种面所围成的体积。

自由液面或自由液面的延长面（压力体的顶面）x

d c o

b

a

三、压力体的两点说明（续）

第三章 流体静力学

§3.8 §3.8 静止液体作用在潜体和浮体上的浮力静止液体作用在潜体和浮体上的浮力

浮体： W<gV ，物体上升，浮出液体表面。 潜体： W=gV ，物体在液体中到处处于平衡状态。 沉体： W>gV ，物体下沉，直至液体底部。

物体沉没在静止液体中

acbfgpz gVF 1

021 pxpxpx FFF

adbfgpz gVF 2

adbcpzpzpz gVFFF 12

1pxF2pxF

1pzF

2pzF

a b

c

d

g f

X方向：Y方向：

阿基米德原理： 液体作用在沉没物体上的总压力的方向垂直向上，大小等于沉没物体所排开液体的重力，该力又称为浮力。

gVVVgFFF acbefadbefzzz )(12

1 2y yF F

Force Force onon the Closed Areas the Closed Areas

How to draw a pressure volume?How to draw a pressure volume?

pzF pzF

压力体由以下各面围成：（ a）曲面本身；（ b）通过曲面周界的铅垂面；（ c）自由液面或者延续面

How to draw a pressure volume?How to draw a pressure volume?

Curve surface（压力体的底面）

Free surface（压力体的顶面）The cylinder surface from the borderline of curved surface to the free surface（压力体的侧面）

pzF pzF

realreal ：： pressure volume and liquid are at the same side, Fpz↓。visualvisual ： ： pressure volume and liquid are at different side ， Fpz↑。

pzF pzFrealreal visualvisual

实压力体与虚压力体

实压力体

虚压力体

2. 压力体的作法

压力体由以下各面围成：

（ a）曲面本身；

（ b）通过曲面周界的铅垂面；

（ c）自由液面或者延续面

与深度无关——浮力

p 压力体

水平压力

试确定试确定1.1. 水正好不溢出时的转速水正好不溢出时的转速 n1n1 ；；

2.2. 求刚好露出容器底面时底求刚好露出容器底面时底转速转速 n2n2 ；这时容器停止旋；这时容器停止旋转，水静止后底深度转，水静止后底深度 h2h2 等等于多少？ 于多少？

一圆柱形容器，直径的 d ＝ 300mm ，高 H＝ 500mm ，容器内装水，水深 h1 ＝ 300mm ，使容器绕垂直轴作等角速旋转。

3.Pressure Volume3.Pressure Volume

z

cz

F

zAF pg

V

d

g

h A