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Che lingua parla la matematica?

Laura Branchetti NRD, Università di Bologna

"Per spiegare bene la matematica, si devono raccontare delle storie".

Cedric Villani, medaglia Fields 2010e... appassionato di fumetti

CICLO DI INCONTRI1° laboratorio: Pensiero e linguaggio in matematica:

strumenti analitici per interpretare le parole degli studenti in matematica

Studiare le produzioni verbali, orali e scritte, degli studenti nell'ora di matematica, per comprendere a fondo, attraverso la lingua usata dagli studenti, quali siano i processi cognitivi attivati e soprattutto il grado di consapevolezza dello studente che parla di matematica.

La lingua “tradisce” abitudini legate al contratto didattico, mostra i limiti o la padronanza di ciò che si è appreso, la capacità di argomentare, il grado di appropriazione della disciplina da parte dello studente.

CICLO DI INCONTRIA cura di Matteo Viale, Dipartimento di Linguistica (UNIBO)

2° laboratorio: Educazione linguistica trasversale: l’italiano per le altre discipline / l’italiano a partire dalle altre discipline

3° laboratorio: Tra italiano e matematica: fare educazione linguistica a partire dal testo matematico

CICLO DI INCONTRI4° laboratorio: Quali collaborazioni tra insegnanti di italiano e matematica?A cura di Laura Branchetti e Matteo Viale➔ Attività di analisi a gruppi dei materiali raccolti durante le

sperimentazioni; possibili attività formative a partire dai materiali per dare alcuni feedback agli studenti.

➔ Nuove attività didattiche a partire dalle sperimentazioni in classe e nuove forme di collaborazione concrete tra insegnanti di italiano e matematica

Lo spirito del laboratorio➔ Collaborazione tra insegnanti di diverse discipline per

creare attività concrete da realizzare in classe➔ Riflessione sui processi che portano alla progettazione

di attività condivise➔ Largo spazio alla sperimentazione misurata su classi

“vere” ➔ Documentazione dell’esperienza per contribuire alla

ricerca in didattica della matematica➔ Spazio alla valutazione formativa

Gli strumenti

➔ Esperienze didattiche di altri insegnanti ➔ Risultati della ricerca in Didattica della matematica ➔ Percorsi di formazione parzialmente già testati➔ Indicazioni nazionali➔ Metodologie di valutazione formativa➔ Software per la collaborazione e l’elaborazione di

testi e ipertesti

Esperienze didattiche➔ Monaco A. : I testi ricchi➔ Ferrari P. : attività realizzate in classe e documentate nel

libro Matematica e Linguaggio (2014)➔ Dal fumetto alla matematica: tante attività su matematica e

fumetto http://www.lastampa.it/2013/11/01/multimedia/cultura/fumetti/villani-il-genio-della-matematica-che-ama-il-fumetto-Zoc0CVibcwnWVVB8mCWufL/pagina.html In generale non ci sono molte esperienze didattiche

Testi ricchi

Testi ricchi

Motivazioni profonde in positivoLa ricerca in didattica della matematica invece ha dedicato moltissima attenzione a questo tema…➔ Le azioni di rinforzo della competenza linguistica

costituiscono l’attrezzatura e l’equipaggiamento per inoltrarsi nelle difficoltà dello studio disciplinare

➔ Il pensiero è un discorso con sé stessi, la lingua è un mediatore tra interno e esterno: si riceve dall’esterno una comunicazione in un certo linguaggio, si comunica all’esterno usando un linguaggio.

Motivazioni profonde in negativo➔ L’esperienza di tutti gli insegnanti intervistati e che hanno

partecipato ai corsi è costellata di esempi di difficoltà degli studenti nella comprensione dei testi matematici

➔ Una delle polemiche più vive nei confronti delle valutazioni esterne riguarda la comprensione del testo

➔ La lingua scompare a poco a poco e con essa l’argomentazione (Bolondi, Branchetti,Ferretti, GISCEL, 2014)

➔ La lingua è solitamente stereotipata; in linea con essa troviamo atteggiamenti rigidi e vuoti degli studenti

Esempi

https://www.dropbox.com/sh/df0pz6jm3f3v90t/AABBwctVdLBv4FqX-uwjiuCta?n=327020095

Bolondi, Branchetti, Ferretti (2012) Analisi della componente linguistica delle prove dell’Esame di Stato di Matematica 2009-2010

Esempi (D’Amore, 2013)

Esempi (D’Amore, 2013)

EsempiAssenza o scarso uso di punteggiaturaRipetizioniErrori grammaticali, sintattici o di interpunzione (anchesse, adaggiato)Periodi sospesiEccesso di subordinateEccesso di gerundiErrata coordinazioneImprecisioni lessicali

Studi di Polya

➔ Gli alunni leggono distrattamente il problema e in fretta➔ Si mettono subito a fare i calcoli senza cercare di

individuare un efficiente algoritmo risolutivo➔ Tirano ad indovinare le operazioni da eseguire,

rifiutandosi di motivarle➔ Cercano di combinare a caso i dati numerici con l’

obiettivo di ottenere un risultato (quello del libro)➔ Difficilmente riflettono con spirito critico sul percorso

eseguito e ne fanno oggetto di analisi personale

Cosa dice la ricerca (in breve….)

➔ Matematichese (D’Amore)➔ Variabili redazionali (Laborde, Zan)➔ Nesso tra pensiero e linguaggio (Sfard)➔ Appropriazione (Levrini et al.)➔ Ruolo del lessico (Sbaragli e Fornara)➔ Intepretazione delle parole legata al sapere (Ferrari)➔ Ruolo della sintassi (Branchetti, Viale)➔ Mancanza quasi totale di testo o testo stereotipato nelle

prove di matematica dell’Esame di Stato (Tioli)

La componente comunicativa➔ Fandino Pinilla: Molteplici aspetti dell’apprendimento

della matematica➔ OCSE-PISA:

Diverse forme di accesso al testo

➔ Contratto didattico: effetto “età del capitano”➔ Ricerca di parole chiave➔ Scrittura dei dati---------------------------------------------------------------➔ Individuazione del modello matematico (in

forma via via più complessa)➔ Formulazione del problema matematico

Diverse forme di produzione del testo

➔ Effetti del contratto didattico: Delega formale e esigenza di giustificazione formale

➔ Sintassi tipica del “matematichese” riprodotta per dare ufficialità e rigore al testo

---------------------------------------------------------------➔ Scrittura personalizzata, nel rispetto dei vincoli➔ Organizzazione del discorso attorno a parole e

pensieri personali (appropriazione)

Modelli interni ed esterni e... testiDi ogni oggetto matematico abbiamo un modello mentale, fatto di tutte le immagini associate a quel modello.Talvolta le immagini sono coerenti, talvolta, inconsapevolmente non lo sono.Le immagini sono spesso legate all’intuizione (modelli intuitivi) ma in matematica non sempre si può intuire!

Alcuni testi richiamano i modelli intuitivi, alcuni tesi molto meno. A volte addirittura evocano il contrario…..

Modelli interni ed esterniCi sono modelli mentali che servono per ragionare, pensare, elaborare (interni)

Ci sono modelli esterni che ci permettono di comunicare con gli altri e confrontarci e imparare (esterni)

Noi come insegnanti vediamo quelli esterni…….

Modelli intuitiviOgni concetto (Fishbein, 1985), ogni operazione matematica (es. divisione) comprende tre livelli: - un livello formale legato alla struttura logico-deduttiva della matematica intesa anche come sistema formale con i suoi assiomi e le sue regole di inferenza. A questo livello si inserisce la definizione di divisione nel senso matematico più generale .- un livello algoritimico che si riferisce al modo in cui operiamo in senso matematico- un livello intuitivo che si riferisce al grado e al bisogno di accettazione da parte di un soggetto di un enunciato matematico come qualcosa di evidente e certo.

Modelli intuitiviIl termine intuitivo significa traducibile in un'azione significativa in termini comportamentali. Un significato intuitivo è il corrispondente comportamentale associato ad un concetto. Quando non è possibile creare questo ponte tra concetto e comportamento operativo si ricorre a modelli intuitivi che permettono di ricostruire la relazione tra concetti e operazioni ad un livello di astrazione maggiore. Questo salto di livello ad un livello intuitivo richiede mezzi semiotici più sofisticati, ad esempio ai diagrammi ad albero per risolvere i problemi di combinatoria o il passaggio ad una rappresentazione figurale per spiegare il significato del quadrato del binomio.

Didattica e modelli intuitiviIn didattica i problemi nascono quando:1) il livello (significato) formale e livello (significato)

intuitivo confliggono2) lo studente non riesce ad attribuire un livello intuitivo a

quello formale3) un livello formale superiore contrasta con un livello

intuitivo precedente molto forte che l'allievo non è disposto ad abbandonare.

Esempi con la divisione“15 amici si dividono 5 kg di biscotti. Quanti ne spettano a ciascuno?”Il soggetto esegue la divisione 15:5. L'alunno è sveglio si accorge subito di aver sbagliato e dice"Ho calcolato quanti amici a ciascun kg di biscotti" .--------------------------------------------------------------------- P1 Una bottiglia di aranciata, che contiene 0,75 l, costa 2 dollari.Qual è il prezzo di un litro?

P2 Una bottiglia di aranciata, che contiene 2 l, costa 6 dollari. Qualè il prezzo di un litro?

Esempi con la divisione

Esempi

Esempi con l’addizione

Congruenza e incongruenza (Duval)

Falsi amici!La ricerca delle parole chiave può essere utile in una fase iniziale ma va sempre problematizzata.

La comprensione del testo ha diversi livelli; uno di questi senz’altro è legato alla capacità di rappresentare il problema e collegare frasi a modelli di concetti……. non solo parole a operazioni!!!!!!

Rappresentazioni spontaneeMonaco A., Branchetti L (2014): Rappresentazione spontanee in evoluzione nel problem solving. 1° tipo: scelte dallo studente ma parte del bagaglio condiviso con la classe e con il docente2° tipo: create dallo studente, originali (D’Amore e Marazzani)Ruolo diverso: 2° tipo: accesso al problema1° tipo: condivisione di un linguaggio e di strategie coi compagni

Fil-rouge Per le rappresentazioni grafiche ma anche per il linguaggio ci sono due ruoli:

1) pensare, elaborare, ragionare, risolvere2) condividere, confrontare, comunicare, farsi valutare

Se lo studente non passa da una fase 1) e passa direttamente alla fase 2), l’attività è superficiale e non legata al pensiero.

TEP (D’Amore e Maier, 2002)

TEP (D’Amore e Maier, 2002)

TEP (D’Amore e Maier, 2002)

Appropriazione (Levrini et al.)

Appropriazione (Levrini et al.)

Appropriazione (Levrini et al.)

Appropriazione (Levrini et al.)

Appropriazione (Levrini et al.)

Appropriazione (Levrini et al.)

Appropriazione (Levrini et al.)

Appropriazione (Levrini et al.)

Riassumendo...1) L’accessibilità del testo condiziona l’approccio alla

matematica (fattori linguistici e fattori cognitivi)2) L’interpretazione del testo è collegata ai modelli intuitivi e alle

immagini dei concetti3) Se non c’è accesso al testo, non c’è attività dello studente ->

comportamento stereotipato, imitazione del linguaggio dell’insegnante, abbandono del proprio punto di vista, mancanza di reale apprendimento

4) C’è una fase interiore, “segreta”, nascosta che precede e condiziona la comunicazione esterna

Riassumendo...

5) Gli studenti hanno una loro visione, una loro idea di quello che stanno imparando, una loro “epistemologia” che emerge in alcune attività più che in altre

6) La valutazione può giocare un ruolo chiave: come si può osservare il vero modello dello studente? Come si può fare in modo che non ricorra a produzioni stereotipate? Come si può usare l’analisi linguistica per identificare lo “stato di attività” dello studente e anche il suo sapere? Quali attività possono connettere lingua, pensiero, azione e……….. matematica?