chƯƠng 2 biẾn ngẪu nhiÊn

CHƯƠNG 2BIẾN NGẪU NHIÊN

1

Khái niệm biến ngẫu nhiên

• Biến ngẫu nhiên là một đại lượng nhận giá trị phụ thuộc vào kết quả của phép thử ngẫu nhiên. Giá trị của nó là ngẫu nhiên không dự đoán trước được.

• Kí hiệu: X, Y, Z…

2

Ví dụ 1

• Lượng khách vào một cửa hàng trong ngày• Độ bền của một sản phẩm• Số sản phẩm hỏng trong 100 sản phẩm mới

nhập về• Chiều cao của một sinh viên gọi ngẫu nhiên

trong lớp này

3

Ví dụ 1

• Tung một đồng xu. Ta có các biến cố sau:– Đồng xu ngửa : “N”– Đồng xu sấp: “S”Đặt

Khi đó X là một biến ngẫu nhiên.Lưu ý: “X=1” hay “X=0” là các biến cố.

4

0

1

neáuSaápX

neáuNgöûa

Ví dụ 2

• Hộp có 6 viên bi gồm 4 trắng và 2 vàng. Lấy ngẫu nhiên 2 viên bi từ hộp. Đặt Y là số viên bi vàng có trong 2 viên lấy ra.

• Khi đó Y cũng là biến ngẫu nhiên.• Ta có:

• “Y=0”, “Y=1”, “Y<2” là các biến cố nào???

5

0 1 2; ;Y

Định nghĩa (tham khảo)

Biến ngẫu nhiên X là một ánh xạ từ không gian mẫu các biến cố sơ cấp vào tập số thực

Chú ý:- X là bnn- {X=x} hoặc {X<x}, … là biến cố.

6

:X R

X

Phân loại bnn

7

Rời rạc

Giá trị X liệt kê được thành một dãy số hữu hạn

hoặc vô hạn

Bnn X

Liên tục

Giá trị X lấp đầy một khoảng hay một số khoảng của trục số,

hoặc cả trục số

Luật phân phối xác suất

• Biểu diễn quan hệ giữa các giá trị của biến ngẫu nhiên và xác suất tương ứng.– Xác suất để bnn nhận một giá trị bất kì– Xác suất để bnn nhận giá trị trong một

khoảng bất kì• Dạng thường gặp: công thức, bảng ppxs,

hàm ppxs, hàm mật độ

8

Luật phân phối_Công thức

Ví dụ 1. Một người nhắm bắn một mục tiêu cho đến khi nào bắn trúng một phát thì thôi (số phát bắn không hạn chế). Xác suất bắn trúng của mỗi phát đều bằng p. Tìm qui luật ppxs của số viên đạn được sử dụng

9

Luật phân phối_Công thức

X: số viên đạn được sử dụngX có tập giá trị là N* hay X= 1,2,3….Ta có:

10

2

1

2 1

3 1

....................................

P X p

P X p p

P X p p

Luật phân phối_Công thức

• Qui luật ppxs của X là:

• X gọi là có phân phối hình học

• Tính xác suất sau:

11

1

1 2 ...n

P X n P X P X

11 1,2,3,...

nP X n p p n

Bảng ppxs• Ví dụ 2. Một hộp có 10 sản phẩm trong đó có

6 sản phẩm đạt loại A. Lấy ngẫu nhiên 2 sản phẩm. Lập bảng phân phối xác suất của số sản phẩm loại A lấy ra?

12

Bảng ppxsX là số sản phẩm loại A lấy ra. Ta có: X=0,1,2

Bảng ppxs:

13

1 124 64

2 210 10

26210

2 80 1

15 15

52

15

C CCP X P X

C C

CP X

C

X 0 1 2

P 2/15 8/15 5/15

Luật ppxs_Bảng

• Bảng phân phối xác suất của X.

• xi : giá trị có thể có của bnn X

• pi : xác suất tương ứng; pi=P(X=xi).

• Chú ý:

14

X x1…. x2

…. xn

P p1…. p2

…. pn

1

1n

ii

p

Luật ppxs_BảngVí dụ 2. Có 2 kiện hàng. Kiện 1 có 4 sản phẩm tốt, 3 sản

phẩm xấu. Kiện 2 có 6 sản phẩm tốt, 4 sản phẩm xấu. Lấy ngẫu nhiên từ kiện 1 ra 2 sản phẩm và từ kiện 2 ra 1 sản phẩm. Lập luật phân phối xác suất của số sản phẩm tốt trong 3 sản phẩm lấy ra?

Giải:Gọi Y là số sản phẩm tốt trong 3 sản phẩm lấy ra.- Y=0,1,2,3Gọi Ai là bc có i sản phẩm tốt lấy ra từ kiện 1.

Gọi Bj là bc có j sản phẩm tốt lấy ra từ kiện 2.

15

Luật ppxs_Bảng

16

24

2 1 27

6 6 2 11 163 1

10 35 35 35 35 .

CP Y P A B

C

23

0 0 0 0 27

4 20

10 35 .

CP Y P A B P A P B

C

1 1 24 3 3

1 0 0 1 2 27 7

4 6 111

10 10 35 . .

C C CP Y P AB A B

C C

1 124 34

2 0 1 1 2 27 7

4 6 162

10 10 35 . .

C CCP Y P A B AB

C C

Luật ppxs_Bảng• Bảng phân phối xác suất:

17

Y 0 1 2 3

P 2/35 11/35 16/35 6/35

Luật ppxs_ Hàm phân phối

• Hàm phân phối xác suất hay hàm phân bố, ký hiệu F(x), định nghĩa như sau:

• Hay

18

( ) xF x P X

( ) tF t P X

Luật ppxs_ Hàm phân phối• Cho bnn X có bảng pp

• Tìm hàm ppxs của bnn X và vẽ đồ thị• Tính

• F(x) có liên tục tại x với x-{0,1,2,3}• Tính P(1<X<3)

19

x 0 1 2 3f(x) 2/35 11/35 16/35 6/35

2 2

lim , lim , lim , limx xx x

F x F x F x F x

Luật ppxs_ Hàm phân phối

• Cho X là bnn rời rạc có tập giá trị được sắp

• Khi đó:

20

1 2 3 ....x x x i iP X x p và

1

1 1 2

1 2 2 3

1 1 1

0 ,

,

,

...............................

... ,k k k

x x

p x x x

F x p p x x x

p p x x x

--- - ---- - - ----

- - - ---

• Là xác suất để X nhận giá trị nhỏ hơn x, x là một giá trị bất kì.

• Cho biết tỉ lệ phần trăm giá trị của X nằm bên trái số x.

• Xác suất X thuộc [a,b)

21

)( ( ) ( )b F aP b Fa X

Luật ppxs_ Hàm phân phối

Luật ppxs_ Hàm phân phối

22

i) 0 1,F x x R

ii) F x là hàm tăng, liên tục bên trái. Nếu X là biến

ngẫu nhiên liên tục thì F x là hàm liên tục trên R.

iii) lim 0x

F F x

lim 1x

F F x

iv) P a X b F b F a .

Hàm mật độ xác suất

• Cho X là bnn liên tục• Người ta chứng minh được rằng

P(X=a)=0 với mọi giá trị của aĐể mô tả bnn liên tục ta dùng hàm mật độHàm f(x) là hàm mật độ của một biến ngẫu

nhiên X nào đó nếu thỏa mãn 2 điều kiện sau:

23

) 0 ,

) 1

i f x x R

ii f x dx

Hàm mật độ xác suất• Hàm mật độ xác suất của biến ngẫu nhiên liên

tục X là đạo hàm cấp 1 của hàm phân bố xác suất của biến ngẫu nhiên đó, ký hiệu f(x)

24

f x F x

Tính chất

• Một hàm số bất kì thỏa mãn 2 tính chất đầu tiên i) ii) sẽ là hàm mật độ của một biến ngẫu nhiên liên tục nào đấy. 25

) 0

) 1

)b

a

i f x x R

ii f x dx

iii P a X b f x dx

Hàm mật độ xác suất• Đồ thị hàm mật độ

• Diện tích dưới đồ thị f(x) và Ox là 1.

26

0

y

x

f x 1

f x dx

Hàm mật độ xác suất

• Lưu ý:

• Do đó:

27

( ) ( ) 0c

c

P X c f x dx

)( ) (

( ) ( )b

a

X b

P a X b P a X b f x dx

P a X b P a

Hàm mật độ xác suất

28

f(x)

( ) ( )b

a

P a X b f x dx

a b

( )P a X b P a X b

CÁC THAM SỐ ĐẶC TRƯNG• Kỳ vọng (Expected Value) E(X)• Phương sai (Variance) V(X), Var(X)• Độ lệch chuẩn (Standard Error)• Trung vị (Median) me

• Mốt (Mode) m0

• Hệ số biến thiên (Coefficient of Variation) CV• Hệ số bất đối xứng (Skewness) • Hệ số nhọn (Kurtosis)• Giá trị tới hạn

29

Kỳ vọng (Expected Value)

• Ký hiệu: E(X)• Định nghĩa:

• E(X) là trung bình theo xác suất của X• Có cùng đơn vị với X

30

-

,vôùi X rôøi raïc

. ( ) ,vôùi X lieân tuïc

i ii

x p

E Xx f x dx

Tính chất

31

1)Tínhchaát 1: E(C)=C vôùi C laø haèng soá

2)Tínhchaát 2: E(C+X)=C+E(X)

3)Tínhchaát 3: E(C.X)=C.E(X)

4)Tínhchaát 4: E(X Y)=E(X) E(Y)

5)Tínhchaát 5: E(X.Y)=E(X).E(Y) neáu X vaø Y ñoäc laäp

6)Tínhchaát 6: E(

)=

i ii

x p

Xx f x dx

Phương sai (Variance)

• Ký hiệu: V(X); Var(X)• Định nghĩa:

32

2 22Var X E X E X E X E X

22

22

,neáu X rôøi raïc.

,neáu X lieân tuïc.

i ii

x p E X

Var Xx f x dx E X

• XA, XB là lãi suất thu được trong một năm (đơn vị %) khi đầu tư vào 2 công ty A, B một cách độc lập. Cho biết quy luật phân phối của 2 biến ngẫu nhiên trên như sau:

33

XA 4 6 8 10 12P 0,05 0,1 0,3 0,4 0,15

XB -4 2 8 10 12 16P 0,1 0,2 0,2 0,25 0,15 0,1

• Đầu tư vào công ty nào có lãi suất kỳ vọng cao hơn?

• Đầu tư vào công ty nào có mức độ rủi ro ít hơn?

• Nếu muốn đầu tư vào cả 2 công ty thì nên đầu tư theo tỉ lệ nào sao cho:– Thu được lãi suất kỳ vọng lớn nhất?– Mức độ rủi ro về lãi suất thấp nhất?

34

Độ lệch chuẩn

• V(X) đo độ dao động, phân tán, đồng đều, tập trung của X.

• V(X) có đơn vị là bình phương đơn vị của X

• -(X) có đơn vị là đơn vị của X

35

X Var X

Tính chất của phương sai

36

2

1 1i

1)Tínhchaát 1: V(C)=0 vôùi C laø haèng soá

2)Tínhchaát 2: V(C+X)=V(X)

3)Tínhchaát 3: V(C.X)=C .V(X)

4) neáu X vaø Y ñoäc laäp

neáu caùc X ñoäc laäp toa

V(X Y)=V(X) V(Y)

V = øn phaànn n

i ii i

X V X

Biến ngẫu nhiên chuẩn hóa

• Cho X là bnn có kỳ vọng - và độ lệch chuẩn ->0.

• Đặt:

• Ta có:

• Biến Z gọi là bnn chuẩn hóa của bnn X.

37

XZ

0 1E Z V Z

Cho bnn X:

38

X 1 2 3 4 5 6P 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6

2 22 2

2 2 2 2

1 1 1 71. 2. ... 6. 3,5

6 6 6 2

( ) 3,5

1 1 1 911 . 2 . ... 6 .

6 6 6 6

35 35

12 12

E X

V X E X E X E X

E X

V X X

Ví dụ 1

E(X)=3,5 : giá trị trung bình theo xác suất của X là 3,5. Hay nếu ta thực hiện phép thử n lần (n đủ lớn) thì giá trị trung bình của X trong n lần đó sẽ xấp xỉ 3,5.

Chú ý: nếu X có đơn vị là m thì:E(X) có đơn vị là mV(X) có đơn vị là m2

-(X) có đơn vị là m

39

Ví dụ 1

Theo thống kê việc 1 người Mỹ 25 tuổi, xác suấtSống thêm 1 năm là 0.992Chết trong vòng 1 năm tới là 0,008.

Một chương trình bảo hiểm đề nghị người tham gia bảo hiểm cho sinh mạng người đó trong vòng 1 năm

Số tiền chi trả 1000 USD.Lệ phí tham gia là 10 USD.

40

Ví dụ 2

• Gọi X là lợi nhuận thu được trên 1 người tham gia bảo hiểm. Ta có:

• Ta thấy lợi nhuận kì vọng là một số dương nên công ty bảo hiểm có thể làm ăn có lãi.

• Tất nhiên tính trên điều kiện số người tham gia bảo hiểm là đủ lớn.

41

X -990 +10

P 0,008 0,992

990 0,008 10 0,992

2 USD

E X

E X

Ví dụ 2

42

X -990 +10

P 0,008 0,992

22 2

2

990 0,008 10 0,992 7940

7936 USD 89,08

E X

V X X USD

Ví dụ 2

43

Cho bnn liên tục X có hàm mật độ

a) Kiểm tra lại f(x).b) Tính E(X), V(X).

, 0,1

0 ,

2

0(

1)

,

x

x

xf x

Ví dụ 3

1

2

0

22

3E X xf x dx x dx

44

Tính V(X)

12 2 3

0

2

12

2

1 2 1

2 3 18

E X x f x dx x dx

V X

Ví dụ 3

Tuổi thọ của một loại côn trùng M là biến ngẫu nhiên X (đơn vị: tháng) với hàm mật độ như sau:

• Tìm hằng số k?• Xác định hàm ppxs?• Tính tuổi thọ trung bình của loại côn trùng trên.

45

2 4 , 0,4

0 ,

kx x xf x

nôi khaùc

Ví dụ 4

• 2 tính chất cơ bản hàm mật độ:

• Ta có:

• Thử lại thấy điều kiện đầu cũng thỏa.• Vậy k=3/64

46

) 0 , ) 1i f x x ii f x dx

Ví dụ 4

4

2

0

64 31 4 1

3 64

kf x dx kx x dx k

• Hàm phân phối xác suất:

• Tuổi thọ trung bình:

47

3

0 , 0

3 4,0 4

64 3 4

1 , 4

x

x

x xF x f t dt x

x

4

3

0

3 124 (tháng)

64 5E X x x dx

Ví dụ 4

Ví dụ 5

• Giả sử một cửa hàng sách định nhập về một số cuốn truyện trinh thám. Nhu cầu hàng năm về loại sách này như sau:

• Cửa hàng mua sách với giá 7USD một cuốn, bán ra với giá 10USD một cuốn nhưng đến cuối năm phải hạ giá với giá 5USD một cuốn. Cửa hàng muốn xác định số lượng nhập sao cho lợi nhuận kì vọng là lớn nhất.

48

Nhu cầu (cuốn) 30 31 32 33

P 0,3 0,15 0,3 0,25

Ví dụ 5

• Gọi Xi là số tiền lời khi nhập thêm i cuốn sách (ngoài 30 cuốn).

• Số tiền lời khi nhập 30+i (cuốn) là: Yi= 90+Xi

• Với X0:

• Bảng ppxs của X0 là:

• Vậy E(Y0)=E(90+ X0)=90+E(X0)=90

49

X0 0

P 1

Ví dụ 5• Với X1 ta có bảng ppxs:

• Vậy E(Y1)=90+E(X1)=91,5

• Với X2 ta có:

• Vậy E(Y2)=90+E(X2)=92,2550

X1 -2 3

P 0,3 0,7

X2 -4 1 6

P 0,3 0,15 0,55

Ví dụ

• Với X3 ta có bảng ppxs:

• Vậy E(Y3)=90+E(X3)=91,5• Ta thấy E(Y2) lớn nhất như vậy nếu nhập về 32

cuốn sách thì lợi nhuận kì vọng lớn nhất.

51

X3 -6 -1 4 9

P 0,3 0,15 0,3 0,25

Hệ số biến thiên

• Kí hiệu: CVx.

• Đo mức độ thuần nhất của bnn. CVx càng nhỏ bnn càng thuần nhất.

• So sánh độ phân tán của các bnn không có cùng đơn vị, không có cùng kỳ vọng.

52

0XXCV E X

E X

Median (Trung vị)

• Ký hiệu MedX, me là giá trị chia đôi hàm phân phối.

• Hay

53

0,5

0,5

e

e

P X m

P X m

0,5e eP X m P X m

Median (Trung vị)

• Nếu X liên tục thì:

54

0,5em

f x dx

1 0,5S

em

Median (Trung vị)

• Nếu X rời rạc thì:

55

1 1

1

, , 0,5

0,5

i i i i

e

i i i

m m x x F x F xm

x F x F x

neáu

neáu

10 F x iF x 1iF x

0,5e im x0,5

1,e i im m x x

ModXKý hiệu: Nếu X rời rạc:

Nếu X liên tục:

56

0x R

f m max f x

0 ii

P X m max P x x

0ModX m

Ví dụ 1Cho bnn X

Ta có:

Vậy57

X 1 2 3 4 5

P 0,1 0,2 0,15 0,3 0,25

X 1 2 3 4 5

F(X) 0 0,1 0,3 0,45 0,75

4Med X Mod X

Ví dụ 2

Cho bnn X có hàm mật độ:

a) Tìm MedX, ModX.b) Tìm E(X), Var(X) nếu có.

58

2

1

1phaân phoái Cauchyf x

x

Ví dụ 3

Cho bnn X có hàm mật độ:

a) Tìm MedX, ModX.b) Tìm E(X), Var(X) nếu có.

59

1sin , 0,

20 , 0,

x xf x

x

Ví dụ 4 (Khó)

• Cho bnn X có hàm mật độ:

a) Tìm MedX, ModX.b) Tìm E(X), Var(X) nếu có.

• Lưu ý tính chất:

60

2

21

2Standard Normal Distribution

x

f x e

2

21

12

x

e dx

Ví dụ 5

61

Cho bnn X có hàm mật độ xác suất:

Tìm ModX, MedX?Tìm E(X), Var(X)?Tìm hàm ppxs F(x)?

0 , 0

0, 0x

xf x

e x

Ví dụ 4

• Cho bnn X có hàm mật độ xác suất

• Tìm MedX và ModX?

62

32 ,0 2

40 , 0,2

x x xf x

x

Hệ số bất đối xứng

• Kí hiệu:

• Đo mức độ bất đối xứng của luật phân bố

63

3

3 3 ;E X

E XX

Hệ số bất đối xứng

• Đồ thị đối xứng

64

3 0

Hệ số bất đối xứng

• Hàm mật độ lệch về bên phải.

65

3 0

Hệ số bất đối xứng

• Hàm mật độ lệch về bên trái.

66

3 0

Hệ số nhọn

• Kí hiệu:

• Đặc trưng cho độ nhọn của hàm mật độ so với đồ thị của phân bố chuẩn.

• Biến ngẫu nhiên có phân bố chuẩn thì -4=3

67

4

4 4

E X

X

Hệ số nhọn

• -4>3 đồ thị hàm mật độ nhọn hơn so với phân phối chuẩn

• -4=3 đồ thị hàm mật độ tù hơn so với phân phối chuẩn

68

Hệ số nhọn

• Đồ thị hàm mật độ của bnn pp chuẩn

69

4 3 4 3 4 3

2

221

2

x

f x e

Kiểm tra 30’ lớp 187Bài 1. Một hộp có 10 sản phẩm. Gọi X là số phế phẩm

trong hộp, X có bảng phân phối xác suất như sau:

• Lấy ngẫu nhiên từ hộp ra 2 sản phẩm. Tính xác suất lấy được 1 phế phẩm và 1 chính phẩm.

Bài 2. Cho bnn X có hmd:

Biết E(X)=0,6. Tìm a và b.70

X 0 1 2P 0,6 0,3 0,1

2 , 0,1

0 , 0,1

ax bx xf x

x

Hệ số nhọn

• Đồ thị hàm mật độ của bnn pp chuẩn

71

4 3 4 3 4 3

2

221

2

x

f x e

Kiểm tra 30’• 1. Một lô sản phẩm gồm 100 sản phẩm trong đó

có 90 sản phẩm tốt và 10 phế phẩm. Chọn ngẫu nhiên ra 3 sản phẩm (chọn 1 lần). Gọi X là số sản phẩm tốt trong 3 sản phẩm lấy ra.

• Tìm phân phối xác suất của X. • Viết hàm phân phối và tính E(X); Var(X) và

P(X≥1)?

72

2 0 6 0 7 0 4 Tìm:

. , ; , ; , .

) ; ) ; )

Cho P A P B P AB

a P A B b P A A B c P A B B