cinematica en una y dos dimensiones fÍsica a
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Cinemática en una y dos
dimensiones
Mg. Marcos Guerrero 1
2
¿Qué es la cinemática?
Parte de la mecánica que estudia los fenómenos de reposo y movimiento que tiene los cuerpos u objetos sin importar las causas que lo producen.
¿Qué causa el reposo y el movimiento de los cuerpos?
Las fuerzas.
¿Qué es la mecánica? Parte de la Física que estudia los fenómenos de reposo y movimiento que tienen los cuerpos u objetos.
Se clasifica en:
Cinemática.
Dinámica.
3
Partícula. Definición:
Imaginemos que tenemos un vehículo que se mueve en una trayectoria rectilíneo, tal como se muestra en la figura y que además consideraremos 3 puntos A, B y C que pertenecen al vehículo.
Es un cuerpo u objeto cuyas dimensiones no afectan el estudio de su reposo y su movimiento, es decir, tiene dimensiones que comparadas con otros que intervienen en un fenómeno resulta despreciable.
Ejemplo:
4
Es importante indicar que esta definición es una idealización del fenómeno del reposo y del movimiento.
Nos podemos dar cuenta que los puntos A, B y C recorren la misma distancia, realizan el mismo desplazamiento, tienen la misma rapidez, etc.. Por lo tanto basta con analizar un solo punto y se estudia todo el fenómeno.
Conclusión:
5
Punto de referencia.
Es un punto u objeto material que describe el reposo y el movimiento que tiene una partícula, así como también el tipo de trayectoria que realiza.
Definición:
6
Pregunta de opción múltiple 7
Sistema o marco de referencia.
En mecánica clásica es un sistema de coordenadas en una, dos o tres dimensiones que describe la posición de una partícula en un momento dado.
Definición:
En mecánica relativista es un sistema de coordenadas de posición y tiempo que describe a una partícula.
8
Antes de describir un movimiento, se debe fijar un sistema de coordenadas, definiendo el origen y seleccionando una dirección positiva.
9
10
Trayectoria.
Es un conjunto de todas las posiciones que realiza una partícula en movimiento.
Definición:
Tipos de trayectorias:
Rectilínea: Si la partícula describe su recorrido una línea recta.
Curvilínea: Si la partícula describe su recorrido una línea curva.
11
Reposo y movimiento. Reposo: una partícula está en reposo si no cambia de posición con respecto a un sistema de referencia en el tiempo.
Movimiento: una partícula está en movimiento si cambia de posición con respecto a un sistema de referencia en el tiempo.
El reposo y el movimiento son relativos, es decir, dependen de un sistema de referencia.
12
Tiempo (t).
Es un escalar, sobre el cual no tenemos ninguna influencia y que transcurre en forma independiente.
Definición:
Las unidades de t en el S.I.: s.
¿El tiempo es una cantidad física relativa o absoluta?
Desde el punto de vista de la mecánica clásica el tiempo es absoluto, en cambio, desde el puntos de vista de la mecánica relativista el tiempo es relativo.
13
Es una cantidad vectorial, cuya dirección va del origen de coordenadas hasta donde se encuentra la partícula en un momento dado.
Definición:
Las unidades de en el S.I.: m. x!
Vector posición ( ). x!14
r! Simbología utilizada por lo general en dos y tres dimensiones.
x! Simbología utilizada por lo general en una dimensión.
15
VECTOR POSICIÓN
Z
r (t)
Y X
Segmento orientado desde el punto de referencia al punto que ocupa la partícula en un instante t.
En un sistema de coordenadas cartesianas establecido convencionalmente por el observador que describe el movimiento
kzjyixtr ˆˆˆ)( ++=!
FUNCIÓN POSICIÓN VS TIEMPO
Generalmente, la función posición puede expresarse por una o por una combinación de las funciones reales de variable real más conocidas en el análisis matemático.
( ) ( ) ( )ktzjtyitxtr!" )(ˆ)(ˆ)()( ++=
( ) ( ) ( )ktjttittr!" 5cosˆ48ˆ15)( 2 ++++=
Pregunta de opción múltiple 18
Es una cantidad vectorial, cuya magnitud es la distancia más corta entre una posición inicial y una posición final y que se dirige desde la posición inicial a la posición final.
Definición:
Las unidades de en el S.I.: m. x!Δ
Vector desplazamiento ( ). x!Δ
19
OF rrr !!!−=Δ Simbología utilizada por lo general en
dos y tres dimensiones.
OF xxx !!!−=Δ Simbología utilizada por lo general en
una dimensión.
20
Marcos Guerrero
21
kzjyixr FFFFˆˆˆ ++=
!
OF rrr !!!−=Δ
kzzjyyixxr OFOFOFˆ)(ˆ)(ˆ)( −+−+−=Δ
!
kzjyixr ˆˆˆ Δ+Δ+Δ=Δ!
kzjyixr OOOOˆˆˆ ++=
!
Es una cantidad escalar, que se define como la longitud de la trayectoria.
Definición:
Las unidades de e en el S.I.: m.
Distancia recorrida ( e ). También llamado espacio recorrido.
22
Diferencias entre distancia recorrida y desplazamiento.
Para comparar el vector desplazamiento y la distancia recorrida, tenemos que considerar la magnitud del vector desplazamiento.
Distancia recorrida Desplazamiento
Cantidad escalar Cantidad vectorial
Me interesa trayectoria No me interesa trayectoria
23
24
Conclusión:
Siempre re !Δ≥
Distancia recorrida en trayectorias circulares. Imaginemos que deseamos encontrar la distancia recorrida por el punto P que pertenece a un disco sólido en rotación en un cierto intervalo de tiempo.
Si conocemos el radio R de la trayectoria circular y el ángulo θ barrido por la partícula podemos utilizar la ecuación:
Re θ=Unidades en el S.I.:
e(m) θ(rad) R(m)
Factor de conversión importante:
πrad = 1800
25
Es una cantidad vectorial, que se define como el cociente entre el vector desplazamiento y el intervalo de tiempo trascurrido en dicho desplazamiento.
Definición:
Velocidad media ( ). mV!
También llamado velocidad promedio.
Simbología utilizada por lo general en una dimensión.
OF
OFm
m
ttxxV
txV
−
−=
Δ
Δ=
!!!
!!
Las unidades de en el S.I.: m/s. mV!
26
tr
Vm Δ
Δ=!!
Magnitud de la velocidad media.
tx
Vm Δ
Δ=!!
OF
OFm
m
ttrrV
trV
−
−=
Δ
Δ=
!!!
!!
Simbología utilizada por lo general en dos y tres dimensiones.
27
Para la gran mayoría de los movimiento la velocidad media no es real, a excepción del reposo y del movimiento rectilíneo uniforme.
Significado físico.
Si una partícula esta en movimiento, el significado físico de la velocidad media es: cuanto se desplaza en promedio la partícula por cada intervalo de tiempo.
La velocidad media es un vector. ¿Qué dirección tiene? La misma dirección del vector desplazamiento
28
Es una cantidad escalar, que se define como el cociente entre la distancia recorrida y el intervalo de tiempo trascurrido en dicho distancia.
Definición: También llamado rapidez promedio.
Rapidez media ( ). mR
teRm Δ
=
Las unidades de en el S.I.: m.s-1. mR
Marcos Guerrero 29
29
Conclusión:
Siempre mm VR
!≥
30
Es una cantidad vectorial, que se define como el límite del cociente entre el vector desplazamiento y el intervalo de tiempo trascurrido en dicho desplazamiento, cuando el intervalo de tiempo tiende a cero .
Definición:
Velocidad instantánea ( ). iV!
También llamado velocidad ( ). V!
Las unidades de en el S.I.: m.s-1. iV!
Vi =
Δt→0lim Δ
rΔt
=∂r∂t
mt
i VV!!
lim0→Δ
=
La velocidad instantánea es real.
31
32
La velocidad instantánea es un vector. ¿Qué dirección tiene? La misma dirección del vector desplazamiento
r!Δ
C D E
F
A
G
H
y
x
A
B
Trayectoria
iV!
La dirección de la velocidad instantánea en un punto de su trayectoria es tangente.
Imaginemos que una partícula se mueve del punto A hasta el punto B por la trayectoria mostrada en la siguiente figura.
33
Podemos observar que conforme también ,sin embargo el cociente nos da el valor de la velocidad instantánea.
0!!
→Δr0→Δt
trΔ
Δ!
A la magnitud de la velocidad instantánea o velocidad se le llama rapidez instantánea o rapidez.
=iV!
Rapidez instantánea.
=V!
Rapidez .
34
Velocidad Instantánea
tdrd !! =v
kji zyx⌢⌢⌢" vvvv ++=
tdzdtdydtdxd
z
y
x
=
=
=
v
v
v
Problema 36
Solución. 37
Solución. 38
Es una cantidad vectorial, que se define como el cociente entre el vector variación de velocidad y el intervalo de tiempo transcurrido en dicha variación .
Definición:
Aceleración media ( ). ma!
También llamado aceleración promedio.
tV
am Δ
Δ=
!!
Las unidades de en el S.I.: m.s-2. ma!
OF
OFm tt
VVa−
−=
!!!
39
am =ΔVΔt
Magnitud de la aceleración media.
Para la gran mayoría de los movimiento la aceleración media no es real, a excepción del reposo, movimiento rectilíneo uniforme y del movimiento rectilíneo uniformemente variado.
Significado físico. Si una partícula esta en movimiento, el significado físico de la aceleración media es: cuanto varía la velocidad en promedio la partícula por cada intervalo de tiempo.
40
La aceleración media es un vector. ¿Qué dirección tiene? La misma dirección del vector variación de velocidad.
41
Es una cantidad vectorial, que se define como el límite del cociente entre el vector variación de velocidad y el intervalo de tiempo trascurrido en dicha variación de velocidad, cuando el intervalo de tiempo tiende a cero .
Definición:
Aceleración instantánea ( ). ia!
También llamado aceleración ( ). a!
Las unidades de en el S.I.: m.s-2. ia!
tV
tVa
ti ∂
∂=
Δ
Δ=
→Δ
!!! lim
0
mt
i aa !! lim0→Δ
=
La aceleración instantánea es real.
42
Podemos observar que conforme también ,sin embargo el cociente nos da el valor de la aceleración instantánea.
0!!
→ΔV0→Δt
tVΔ
Δ!
43
Aceleración Instantánea
tdda v!! =
kajaiaa zyx⌢⌢⌢" ++=
2
2
2
2
2
2
v
v
v
dtzd
tdda
dtyd
tdd
a
dtxd
tdda
zz
yy
xx
==
==
==
Caso en que a = a(x)
dtda v
=
dxda
dtdx
dxda vvv
=→=
∫∫ =v
v00
dv v)(x
x
dxxa
∫=−x
x
dxxa0
)(2vv 20
2
Gráficas x vs. t, v vs. t y a vs. t. Existen, por lo general, 3 tipos de gráficas que se utilizan comúnmente para describir el reposo y el movimiento de una partícula, estas son:
• Gráfica posición vs. tiempo. • Gráfica velocidad vs. tiempo. • Gráfica aceleración vs. tiempo.
Pueden existir otros tipos de gráficas para describir el reposo y el movimiento de una partícula, como por ejemplo: • Gráfica velocidad vs. posición. • Gráfica velocidad vs. aceleración. • Gráfica distancia vs. tiempo. • Gráfica rapidez vs. tiempo.
46
Estudiando la gráfica posición vs. tiempo tenemos que: La pendiente en una gráfica posición vs. tiempo nos da la velocidad.
OF
OFtx
ttxxv
−
−== Δ
Δ
x
t 0
Punto inicial
Punto final
xO
tO tO
xF
tF
x
t 0
Velocidad instantánea
Punto inicial
Punto final
xO
tO
xF
tF
47
v = ∂x∂t
Estudiando la gráfica velocidad vs. tiempo tenemos que:
La pendiente en una gráfica velocidad vs. tiempo nos da la aceleración.
OF
OFtv
ttvva
−
−== Δ
Δ
v
t 0
Punto inicial
Punto final
vO
tO tO
vF
tF
v
t 0
aceleración instantánea
Punto inicial
Punto final
vO
tO
vF
tF
48
a = ∂v∂t
El área bajo la curva en una gráfica velocidad vs. tiempo nos da el desplazamiento.
OF xxx −=Δ
)(+=Δx
v
t 0
v
t 0 )(−=Δx
49
Desplazamiento por integración 50
v
t to
∫=−t
t
dtxx0
v 0
0xxx −=Δ
t
v
El área bajo la curva en una gráfica aceleración vs. tiempo nos da la variación de velocidad.
OF VVV −=Δ
)(+=ΔV
a
t 0
a
t 0 )(−=ΔV
51
Variación de velocidad por integración 52
a
t to
a
∫=−t
t
dt0
av v 0
0vvv −=Δ
t
ECUACIONES GENERAL DE LA CINEMATICA 1D
∫+=t
t
dttxtx0
)(v)( 0∫+=t
t
dttat0
)(v)(v 0
∫=−x
x
dxxa0
)(2vv 20
2
a = dvdt
v = dxdt
MOVIMIENTO RECTILÍNEO UNIFORME (M.R.U.)
t
txx(t) v0 +=
constante v)(v ==t
0=a
t
v
t
x
0xx −
a
vp =endiente
MOVIMENTO RECTILÍNEO UNIFORMEMENTE VARIADO (M.R.U.V)
200 2
1 v tatxx(t) ++=
constante == aa(t)
at+= 0vv
t
v
t
x
0xx −
a
MOVIMIENTO RECTILÍNEO UNIFORMEMENTE VARIADO (M.R.U.V.)
constante == aa(t)
( )00vv tta −+=
( ) ( )20000 21 v ttattxx(t) −+−+=
)(2 vv 020
2 xxa −=−
Movimiento Vertical
g
v0
gaa(t) - ==
t
v
t
y
a
y(t) = y0 + v0 t − 12g t2
y
v(t) = v0 − g t
g02v
g0v
g0v
g02v
g−
Pregunta conceptual 58
Respuesta. 59
Problema
60
Solución.
61
Problema. 62
Solución 63
Solución 64
Problema. 65
Solución 66
67
Problema.
Solución
La bolsa de arena esta a 40.9 m sobre el piso.
La bolsa de arena esta a 40.1 m sobre el piso.
Luego:
T de ser positivo por lo tanto t= 3.41 s.
68
Solución continuación
La máxima altura sobre el suelo es 41.3 m
69
∫
∫
∫
+=→=
+=→=
+=→=
t
tz
t
ty
t
tx
dtzzdtdz
dtyydtdy
dtxxdtdx
0
0
0
v v
v v
v v
0z
0y
0x
dtrd v !! =
∫+=t
t
dtrr0
v 0!"!
ECUACIONES GENERALES DE LA CINEMATICA 3D
(1) )(v)(v0
0 ∫+=t
t
dttat !!!
(2) )(v)(0
0 ∫+=t
t
dttrtr !!!
(3) )(v21v
21
0
20
2 rdrar
r
!!!!
!•=− ∫
Movimiento Parabólico
Mg. Marcos Guerrero 72
Movimiento parabólico. • Es un movimiento en dos dimensiones:
• Fenómeno en el que se desprecia la resistencia del aire por lo cual su trayectoria es una parábola perfecta.
En el eje horizontal (eje x) con un M.R.U. ( ) 0!!
=Xa
En el eje vertical (eje y) con un M.R.U.V. ( ) 2.81,9 −== smgaY!!
73
En este movimiento se desprecia la curvatura la Tierra.
En el gráfico anterior podemos observar que si un objeto se encuentra a una altura de 5 m sobre la superficie de la Tierra y es lanzado horizontalmente con diferentes velocidades el cuerpo se desplaza verticalmente 5m en el primer segundo. El objeto al ser lanzado con una velocidad horizontal de 8km.s-1 y desde una altura de 5 m sobre el suelo , el objeto entra en orbita.
74
75
Ecuaciones del movimiento parabólico. Recordemos que en el eje horizontal tiene un M.R.U. ( ) por lo tanto la ecuación será:
0!!
=Xa
tVXX OXOF +=
En el eje vertical tiene un M.R.U.V. ( ) por lo tanto las ecuaciones serán:
1.81,9 −== smgaY!!
gtVV OYFY +=
)(222OFOYFY yygVV −+=
2
21 gttVyy OYOF ++=
No olvidar que la posición inicial (yO), la posición final (yF), las componentes de la velocidad inicial (VOX y VOY), la componente de la velocidad final (VFY) y la aceleración de la gravedad (g) son vectores.
76
Las ecuaciones anteriores las podemos dejar con vector desplazamiento.
gtVV OYFY +=
ygVV OYFY Δ+= .222
2
21 gttVy OY +=Δ
tVX OX .=Δ
77
Imaginemos que tenemos un objeto que lanza con una velocidad y un ángulo con la horizontal, tal como se muestra en la figura.
OV!
θ
En cada punto de la trayectoria el vector velocidad es siempre tangente.
78
Del gráfico anterior podemos determinar las componentes de la velocidad inicial utilizando las funciones trigonométricas por lo tanto tenemos:
O
OX
VVCos =θ θCosVV OOX =
O
OY
VVSen =θ θSenVV OOY =
79
Del gráfico anterior, si suponemos que conocemos las componentes de la velocidad inicial de lanzamiento, podemos determinar la rapidez de lanzamiento y el ángulo de lanzamiento medido con respecto a la horizontal mediante el teorema de Pitágoras y la función trigonométrica tangente, por lo tanto tenemos:
22OYOXO VVV +=
OX
OY
VVTan =θ
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛= −
OX
OY
VVTan 1θ
222OYOXO VVV +=
80
81
Del gráfico anterior, si suponemos que conocemos las componentes de la velocidad en un cierto instante de tiempo, podemos determinar la rapidez V y el ángulo α medido con respecto a la horizontal, mediante el teorema de Pitágoras y la función trigonométrica tangente, por lo tanto tenemos:
22YX VVV +=
X
Y
VVTan =α
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛= −
X
Y
VVTan 1α
222YX VVV +=
82
Movimiento de un objeto que es lanzado desde la parte superior de un edificio con una velocidad VO y con un ángulo αO medido con respecto a la horizontal.
83
Gráficas Y-X, Y-t, X-t, Vx-t, Vy-t, ax-t y ay-t.
Y
X 0
84
X
t 0
Y
t 0
85
VX
t 0
VY
t 0
86
aX
t 0
aY
t 0
87
Movimiento de un objeto que es lanzado desde la parte superior de una mesa con una velocidad horizontal VOX.
88
Gráficas Y-X, Y-t, X-t, Vx-t, Vy-t, ax-t y ay-t.
Y
X 0
89
X
t 0
Y
t 0
90
VX
t 0
VY
t 0
91
aX
t 0
aY
t 0
92
Descomposición del movimiento de un objeto que es lanzado desde la parte superior de una mesa con una velocidad horizontal.
93
Trayectoria de un proyectil con o sin gravedad en un medio donde se desprecia la resistencia del aire.
Del gráfico, podemos observar que la trayectoria del proyectil sin gravedad es rectilínea, en cambio, con gravedad la trayectoria es parabólica.
94
Lanzamiento de un proyectil con una misma rapidez pero con diferentes ángulos en medio donde se desprecia la resistencia del aire.
Del gráfico, podemos observar que el máximo alcance horizontal ocurre a un ángulo de 450 y que además existen dos ángulos que son complementarios que realizan un mismo alcance horizontal.
95
Lanzamiento de un proyectil con una misma rapidez pero con diferentes ángulos en medio donde se considera la resistencia del aire.
Del gráfico, podemos observar que para el ángulo específico de 450 , la pelota de golf realiza un mayor alcance horizontal sin rozamiento con el aire que en el caso con rozamiento con el aire. Además si consideramos la resistencia del aire para tener un máximo alcance debería lanzarse la pelota de golf con un ángulo ligeramente menor a los 450 .
96
¿Impacta o no impacta el proyectil al mono? 97
Preguntas conceptuales.
En un movimiento parabólico ¿En qué condiciones ocurre que la velocidad y la aceleración de la gravedad tienen la misma dirección?
98
Preguntas conceptuales.
En un movimiento parabólico ¿En qué punto del movimiento ocurre que la velocidad vertical es un vector nulo?
99
Preguntas conceptuales.
En un movimiento parabólico, cuando un objeto pasa por una misma posición vertical tanto de subida como de bajada, podemos decir que las velocidades en este punto son iguales” ¿Por qué si? ¿Por qué no? Explique su respuesta.
100
Problema. 101
Solución. 102
Movimiento Relativo
Mg. Marcos Guerrero
103
Marcos Guerrero
104
Imaginemos que tenemos dos sistemas de coordenadas espaciales S y S´, tal como se muestra en la figura, ambos sistemas van hacer cronometrados por dos relojes que inicialmente están en cero.
X
Y
ZSistema de referencia S
0
Partícula P
,X
,Y
,ZSistema de referencia S´
0
Adicionalmente tendremos una partícula que será analizada desde las dos sistemas de referencia.
Marcos Guerrero
105
Imaginemos que el sistemas de coordenadas S está en reposo con respecto a Tierra, el sistema de coordenadas S´ está en movimiento con respecto al sistema de coordenadas S y la partícula está en movimiento con respecto a los dos sistemas de referencia.
Partícula P
,X
,Y
,ZSistema de referencia S´
0
X
Y
ZSistema de referencia S
0 SSr ,
!
PSr!
,PSr!
Podemos notar que para ambos sistemas de referencia el tiempo es el mismo.
Marcos Guerrero
106
De la gráfica anterior podemos obtener la ecuación vectorial:
SSPSPS rrr ,,
!!!+=
A partir de esta ecuación podemos obtener las ecuaciones de velocidad y aceleración:
SSPSPS VVV ,,
!!!+=
SSPSPS aaa ,,
!!!+=
ECUACIONES DE TRANSFORMACIONES GALILEANAS.
SSPSPS rrr ,,
!!!+=
SSPSPS VVV ,,
!!!+=
SSPSPS aaa ,,
!!!+=
Estas ecuaciones son validas si los sistemas de referencia y las partículas tienen velocidades pequeñas comparadas con la velocidad de la luz.
107
108
EJEMPLOS DONDE SE APLICA LAS POSICIONES, VELOCIDADES Y ACELERACIONES RELATIVAS.
109
110
Preguntas conceptuales.
Un paquete se deja caer de un avión que vuela en línea recta con altitud y rapidez constantes. Si se pudiera despreciar la resistencia del aire, ¿qué trayectoria del paquete observaría el piloto? ¿y una persona en Tierra?
111
Preguntas conceptuales.
Las gotas de lluvia suelen dejar rayas diagonales en las ventanas laterales de un auto en movimiento. ¿por qué?
112
Preguntas conceptuales.
Imagine que está en la ribera oeste de un río que fluye al norte a 1,2 m/s. Usted nada con una rapidez de 1,5 m/s relativa al agua y el río tiene 60 m de anchura. ¿qué trayectoria relativa le permite cruzar en el menor tiempo? Explique su razonamiento.
113
Problema
114
Solución.
115
Movimiento Circular
Mg. Marcos Guerrero
116
Es una cantidad vectorial.
θ!
VECTOR POSICIÓN ANGULAR ( ).
En magnitud la posición angular se la mide con respecto a una línea de referencia.
θ!+ θ
!-
La posición angular varia en magnitud entre . 00 3600 ≤≤θ
117
118
La dirección del vector posición angular se determina con la regla de la mano derecha.
La unidad de la en el S.I. es el: radian (rad) θ!
¿Cómo se determina la dirección de la posición angular?
Regla de la mano derecha: Se toma el eje de rotación con la mano derecha de modo que se rodea el eje en el mismo sentido de rotación del sistema, al levantar el dedo pulgar apuntando a lo largo del eje de rotación nos dará la dirección del vector posición angular.
119
Es una cantidad vectorial.
θΔr
VECTOR DESPLAZAMIENTO ANGULAR ( ).
Se define: OF θθθ!!!
−=Δ
120
121
Es una cantidad vectorial.
VELOCIDAD ANGULAR MEDIA ( ). mω!
También es llamado velocidad angular promedio.
Se define:
No es real a excepción del reposo y del movimiento circular uniforme.
La unidad en el S.I. de la es: rad.s-1 mω!
tm Δ
Δ=
θω
!!
OF
OFm tt −
−=
θθω
!!!
122
¿Qué dirección tienen la velocidad angular media?
El vector velocidad angular media tiene la misma dirección del vector desplazamiento angular
123
Es una cantidad vectorial.
VELOCIDAD ANGULAR INSTANTÁNEA ( ). iω!
También es llamado velocidad angular.
Se define:
Es real.
La unidad en el S.I. de la es: rad.s-1 iω!
ttti ∂
∂=
Δ
Δ==
→Δ
θθωω!
!!0
lim
Otra definición: mti ωωω!!!
0lim→Δ
==
A veces la velocidad angular viene dada en R.P.M. (revoluciones por minuto= ). 1min. −rev
124
A la magnitud de la velocidad angular instantánea o velocidad angular se le llama rapidez angular instantánea o rapidez angular.
=iω!
Rapidez angular instantánea.
=ω!
Rapidez angular .
La dirección del vector velocidad angular se determina con la regla de la mano derecha.
¿Cómo se determina la dirección de la velocidad angular?
Regla de la mano derecha: Se toma el eje de rotación con la mano derecha de modo que se rodea el eje en el mismo sentido de rotación del sistema, al levantar el dedo pulgar apuntando a lo largo del eje de rotación nos dará la dirección del vector velocidad angular.
Velocidad angular instantánea
Velocidad angular instantánea en el instante t es el límite de la sucesión de valores de velocidad angular media en los intervalos (t, t + Δt) cuando Δ t tiende a cero.
ω(t) = límΔ t→0
θ(t +Δt)−θ(t)Δt
ω(t) = límΔ t→0
ΔθΔt
Velocidad angular instantánea
La definición dada es equivalente a decir que la velocidad angular en el instante t es la derivada de la función posición en ese instante, lo cual se expresa de las siguientes maneras:
ω(t) = dθdt
ω(t) =θ•
(t)
ω(t) =θ ´. (t)
Interpretación geométrica de la velocidad angular instantánea
t t 1tt Δ+
2tt Δ+
ó ω(t) = dθdt
ω(t) = límΔt→0
ΔθΔt
θ
Gráfico vs t y problema inverso
t t dtt +
dθ
dθ =ω dt
ω
ω
ω
Gráfico vs t y problema inverso
t0 t
θ −θ0 = ω dtt0
t
∫
Δθ =θ −θ0
ω
ω
t
130
131
Los puntos P y Q de un DVD se mueven en un intervalo de tiempo que tiende a cero, indique y justifique ¿cuál de los puntos tiene mayor velocidad angular ?
Aceleración angular media
Aceleración angular media es la razón de cambio de la velocidad angular respecto al tiempo, es decir, la aceleración angular media en el intervalo (t1,t2) está dada por la razón:
12
12
ttm −−
=ωω
α
Marcos Guerrero
133 ¿Qué dirección tienen la aceleración angular media?
El vector aceleración angular media tiene la misma dirección del vector variación de velocidad angular.
Aceleración angular instantánea
Aceleración angular instantánea en el instante t es el límite de la sucesión de valores de aceleración angular media en los intervalos (t, t + D t) cuando D t tiende a cero.
ttttlím(t)
t Δ−Δ+
=→Δ
)()(0
ωωα
tlímt Δ
Δ=
→Δ
ωα
0t)(
Marcos Guerrero
135
La velocidad angular y la aceleración angular tienen la misma dirección cuando la rapidez angular aumenta, en cambio, la velocidad angular y la aceleración angular tienen direcciones opuestas si la rapidez angular disminuye..
Interpretación geométrica de la aceleración angular instantánea
t t 1tt Δ+
2tt Δ+
dtdt ω
α =)( ótlímtt Δ
Δ=
→Δ
ωα
0)(
ω
Gráfico vs t y problema inverso
t t dtt +
ωd
dtd αω =
α
α
α
Gráfico vs t y problema inverso
t t 0t
∫=−t
t
dt0
0 αωω
0ωωω −=Δ
α
α
PROBLEMA GENERAL
Suponer que conocemos en cada instante t la aceleración angular de un móvil (t) así como los valores de la posición angular 0 y la velocidad angular 0 en un instante t0. Hallar la velocidad angular (t) y la función posición angular (t)
θ(t) =θ0 + ω(t) dtt0
t
∫
∫+=t
t
dttt0
)()( 0 αωω
αθ
ω
θω
Caso en que
α =dωdθ
dθdt
→ α =ωdωdθ
α(θ ) dθθ0
θ
∫ = ω dωω0
ω
∫
ω 2 −ω02 = 2 α(θ ) dθ
θ0
θ
∫
dtdω
α =
α =α θ( )
MOVIMENTO CIRCULAR UNIFORME (MCU)
t
θ (t) =θ0 +ω t
constante )( ==ωω t
0=α
t
ω
t
θΔθ =θ −θ0
α
ω=endientep
MOVIMENTO CIRCULAR UNIFORMEMENTE VARIADO
θ (t) =θ0 +ω0 t + 12α t2
constante ==αα(t)
tαωω += 0
t
ω
t
Δθ =θ −θ0
α
t
θ
MOVIMENTO CIRCULAR UNIFORMEMENTE VARIADO
constante ==αα(t)
( )00 tt −+= αωω
θ (t) =θ0 +ω0 t − t0( )+ 12α t − t0( )2
ω 2 −ω02 = 2α(θ −θ0 )
α = dωdθ
dθdt
Para obtener la última ecuación se usa la identidad:
Ejemplo 1.
Un cuerpo inicialmente en reposo (θ = 0, ω = 0 en instante t = 0) es acelerado en una trayectoria circular de 1,3 m de acuerdo a la ecuación:
1648120 2 +−= ttα
a) Encontrar la velocidad angular y la posición angular del cuerpo
en función del tiempo.
145
PERIODO Y FRECUENCIA.
tiempo número de vueltas o revoluciones o ciclos
PERIODO (T). Definición:
ntT =
La unidad en el S.I. de la es: T sciclosvueltasrevs ,.,.,. 111 −−−
La revolución, la vuelta y el ciclo son unidades adimensionales.
Es una cantidad escalar que se define como el tiempo total que tarda un objeto con M.C.U. por unidad de vuelta (revolución o ciclo).
146
FRECUENCIA (f). Definición:
tiempo
número de vueltas o revoluciones o ciclos
tnf =
La unidad en el S.I. de la es: f Hzsciclosvueltasrev ,.,.,. 111 −−−
La revolución, la vuelta y el ciclo son unidades adimensionales.
Es una cantidad escalar que se define como el número de vueltas (revoluciones o ciclos) que realiza un objeto con M.C.U. por unidad de tiempo.
147
Factor de conversión: radciclorevvuelta π2111 ===
RELACIÓN ENTRE EL PERIODO Y LA FRECUENCIA.
ntT =
tnT 1
=
f
fT 1=
El periodo y la frecuencia sólo existen en el movimiento circular uniforme.
148
RELACIÓN ENTRE LA RAPIDEZ ANGULAR, LA RAPIDEZ TANGENCIAL Y EL PERIODO. En una vuelta completa:
Tt
rs
=
=
=
πθ
π
22 Utilizando las ecuaciones :
t
tsV
θω =
=
Entonces tenemos:
TrV π2
=
Tπ
ω2
=
ECUACIONES A UTILIZAR EN EL MOVIMIENTO CIRCULAR UNIFORME.
θrs =
ωrV =
rVaC2
=
tωθ =
Vts =
ntT =
tnf =
TrV π2
=
Tπ
ω2
=
fT 1=
Las primeras 3 ecuaciones son válidas para todos los tipos de movimiento circular.
149
150
RELACIÓN ENTRE LA RAPIDEZ TANGENCIAL Y LA RAPIDEZ ANGULAR.
Marcos Guerrero
• A la magnitud de la velocidad tangencial (velocidad lineal) se la llama rapidez tangencial.
!v = cte• Para le demostración de esta relación vamos a asumir que una partícula se mueve en una trayectoria circular a una rapidez tangencial constante ( ).
OθFθ
Fs
Os
rV!
V!
V!
V!
V!
V!
x
y
FF rs θ=OO rs θ=
OF sss −=Δ
OF rrs θθ −=Δ)( OFrs θθ −=Δ
θΔ=Δ rs
tr
ts
Δ
Δ=
Δ
Δ θ
tr
ts
tt Δ
Δ=
Δ
Δ→Δ→Δ
θ00
limlim
tr
ts
tt Δ
Δ=
Δ
Δ→Δ→Δ
θ00
limlim
• La unidad en el S.I. de la es: m.s-1 V!
151
ωrV =Ecuación escalar
rV !!!×=ωEcuación vectorial
De la ecuación escalar podemos concluir que: . rV ∝
En la figura anterior podemos notar que para un intervalo de tiempo que tiende a cero la velocidad angular es la misma en las dos situaciones.
De la ecuación vectorial podemos concluir que: , y . rV !!⊥ ω
!!⊥Vr
!!⊥ω
152
ACELERACIÓN CENTRÍPETA ( ). Ca!
Es una cantidad vectorial.
También es llamado aceleración normal ( ) o aceleración radial ( ). Na!
ra!
La unidad en el S.I. de la es: m.s-2 Ca!
Para le demostración de esta relación vamos a asumir que una partícula se mueve en una trayectoria circular a una rapidez tangencial constante ( ). 21 VV
!!=
153
Marcos Guerrero
De los gráficos anteriores podemos hacer una relación de triángulos:
rs
VV Δ=
Δ
srVV Δ=Δ
ts
rV
tV
Δ
Δ=
Δ
Δ
ts
rV
tV
tt Δ
Δ=
Δ
Δ→Δ→Δ 00limlim
ts
rV
tV
tt Δ
Δ=
Δ
Δ→Δ→Δ 00limlim
VrVaC =
rVaC2
=Ecuación escalar
1ω! 2ω!
r!
Del gráfico anterior podemos concluir que: , , , , y .
rV !!⊥ ω
!!⊥V ω
!!⊥Ca VaC
!!⊥r!!
⊥ωraC!!
⊥
Una partícula se mueve en una trayectoria circular de radio r, si en un instante dado, se conoce su rapidez angular, determine una ecuación que relacione la aceleración centrípeta con la rapidez angular y su radio.
154
Pregunta de opción múltiple.
155
Problema
156
Solución.
157
ta!
ACELERACIÓN TANGENCIAL ( ) Y ACELERACIÓN TOTAL ( ). Ta
!
La aceleración tangencial se da cuando la velocidad tangencial a más de cambiar su dirección, también cambia su magnitud. La aceleración centrípeta siempre está presente en todo tipo de movimiento circular. Como ahora tenemos una aceleración centrípeta y una aceleración tangencial, entonces, ambas forman una aceleración total.
tCT aaa !!!+=Ecuación vectorial
222tCT aaa +=Ecuación escalar
La aceleración centrípeta y la aceleración tangencial siempre son perpendiculares entre sí, siempre y cuando en el movimiento circular existan ambas cantidades físicas a la vez.
158
α!
ω!
α!
ω!
La unidad en el S.I. de la es: m.s-2 ta!
La unidad en el S.I. de la es: m.s-2 Ta!
159
160
ωΔ=Δ rV
tr
tV
Δ
Δ=
Δ
Δ ω
tr
tV
tt Δ
Δ=
Δ
Δ→Δ→Δ
ω00
limlim
tr
tV
tt Δ
Δ=
Δ
Δ→Δ→Δ
ω00
limlim
αrat =Ecuación escalar
rat!!!
×=αEcuación vectorial
De la ecuación vectorial podemos concluir que: , y . rat!!
⊥ α!!
⊥tar!!
⊥α
En un instante dado, de la ecuación escalar podemos concluir que: . rat ∝
ANALOGÍAS ENTRE EL MOVIENTO DE TRASLACIÓN Y EL MOVIMIENTO DE ROTACIÓN.
Movimiento de traslación Movimiento de rotación
Longitud de arco (distancia lineal)
Distancia angular
Desplazamiento lineal Desplazamiento angular
Velocidad lineal Velocidad angular
Aceleración lineal Aceleración angular
161
162
Problema
163
Solución.
164
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