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ANÁLISIS DE CÍRCULOS

Geometría en línea

Curso de Verano

(c) Je

OBJETIVOS GENERALES

Identificar ángulos centrales e inscritos en un círculo

Identificar el radio, diámetro cuerda secante y triángulos de un circulo

Identificar arcos menores y mayores de un círculo

Utilizar las definiciones, postulados y teoremas para resolver problemas

Buscar medidas de ángulos centrales inscritos ángulos que se forman con la intersección de rectas dentro y fuera del circulo

Buscar medidas de segmentos y curdas en un círculo

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EXPLORACIÓN DE CÍRCULOS

Usualmente se identifica el círculo por su centro, y se nombra círculo P.

Definición de círculoConjunto de puntos del plano que están a una distancia dada de un punto dado en el plano, llamado centro.

Centropunto P

RadioEl radio de un círculo es un segmento cuyos extremos con el centro del círculo y un punto en el mismo.

CentroPunto desde el cual equidistan todos los puntos en un plano.

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EXPLORACIÓN DE CÍRCULOS

Usualmente se identifica el círculo por su centro, y se nombra círculo P.

Definición de círculoConjunto de puntos del plano que están a una distancia dada de un punto dado en el plano, llamado centro.

Diámetro

cuerda

DiámetroCuerda que contiene el centro del círculo

CuerdaSegmento de recta cuyos extremos están en un círculo.

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NOMBRANDO UN CIRCULO

Nombrando las partes del círculo

el círculo P

el círculo con centro P

rayo PA o

y son también rayos del círculo

diámetro es

observa que el diametro son dos rayos

es cuerda del círculo

,,,,,,,,,,,,,,

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CIRCUNFERENCIA DE UN CÍRCULO

La circunferencia es la medida del borde del círculo. Π es un símbolo matemático que se nombra pi.

Tiene un valor de 3.14 hasta infinito. π≈3.14

Circunferencia de un círculoLa circunferencia es la medida de la curva.Si la circunferencia de un círculo es C unidades y el radio tiene r unidades, entonces C=2πr

Hallar la medida de la circunferencia del círculo PLa medida del radio es 3, por lo tanto r =3Utilizando la ecuación de circunferencia

C=2πrC = 2π(3)C=6 π

C ≈18.84

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HALLANDO MEDIAS EN UN CÍRCULO

Hallar la medida de la circunferencia del círculo PLa medida del radio es 6.5, por lo tanto r =6.5Utilizando la ecuación de circunferencia

C=2πrC = 2π(6.5)C=13 π

C ≈40.82

Observa que el segmento AF es un segmento que pasa por el centro, por lo tanto es un diámetro.

La medida del diámetro es dos veces el radio. d = 2r con el ejemplo anterior calcula el diámetro

d=2rd=2(6.5)d=13

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HALLANDO MEDIDAS EN UN CÍRCULO Hallar el radio y la circunferencia del círculo

Observemos el dibujo. El círculo tiene un triángulo

rectángulo inscrito. La hipotenusa del triángulo es el

diámetro del círculo. Con el teorema de Pitágoras podemos

hallar el diámetro del círculo. Segmento AF es el diámetroAF

2 216 30

Con el diámetro podemos calcular el radio

d=2r34=2r34/2=r17=r ó r=17

Utilizando la ecuación de circunferencia

C=2πrC = 2π(17)C=34π

C ≈106.76

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ÁNGULOS CENTRALES

Observa que el círculo está dividido en 4 ángulos rectos

La suma de los 4 ángulos es 3600

Ángulo centralÁngulo que interseca un círculo en dos puntos y que tiene vértice en el centro del círculo.

es el ángulo centralA

Suma de ángulos centralesLa suma de las medidas de los ángulo centrales de un círculo, sin puntos interiores comunes 3600

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HALLANDO MEDIDAS DE ÁNGULOS CENTRALES Observa el círculo A

ángulo recto

ángulo opuesto por el vértice

= ángulo opuesto de

CAF= CAB+ 55 son ángulo complementario

CAB=35

CAF DAE

La suma de los ángulos centrales es90+90+90+35+55=360

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SEMICÍRCULO

Segmento AD es el diámetro del círculo A.

El diámetro divide el círculo en dos partes que se llaman semicírculos

Cada semicírculo mide 1800

SemicírculoCualquiera de las dos partes del círculo es dividido por una recta que contiene un diámetro del círculo

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ARCO MENOR Un ángulo central separa el círculo en dos

arcos.

círculo S

son diámetros tales queTEyKR

m TSR 42

Medida de arco menorLa medida del arco menor es la medida del ángulo central.

el ángulo central CAB mide 1340

es arco menor del círculo A

CB 0134

Se le llama arco menor al arco que mide meno que 180o

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ARCO MAYOR Un ángulo central separa el círculo en dos

es arco menor del círculo ACDB

Medida de arco mayorLa medida del arco mayor es 3600 menos la medida del ángulo central.

el ángulo central CAB mide 1340

es arco menor del círculo A

360 134

Se le llama arco menor al arco que mide meno que 180º

el arco mayor se nombra con tres puntos

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ARCOS ADYACENTES1/2

Arcos adyacentesDos arcos de un círculo que tienen solo dos puntos en común.

es adyacente al

Postulado de la adición de arcosLa medida de un arco formado por dos arcos adyacentes es la suma de las medidas de los dos arcos. O sea que si Q es un punto de entonces CB +mCB mBF mCF

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EJERCICOS DE PRÁCTICA Halla la medida de las circunferencias

En el círculo S, y son diámetros tales que la m TSR=42

Determina si cada arco es menor, mayor o semicírculo.

Además, halla la medida en grados para cada arco

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CONTESTACIONES A LOS EJERCICOS DE PRÁCTICA

Halla la medida de las circunferencias

En el círculo S, y son diámetros tales que la m TSR=42

Determina si cada arco es menor, mayor o semicírculo.

Además, halla la medida en grados para cada arco

semi círculo

arco menor

arco mayor

.C cm25 12

.C cm26 64

13801380

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ÁNGULOS INSCRITOS 1/2

Ángulo inscritosUn ángulo que tiene su vértice en el círculo dado cuyos lados son dos cuerdas del mismo.

TeoremaSi un ángulo está inscrito en un círculo, entonces la medida del ángulo es igual a la mitad de la medida del arco intersecado.

es un ángulo inscrito

mla medida del ECF =

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TANGENTES1/2

TangenteUna tangente a un círculo es una recta en el plano del círculo que los interseca en un punto único.

La recta f es la recta tangente

Punto de tangencia es C

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PARTES DEL CÍRCULO Un círculo separa un plano en tres partes

Interior

ExteriorCírculo mismo

El punto G está en el interior del círculoEl punto F está en el exterior del círculoLos puntos C y E están en el círculo

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SECANTES

Una secante de un círculo contiene una cuerda en él.

SecanteRecta que interseca un círculo en exactamente dos puntos.

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TANGENTES Y MEDIDAS DE ÁNGULOS

TeoremaSi una secante y una tangente se intersecan en el mismo punto de tangencia, entonces la medida de cada ángulo formado es igual a la mitad de la medida del arco intersecado.

mECm GEC

ejemplo mEC

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Observa que la intersección de secantes dividen el círculo en cuatro secciones.

TeoremaSi dos secantes se intersecan en el interior de un círculo, entonces la medida de un ángulo formado es la mitad de la suma de las medidas de los arcos intersecados por el ángulo y su ángulo vertical

mCE mFDm

2 mCE mFD

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TeoremaSi dos secantes, una secante y una tangente, o dos tangentes se intersecan en el exterior de un círculo, entonces la medida del ángulo formado es la mitad de la diferencia positiva entre las medidas de los arcos intersecados.

Tres posibles casos:

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EJEMPLO Halla el valor del ángulo 3

Observa que el círculo está intersecado por una secante y una tangente.

mEB mBC mCE

148 128 360

276 360

CB CEm

128 843

Paso 1

Paso 2

Paso 3

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EJERCICIOS DE PRÁCTICA1/2

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EJERCICIOS DE PRÁCTICA1/2

m 01 13 m 04 129

m x 020

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REFERENCIAS

Boyd, C, Burrill, G, Cummins, J. (2003) Geometría: Integración, aplicaciones y conexiones. Mexico. McGrawHill. Pag. (444-505)

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