circunferencia y conicas
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-
1
LGEBRA VECTORIAL Y MATRICES. Ciclo 01 de 2015.
I. Circunferencia.
Elementos de la circunferencia.
El segmento de recta es una cuerda.
El segmento de recta es una cuerda que pasa por el
centro, por lo tanto es un dimetro
Propiedades.
1. Toda recta tangente es perpendicular al radio en su punto de tangencia.
2. Toda cuerda es perpendicular al radio, en el punto medio de la cuerda.
3. Si en una circunferencia se tienen n cuerdas, se tiene que toda recta perpendicular a
cada una de las cuerdas en el punto medio de cada una de ellas pasa por el centro de la
circunferencia. Es decir que las diferentes rectas perpendiculares a las cuerdas en el
punto medio de ellas, se cortan en el centro de la circunferencia.
-
2
4. Todo tringulo inscrito en una circunferencia, en donde uno de sus lados es el dimetro y
el vrtice opuesto es un punto que pertenece a la circunferencia, constituye un tringulo
rectngulo.
Problemas resueltos sobre circunferencia.
1. Hallar la ecuacin de la circunferencia que pasa por el punto (7, 5) y es tangente a la
recta 4 = 0 en el punto (3, 1).
Recta tangente: 4 = 0
= 4
Ecuacin de la forma: = +
Pendiente de la recta tangente: = 1
Pendiente de la recta perpendicular: = 1
Ecuacin de la recta 1; la cual es perpendicular a la recta tangente en el punto 3, 1 .
Es: 1 = 1( 3)
+ 1 = + 3
= +
El centro (, ) pertenece a la recta = + 2, por lo que podemos escribir:
= + ().
Con los puntos (3, 1) y (7, 5) podemos trazar una cuerda, la cual posee como punto
medio 3+7
2,1+ 5
2 = (5, 3).
-
3
Una recta perpendicular a dicha cuerda, en el punto medio a ella, pasa por el centro de la
circunferencia.
Pendiente de la cuerda es =5 1
73=
4
4
= 1
Por lo que la pendiente de la recta 2 es = 1
Con el punto medio de la cuerda y la pendiente = 1,
podemos escribir la ecuacin de la recta 2 : (3) = 1( 5)
+ 3 = 5
=
El centro (, ) pertenece a la recta = 8, por lo que podemos escribir =
(2)
Igualando las ecuaciones (1) y (2) tenemos: + 2 = 8
= 8 2
2 = 10
=
Sustituyendo = 5 en la ecuacin (2) tenemos: = 5 8
=
Centro de la circunferencia , = 5, 3 . Note que se ha obtenido, que el centro de
la circunferencia, en este caso coincidi con el punto medio de la cuerda . Note que la
recta 2 y la recta tangente son paralelas, ya que tienen la misma pendiente y la recta
1 es paralela a la cuerda , ya que estas dos rectas poseen la misma pendiente
= 1.
Ecuacin de la circunferencia: ( )2 + ( )2 = 2
El radio de la circunferencia lo podemos calcular como el
mdulo del vector , con = 5 3 + 3 1 , es
decir = 2 2 .
= 22 + (2)2 = 8. Luego el radio de la circunferencia
buscada es = 8.
Ecuacin de la circunferencia con centro 5, 3 y radio = 8 es:
( 5)2 + ( (3))2 = 8 2
( 5)2 + ( + 3)2 = 8
-
4
2 10 + 25 + 2 + 6 + 9 = 8
2 + 2 10 + 6 + 25 + 9 8 = 0
+ + + =
Relaciones entre circunferencias.
1. Circunferencias que son tangentes.
12 = 1 + 2
Circunferencias que son tangentes: 1 + 2 = 1 2.
2. Circunferencias que se intersectan.
Distancia entre los centros 12 es menor que la suma de los radios 12 < 1 + 2
3. Circunferencias que NO son tangentes, NI se intersectan.
Distancia entre los centros 12 es menor que la suma de los radios 12 < 1 + 2
-
5
Recta de los centros.
Es la lnea recta que une los centros de 2 circunferencias.
Eje radical.
Es la recta perpendicular a la recta de los centros.
Cuando se tienen 2 circunferencias que son tangentes, el eje radical para por el punto
de tangencia.
Cuando se tienen 2 circunferencias que se intersectan, el eje radical pasa por los
puntos de interseccin de las dos circunferencias.
Cuando se tienen 2 circunferencias que NO se intersectan, NI son tangentes; el eje
radical se ubica ms cerca de la circunferencia de menor radio.
Circunferencias que son tangentes
Circunferencias que se intersectan
Circunferencias que NO son tangentes, NI se intersectan
Ejercicios Resueltos.
1. Determinar si las circunferencias 1: 2 + 2 2 4 4 = 0 y
2: 2 + 2 + 6 + 10 = 15
Se intersectan, son tangentes o NI SE CORTAN, NI SON TANGENTES.
Determine la ecuacin de la recta de los centros y los puntos de interseccin o de tangencia de las
circunferencias, segn sea el caso.
1: 2 + 2 2 4 = 4
2 2 + 1 + 2 4 + 4 = 4 + 1 + 4
1 2 + 2 2 = 9
Centro 1 1,2 , radio 1 = 9 = 3
-
6
2: 2+6 + 2 + 10 = 15
2 + 6 + 9 + 2 + 10 + 25 = 15
+ 3 2 + + 5 2 = 15 + 9 + 25
+ 3 2 + + 5 2 = 49
Centro 2 3, 5 , radio 2 = 49 = 7
12 = 3 1 + 5 2 12 = 4 7 12 = 12 = 16 + 49 = 65
Distancia entre los centros 12 = 65 = 8.06 y 1 + 2 = 3 + 7 = 10
Distancia entre los centros 12 = 8.06 < 1 + 2 .
Conclusin: Las circunferencias se intersectan.
Recta de los centros 1 1,2 2 3, 5 .
Pendiente: =52
31=
7
4=
7
4 =
7
4
Con =7
4 1 1,2 escribimos la ecuacin de la recta de los centros:
2 =7
4 1 4 8 = 7 7 7 4 + 1 = 0
Para encontrar los puntos de interseccin de las circunferencias, simultanearemos las ecuaciones
de ella; para ello multiplicamos por -1 la ecuacin de 1:
1 1: 2 2 + 2 + 4 + 4 = 0
2: 2+ 2 + 6 + 10 15 = 0 _
Note que es una ecuacin de la forma + + = 0 que es la ecuacin de una lnea recta en
2.
Esta ecuacin constituye, la ecuacin del eje radical.
Despejemos y: 14 = 8 + 11 =8+11
14
Sustituyamos y en la ecuacin de 1, para encontrar los puntos de interseccin.
8 + 14 11 = 0
-
7
2 + 11 8
14
2
2 4 11 8
14 4 = 0
2 + 11 8 2
142 2
2
7 11 8 4 = 0
2 +121 176 + 642
196 2
22
7+
16
7 4 = 0
Por 196:
1962 + 121 176 + 642 392 616 + 448 784 = 0
2602 120 1279 = 0
= 120 1202 4 260 1279
2 260
=120 1344560
520
=120 1159.55
520 1 = 2.46 2 = 2
1 = 2.46 1 =11 8 2.46
14= 0.62 1 2.46, 0.62
2 = 2 2 =11 8 2
14= 1.928 2 2, 1.928
Puntos de interseccin de
las circunferencias.
Distancia de un punto , a la recta en , con ecuacin general + + = .
(Menor distancia del punto0 0 , 0 a la recta en 2, la cual es la distancia perpendicular).
Si se tiene la ecuacin general de una lnea recta en 2: + + = 0, se debe tener
presente que un vector paralelo a dicha lnea recta es el vector = .
Ej. Sea la recta en 2: 2 3 + 5 = 0. Un vector paralelo a ella es = 3 2 .
-
8
Si tenemos la ecuacin de la recta : + + = 0, podemos calcular los intersectos de dicha
recta con los ejes x e y. Teniendo:
= 0 + = 0 =
1 0,
= 0 + = 0 =
2
, 0
Note que, de la figura sin =
10 = 10 sin
10 = 0 0 + 0
10 = 0 + 0 +
Si = 10 sin y multiplicamos y dividimos por tenemos:
= 10 sin
=
10
Con 10 = 0 + 0 +
y = tenemos:
-
9
10 =
0 0 +
0
0
= 0 + 0 + 0 0 +
10 = 0 0 10 = + 0 +
Luego 10 = + 0 + , ya que = 10
Teniendo:
= 0 + 0 +
2 + 2
Frmula de la distancia del punto 0 0, 0
a la recta en 2, 1: + + = 0
Ejemplo: Encontrar la ecuacin de la circunferencia con centro 0,6 y que es tangente a la
recta : 3 4 1 = 0
3 1 = 4 =3
4
1
4
Calculemos la distancia del punto C(0,6) a la recta 3x-4y-1=0, ya que dicha distancia es el valor
del radio r.
-
10
= 3 0 + 4 + 1
32 + 4 2=
0 24 1
25=
25
5=
25
5= 5
Con r=5 y el centro C(0,6), escribimos la ecuacin de la circunferencia:
0 2 + 6 2 = 52
2 + 2 12 + 36 = 25 2 + 2 12 + 36 25 = 0
2 + 2 12 + 11 = 0
Ejercicio: Hallar la ecuacin general y la ecuacin ordinaria de la circunferencia; as como
tambin el centro y el radio de ella, si la circunferencia pasa por los puntos A(-1,-1), B(5,7) y
E(7,3).
1 = 1 + 5
2,1 + 7
2 = 2,3
1 = 2,3
=7 1
5 1 =
8
6=
4
3
Pendiente de una recta perpendicular a la
cuerda : =3
4
2 = 5 + 7
2,7 + 3
2 = 6,5
2 = 6,5
=3 7
7 5=
4
2= 2
Pendiente de una recta perpendicular a la
cuerda : =1
2
Con 1 = 2,3 y =3
4 escribimos la ecuacin de la recta perpendicular a la cuerda ,
en el punto medio de ella:
3 = 3
4( 2)
-
11
3 = 3
4 +
6
4
= 3
4 +
3
2+ 3 =
3
4 +
9
2
Como , pertenece a esta recta escribimos:
Con 2 = 6,5 y =1
2 escribimos la ecuacin de la recta perpendicular a la cuerda ,
en el punto medio de ella:
5 =1
2 6 5 =
1
2 3
=1
2 + 2
Como , pertenece a esta recta escribimos:
Igualando las ecuaciones I y II tenemos: 3
4 +
9
2=
1
2 + 2
3
4
1
2 = 2
9
2
3 2
4 =
4 9
2
5
4 =
5
2 =
5
2
4
5
= 2
Luego =1
2 2 + 2 Centro 2,3
Calculemos el radio, como el mdulo del vector , siendo = 2 5 + 3 7
= 3 4 . Luego = = 9 + 16 = 25 = 5
Escribamos la ecuacin de la circunferencia con centro 2,3 y radio = 5:
2 2 + 3 2 = 52
2 2 + 3 2 = 25 Ecuacin ordinaria de
la circunferencia
= 3
4 +
9
2
=1
2 + 2
= 3
I
II
-
12
2 4 + 4 + 2 6 + 9 = 25
2 4 + 4 + 2 6 + 9 25 = 0
2 + 2 4 6 16 = 0 Ecuacin general de
la circunferencia
Problemas resueltos sobre cnicas.
1. Sobre Circunferencia.
1) Hallar la ecuacin de la circunferencia que pasa por los puntos (7, 5) y cuyo centro
es el punto comn de las rectas: 1: 7 9 10 = 0 y 2: 2 5 + 2 = 0
Solucin:
Encontremos el punto de interseccin de las rectas:
7 9 = 10 Por (-2): 14 + 18 = 20 2 5 = 2 Por (7): 14 35 = 14
17 = 34 = 2 = 2
Sustituyendo x en la ecuacin de 1 es: 7 9(2) = 10
7 = 28
= 4 = 4
Tenemos la ecuacin de la circunferencia: 2 + 2 = 2 sabemos que h=4,
k=2 es el centro de la circunferencia.
En la ecuacin, , es el punto de la circunferencia, , son las coordenadas del
centro de la circunferencia. Para encontrar el radio tenemos:
7 4 2 + 5 2 2 = 2
2 = 32 + 7 2
2 = 9 + 49
2 = 58
Luego la ecuacin de la circunferencia buscada es:
2) Una circunferencia contiene a los puntos 4,6 , (3,7) y (3, 1). Hallar la ecuacin
de la circunferencia, su centro y radio.
4 2 + 2 2 = 58
-
13
Solucin:
La ecuacin general de la circunferencia es de la forma:
2 + 2 + + + = 0
(, ) Son las coordenadas de un punto de la circunferencia.
Sustituyamos cada punto en la ecuacin general:
Con 1(4,6) tenemos: 42 + 62 + 4 + 6 + = 0 4 + 6 + = 52 (1)
Con 2(3,7) tenemos: (3)2 + 72 + 3 + 7 + = 0 3 + 7 + = 58 (2)
Con 3(3, 1) tenemos: 32 + (1)2 + 3 + 1 + = 0 3 + = 10 (3)
Resolvamos el SEL generado utilizando el mtodo de Gauss Jordan:
4 6 1
3 7 13 1 1
525810
41537
4 6 10 46 70 22 1
52388116
41335
95
184 0 4
0 46 70 0 200
643883200
124
3353000
1
41 1;
1
2003 3
46 0 10 46 70 0 1
1638816
31
33515
46 0 00 46 00 0 1
0
27616
46
23015
1
461 1;
1
462 2
1 0 00 1 00 0 1
=3
0616
=3
1
515
= =
De la matriz normalizada tenemos: = 0; = 6; = 16
Tenemos la ecuacin general de la circunferencia: 2 + 2 + 0 6 16 = 0
Completemos cuadrados: 2 + 2 6 = 16
2 + 2 6 + 9 = 16 + 9
2 + 3 2 = 25 0 2 + 3 2 = 25
Circunferencia de radio = 25 = 5 y con centro (0,3).
3) Hallar el rea de la regin limitada por 2 + 2 8 6 = 0 y el centro de la
circunferencia.
-
14
Solucin:
Esta ecuacin representa una circunferencia, completemos cuadrados:
2 8 + 2 6 = 0 2 8 + 16 + 2 6 + 9 = 0 + 16 + 9
4 2 + 3 2 = 25
Circunferencia con centro (4,3) y radio = 5.
rea del crculo= 2 = 25 = 25 .
4) Hallar la longitud de la circunferencia cuya ecuacin es 2 + 2 + 12 4 + 15 = 0.
Determine las coordenadas del centro.
Solucin:
El permetro de la circunferencia es = 2, que representa a la longitud de la
circunferencia.
Completemos cuadrados:
2 + 12 + 2 4 = 15 2 + 12 + 36 + 2 4 + 4 = 15 + 36 + 4
+ 4 2 + 2 2 = 25
Circunferencia con centro (4,2) y radio = 5.
Permetro del crculo= 2 = 2 5 = 10
2. Sobre Parbola.
1) Graficar la cnica cuya ecuacin es 2 8 + 12 + 40 = 0. Determine sus elementos
caractersticos.
Solucin:
Tenemos la ecuacin 2 8 + 12 + 40 = 0. Comparndola con la ecuacin general
de segundo grado 2 + + 2 + + + = 0, tenemos que:
= 1, = 0, = 0 2 4 = 02 4 0 0 = 0
La ecuacin representa una parbola vertical.
De la ecuacin 2 8 + 12 + 40 = 0, completemos cuadrados:
2 8 = 12 40
2 8 + 16 = 12 40 + 16
4 2 = 12 24
4 2 = 12 + 2 Parbola abierta
hacia abajo
Ecuacin de la forma: 2 = 4 + De donde: 4 = 12 = 3 Longitud del lado recto:
4 = 12
-
-
15
Vrtice 4, 2 Foco 4, 2 3 = (4, 5)
2) Graficar la parbola cuya ecuacin es: 2 + 12 6 + 21 = 0. Encuentre:
a) Vrtice
b) Foco
c) Longitud del lado recto.
Solucin:
Completemos cuadrados 2 6 = 12 21
2 6 + 9 = 12 21 + 9
3 2 = 12 12
3 2 = 12 + 1 Parbola horizontal abierta
hacia la izquierda
Vrtice 1,3
Longitud del lado recto: 4 = 12 = 3
Foco 1 3,3 = (4,3)
-
16
2. Sobre Elipse.
1) Determinar focos, vrtices, centro excentricidad, longitud del lado recto de la cnica
cuya ecuacin es:272 + 362 162 729 = 0. Graficar la cnica y sus elementos.
Solucin:
Tenemos la ecuacin 272 + 362 162 729 = 0. Comparndola con la ecuacin
general de segundo grado 2 + + 2 + + + = 0, tenemos que:
= 27, = 0, = 36 2 4 = 02 4 27 36 = 3888 < 0
La cnica es una elipse.
Note tambin que A y C son distintos y del mismo signo.
Completamos cuadrados: 272 + 362 162 729 = 0
272 + 362 162 = 729
27 2 6 + 362 = 729
27 2 6 + 9 + 362 = 729 + (27 9)
27 3 2 + 362 = 729 + 243
27 3 2 + 362 = 972
972 27 3 2
972+
362
972=
972
972
3 2
36+
2
27= 1 Elipse horizontal con 2 = 36 2 = 27
Ecuacin de la forma: 2
2+
2
2= 1
3 2
36+
0 2
27= 1 C(3,0)
-
17
2 = 36 = 6 2 = 27 = 27 = 3 3
2 = 2 + 2 2 = 2 2 = 2 2 = 36 27 = 9 = 3 = 3
Vrtice: 1 9,0 2(3,0) Focos: 1 6,0 2(0,0)
Puntos donde corta el eje normal con la elipse: 3, 27 (3, 27)
Longitud del lado recto: =22
=
227
6=
54
6= 9
Excentricidad: e=
=
3
6=
1
2 < 1
2) Determine focos, vrtices, centro, excentricidad, longitud del lado recto, puntos donde corta la
elipse con el eje normal. Grafique la cnica y sus elementos, cuya ecuacin es:
252 + 162 150 160 + 225 = 0
Solucin:
Note que en la ecuacin A y C son distintos y del mismo signo.
2 4 = 02 4 25 16 = 400 2 4 < 0
La ecuacin representa una elipse.
Completamos cuadrados: 252 150 + 162 160 = 225
25 2 6 + 16 2 10 = 225
25 2 6 + 9 + 16 2 10 + 25 = 225 + 25 9 + (16 25)
25 3 2 + 16 5 2 = 225 + 225 + 400
25 3 2 + 16 5 2 = 400
400 25 3 2 + 16 5 2 = 400
-
18
25 3 2
400+
16 5 2
400=
400
400
3 2
16+
5 2
25= 1
Centro (3,5), elipse vertical.
2 = 25 = 5 2 = 16 = 4
2 = 2 + 2 2 = 2 2 = 2 2 = 25 16 = 9 = 3
= 3
Longitud del lado recto: =22
=
216
5=
32
5= 6.4
Excentricidad: e=
=
3
5 < 1
3. Sobre Hiprbola.
La ecuacin general de la hiprbola con ejes paralelos a los ejes coordenados es de la forma:
2 + 2 + + + = 0 con 2 4 > 0 y con A y C de signo diferente.
Ecuacin ordinaria de la hiprbola con eje transverso paralelo al eje x (hiprbola horizontal):
2
2
2
2= 1
Ecuaciones de sus asntotas: =
Ecuacin ordinaria de la hiprbola con eje transverso paralelo al eje y (hiprbola vertical):
-
19
2
2
2
2= 1
Ecuaciones de sus asntotas: =
Ejemplo:
1) Encuentre los elementos de la hiprbola, cuya ecuacin es:
22 32 6 4 + 12 = 0
Note que:
1- 2 4 = 02 4 2 3 = 24
2- A y C son de signo diferente.
Completando cuadrados: 22 32 6 4 = 12
2 2 3 3 2 +4
3 = 12
2 2 3 +9
4 3 2 +
4
3 +
4
9 = 12 + 2
9
4 + 3
4
9
2 3
2
2
3 +2
3
2
= 12 +9
2
4
3
2 3
2
2
3 +2
3
2
= 53
6
53
6
2 32
2
536
3 +
23
2
536
=
536
536
12
32
2
53+
18 +23
2
53= 1
32
2
5312
+ +
23
2
5318
= 1
Note que el trmino positivo, es el que lleva la variable y luego la hiprbola es
vertical.
+23
2
5318
32
2
5312
= 1
2 = 53
18 =
53
18 = 1.71 2 =
53
12 =
53
12 = 2.10
Para toda hiprbola: 2 = 2 + 2, luego: 2 =53
18+
53
12 2 =
265
36 =
265
36
-
20
= 2.71
Centro 3
2,
2
3
Vrtices:
1 3
2,
2
3+
53
18 = 1
3
2,
2
3+ 1.71 1
3
2, 1.04
2 3
2,
2
3
53
18 = 1
3
2,
2
3 1.71 1
3
2, 2.38
Puntos sobre el eje conjugado:
3
2+ 2.10,
2
3 = 3.6,
2
3
3
2 2.10,
2
3 = 0.6,
2
3
Focos:
1 3
2,
2
3 2.71 = 1
3
2, 3.38
1 3
2,
2
3+ 2.71 = 1
3
2, 2.04
Asntotas:
=
2
3 =
1.71
2.10
3
2
+2
3= 0.814
3
2
I:
+2
3= 0.814
3
2
= 0.814 1.22 2
3
= 0.814 1.89
II:
+2
3= 0.814
3
2
= 0.814 + 1.22 2
3
= 0.814 0.558
Longitud del lado recto:
=22
=
2 5312
5318
= 5.1478 = 5.1478
-
21
Excentricidad:
=
=
2.71
1.71= 1.58 > 1
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