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Instituto Tecnológico de Saltillo
CÁLCULO INTEGRAL
M.C. Ignacio Dávila Ríos
Enero-Junio 2012
Programa de Unidades
I. Teorema Fundamental del Cálculo (Diferenciales).
II. La integral Indefinida.
III.Técnicas de Integración Indefinida.
IV. La Integral Definida.
V. Integrales Impropias.
VI. Aplicaciones de la Integral.
M.C. Ignacio Dávila Ríos Cálculo Integral
Unidad I. Teorema Fundamental del Cálculo (Diferenciales).
1.1 Definición de Integral
1.2 Definición e interpretación geométrica de incrementos y
diferenciales.
1.3 Diferenciación de funciones elementales.
1.4 Diferenciación de funciones algebraicas que contienen xn.
1.5 Diferenciación de funciones que contienen u.
1.6 Diferenciación de productos y cocientes de funciones.
1.7 Incrementos, diferenciales y aproximaciones.
M.C. Ignacio Dávila Ríos Cálculo Integral
Unidad I. Teorema Fundamental del Cálculo (Diferenciales).
1.1 Definición de Integral.
¿Qué es una integral?
Si me pongo los zapatos, puedo quitármelos otra vez. Es decir, la
segunda operación anula a la primera, regresando los zapatos a la
posición original.
Decimos que las dos son operaciones inversas.
M.C. Ignacio Dávila Ríos Cálculo Integral
¿Qué es una integral?
Las matemáticas contienen muchos pares de operaciones inversas:
Por ejemplo.
1) Suma y Resta.
2) Multiplicación y División.
3) Elevación a potencias y extracción de raíces.
4) Los logaritmos y los antilogaritmos o exponenciales.
Hemos estado estudiando la derivación; su proceso inverso es la
antiderivación.
M.C. Ignacio Dávila Ríos Cálculo Integral
En la materia de Cálculo Diferencial, se hizo referencia únicamente
al siguiente proceso:
Dada una función encontrar su derivada
En esta clase se verá que un problema igualmente importante es:
Dada una función , encontrar una función cuya
derivada sea la dada.
( )f x (́ )f x
( )f x ( )F x( )f x
M.C. Ignacio Dávila Ríos Cálculo Integral
Definición 1.
Se dice que una función es una antiderivada de una función
si en algún intervalo.
Ejemplo:
Una antiderivada de es: puesto que
Siempre hay más de una antiderivada de una función , en el ejemplo
anterior, y son también
antiderivadas de , puesto que
En efecto, si es una antiderivada de una función ,
entonces ; esto es, dos o más antiderivadas de la
misma función pueden diferir cuando mucho en una constante.
( )f x
(́ ) 2F x x( ) 2f x x
( )F x
2( )F x x
(́ ) ( )F x f x
2
1( ) 1F x x 2
2( ) 10F x x ( ) 2f x x
1 2(́ ) (́ ) ( )F x F x f x
( )F x ( )f x
( ) ( )G x F x C
M.C. Ignacio Dávila Ríos Cálculo Integral
x ( )x x
( )f x
( )f x x
x
secL
tanL
dy
0x Si Entonces
Q
P
;Q PsecL gira hacia
tanL y sec tanL Lm m
tan0
( ) ( )lim ( )Lx
y f x x f xm f x
x x
1.2 Definición e interpretación geométrica de incrementos y diferenciales
( ) ( )y f x x f x
R
S
M.C. Ignacio Dávila Ríos Cálculo Integral
x ( )x x
( )f x
( )f x x
x
secL
tanL
dy
Q
P
¿Cómo entender la siguiente gráfica paso a paso?
( ) ( )y f x x f x
R
S
tan0
( ) ( )lim ( )Lx
y f x x f xm f x
x x
M.C. Ignacio Dávila Ríos Cálculo Integral
¿Cómo entender la siguiente gráfica paso a paso?
Supongamos que tenemos una función cualquiera
( )f x
( )f x
M.C. Ignacio Dávila Ríos Cálculo Integral
¿Cómo entender la siguiente gráfica paso a paso?
Sabemos que la derivada de f(x) esta dada por la pendiente de la recta
Tangente en cierto punto P.
x
( )f xP
( )f x
tanL
M.C. Ignacio Dávila Ríos Cálculo Integral
¿Cómo entender la siguiente gráfica paso a paso?
Como la recta tangente toca un solo punto en f(x) y sabemos que calcular
la pendiente “m” requiere dos puntos, tal como lo muestra su fórmula,
entonces,
x
( )f xP
( )f x
tanL
2 1
2 1
y ym
x x
M.C. Ignacio Dávila Ríos Cálculo Integral
¿Cómo entender la siguiente gráfica paso a paso?
Nos auxiliamos de otra recta que si toca dos puntos a f(x), esta recta es
una recta Secante, que corta a P y Q en f(x).
x ( )x x
( )f x
( )f x xQ
P
( )f xsecL
M.C. Ignacio Dávila Ríos Cálculo Integral
¿Cómo entender la siguiente gráfica paso a paso?
Como lo que nos interesa calcular en realidad es la pendiente “m” de la
recta tangente, entonces, lo que hacemos es buscar aproximar la recta
secante hacía la recta tangente,
x ( )x x
( )f x
( )f x xQ
P
( )f xsecL
tanL
M.C. Ignacio Dávila Ríos Cálculo Integral
¿Cómo entender la siguiente gráfica paso a paso?
Empezaremos por calcular primero la pendiente de la recta secante,
dados los puntos y tenemos que, ( , ( ))P x f x (( ), ( ))Q x x f x x
2 1sec
2 1
L
y yym
x x x
x ( )x x
( )f x
( )f x xQ
P
( )f xsecL
x
( ) ( )y f x x f x
M.C. Ignacio Dávila Ríos Cálculo Integral
¿Cómo entender la siguiente gráfica paso a paso?
Empezaremos por calcular primero la pendiente de la recta secante,
dados los puntos y tenemos que, ( , ( ))P x f x (( ), ( ))Q x x f x x
x ( )x x
( )f x
( )f x xQ
P
( )f xsecL
x
( ) ( )y f x x f x sec
( ) ( )
( )L
y f x x f xm
x x x x
( )x x x
M.C. Ignacio Dávila Ríos Cálculo Integral
¿Cómo entender la siguiente gráfica paso a paso?
Empezaremos por calcular primero la pendiente de la recta secante,
dados los puntos y tenemos que, ( , ( ))P x f x (( ), ( ))Q x x f x x
x ( )x x
( )f x
( )f x xQ
P
( )f xsecL
x
( ) ( )y f x x f x sec
( ) ( )L
f x x f xm
x
M.C. Ignacio Dávila Ríos Cálculo Integral
¿Cómo entender la siguiente gráfica paso a paso?
Ahora, ¿como hacer para que la recta secante se aproxime a la recta
tangente?
M.C. Ignacio Dávila Ríos Cálculo Integral
¿Cómo entender la siguiente gráfica paso a paso?
x ( )x x
( )f x
( )f x x
x
secL
tanL
Q
P
( ) ( )y f x x f x
0x Si Entonces ;Q PsecL gira hacia
tanL y sec tanL Lm m
M.C. Ignacio Dávila Ríos Cálculo Integral
x ( )x x
( )f x
( )f x x
x
secL
tanL
Q
P
tan0
( ) ( )lim ( )Lx
y f x x f xm f x
x x
( ) ( )y f x x f x
¿Cómo entender la siguiente gráfica paso a paso?
Y la forma de lograr esto es mediante el uso de límites.
M.C. Ignacio Dávila Ríos Cálculo Integral
Hasta ahora hemos aprendido la definición de derivada por
incrementos, mejor conocido como “Teorema fundamental del
cálculo”, tal como se estudió en la materia de Cálculo Diferencial.
Pero para el Cálculo Integral que ya sabemos que es el proceso
inverso de la derivada, se requiere de una herramienta que proviene
precisamente de este teorema. Llamada “DIFERENCIALES”.
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tan ( )L
dym f x
dx
( )dy f x dx
Diferenciales
Si , donde es una función diferenciable, entonces la
diferencial es una variable independiente; esto es, podemos dar
a cualquier número real y como,
( )y f x ( )f xdx
dx
Entonces la diferencial se define en términos de por medio
de la siguiente ecuación:
dy dx
M.C. Ignacio Dávila Ríos Cálculo Integral
Interpretación Geométrica de Diferenciales
x ( )x x
( )f x
( )f x x
x dx
secL
tanL
dy
Q
P
y
R
S
Vemos que se incluyeron dos nuevos puntos en la gráfica, R y S, donde
R tiene coordenadas y S el punto donde se interseca
con la recta tangente, por tanto es la distancia de R a S. ( ), ( )R x x f x
( )x x dy
dy representa la cantidad que se eleva o cae la tangente (cambio en la
linealización).
Interpretación Geométrica de Diferenciales
x ( )x x
( )f x
( )f x x
x dx
secL
tanL
dy
Q
P
y
R
S
yMientras que representa la cantidad que se eleva o cae la gráfica
, cuando cambia en una cantidad . ( )y f x x dx
M.C. Ignacio Dávila Ríos Cálculo Integral
Clasificación de funciones
Antes de iniciar el proceso de obtención de diferenciales daremos una
mirada a las dos clasificaciones de funciones sujetas a nuestro interés,
lo anterior para facilitar el aprendizaje.
La primera clasificación obedece al grado de complejidad de las
funciones y las hemos observado de la siguiente manera:
1) Funciones elementales.
2) Funciones básicas.
3) Funciones metabásicas.
M.C. Ignacio Dávila Ríos Cálculo Integral
1) Funciones elementales.
Las funciones elementales las hemos concebido como las funciones
que contienen en su estructura una constante o bien una variable, y para
nuestro caso nos referiremos a la variable “x”.
Ejemplos:
4;y 1
;yx
;y sen x lny x
M.C. Ignacio Dávila Ríos Cálculo Integral
2) Funciones básicas.
Las funciones básicas las definiremos como las funciones que
contienen en su estructura un binomio de la forma:
Ejemplos:
ny ax b
23 2y x ln(2 1)y x cos(1 2 )y x
M.C. Ignacio Dávila Ríos Cálculo Integral
3) Funciones metabásicas.
Y por último las funciones metabásicas las podemos inferir como
aquellas que tienen la estructura:
1
1 2 1...n n
m my a x a x a x a
M.C. Ignacio Dávila Ríos Cálculo Integral
La segunda clasificación de interés presenta el universo de funciones
en que opera el cálculo integral y por lo mismo en cada etapa de
aprendizaje se trata de globalizar el conocimiento atendiendo al
siguiente orden:
1) Funciones algebraicas .
2) Funciones exponenciales.
3) Funciones logarítmicas.
4) Funciones trigonométricas.
5) Funciones trigonométricas inversas.
6) Funciones hiperbólicas.
7) Funciones hiperbólicas inversas.
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Introducción a las diferenciales por fórmulas.
Las fórmulas de diferenciales se fundamentan en teoremas previamente
demostrados en cálculo diferencial; al revisar su análisis se observa que
son las mismas fórmulas que se utilizan para las derivadas, excepto que
se multiplican ambos lados por (se dice “de equis o diferencial de
equis”).
" "dx
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1.3 Diferenciación de funciones elementales.
Diferenciación de funciones elementales algebraicas.
Funciones elementales
algebraicas:
1)y k
2)y x
3)y x
4)y x
15)y
x
Fórmulas de diferenciales de funciones
elementales algebraicas :
1) ( ) 0d k
2) ( )d x dx
3) ( )x
d x dxx
14) ( )
2d x dx
x
2
1 15)d dx
x x
M.C. Ignacio Dávila Ríos Cálculo Integral
Realizado por:
M.C. Ignacio Dávila Ríos
Enero de 2012
idavila15@hotmail.com
www.itsbasicas.com/davila
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