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Computación Gráfica 12

Curvas y Superficies

Temario

Representaciones de curvas y de superficies

Splines y otras bases polinomial

Puntos

22

Representaciones Geométricas

• Geometría Sólida Constructiva (Constructive Solid Geometry CSG) – operadores booleanos (o de conjunto

• Representaciones Paramétricas

Polígonos - mallados

Subdivision de superficies

• Superficies Implícitas

• Superficies basadas en puntos

33

Representaciones Geométricas

Objeto construído mediante CSG convertido a polígonos

44

Idem, convertido a superficie implícita

55

66

2D, Signed Euclidean Distance Fields D(A)

+12+1288

00

--128128

AA AA DD(A)(A)+128+128

0 0

--127127

00

D(A) Morphological Domain

Geometry representaciónes

Operadores de CSG aplicados a superficies implícitas

77

Descripciones de superficies basadas en

puntos

Ohtake, et al., SIGGRAPH 2003

Representaciones Geométricas

88

99

Subdivisión del icosahedro = Esfera geodésica (R. Buckminster Fuller)

“Spaceship Earth”, Epcot, Walt Disney World

1010

Projecto Eden: bioma tropicalGrimshaw Architects, 2001

Biosfera de Montreal

1111

Proyecto “Houston Dome” (Discovery Channel )

Representaciones Geométricas

Subdivisión de superficie Catmull-Clark de un cubo

1212

Subdivisión de superficie(diferentes niveles de refinamiento)

Gráficos tomados de Subdivision.org

(ver Sierpiński…)

Representaciones Geométricas

1313

Subdivisión no uniforme y controlada

1414

Subdivisión interpolando normales – transición suave

1515

1616Jorge Márquez -

IPCYL: Image Processing of Cylindrical Range Data Jorge Márquez Flores, Isabelle Bloch and Francis Schmitt

Combining Voxel Grid Data and Mesh Model

1818

Geometrías de Mallado Global para Imágenes de Profundidad de Escenas 3D

Carpeta de Sierpiński – Subdivisión recursiva de un triángulo

(en este caso no produce un mallado Euleriano – ver abajo)

Otras aplicaciones de la subdivisión recursiva: voxelización de un mallado arbitrario(Derecha: ejemplo a dos órdenes de subdivisión)

Nota: la subdivisión que presentan los cuadtrees (u octrees en 3D) no es Euleriana, pero no es el mallado de ninguna

superficie; es una representación de árbol compacta de ocupación espacial.

Subdivisión de superficie

Combinando dos resoluciones en un solo malladoEuleriano (a la derecha, ídem pero triangular)

Anidamiento de mallas en tres resoluciones

Construcción de mallados triangulares a partir de un campo escalar o binario:

Marching CubesVoxeles dentro del objeto

Cada configuración de ‘s determina un “parche” del mallado de la superficie2222

2323

CONSTRUCTION OF A MODEL OF THE HIGH GASTROINTESTINAL SYSTEM FOR THE CONSTRUCTION OF A MODEL OF THE HIGH GASTROINTESTINAL SYSTEM FOR THE SIMULATION OF UPPER ENDOSCOPY PROCEDURESSIMULATION OF UPPER ENDOSCOPY PROCEDURES

Alfonso Gastelum, Lucely Mata Castro, Jorge MárquezAlfonso Gastelum, Lucely Mata Castro, Jorge Márquez

Marching-cubes segmentation

Ventajas y desventajas

Facilidad de uso para diseño

Facilidad y rapidez para renderizado

Simplicidad

Suavidad

Detección de colisiones

Flexibilidad (en muchos sentidos)

Adecuadas para simulaciones

Costo en memoria

No adecuadas para objetos complejos

Difícil usar Ray Tracing en algunos casos

No funcionan bien con objetos muy irregulares

Representaciones Geométricas

2424

Modelado de superfices mediante mallados poligonales

n

2525

( )( ) ( )

( )

x uu y u

z u

x

Representaciones Paramétricas

( ), ,nu u x x x

n

2

2( , ), , , o: ( , )( ), ,

n

nu v u v u v

x x xx x u x u

3

3( , , ), , , , o: ( , , )( ), ,

n

nu v w u v w u v w

x x xx x u x u

Nota: una función vectorial en de variable escalar (curva en el espacio) comprende n funciones escalares

etcétera...

Curvas:

Superficies:

Volúmenes:

• Una misma Curva/superficie puede tener múltiples representaciones (diferencias resultan irrelevantes)

( ) ( , )u u ux

Representaciones Paramétricas- No son únicas -

3 3( ) ( , )u u ux

Geometría Diferencial Simple

Tangente a una curva

Tangentes a superficie

Normal a una superficie

También: curvatura, normales de una curva, vector bi-normal de una curva, etcétera...Casos degenerados: ó:

2828

Discretización

Curvas arbitrarias tienen un incontable número de parámetros

i.e. se especifican valores de coeficientes de las funciones en todos los puntos de una línea de números reales (como un espectro contínuo de Fourier).

2929

Discretización

• Curvas arbitrarias tienen un incontable número de parámetros, formando un contínuo (espectro).

• Escoger un conjunto completo de bases de funciones

o Polinomios, series de Fourier, etc.

• Truncar el conjunto a un grado razonable, por ejemplo:

• Función representada por el vector (lista) de

• Las pueden ser vectores

0

( ) ( )i ii

u c u

x

3 3

0 0

( ) ( ) ii i i

i i

y u c u c u

ic

ic

3

03 3

0 03

0

( )

( ) ( ) ( )

( )

xi ii

i i yi ii i

zi ii

c u

u u c u

c u

x c

Bases polinomiales

Bases de potencias

Los elementos de son linealmente independientes, i.e. no es buena aproximación

Si no se consideran varios aspectos se obtienen resultadosmediocres, por ejemplo una rigidez extraña

3131

Especificando una Curva

Dados valores deseados (constricciones) cómo determinar Los coeficientes para una base de potencas cúbicas?

Por lo pronto asumimos

3232

Dados valores deseados (constricciones) cómo determinar Los coeficientes para una base de potencas cúbicas?

Especificando una Curva

3333

Dados valores deseados (constricciones) cómo determinar Los coeficientes para una base de potencas cúbicas?

Especificando una Curva

3434

Dados valores deseados (constricciones) cómo determinar Los coeficientes para una base de potencas cúbicas?

Especificando una Curva

3535

Dados valores deseados (constricciones) cómo determinar Los coeficientes para una base de potencas cúbicas?

Especificando una Curva

3636

Dados valores deseados (constricciones) cómo determinar Los coeficientes para una base de potencas cúbicas?

Base de funciones de Hermite

Especificando una Curva

3737

Dados valores deseados (constricciones) cómo determinar Los coeficientes para una base de potencas cúbicas?

Base de funciones de Hermite

Probably not a scale.

Especificando una Curva

3838

Base de Hermite• Curva especificada por

Valores de puntos esquina (end-points)

Tangentes en dichos puntos (derivadas)

• Intervalo de parámetros arbitrario (casi siempre)

No es necesario recalcular las bases de funciones

• Hermite cúbico

Puede construirse para cualquier grado impar

Derivadas en los puntos esquina o finales

3939

Bézier Cúbico

Similar a Hermite, pero especificando las tangentes indirectamente

Nota: todos los puntos de control son puntos en el espacio, no tangentes.

4040

Bézier CúbicoSimilar a Hermite, pero especificando las tangentes indirectamente

Relación entre coeficientes polinomiales y de Bézier:

4141

Bézier Cúbico (d=3)

Elementos de la base de funciones Bézier

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

B0

B1

B2

B3

Funciones Base (o base de funciones)

Un punto en una curva de Hermite se obtiene multiplicando cada punto de control por una función y sumando todo

Las funciones constituyendo una base de funciones

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

x1

x0

x'1

x'0

Superficies con Base de Polinomios Bézier

Cambiando Bases

• Bases de potencias, de Hermite y de Bézier son sólamente polinomios cúbicos

Las tres bases generan el mismo espacio

Como ejes diferentes en

• Cambios de base

4545

Propiedades utiles de una base

Convex Hull (Carcasa convexa)

Todos los puntos en curva quedan dentro de la caracasa convexa de los puntos de control

La base de Bézier tiene la propiedad de carcasa convexa

4646

Propiedades utiles de una base

Invariancia bajo clases de transformaciones

Transformar curvas es lo mismo que transformar puntos de control

Base de Bézier invariante para transformaciones afines

Base de Bézier NO es invariante para transformaciones de perspectiva

NURBS (Non-Uniform Rational Bézier Splines) son en extremo difíciles...

4747

Propiedades utiles de una base

• Soporte local

Cambiar UN punto de control Punto tiene poco impacto en toda la curva

Reglas de subdivisión muy convenientes

Esquema de evaluación rápido

Interpolación -vs- aproximación

4848

Evaluación de DeCasteljau

Un esquema de evaluación geométrica para Bézier

4949

Uniendo

Si se cambian a, b, o c hay que cambiar los demás

Pero si se cambian a, b, o c no se tienen cambios más allá de esos tres. *Soporte Local*

5050

Superficies de Productos Tensor

Superficie es una curva barrida a través del espacio

Remplazar puntos de control de la curva con otras curvas

5151

Bases de Superficie Hermite

Mas simetrías...5252

Funciones de Superficies Hermite-Hump

Mas simetrías...5353

5454

Imágenes de una base de funciones armónicas en 2D (seno seno)

A través de estas funciones armónicas 2D se generan campos de desplazamiento que modelan la distorsión que se obtienen en las

imágenes.

5555

seno seno

Parches-Spline de Coons bilinearmente mezclados (blended) usando Lifting ortogonal

4 perfiles (lados)f1 (x1,y)f2 (x2,y)f3 (x,y1)f4 (x,y2)p1 = f1(x1,y1) = f3(x1,y1)

p2 = f2(x2,y1) = f3(x2,y1)p3 = f1(x2,y1) = f4(x2,y1)p4 = f2(x2,y2) = f4(x2,y2)

Interpolación Bilineal

f1

f2

f3

f4

pd = pa + pb – pc

pd f1 f3 …

Superficie Interpolada del Cráneo UsandoParches del Spline de Coons

Punto de control

Polígono de control

En 3D hay Puntos y Polígonos de Control

NURBS

6060

Representaciones por Puntos

Experimento Mental

• Adquisición de formas usando escáners Láser en 3Do De milliones a miles de millones de puntos

• Imagen típica (del objeto escaneado):o A lo mucho algunos milliones de pixels (v.g. 20482)

• ¡Más puntos que pixeles para representarlos...!

“Gráficos basados en puntos (point-based)”

Superficies representadas sólo por puntos

Quizás incluyendo normales

SIN topología (=relaciones de conectividad)

¿Cómo realizar…?

Renderizado (condicionamiento, transfos y despliegue)

Operaciones de modelado, texturas, materiales, etc.

Simulación (interacciones, deformaciones, animación)

Renderizado

Para cada punto pintar una manchita (“splat”)

Usar normales asociadas para sombreado

Aplicar (quizás) textura

Si los “splats” son más pequeños que el espaciamiento entre ellos, se producen agujeros (gaps).

Y al contrario, el “splatting” de demasiados puntos es ineficiente(hay traslape o repetición).

Ohtake, et al., SIGGRAPH 2003

Renderizado• Algoritmo “QSplat”

Construir árbol jerárgico de los puntosCubrir con esferas un estimado tamaño de racimos (clusters)Renderizar los racimos basándose en el tamaño de la pantallaUsar las normales de los racimos para nodos internos

From Rusinkiewicz y Levoy, SIGGRAPH 2000.

6464

Renderizado

From Rusinkiewicz y Levoy, SIGGRAPH 2000. 6565

Renderizado

From Rusinkiewicz y Levoy, SIGGRAPH 2000. 6666

Renderizado

From Rusinkiewicz y Levoy, SIGGRAPH 2000. 6767

Renderizado

From Rusinkiewicz y Levoy, SIGGRAPH 2000. 6868

Definiendo una Superficie

Dos métodos relacionados

La superficie es como un “punto atractor”

Superficies como conjuntos de puntos (point-set)

Superficie Implícita

Partición multi-nivel de implícitas unitarias

Mínimos cuadrados móviles (MLS) implícitos(IMLS = Implicit Moving Least-Squares)

6969

Superficies de Conjuntos de Puntos

(Point-Set surfaces)• La superficie es el atractor de un proceso

de proyección iteradoHallar puntos cercanos

Ajustar un plano (ponderado)

Proyectar en el plano

Repetir (iterar)

• ¿Converge?

• ¿Cómo ponderar los puntos?

From Amenta y Kil, SIGGRAPH 2004. 7070

Mínimos Cuadrados Móviles Implícitos

Definir una función escalar que es cero cuando pasa a través de todos los puntos:

From Shen, et al., SIGGRAPH, 2004.

( ) 0if p

7171

Puntos muestra

Vectores normales

Mínimos Cuadrados Móviles Implícitos

De Shen, et al., SIGGRAPH, 2004.

La función es cero en la fronteraDecrece hacia afuera (inverso de la distancia)

Mínimos Cuadrados EstándarMínimos Cuadrados Estándar

Mínimos Cuadrados Móviles Implícitos

7373

Mínimos Cuadrados MóvilesMínimos Cuadrados Móviles

Interpolación de Mínimos Cuadrados Móviles

7474

Interpolación de Mínimos Cuadrados Móviles

Mínimos CuadradosMínimos Cuadrados

Móviles

InterpolatingInterpolating

ApproximatingApproximating

7575

Interpolación de Mínimos Cuadrados Móviles

1 1( )

( ) NN

bc

b

p

p

T

T

Mínimos cuadrados estándar

c T TB B Bc T TB B B

2 2( ( )) ( ) ( ( ))W c W x x xB B BT T

2 2

1( )

( )w r

r

Interpolación de Mínimos Cuadrados Móviles

Mínimos cuadrados móviles (MLS)

1 1 1 1( , ) ( ) ( , )

( , ) ( , )( )N N NN

w b wc

w wb

x p p x p

x p x pp

T

T

xpi

Interpolación de Mínimos Cuadrados Móviles

Mínimos cuadrados móviles

Mínimos cuadrados

Interpolando

Aproximando

Operaciones de Edición

• Una función implícita puede:

Combinarse con operaciones booleanas

Deformarse

“Trasladarse”

Componerse

y más...

Ohtake, et al., SIGGRAPH 2003

Operaciones de Edición

Ohtake, et al., SIGGRAPH 2003 8080

Ohtake, et al., SIGGRAPH 2003

Operaciones de Edición

8181

Simulación Basada en Puntos

MLS originados en la literatura de Ing. mecánica

Uso natural en gráficos para animación

From Mueller, et al., SCA, 2004. 8282

8383

Non-uniform, rational B-spline(NURBS) is a mathematicalmodel commonly used in

computer graphics forgenerating and representing

curves and surfaces• The control points determine

the shape of the curve.

A subdivision surface is a method of

representing a smooth surface via the

specification of a coarser polygon mesh.

• A Refinement Scheme is then applied to this

mesh.• This process takes that

mesh and subdividesit, creating new vertices

and new faces.