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CONDUCCIÓN DE CALOR EN ESTADO INESTABLE

FLUJO DE CALOR TRANSITORIO Y PERIODICO

• SE ANALIZARÁN PROBLEMAS QUE PUEDEN SIMPLIFICARSE SUPONIENDO QUE LA TEMPERATURA ES UNA FUNCIÓN DEL TIEMPO Y ES UNIFORME A TRAVÉS DEL SISTEMA EN CUALQUIER INSTANTE.

• ADEMAS SE CONSIDERARAN MÉTODOS PARA RESOLVER PROBLEMAS PRÁCTICOS DE FLUJO DE CALOR INESTABLE CUANDO LA TEMPERATURA DEPENDE NO UNICAMENTE DEL TIEMPO, SINO VARIA EN EL INTERIOR DEL SISTEMA

FLUJO DE CALOR TRANSITORIO Y PERIODICO

• No obstante que no existen en la naturaleza materiales que poseen una conductividad térmica infinita, muchos problemas de flujo de calor transitorio pueden resolverse con exactitud aceptable, suponiendo que la resistencia conductiva interna del sistema es tan pequeña, que la temperatura dentro del sistema es uniforme en cualquier instante

FLUJO TRANSITORIO DE CALOR EN SISTEMAS CON RESISTENCIA INTERNA

DESPRECIABLE

• Esta simplificación está justificada cuando la resistencia térmica externa entre la superficie del sistema y el medio que lo rodea es grande, comparada con la resistencia térmica interna del sistema que controla el proceso de transferencia de calor

• Una medida de la importancia relativa de la resistencia térmica dentro del cuerpo sólido, es la razón de la resistencia interna a la externa.

• Esta razón se llama Número de Biot:

h = Conductancia por unidad de superficie promediokS = Conductividad térmica del cuerpo sólidoL =Tiene dimensiones de longitud y es una constante

significativa que se obtiene al dividir el volumen del cuerpo por el área de su superficie

Sk

LhBiot =

1,0p

Sk

LhBiot =

En cuerpos cuya forma se asemeja a una placa, a un cilindro o una esfera, el error introducido por la hipótesis de que la temperatura en cualquier instante es uniforme, será menor al 5% cuando la resistencia térmica sea menor del 10% de la resistencia de la superficie externa: es decir:

Para la resolución de este tipo de problemas se procede de la siguiente manera:

• Supongamos un trozo de metal en un baño de templado después de sacarse de un horno caliente y es sumergido bruscamente en un baño:

T0 = Temperatura a la que se extrae del horno.

t0 = Tiempo de inicio del enfriamiento.

= Temperatura del baño a una distancia lejos del trozo de metal, de manera que no varíe con el tiempo.

∞T

Balance energético: Se supone un pequeño trozo de metal fundido en un baño de templado después de sacarse de un horno caliente, se supone que el trozo se extrae del horno a una temperatura uniforme To y se sumerge tan bruscamente que se puede aproximar el cambio a la temperatura ambiente por un paso. Sea el tiempo de inicio como “t” y la temperatura del baño como “Too”

Cambio de la energía interna del trozo de metal durante t

Flujo neto de calor del trozo de metal al baño durante t

=

dtTTAshdTVCp )(_

∞−=− ρ

Balance energético:

Donde:

Cp = Calor especifico del trozo de metal (BTU / lb ºF) (kJ /kg. ºc)= Densidad del trozo de metal (lb / pie3) (kg. /m3)

V = Volumen del trozo de metal (pie3) (m3)T = Temperatura promedio del trozo de metal (ºF) (ºC)As = Área superficial del trozo de metal (pie2) (m2)dT = Cambio de temperatura durante dt (ºF) (ºC)

= Unidad de conductancia unitaria por convección (BTU / h pie2 ºF) (kcal /h m2 ºC)

t = Tiempo (seg.)kS = Conductividad térmica del material (BTU / h pie ºF) (w / m ºC)

El signo menos de la ecuación indica que la energía interna decrece cuando T > Too

ρ

_

h

tVCp

Ash

eTTo

TT

tVCp

Ash

TTo

TTLn

dtVCp

Ash

TT

TTd

TT

dT

ρ

ρ

ρ

_

_

_

)(

)(

−=

∞−∞−

−=∞−∞−

−=∞−∞−=

∞−

La cantidad:

Tiene una dimensión de tiempo y se llama constante de tiempo, y su valor es indicativo de la rapidez de la respuesta.

Los resultados del análisis se pueden expresarse en términos de parámetros adimensionales.Considerando una longitud característica (L = V / As) en unidades de longitud siendo una constante significativa del cuerpo

Ash

VCp_

ρ

Variación de la energía interna

• Para determinar la variación de la energía interna del sistema durante el intervalo de tiempo:

dtTTAshdTVCp )(_

∞−=− ρ

−==−∞

==−∞

−∞=

=

∫

−

−

−

−

−

Ash

VCpedte

ToTAsh

Q

eeToTAsh

q

eVCp

AshToT

dt

dT

dt

dTVCpq

t tVCp

Asht

VCp

Ash

FoBi

tVCp

Ash

tVCp

Ash

_0

**

_

))((

*

_

*_

__

_

_

1)(

)(

*)(

ρ

ρ

ρ

ρρ

ρ

ρ

Multiplique el numerador y denominador del exponente:

( )( )

=

=

=

∞−∞−

=

=

2

22

)()(

2

__

.

***

L

taFo

seg

m

h

pie

Cp

ksa

eTTo

TT

FoBiL

t

Cp

ks

ks

Lh

ksL

ksL

LCp

th

FoBi

ρ

ρρ

Cuerpo semi infinitoSi la temperatura en el interior de una placa no cambia durante un proceso, la distribución de temperatura cerca de la superficie es idéntica a aquella en una placa infinitamente gruesa que se designa como cuerpo semi infinito.

Cuerpo semi infinito

Se considera que el cuerpo semi infinito se mantiene a una temperatura inicial Ti. Se reduce bruscamente la temperatura de la superficie y se le mantiene a una temperatura To;

X

TiToox

o dx

dtkAq

=

−=

Cuerpo semi infinito

0),(

),(

12

2

>==

∂∂=

∂∂

tparaTotoT

TioxTt

T

ax

T

1. La distribución de temperatura en el cuerpo esta originalmente uniforme a To

2. En el instante t = 0 la cara del sólido semi infinito se pone en contacto con un fluido a Too

3. La conductancia por unidad de superficie “h” sobre la cara en x = o es constante y uniforme.

Cuerpo semi infinito

Para este caso la solución de la ecuación

0),(

),(

12

2

>==

∂∂=

∂∂

tparaTotoT

TioxTt

T

ax

T

∫

∫

−==

−=∂∂−=

=

−−

∞

∞

∞

∞

t

at

x

a

tTTAksqdtQ

ta

TTAks

x

TAksq

deta

xG

errordeGaussdeegrallaesta

xG

Donde

ta

xG

TT

TT

0

0

0

2

0

0

)(2

2

2

int2

:

2

2

π

π

βπ

β

Flujo transitorio de calor en una placa infinita

En los casos anteriores se analizaron métodos analíticos para flujo transitorio que pueden simplificarse despreciando la resistencia térmica dentro del sistema.Cuando el número de Bi es mayor que 0,1 se pueden resolver por métodos gráficos.Si se tiene una pared de manera que el perfil de temperatura es simétrico con respecto al plano central, de manera que el gradiente de temperatura debe ser cero en el centro, siendo esta condición igual a la condición de frontera para la cara aislada.

Flujo transitorio de calor en una placa infinita

L L

X

Y (oo)Z (oo)

Aplicaciones a placas cuyo espesor es pequeño con relación a otras dimensiones, cilindros en que el diámetro es pequeño comparado con la longitud y esferas.

Las soluciones graficas fueron dadas por HEISLER para los tres casos.

Flujo transitorio de calor en una placa infinita

En los tres casos la temperatura ambiente para la convección es Too y la temperatura central para x = o ó r = o es To. En tiempo cero se supone que cada sólido tiene una temperatura inicial informe Ti.En las graficas se dan las temperaturas en los sólidos, como funciones del tiempo y la posición espacial.

∞

∞

∞∞

−=−=

−−=

TT

TT

TtrTóTtxT

oo

ii

θθθ ),(),(

Flujo transitorio de calor en una placa infinita

Si se desea una línea central de temperatura solo se necesitara una grafica para obtener el valor de

y en seguida de To. Para determinar una temperatura fuera del centro se necesitan dos graficas para calcular el producto:

oθ

oi

o

i θθ

θθ

θθ =

Cuerpo en dos y tres dimensiones

Se mostrara como combinar las soluciones de problemas en una dimensión, para obtener soluciones de problemas transitorios de dos y tres dimensiones

Sistema de coordenadas para una barra rectangular infinitamente larga

bplacaaplacabarraTT

TT

TT

TT

TT

TT

20200

*

−∞−

∞−−=

−−

∞

∞

∞

∞

Sistema de coordenadas para un cuerpo en forma de tabique

cplacabplacaaplacatabiqueTT

TT

TT

TT

TT

TT

TT

TT

2020200

**

−−

−∞−

∞−−=

−−

∞

∞

∞

∞

∞

∞

Sistema de coordenadas para un cilindro finito

aplacainitocilindroalongcilindroTT

TT

TT

TT

TT

TT

20inf02.0

*

−∞−

∞−−=

−−

∞

∞

∞

∞

Sistema de coordenadas para la cuarta parte de un cuerpo infinito

yxyxTT

TT

TT

TT

TT

TT

−∞−

∞−−=

−−

∞

∞

∞

∞

00,0

*

Sistema de coordenadas para la octava parte de un cuerpo infinito

zyxzyxTT

TT

TT

TT

TT

TT

TT

TT

−−

−∞−

∞−−=

−−

∞

∞

∞

∞

∞

∞

000,,0

**

Sistema de coordenadas para un cilindro semi infinito

xrxrTT

TT

TT

TT

TT

TT

−∞−

∞−−=

−−

∞

∞

∞

∞

00,0

*