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Confronto fra angoli La dimensione dell’angolo è l’ampiezza
in base all’ampiezza gli angoli si dicono:
congruenti (uguali)
maggiore
minore
la somma di due angoli la ottieni portandoli ad essere consecutivi
(il lato del primo deve appoggiare al lato del secondo angolo)
la bisettrice dell’angolo è una sola, ed è il segmento che parte dal vertice
dell’angolo e divide a metà l’angolo stesso
Un angolo minore di uno retto si dice acuto
Un angolo maggiore di uno retto si dice ottuso
complementari se la somma forma un angolo retto
supplementari se la somma forma un angolo piatto
esplementari se la somma (angolo blu e angolo rosso)
forma un angolo giro
Enti Geometrici
Punto indicato con lettere maiuscole A,B,C...
non ha ne dimensioni, ne parti
Linea ha 1 sola dimensione, la lunghezza
si indica con le lettere minuscole a, b, c...
curva retta spezzata
aperta chiusa semplice intrecciata
Retta contiene infiniti punti ed è illimitata in entrambe le direzioni
Piano ha 2 dimensioni, larghezza e lunghezza
queste figure si chiamano piane
Spazio ha 3 dimensioni, larghezza, lunghezza e altezza
queste figure si chiamano solidi
rapporto tra enti
enti tutti separati fra loro si dicono distinti
enti tutti uniti fra loro si dicono coincidenti
un punto rispetto al piano o alla retta può:
appartenere
non appartenere
una retta rispetto al piano può:
giacere
se tutti i punti appartengono al piano
e lo dividono in due parti
intersecare
se un solo punto appartiene al piano
punto di intersezione
parallela
se nessun punto è sul piano
simbolo di parallelismo
due rette su un piano possono essere:
complanari
se appartengono allo stesso piano
incidenti se hanno un solo punto in comune
parallele
se non hanno punti in comune
coincidenti
hanno tutti i punti in comune
gli assiomi sono delle affermazioni
1° assioma: da un punto passano infinte rette
2° assioma: da due punti passa una sola retta
Km hm dam m dm cm mm
Chilometro km 1km=10hm=100dam=1000m
Ettometro hm 1hm=10dam=100m
Decametro dam 1dam=10m
Metro m 1m
Decimetro dm 1dm=0,1m
Centimetro cm 1cm=0,1dm=0,01m
Millimetro mm 1mm=0,1cm=0,01dm=0,001m
esempio:
3 hm 9 m
2 km 4 hm 5 m
9 dam 5 cm
posiziona i numeri al loro posto nella tabella
dove non è indicata la lunghezza metti 0
metti la virgola dopo il primo numero a sinistra e riporta tutte le cifre
3hm 9m = 3,09
2km 4hm 5m = 2,405
9dam 5cm = 9,005
Km hm dam m dm cm mm
3 0 9
2 4 0 5
9 0 0 5
L’unità della misura di superficie è il metro quadrato
La misura di superficie ha due dimensioni
altezza e larghezza
Km2 hm2 dam2 m2 dm2 cm2 mm2
Chilometro quadrato km2 1km2=100hm2=10.000dam2=1.000.000m2
Ettometro quadrato hm2 1hm=100dam=10.000m2
Decametro quadrato dam2 1dam=100m2
Metro quadrato m2 1m2
Decimetro quadrato dm2 1dm=0,01m2
Centimetro quadrato cm2 1cm=0,01dm=0,0001m2
Millimetro quadrato mm2 1mm=0,01cm=0,0001dm=0,000001m2
esempio: m2 0,35 = dm2
ogni misura di superficie occupa due caselle (perchè le dimensioni sono due)
quindi la virgola si sposta di due posti
l’equivalenza vuole sapere quanti dm2 quindi sposto di due posti la virgola
m2 0,35 = dm2 35
Km2 hm
2 dam2 m2 dm2 cm
2 mm2
0, 3 5
0 3 5,
L’unità della misura di volume è il metro cubo
la misura di volume ha tre dimensioni
altezza larghezza e profondità
Km3 hm3 dam3 m3 dm3 cm3 mm3
Chilometro cubo km3 1km3=1000hm3=1.000.000dam3=1.000.000.000m3
Ettometro cubo hm3 1hm3=1000dam3=1.000.000m3
Decametro cubo dam3 1dam3=1000m3
Metro cubo m3 1m3
Decimetro cubo dm3 1dm3=0,001m3
Centimetro cubo cm3 1cm3=0,001dm3=0,000001m3
Millimetro cubo mm3 1mm3=0,001cm3=0,000001dm3=0,000000001m3
esempio: m3 0,35 = dm3
ogni misura di volume occupa tre caselle (perchè le dimensioni sono tre)
quindi la virgola si sposta di tre posti
l’equivalenza vuole sapere quanti dm3 quindi sposto di tre posti la virgola
m3 0,35 = dm3 350
Km3 hm
3 dam3 m3 dm3 cm
3 mm
3
0, 3 5 0
Parallelismo
trasversale è una retta che taglia tutte le rette di un fascio
Proprietà
Si osservano gli angoli che una trasversale forma tagliando due
rette parallele
se prendiamo la metà colorata e la soprapponiamo alla metà
sopra, si vede che gli angoli corrispondono esattamente
trasversale
1 2
3 4
5 6
7 8
Alterni interni sono congruenti
Alterni esterni sono congruenti
1 2
3 4
5 6
7 8
1 2
3 4
5 6
7 8
Corrispondenti sono congruenti (uguali)
Alterni esterni sono congruenti
gli angoli alterni interni e esterni sono congruenti
gli angoli corrispondenti sono congruenti
gli angoli coniugati sono supplementari
due rette sono parallele quando tutti i punti di una, hanno la
stessa distanza dall’altra
1 2
3 4
5 6
7 8
Coniugati esterni sono supplementari
Cioè formano sommati un angolo piatto
1 2
3 4
5 6
7 8 Coniugati interni
Sono supplementari
Cioè formano sommati un angolo
piatto
La diagonale è un segmento che unisce due vertici non
consecutivi
Regola:
per sapere quante diagonali escono da ogni vertice bisogna
togliere il numero 3 dal numero dei lati del poligono
n (lati) - 3
quadrato 4 lati 4-3= 1 diagonale che esce da ogni vertice
pentagono 5 lati 5-3= 2 diagonali che escono da ogni vertice
Regola:
per sapere quante diagonali ci sono un poligono bisogna applicare
questa formula
n x (n – 3) : 2
quadrato 4 lati 4 x (4-3):2 = 2 diagonali nel quadrato
pentagono 5 lati 5 x (5-3):2 = 5 diagonali nel pentagono
Proprietà dei poligoni
La misura di un lato deve sempre essere più piccola della somma
degli altri lati.
esempio 1° lato lungo 6
2° lato lungo 3
3 °lato lungo 5
4 °lato lungo 10
6 + 3 + 5 = 14
il quarto lato deve essere minore di 14
Si (somma angoli interni)
la somma degli angoli interni di un triangolo è 180°
la somma degli angoli interni di un quadrilatero è 360°
la somma degli angoli interni di un pentagono è 540°
la somma si ottiene moltiplicando 180° x (n (lati) – 2)
Si = 180° x (n-2)
di un esagono:
Si = 180° x (6-2) = 180° x 4 = 720°
Se sappiamo la somma degli angoli possiamo stabilire quanti lati
ha il nostro poligono con la formula inversa
720° : 180° + 2 = 6
n = Si : 180° + 2
la somma degli angoli esterni di qualsiasi poligono è sempre 360°
se la somma di un angolo interno con il suo esterno è 180°
possiamo dire che la somma totale degli angoli interni e esterni
del triangolo è:
180° x 3 (angoli) = 540°
540° (somma angoli totali) - 180° (somma angoli interni) = 360°
del quadrilatero è:
180° x 5 (angoli) = 900° ecc…
900° - 540° = 360°
per calcolare la somma degli angoli esterni basterà togliere dalla
somma totale, la somma degli angoli interni ottenendo la somma
degli angoli esterni
Se = St - Si
1. la somma di un angolo interno con il suo corrispondente
esterno è sempre 180°
2. la somma degli angoli interni di un triangolo è 180°
3. la somma degli angoli interni si moltiplica 180° per il numero
dei lati meno 2
4. per calcolare il numero dei lati sapendo la somma degli
angoli si divide questa con 180° più 2
5. la somma degli angoli esterni di un poligono è sempre 360°
Poligoni (in greco sign. figura con molti angoli)
linea spezzata
AB/BC/CD sono lati
A – B – C - D sono vertici
Una spezzata può essere: semplice intrecciata
chiusa aperta
una spezzata semplice chiusa ha una parte interna finita
e una esterna infinita
A D
C
B
A
D
C
B
Parte interna
finita Parte esterna
infinita
Il poligono è una parte di piano finito delimitato da una
spezzata chiusa
la linea spezzata costituisce
il contorno o confine del poligono
AB/BC/CD/DE/EA sono i lati del poligono
A/B/C/D/E sono i vertici del poligono
i vertici che hanno un lato in comune sono consecutivi
i lati che hanno un vertice in comune sono consecutivi
la somma dei lati è il perimetro così scritto 2p
il semiperimetro è invece scritto così p
isoperimetrici significa uguale perimetro
A
E
D
C
B
in un poligono ci sono angoli interni formati dai lati consecutivi
in un poligono ci sono angoli esterni formati dal lato e dal
prolungamento del lato consecutivo
in ogni poligono:
l’angolo interno è supplementare (180° angolo piatto) al suo
angolo esterno
i lati, i vertici e gli angoli interni sono in numero uguale
un lato è adiacente ai suoi angoli
un angolo è compreso fra i suoi lati
se i lati sono tutti uguali è un poligono equilatero
se gli angoli sono tutti uguali è un poligono equiangolo
se i lati e gli angoli sono tutti uguali è un poligono regolare
angolo
interno angolo esterno
C B
D A
prolungamento di AD
un poligono è:
convesso se non viene attraversato dai prolungamenti dei suoi lati
concavo se viene attraversato dai prolungamenti dei suoi lati
Convesso non contiene prolungamenti dei lati
concavo contiene prolungamenti dei lati
QUADRILATERI
- 4 lati
- 4 angoli
- 4 vertici
- 2 diagonali
- hanno almeno una coppia di lati opposti e paralleli
- la somma dei lati è il perimetro 2p
- la somma degli angoli interni ed esterni è 360°
- ogni lato è minore della somma degli altri tre
TRAPEZIO
ha 4 lati
di cui 2 opposti e paralleli (base maggiore e base minore)
2 diagonali
la somma degli angoli adiacenti ai lati obliqui (α e β) sono supplementari (angolo piatto 180°)
Base minore
Base maggiore
altezza lati obliqui
C K
AC e KB sono le
proiezioni dei lati obliqui
A B
α
β
Trapezio rettangolo ha due angoli retti
Trapezio isoscele se ha i lati obliqui uguali
Proprietà del trapezio isoscele
- gli angoli alle basi sono uguali α e β
- gli angoli opposti sono supplementari 180° (δ e β)
- le diagonali hanno la stessa lunghezza (sono congruenti)
- le proiezioni dei lati obliqui sono lunghe uguali (congruenti)
Trapezio scaleno se ha i lati obliqui diversi
α β
δ χ
PARALLELOGRAMMA
ha i lati opposti paralleli a due a due
- l’altezza rispetto alla base AB è DH
- l’altezza rispetto alla base BC è DK
- gli angoli opposti sono uguali α β e γ δ - gli angoli consecutivi sono supplementari 180°
α γ − α δ − δ β − β γ - i lati opposti sono uguali AB = CD – AD = BC
- le diagonali si intersecano a metà
A B
C D
H
K
α
β γ
δ
RETTANGOLO
è un parallelogramma che ha 4 angoli retti
e 2 diagonali uguali (congruenti)
le basi possono essere indifferentemente AB o BC o AD o DC
ROMBO
è un parallelogramma che ha 4 lati uguali
- le diagonali sono perpendicolari fra loro
e sono anche le bisettrici degli angoli da cui nascono
A B
C D
A
B
C
D
QUADRATO
è un parallelogramma che ha
- i lati tutti uguali
- gli angoli tutti retti
quindi è un poligono regolare
- le diagonali sono uguali
- sono perpendicolari fra loro
- sono bisettrici degli angoli
A B
C D
Rette
simbolo r s (si legge r perpendicolare a s)
due rette sono perpendicolari se formano 4 angoli retti
di 90°
individuato un punto esterno ad una retta e tracciando
una perpendicolare che parte dal punto, la retta rossa è
una sola, quindi unica
90° 90°
90° 90°
r
s
H Punto di intersezione
H Piede della perpendicolare
o proiezione di P sulla retta
P
H
proiezione di un segmento sulla retta r
A1 e B1 rappresentano la proiezione del segmento
r
A1 B1
A
B
r A = A1 B1
B
r
A
B1
B A1
r
A
A1=B1
B
obliquo incidente
perpendicolare
l’asse di un segmento è la retta perpendicolare che lo
interseca nel punto medio (sign. che lo taglia a metà)
la retta PQ rappresenta l’asse del segmento
qualsiasi punto che appartiene all’asse del segmento ha la
stessa distanza dagli estremi del segmento stesso
AR=RB
AS=SB
Q
A B
P
Q
A B
P R
s
rette parallele
quando non hanno alcun punto in comune
fascio di rette parallele
striscia parte di piano compresa tra due rette
parallele e le rette sono il contorno della striscia
per un punto passa una sola retta parallela alla retta data
striscia
segmento, retta e semiretta
il segmento è una retta compresa fra due punti
chiamati estremi
i segmenti possono essere:
consecutivi
adiacenti
una retta è una linea senza limiti da una parte e
dall’altra, quindi infinita , formata da tanti punti
consecutivi come un tratto di matita
se su una retta appoggiamo un punto chiamato origine,
questo forma due semirette infinite
estremi estremi
semiretta semiretta
origine
Congruenza di triangoli in generale
due triangoli sono congruenti se sovrapposti sono coincidenti
(uguali)
primo criterio
due triangoli sono congruenti se hanno due lati e l’angolo uguali
secondo criterio
due triangoli sono congruenti se hanno un lato e due angoli adiacenti al
lato uguali
terzo criterio
due triangoli sono congruenti se hanno i tre lati congruenti
Congruenza di triangoli rettangoli
Primo criterio due triangoli rettangoli sono congruenti se hanno i due cateti uguali
Secondo criterio due triangoli rettangoli sono congruenti se hanno l’ipotenusa e l’angolo
acuto uguali
Terzo criterio due triangoli rettangoli sono congruenti se hanno un cateto e l’angolo
acuto adiacente uguali
Quarto criterio due triangoli rettangoli sono congruenti se hanno un cateto e l’angolo
acuto opposto uguali
In base a quando detto il criterio generale di congruenza dei
triangoli rettangoli è:
due triangoli rettangoli sono congruenti se hanno l’ipotenusa e il
cateto uguali
cateto ipotenusa
In relazione agli angoli un triangolo può essere:
Triangolo acutangolo se ha tre angoli acuti (meno di 90°)
Triangolo rettangolo se ha un angolo retto (di 90°)
Triangolo ottusangolo se ha un angolo ottuso (più di 90°)
In relazione ai lati un triangolo può essere:
Triangolo isoscele se ha due lati uguali
Triangolo scaleno se ha tutti i lati diversi
Triangolo equilatero se ha tutti i lati uguali
acutangolo triang. rettangolo ottosangolo
isoscele scaleno equilatero
Triangolo rettangolo
visto che la somma degli angoli interni di un triangolo è 180° si
può dire che:
α è 90°
β γ sono complementari cioè la loro somma è 90°
β è 45°
γ è 45°
cateto
cateto
ipotenusa
α
γ
β
Triangolo isoscele
i lati obliqui sono congruenti
il lato diverso è la base
l’angolo opposto alla base è il vertice
gli angoli uniti alla base sono gli angoli alla base
e sono sempre della stessa ampiezza
lato obliquo lato obliquo
base
vertice
angolo alla base angolo alla base
Triangolo
a b c vertici
ab bc ca lati
α β γ angoli
la somma dei lati è il perimetro
i triangoli con il perimetro uguale sono isoperimetrici
per costruire un triangolo ogni lato deve essere più
piccolo della somma degli altri due
la somma degli angoli interni è sempre 180°
a
c
b
α
γ
β
elementi
Triangolo altezza e ortocentro
L’altezza è il segmento che scende perpendicolare dal
vertice al lato opposto
dove il segmento tocca il lato opposto è detto piede
dell’altezza
L’ortocentro è il punto in cui si incontrano le altezze
è interno nel triangolo acutangolo
è coincidente al vertice nel triangolo rettangolo
è esterno nel triangolo ottusangolo
a c
b
altezza
piede
ortocentro
Triangolo asse e circocentro
Gli assi sono rette perpendicolari che passano nella metà
di ogni lato.
In un triangolo sono tre come i lati e il punto in cui gli
assi si intersecano si dice circocentro.
Il circocentro è :
interno
esterno
coincidente con la metà dell’ipotenusa nel triangolo
rettangolo
equidistante dai vertici
assi circocentro
I segmenti rossi sono
equidistanti dai vertici,
infatti se traccio un cerchio
che li tocca tutti posso dire
che rappresentano anche i
raggi del cerchio
Triangolo bisettrice e incentro
La bisettrice è il segmento che scende dal vertice al
lato opposto e divide l’angolo al vertice a metà esatta.
In un triangolo sono tre come i vertici e il punto in cui le
bisettrici si intersecano si dice incentro
L’incentro è sempre all’interno del triangolo ed è
equidistante dai suoi lati.
Infatti i segmenti verdi IN IP IM che scendono
perpendicolari ai lati dall’incentro, sono tutti della stessa
lunghezza quindi sono alla stessa distanza dai lati
(equidistanti)
IN = IP = IM
bisettrice
incentro
mediane e baricentro
la mediana è il segmento che scende dal vertice alla
metà esatta del lato opposto.
In un triangolo sono tre come i lati e il punto in cui le
mediane si intersecano si dice baricentro
il baricentro è sempre all’interno del triangolo e divide la
mediana in due parti di cui una è il doppio dell’altra
fb = fa x 2
mediana
baricentro
a
b
f
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