congruente modulo n si divizibilitate
Post on 25-Nov-2015
232 Views
Preview:
TRANSCRIPT
-
CONGRUENTE
MODULO N
SI DIVIZIBILITATE
Numarul este esena tuturor lucrurilor
Pitagora
-
Profesor
coordonator
Luminita Moise 1.Congruene modulo n 2. Divizibilitate. Numere prime
3. Congruente speciale
4. Conjecturi din teoria numerelor
5. Aplicaii 5.1 Triunghiul lui Pascal,
congruene i numerele prime 5.2 Probleme
-
1. Congruene modulo n
Noiuni generale. DEFINIIE.
Fie m numr natural i a,b dou numere ntregi. Spunem c
a b(mod m) dac m divide a-b.
PROPOZIIE
Fie m numr natural i a,b,c ntregi cu
a b(mod m) . Atunci
1) a + c b + c (mod m)
2) a - c b - c (mod m)
3) ac bc (mod m) .
PROPOZIIE. Dac a b (mod m) i c d ( mod m) , atunci:
1) a c b d (mod m)
2) ac bd (mod m)
-
TEOREMA
(LEMA CHINEZEASCA A RESTURILOR )
Fie s numere naturale
m1 ,m2 ,...,m s astfel c pentru orice i j
( mi ,mj )=1.
Atunci sistemul de congruene
(S) x a1 (mod m1)
x a2 (mod m2)
....................................
x as (mod ms)
are soluie unic modulo M= m1 m2... ms.
-
De ce sunt studiate numerele prime ? - sunt numere monolit, crmizi pe care se construiete tabloul numerelor; - problemele referitoare la ele au enunuri ce pot fi nelese de amatori, chiar dac demonstraiile necesit tehnici speciale; - istoria matematicii abund n afirmaii, probleme cu numere unele dovedite adevrate, altele false i unele chiar nerezolvate.
1.Divizibilitate. Numere prime
-
Divizibilitate n mulimea
numerelor naturale
Teorema lui Euclid
Teorem: Mulimea numerelor prime este infinit
Demonstraia 1 : Utilizm metoda reducerii la absurd . Dac ar fi doar un numr finit p1 , p2 , pn de numere
prime, atunci numrul m = 1+p1 p2 pn nu se divide la niciunul din numerele pi , i =1,n. Deci este prim sau are un divizor prim diferit de numerele date. Am obinut o contradicie.
-
irul numerelor prime mai mici de
5000
-
irul numerelor prime are
goluri de lungime orict de
mare.
(n+1)! + 2 se divide la 2;
(n+1)! + 3 se divide la 3;
(n+1)! + 4 se divide la 4;
..................
(n+1)! + (n+1) se divide la n+1
-
Tabloul numerelor prime
-
Spirala numerelor prime
-
Spirala numerelor prime
-
Teorema numerelor prime
-
ALGORITMUL LUI EUCLID
Proprietate:
Fie a i b doua numere naturale , a b , atunci a) ( a,b) = (b,a-b)
b) Dac r este restul mpririi lui a la b atunci (a,b) = (b.r)
Exemplu. Avem (1547; 560) = 7, deoarece:
1547 = 2 560 + 427 560 = 1 427 + 133 427 = 3 133 + 28 133 = 4 28 + 21 28 = 1 21 + 7 21 = 3 7
-
(252 , 105) = (105,147) = = (105,42) = = (42,63) = = (42,21) = = (21,21) = 21 Un segment reprezinta numarul 21 La fiecare pas, numrul mai mic este sczut din cel mai mare, pn cnd unul dintre numere ajunge s fie zero
-
TEOREMA
Fie a; b N i d = (a; b). Atunci exista u; v din Z astfel ncat
d = au + bv
Exemplu.
Stim deja c (1547; 560) = 7. Atunci: 7 = 28- 1 21 = 28 - 1 (133 - 4 28) = = 5 28 - 1 133 = = 5 (427 - 3 133) - 1 133 = 5 427 - 16 133 = = 5 427 - 16 (560 - 1 427) = 21 427 - 16 560 = = 21 (1547 - 2 560) - 16 560 = 21 1547 - 58
560.
-
Consecin si
TEOREMA lui Dirichlet
Fie a; b N. Atunci (a; b) = 1 dac i numai dac exista u; v Z astfel ncat
1 = au + bv.
TEOREMA. (Dirichlet) Dac a, b N*
iar (a, b)=1, atunci
mulimea {an+b | n N*}
conine o infinitate de numere prime.
-
CONGRUENE SPECIALE.
TEOREMA ( WILSON ).
Dac p este numr prim, atunci
( p 1)! 1(mod p) .
MICA TEOREMA A LUI FERMAT.
Fie p numr prim i a Z, p nu divide a . Atunci, a p1 1 (mod p) .
-
O generalizare a teoremei lui Fermat a fost
dat de Euler
Indicatorul lui Euler sau funcia lui Euler se
noteaz cu (n) -unde n este un numr natural nenul - i
(n) reprezint numrul de numere mai mici dect n i prime cu acesta.
TEOREMA LUI EULER.
Fie a Z, n N* cu (a,n)=1.
Atunci, a (n) 1 (mod n) .
-
4. Conjecturi din teoria numerelor
Cuvntul conjectur provine de la latinescul conjectura = ipotez, prezumie, opinie bazat pe aparene
n acord cu Hilbert (autorul termenului de conjectur) se nelege prin conjectur acea problem deschis care poate furniza arhitectura unei teorii n matematic (sau o direcie nou) sau avansarea unui nou domeniu
EXEMPLU
Ultima conjectur a lui Fermat (cunoscut ca Marea teorem a lui Fermat) a fost c ecuaia xn+yn=zn pentru n3 nu are soluii n Z \{0}i s-a demonstrat n 1994 de ctre matematicianul englez Andrew Wiles.
-
Exist o infinitate de numere prime
Mersenne ? nelegem prin numr prim Mersenne, numrul prim de
forma:
2 p-1
Dintre ultimile numere descoperite sunt
M44 : 232.582.657 - 1.
a fost descoperit in 6 sept 2006 si are 9.808.358 de cifre.
M47 =2 42 643 801-1, are 12 837 064 cifre si a fost
descoperit in 2009
M46 = 243 112 609- 1 numrul descoperit in 2008 are
12 978 189 de cifre (GIMPS, PrimeNet)
-
Numere perfecte
Exist o infinitate de numere perfecte ?
Se nelege prin numr perfect, un numr natural egal cu suma divizorilor si mai puin el nsui. Deci suma divizorilor sai naturali este 2n
De exemplu: 6 = 1+2+3;
28 = 1+2+4+7+14;
-
Olimpiada de matematica , faza pe municipiu Bucuresti , 24 aprilie 2010
Un numar natural n se numeste perfect daca suma divizorilor sai naturali este 2n Demonstrati ca numerele 6, 28, si 496 sunt numere perfecte (Pitagora) Daca p este numar prim si 2p-1 este tot numar prim, demonstrati ca numarul n=2p-1(2p-1) este numar perfect (Euclid)
n=2p-1(2p-1)= 2p-1s Multimea divizorilor lui n este: Dn={1 ,2 , 2
2 ,23, 24, , 2p-1, s,2s, 22 s, 23 s, 24 s, ,2p-1s} Suma divizorilor lui n este: Sn =1 +2 +2
2 +23+ 24+ + 2p-1+ s+2s+ 22 s+ 23 s+24 s+ +2p-1s = =( 1 +2 +22 +23+ 24+ + 2p-1) +s ( 1 +2 +22 +23+ 24+ + 2p-1)= =(2p-1) +s(2p-1)= (2p-1)(1+s) =(2p-1)(1+2p-1)= (2p-1) 2p)= (2p-1) 2p-12=2n
-
Exist totui o infinitate de numere prime Fermat ?
-
Exist o infinitate de numere
prime gemene ? Numerele prime p, q se zic gemene,
dac |p - q| = 2. De exemplu (3;5); (5;7); (17;19); (29;31)
-
Conjectura lui Goldbach
orice numr par > 6 este suma a dou numere prime. De exemplu:
12 = 5 +7, 18 = 5 + 13 = 7 + 11
n anul 2000, editura Faber&Faber a oferit un
premiu de 1 000 000 de dolari pentru
rezolvarea conjecturii lui Goldbach
-
Aplicaii
S se arate c 23 divide numrul n= 3 23+ 5 23 + 15 23
Rezolvare
Se aplic Mica teorem a lui Fermat: ap-1 1 (mod p),
daca p numar prim si a nu se divide la p
pentru p=23
n=323+ 523 + 1523 = 33 22 + 55 22 + 1515 22
31 + 51 + 151 (mod 23) 23( mod 23) 0 ( mod 23)
Deci n se divide la 23
-
Aplicaii 1.Triunghiul lui Pascal, congruene i numerele
prime Triunghiul lui Pascal
Crem mereu cte o nou linie punnd n extremiti 1 i adunnd cele dou numere aflate n
stnga i n dreapta.
-
Triunghiul lui Pascal modulo p , cu p
numr prim
-
4. Bibliografie
[1] D.L.Moise , B. Bogdan, D.Druta, Algoritmi, numere si fractali, editura Printech, 2007
[2] Michael F.Barnsley Fractals every where, Second Edition, Academic Press Professional, 1993.
[3] Florica T. Cmpan Vechi i nou n matematic [4] Luminita Dominica Moise - Portofoliul clasei a VI a editura Printech, 2008 [5] Matematica de ieri i azi Conflict sau continuitate, editura Printech, 2007 [6] Matematica de ieri i de azi Probleme vechi n actualitate , editura
Printech,2008
http://primes.utm.edu/mersenne/
http://www.youtube.com/watch?v=PtsrAw1LR3E
http://ro.wikipedia.org/wiki/Indicatorul_lui_Euler
http://fractali.webs.com/
top related