connettivi logici

Ho il pomeriggio libero………

?

??

?

?

Nessun problema, prima mi alleno un poco e poi vado a vedere un film

Mamma, vado in palestra e al cinema

Ops… gli orari coincidono

Mamma, vado in palestra oppure al cinema

Potrei… gli orari non coincidono, ma se poi sono troppo stanco?

Mamma, vado in palestra oppure al cinema, ma… forse farò entrambe le cose

Le frasi: vado in palestra e al cinema vado in palestra oppure al cinema vado in palestra oppure al cinema, ma forse farò entrambe le cose

vado in palestra

Hanno significati diversi

vado al cinema

e

e

Indica che si compieranno entrambe le azioni

Le frasi: vado in palestra e al cinema vado in palestra oppure al cinema vado in palestra oppure al cinema, ma forse farò entrambe le cose

vado in palestra

Hanno significati diversi

vado al cinemaoppure

Indica che si compierà solo una delle due azioni

oppure

Le frasi: vado in palestra e al cinema vado in palestra oppure al cinema vado in palestra oppure al cinema, ma forse farò entrambe le cose

vado in palestra

Hanno significati diversi

vado al cinemaoppure

Indica che si compierà o un’azione o l’altra o entrambe

ma anche entrambe le cose

oppure entrambe le cose

Le frasi: vado in palestra e al cinema vado in palestra oppure al cinema vado in palestra oppure al cinema, ma forse farò entrambe le cose

descrivono tre diverse situazioni nel linguaggio naturale.

Non sempre però la traduzione del pensiero in parole è inequivocabile

Mamma, vado in palestra o al cinema

L’informazione

Può lasciare qualche dubbio alla mamma:

Farà una sola o entrambe le attività?

Per evitare gli equivoci che possono essere determinati dall’uso della lingua naturale è opportuno costruire un linguaggio artificiale preciso non ambiguo

Il primo passo verso la costruzione di un linguaggio artificiale è il concetto di proposizione elementare

Una proposizione è un enunciatoche può essere vero (V) oppure falso (F)

La verità o falsità di una frase deve essere verificabile da chiunque: essa non può dipendere dalle idee o dai gusti personali.

Non possiamo considerare proposizioni una domanda, un ordine, oppure un’esclamazione.

Per esempio:

• Che ore sono?

• E’ vietato fumare.

• Se fossi un mago!

• Mi piace. E’ bello. E’ buona. Lo amo.

Non sono proposizioni

•Anche la frase:

“Io sono bugiardo”

Non è una proposizione.

Se infatti è vero che sono bugiardo, la frase è vera, ma mentre la dico sto mentendo, quindi non sono bugiardo. Se non è vero che sono bugiardo, la frase è falsa, ma mentre la dico sto mentendo, quindi sono bugiardo.

Per le proposizioni devono poi valere i seguenti principi fondamentali che esprimono il fatto che la logica delle proposizioni è una logica bivalente:

PRINCIPIO DI NON CONTRADDIZIONE:

Una proposizione non può essere contemporaneamente vera e falsa.

PRINCIPIO DEL TERZO ESCLUSO:

Una proposizione o è vera o è falsa, non esiste una terza possibilità

Esempi

Sono proposizioni:

1. Il Sole è una stella;

2. Parigi è la capitale dell’Olanda;

3. 15 è un numero primo

Esempi

NON sono proposizioni:

1. L’hamburger è buonissimo;

2. Viva l’Italia;

3. Che cosa farai domani;

4. La Juve è la squadra più forte!

Definizione

• Di definisce VARIABILE LOGICA ogni lettera utilizzata al posto di una proposizione

Ad esempio, per indicare cha la lettera p rappresenta la proposizione

“Il Po è il fiume più lungo d’Italia”, si scrive:

p: “Il Po è il fiume più lungo d’Italia”

Altri esempi

• p: “Il numero 5 non è primo”

• q: “Il numero 6 è multiplo di 3”

E si scriverà:

p [F] e q [V]p [F] e q [V]

Per attribuire il valore di verità alle due proposizioni.

LE TAVOLE DI VERITA’

Nei due esempi precedenti abbiamo potuto attribuire il valore di verità alle proposizioni.

Se invece consideriamo una proposizione generica p, dobbiamo esaminare i casi possibili:

p è vera, oppure p è falsa

LE TAVOLE DI VERITA’Useremo una tabella, chiamata

tavola della verità,

formata, nel caso di una sola proposizione, da una sola colonna:

p

V

F

LE TAVOLE DI VERITA’

p q

v v

v F

F V

F F

Se le proposizioni da analizzare sono due, p e q, si possono presentare 4 casi (22);

Se le proposizioni sono 3, p, q ed s, si avranno 8 casi (23); con le relative tabelle:

p q r

v V V

v V F

v F V

v F F

F V V

F V F

F F V

F F F

ENUNCIATO significa:

“insieme di parole o simboli dotato di senso”

"": uovapolloesempioPer

Oppure: “Pape satàn aleppe”

Non sono enunciati.

“Canti molto bene”, o “ a + b * c”

Sono enunciati

Si possono costruire proposizioni composte collegando due o più proposizioni semplici

Si possono definire operazioni sulle proposizioni che permettono di ottenerne nuove a partire da quelle date

Tali operazioni si chiamano operazioni logiche e si indicano con segni detti

Connettivi logici

Disgiunzione

Congiunzione

Negazione

prof. Passaro

A tali connettivi ne corrispondono alcuni della lingua italiana e della lingua inglese

Operazioni logiche

Connettivo logico

Connettivo

Lingua italiana

Connettivo

Lingua inglese

Negazione ~ non not

Congiunzione e and

Disgiunzione V o or

A partire dalle proposizioni semplici, senza preoccuparci di stabilire se siano vere o false, con l’uso dei connettivi

logici si possono formare proposizioni composte

La logica delle proposizioni definisce regole mediante le quali si può stabilire la verità o la falsità di una proposizione composta per ogni valore di verità delle sue proposizioni componenti

Queste regole vengono descritte dalle cosiddette tavole di verità dei connettivi logici, nelle quali si considerano tutti i possibili valori di verità delle proposizioni e, in corrispondenza di ciascuno di essi, si definisce il valore di verità delle proposizioni composte

La negazione logica ~

Il connettivo ~ corrisponde alla negazione “non” nella lingua italiana e “not” nella lingua inglese

La definizione di valore di verità di ~ p per ciascuna delle due possibilità è espressa dalla seguente tavola di verità:

p ~ pV F

F V

Indicando con p una proposizione semplice

La negazione logica cambia il valore di verità della

proposizione

Per negare una proposizione semplice bisogna aggiungere “non” davanti al predicato, oppure

aggiungere all’inizio della proposizione la frase

“ non è vero che”

p: “Rimini è una città di mare” [v]

~ p: “Rimini non è una città di mare” [F]

~ p: “Non è vero che Rimini è una città di mare” [F]

N.B. Non si nega una proposizione cambiando il predicato in un altro.

p: la macchina è nera

~p: “La macchina non è nera ” è corretto;

~p: “La macchina è gialla ” è sbagliato;

La congiunzione logica

Il connettivo corrisponde, in genere, alla congiunzione “e” nella lingua italiana e “and” nella lingua inglese

La tavola di verità deve riportare i valori di verità di p q per quatto casi possibili:

p q p qV V V

V F F

F V F

F F F

Indicando con p e q due proposizioni semplici

La congiunzione di due proposizioni è vera solo quando le due proposizioni componenti

sono entrambe vere

E’ falsa in tutti gli altri casi

La disgiunzione logica V(disgiunzione inclusiva)

Il connettivo V corrisponde, in genere, al connettivo “o” nella lingua

italiana e “or” nella lingua inglese

La tavola di verità deve riportare i valori di verità di p Vq per quatto casi possibili:

p q p V qV V V

V F V

F V V

F F F

Indicando con p e q due proposizioni semplici, si legge p o q, o anche “p vel q”.

La disgiunzione di due proposizioni è vera tranne nel

caso in cui le due proposizioni componenti

sono entrambe false

Le frasi: vado in palestra e al cinema vado in palestra o al cinema

vado in palestra vado al cinema

Sono proposizioni composte, formate dalle proposizioni:

Indica che si compieranno entrambe le azioni

Mamma, vado in palestra e al cinema

e corrisponde alla congiunzione:

p io vado al cinema

q io vado in palestra

p q io vado al cinema e io vado in palestraLa congiunzione è vera se entrambe le proposizioni sono vere

Indica che si compierà o un’azione o l’altra o entrambe

Mamma, vado in palestra o al cinema

e corrisponde alla disgiunzione inclusiva:

p io vado al cinema

q io vado in palestra

p V q io vado al cinema o io vado in palestra

La disgiunzione è vera se una delle proposizioni è vera o se entrambe le proposizioni sono vere

La disgiunzione esclusiva o…o..

Il disgiunzione corrisponde, in genere, al connettivo “o…o…”

nella lingua italiana e “aut” nella lingua latina, e si legge “o p o q”;si usa anche il termine XOR, dall’inglese eXclusiveOR

La tavola di verità deve riportare i valori di verità di p q per quatto casi possibili:

p q p qV V F

V F V

F V V

F F F

Indicando con p e q due proposizioni semplici

.

La disgiunzione esclusiva:alcuni esempi.

p: “10 è minore di 100”q: “10 è maggiore di 100”

La proposizione: p q:“10 o è minore di 100 o è maggiore di 100 è vera