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Construcción de un pantógrafo casero con abate lenguas y su simulación en
Geogebra.
Resumen.
En el presente trabajo se aborda el análisis de las propiedades geométricas de un
pantógrafo referentes a la semejanza. Desarrollamos un pantógrafo utilizando
abate lenguas y tornillos y modelamos su movimiento en Geogebra. El documento
resume el trabajo llevado a cabo principalmente en nuestra escuela con la
orientación de nuestro profesor de matemáticas, aunque también hubo
colaboración y orientación, que resultó muy valiosa, por parte de dos de
profesores de la Facultad de Ciencias de la UNAM.
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Introducción.
1.1. Marco Teórico en que se sustenta la investigación.
Motivación.
Los instrumentos de dibujo han sido considerados en los tratados de la geometría
desde tiempos de Euclides, cuyos primeros postulados implícitamente definen
hasta ahora el tipo de instrumentos que se permiten en las construcciones
geométricas.
Los primeros trabajos sobre los mecanismos articulados fueron motivados por el
diseño de locomotoras. El objetivo era construir un dispositivo que convirtiera un
movimiento lineal del pistón en el movimiento circular de una rueda. Uno de esos
intentos fue el descubrimiento de James Watt que ahora se conoce como
“Paralelogramo de Watt”, creado para resolver el problema de unir el pistón de su
máquina de vapor con un punto de un volante, de forma que la rotación del volante
hiciese mover el pistón en línea recta.
¿Qué es un pantógrafo?
Un pantógrafo es un instrumento de dibujo cuyo principio es usar una imagen guía
para efectos de ampliarla o reducirla. Su invención se atribuye a un jesuita alemán
llamado Cristopher Scheiner en el año 1603 (Montiel, 2012). Existen diferentes
configuraciones en los diseños de un pantógrafo, pero estos tienen en común en
su diseño que constan de un pivote y cruces o articulaciones de palos de madera
o metal.
Una posible configuración para construir un pantógrafo es a partir de dos barras
largas de la misma longitud y dos cortas, cuya suma de longitudes es igual a la
longitud de una larga, en donde los puntos , y están alineados (Cuevas
Vallejo, Mejía Velasco, Bertrand Pluvinage, & Zubieta, 2005), como se muestra en
la Figura 1; es importante señalar también que el cuadrilátero es un
paralelogramo.
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Figura 1. Posible configuración de un pantógrafo.
Análisis del pantógrafo construido.
Debido a que el pantógrafo construido involucra un paralelogramo y conceptos de
semejanza en triángulos, mencionaremos brevemente la definición de semejanza
en triángulos, de paralelogramo y algunas de sus propiedades.
Conceptos de semejanza en triángulos.
Se dice que dos triángulos son semejantes cuando tienen sus ángulos
respectivamente iguales y sus lados proporcionales. El signo de semejanza es
(Baldor, 2005). Lo que significa que si los triángulos y son
semejantes (Figura 2), entonces se cumple:
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Figura 2. Ejemplo de semejanza en triángulos.
Adicionalmente se tomará en cuenta el resultado del siguiente teorema.
Teorema: Toda paralela a un lado de un triángulo forma un triángulo semejante al
primero con los otros lados.
Como ejemplo de lo anterior, considérese la Figura 3. En ella , por lo cual
.
Figura 3. Semejanza cuando se traza una paralela al lado de un triángulo.
Conceptos relacionados a paralelogramos.
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Un paralelogramo es un cuadrilátero cuyos pares de lados opuestos son iguales y
paralelos dos a dos. Algunas características adicionales de los paralelogramos
son (Pérez Porto & Gardey, 2012):
- Todos los paralelogramos poseen cuatro lados y cuatro vértices, ya que
pertenecen al grupo de los cuadriláteros.
- Sus ángulos opuestos miden lo mismo.
Figura 4. Ejemplo de paralelogramo.
Análisis del Pantógrafo construido.
En nuestro caso, el pantógrafo que construiremos es similar al mostrado en al
mostrado en la Figura 5.
Figura 5. Pantógrafo que se construyó.
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Observando con mayor detenimiento se notará que el pantógrafo consiste de un
triángulo isósceles con un paralelogramo inscrito, es decir, algo como lo que se
muestra en la Figura 6; es decir que considerando la construcción de la Figura 6,
es isósceles y es un paralelogramo.
Figura 6. Configuración del pantógrafo que se construyó.
Considerando que si se traza una paralela a un lado del triángulo, entonces se
forma un nuevo triángulo que es semejante al primero (es decir con misma forma
pero diferente tamaño) y tendremos que como , entonces y
como es isósceles, entonces también será isósceles con lados
iguales y . Por otra parte como , entonces también será
isósceles con lados iguales y (Figura 7).
Figura 7. Paralelas trazadas a los brazos del pantógrafo.
Considerando como apoyo nuevamente la Figura 6, si consideramos que tiene
una longitud y la longitud del segmento , entonces:
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Como es un paralelogramo, entonces
Debido a que y como el es isósceles, se tiene
.
A su vez como es un paralelogramo, entonces
es isósceles al igual que ,
Finalmente como el es isósceles, .
Figura 8. Dimensiones en el pantógrafo que se construyó.
Por otra parte, la razón de semejanza entre sería:
La razón de semejanza entre sería:
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1.2. Objetivos de la investigación.
Construir un pantógrafo casero, analizarlo y simular su movimiento a través de
Geogebra.
1.3. Problemas que se abordaron.
Construcción de un pantógrafo con materiales de bajo costo y alta disponibilidad.
Simulación del movimiento de un pantógrafo en Geogebra.
1.4. Hipótesis formulada para su comprobación.
Con abate lenguas y tornillos se podrá construir un pantógrafo y verificar su
funcionamiento así como sus fundamentaciones teóricas.
2. Desarrollo.
2.1 Pasos para simular el movimiento de un pantógrafo en Geogebra.
1. Al abrir el programa Geogebra, en el inicio hay un plano cartesiano, en el
origen se colocara un punto que llamaremos .
2. Crear dos deslizadores con las siguientes características:
El primero se llamara , su medida mínima será 0 y la máxima 10, con un
aumento de 0.1.
El segundo será del cual su medida mínima será 0 y la máxima con un
aumento de 0.1.
3. En este paso crearemos un círculo, cuyo centro sea el punto con radio
.
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4. A partir de un nuevo punto, al que llamaremos construiremos otra
circunferencia, con radio de . La intersección de las circunferencias se
llamará (Figura 9).
Figura 9. Procedimiento para simular el movimiento del pantógrafo.
5. Se creara una nueva circunferencia cuyo centro será y su radio será .
6. Trazar una semirrecta que tenga origen en y pase por .
7. Definir el punto punto en donde intersecta la semirrecta y la
circunferencia (Figura 10).
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Figura 10. Procedimiento para simular el movimiento del pantógrafo.
8. Se traza una paralela al segmento que pace por .
9. Se traza una paralela a la semirrecta que pase por .
10. Se definirá un punto en donde la paralela intersecta con la paralela
(Figura 11)
Figura 11. Procedimiento para simular el movimiento del pantógrafo.
11. Se traza una semirrecta con origen en la cual para por .
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12. Se definirá un nuevo punto en la intersección de la párlela , con la
semirrecta (Figura 12).
Figura 12. Procedimiento para simular el movimiento del pantógrafo.
13. Se ocultaran todos los trazos que no sean segmentos o puntos y se definen los
segmentos , y (Figura 13).
Figura 13. Procedimiento para simular el movimiento del pantógrafo.
2.2 Pasos seguidos para construir nuestro pantógrafo casero.
A continuación se proporciona una tabla con los materiales empleados y su costo.
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Materiales Costo total
4 abate lenguas $7.00
5 tornillos con su tuerca $7.50 (1.50 c/u)
taladro Prestado
Papel cascarón $3.50
Broca prestada
Pasos para construir el pantógrafo con abate lenguas.
1. Primero agarramos 4 abate lenguas del mismo tamaño y grosor y ponemos
una de manera horizontal y la otra de manera vertical y marcamos el ancho de
los palitos en cada uno de los palitos (Figura 14). En cada espacio que tiene
cada abate lenguas marcar un puntito en el centro y con un clavo o algo con
punta hacer una marca para agujerar con el taladro (Figura 15). Al momento de
agujerar con el taladro ponerlo en una base (por ejemplo un cuadrito de unicel
y una base de cinta adhesiva) sostener fuerte el abate lenguas para que no se
valla a romper o provoquemos un accidente y así con todos los abate lenguas.
(Figura 16.).
Figura 14.
Figura 15.
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Figura 16.
2. Unimos dos abate lenguas por los extremos, para formar los brazos más
grandes del pantógrafo (Figura 17). Como se puede observar se puede formar
imaginariamente un triángulo isósceles.
Figura 17.
3. Luego construimos un paralelogramo con los otros dos abate lenguas cuidando
que se formen triángulos isósceles (Figura 18).
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Figura 18
4. Agujeramos el papel cascaron y fijamos el mecanismo, y le ponemos los
lápices donde se muestra (Figura 19).
Figura 19
3. Resultados.
Una imagen del pantógrafo construido con abate lenguas se muestra a
continuación en la Figura 20.
Figura 4
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Figura 20. Funcionamiento del pantógrafo hecho con abate lenguas.
Por su parte, una imagen de la animación hecha en Geogebra se muestra en la
Figura 21.
Figura 21. Funcionamiento de la animación del pantógrafo.
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4. Análisis e interpretación de resultados. Confiabilidad de los resultados
obtenidos y su interpretación fundamentada.
Consideraremos nuevamente las dimensiones en el pantógrafo construido.
Figura 22. Dimensiones en el pantógrafo construido
Como se mostró en la expresión , la razón de semejanza del triángulo y
el triángulo al es:
Esto quiere decir que trazamos una figura cualquiera, la razón de los lados de la
figura trazada por el extremo y la figura trazada por será justamente . Para
corroborar esto en nuestra animación, haremos que , lo cual ocurre por
ejemplo cuando y , pues:
Entonces trazaremos un par de cuadrados y el lado del cuadrado más grande
tendrá que ser justamente el triple que el lado del cuadrado más chico. En la
Figura 23, se puede apreciar que esto resulto cierto para la animación.
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Figura 23. Validación de la construcción hecha en Geogebra.
En el caso del modelo físico, debe tenerse cuidado de formarse triángulos
isósceles pues pese a que se forme un paralelogramo con los abate lenguas,
pueden obtenerse construcciones en las cuales todos los triángulos implicados no
son isósceles como en el caso que se muestra en la Figura 24.
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Figura 24. Armado erróneo de pantógrafo.
Nos hemos dado cuenta de que este caso corresponde a que el punto no esté
dentro del segmento ; una representación gráfica de este caso se muestra en la
Figura 25.
Figura 25. Armado erróneo del pantógrafo.
Y en este caso las relaciones de semejanza descritas en el apartado 1.1 no son
válidas. Así que, las posibles configuraciones que pueden obtenerse con el
pantógrafo construido son las que se muestran en la Tabla 1.
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Tabla 1. Posibles configuraciones del pantógrafo construido con abate lenguas.
Para corroborar que esto es correcto, nuevamente haremos que la razón de
semejanza sea , sólo que en este caso tomaremos y pues en
este caso:
Nuevamente dibujaremos un cuadrado y se debe cumplir que los lados del
cuadrado más grande sean tres veces más grandes a las del cuadrado más chico.
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Esto se corrobora aproximadamente en la Figura 26 en la que hemos dibujado un
cuadrado de unidades de lado y obtenido un cuadrilátero de aproximadamente
unidades de lado y también un cuadrado de unidades de lado y obtenido un
cuadrilátero de aproximadamente unidades de lado.
Figura 26. Figuras trazadas con el pantógrafo construido.
Cabe mencionar que el costo del material requerido para construir el pantógrafo
fue de $18.00 y que hoy en día no es tan común encontrarlo en las papelerías;
aun así logramos conseguir uno, cuyo costo fue de $60.00, casi tres veces más
caro.
5. Conclusiones.
Los propósitos de este trabajo fueron estudiar las propiedades geométricas del
pantógrafo relativas a la semejanza y comprobarlas tanto en forma virtual como
desarrollando un mecanismo físico articulado. Estos objetivos se lograron cubrir.
También hemos podido comprobar que la situación económica o nuestro contexto
social pueden no ser obstáculo cuando de aprender, conocer y poner en práctica
se trata. Debido a lo anterior consideramos que la investigación que llevamos a lo
largo de un año ha cumplido con los objetivos trazados.
6. Fuentes de información. Listado de la bibliografía y páginas Web
consultadas.
21
Baldor, A. (2005). Geometría plana y del espacio: con una introducción a la
trigonometría. México: Grupo Patria Cultural.
Cuevas Vallejo, C. A., Mejía Velasco, H. R., Bertrand Pluvinage, F. C., & Zubieta,
B. G. (2005). Geometría analítica dinámica. México: Oxford University
Press.
Montiel, S. (21 de Octubre de 2012). Pantógrafo. Recuperado el Febrero de 2017,
de https://prezi.com/db0ybe1o7jwy/pantografo/
Pérez Porto, J., & Gardey, A. (2012). Definición de paralelogramo. Recuperado
el Febrero de 2017, de http://definicion.de/paralelogramo/
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