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ContentsIntroductionThe Haar TransformConservation and Compaction of EnergyHaar WaveletsMultiresolution AnalysisSignal CompressionRemoving Noise

IntroductionA haar wavelet : 가장 간단한 type 의 wavelet The haar transform

Discrete form of haar wavelets 와 관련모든 wavelet transform 의 prototype손 계산 가능

The Haar Transform (1)Analyze 될 signals : discrete signals

N: f 의 길이로서 positive even integer f 의 값 : N 개의 실수

Equally spaced sample values or simply sample values 아날로그 signal g 를 등 간격인 시간 t = t1, t2, … , tN

에서 sampling

The Haar Transform (2)Haar transform

Discrete signal 을 길이가 반인 두개의 subsignal 로 분해 Running average (trend)

First trend : a1 = (a1, a2, … , aN/2 ) a1= (f1+f2)/2 * =>

m = 1,2,3,…,N/2 Running difference (fluctuation)

First fluctuation : d1 = (d1, d2, … , dN/2 ) d1=(f1-f2)/2 * =>

m = 1,2,3,…,N/2

The Haar Transform (3)The Haar transform : 여러 stages or levels 로 수행

첫번째 level 의 mapping H1 :

Inverse of H1 : (a1 | d1) → f

Small fluctuations feature : fluctuation subsignal 값의 크기는 original signal 값의 크기보다 상당히 작다 . 의 평균값 : 7 의 평균값 : 6.6 배 차이

The Haar Transform (4) Small fluctuations feature

로 부터 1024 개 값 추출g 가 매우 작은 time 간격을 가진다면 ,

Conservation and Compaction of Energy (1)

Conservation and Compaction of Energy (2)Multiple levels transform

Conservation of energy :

Compaction or localization of the energy of f a2 :

Energy : 90% of f Length : 1/4

a3 : Energy : 87.89% of f Length : 1/8

Conservation and Compaction of Energy (3)Cumulative energy profile :

Conservation and Compaction of Energy (4) 수학적 증명으로 보는 energy conservation

Haar Wavelets (1)1-level haar wavelets

성질 각각 energy 가 1평균값 0 을 가진 두 값 사이에서 빠른 fluctuation

으로 구성첫번째 haar wavelet 의 짝수 time translation

Haar Wavelets (2)Scalar product

첫번째 fluctuation subsignal d1 using haar wavelets :

두번째 fluctuation subsignal d2 using haar wavelets :

1-level haar wavelets 을 가지고 첫번째 fluctuation 표현 가능

Haar Wavelets(3)1-level haar scaling signals

1-level haar scaling signals 을 가지고 첫번째 trend 표현가능 :

성질 각각 energy 가 1두개의 연속적인 time index 로 구성된 support 를 가짐첫번째 haar scaling signal 의 짝수 time translation

Haar Wavelets(4)2-level haar scaling signals

2-level trend

2-level haar wavelets

2-level fluctuation

Multiresolution Analysis (1)두 signal

에 대해

Multiresolution Analysis (2) Basic idea of MRA

Signal f : a lower resolution signal(5,5,11,11,7,7,5,5) 과 fluctuation signal(-1,1,-1,1,1,-1,0,0) 의 합으로 표현

에서 a1 ,a2, …,aN/2 과 d1 ,d2, …, dN/2 분리

Multiresolution Analysis (3)2-level of a MRA of a signal f

k-level of a MRA of a signal f

Multiresolution Analysis (4)10-levels of MRA

Signal Compression (1)Audio signal Method of wavelet transform compression

Signal 에 wavelet transformThresholding

Transform 된 값의 크기를 큰 값부터 정렬 Threshold 보다 작은 값은 0

Transmit Transformed data + significance map (0 or 1)

Inverse wavelet transform

Signal Compression (2)Original signal 을 복원하려면 energy 의 99.99% 이상이 포함되도록

threshold 를 선택해야 함1024 : 51 ≒ 20 : 1 압축 4096 : 410 ≒ 10 : 1 (99.99%

이상이 되려면 2.3 : 1 이상이 되야 함 , 즉 ,

1782 개 이상 )

Removing Noise (1)Contaminated signal = original signal + noisef = s + nRandom noise 만 고려

Noise signal : highly oscillatory, 평균값 위아래로 빠르게 변함

Transform 에 의해 original signal 은 적은 개수의 높은 에너지로 집약되고 노이즈는 낮은 에너지를 가지게 됨

Threshold method of wavelet denoising s 의 energy 측정 : 대부분의 에너지가 형성되는

thresholdTs > 0 찾음

Noise signal 의 transform 값을 모두 포함하는 Ts 보다 작은 threshold Tn 값

Tn 값보다 작은 값은 0Root Mean Square Error (RMS Error)

Removing Noise (2)RMS : 0.057 -> 0.011 0.057 ->

0.035