coordinate systems

Στη γενική περίπτωση μπορούμε να ορίσουμε άπειρα συστήματα συντεταγ-μένων τα οποία να μας επιτρέπουν να προσδιορίσουμε τη θέση ενός σημείου.Στη Φυσική χρησιμοποιούνται αρκετά. Τα βασικά από αυτά θα εξετάσουμε εδώ.

Θα εξετάσουμε τα συστήματα ανάλογα με τις διαστάσεις του προβλήματος

Ορίζουμε τον άξοναΟρίζουμε την αρχή

Προσανατολίζουμε (+/)

Μονάδα μέτρησης π.χ. m

0+

ΜΙΑ ΔΙΑΣΤΑΣΗ

+31,5

Κάθε σημείο προσδιορίζεται μονοσήμαντα

x

x x

ΔΥΟ ΔΙΑΣΤΑΣΕΙΣΚαρτεσιανό ΣύστημαΔυο κάθετοι μεταξύ τουςπροσανατολισμένοικαι βαθμονομημένοι άξονες

Αy

xxA

yA

Έστω σημείο Α στο επίπεδο

Η θέση του προσδιορίζεται από τις προβολές στους άξονες xA, yA

Η θέση κάθε σημείου προσδιορίζεταιαπό ζεύγος τιμών x, y.

0

x y x y

ΔΥΟ ΔΙΑΣΤΑΣΕΙΣΠολικό Σύστημα

Για να προσδιορίσουμε τηθέση του σημείου Απρέπει να χρησιμοποι-ήσουμε και πάλι ένα ζεύγος τιμών.

Το σχεδιάζουμε μαζί με το καρτεσιανόγια να καταλάβουμε τη σχέση μεταξύ τους

y

x0

ρ

φ

Α

Την απόσταση από την αρχή των αξόνων ρ

Τη γωνία φ που μετριέταιαπό το θετικό ημιάξονααντίθετα από τη φοράτων δεικτών του ρολογιού

Η θέση κάθε σημείου προσδιορίζεταιαπό ζεύγος τιμών ρ, φ.

0 0 2 0

0 2

Σχέση μεταξύ Πολικών και Καρτεσιανών συντεταγμένων

y

x0

ρ

φ

Α

x

y

Γεωμετρικά εύκολαβρίσκουμε ότι

Συμβολισμοί που θαχρησιμοποιούμε

συν cos ημ sin εφ tan σφ cot

συν cos ημ sin εφ tan σφ cot

cosx

siny

ΤΡΕΙΣ ΔΙΑΣΤΑΣΕΙΣΚαρτεσιανό Σύστημα (δεξιόστροφο)

Τρεις κάθετοι μεταξύ τουςπροσανατολισμένοικαι βαθμονομημένοι άξονες

Α

y

xxA

yAΈστω σημείο Α στο χώρο

Η θέση του προσδιορίζεται αν φέρουμε την προβολή τουΑ΄στο xy επίπεδο και βρούμεΤις xΑ , yΑ και την προβολή τουzΑ στον z άξονα. Η θέση κάθε σημείου προσδιορίζεται

από τρία μεγέθη x, y, z.

0

z

Α΄

zA

x y z

x x y z

Κυλινδρικό ΣύστημαΟυσιαστικά πρόκειται γιαΤο πολικό σύστημα στοΕπίπεδο (π.χ. το x,y)

Α

y

x

Έστω σημείο Α στο χώροΗ θέση του προσδιορίζεται αν φέρουμε την προβολή τουΑ΄στο xy επίπεδο και βρούμετις ρΑ, φΑ και την προβολή τουzΑ στον z άξονα. Η θέση κάθε σημείου προσδιορίζεται

από τρία μεγέθη ρ, φ, z.

0

z

Α΄

zA

ΤΡΕΙΣ ΔΙΑΣΤΑΣΕΙΣ

Με την προσθήκη ενόςάξονα (π.χ.) του z)

ρΑ

φΑ

0 0 2

z

0 0 2

z

Σχέση συντεταγμένων Κυλινδρικού και Καρτεσιανού Συστήματος

Α

y

x

0

z

Α΄

z

ΤΡΕΙΣ ΔΙΑΣΤΑΣΕΙΣ

ρφ

Από το σχήμα, αλλά και απότις σχέσεις τις οποίες βρήκαμεγια το πολικό σύστημα στο επίπεδο έχουμε:

cosx

siny

z z

Γιατί λέγεται το σύστημα Κυλινδρικό;

Α

y

x

0

zz

ΤΡΕΙΣ ΔΙΑΣΤΑΣΕΙΣ

Εάν διατηρήσουμε σταθερό το ρ, ενώ θα μεταβάλλουμε το φ και το z σχηματίζεται κύλινδροςΤο σύστημα χρησιμοποιείται σε προβλήματα με κυλινδρική συμμετρία, π.χ. μαγνητικό πεδίο ρευματοφόρου αγωγού.

ΤΡΕΙΣ ΔΙΑΣΤΑΣΕΙΣΣφαιρικό Σύστημα

Η θέση του Α προσδιορίζεταιαπό τα εξής μεγέθη: Α

y

x

rΑ

θΑ

Την απόσταση rΑ από την αρχή

Η θέση κάθε σημείου προσδιορίζεταιαπό τρία μεγέθη r, θ, φ.

0

z

Α΄φΑ

Την γωνία φΑ που ορίζεται όπως και η πολική. Την γωνία θΑ που μετριέταιπάντα από τοθετικό ημιάξονα z

0 r 0 2 0

0 r 0 2 0

Α

y

x

r

θ

0

z

Α΄φ

ΤΡΕΙΣ ΔΙΑΣΤΑΣΕΙΣΣχέση μεταξύ

Σφαιρικών και Καρτεσιανών συντεταγμένωνΑπό το σχήμα εύκολα παίρνουμε:

Ρ

θΤελικά:

( )cosx ( )siny

( ) sinr (OP) cosz r

sin cosx r

sin siny r

cosz r

y

x

r0

z

Γιατί λέγεται το σύστημα Σφαιρικό; ΤΡΕΙΣ ΔΙΑΣΤΑΣΕΙΣ

Εάν διατηρήσουμε σταθερό το r, ενώ θα μεταβάλλουμε το φ και το θ σχηματίζεται σφαίραΤο σύστημα χρησιμοποιείται σε προβλήματα με σφαιρική συμμετρία, π.χ. βαρυντικό πεδίοΤης Γης.

Είναι γνωστό ότι πολλά φυσικά μεγέθη θεωρούνται διανυσματικά (π.χ. Δύναμη, ταχύτητα, επιτάχυνση, γωνιακή ταχύτητα κ.τ.λ)

Συμβολισμός του διανύσματος:

Συμβολισμός του μέτρου του διανύσματος:

х

z

y

Στο Καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων (όπως θα μάθουμε και σε όλα τα συστήματα συντεταγμένων) μπορούμε να ορίσουμε ένα σύστημα μοναδιαίων διανυσμάτων:

Τότε ένα διάνυσμα μπορούμε να το γράψουμε με τη βοήθειά τους

a aa a

i

j

k

ˆ ˆ ˆ, ,

x y zi = u j = u k = u

{ }

x y z x y za = a i a j a k a ,a ,a

Όπου οι συνιστώσες του διανύσματος a .x y za , a , a

θ

ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ

Το εσωτερικό γινόμενο δύο διανυσμάτων είναι βαθμωτό μέγεθος

b

a

cos

a b a,b ab ab θ

ab ba ( )

a b + c ab + ac

0 0 90 ,

a,b ab θ = a b.Άν και

m ab ma b = a mb ab m

x y z x y za = a i + a j + a k, b = b i + b j + b k 1, 0

ii = jj = kk = ij = jk = ki =

x x y y z zab = a b + a b + a b

φ

Το εξωτερικό γινόμενο δύο διανυσμάτων είναι διάνυσμα, κάθετο και στα δύο διανύσματα

ˆ[ ] sin

a b a,b nab φˆ[ ] sin

a b a,b nab φ[ ]

a b a,b

a

b

n

α είναι το μέτρο του και b το μέτρο του .

a

bα είναι το μέτρο του και b το μέτρο του .

a

bφ είναι η μικρότερη γωνία μεταξύ των και .

a

b

φ είναι η μικρότερη γωνία μεταξύ των και .

a

b

Το είναι μοναδιαίο διάνυσμα το οποίο προκύπτει ως εξής:

nΤο είναι μοναδιαίο διάνυσμα το οποίο προκύπτει ως εξής:

n

Στρέφουμε το πρώτο διάνυσμα του γινομένου (στην προκειμένη περίπτωση το ) προς το δεύτερο (εδώ

το ), ακολουθώντας τη γωνία φ. Τότε το έχει τη φορά δεξιόστροφης βίδας.

a

b n

Στρέφουμε το πρώτο διάνυσμα του γινομένου (στην προκειμένη περίπτωση το ) προς το δεύτερο (εδώ

το ), ακολουθώντας τη γωνία φ. Τότε το έχει τη φορά δεξιόστροφης βίδας.

a

b n

φ

n

ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ

b

a

[ ] b a b,a a b

? b a =

ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ

0 0 0 , //

a,b a b = a b.Άν και

( )

a b + c = a b + a c

( ) ( ) ( ) ( )

m a b ma b a mb a b m

0 i i = j j = k k =

i j = k, j k = i, k i = j

x y z

x y z

i j ka b a a a

b b b

x y z x y za = a i + a j + a k, b = b i + b j + b k

a

b

S

a

b

S

a

b

S

a

b

S

a

b

S

φh

h

S

S

S = S = εμβαδόν παραλληλογράμμου

b a = S

sin

a b a b φ

a b a h

a b = S

b

a

Μήπως θα ήταν σκόπιμο να παριστάνουμε ΚΑΘΕ επίπεδο με διάνυσμα;

S΄

θ

x

z

y

θΑς υποθέσουμε ότι έχουμε το επίπεδο S στο χώρο.Βρίσκουμε την προβολή του S΄ στο επίπεδο xy.Ξέρουμε ότι cosS S

ΕΠΟΜΕΝΩΣ: ΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ ΜΠΟΡΟΎΜΕ ΝΑ ΤΟ ΠΑΡΑΣΤΗΣΟΥΜΕ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ

Αν σύμφωνα με όσα είπαμε προηγουμένως παριστάναμε τα 2 επίπεδα με 2 διανύ-σματα , τότε είναι κατανοητό, πως το

θα ήταν η προβολή του στον άξονα z (ΒΟΛΙΚΟ).

S S

και S

S

S΄

S

S

Διανύσματα είναι μόνο τα επίπεδα;ΤΙ ΓΙΝΕΤΑΙ ΜΕ ΤΙΣ ΑΛΛΕΣ ΕΠΙΦΑΝΕΙΕΣ;

ΔSi

Έστω τυχαία επιφάνεια S στο χώρο.

Τη χωρίζουμε σε πολύ μικρές επιφάνειες ΔSi.

όμως

ii

S ΔSόμως

ii

S ΔS

iΔS

iΔS

Επειδή είναι μικρές κάθε μια τη θεωρούμε επίπεδο

και σ’ αυτό αντιστοιχούμε διάνυσμα

iΔS

Επειδή είναι μικρές κάθε μια τη θεωρούμε επίπεδο

και σ’ αυτό αντιστοιχούμε διάνυσμα

iΔS

ii

S = ΔS

φ

ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΕΡΜΗΝΕΙΑ

x

y = f(x)y

ΔxΔy

x1 x1+Δх

ΔxΔy

x1+Δх

φ φtan ΔyΔx

tan dydx

ΦΥΣΙΚΗ ΕΡΜΗΝΕΙΑΟ στιγμιαίος «ρυθμός» μεταβολής ενός μεγέθους σε σχέση με κάποιο άλλο (όχι

απαραίτητα το χρόνο).Ταχύτητα

dxdt

Επιτάχυνση

dadt

Θερμοχωρητικότητα

VdUCdT

Συμβολισμοί:

dxdt

2

2

d xdt

3

3

d xdt

x1

Έστω μια ανεξάρτητη μεταβλητή x.Έστω Δх μια μεταβολή της x.Αν Δх 0 χρησιμοποιούμε το συμβολισμό dx και ονομά-ζουμε το dx διαφορικό της ανεξάρτητης μεταβλητής x.ΕΡΩΤΗΜΑΕάν έχω συνάρτηση y=f(x) και η ανεξάρτητη μεταβλητή x μεταβληθεί κατά dx, πόσο θα μεταβληθεί η y;ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΑΠΑΝΤΗΣΗ

x

y= f x( )y

x + x1 Δ

ΔxΔyφ

Βλέπουμε ότι αν το x μεταβληθεί κατά Δx, τότε θα έχουμε: tanΔy Δx Και για Δх 0

tanΔy dy dx dy dxdx

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΑΠΑΝΤΗΣΗΘΕΩΡΙΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜ

ΑΈστω συνάρτηση y=f(x)

3y xΤότε y΄=f(x+Δx) 3( )y x Δx Με τι ισούται η διαφορά Δy=y΄ y=f(x+Δx) f(x);

3 3( ) ;Δy x Δx x

Αποδεικνύεται ότι Δy=ΑΔx+ο(Δx)όπου Α=Α(x) (δεν εξαρ-τάται από το x) και ο(Δx) συνάρτηση του Δx δύνα-μης μεγαλύτερης της 1ης Για Δx 0 A=(dy/dx) και ο(Δx) 0

dydy dxdx

3 3 3 2( ) 3x Δx x x x Δx

2 3 33 ( ) ( )+ x Δx Δx x

2 2 33 [3 ( ) ( ) ]x Δx+ x Δx Δx

Για Δx 023dy x dx

dydy dxdx

ΜΕΡΙΚΑ ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΑ ΚΙ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ

Ο γενικός τύπος μας επιτρέπει να θεωρούμε

την παράγωγο ως λόγο.

dydy dxdx

r

drΈστω κύκλος ακτίνας r.Πόσο θα αυξηθεί το εμβαδόν του, αν η ακτίνα του αυξηθεί κατά dr ;Συμβατική απάντηση:

2 2( )dS r dr r 22 ( )rdr dr

2S r

Διαφορικό:

2dSdS dr rdrdr

2 rdr0

ΜΕΡΙΚΑ ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΑ ΚΙ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ

Με τον ίδιο τρόπο μπορούμε να απαντήσουμε στο ερώτημα, πόσο θα αυξηθεί ο όγκος σφαίρας, αν η ακτίνα του αυξηθεί κατά dr ;

343

V r 24dVdV dr r drdr

ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΕΙΣΠΡΟΣΕΓΓΙΣΕΙΣΜπορούμε να χρησιμοποιήσουμε τον ορισμό του διαφορικού για μερικές ΠΟΛΥ ΧΡΗΣΙΜΕΣ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ προσεγγίσεις. Από τον γενικό τύπο του διαφορικού μπορούμε να περάσουμε στον προσεγγιστικό

dydy dxdx

( ) ( ) dyΔy y x Δx y x Δxdx

( ) ( ) dyy x Δx y x Δxdx

ΜΕΡΙΚΑ ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΑ ΚΙ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣΠΡΟΣΕΓΓΙΣΕΙΣΠΡΟΣΕΓΓΙΣΕΙΣ ( ) ( ) dyy x Δx y x Δx

dx

Τον τύπο αυτό μπορούμε να τον χρησιμοποιήσουμε με μεγάλη επιτυχία, υπό την προϋπόθεση ότι Δx<<x

Παραδείγματα:

11,03

= ;

0,97 1,04 = ;

1,02

1 1( ) . ( ) .y x y x Δxx x Δx

Έστω Τότε

2

( ) 1 1( ) ( ) dy xy x Δx y x Δx Δxdx x x

1 1 11, 0,03 0,03 0,971 0,03 1 1

x Δx

ΜΕΡΙΚΑ ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΑ ΚΙ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣΠΡΟΣΕΓΓΙΣΕΙΣ – ΜΕΡΙΚΟΙ ΓΕΝΙΚΟΙ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΕΙΣ – ΜΕΡΙΚΟΙ ΓΕΝΙΚΟΙ

ΚΑΙ ΧΡΗΣΙΜΟΙ ΤΥΠΟΙΚΑΙ ΧΡΗΣΙΜΟΙ ΤΥΠΟΙ

(1 ) [1 ( ) ]а a

ln(1 )а a

1ae a

sin cos 1 0

0 1a

Αυτοί οι τύποι είναι μερικές περιπτώσεις της σειράς Taylor

2 31 1 1( ) (0) (0) (0) (0) ...1! 2! 3!

f x f f x f x f x

ν – ρητός αριθμός

Η παράγωγος που ξέρουμε αναφέρεται σε συνάρτηση μιας με-ταβλητής. Τι γίνεται αν έχουμε συνάρτηση πολλών μεταβλητών; Π.χ. Και θέλουμε να δούμε πως μεταβάλλεται το υ

όταν μεταβληθεί είτε το s είτε το t.

st

Για συνάρτηση f(x, y, z,…) χρησιμοποιούμε την έννοια της μερικής παραγώγου.

fx

Παραγωγίζουμε ως προς x, θεωρώντας τις άλλες μεταβλητές σταθερές. f

y

Παραγωγίζουμε ως προς y, θεωρώντας τις άλλες μεταβλητές σταθερές.

1s t

2

st t

Όσον αφορά τη δεύτερη παράγωγο, έχουμε μερικών ειδών: 2

2

fx

2

2

fy

2 fx y

2 fy x

2

2 0s

2

2 3

2st t

2

2

1s t t

2

2

1t s t

Διαφορικό συνάρτησης πολλών μεταβλητών f(x, y, z).

f f fdf dx dy dzx y z

Έστω διάνυσμα

( ) ( ) ( ) ( )x y za t a t i a t j a t k

Αν ο χρόνος αυξηθεί κατά Δt το διάνυσμα θα γίνει ( ) ( ) ( ) ( )x y za t Δt a t Δt i a t Δt j a t Δt k

Εξετάζουμε την παράσταση

0

( ) ( )limΔt

a t Δt a tΔt

0

( ) ( )lim[ x x

Δt

a t Δt a ti

Δt

( ) ( ) ( ) ( )]y y z z

a t Δt a t a t Δt a tj k

Δt Δt

=

yx zdada dai j k

dt dt dt

dadt

Η παράγωγος διανύσματος είναι διάνυσμα, οι συνιστώσες του οποίου είναι οι παράγωγοι των

συνιστωσών του αρχικού διανύσματος

0limΔt

ΔaΔt

ΙΔΙΟΤΗΤΕΣΕάν σταθερό (κατά μέτρο και διεύθυνση)

a 0dadt

( )d ma damdt dt

( )d a b da dbdt dt dt

( )d ab da dbb adt dt dt

( )d a b da dbb a

dt dt dt

Αx

y

( )r t

( )

ds t

( )r t + Δt

Δr

dr

Έστω σωματίδιο που κινείται στο επίπεδο διαγράφοντας μια συγκεκριμένη τροχιά και τη χρονική στιγμή t βρίσκεται στη θέση Α.Η στιγμιαία ταχύτητά του θα δίνεται από τη γνωστή σχέση:ds

dt

Όπου η στοιχειώδης μετατόπιση σε χρόνο dt.

ds

Το διάνυσμα δείχνει τη θέση του σωματιδίου τη χρονική στιγμή t και ονομάζεται διάνυσμα θέσης.

( )r t

Μετά από χρόνο Δt το διάνυσμα θέσης θα είναι το ( )r t Δt

Βλέπουμε εύκολα, ότι

( ) ( )Δr = r t Δt r t

Κατανοούμε ότι για

0,Δt Δr dr = ds

dr = ds

y

x

( )r t

ΑΕπομένως η στιγμιαία ταχύτητα του σωματιδίου θα είναι: dr

dt

Έστω x, y οι συντεταγμένες του σημείου Α. Τότε θα έχουμε:( ) ( ) ( )r t x t i y t j

Επομένως:

dr dx dyi jdt dt dt

х yi j

Θα ισχύει:

,х ydx dydt dt

Εντελώς ανάλογα:x y z

dr dx dy dzi j k i j kdt dt dt dt

Σύμφωνα με όσα είπαμε παραπάνω για την επιτάχυνση (στις 2 διαστάσεις) θα ισχύει:

Ενώ για τις 3 διαστάσεις:

yx zdd dda i j k

dt dt dt dt

x y za i a j a k

2 2 2

2 2 2

d x d y d zi j kdt dt dt

ΠΡΟΣΟΧΗ!!! Όλα αυτά ισχύουν στο Καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων!

yx ddda i jdt dt dt

2 2

2 2

d x d yi jdt dt

x ya i a j

Βρείτε, στη γενική περίπτωση, την ταχύτητα (για κίνηση σε 2 διαστάσεις) στο πολικό σύστημα συντεταγμένων

Για ΚΑΘΕ σύστημα συντεταγμένων, για την ταχύτητα θα ισχύει ο γενικός ορισμός

drdt

Για το πολικό σύστημα συντεταγμένων επομένως πρέπει να ορίσουμε το .r

Για να το κάνουμε πρέπει να έχουμε τα μοναδιαία διανύσματα του πολικού συστήματος.

uu

х

yΤα μοναδιαία διανύσματα ορίζονται ως εξής:

Ο

Α1. Για σημείο Α φέρουμε την ΟΑ που ορίζει το ρ.

Το μοναδιαίο διάνυσμα ορίζεται κατά μήκος του ρ και φορά από το Ο προς το Α.

u

2. Το μοναδιαίο διάνυσμα που αντιστοιχεί στη γωνία φ, το , είναι κάθετο στο και δείχνει τη φορά μέτρησης του φ.

uu

ΑΠΟ ΤΟΝ ΟΡΙΣΜΟ ΕΙΝΑΙ ΣΑΦΕΣ, ΠΩΣ ΤΑ ΜΟΝΑΔΙΑΙΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΕΞΑΡΤΩΝΤΑΙ ΑΠΟ

ΤΟ ΣΗΜΕΙΟΑΝ ΕΧΟΥΜΕ ΝΑ ΚΑΝΟΥΜΕ ΜΕ ΣΩΜΑΤΙΔΙΟ ΠΟΥ

ΚΙΝΕΙΤΑΙ, ΘΑ ΕΧΟΥΜΕ ΜΕΤΑΒΟΛΗ ΚΑΙ ΤΩΝ ΜΟΝΑΔΙΑΙΩΝ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΩΝ

Επιστρέφουμε στο πρόβλημά μαςΕξετάζουμε και πάλι το σημείο Α, το οποίο περιγράφει τη θέση του σωματιδίου μια τυχαία χρονική στιγμή. Ας εκφράσουμε το διάνυσμα θέσης του σωματιδίου στις πολικές συντεταγμένες

ˆρr = ρu

Τότε, σύμφωνα με τα γνωστά για την ταχύτητα θα έχουμε

ˆ( )ρd ρudr =

dt dtΚατά την παραγώγιση πρέπει να πάρουμε υπόψη μας ότι και το ρ και το είναι μεταβλητάu

ˆ ˆ( )ˆ

ρ ρ

ρ

d ρu dudr dρ= u ρdt dt dt dt

uu

х

y

Ο

Α

Πρέπει να υπολογίσουμε τοˆρdu

dt

r

uu

х

y

Ο

Α

i

j

1ος ΤΡΟΠΟΣΣχεδιάζουμε τα μοναδιαία διανύσματα και του καρτεσιανού συστήματος στο ίδιο σχήμα

j

i

Σχεδιάζουμε και τα 4 μοναδιαία διανύσματα στους x, y άξονες με κοινή κορυφή το Ο

j

i

uu

Ο х

y

j

i

uu

Ο х

yΦέρνουμε τις προβολές του στους άξονες x και y.

u

Τότε, από το σχήμα βλέπουμε ότι ισχύει:

(1)ˆ cos sinu i j

Φέρνουμε τις προβολές του στους άξονες x και y.

uΘα ισχύει:

ˆ si (2c )n osu i j

Για να υπολογίσουμε την πρέπει να παραγωγίσουμε την (1) ως προς το χρόνο

ˆ /du dt

ˆsin cos

du d di jdt dt dt

( sin cos ) di jdt

Από τη (2) παίρνουμε:

ˆˆ

du dudt dt

u

u

х

y

Ο

Α

uu

Α΄

d

Έστω ότι σε χρόνο dt το σωματίδιό μας μετατοπίσθηκε από τη θέση Α στη θέση Α΄.

2ος ΤΡΟΠΟΣ

Τότε η θέση του θα προσδι-ορίζεται από τις συντεταγμένες ρ΄=ρ+dρ (το dρ μπορεί να είναι θετικό ή αρνητικό) και φ΄=φ+dφ (το ίδιο και το dφ).Τα μοναδιαία διανύσματα θα είναι τώρα και . u u

Σχεδιάζουμε και τα 4 μοναδιαία διανύσματα με κοινή κορυφή.

d

d u

u

u

u

d

d u

u

u

u

ˆdu

ˆduΕνώ η μεταβολή του , .

ˆduuΔΕΝ ΠΡΕΠΕΙ ΝΑ ΞΕΧΝΑΜΕ ΟΤΙ ΑΥΤΕΣ ΟΙ ΜΕΤΑΒΟΛΕΣ ΚΑΙ ΤΟ dφ ΕΙΝΑΙ ΑΠΕΙΡΟΣΤΑ ΜΙΚΡΕΣΞέρουμε ότι . Επειδή το dφ είναι απειροστά μικρό μπορούμε να θεωρήσουμε το τόξο κύκλου ακτίνας 1.

ˆdu

ˆ ˆ 1u u

Στην περίπτωση αυτή η μεταβολή του θα είναι .

u ˆdu

Επειδή το dφ είναι απειροστά μικρό μπορούμε να θεωρήσουμε ότι το είναι ταυτόχρονα κομμάτι της εφαπτομένης, δηλαδή είναι κάθετο στο .

ˆdu

u Επομένως θα είναι παράλληλο προς το .

u

ˆ ˆ ˆdu du u ˆd uˆ

ˆdu dudt dt

ˆ 1 .du R d d d Επομένως:

ΑΟΡΙΣΤΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑΗ ολοκλήρωση είναι η αντίστροφη πράξη

της παραγώγισης

Δηλαδή αν ισχύει

Θα έχουμε Όπου C σταθερά.

Στη Φυσική η σταθερά C υπολογίζεται από κάποιες συνθήκες (αρχικές ή ενδιάμεσες) του προβλήματος.

Για να υπολογίσουμε ένα ολοκλήρωμα χρησιμοποιούμε κάποια μέθοδο ολοκλήρωσηςΑΛΑΓΗ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝΠΑΡΑΓΟΝΤΙΚΗ ΟΛΟΚΛΗΡΩΣΗΤο αόριστο ολοκλήρωμα είναι ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ

( ) ( )f x dx F x C

( )dF f xdx

ΟΡΙΣΜΕΝΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ

x

y

y=f(x)

a b

Έστω συνάρτηση y=f(x) με πεδίο ορισμού ax b. Χωρίζουμε το πεδίο ορισμού σε πολλά μικρά τμήματα Δxi το κέντρο των οποίων είναι το xi.

Δxixi

f(xi)

Εάν από το xi και με βάση το Δxi φέρουμε ορθογώνια παραλληλεπίπεδα με ύψος το f(xi) θα έχουμε:

Όπου Ν το πλήθος των Δxi στα οποία χωρίσαμε το διάστημα ab και S΄ εμβαδόν που διαφέρει λίγο από το εμβαδόν της περιοχής που περιέχεται μεταξύ της f(x) και του άξονα x.

1

( )N

i ii

S f x Δx

Δxi

x

y

y=f(x)

a bxi

f(xi)

ΟΡΙΣΜΕΝΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑΕάν τώρα Ν είτε (πράγμα που είναι το ίδιο) Δxi0 είναι προφανές ότι το εμβαδόν θα είναι ακριβώς ίσο με το εμβαδόν της περιοχής που περιέχεται μεταξύ της f(x) και του άξονα x. Τότε γράφουμε:

0 1

lim ( ) ( )i

N b

i i ax i

S f x Δx f x dx

ΟΡΙΣΜΕΝΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑΠαραδείγματα Φυσικής

ΚΕΝΤΡΟ ΜΑΖΑΣ

mi

x

y

z

CM

irCr

Ο γενικός τύπος για το διάνυσμα θέσης του ΚΜ στην περίπτωση που έχουμε σημειακές (διάκριτες) μάζες είναι:

1

1

N

i ii

C N

ii

m rr

m

Αυτή η σχέση είναι στην πραγματικό-τητα 3 σχέσεις

1

N

i ii

C

m xx

M

1

N

i ii

C

m yy

M

1

N

i ii

C

m zz

M

1

N

ii

M m

ΟΡΙΣΜΕΝΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑΠαραδείγματα Φυσικής

ΚΕΝΤΡΟ ΜΑΖΑΣΣτην περίπτωση συνεχούς κατανομής της μάζας το άθροισμα μετατρέπεται σε ολοκλήρωμα.

x

y

z

CM

Cr

r

Μ

( )MC

zdmz

M

( ) ( )

( )

M MC

M

rdm rdmr

Mdm

( )MC

xdmx

M ( )M

C

ydmy

M

dm

ΟΡΙΣΜΕΝΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑΠαραδείγματα Φυσικής

ΡΟΠΗ ΑΔΡΑΝΕΙΑΣ

rimi

O

Στην περίπτωση σημειακών μαζών (διάκριτη κατανομή μάζας) η ροπή αδράνειας του συστήματος ως προς άξονα Ο δίνεται από τη σχέση:

όπου mi η μάζα κάθε σωματιδίου και ri η απόστασή του από τον άξονα Ο.

2

1

N

O i ii

I m r

ΟΡΙΣΜΕΝΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑΠαραδείγματα Φυσικής

ΡΟΠΗ ΑΔΡΑΝΕΙΑΣ

r

dm

O

Στην περίπτωση συνεχούς κατανομής της μάζας το άθροισμα μετατρέπεται σε ολοκλήρωμα και συνεπώς η ροπή αδράνειας του συστήματος ως προς άξονα Ο δίνεται από τη σχέση:

2

( )O MI r dm

L

Τότε μπορούμε να μιλάμε για στοιχειώδες έργο που θα είναι

Στη γενική περίπτωση, το ολικό έργο εξαρτάται από την τροχιά που ακολουθεί το σώμα (π.χ. τριβή), δηλαδή από την L.Για να το υπολογίσουμε πρέπει να αθροίσουμε όλα τα στοιχειώδη έργα (δηλαδή να ολοκληρώσουμε) ακολουθώντας την τροχιά L.

Αυτό ακριβώς το ολοκλήρωμα λέγεται επικαμπύλιο ολοκλήρωμα

dW Fds

Ας υποθέσουμε ότι δύναμη μετακινεί σώμα στο επίπεδο κατά μήκος της καμπύλης L.

( , )F x y

ds

F

Ξέρουμε ήδη ότι: ds dr

Επομένως για το έργο θα έχουμε:

LW Fdr

Ας υποθέσουμε τώρα ότι: ( , ) ( , )F P x y i Q x y j

Ξέρουμε επίσης ότι: r xi yj

Επομένως: dr dxi dyj

Άρα: [ ( , ) ( , ) ]L

W P x y dx Q x y dy ( , ) ( , )

L LP x y dx Q x y dy

Δηλαδή το επικαμπύλιο ολοκλήρωμα μετατρέπεται σε άθροισμα απλών, στα οποία το L χρησιμοποιείται για να

εκφράσουμε το x συναρτήσει του y ή αντίστροφα.

ΒΑΘΜΙΔΑ Όπως είπαμε, το έργο δύναμης είναι: dW Fdr

Στην περίπτωση που η δύναμη είναι συντηρητική υπάρχει δυναμική ενέργεια για την οποία ξέρουμε ότι: PdE dW

Επομένως, σ’ αυτή την περίπτωση: PdE Fdr

Η εξίσωση αυτή μας επιτρέπει, αν ξέρουμε τη δύναμη, να υπολογίσουμε τη δυναμική ενέργεια.Πως όμως μπορούμε να τη λύσουμε, έτσι ώστε, αν ξέρουμε τη δυναμική ενέργεια, να υπολογίσουμε τη δύναμη;Ας εξετάσουμε το πρόβλημα στη γενική περίπτωση.

Έστω ότι, από τη σχέση: df Adr

Θέλουμε να υπολογίσουμε το .A

ΒΑΘΜΙΔΑ Ξέρουμε ότι:

dr dxi dyj dzk

x y zA A i A j A k

Ξέρουμε επίσης, ότι για τη συνάρτηση f(x,y,z) ισχύει: f f fdf dx dy dzx y z

Τότε η σχέση γράφεται: df Adr

x y zf f fdf dx dy dz A dx A dy A dzx y z

Επειδή η σχέση αυτή ισχύει για όλα τα ανεξάρτητα dx, dy, dz, εύκολα προκύπτει ότι:

xfAx

yfAy

z

fAz

Επομένως: f f fA i j kx y z

f f fA i j kx y z

ΒΑΘΜΙΔΑ Επομένως, από τη σχέση: df Adr

Καταλήξαμε στη:

Αυτό μπορούμε να το συμβολίσουμε ως εξής: f f fA f i j kx y z

Όπου το ονομάζεται ΑΝΑΔΕΛΤΑ ή NABLA και θεωρείται τελεστής:

i j kx y z

Τελεστής είναι ένα σύμβολο που μας δίνει την εντολή να εκτελέσουμε μια πράξη (ενέργεια).

ΒΑΘΜΙΔΑ Μερικές φορές χρησιμοποιούμε το συμβολισμό:

f f fA f gradf i j kx y z

και τον όρο ΒΑΘΜΙΔΑ.Από το αρχικό μας πρόβλημα: PdE Fdr

καταλήγουμε στο συμπέρασμα:

( )P P PP P

E E EF E gradE i j k

x y z

dr

Εάν ΕP=const θα έχουμε και για κάθε θα ισχύει , επομένως θα υπάρχει μια επιφάνεια, που ονομάζεται ισοδυναμική.

0Fdr

F dr

Συνεπώς η βαθμίδα μας δείχνει πόσο «κοντά» ή πόσο «μακριά» είναι οι ισοδυναμικές επιφάνειες, δηλ. πόσο «γρήγορα» μεταβάλλεται η δυναμική ενέργεια.

ΑΠΟΚΛΙΣΗ Στα προηγούμενα είδαμε, ότι ο τελεστής επιδρά σε ένα βαθμωτό μέγεθος και το μετατρέπει σε διάνυσμα :

Τι γίνεται αν ο τελεστής αυτός επιδράσει σε διάνυσμα;

( )( )x y zA i j k A i A j A kx y z

( )yx zAA A divA

x y z

Αυτό λέγεται ΑΠΟΚΛΙΣΗ του διανύσματος A

Η ΑΠΟΚΛΙΣΗ ΜΑΣ ΔΙΝΕΙ ΤΗΝ ΙΣΧΥ ΤΗΣ ΠΗΓΗΣ ΠΟΥ ΔΗΜΙΟΥΡΓΕΙ ΤΟ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟ ΠΕΔΙΟ A

ΣΤΡΟΒΙΛΙΣΜΟΣ

( ) ( )x y zA i j k A i A j A kx y z

x y z

i j k

rotA curlAx y z

A A A

Ο τελεστής έχει τη μορφή διανύσματος, επομένως μπορεί να επιδράσει σε ένα διάνυσμα και εξωτερικά.

ΣΤΡΟΒΙΛΙΣΜΟΣΤΟΥ

A

Ο ΣΤΡΟΒΙΛΙΣΜΟΣ ΜΑΣ ΔΕΙΧΝΕΙ ΑΝ ΕΝΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟ ΠΕΔΙΟ ΕΙΝΑΙ ΣΤΡΟΒΙΛΟ Η ΟΧΙ (Αν όχι είναι

δυναμικό) A