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Copyright Luisa Camnasio uso consentito solo per le attività didattiche dell’Iti «Fermi» di Desio
Siamo nel V secolo avanti Cristo, in una località della
Magna Grecia,
probabilmente sulle coste dell'Italia meridionale, nei
pressi di Crotone.
Primo atto:
tutto è numero!
Quali erano i numeri incaricati di esprimere il mondo e l'armonia, i numeri che avevano il compito di descrivere il cosmo?
I NUMERI INTERI
Quali erano i numeri incaricati di esprimere il mondo e l'armonia, i numeri che avevano il compito di esprimere il cosmo?
E ANCHE LE FRAZIONI
Quali erano i numeri incaricati di esprimere il mondo e l'armonia, i numeri che avevano il compito di esprimere il cosmo?
MA SOLO NUMERI POSITIVI!
Questi numeri, definiti in seguito razionali, permettevano di…
esprimere numericamente grandezze geometriche e, quindi,
misurarle.
Secondo atto:
l’arrivo della diagonale del
quadrato di lato 1
LATO
DIAGONALE
CHE RAPPORTO ESISTE TRA LATO E DIAGONALE?
Prendiamo il quadrato più semplice, quello con il lato uguale a 1
1
Qual è la lunghezza della sua diagonale?
1
La diagonale divide il quadrato in due triangoli rettangoli isosceli
1
La diagonale divide il quadrato in due triangoli rettangoli isosceli
1
TRIANGOLI RETTANGOLI…?
Teorema
di…
PITAGORA!!!
In ogni triangolo rettangolo il
quadrato costruito sull’ipotenusa è equivalente alla
somma dei quadrati costruiti sui cateti
QUINDI:
1
1
quadrato della diagonale
=
12 + 12
QUINDI:
1
1
quadrato della diagonale
=
1 + 1
QUINDI:
1
1
quadrato della diagonale
=
2
Ecco l’informazione essenziale:
la lunghezza della diagonale è un numero
il cui quadrato è 2
Che
numero
è?
Questo numero esiste
davvero?
E se non esiste…
come accertarsene?
Terzo atto:
la crisi della visione
pitagorica
legame tra numeri e
grandezze
Teorema di Pita
goraSeparazione
dei numeri
interi in pari
e dispari
Il lato e la diagonale di un quadrato sono incommensurabili
CRISI DELL’UNIVERSO DEI PITAGORICI
FINO A QUEL MOMENTO:
La misura di alcune
grandezze non si può esprimere con un numero
razionale
RIVELAZIONE:tutto ciò che si può
costruire si può
“misurare”
La prima dimostrazione
nella storia della matematica è stata una dimostrazione
di impossibilità
È venuto il momento di
affrontare questa famosa
dimostrazione…
ENUNCIATO:
Non esiste alcun numero razionale il
cui quadrato sia uguale a 2
DIMOSTRAZIONE:
Procediamo per assurdo supponendo che
esista almeno un numero razionale n tale che
n2 = 2
DIMOSTRAZIONE:
Per definizione, n si può scrivere come rapporto di due numeri interi a, b:
n =ab
DIMOSTRAZIONE:
Possiamo supporre che: MCD(a,b) = 1
n =ab
n2 =a2
b2
DIMOSTRAZIONE:
n2 =a2
b2n2 = 2
a2
b2= 2
DIMOSTRAZIONE:
a2
b2= 2
a2 = 2 b2
DIMOSTRAZIONE:
a2 = 2 b2 a2 è pari
a = 2ca è pari
a2 = 4c2 = 2b2
2c2 = b2
DIMOSTRAZIONE:
Quindi b2 è pari e, di conseguenza, anche b lo è
???Ma questo è impossibile!!!
Infatti a è pari e MCD(a,b) = 1
CONCLUSIONE:
È ASSURDO SUPPORRE CHE ESISTA UN NUMERO
RAZIONALE IL CUI QUADRATO È 2
cvd
COME SI AMPLIA L’INSIEME DEI NUMERI RAZIONALI?
Consideriamo il problema del numero il cui quadrato è 2.
Tale numero non esiste in Q, come abbiamo dimostrato
COME SI AMPLIA L’INSIEME DEI NUMERI RAZIONALI?
Possiamo però cercare di “avvicinarci” il più possibile alla soluzione, usando dei numeri razionali.
Costruiamo cioè due “successioni” di numeri razionali i cui quadrati si avvicinano, rispettivamente per eccesso e per difetto, a 2
COME SI AMPLIA L’INSIEME DEI NUMERI RAZIONALI?
1 1,4 1,41 1,414 1,4142
2 1,5 1,42 1,415 1,4143
Il quadrato dei numeri in rosso è minore di 2, quello dei numeri in blu è maggiore di 2. Inoltre i numeri in rosso differiscono da quelli in blu di un’unità di ordine via via inferiore: 1, 1/10, 1/100, 1/1000...
COME SI AMPLIA L’INSIEME DEI NUMERI RAZIONALI?
1 1,4 1,41 1,414 1,4142
2 1,5 1,42 1,415 1,4143
Non troveremo mai un numero razionale il cui quadrato è 2, ma possiamo restringere quanto
vogliamo l’intervallo intorno alla “lacuna” che c’è, nell’insieme dei numeri razionali rappresentati su
una retta orientata, in corrispondenza del segmento che è la diagonale del quadrato di lato 1
COME SI AMPLIA L’INSIEME DEI NUMERI RAZIONALI?
0 1 2
COME SI AMPLIA L’INSIEME DEI NUMERI RAZIONALI?
0 1 2
LACUNA
COME SI AMPLIA L’INSIEME DEI NUMERI RAZIONALI?
1 21,4 1,5
COME SI AMPLIA L’INSIEME DEI NUMERI RAZIONALI?
1,4 1,5
1,41 1,42
E COSÌ VIA
COME SI AMPLIA L’INSIEME DEI NUMERI RAZIONALI?
Una coppia di successioni come quelle con cui abbiamo “assediato” la diagonale del quadrato di lato 1 definisce un numero reale.Non è facile lavorare con la definizione rigorosa dei numeri reali, elaborata da Dedekind, che definisce i numeri reali come coppie di particolari insiemi di numeri razionali, detti “sezioni”.
COME SI AMPLIA L’INSIEME DEI NUMERI RAZIONALI?
Definiremo quindi un numero reale come allineamento decimale.
In particolare un allineamento decimale non periodico, non potendo essere trasformato in una frazione, si dice NUMERO IRRAZIONALE.
COME SI AMPLIA L’INSIEME DEI NUMERI RAZIONALI?
NUMERI RAZIONALIallineamenti decimali
periodici
NUMERI IRRAZIONALIallineamenti decimali
NON periodici
NUMERI REALI
COME SI AMPLIA L’INSIEME DEI NUMERI RAZIONALI?
Per operare più agevolmente con i numeri reali senza
ricorrere ad approssimazioni, definiremo i “radicali” e ne studieremo le proprietà.
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