corrige s pondichery avril 2015mmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmm
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[ Corrig du baccalaurat S Pondichry \17 avril 2015
EXERCICE 1 4 pointsCommun tous les candidats
Partie A
1
2
3
1 2 3 4-1-2
C
a
1. On sait que e2x > 0 quel que soit le rel x, donc 1+e2x > 1> 0. Le dnomi-nateur tant non nul, la fonction f est drivable sur R et sur cet intervalle la
fonction tant de la forme3
u(x), avec u(x)= 1+e2x , donc u(x)=2e2x on
a :
f (x) = 3u(x)
(1+u(x))2 = 3 (2)e2x(1+e2x
)2 = 6e2x
(1+e2x
)2 > 0 car quotient de deuxnombres suprieurs zro. la fonction f est donc strictement croissante surR (comme le laisse supposer le graphique).
2. On a limx+
2x = et en posant X =2x, limX
eX = 0, do
limX
1+eX = 1 et enfin par quotient de limites limx+
f (x)= 3 : ceci montreque la droite () dquation y = 3 est asymptote C au voisinage de pluslinfini.
3. Sur lintervalle [0 ; +[, la fonction f est continue car drivable, strictementcroissante de f (0)= 3
1+1 = 1,5 3 : il existe donc un rel unique [0 ; +[tel que f ()= 2,999.La calculatrice donne :
f (4) 2,99899 et f (5) 2,9999, donc 4
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Corrig du baccalaurat S A. P. M. E. P.
2. La fonction H est drivable sur R et sur cet intervalle :
H (x) = 32 2e
2x
1+e2x =3e2x
1+e2x =3e2x +331+e2x =
3e2x +31+e2x
3
1+e2x =3(e2x +1
)1+e2x
3
1+e2x = 3 f (x)= h(x).Donc H est une primitive de h sur R.
3. a. On a vu que sur R donc en particulier sur lintervalle [0 ; a] (avec a >),la fonction h est positive, donc lintgrale
a0h(x) dx est gale en units
daire la mesure de la surface limite par la reprsentation graphique deh, laxe des abscisses, et les droites dquation x = 0 et x = a.Mais comme h(x) = 3 f (x), cette surface est la surface limite par ladroite , la courbe C et les droites dquation x = 0 et x = a (voir lairehachure ci-dessus.
b. Daprs la question B. 2., on a :a0h(x)dx = [H(x)]a0 =H(a)H(0)=
3
2ln(1+e2a
)+ 32ln(1+e20
)=
3
2ln2 3
2ln(1+e2a
)= 32ln
(2
1+e2a).
c. Daprs la question prcdente, on sait que laire de Da , surface limitepar la droite , la courbe C et les droites dquation x = 0 et x = a estgale
3
2ln
(2
1+e2a).
Or limx+
e2x = 0, donc limx+
1+ e2x = 1 et limx+
(2
1+e2x)= 2, donc
finalement par composition, laire deD est gale limx+
3
2ln
(2
1+e2x)=
3
2ln2 1,04 (u. a.)
EXERCICE 2 5 pointsCommun tous les candidats
Partie A
1. On a pour tout naturel n, vn+1 =un+1b
1a = aun +bb
1a =
aun +b(1a)b
1a = aun ab
1a = a[un
b
1a
]= avn .
Lgalit vn+1 = avn , vraie pour tout naturel n montre que la suite (vn) estgomtrique de raison a.
2. On sait que vn = v0an ; donc si a ]1 ; 1[, alors limn+
an = 0, donc
limn+
vn = 0 limn+
un b
1a soit limn+un =b
1a .
Partie B
1. Aprs la taille la plante mesure 80(1 1
4
)= 80 3
4= 60 (cm). Au bout de
1 an elle a pouss de 30 cm ; elle mesurera donc en mars 2016 avant la tailles60+30 = 90 cm.
2. a. Dune anne sur lautre, tailler le quart revient multiplier par3
4= 0,75
et la pousse annuelle est de 30 cm, donc :
hn+1 = 0,75hn +30.
Pondichry 2 17 avril 2015
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Corrig du baccalaurat S A. P. M. E. P.
b. Mars 2015 correspondant n = 0, on a : h0 = 80 ; h1 = 90,h2 = 0,7590+30 = 67,5+30 = 97,5 : la suite semble tre croissante.Initialisation : on sait dj que h0 < h1 ;Hrdit : supposons quil existe p N tel que hp < hp+1, alors0,75hp < 0,75hp+1 0,75hp +30 < 0,75hp+1 +30 hp+1 < hp+2 :lhrdit est dmontre, donc la suite (hn ) est croissante.
c. Si la suite (hn ) converge vers , par continuit lgalit :
hp+1 = 0,75hp +30 donne en passant aux limites linfini := 0,75+30 0,25= 30 = 120.La plante aura donc une taille infrieure 120 cm. ( la calculatrice
h20 119,873 cm).On utilise le rsultat de la partie A avec la suite (hn ) et les coefficientsa = 0,75 et b = 30.
Comme1< 0,75< 1, la suite (hn ) converge versb
1a =30
10,75 =30
0,25=
120.
EXERCICE 3 6 pointsCommun tous les candidats
Les parties A et B peuvent tre traites indpendamment
Partie A tude de la dure de vie dun appareil lectromnager
1. a. Par symtrie P (1046 X ) = 0,16 et donc P (646 X 6 104) = 120,16 =10,32 = 0,68.
b. On vient donc de trouver que P (206 X 6+20)= 0,68 : donc 20.2. a. La variable Z est centre et rduite : elle suit donc une loi normale centre
rduite.
b. On part de P (X 6 64)= 0,16, do P (X 6 64)= P (X 84620)=
P
(X 84
620
)= P
(Z 620
).
Finalement P
(Z 620
)= 0,16
c. Le rsultat prcdent entrane que 20 0,9945 20
0,9945soit
20,111 103 prs.3. Dans cette question, on considre que = 20,1.
a. Il faut trouver :
P (246 X 6 60) 0,115 (calculatrice)b. On a P (X > 120)= 0,5P (846 X 6 120) 0,037.
Partie B tude de lextension de garantie dElEctro
1. a. SiG est la variable alatoire donnant le nombre de clients ayant pris lex-tension de garantie, puisque les tirages sont indpendants et de mmeprobabilit 0,115, G suit une loi binomiale B(12, 0,115).
La probabilit quexactement 3de ces clients fassent jouer cette extensionde garantie est gale :
P (G = 3)=(123
)0,1153(10,115)9 0,1114 soit 0,111 aumillime prs.
b. On a P (G > 6)= 1P (G 6 5) 0,001 au millime prs.
Pondichry 3 17 avril 2015
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Corrig du baccalaurat S A. P. M. E. P.
2. Si le client utilise lextension le gain algbrique est 65399 =334 ; Si le client nutilise pas lextension le gain algbrique est 65
a. Si le client utilise lextension le gain algbrique est 65399 =334 ; Si le client nutilise pas lextension le gain algbrique est 65.La variable alatoire Y prend donc deux valeurs 65 et 334 avec les pro-babilits respectives 0,885 et 0,115.
b. On a E(Y ) = 65 0,885+ (334) 0,115 = 19,115 19,12 (au centimeprs. Loffre est donc avantageuse pour lentreprise puisque celle gagnepresque 20( par client.
EXERCICE 4 5 pointsCandidat nayant pas suivi lenseignement de spcialit
Soit un cube ABCDEFGH darte 1.Dans le repre
(A ;
AB ,
AD ,
AE
), on considre les points M, N et P de coordonnes
respectives M
(1 ; 1 ;
3
4
), N
(0 ;
1
2; 1
), P
(1 ; 0 ; 5
4
).
1. Voir la figure la fin.
2. Dterminer les coordonnes des vecteursMN et
MP .
MN
(1 ; 1
2;1
4
)et
MP (0 ; 1 ; 2).Les vecteurs
MN et
MP ne sont pas colinaires, les droites (MN) et (MP) ne
sont pas parallles donc les points M, N et P ne sont pas aligns.
3. a. 10+(12
) (1)+
(1
4
) (2)= 1
2 12= 0
b. Lalgorithme 1 calcule le produit scalaireMN MP = 0, donc les vecteurs
sont orthogonaux donc les droites (MN) et (MP) sont perpendiculaires :le triangle MNP est donc rectangle en M.
4.
5. a. Si n est un vecteur normal au plan (MNP) une quation de celui-ci est :
5x8y +4z = d , avec d R ;
N (MNP) 8 12+41= d = 0= d
Une quation cartsienne du plan (MNP) est donc 5x8y +4z = 0.b. On traduit la relation vectorielle : M(x ; y ; z) FM = tn , t R
soit
x1 = 5ty 0 = 8tz1 = 4t
x = 1+5ty = 8tz = 1+4t
6. a. Les coordonnes de K vrifient lquation du plan et lquation param-trique de , soit :
5x8y +4z = 0x = 1+5ty = 8tz = 1+4t
5(1+5t)8 (8t)+4(1+4t) = 0
105t +9= 0 t = 9105
t = 335
.
Do x = 1+5( 335
)= 1 3
7= 47;
y =8( 335
)= 2435
;
Pondichry 4 17 avril 2015
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Corrig du baccalaurat S A. P. M. E. P.
z = 1+4( 335
)= 1 12
35= 2335
.
Donc F
(4
7;24
35;23
35
).
b. Puisque (FK) est orthogonale au plan MNP, [FK] est hauteur du ttradreMNPF, donc
VMNPF =1
3A (MNPFK).
Or MNP est rectangle en M, donc A (MNP= MNMP2
.
MN2 = 1+ 14+ 116= 2116MN=
p21
4;
MP2 = 1+4= 5MP=p5 ;
Donc V = 13p21
4 12p5
27
35= 124
212735
p5=
1
24
81
5p5= 9
24= 38.
Pondichry 5 17 avril 2015
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Corrig du baccalaurat S A. P. M. E. P.
EXERCICE 4 5 pointsCandidat ayant suivi lenseignement de spcialit
1. Voir le cours.
2. On considre le nombre deMersenne 2331.
a. Si 3 divise 2331 et 4 divise 2331, comme 3 et 4 sont premiers entre eux,daprs le 1. 12 devrait diviser 2331 ce qui est contradictoire avec ce quedit llve : il a donc tort.
b. 233 est un naturel pair donc 2331 est impair donc 4 ne peut le diviser.c. 21 [3] 23 (1)3 [3] 23 1 [3]
(23)11 (1)11 [3]
233 1 [3] ce qui montre que 3 ne divise pas 2331.d. S = 1+23+
(23)2+ (23)3+ + (23)10 ;
23S = 23+24+(23)3+ (23)3+ + (23)11, do par diffrence :
7S =(23)111 S =
(23)1117
.
e. S est une somme dentiers naturel donc est un entier naturel ; le rsultatprcdent montre que
(23)111 est donc un multiple de 7.
Finalement 2331 est divisible par 7.
3. 271= 1281= 127.Ce nombre nest divisible ni par 2, ni par 3, ni par 5, ni par 7 (dans la divisionreste 1), ni par 11 (dans la division reste 7), ni par 13 (dans la division reste10) et comme 132 = 169, il est inutile de continuer : 127 est premier.
4. a. Comme on vient de le voir pour 127, lalgorithme cherche le reste de ladivision de 2331 par les naturels 2, 3, 4, etc., k 6
p2n 1 tant que le reste
est non nul.
Or on a vu que le nombre 2331 est divisible par 7, donc lalgorithme vaafficher ce diviseur 7 et CAS 2 .
Si on entre n = 7, lalgorithme affiche 12 et CAS 1 .b. Le cas 2 concernedonc les nombres deMersennenonpremiers et le nombre
k est le plus petit de ses diviseurs (diffrent de 1).
c. Le CAS 1 concerne les nombres Mersenne premier comme 271.
Pondichry 6 17 avril 2015
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Corrig du baccalaurat S A. P. M. E. P.
ANNEXE remettre avec la copie
EXERCICE 4 : Candidats nayant pas suivi lenseignement de spcialit
A
B
C
D
E
F
G
H
+
+
+P
N
M
Algorithme 1 Algorithme 2 ( complter)Saisir xM, yM,zM,xN, yN,zN,xP, yP,zP Saisir xM, yM,zM,xN, yN,zN,xP, yP,zPd prend la valeur xN xM d prend la valeur xN xMe prend la valeur yN yM e prend la valeur yN yMf prend la valeur zN zM f prend la valeur zN zMg prend la valeur xP xM g prend la valeur xP xMh prend la valeur yP yM h prend la valeur yP yMi prend la valeur zP zM i prend la valeur zP zMk prend la valeur d g +eh+ f i k prend la valeur d g +eh+ f iAfficher k l prend la valeur d2+e2+ f 2
m prend la valeur g 2+h2+ i 2Si k = 0 et si l =m
Afficher : Le triangle MNPest rectangle isocle en M Sinon Afficher : Le triangle MNPnest pas rectangle ou nest pas iso-cle en M
Pondichry 7 17 avril 2015
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