cours automatique regulation
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7/22/2019 Cours Automatique Regulation
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Cours, Travaux dirigs et Travaux pratiques
AA a iqu uuttoommattiqueettrr uullaattiioon
Cours, Travaux dirigs et Travaux pratiques
Maher CHAABENE (Matre assistant GEII)
Mohamed DAMMAK (Assistant technologue GEII)
k
at1K
)ap(
1e
)!1K(
tLP
=
Maher CHAABENE (Matre assistant GEII)
Mohamed DAMMAK (Assistant technologue GEII)
I n s t i t u t Supr ieu r de s tu de s t ec hn o l o g i q ue s de S f a x
x.bdt
dx
bdt
dx
b...dt
dx
by.adt
dy
adt
dy
a...dt
dy
a 012
2
2m
m
m012
2
2n
n
n ++++=++++
)t(e.K)t(sdt
)t(ds=+
p.1
K
)p(E
)p(S)p(H
+==
)t(ue1K)t(s
t
=
).t(u.t
exp.)t(.Ka)t(y
+=
( ) ( )
=
+=
++
+=
w
K)H(jw)(Im
w1K
)H(jw)(Re
.w1
jK
.w1K
H(j.w)
+1
1pww 0
2
z.2p
K
wp.w.z.2p
w.K
)p(E
)p(S)p(H
0
222
20 =
++==
00 ++ ( )
2
.t.z1wsin.e.z1
11K)t(s
0
tzw
2
0
+
= Pour le technicien suprieu
Cours, Travaux dirigs et Travaux pratiques
10-3
10-2
10-1
100
101
-100
-80
-60
-40
-20
0
20
Pulsation W
G dB
-3 dB
f1 10 f1
4 0 d B /d c
wo
20.logK
e
z=21z=
z=0.7
z=0.5
z=0.1
10-3
10-2
10-1
100
101
-200
-150
-100
-50
0Pulsation WDephasage
-90
-180
wo
z=2
z=1 z=0.7
z=0.5z=0.1
0 100 200 300 400 500 6000
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
1.8Step R sponse
Time (sec)
Amplitude
e
z=0.1
z=0.3
z=0.5
z =0.7
z=1
z=2AAuuttoommaattiiqquu et rgu ationet rgulationl
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Plan du coursNomenclature
Chapitre 1 : Notion de systmeslineaires asservis
1. Notion de systmes................................................................................................................. 21.1. Dfinition...........................................................................................................................2
1.2. Classification des systmes.............................................................................................. 21.2.1. Les systmes linaires ..............................................................................................21.2.2. Les systmes invariants ............................................................................................31.2.3. Les systmes modle dterministe ........................................................................ 31.2.4. Les systmes asservis ..............................................................................................3
1.3. Performances des systmes asservis.............................................................................. 51.3.1. Notion de stabilit......................................................................................................51.3.2. Notion de rapidit ......................................................................................................51.3.3. Notion de prcision................................................................................................... 6
2. Notion de signal....................................................................................................................... 62.1. Dfinition...........................................................................................................................6
2.2. Signaux canoniques......................................................................................................... 6
3. Rponses particul ires dun systme scalaire ..................................................................... 73.1. Rponse impulsionnelle.................................................................................................... 73.2. Rponse indicielle............................................................................................................. 7
4. Rponse un signal quelconque........................................................................................... 7
Chapitre 2 : Les systmes linaires cont inus
1. Prsentation........................................................................................................................... 101.1. Dfinition.........................................................................................................................10
1.2. Principe de proportionnalit............................................................................................ 101.3. Principe d'additivit ou de superposition......................................................................... 11
2. Mise en quation dun systme linaire .............................................................................. 11
3. Transforme de Laplace ....................................................................................................... 123.1. Formulation mathmatique............................................................................................. 133.2. Proprits et thormes................................................................................................. 133.3. Table des transformes de Laplace................................................................................ 143.4. Exemple.......................................................................................................................... 17
4. Srie de TD N1...................................................................................................................... 19
Cours dautomatique et rgulation - I -
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Chapitre 3 : Reprsentation graphique des systmes linaires continus
1. Fonction de transfert............................................................................................................. 21
2. Diagramme fonctionnel......................................................................................................... 222.1. Dfinition.........................................................................................................................222.2. Exemple de schma bloc dun systme en boucle ferme............................................. 222.3. Rgles de simplification.................................................................................................. 22
2.3.1. Mise en srie...........................................................................................................222.3.2. Mise en parallle .....................................................................................................232.3.3. Structure en boucle ferme .....................................................................................232.3.4. Dplacement des nuds dinformations ................................................................. 242.3.5. Permutation de deux nuds successifs.................................................................. 242.3.6. Dplacement de sommateurs ................................................................................. 24
2.3.7. Permutation de deux sommateurs successifs ......................................................... 252.4. Principales transmittances lectriques et mcaniques ................................................... 252.5. Applications....................................................................................................................26
2.5.1. Systme lectronique..............................................................................................262.5.2. Moteur courant continu.........................................................................................28
3. Lieux de transfert................................................................................................................... 293.1. Introduction.....................................................................................................................293.2. Interprtation dans le plan complexe.............................................................................. 293.3. Les lieux de transfert ......................................................................................................30
3.3.1. Lieu de Bode ...........................................................................................................303.3.2. Lieu de Nyquist .......................................................................................................303.3.3. Lieu de Black...........................................................................................................313.3.4. Abaque de Black .....................................................................................................31
4. Srie de TD N2...................................................................................................................... 32
Chapitre 4 : Etudes des systmes lmentaires
1. Etude d 'un sys tme de premier ord re.................................................................................. 351.1. Etude temporelle............................................................................................................. 35
1.1.1. Dfinition .................................................................................................................351.1.2. Rponse impulsionnelle ..........................................................................................35
1.1.3. Rponse indicielle ...................................................................................................361.1.4. Application...............................................................................................................361.1.5. Relation tempsfrquence ......................................................................................37
1.2. Etude harmonique.......................................................................................................... 371.2.1. Reprsentation de Bode..........................................................................................381.2.2. Reprsentation deNyquist .......................................................................................391.2.3. Reprsentation de Black .........................................................................................40
2. Etude d 'un systme de second ordre .................................................................................. 412.1. Dfinition.........................................................................................................................412.2. Etude temporelle............................................................................................................. 42
2.2.1. Rponse impulsionnelle ..........................................................................................422.2.2. Rponse indicielle ...................................................................................................43
Cours dautomatique et rgulation - II -
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2.3. Etude harmonique.......................................................................................................... 47
2.3.1. Diagrammes de Bode..............................................................................................472.3.2. Reprsentation dans le plan de Nyquist .................................................................. 502.3.3. Reprsentation dans le plan de Black ..................................................................... 50
2.3.4. Exemple ..................................................................................................................513. Srie de TD N2...................................................................................................................... 52
Chapitre 5 : Performances des systmes linaires asservis
1. Introduction............................................................................................................................ 58
2. Stabilit................................................................................................................................... 582.1. Dfinition.........................................................................................................................582.2. Condition de stabilit ......................................................................................................58
2.2.1. Critre de Routh......................................................................................................59
2.2.2. Applications.............................................................................................................592.3. Critre deNyquist...........................................................................................................60
2.3.1. Critre de Nyquist simplifi......................................................................................602.3.2. Marge de gain .........................................................................................................612.3.3. Marge de phase ......................................................................................................61
2.4. Critre deBlack ..............................................................................................................622.4.1. Critre de Black.......................................................................................................622.4.2. Abaque de BlackNichols.......................................................................................63
2.5. Critre de Bode.............................................................................................................642.5.1. Critre de Rivers .....................................................................................................642.5.2. Critre de Bode .......................................................................................................64
3. Prcision ................................................................................................................................ 643.1. Dfinition.........................................................................................................................643.2. Classe dun systme....................................................................................................... 65
4. Rapidit .................................................................................................................................. 664.1. Rappel et dfinition......................................................................................................... 664.2. Critre deNaslin .............................................................................................................66
5. Srie de TD N3...................................................................................................................... 68
6. Srie de TD N4...................................................................................................................... 69
Chapitre 6 : Les rgulateurs
1. Gnrali ts ............................................................................................................................. 721.1. Tches du rgulateur...................................................................................................... 721.2. Inventaire........................................................................................................................72
2. Rles des rgulateurs ou cor recteurs ................................................................................. 73
3. Rglage proportionnel .......................................................................................................... 733.1. Principe...........................................................................................................................733.2. Statisme.......................................................................................................................... 733.3. Correcteur action Proportionnelle................................................................................ 74
3.4. Correcteur actionDrive............................................................................................. 743.5. Correcteur action Intgrale........................................................................................... 75
Cours dautomatique et rgulation - III -
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4. Types de correcteurs ............................................................................................................ 754.1. Correcteur action Proportionnelle Drive................................................................... 754.2. Correcteur action Proportionnelle Intgrale ................................................................. 75
4.3. Correcteur action Proportionnelle Intgrale Drive.................................................... 76
5. Srie de TD N5...................................................................................................................... 77
Problmes
1. Problme n1 ......................................................................................................................... 80
2. Problme n2 ......................................................................................................................... 80
3. Problme n3 ......................................................................................................................... 81
4. Problme n4 ......................................................................................................................... 81
5. Problme n5 ......................................................................................................................... 82
6. Problme n6 ......................................................................................................................... 82
7. Problme n7 ......................................................................................................................... 84
Travaux Pratiques
TP d' ini tiation : Equipement du laborato ire............................................................................. 87
TP1 : tude dun systme de premier ordre ............................................................................ 94
TP2 : tude d un systme de second ordre .......................................................................... 101
TP3 : Simulation dun systme de premier et de second ordre........................................... 109
TP 4 : Simulation de la rgulation de vi tesse dun moteur .................................................. 114
Annexe
Bibliographie
Cours dautomatique et rgulation - IV -
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Nomenclature
Arg Argument.C Capacit. Classe d'un systme.
z Coefficient damortissement d'un systme de second ordre.
Constante du temps ou temps de rponse d'un systme de premier ordre.Dk Dpassement relatif dordre k. Dphasage en degrs.
( )tu chelon de position unitaire.e(t) Entre d'un systme. Erreur ou cart.f.e.m Force lectromotrice.
cf Frquence de coupure d'un systme de premier ordre.Gdb Gain en dcibels.d Gain statique du rgulateur Drive.
i Gain statique du rgulateur Intgral.KP Gain statique du rgulateur Proportionnel.K Gain statique d'un systme de premier ordre ou de second ordre.
)(t Impulsion de Dirac.L Inductance.Am Marge de gain.
m Marge de phase.
J Moment d'inertie.
chC Moment du couple de charge.k Ordre du dpassement relatif.
Im Partie imaginaire.Re Partie relle.m Ples de lquation caractristique d'un systme.Ta
Pseudopriode.
aw Pulsation amortie.
cw Pulsation de coupure d'un systme de premier ordre.
Rw Pulsation de rsonance.w0 Pulsation propre non amortie d'un systme de second ordre.w Pulsation.
Cours dautomatique et rgulation - V -
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D Rgulateur Drive.I Rgulateur Intgral.PD Rgulateur Proportionnel Drive.PID Rgulateur Proportionnel Intgral Drive.PI Rgulateur Proportionnel Intgral.P Rgulateur Proportionnel.
chR Rsistance de charge.R Rsistance.s(t) Sortie d'un systme.tm Temps de monte.Tpic Temps de pic.t10% Temps de rponse 10%.t5% Temps de rponse 5%.t90% Temps de rponse 90%.Ts Temps de stabilisationtk Temps du dpassement relatif dordre k.
LP-1 Transforme Laplace inverse.
LP Transforme Laplace.p Variable de Laplace Vitesse de rotation angulaire.n Zros de lquation caractristique d'un systme.
Cours dautomatique et rgulation - VI -
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Notion de systmes
linaires asservis
Cours dautomatique et rgulation - A -
Chapitre 1
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Chapitre 1 Notion de systmes linaires asservis
Cours dautomatique et rgulation 2
Chapitre 1 : Notion de systmes lineaires asservis
1. Notion de systmes1.1.Dfinition
Un systmepeut tre dfini comme un ensemble dlments exerant collectivementune fonction dtermine. Un systme communique avec lextrieur par lintermdiaire degrandeurs, fonctions du temps, appels signaux.
Dans la suite, on essaiera de garder les notations suivantes :x1(t)xN(t)pour les signaux dentre de commande.y1(t)yM(t)pour les signaux de sortie.
Les signaux de sortie dun systme sont aussi appels rponse du systme.
RemarqueLes systmes une entre et une sortie sont appels systmes monovariables ou
systmes scalaires.Un systme est connu par son action sur le milieu extrieur. Lorsquon applique
certains signaux dentre, le systme se manifeste en mettant des signaux de sortieparticuliers. Le systme est parfaitement connu par la connaissance des relations liant lesentes avec les sorties.
ExempleSoit le circuit lectrique suivant :( ) ( ) ( ) dt.ti
C
1ti.Rtx +=
avec ( ) ( ) dt.tiC
1ty = .
On a donc lquation du systme :( )
( ) ( )txtydt
tdy.C.R =+ .
1.2.Classification des systmes1.2.1. Les systmes linaires
Un systme est linaire si la rponse de ce systme une combinaison linaire designaux dentre est gale la combinaison linaire des rponses.
Si on applique lentre : ( ) ( ) ( )tx.btx.atx 21 += .
On obtient en sortie : ( ) ( ) ( )ty.bty.aty 21 += .Cette proprit des systmes linaires est aussi appele principe de superposition.
SYSTEME1(t) 1(t)
N(t) M(t)
SYSTEME y1(t)x1(t)
SYSTEME y2(t)x2(t)
R
( )tx C ( )ty ( )ti
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Chapitre 1 Notion de systmes linaires asservis
Cours dautomatique et rgulation 3
1.2.2. Les systmes invariantsUn systme est dit invariant (stationnaire) si la rponse du systme un signal x(t)
diffr dun temps est la mme que la rponse y(t) du systme mais diffre de .
Un systme invariant est aussi appel systme paramtres constants localiss ou constantes localises. Cette proprit des systmes invariants est aussi appele principe de
permanence.
Exemple: Moteur
Si on nglige lusure, le moteur nvolue pas dans le temps : le systme est invariant.
1.2.3. Les systmes modle dterministeUn modle dterministe ( stochastique) possde des entres et des paramtres non
bruits de telle faon que son comportement soit parfaitement prvisible en avance.
1.2.4. Les systmes asservisLtude des systmes est destine commander au mieux les diffrents processus
rencontrs. Il existe deux solutions pour commander un systme :
1. Commande en boucle ouverteDans ce cas, la commande est envoye en entre sans contrle sur les sorties.
Exemple :
Pour utiliser ce type de commande, il est ncessaire de connatre le systme et lesrponses aux commandes envoyes. Malgr tout, de multiples perturbations peuventmodifier laction de ces commandes : si la porte du four reste ouverte, les graduations durhostat ne correspondent plus la temprature intrieure.
2. Commande en boucle fermePour amliorer les performances dune commande, il est indispensable dobserver
les sorties du systme pour les comparer ce que lon dsire obtenir. Dans ce deuximetype de commande, les sorties du systme sont contrles. Cest ce niveau que lonrencontre la notion de systme asservi.
( )tx Entre Entre
t-
Sortie Sortie
t-
( )ty
( )tx
( )ty
t t
tt
Rsistance chauffante FourRhostat
MOTEUR CoupleCourant
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Chapitre 1 Notion de systmes linaires asservis
Cours dautomatique et rgulation 4
Un systme asservi est un systme dont le rle consiste essentiellement tablir unecorrespondance dfinie entre une ou plusieurs grandeurs dentre, de faibles niveauxnergtiques, et une ou plusieurs grandeurs de sortie de niveaux nergtiques plus levs.
Un systme asservi est caractris par la prsence de : Chanes directes: Elles comprennent des lments amplificateurs et ventuellement,
des convertisseurs de puissance, en liaison avec la source dnergie. Chanes de retour : Elle sont constitues dlments de prcision gnralementpassifs. Ce ne sont pas des chanes de puissance ; elles transmettent lentre desinformations sur les grandeurs de sortie. Ces informations sont compares auxsignaux dentre au moyen de comparateurs. Ces derniers laborent les diffrencesou carts entre les signaux dentre et les informations images des signaux desortie.
Exemple :Chauffage dun immeuble
La figure A reprsente le systme. La temprature lintrieur de limmeuble estfonction de la temprature Tde leau chaude envoy dans les radiateurs et de la tempratureextrieure e . Nous reprsentons cette description, volontairement simplifie par une boitemunie dune sortie, dune entre de commande T la disposition de loprateur et dune
perturbation e .Le rayonnement solaire dans limmeuble, le vent ou dautres grandeurs agissant
aussi sur la temprature. Cest volontairement que ces grandeurs ne sont pas prises encompte par notre modle qui doit, avant tout, tre simple. Cest lutilisateur qui rgle T, en
Systme
Figure A
SystmeT
a-
+
Figure B
SystmeTa
P
-+
+-
Figure C
e
T
e e
0
e e
C
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Chapitre 1 Notion de systmes linaires asservis
Cours dautomatique et rgulation 5
vue dobtenir C19= par exemple (en rgime permanent). Il sait, par exprience, quilobtient un bon rsultat en rglant T.
La figure B reprsente alors une premire tentative de rglage automatique de T, telque ( e.aT )= . Dans cette configuration, loprateur naura plus besoins de retoucher Ten fonction de la temprature extrieure. En effet, T va varier automatiquement en sens
inverse de e . Quand e0 = on a T=0, ce qui signifie quon doit bien entendue, couper lechauffage. Cette commande en boucle ouverte donne de bons rsultats.
La figure C reprsente une amlioration du rglage automatique de T. Supposonsque par temps froide le soleil pntre lintrieur de limmeuble. La temprature vaslever sans pour autant que la temprature T de leau des radiateurs ne soit rduite
puisquil ne dpend que e . Il se produira une surchauffe et on doit modifier T, cest direpour diminuer 0 . Il est clair que cette opration peut seffectuer de faon automatique enrendant 0 dpendant de la tempratureeffectivement atteinte dans limmeuble. Pour cela est compare une consigne C , rglable par lutilisateur laide dune boucle
dasservissement.
1.3.Performances des systmes asservis
1.3.1. Notion de stabilitOn dit quun systme est stable, lorsque celui-ci tend revenir son tat dquilibre
lorsquon lui applique une perturbation de courte dure.
1.3.2. Notion de rapidit
La rapidit quantifie le temps de rponse du systme.
Le temps mis par la rponse pour ne plus dpasser 5% de la valeur finale. Ce temps estretenu comme critre de rapidit : t5%
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Chapitre 1 Notion de systmes linaires asservis
Cours dautomatique et rgulation 6
1.3.3. Notion de prcisionLa prcision quantifie lerreur lorsque lquilibre est atteint.
Avec et( )te ( )ts de mme nature. Autrement, lerreur est mesure la sortie ducomparateur.
2. Notion de signal
2.1.Dfinition
Un signal dans un systme de commande automatique reprsente une grandeurphysique qui peut tre une temprature, une force, une pression, une vitesse, une tension, undbit. Ce signal peut tre sous forme logique (binaire), analogique, numrique (cod), selonla nature de commande : analogique ou numrique.
Dans notre cas, nous tudions les signaux analogiques relatif la commande linairecontinue des processus. En pratique, un signal est une tension entre 0 et 5V ou un courantentre 0 et 20 mA, cas de processus industriels.
Un signal ( )ts est causal si ( ) 0ts = 0t< . Un signal ( )ts est dterministe si ( )ts est connu.
Un signal ( )ts est alatoire si ttel que ( )ts est inconnu.
2.2.Signaux canoniques
Impulsion de Dirac
Si alors 01
.
Si 0 alors
1.
( )te est une impulsion de Dirac idale.
Echelon de positionSi : .0t> ( ) 0ete =Si : .0t< ( ) 0te =Si : est un chelon de1e0 = ( )te
position unitaire not .( )tu
Echelon de vitesse( ) ( )tu.t.tgte = .
Si 1tg = : ( ) ( )tu.tte =( )te est appele chelon de vitesse unitaire. t
e(t)
t
e(t)
e0
t
e(t)=(t)
1
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Chapitre 1 Notion de systmes linaires asservis
Cours dautomatique et rgulation 7
Echelon dacclration
( ) ( )tu.t.ate 2= .Si a=1: appele chelon( )te dacclration unitaire.unitaire.
SinusodeSinusode( ) ( ) ( )tu.tsin.Ete m( ) ( ) ( )tu.tsin.Ete m= .
SiEm=1: appele( )te sinusode unitaire.
3. Rponses particulires dun systme scalaireOn considre ici un systme scalaire, cest dire une entre et une sortie.
Pour connatre le comportement du systme et le comparer dautres systmes, ontudie les rponses quelques signaux particuliers.
3.1.Rponse impulsionnelle
On appelle rponse impulsionnelle, la rponse note ( )th , obtenue par lapplicationdune impulsion de Dirac )(t lentre du systme, celui- ci tant initialement au repos.
3.2.Rponse indicielle
On appelle rponse indicielle, la rponse note ( )t , obtenue par lapplication dunchelon unit lentre du systme, celui-ci tant initialement au repos.( )tu
4. Rponse un signal quelconque
Dfinition de la convolution temporelleOn considre un systme scalaire linaire invariant de rponse impulsionnelle ( )th .
Pour un systme scalaire, linaire et invariant, initialement au repos, la rponse un( )ty
Systmex(t) y(t)
1
(t)=h(t)
tt
)(t
t t
( ) ( )tty =( )tu1
t
e(t)
t
e(t)
-
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Chapitre 1 Notion de systmes linaires asservis
Cours dautomatique et rgulation 8
signal dentre quelconque est donne par le produit de convolution entre et larponse impulsionnelle du systme :
( )tx ( )tx
( ) ( ) ( ) ( ) ( )+
== thtxdv.vth.vxty
Cette expression est fondamentale. Elle permet, en connaissant le systme par sarponse impulsionnelle et lentre( )th ( )tx , de dterminer ( )ty . Elle peut donc remplacertotalement lquation diffrentielle rgissant le systme.
Cette expression se note de faon condense : ( ) ( ) ( )thtxty = . est l'oprateurde convolution ; est la convolution du signal d'entre avec la rponse impulsionnelledu systme.
( )ty
Remarques Le produit de convolution est commutatif : ( ) ( ) ( ) ( ) (txththtxty )== . Limpulsion de Dirac et la rponse impulsionnelle (si x ety ont la mme dimension) sont
homognes linverse dun temps. Ce sont des lments mathmatiques qui permettent deformaliser les comportements des systmes mais qui nont pas de ralit physique.Si limpulsion de Dirac est applique linstant zro, la rponse impulsionnelle estforcment nulle pour carvt< ( ) 0vth = , le systme tant suppos causal (cas dessystmes physiquement ralisables). De plus, si le signal est lui-mme causal (appliqu autemps ), alors si0t= ( ) 0vx = 0v< . Les bornes de lintgrale de convolution sesimplifient et le produit de convolution scrit :
( ) ( ) ( )+
=0
dv.vth.vxty
Exemple:Calcul de la rponse indicielle dun circuitRC partir de sa rponse impulsionnelle.
La rponse impulsionnelle dun circuitRCscrit :
t
exp.1
)t(h
= avec C.R= .
On se propose dutiliser la convolution pour dterminer la rponse indicielle ( )t du circuitRC un chelon damplitudeE partir de sa rponse impulsionnelle .( )th
d).t(hEd).(u.E).t(h)t(u.E)t(h)t(w
0 0
+ +
=== .
Soit
=
=
= + +
)t
exp(1.E)t
exp(.E
d).t
exp(.1
.E)t(w
0 0
-
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.
Les systmes
linaires continus
Cours dautomatique et rgulation 9
Chapitre
-
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Chapitre 2 Les systmes linaires continus
Chapitre 2 : Les systmes linaires continus
1. Prsentation
On appelle systme dynamique un systme dont l'tude ne peut tre ralise quenprenant en compte les valeurs passes du phnomne. Les grandeurs de sortie dpendentdes valeurs prsentes et passes des grandeurs d'entres. Les phnomnes d'inertie (inertiemcanique, inertie thermique...) influent sur le comportement du systme.
Nous limiterons notre tude aux seuls systmes linaires continus et invariants.1.1.Dfinition
Un systme linaire est un systme pour lequel les relations entre les grandeursd'entre et de sortie peuvent se mettre sous la forme d'un ensemble d'quationsdiffrentielles coefficients constants. Les systmes linaires se caractrisent
principalement par deux proprits, la proportionnalit et ladditivit.
1.2.Principe de proportionnalitLeffet est proportionnel la cause
RemarqueL'effet de proportionnalit n'est effectif que lorsque le systme a atteint sa position
d'quilibre ou que le rgime permanent s'est tabli.
La caractristique Entre/Sortie d'unsystme linaire est une droite dont la pente
X
Yest appele gain du systme.
Cours dautomatique et rgulation 10
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Chapitre 2 Les systmes linaires continus
La rponse, en rgime dfinitif, dun
systme linaire une entre donne est unsignal de mme nature que lentre.
1.3.Principe d'additivit ou de superposition
Le principe de superposition est important car il va nous permettre, connaissant larponse d'un systme des sollicitations simples de dterminer par additivit et
proportionnalit la rponse des sollicitations plus complexes.
2. Mise en quation dun systme linaire
Un systme dynamique linaire peut tre reprsent par une quation diffrentielle coefficients constants liant les grandeurs dentre et de sortie.
Systme
linaire
SortieEntre
Lquation gnrale dun systme linaire est de la forme :
x.bdt
dxb
dt
dxb...
dt
dxb
dt
dxby.a
dt
dya
dt
dya...
dt
dya
dt
dya 012
2
21m
1m
1mm
m
m012
2
21n
1n
1nn
n
n +++++=+++++
Nous ne savons rsoudre dans le cas gnral que les quations diffrentielles dupremier et du second ordre et dans quelques cas particuliers des quations dordre suprieur.
Le problme de lautomatisation est plus complexe que la rsolution puisquil sagitde dterminer la loi dentre x qui permet dobtenir la sortie dsirey.La reprsentation par l'quation diffrentielle ncessite pour connatre la rponse uneentre de rsoudre l'quation.
Principe de la rsolutionLa solution dune quation diffrentielle est la somme dune solution gnrale et de
la solution particulire. La solution gnrale reprsente la composante transitoire, la
solution particulire reprsente la composante permanente. La solution gnrale est
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Chapitre 2 Les systmes linaires continus
dtermine par la rsolution de l'quation sans second membre. La solution particulire estdtermine en fonction de la forme de ( )tx .
Exemple circuit RC
Cue us
R
En utilisant la loi des mailles on obtient :
=
=
dt
du.Ci
)t(i.R)t(u)t(u
s
se
Do lquation diffrentielle en substituant idans la premire quation :
dtdu.C.R)t(u)t(u sse =
)t(udt
du.C.R)t(u s
se +=
La solution gnrale est solution delquation suivante :
0)t(udt
du.C.R s
s =+
La solution est de la forme atg e.K)t(s =
Par identification, on dtermine lecoefficient a.
1
RC
1a ==
Le coefficient K sera dterminer enfonction des conditions initiales.
La solution particulire dans le cas o
0e U)t(u = est solution de lquation ci-dessous :
0ss U)t(u
dt
du.C.R =+
La solution particulire est de la mmeforme que lentre.Ici 0p U)t(s =
La solution complte est la somme des deux solutions :
0RC
t
pgs Ue.K)t(s)t(s)t(u +=+=
La dernire constante est dtermine en fonction des conditions initiales (on suppose ici que
le condensateur est compltement dcharg).0s UK0)0t(u ===
Do
=
RC
t
0s e1U)t(u .
3. Transforme de LaplaceL'tude des systmes s'accompagne invitablement de la manipulation d'quations
diffrentielles. Or les oprations lies cette manipulation sont souvent dlicates et larsolution des quations n'est pas toujours simple. Pour faciliter les calculs, on utilise un
outil mathmatique puissant: la transforme de Laplace.
Cours dautomatique et rgulation 12
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Chapitre 2 Les systmes linaires continus
Cours dautomatique et rgulation 13
3.1.Formulation mathmatique
Soit une fonction relle de la variable relle t, dfinie pour toute valeur de t,sauf ventuellement pour certaines valeurs, en nombre fini dans tout intervalle fini, et nulle
pour .
( )tf
0t0)
)0(f)0(f.p...)0(f.p)p(F.p 1n2n1nn +++
Intgration dt).t(f p)p(F
Retard )t(f )p(F.e p
Changement
dchelle)t.a(f
a
pF.
a
1
A ces proprits, on doit joindre les thormes suivants :
Thorme de la valeur finale :
)t(flim)p(F.plimt0p
=
Thorme de la valeur initiale :
)t(flim)p(F.plim0tp
=
Thorme de Borel : Si ( )tf et ( )tg ont respectivement pour transforme deLaplace ( )pF et ( )pG , alors ( ) ( ) ( )tgtfth = a pour transforme :
( )pG.p .( ) ( )FpH =
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Chapitre 2 Les systmes linaires continus
Thorme du dveloppement de Heaviside : Pour trouver loriginale dune fraction
rationnelle)p(G
)p(F, o le degr de ( )pF est infrieur au degr de ( )pG , on la
dcompose en lments simples de premire espce, et lon applique la formule:
k
at1K
)ap(
1e)!1K(
tLP
=
3.3.Table des transformes de LaplaceIl est souvent plus simple de calculer la transforme de Laplace dune fonction
partir de la transforme connue dune autre fonction en utilisant les proprits et thormesnoncs. A partir de quelques rsultats de base, on peut ainsi retrouver rapidement lesTransformes de Laplace de la plupart des fonctions utilises en lectronique ou enautomatique dans les asservissements. Afin dviter le calcul systmatique de ces fonctions
de base, on les regroupe dans des tables de Transformes de Laplace. Une table rsume desTransformes de Laplace les plus usuelles en lectronique est la suivante :
( )tf ( )pF
)t( 1
)t()n( 0np n >
A p
A
t.A p
A
)!1n(
t 1n
nentier 1n np
A
T
t
T
t
T
t
TeTt
e1
e.T
1
+
)Tp1(p
1
)Tp1(p
1Tp1
1
+
+
+
21 T
t
T
t
21
eeTT
1
21 T
t
2T
t
1
21
e.Te.TTT
11
( )
+
12 T
t
21
T
t
22
21
21 e.Te.TTT
1TTt
)pT1).(pT1(
1
21 ++
)pT1).(pT1.(p
1
21 ++
)pT1).(pT1.(p
1
21 ++
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Chapitre 2 Les systmes linaires continus
( )tf ( )pF
T
t
3e).tT(
T
1
T
t
2 e.T
t
T
t
e.T
t11
+
T
t
e).T2t(T2t
++
2)Tp1(
p
+
2)Tp1(
1
+
2)Tp1.(p
1
+
22 )Tp1.(p
1
+
( )zcosArc
0tzw
20 tz1wsin.e.
z1
w0
=
+
( ) 1z0tz1wsin.e.z1
w0
tzw0 0
-
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Chapitre 2 Les systmes linaires continus
( )tf ( )pF
Si :22 ba >
+tptp
21
2 21
e
1
e
1
pp
1
b
1
avec
=
+=22
2
221
baap
baap
Si :22 ba = ( )atat2
e.t.ae1a
1
Si :22 ba <
+
)wtcos.wwtsin.a(w
e1
b
1 at
2
+=
)wtsin(.
w
e.b1
b
1 at
2
avec 22 abw = eta
wtg =
( )222 bap2p1
++
)wtsin(.e.w
1 at ( ) 22 wap
1
+
)wtcos(.eat ( ) 22 wap
ap
+
)wt(sh.w
1
22 wp
1
)wt(ch 22 wp
p
)wt(sh.e.w
1 at ( ) 22 wap
1
)wt(ch.eat ( ) 22 wap
ap
ab
ee atbt
( ) )bp(ap
1
ab
e.ae.b atbt
( ) )bp(app
ab
e).bc(e).ac( atbt
( ) )bp(apcp
+
)cb)(ca(
e
)bc)(ba(
e
)ac)(ab(
e ctbtat
+
+
)cp)(bp)(ap(
1
+++
3w.2
)wtcos(.t.w)wtsin(
222 )wp(
1
+
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Chapitre 2 Les systmes linaires continus
( )tf ( )pF
)wtsin(.t.w2
1
222 )wp(
p
+
w.2
)wtcos(.t.w)wtsin( 222
2
)wp(
p
+
)wtsin(.t.w2
1)wtcos(
222
3
)wp(
p
+
)wtcos(.t 222
22
)wp(
wp
+
=
+=
)x(ch)ixcos(
)x(sh.i)ixsin(avec
Formules en22 wp
1
changer wen iw
+
2
wt3
2
2
wt
ewt.2
3coswt.
2
3sin3
w.3
e 33 wp
1
+
+
2
wt32
wt
ewt.2
3sin3wt.
2
3cos
w.3
e 33 wp
p
+
+
wt.
2
3cos.e.2e
3
12
wt
wt 33
2
wp
p
3
atbt
t.).ab(2
ee
bpap
1
+++
t.
e t4a
p
epa
.t2
a3
t4a
e
pae
( )atbt
eet
1
+
+bp
ap
Ln
3.4.Exemple
us
R
Cue
i(t)
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Chapitre 2 Les systmes linaires continus
Cours dautomatique et rgulation 18
Le comportement de chaque constituant est dcrit par les quations suivantes :
=
=
dt
du.Ci
)t(i.R)t(u)t(u
s
se
Passons dans le domaine symboliqueOn pose :
)p(U)]t(u[L ss = , )p(U)]t(u[L ee = , )p(I)]t(i[L = .
Nous savons que la drive premire dune fonction temporelle est :
)0(f)p(F.pdt
)t(dfL +=
, si )p(F)]t(f[L =
de mme pour la drive seconde :
)0(f)0(f.p)p(F.pdt
)t(dfL 2
2
2+
+ =
Nous supposons que les conditions initiales sont nulles :)p(I.R)p(U)p(U)t(i.R)t(u)t(u sese ==
)p(U.p.C)p(Idt
du.Ci s
s ==
En substituantI(p), on obtient :
)p(U.p.1
1)p(U)p(U.C.R)p(U)p(U essse+==
On prend pour lentre , donc dans le domaine symbolique0e U)t(u =p
U)p(U 0e = .
p
U.
p.1
1)p(U 0s
+=
Dcomposition en lments simples :
+
++=
+
+
=
+
=
p)p.1(
)p.1.(Bp.AU)p(U
p
B
p.1
AU
p
U.
p.1
1)p(U 0s0
0s
On dduit donc == A1B
La dcomposition scrit
+
+
=p
1
p.1U)p(U 0s
.
Do la solution :
=
RC
t
0s e1U)t(u
-
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Chapitre 2 Les systmes linaires continus
Cours dautomatique et rgulation 19
4. Srie de TD N1
Exercice n11. ( )exp.2)t(s1 t.5,0=
2. ( ) ( )t.1,0exp1.4)t(s2 =3. t3)t( s3 =Calculer la transforme de Laplace des signaux causaux, on vrifiera les thormes desvaleurs finale et initiale.Donner la rponse indicielle de ces trois fonctions.
Exercice n2Donner les transformes de Laplace des fonctions suivantes :1. ( ) ( )tu.t.aexp.t)t(y1 = .2. ( ) ( ) ( )tu.t.wsin.t.aexp)t(y2 = .
3. ( ) ( )tu.t.w .sin)t(y2
3 =4. ( )tu.wt .sin.tsin)t(y .4 =
Exercice n3Inverser la transformation de Laplace (pest la variable de Laplace) en utilisant la table deLaplace.
1.3p0,1
4(p)F1 +
= .
2.2p3p
3(p)F
22
++= .
3. ( )p1
p2exp0,5.(p)F3 +
= .
4.p)p(1
p)24(1(p)F4 +
+= .
Si est la rponse indicielle dun processus P, donner la rponse impulsionnelle.)t(f4
Exercice n4
Calculer la transforme de Laplace inverse de chacune des fonctions suivantes :
1. ( )1pp
1pF1
+
= .
2. ( )( ) ( )22pp1p
1pF
2.
32 +++= .
3.( )4p.p
1(p)F
43 += .
4.10)p2(p1)p(p
p)3exp(1(p)F
224
+++
= .
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Reprsentation graphique
des systmes linaires
continus
Cours dautomatique et rgulation 20
Chapitre
-
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Chapitre 3 Reprsentation graphique des systmes linaires continus
Cours dautomatique et rgulation 21
Chapitre 3 : Reprsentation graphique des systmeslinaires continus
1. Fonction de transfertUn systme linaire dentre ( )tx et de sortie ( )ty est rgi par une quation
diffrentielle coefficients constants du type :
x.bdt
dxb
dt
dxb...
dt
dxb
dt
dxby.a
dt
dya
dt
dya...
dt
dya
dt
dya 012
2
21m
1m
1mm
m
m012
2
21n
1n
1nn
n
n +++++=+++++
Si on crit la transformation de la Laplace de lquation diffrentielle conditions initialesnulles on trouve :
)p(X
)p(Y)p(H = appele fonction de transfert ou transmittance du systme :
( )pH est appele fonction de transfert du systme.
Le but de cette reprsentation est de pouvoir dterminer les caractristiques de lasortie connaissant la fonction de transfert( )ty ( )pH du systme et le signal dentre ( )tx .
On peut mettre ( )pH sous la forme :
01n
1nn
n
01m
1mm
m
a.......p.ap.a
b.......p.bp.b
)p(X
)p(Y)p(H
+++
+++==
( )pH peut scrire sous la forme :
( ))pp)......(pp).(pp(
)zp)......(zp).(zp(kpH
n21
m210
= ;
Lensemble des forme les zros deiz ( )pH , lensemble des forme les ples deip ( )pH , etnest lordre de systme.
Exemple Le circuit intgrateur : circuit RC :
( ) ( ) += dt).t(iC1
ti.Rtx .
( ) ( )tydt
dy(t).RCtx += .
avec y(t) = ( ) = dt).t(iC1ty
( )tx
L
P LP
( )pH( ) ( )( )txLPpX =
( ) ( )( )pYLPty 1=
( ) ( ) ( )pX.pHpY =
(t)
R
(t) C
-
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Chapitre 3 Reprsentation graphique des systmes linaires continus
Cours dautomatique et rgulation 22
On appliquant la transforme de Laplace on trouve :
( ) ( ) ( )pXpYpY.p.RC =+ ( ) ( ) ( )pXpY.1p.RC =+
Do la fonction de transfert de ce systme ( ) p.RC11
X(p)
Y(p)pH +== .
2. Diagramme fonctionnel
2.1.Dfinition
Le diagramme fonctionnel ou schma bloc, constitue une reprsentation graphiquedun systme asservi ou dune partie du systme. Chaque diagramme fonctionnel estconstitu dun certains nombre de symbole graphique qui sont :
Elment ou groupe dlment :
* Comparateur algbrique * Branchement dun signal
2.2.Exemple de schma bloc dun systme en boucle ferme
2.3.Rgles de simplification
2.3.1.Mise en srieSoit un systme form par la mise en sriede deux sous systmes de fonction de
transfert et . La fonction de transfert de lensemble est( )pG1 ( )pG2 ( ) ( ) ( )pG.pGpG 21= .
Equivalent :
( ) ( )pG.pG 21 ( )pX ( )pY
( )pG ( )pY ( )pX
( )pY
( )pX ( )p +_
( )pY
( )pY
( )pG1 ( )pY ( )pX( )p
+_
( )pG2
Capteur
Deux signaux demme nature
( )pG1 ( )pG2( )pX ( )pY
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Chapitre 3 Reprsentation graphique des systmes linaires continus
Cours dautomatique et rgulation 23
2.3.2.Mise en parallle
Soit un systme form par la mise en paralllede deux sous systmes de fonction detransfert et . La fonction de transfert de lensemble est :
.
( )pG1 ( )pG2( ) ( ) ( )pGpGpG 21 +=
Equivalent :
2.3.3.Structure en boucle ferme
Equivalent :
On a ( ) ( ) ( )pG.ppY 1= et ( ) ( ) ( ) ( )pG.pYpXp 2= .
)p(G)).p(G).p(Y)p(X()p(Y 12= .)p(X).p(G))p(G).p(G1).(p(Y 121 =+ .
Do ( ) ( )
( ) ( )pG.pG1pG
)p(X
)p(YpF
21
1
+== : Formule de Black.
)p(G)p(T 1= : Fonction de transfert en boucle ouverte.
)p(F : Fonction de transfert en boucle ferme.
Remarques :* Dans le cas o 1)p(G2 = ( )
( )( )pG1
pG
)p(X
)p(YpF
1
1
+== .
)(pF a une chane de retour de transmittance 1.
* Il est toujours possible de ramener un systme retour non unitaire un systme retourunitaire.
( )pY ( )pX ( )pF
( ) ( )pGpG 21 + ( )pX ( )pY
( )pG1
( )pY ( )pX ++
( )pG2
( )pG1 ( )pY ( )pX ( )p
+_
( )pG2
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Chapitre 3 Reprsentation graphique des systmes linaires continus
Cours dautomatique et rgulation 24
Equivalent :
2.3.4.Dplacement des nuds dinformations
De lamant laval
De laval lamant
2.3.5.Permutation de deux nuds successifs
2.3.6.Dplacement de sommateurs
De lamant laval
( )pY( )pX ( )p
+_ ( ) ( )p2G.pG1 )p(G
1
2
( )pG1 ( )pY ( )pX ( )p
+_
( )pG2
G(p)
(p)
Y(p)(p) = G(p)
(p)
Y(p)(p)
)(1pG
G(p)
Y(p)
Y(p)(p) G(p)
Y(p)
Y(p)X(p)
G(p)
=
N1
N2
N1
N2=
G(p)G(p) Y(p)++
X1(p)
X2(p)
Y(p)++
X1(p)
X2(p) G(p)
=
-
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Chapitre 3 Reprsentation graphique des systmes linaires continus
Cours dautomatique et rgulation 25
De laval lamant
2.3.7.Permutation de deux sommateurs successifs
2.4.Principales transmittances lectriques et mcaniques
Rsistance
Inductance
Condensateur
Ressort
Frottement
visqueux(amortisseur)
Masse
Inertie en
rotation
G(p) Y(p)++
= X1(p)
X2(p)
G(p) Y(p)++
X1(p)
X2(p) )(1pG
=Y(p)++
++
X(p)
X1(p) X2(p)
Y(p)++
++
X(p)
X2(p) X1(p)
F(p) X(p)
Ri
uu=Ri
RU(p)I(p)
1/RI(p)U(p)
I(p)U(p)
Li
udt
diLu=
U(p)Lp
I(p)
1/Lp
i
u
C
= idtC
1u
I(p)
U(p) I(p)
U(p)1/Cp
Cp
FF
F=KxF(p)X(p)
K
1/K
dt
dxfvF=
FFX(p) F(p)
fv.p
F
m
dt
xdmF=
X(p) F(p)m.p
w
(p)
dt
dwJC= C(p)J.p
-
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Chapitre 3 Reprsentation graphique des systmes linaires continus
Cours dautomatique et rgulation 26
2.5.Applications
2.5.1.Systme lectronique
Les quations rgissant ce systme sont :
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
=
=
3
2
1
1
RpSpUpI
R
pVpEpI
( ) ( )
( )
( ) ( ) ( )( )
( ) ( )
=
=
+=
p.C
pIpS
pIpIRpU
pUp.C
pIpV
2
2
212
1
1
Le diagramme fonctionnel relatif ces systmes dquations :
Avec :
p.C.R1
1
p.C.R11
p.C.R
1
B23
23
231
+
=
+
=
e(t)
R1 R3
R2
C1
C2 s(t)v(t) u(t)
i2(t)i1(t)
1R
1E(p)
_
+
pC
1
1
R2 S(p)_+_+3R
1
pC
1
2
V(p) ++
U(p)I1(p) I2(p)
1R
1E(p)
_
+
pC
1
1
R2 S(p)_+_+pC.R
1
23
pC2
B1
++
V(p)
U(p)I1(p)
-
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Chapitre 3 Reprsentation graphique des systmes linaires continus
Cours dautomatique et rgulation 27
Avec :p.C.R.B1
B.RB
221
122 +
=
Avec :
++=
p.C.B
1
B
1
R
R1
RB
B
1211
2
1
2
3
1R
1E(p)
_
+
pC
1
1
R2_+
pC2
B1
1B
1
B2
++
V(p)
S(p)U(p)I1(p)
1R
1E(p)
pC
1
1
_+ B2
1B
1++
S(p)
V(p)
I1(p)
E(p)
pC.B
1
12
_+
1B
1++
V(p)
S(p)21
B.R
1
E(p)
pC.B
1
B
1
121
+
_+
B3
1
2
RB
V(p)
S(p)
-
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35/139
Chapitre 3 Reprsentation graphique des systmes linaires continus
Cours dautomatique et rgulation 28
2.5.2.Moteur courant continuVu de lextrieur, la machine peut tre reprsente par la mise en srie dune
rsistance R, d'une inductance L et dune f.e.m vide donne par la relationEv.KEv= , si est la vitesse de rotation. Nous supposerons que l'ensemble fix l'arbre
de la machine est de moment d'inertie J et que le moment du couple de frottement est
.fC= (frottement visqueux).
Equation lectrique : )t(.Kdt
)t(di.L)t(i.R)t(e ++=V
Soit en variable de Laplace )p(.K)p(I.p.L)p(I.R)p(Ve ++=
Equation mcanique : )t(C)t(.f)t(i.Kdt
)t(d.J ch=
Soit en variable de Laplace )p(C)p(.f)p(I.K)p(.p.J ch=
)t(Cch est le moment du couple de charge. Si lon suppose que la charge mcanique
de notre moteur est une gnratrice courant continu dbitant sur une charge , alors on
peut dire que :chR
.R
K
R
E.KI.KC
chch
chch === soit '.K.R
KC
ch
ch == .
Le systme peut tre reprsent par :
On peut crire alors :
p.Jf
)p(C)p(I.
p.Jf
K)p( ch
+
+= et )p(.
p.LR
K
p.LR
)p(V)p(I e
+
+=
Le digramme fonctionnel de ce systme est le suivant :
Ve(p)
SystmeVe(p) )p(
Cch(p)
p.LR
1
+
p.LR
K
+
+__
+Ve(p) )p(
Cch(p)
I(p)
p.Jf
K
+
p.Jf
1
+
-
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Chapitre 3 Reprsentation graphique des systmes linaires continus
Cours dautomatique et rgulation 29
3. Lieux de transfert
3.1.Introduction
On applique au systme une entre harmonique : ).wtsin(.u)t(u o=
En rgime permanent ; on admet que la sortie est galement un signal sinusodal dphas ;on a donc : ).wtsin(.u.A)t(y o +=
On peut dire la mme chose de lentre ).wtcos(.u)t(u o=
Donc galement de lentre qui ; daprs le
thorme de superposition nous donne la sortie :
jwtooo e.u)wtsin(.u.j)wtcos(.u)t(u =+=
.e.u).w(A)wtsin(.u).w(A.j)wtcos(.u).w(A)t(y jwtooo +=+++=
Plus gnralement ; on peut donc considrer une entre de la forme ; qui nous
donnera une sortie de la forme :
jwto e.u
.e.u).w(A jwto+
Appliquons cette entre lquation diffrentielle ;x.b
dt
dxb...
dt
dub
dt
duby.a
dt
dya...
dt
dya
dt
dya 011m
1m
1mm
m
m011n
1n
1nn
n
n ++++=++++
On obtient :
[ ][ ] jwto001m1mmm
)wt(jo
00
1n1n
nn
e.u.)jw.(b...)jw.(b)jw.(b
e.u.A.)jw.(a...)jw.(a)jw.(a
+++=
+++
+
.
Ou bien :
[ ][ ]001n1nnn
00
1m1m
mmj
)jw.(a...)jw.(a)jw.(a)jw.(b...)jw.(b)jw.(be.A
)jw(u)jw(y
++++++==
.
Il apparat dans cette expression que le terme de droite nest rien dautre que la fonction detransfert dans la quelle on a remplac les "p" par des "jw".
On a donc : ;)jwp(He).w(Aj ==
oAest le gain en amplitude du signal et le dphasage de ce signal.
3.2.Interprtation dans le plan complexe
)wt(jo e.u.A
+ est le vecteur damplitude A et de dphasage par rapport au vecteur
dorigine : .jwto e.u
Re
Im
[ ])wtsin(.j)wtcos(u).w(A o +++
[ ])wtsin(.j)wtcos(uo +
[ ])wtcos(u).w(A o +
[ ])wtsin(u).w(A o +
-
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Chapitre 3 Reprsentation graphique des systmes linaires continus
Cours dautomatique et rgulation 30
On obtient donc le gain en prenant le module du nombre complexe et le
dphasage
)w(A )jw(H
en recherchant langle )cos
sintg(
= donc :
=
=
))jw(HRe(
))jw(HIm(arctg
;)jw(H).jw(HA *
Remarque :Attention la dfinition de larctg: on doit en considrer deux dfinitions diffrentes pourles demi-plans rels positifs et ngatifs.
Pour les parties rels positifs : La dfinition prcdente est bonne.
=
))jw(HRe(
))jw(HIm(arctg
Pour les parties rels ngatifs : .))jw(HRe(
))jw(HIm(arctg
+=
Lorsque la partie relle est nulle, on na pas besoin de cette dfinition, on considredirectement laffixe (le vecteur est sur laxe des imaginaires).
01n
1nn
n
01m
1mm
m
a...)jw.(a)jw.(a
b...)jw.(b)jw.(b)jw(H
+++
+++=
Pour un systme physique; le gain tend vers 0quand la frquence tend vers ; on adonc :m
-
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Chapitre 3 Reprsentation graphique des systmes linaires continus
Dans le plan complexe, le lieu de Nyquistreprsente pour chaque point (frquencedonne); la partie relle en l'abscisse; la partie imaginaire en l'ordonne.
3.3.3.Lieu de BlackLe lieu deBlackest une reprsentation comportant en abscisse; la phase en chelle
linaire; et en ordonne le gain; en chelle linaire; mais exprim en dcibels.
3.3.4.Abaque de Black
Le diagramme de Black est une reprsentation de la rponse harmonique dusystme, c'est dire une reprsentation de ( )jwH quand parcourtR, o est lafonction de transfert du systme.
w ( )pH
o en abscisse: phase (en degrs)
o en ordonne: gain (en dcibels)
Cours dautomatique et rgulation 31
-
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Chapitre 3 Reprsentation graphique des systmes linaires continus
Cours dautomatique et rgulation 32
4. Srie de TD N2
Exercice n1 :
Dduire les diagrammes fonctionnels suivants afin de se ramener dans les deux cas lastructure suivante :
et donner les expressions deD(p)et deR(p).
Cas 1 :
Cas 2 :
_+E(p) S(p)
R(p)
D(p)
_+ G3G1E(p) ++ _+
_G2
++
H2
H1
H3
S(p)
E(p)2R
1 S(p)
1R
1
pC
1
2_+ _+
pC
1
1
_+
-
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Chapitre 3 Reprsentation graphique des systmes linaires continus
Cours dautomatique et rgulation 33
Exercice n2 :
Simplifier le schma fonctionnel suivant et dterminer sa fonction de transfert.
Exercice n3 :
Dterminer la transmittance des circuits suivants :1-
2-
_+ G1 G3
G2
H1
++
_ +H2
G4
E(p) S(p)
e(t)
R1
C1
C2s(t)
R3
R2I1
I
I2
I3
I4
V1 V2
e(t) s(t)
R
C
R
C
-
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Etudes des systmes
lmentaires
Cours dautomatique et rgulation 34
Chapitre
-
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Chapitre 4 Etude des systmes lmentaires
Chapitre 4 : Etudes des systmes lmentaires
1. Etude d'un systme de premier ordre
1.1. Etude temporelle
1.1.1.DfinitionUn systme physique dentre e(t)et de sorties(t)est du premier ordre, sil est rgi
par une quation diffrentielle du premier ordre coefficients constants :
)t(e.K)t(sdt
)t(ds=+
oKest le gain du systme et est la constante du temps.Si les conditions initiales sont nulles (s(0)=0), la fonction de transfert dans le domaine deLaplace scrit : ( ) )p(E.K)p(S.1p. =+
Soitp.1
K
)p(E
)p(S)p(H
+==
1.1.2.Rponse impulsionnelleLentre est dfinie par )t()t(e = , soit dans le domaine de LaplaceE(p)=1.
La sortie a donc pour expression dans le domaine de Laplace : .p
1
K
p.1
K
)p(S+=+=
La rponse temporelle a donc pour expression : )t(u.e.K
)t(s
t
= .
La reprsentation graphique de la rponse impulsionnelle dun systme de premier ordre estdonne par la figure ci-dessous :
Cours dautomatique et rgulation 35
-
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Chapitre 4 Etude des systmes lmentaires
Cours dautomatique et rgulation 36
1.1.3.Rponse indicielle
Lentre est dfinie par e(t)=u(t), soit dans le domaine de Laplace .p
1)p(E =
La sortie a donc pour expression dans le domaine de Laplace : .
)p.1(p
K)p(S
+
=
Une dcomposition en lments simples nous donne :p.1
.K
p
K
p.1
B
p
A)p(S
+=
++= .
La rponse temporelle a donc pour expression : )t(ue1K)t(s
t
=
.
La reprsentation graphique de la rponse indicielle dun systme de premier ordre estdonne par la figure ci-dessous :
Particularits :Pente lorigine.
t
e.K
)t('s
= do
K)t('slim
0t=
+.
Temps de rponse 5%.On cherche t5%tel ques(t5%)=0.95.K.
%5t
e05.0
= soit
%5t05.0Ln =
.3t %5 .
Dtermination exprimentale des paramtres du modle dordre 1Utiliser la valeur finale pour dterminer le gainK.Utiliser la pente lorigine pour dterminer la constante de temps .Utiliser 63%de la valeur finale pour dterminer la constante de temps .
1.1.4.Application
Rponse un chelon de vitesse (rampe)
x(t) = a.t, on obtient alors :2p
a.
p.1
K)p(Y
+= .
p
.a.K
p
a.K
p.1
.a.K
p
1.
p1
1.
Ka)p(Y
22
+
+=
+= .
Do ).t(u.texp.)t(.Ka)t(y
+=
Pente lorigine : ( ) )0('sK
tg ==
-
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Chapitre 4 Etude des systmes lmentaires
1.1.5.Relation tempsfrquenceLe comportement dynamique dun systme est entirement dcrit par sa constante
de temps. Cette dynamique est aussi appel espace frquentiel. On dfinie pulsation de
coupure
1wc = , donc la frquence de coupure est .2
1=cf .
On appelle temps de monte du systme : cest le temps ncessaire pour passer
de10%de la valeur finale de la sortie 90 %de la valeur finale pour un chelon dentre.)t(u).
texp(1(K)t(w
= .
On a etK.1,0)t(w %10 = k.9,0)t(w %90 =
Or %10%90m ttt =Aprs tout calcul fait on obtient tm=2,2.
Doncc
mf
35.0t = .
1.2.Etude harmonique
( )p.1
KpH
+= et en posantp=jw ( )
wj1jwH
K
+= .
)jexp(.H))w(jArctgexp(.)w(1
)w.j(HK
=+
=
( ) ( )
+=
+=
++
+=
w1
K)H(jw)(Im
w1K
)H(jw)(Re
.w1
jK
.w1K
H(j.w)
.
Dans la pratique trois mthodes de reprsentations sont utilises.
Cours dautomatique et rgulation 37
-
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Chapitre 4 Etude des systmes lmentaires
Cours dautomatique et rgulation 38
1.2.1.Reprsentation de BodeOn trace les deux courbes suivantes :
dBwjH ).( de la fonction )w.j(H en fonction de la pulsation w.
))w.j(H(Arg= de la fonction )w.j(H en fonction de la pulsation w.
Reprsentation du module en dB
( )( ) ( )[ ]21010
210dB
w.1log.10Klog.20w.1
Klog.20)w.j(H
+=
+=
Etude des asymptotes Pour 1
w
w
c
> ( )w.log.20)w.j(H 10dB .
( ) ( )( )110110dB1dB1 w.log.20w.10.log.20)w.j(H)w.10.j(H = ( ) ( )( )110110 w.logw.10.log.20 =
( ) dB2010log.20w.w.10.
log.20 101
110 ===
Cest une droite de pente20dB/dcade.
ou( ) ( )( )110110dB1dB1 w.log.20w.2.log.20)w.j(H)w.2.j(H =
( ) ( )( )110110 w.logw.2.log.20 =
( ) dB62log.20w.
w.2.log.20 10
1
110 ===
Cest une droite de pente6dB/octave.
Reprsentation de la phase= w.arctg))w.j(H(Arg = .
Etude des asymptotes Pour 0w 0= : asymptote horizontale.
Pour
1w=
41Arctg
== .
Pour w 2
arctg))w.j(H(Arg
=== : asymptote horizontale2
= .
-
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Chapitre 4 Etude des systmes lmentaires
Cours dautomatique et rgulation 39
1.2.2.Reprsentation de Nyquist
On trace la courbe ( ) ( )( )( )jwHRef).j(HIm =
Soient ( )( )jwHRex= et ( )( )jwHImy= .
Do( )2w.1
Kx
+= (1) ;
( )2w.1
w..Ky
+= (2)
(y
-
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Chapitre 4 Etude des systmes lmentaires
-0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9
-0.6
-0.5
-0.4
-0.3
-0.2
-0.1
0K/2
-K/2
K
0
Im Re
w w 0
wc
1.2.3.Reprsentation de BlackOn reprsente ( )fGdb= : Cest un diagramme contract obtenu en liminant w.
Etude des asymptotes : Pour 0w Klog.20)w.j(H 10dB ; =0.
Pour
1w= dB3Klog.20)w.j(H
10dB = ;
4
= .
Pour w 2
et)w.j(HdB
.cest une asymptote.
-90 -75 -60 -45 -30 -15 0-70
-60
-50
-40
-30
-20
-10
0
Nichols Chart
wc-3dB
GdB
Phase
Cours dautomatique et rgulation 40
-
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Chapitre 4 Etude des systmes lmentaires
Exemple
Cx(t)
R
Le circuit intgrateur : circuitRC:
( ) ( ) += i(t).dtC
1ti.Rtx
y(t)
avec ( ) = i(t).dtC1
ty
( ) ( )
( )tydt
tdy.RCtx +=
On conclue que = RC et K=1.
( ) ( )
( )tydt
tdy.tx +=
A.N. :R=10k; C=10F ; 1,0= et K=1.
W(rd/s) 0 0.01 0.1 0.12 0.5 1 2 5 10 20 50 100 200 500 103
H
dbH
)jw(H(e
)jw(HIm(
Remplir le tableau. Faire ltude temporelle et dgager les diffrents paramtres (fc, tm, ). Effectuer ltude harmonique par les trois mthodes.
2. Etude d'un systme de second ordre
2.1.DfinitionUn systme physique dentre e(t) et de sortie s(t)est du deuxime ordre, sil estrgi par une quation diffrentielle du second ordre coefficients constants :
)t(e.K)t(sdt
)t(ds.
w
z.2
dt
)t(sd.
w
1
02
2
20
=++
o Kest le gain du systme.w0est la pulsation propre non amortie positif.
zest le coefficient damortissement positif.
Cours dautomatique et rgulation 41
-
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Chapitre 4 Etude des systmes lmentaires
Cours dautomatique et rgulation 42
Si les conditions initiales sont nulles (s(0)=s(0)=0) , la fonction de transfert dans le
domaine de Laplace scrit : )p(E.K)p(S.1pw
z2p
w
1
0
2
20
=
++
Soit
1pw
z.2
w
pK
wp.w.z.2pw.K
)p(E)p(S)p(H
020
2200
2
20
++
=++
==
2.2.Etude temporelle
2.2.1. Rponse impulsionnelleLentre est dfinie par )t()t(e = , soit dans le domaine de LaplaceE(p)=1.La sortie a donc pour expression dans le domaine de Laplace :
200
2
2
0
wp.w.z.2p
w.K)p(S ++= .
Discriminant : 1zw4 220 = .
Cas 1 :z>1 , le systme est amorti est le dnominateur possde deux racines relles :0>
.01zzwp 2021
-
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Chapitre 4 Etude des systmes lmentaires
Cours dautomatique et rgulation 43
Cas 3 :z
-
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Chapitre 4 Etude des systmes lmentaires
Reprsentation graphique :
s()=K.E
t10%
tm
t90%t5%
Particularits : Pente lorigine :
( )tptp2
20 21 ee
1z2
Kw)t('s
= do 0)t('slim0t
=+
Temps de rponse 5%:Il ny pas de formule simple.
Temps de monte :tm=t90% t10%
Cas 2 :z=1, amortissement critique. La sortie dans le domaine de Laplace scrit :
.p
K
wp
K
)wp(
w.K
p.)wp(
w.K)p(S
02
0
0
20
20 +
+
++
=
+=
La rponse temporelle a pour expression : ( )( )tw0 0etw11K)t(s += .
Particularits : Pente lorigine.
( )( ) tw20000tw 00 e.w.Kwtw1we.K)t('s
=+= do 0)t('slim0t
=+
Temps de rponse 5%.Il ny pas de formule simple.
Cas 3 :z
-
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Chapitre 4 Etude des systmes lmentaires
On modifie le dnominateur dordre 2 pour faire apparatre un carr parfait :
( ) ( )220200
20
20
220
20
2
0
z1ww.zp
w.z.K.2p.K
p
K
ww.zw.zp.w.z.2p
w.z.K.2p.K
p
K)p(S
++
+=
+++
+= .
Une nouvelle transformation permet didentifier les transformes de Laplace des cosinus et
sinus amortis :
( ) ( ) ( ) ( )
++
++
+=
22
0
20
20
2220
20
0
z1ww.zp
z1w
z1
z
z1ww.zp
w.zp
p
1K)p(S .
La rponse dans le domaine temporel scrit donc :
( ) ( ) .t.z1wsin.e.z1
zt.z1wcos.e1K)t(s
20
tzw
2
20
tzw 00
=
On pose zcos = et 2z1sin = .
La rponse temporelle scrit : ( ) .t.z1wsin.e.z1
11K)t(s 20
tzw
2
0
+
=
Reprsentation graphique :
Particularits : Pseudopriode.
La rponse prsente des oscillations amorties dont la priode, appele pseudopriode, est :
a2
0w
2
z1w
2Ta
=
= o 20a z1ww = est la pulsation amortie.
Pente lorigine.
( )t.z1.wsin.e.z1
w.K)t('s 20
tzw
2
0 0
= donc 0)t('slim0t
=+
et la pente est nulle.
Dpassements relatifs.Les dpassements relatifs sont donns pour les instants tktels ques(tk)=0.
Donc2
0
k
z1wkt
=
avec k entier.
On dfinit le dpassement relatif dordre k par :
( )2
k0
z1
.k.z
k
2
02
tzwk
rk et.z1wsin.z1
e
)(s
)t(s)(s
D
=+=
=
.
Cours dautomatique et rgulation 45
-
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Chapitre 4 Etude des systmes lmentaires
Les dpassements relatifs ne dpendent donc que du coefficient damortissement z:
2z1
.k.z
rk eD
=
. On utilise cette particularit pour identifier z partir dun trac
exprimental modlisable par une fonction de transfert de second ordre. Le premierdpassement est retenu et on a :
( )
( )21r2
21r
Dln
Dlnz
+=
avec
)(s
DD 11r
= . (Voir annexe)
Temps de rponse.Il ny a pas dexpression simple. Un abaque donne la valeur du temps de rponse rduit,t5%.w0, en fonction du coefficient damortissement. Le temps de rponse minimum estobtenu pour un dpassement relatif de 5% ce qui correspond un coefficientdamortissement de valeurz=0,7. On a alors : t5%: w0=3.
Pulsation de rsonancePourz< 0,7Alors la rponse prsente une rsonance pour la pulsation :
z1ww 0R =
Temps de stabilisationLe temps de stabilisation est dfinit par :
Ts 3/z.w0 5% pourz< 0,7.Ts 4/z.w0 2% pourz< 0,7.
0 100 200 300 400 500 6000
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
1.8
Step Response
Time (sec)
A
mplitude
z=0.1
z=0.3
z=0.5
z=0.7
z=1
z=2
Cours dautomatique et rgulation 46
-
7/22/2019 Cours Automatique Regulation
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Chapitre 4 Etude des systmes lmentaires
Cours dautomatique et rgulation 47
2.3.Etude harmoniqueOn a jwp= , ce qui donne :
0
2
0
022
0
20
w
w.z.j.2
w
w1
K
w.w.z.j.2ww
w.K)w.j(H
+
=+
=
On a alors : ( ) ( )( )2202440102010dB w.w.2z.4ww10.log-w.Klog.20)w.j(H ++=
( )
+
=
2
0
22
0
1010dB w
w.z.2
w
w110.log-Klog.20)w.j(H
2.3.1. Diagrammes de Bode
A/ Reprsentation du module( )
+
=
2
0
22
0
1010dB w
w.z.2
w
w110.log-Klog.20)w.j(H
Etude des asymptotes :
Pour 1w
w
0
>
0
10dB w
wlog40)w.j(H .
=
0
110
0
110dB1dB1 w
wlog.40w
w.10log.40)w.j(H)w.10.j(H
=
0
110
0
110
w
wlog.40
w
w.10log.40
( ) dB4010log.40
w
w
w
w.10
log.40 10
0
1
0
1
10 ==
=
Cest une droite de pente40dB/dcade.
-
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Chapitre 4 Etude des systmes lmentaires
Cours dautomatique et rgulation 48
B/ Reprsentation de la phase
ou
=
0
110
0
110dB1dB1 w
wlog40
w
w.2log40)w.j(H)w.2.j(H
=
0
110
0
110
w
wlog.40
w
w.2log.40 ( ) dB122log.40
w
w
w
w.2
log.40 10
0
1
0
1
10 ==
=
Cest une droite de pente12dB/octave.
.arctg))w.j(H(Arg == 2
0
0
w
w1
w
w.z.2
arctg)w.j(H
=
Etude des asymptotes :
On a asymptote horizontale de
Pour 0w 0 : asymptote horizontale.
Pour 0w w= ( )2
Arctg
+=
=
Pour w ( ) == 0 arctg))w.j(H(Arg= .
-
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10-3
10-2
10-1
100
-100
-80
-60
-40
-20
0
20G dB
3 dB
f1
40 dB/de c
wo
20.logK
z=2z=1
z=0.7
z=0.5
z=0.1
Chapitre 4
Cours dautomatique et rgulation
10-3
10-2
10-1
100
-200
-150
-100
-50
0Dephasage
-90
-180
wo
z=2
z=1 z=0.7
z=0.5z=0.1
-
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Chapitre 4 Etude des systmes lmentaires
2.3.2. Reprsentation dans le plan de Nyquist
( )( ) ( ) ( ) ( )20
2220
20
20
2220
220
20
w.w.z.2ww
w.w.K2j
w.w.z.2ww
ww.w.K)w.j(H
+
+
=
-3 -2 -1 0 1 2 3-6
-5
-4
-3
-2
-1
0ReIm
z=0.1
z=0.5
z=0.7z=1
z=2
2.3.3. Reprsentation dans le plan de Black20log ( )f)w.j(Hlog.20 10 = Cest un diagramme contract obtenu en liminant w.
Etude des asymptotes : Pour 0w kwjH
dBlog20).( ; =0.
Pour 0w w= dBkwjH dB 3log20).( = ; = 2
=
2
2z
Pour w dB
)w.j(Het
= y .Cest une asymptote.
-180 -135 -90 -45 0-120
-100
-80
-60
-40
-20
0
20
Nichols Chart
z=0.1
z=0.7z=1
z=2
GdB
Dephasage
Cours dautomatique et rgulation 50
-
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Chapitre 4 Etude des systmes lmentaires
2.3.4. Exemple
Le circuit Oscillateur amorti :
dt)t(iC
1
i(t)Rdt
)t(di
Lx(t) ++= (t) y(t)CLR
avec dt)t(iC
1)t(y =
)t(ydt
)t(dyRC
dt
)t(ydLCx(t) ++=
1RCpLCp
1H(p)
++=
Identifions les paramtres :
LC
1w0= est la pulsation propre dun circuit oscillantLC.
C
L.2
Rz = est le facteur damortissement.
A.N. :R=100; C=100F etL=1H.
W(rd/s) 0 0.1 1 2 5 10 20 50 100 200 500 103 2.103 5.103 104
H
dbH
)jw(H(e
W(rd/s)
Remplir le tableau. Faire ltude temporelle et dgager les diffrents paramtres (fc, tm, ). Effectuer ltude harmonique par les trois mthodes.
Cours dautomatique et rgulation 51
-
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Chapitre 4 Etude des systmes lmentaires
3. Srie de TD N2
Exercice n1 :
Un systme physique a pour fonction de transfert :
)20p4p).(1p(
2p)p(H
2
+++
+=
1. DcomposerH(p)en lments simples.2. En dduire la rponse impulsionnelle du systme.
Exercice n2 :
Soit un processus linaire dfini par la fonction de transfert suivante :
)5p2p).(1p(
4pp)p(F
2
2
+++
++= transforme def(t).
1. Calculerf(0)et )(f + partir deF(p).2. DcomposerF(p)en lments simples et en dduire la rponse impulsionnellef(t).
3. En dduire la rponse indicielles(t), vrifier en calculant directements(0)et )(s + partir deF(p).
Exercice n3 :
On considre le rseau suivant :
K100R1= ; K200R2= ; F10C1= ; F50C2 = .
1. Dterminer la fonction de transfert)p(Ve
)p(Vset en dduire la nature de ce correcteur.
2. Tracer dans le lieu deBodela rponse harmonique relle.
Exercice n4 :
Soit le rseau suivant
Avec K1R= ; H1L= et F100C= .
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-
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Chapitre 4 Etude des systmes lmentaires
Cours dautomatique et rgulation 53
1. Montrer que la fonction de transfert du rseau peut se mettre sous la forme :
2BpAp1
K)p(F
++= en prcisant les valeurs deK,AetB.
2. En dduire le gain statique, la frquence propre non amortie et le coefficientdamortissement du rseau.
3. En dduire que la fonction de transfert prcdente est quivalente deux lmentsdu premier ordre en srie.
Exercice n5 :On souhaite identifier un systme par une analyse harmonique. Pour ceci on enregistre larponse du procd des sinusodes A.sin(wt)pour diffrentes valeurs de w. on relve la
phase (en degrs) et le gain G(en dB).
W(rd.s-1) (degrs) G(db)0
0.10.3
0.50.70.80.9
1.00235
10
0-5.8
-18.2
-33.7-53.9-65.8-78.1-90.0
-146.3-159.4-168.2-174.2
20.0020.0420.37
20.9021.2521.1420.720.08.91.4-7.8-20
1. Dessiner ces courbes dans le plan deBode.2. Dire en le justifiant sil sagit dun systme du premier ou du deuxime ordre.
3. donner la fonction de transfert du prcd.
Exercice n6 :
Reprsenter dans le plan de Nyquist, Bode et Black le lieu des fonctions de transfertsuivantes :
1. Intgrateur pur :p
1)p(H = .
2. Drivateur pur : p)p( .H =
3. Double intgrateur pur :2p
1)p(H = .
Exercice n7 :On considre un systme du second ordre ayant comme fonction de transfert :
2
00 w
pp
w
z21
K)p(H
++
=
avecz=0,1;K=1et w0=1.
Ce systme est insr dans une boucle retour unitaire afin deffectuer un asservissement.
1. Le systme en boucle ouverte possde-t-il des rsonances ?2. TracerH(p)dans le diagramme deBodeen boucle ouverte puis en boucle ferme.
H(p)E(p)
+ -S(p)
-
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Chapitre 4 Etude des systmes lmentaires
Exercice n8 :
1. TracerH(p)dans labaque deBlacken prenant les points suivants pour la pulsation w:
w (rd/s) 0.4 0.7 0.8 0.9 1 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6
2. Dterminer laide de labaque deBlackle facteur de surtensionMwet la pulsation dersonance wRWen boucle ferme.
Tracer la fonction de transfert en boucle ferme dans le lieu deBode.3. Peut-on rglerKafin de diminuer le facteur de surtension pour obtenirMWdb=10dB?
Justifier votre rponse laide de labaque deBlackpuis par un calcul direct.
Pour cela, exprimer la fonction de transfert en boucle fermeE(p)
S(p)W(p)= sous la forme :
2
W0W0
W
W
w
pp
w
z.21
K
)p(W
++
=
Et donner les expressions dezW,KWet w0W.En dduire wRWetMW. Comparer avec les rsultats obtenus laide de labaque deBlack.
Exercice n9 :
On considre un systme du second ordre ayant comme fonction de transfert :
2
p.10p.52
3)p(H
++
= .
1. Dduirez;Ket w0.2. Tracer la rponse indicielle.3. Tracer la rponse du systme dans le lieu de Bode, le lieu de Nyquist et le lieu de
Black.
Corrig exercice n9 :
1. K = 1,5.z = 0,56.
w0= 0,447.
2. Rponse indicielle
( )k12,2exp.100Dk% = .%12D1= , %44,1D2= .
7,2..kTpic = .
s5,8Tp1= , s17Tp2= .
s17Ta= .s12Tr5%= , .s16Tr2%=
Cours dautomatique et rgulation 54
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Chapitre 4 Etude des systmes lmentaires
0 5 10 15 20 250
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
1.8
System: sys
Time (sec): 8.5
Amplitude: 1.68System: sys
Time (sec): 12
Amplitude: 1.57System: sys
Time (sec): 17
Amplitude: 1.48
Step Response
Time (sec)
Amplitude
3. Etude Harmonique.
Lieu de Bode
-60
-40
-20
0
20
Magnitude(dB)
10-2
10-1
100
101
-180
-135
-90
-45
0
Phase(deg)
Bode Diagram
Frequency (rad/sec)
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Chapitre 4 Etude des systmes lmentaires
Lieu deNyquist
-1 -0.5 0 0.5 1 1.5-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
Nyquist Diagram
Real Axis
ImaginaryAxis
Lieu deBlack
-180 -135 -90 -45 0
-60
-50
-40
-30
-20
-10
0
10Nichols Chart
Open-Loop Phase (deg)
Open-LoopGain(dB)
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Performances des systmes
asservis linaires
Cours dautomatique et rgulation 57
Chapitre
-
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Chapitre 5 Performances des systmes asservis linaires
Chapitre 5 : Performances des systmes linairesasservis
1. IntroductionOn sintresse ltude des systmes asservis retour unitaire, puisque tout
systme pouvant tre transform en systme retour unitaire.
T(p) S(p)(p)+_E(p)
)p(T : Fonction de transfert en boucle ouverte.
( )( )pT1
pT)p(F
+= : fonction de transfert en boucle ferme.
( ) ( )
( )pDpN
pa...papaa
pb...pbpbbpF
nn210
mm
2210 =
++++
++++= , o n m.
Analyser le systme asservi linaire revient tudier la fonction de transfert enboucle ouverte ( )p(T1 + ).Ltude des performances consiste tudier :
La stabilit et la rapidit qui sont deux critres dynamiques. La prcision qui est un critre statique.
( ) n22
210 pa...papaapD +++= : sappelle quation caractristique.Les racines deN(p)sappellent les zros deF(p).Les racines deD(p)sappellent les ples deF(p).
2. Stabilit
2.1. DfinitionUn systme initialement au repos est stable si pour une entre impulsion de Dirac, le
systme rejoint une position dquilibre aprs un certain temps.2.2. Condition de stabilitLtude de la stabilit revient rsoudre lquation caractristiqueD(p)=0.Soit : iii jp = une racine deD(p).
La condition ncessaire et suffisante pour que le systme soit stable est : toutes lesracines de D(p) sont partie relle strictement ngative.i
RemarqueCette condition ncessaire est suffisante exige un calcul des racines ce qui rend cette
condition inexploitable lorsque lordre du systme devient important, pour cela on proposele critre algbrique suivant.
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Chapitre 5 Performances des systmes asservis linaires
2.2.1. Critre de Routh
Pour cette section, l'approche est purement algbrique et ne requiert pas dereprsentation graphique. Le polynme dnominateur du systme en boucle ferme est critsous sa forme dveloppe et on utilise les proprits des polynmes pour tirer desconclusions concernan
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