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Post on 15-Sep-2018
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Loi binomiale et échantillonnage
I. Loi binomiale
1. Loi de Bernoulli
a. Épreuve de Bernoulli
Définition Une épreuve de Bernoulli est une expérience aléatoire à deux issues : l’une est appelée SUCCÈS (!), l’autre appelée ÉCHEC (!)
Exemple On lance un dé équilibré à 6 faces numérotées de 1 à 6 et on s’intéresse à la réalisation de la face 6. L’issue appelée SUCCÈS est : « Le dé tombe sur la face 6 » L’issue appelée ÉCHEC et : « Le dé ne tombe pas sur la face 6 »
b. Loi de Bernoulli Définition La loi de Bernoulli de paramètre ! est la loi de probabilité associée à une épreuve de Bernoulli dont la probabilité du SUCCÈS est !. La loi de Bernoulli de paramètre ! est donc définie par le tableau ci-‐dessous :
Exemple L’expérience précédente suit une loi de Bernoulli de paramètre !
!
! ! = ! "obtenir un 6" =16
! ! = 1 −16=56
Issue ! ! Probabilité ! ! − !
Jacques Bernoulli (1654 – 1705) Suisse
2. Loi binomiale
a. Loi binomiale Définition On réalise ! épreuves identiques de Bernoulli de paramètre !. Ces ! épreuves sont indépendantes. Soit ! la variable aléatoire qui compte le nombre de succès lors de ces ! épreuves. La loi de probabilité de la variable aléatoire ! est appelée loi binomiale de paramètres ! et !. On la note ℬ !, ! Exemple simple Dans une urne il y a dix boules dont trois sont rouges. On tire une boule dans l’urne, on note sa couleur puis on la remet dans l’urne. On appelle SUCCÈS l’issue « Tirer une boule rouge ». Cette expérience est une épreuve de Bernoulli de paramètre !
!"= !,!
On réalise 2 fois cette expérience. On note ! la variable aléatoire qui prend comme valeurs le nombre de succès. ! suit la loi binomiale de paramètres ! et !,!. L’arbre ci-‐dessus représente la situation étudiée. Par lecture de l’arbre pondéré : ! prend comme valeurs le nombre de succès, c’est à dire : 0 ; 1 et 2.
! ! = 0 = ! !! =710×710
=49100
= 0,49
! ! = 1 = ! !! + ! !! =310×710
+710×310
=42100
= 0,42
! ! = 2 = ! !! =310×310
=9100
= 0,09 Remarque On retrouve bien, d’après la définition d’une loi de probabilité, que :
! ! = 0 + ! ! = 1 + ! ! = 2 = 0,49 + 0,42 + 0,09 = 1 Remarque Il est impossible de construire un tel arbre dès que ! (correspondant au nombre de fois où l’on répète l’expérience de Bernoulli) dépasse une certaine valeur.
En utilisant l’exemple suivant, nous allons essayer de dégager un cas général Soit une expérience de Bernoulli de paramètre !. On répète cette expérience 4 fois. La variable aléatoire ! comptant le nombre de succès suit la loi binomiale de paramètres 4 et !. La situation est représentée par l’arbre pondéré ci-‐dessous : Citer les valeurs que peut prendre la variable ! ? …………………………………………………………………………. Dans le cas général, c’est à dire ! suit la loi binomiale de paramètres ! et !, quelles valeurs peut prendre la variable aléatoire ! ? ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… On s’intéresse à déterminer !(! = 2) Numéroter sur l’arbre les chemins conduisant à deux succès. Probabilité du chemin n°1 : ………………………………………………………………………………………………………….. Probabilité du chemin n°2 : ………………………………………………………………………………………………………….. Probabilité du chemin n°3 : ………………………………………………………………………………………………………….. Probabilité du chemin n°4 : ………………………………………………………………………………………………………….. Probabilité du chemin n°5 : ………………………………………………………………………………………………………….. Probabilité du chemin n°6 : ………………………………………………………………………………………………………….. Quelle remarque peut-‐on faire ? ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… Déterminer la probabilité de !(! = 2) : ………………………………………………………………………………………
Refaire le même travail pour !(! = 1) ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… Dans le cas général, c’est à dire ! suit la loi binomiale de paramètres ! et !, proposer la probabilité d’un chemin menant à ! succès (! compris entre ! et !) ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… Que manque-‐t-‐il alors pour calculer la probabilité de !(! = !) ? ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… Théorème ! est une variable aléatoire qui suit la loi binomiale de paramètres ! et ! ℬ !, ! . Pour tout entier naturel ! tel que 0 ≤ ! ≤ !,
! ! = ! =!!×!!× ! − ! !!!
Le nombre entier !! est appelé coefficient binomial Ce nombre représente le nombre de chemins conduisant à ! succès parmi ! sur l’arbre représentant l’expérience. Quelques valeurs simples à retenir
!0
=!!
= 1 !" !1
=!
! − 1 = ! ! ≥ 1
Dans un cas quelconque, on utilisera la calculatrice Exemple Calculer !"! avec la calculatrice Le résultat est : !"! = 120
Avec la CASIO
• Taper !" • Sélectionner OPTN • En bas de l’écran sélectionner PROB • Puis sélectionner nCr • Taper !, puis EXE
Avec la TI
• Taper !" • Sélectionner Math • Sélectionner PROB • Puis sélectionner Combinaison • Taper !, puis EXE
Application Un constructeur de composants produit des résistances. La probabilité qu’une résistance soit défectueuse est égale à 5×10!!. 1. Dans un lot de 1000 résistances, quelle est la probabilité d’avoir :
a. Exactement 2 résistances défectueuses ? On peut analyser la situation de la façon suivante On choisit au hasard un composant électronique, sa probabilité d’être défectueux est de 0,005. On a donc bien une épreuve de Bernoulli de paramètre 0,005. On répète cette expérience 1000 fois afin d’obtenir un lot de 1000 composants. On admet qu’à chaque tirage la probabilité qu’une résistance soit défectueuse est toujours la même et donc que les tirages sont indépendants. On note ! la variable aléatoire égale au nombre de résistances défectueuses dans le lot de 1000. ! suit la loi binomiale de paramètres 1000 et 0,005
! ! = 2 =10002
×0,005!× 1 − 0,005 !"""!!
! ! = 2 = 499500×0,005!×0,995!!" ≈ 0,08 La probabilité qu’il y ait exactement 2 composants défectueux parmi les 1000 est environ de 8 %
b. Au plus deux résistances défectueuses ? On va calculer : !(! ≤ 2) = ! ! = 0 + ! ! = 1 + !(! = 2)
c. Au moins deux résistances défectueuses ? ! ! ≥ 2 = 1 − ! ! < 2 = 1 − ! ! = 0 + !(! = 1)
b. Espérance Théorème (admis) Soit ! une variable aléatoire qui suit la loi binomiale de paramètres ! et ! ℬ !, ! L’espérance de ! est :
! ! = !×! Application On reprend l’énoncé de l’exercice précédent : Dans un lot de 1000 résistances, quel nombre de résistances défectueuses peut-‐on craindre en moyenne ?
! ! = 1000×0,005 = 5 En moyenne, on peut craindre 5 résistances défectueuses dans un lot de 1000 résistances.
II. Échantillonnage
Problématique Dans une population on étudie un caractère dont on connaît à priori la proportion !. Exemple Dans la population française il y a environ 43% des individus qui possèdent un groupe sanguin de type O Pour juger de cette affirmation (ou hypothèse), on prélève au hasard ! individus dans la population et on calcule la fréquence ! observée du caractère étudié. On cherche alors à déterminer si la fréquence observée ! est suffisamment éloignée de !, ou pas, pour rejeter, ou non, l’hypothèse initiale.
1. Échantillonnage
a. Échantillon Définition Un sous-‐ensemble de ! individus dans une population constitue un échantillon de taille !.
b. Échantillonnage Définition On appelle échantillonnage, le prélèvement d’un échantillon dans une population. Propriété Soit une population dans laquelle la proportion d’un caractère étudié est égale à !. Si l’échantillon de taille ! est réalisé par prélèvement des individus un par un au hasard, avec remise, alors la variable aléatoire ! qui compte le nombre d’individus possédant le caractère étudié suit la loi binomiale de paramètres ! et !. Remarque Si la taille de l’échantillon est « petite » devant la taille de la population, un prélèvement sans remise sera assimilé à un prélèvement avec remise. En effet, si la population est grande, ce n’est pas le prélèvement de quelques individus qui change fondamentalement la proportion du caractère étudié.
2. Intervalle de fluctuation au seuil de 95 %
a. Définition Définition La variable aléatoire ! compte le nombre d’individus de l’échantillon qui présentent le caractère étudié. Elle suit la loi binomiale de paramètres ! et !. L’intervalle de fluctuation au seuil de !"% de la fréquence ! est l’intervalle :
!! ;!!
! est le plus petit entier tel que !(! ≤ !) ≥ !",!%
! est le plus petit entier tel que !(! ≤ !) > !,!%
Un schéma pour comprendre Pour un échantillon de taille !, ! peut prendre toutes les valeurs entre 0 et !
Si ! ! ≤ ! ≤ ! ≥ 95% alors, dans au moins 95 % des cas la fréquence observée !
! appartient à
l’intervalle !! ; !!.
b. Prise de décision
On retiendra la règle suivante : Si ! ∉ !
! ; !!, alors on rejette l’hypothèse selon laquelle la proportion du caractère dans la
population est !, avec un risque d’erreur de !%. Si ! ∈ !
! ; !!, alors on ne peut pas rejeter cette hypothèse.
Application (Voir énoncé à compléter page suivante)
c. Cas des grands échantillons
Propriété (admise) Pour un échantillon de grande taille ! ≥ !" et une proportion du caractère ! comprise entre !,! et !,!, l’intervalle :
! −!! ;! +
!!
est une bonne approximation de l’intervalle de fluctuation au seuil de 95 % de la fréquence observée ! du caractère, déterminé à l’aide de la loi binomiale.
Pour s’en convaincre
En reprenant l’exercice précédent, calculer l’intervalle de fluctuation avec la formule ci-‐dessus (utilisée en seconde) et comparer avec celui déterminé dans l’exercice précédent. Dans l’exercice précédent : ! = 80 et ! = 0,7
! −1! ; ! +
1! = 0,7 −
180; 0,7 +
180
= 0,58 ; 0,82
On peut donc constater qu’il est proche de l’intervalle 0,6 ; 0,8 Remarque Cette formule est plus pratique ; il suffit de connaître la proportion du caractère ! et la taille de l’échantillon ! pour déterminer l’intervalle de fluctuation. Cette approximation est d’autant meilleure que ! est grand et ! proche de !,!.
La probabilité que ! appartienne à [! ; !] est supérieure ou égale à 95 %
La probabilité que ! appartienne à l’intervalle [! + 1 ; !] est proche de 2,5% mais reste inférieure ou égale à 2,5%
La probabilité que ! appartienne à l’intervalle [0 ; ! − 1] est proche de 2,5% mais reste inférieure ou égale à 2,5%
Énoncé de l’exercice à compléter Selon le ministre de la Santé, fin 2010, 70 % des français sont non-‐fumeurs. Le proviseurs de deux lycées différents prélèvent chacun un échantillon aléatoire de 80 lycéens de leur établissement. On assimile ce prélèvement à un tirage avec remise. ! est la variable aléatoire qui compte le nombre de lycéens non-‐fumeurs parmi les 80.
1. Préciser les paramètres de la loi binomiale suivie par !. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
2. A l’aide d’un tableur, on obtient la feuille de calcul ci-‐dessous. Déterminer à l’aide de cette feuille de calcul l’intervalle de fluctuation au seuil de 95 %. Pour obtenir cette feuille on a utilisé dans la cellule B2 la formule : = LOI.BINOMIALE (« nombre de succès » ; « taille de l’échantillon » ; « proportion » ; VRAI) Ce qui donne : = LOI.BINOMIALE ( ……….. ; ………….. ; …………. ; VRAI) VRAI : permet de cumuler tous les résultats précédents pour obtenir non pas !(! = !) mais !(! ≤ !) FAUX : permet d’obtenir uniquement !(! = !) Intervalle de fluctuation au seuil de 95 % ……………………………………………………………………………………………………………………
3. Le proviseur de l’établissement ! a compté 49 élèves non-‐fumeurs et le proviseur de l’établissement ! en a compté 46. Peut-‐on dire si les campagnes d’information sur les risques liés au tabac ont eu un impact sur les élèves de ces deux établissements ? Fréquence observée dans l’établissement ! : ………………………………………………………………………………………………. Conclusion : ………………………………………………………………………………………………………………..……………………………….. ……………………………………………………………………………………………………………………………………..……………………………… Fréquence observée dans l’établissement ! : ……………………………………………………………..………………………………. Conclusion : ……………………………………………………………………………………………………………….……………………………….. ……………………………………………………………………………………………………………………………………..………………………………
En analysant les résultats précédents, que pensez-‐vous de l’impact des campagnes d’information sur les risques liés au tabac dans ces deux établissements ? ……………………………………………………………………………………………………………………………………..……………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………..……………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………..……………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………..………………………………
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