cpv 82 espm esolvida rova e –...
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1CPV ESPMNOV2012
MATEMÁTICA
21. A distribuição dos n moradores de um pequeno prédio de
apartamentos é dada pela matriz 4 51 36 1
xy
y x +
,
em que cada elemento aij representa a quantidade de
moradores do apartamento j do andar i.
Sabe-se que, no 1o andar, moram 3 pessoas a mais que no 2o e que os apartamentos de número 3 comportam 12 pessoas ao todo. O valor de n é:
a) 30 b) 31 c) 32 d) 33 e) 34
Resolução:
Da matriz 4 51 36 1
xy
y x +
, concluímos que moram no:
1o andar: 4 + x + 5 = x + 9 pessoas
2o andar: 1 + 3 + y = y + 4 pessoas
3o andar: 6 + y + x + 1 = x + y + 7 pessoas
Sabendo que no 1o andar moram 3 pessoas a mais que no 2o, temos:
x + 9 = y + 4 + 3 Þ y = x + 2 (I)
Como os apartamentos de número 3 comportam 12 pessoas ao todo, temos:
5 + y + x + 1 = 12 Þ x + y = 6 (II)
Substituindo (I) em (II):
x + (x + 2) = 6 Þ 2x = 4 Þ x = 2
Voltando em (II): 2 + y = 6 Þ y = 4
Adistribuiçãodemoradoresnoprédiofica:4 2 51 3 46 4 3
de onde resulta que n = 32.Alternativa C
22. Carlos fazia um teste por computador em que, a cada resposta dada, era informado sobre a porcentagem de acertos até então. Ao responder à penúltima questão, sua porcentagem de acertos era de 37,5% e, ao responder à última, ela passou para 40%.
O número de questões dessa prova era:
a) 30 b) 25 c) 20 d) 15 e) 10
Resolução:
Sendo x a quantidade de acertos e n a quantidade total de questões, temos:
xnxn
x nx n
−−=
=
⇒− = −=
11 0 375
0 40
1 0 375 0 3750 40
,
,
, ,,
Do sistema, obtemos: 0,40n – 1 = 0,375n – 0,375 0,025n = 0,625 n = 25 O número de questões dessa prova era 25.
Alternativa B
ESPM Resolvida – PRova e – 11/novembRo/2012
CPV – 82% de aPRovação dos nossos alunos na ESPM
ESPM – 11/11/2012 CPV – esPeCializado na esPM2
CPV ESPMNOV2012
23. Os números naturais M e N são escritos, na base 10, com os mesmos dois algarismos, porém em posições invertidas.
A diferença entre o maior e o menor é uma unidade a menos que o menor deles.
PodemosafirmarqueovalordeM + N é:
a) 102 b) 67 c) 125 d) 98 e) 110
Resolução:
Consideremos: M > N, M = 10a + b e N = 10b + a
Assim: 10a + b – (10b + a) = (10b + a) – 1
8a – 19b = –1
a = 19 18b -
A equação possui solução natural para a = 7 e b = 3
Portanto, M + N = 73 + 37 = 110Alternativa E
24. Um empréstimo de R$ 10.000,00 foi pago em 5 parcelas mensais, sendo a primeira, de R$ 2.000,00, efetuada 30 dias após e as demais com um acréscimo de 10% em relação à anterior.
Pode-se concluir que a taxa mensal de juros simples
ocorrida nessa transação foi de aproximadamente:
a) 2,78% b) 5,24% c) 3,28% d) 6,65% e) 4,42%
Resolução:
As parcelas do empréstimo são:
1a parcela: 2000
2a parcela: 2000 . 1,10
3a parcela: 2000 . (1,10)2
4a parcela: 2000 . (1,10)3
5a parcela: 2000 . (1,10)4
Assim:
10000 (1 + i . 5) = 2000 + 2000(1,10) + 2000(1,10)2 + 2000(1,10)3 + 2000(1,10)4
10000 (1 + i . 5) = 2000 (1 + 1,10 + 1,21 + 1,331 + 1,4641)
5 (1 + i . 5) = 6,1051
1 + 5i = 1,22102
5i = 0,22102
i = 0,0442 = 4,42%Alternativa E
3CPV – esPeCializado na esPM ESPM – 11/11/2012
ESPMNOV2012 CPV
25. O par ordenado (x; y) Î N x N é solução da equação
x3 + x2y−8x−8y=7.Ovalordex − y é:
a) 1 b) 2 c) – 1 d) 0 e) – 2
Resolução:
x3 + x2y – 8x – 8y = 7
x2 (x + y) – 8 (x + y) = 7
(x + y) . (x2 – 8) = 7
Como (x; y) Î N x N, devemos ter:
x y
x
xy
+ =
− =
⇒==
7
8 1
342
O valor de x – y é –1Alternativa C
26. A figura abaixo representa os gráficos das funções f (x) = x2 + 1 e g(x) = 2x.
A área do quadrilátero ABCD é igual a:
a) 2,0 b) 1,5 c) 0,5 d) 2,5 e) 1,0
Resolução:
Dafigura,temos:
A = (0; g(0)) = (0; 1) B = (1; g(1)) = (1; 2) C = (2; g(2)) = (2; 4) D = (2; f(2)) = (2; 5)
A área do quadrilátero ABCD é dada pela soma das áreas dos triângulos ABD e BCD, ou seja:
12
0 1 11 2 12 5 1
1 2 12 4 12 5 1
12
+ = | 2 + 1| = 32 = 1,5
Alternativa B
ESPM – 11/11/2012 CPV – esPeCializado na esPM4
CPV ESPMNOV2012
27. Anotafinaldeumconcursoédadapelamédiaaritméticadas notas de todas as provas realizadas.
Seumcandidatoconseguiuxnotas8,x+1notas6ex−1notas5esuanotafinalfoi6,5,onúmerodeprovasqueelerealizou foi:
a) 6 b) 9 c) 7 d) 5 e) 12
Resolução:
Anotafinaldessecandidatoédadapor:
x x x
x x x. . .8 1 6 1 5
1 1+ +( ) + −( )+ + + − = 6,5
8 6 6 5 5
3x x x
x+ + + −
= 6,5 Þ 0,5x = 1 Þ x = 2 O número de provas que ele realizou foi 6.
Alternativa A
28. Para que a sequência (−9; −5; 3) se transforme numaprogressão geométrica, devemos somar a cada um dos seus termos um certo número.
Esse número é:
a) par b) quadrado perfeito c) primo d) maior que 15 e) não inteiro
Resolução:
Chamando de x o número procurado, temos:
(–5 + x)2 = (–9 + x) . (3 + x)
25 – 10x + x2 = x2 – 6x – 27
4x = 52 Þ x = 13
Esse número é primo.Alternativa C
5CPV – esPeCializado na esPM ESPM – 11/11/2012
ESPMNOV2012 CPV
29. As raízes da equação 3x2+7x−18=0sãoα e β.
O valor da expressão α2β + αβ2−α−β é:
a) 293
b) 493
c) 313
d) 533
e) 263
Resolução:
Temos:
α2β + αβ2 – α – β = αβ (α + β) –1 (α + β) = (α + β) (αβ – 1)
Como α e β são raízes da equação 3x2 + 7x – 18 = 0, temos:
α β
α . β
+ = −
= −
73183
de onde obtemos:
(α + β) . (αβ – 1) = – 73
183
1 73
213
− −
= − −
=
493
Alternativa B
30. O sistema ax y ax ay+ =+ = −
42
2 , em x e y,
é possível e indeterminado se, e somente se:
a) a ≠ –2 b) a ≠ 2 c) a = ±2 d) a=−2 e) a = 2
Resolução:
Multiplicando-se a segunda equação do sistema por –a e somando-se o resultado à primeira equação, obtemos:
–a2y + 4y = 2a + a2 Þ y (4 – a2) = 2a + a2
Para que essa equação seja indeterminada, devemos ter
4 – a2 = 0 a = 2 ou a = – 2 Þ e Þ a = – 2 2a + a2 = 0 a = 0 ou a = – 2
Alternativa D
ESPM – 11/11/2012 CPV – esPeCializado na esPM6
CPV ESPMNOV2012
31. O consumo de combustível de um trator de arado, por tempo de trabalho, é de 18 litros por hora. Esse mesmo consumo, por área trabalhada, é de 15 litros por hectare.
Podemos estimar que, em 10 horas de trabalho, esse trator poderá arar cerca de:
a) 12 hectares b) 15 hectares c) 8 hectares d) 6 hectares e) 10 hectares
Resolução:
Sabendo que o consumo por tempo de trabalho é 18 litros/hora:
18 litros ——— 1 hora x = 180 litros x ——— 10 horas
Determina-se, então, quanto o trator poderá arar nas mesmas 10 horas, sabendo que o consumo por área trabalhada é de 15 litros / hectare:
15 litros ——— 1 hectare y = 12 hectares 180 litros ——— y
Alternativa A
32. Afiguraabaixomostraum trapézio retânguloABCDeum quadrante de círculo de centro A, tangente ao lado CD em F.
Se AB = 8 cm e DE = 2 cm, a área desse trapézio é:
a) 48 cm2
b) 72 cm2
c) 56 cm2
d) 64 cm2
e) 64 cm2
Resolução:
Nafigura,chamamosBC=FC=xeDF=y.
Completamos a circuferência e notamos por G o encontro entre ela e o prologamento do segmento DA.
Aplicando a potência do ponto em D, temos:
DF2 = DE . DG
y2 = 2 . (18) Þ y = 6 cm
Aplicando o teorema de Pitágoras ao ΔDCH, temos:
(x + 6)2 = 82 + (10 – x)2
32x = 128
x = 4 cm
A área do trapézio ABCD é:
A = 10 4 8
2+( ) ( ).
= 56 cm2
Alternativa C
BC
A
8
D E HG
2
xx
y
F
C
D H
8(x + 6)
(10 – x)
7CPV – esPeCializado na esPM ESPM – 11/11/2012
ESPMNOV2012 CPV
33. A solução da equação
xx x x
x
x
−++
−=−+
−
21
3
1
11 12 2
pertence ao intervalo:
a) [−3;−1[ b) [−1;1[ c) [1; 3[ d) [3; 5[ e) [5; 7[
Resolução:
xx x x
x
x
−++
−=−+
−
21
3
1
11 12 2
x xx x x
xx x
x
x
−( ) −( )+( ) −( )
+−=
+( )−( ) +( )
+−
2 11 1
3
1
1 11 1 12 2
.
x x
x
x x
x
2
2 23 2 3
1
1
1
− + +
−=
+ +
−
x = 1 (não convém) x2 – 5x + 4 = 0 Þ ou x = 4
Assim, x Î [3; 5[.Alternativa D
34. Com os algarismos 1, 2, 3, 4 e 5 podemos formar 60 números naturais de 3 algarismos distintos.
Desse total, a quantidade dos que são divisíveis por 6 é:
a) 10 b) 12 c) 5 d) 8 e) 7
Resolução:
Para um número ser divisível por 6, ele deve ser também divisível por 2 e 3. Assim, deve ser um número par e cuja soma dos algarismos é um múltiplo de 3.
Dessa forma, os números são:
132 234 342 312 324 354 432 534
Logo, 8 números são divisíveis por 6.Alternativa D
ESPM – 11/11/2012 CPV – esPeCializado na esPM8
CPV ESPMNOV2012
35. Seja A = (4; 2) um ponto do plano cartesiano e sejam B e C os simétricos de A em relação aos eixos coordenados.
A equação da reta que passa por A e é perpendicular à reta que passa por B e C é:
a) 2x – y = 6 b) x – 2y = 0 c) x−y=2 d) x + 2y = 8 e) x + y = 6
Resolução:
Temos, no plano cartesiano:
Inicialmente,calculamosocoeficienteangulardaretaB↔C:
my yx xBCB CB C
� ��� =−−
=− −− −
= −2 24 4( )( )
12
Como a reta pedida (r) é perpendicular a B↔C, temos:
mr = -1mBC
= 2
Portanto, a equação de r será:
y – (2) = 2 (x – 4)
2x – y = 6Alternativa A
y
x–4 4
2
–2
B A
C
(r)
36. O resto da divisão do polinômio x5−3x2 + 1 pelo
polinômio x2−1é:
a) x – 1 b) x + 2 c) 2x – 1 d) x + 1 e) x – 2
Resolução:
Aplicando a divisão pelo método das chaves:
x5 – 3x2 + 1 x2 – 1
– x5 + x3 x3 + x – 3 x3 – 3x2 + 1 – x3 + x – 3x2 + x + 1 3x2 – 3 x – 2
O resto da divisão pedida é x – 2.Alternativa E
9CPV – esPeCializado na esPM ESPM – 11/11/2012
ESPMNOV2012 CPV
37. Em 1997 iniciou-se a ocupação de uma fazenda improdutiva no interior do país, dando origem a uma pequena cidade. Estima-se que a população dessa cidade tenha crescido segundo a função P = 0,1 + log2(x−1996),emque P é a população no ano x, em milhares de habitantes.
Considerando 2 = 1,4, podemos concluir que a população dessa cidade atingiu a marca dos 3600 habitantes em meados do ano:
a) 2005 b) 2002 c) 2011 d) 2007 e) 2004
Resolução:
Para P = 3,6 milhares de habitantes, temos:
3,6 = 0,1 + log2 (x – 1996)
3,5 = log2 (x – 1996)
23,5 = x – 1996
2 2 1996
2 2 1 4
3 0 5
0 5. ,
, ,
= −
= =
x
x @ 2007Alternativa D
38. Na figura abaixo, ABCD é um quadrado, BDE é umtriânguloequiláteroeBDFéumtriânguloisósceles,ondeAF=AB.Amedidadoânguloα é:
a) 120° b) 135º c) 127,5° d) 122,5° e) 110,5°
Resolução:
Nafigura,otriânguloABFéisósceles,poisAB=AF.
Então, AF̂B=AB̂F=22º30'.
OânguloFB̂E = α = 22º30’ + 45º + 60º = 127º30’ = 127,5º
Alternativa C
60º
22º30'
22º30'
45º45º
ESPM – 11/11/2012 CPV – esPeCializado na esPM10
CPV ESPMNOV2012
39. O número de soluções inteiras do sistema de inequações
2 32
3
2 82
x
x x
−−
<
+ ≤
é igual a:
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5
Resolução:
Resolvendo o sistema do enunciado, temos:
2 32
3
2 8
2 32
0
2 8 02 2
x
x x
x
x x
−−
<
+ ≤
⇒− −
<
+ − ≤
S = −
322; , e as soluções inteiras são –1, 0, 1 e 2, ou seja,
4 soluções inteiras.Alternativa D
-32
− −<
2 32
0x
–4 2
x2 + 2x – 8 ≤ 0 ●
●
●
● ●
●
40. Um cilindro circular reto de raio da base igual a 4 cm contém água até uma certa altura. Um objeto é colocado noseuinterior,ficandototalmentesubmerso.
Seoníveldaáguanocilindrosubiu3cm,podemosafirmarque o volume desse objeto é de, aproximadamente:
a) 174 cm3
b) 146 cm3 c) 162 cm3 d) 183 cm3
e) 151 cm3
Resolução:
Segundo o Princípio de Arquimedes, o volume deslocado de líquido é igual ao volume do sólido submerso.
Assim, basta calcularmos o volume do cilindro deslocado:
V = π . R2 . h
V = 3,14 . (4)2 . (3)
V = 151 cm3
Alternativa E
COMENTÁRIO DA PROVA DE MATEMÁTICA
A prova de Matemática do Processo Seletivo da ESPM 2013-1 apresentou questões bastante criativas e abrangentes.
Em relação ao grau dificuldade, notamos uma grande evolução,o que deverá melhorar a qualidade dos aprovados, resultando no aprimoramento do índice de discriminação.
TorcemosparaqueaBancacontinuenesteprocesso,quebeneficiaráprincipalmente os candidatos mais bem preparados.
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