cs-haifa.wzmn.net · ª²³ ' ±¡ª§ª 66 ..... ( ¢¯° ©¢ , °¢ ¥) 1 'ª§¥¢...

Post on 01-Mar-2020

22 Views

Category:

Documents

0 Downloads

Preview:

Click to see full reader

TRANSCRIPT

– :

'"

'1........................................................................................ .......................3

'2.......................................................................................................... .....6

'3.............................................................................................................. .9

'4........................................................................................... ..................12

'5................................................................................................. ............16

'6................................................................................................ .............20

'7.................................................................................................... .........23

'8................................................................................................... ..........26

'9................................................................................................. ............29

'"

'4). (................................................ ....................32

'5)............ (............................................... ..............38

'6) ,...... (....................... .............44

'7)....... (............................................... ....................48

'8)...................... (................................................... ...................54

'9)(..................................................................... ....57

'10)............ (............................................. ...............60

'11) ,............ (.............................................. ...............63

1

http://cs.haifa.ac.il/students/ אוניברסיטת חיפה, החוג למדעי המחשב–אתר הסטודנטים

'"

'1) ,............... (....................................... .......................66

'2) ,.. (................................................................ .....72

'3) , , (...................................................... .81

'4). (............................................................................. ......96

'5) ,....................... (..................................... ............104

'6) ,............... (............................... .............108

'7).... (............................................................. ..................111

'8).......................... (.................................. ...................116

'"

'1) ,............ (............................................. ..................121

'2) ,.. (.............................................................. .....124

'3) ,... (....................................................................... .129

'4) , ,. (..................................... .................135

'5)............................. (....................................... ..............139

'6) ,................... (........................... .............147

'7).............. (................................................... ..................151

2

http://cs.haifa.ac.il/students/ אוניברסיטת חיפה, החוג למדעי המחשב–אתר הסטודנטים

,-14.11.200512:00. :)( ,-) ( .

.

1) (20 (:

* :(

({x | x = 2k, k Z, 0 < k < 10 } ({8,6,2,4} (}x , {x | x < 10 ({4,8,6,4,4,8,6,3,8} ({4,6,2,6,2,4,8,4,2,6,6,4,2} ({x | x = 2k, k N, k < 10} (}k ,k < 10 ,x | x = k+1{

2) (40 (:

* :"- ":

a b a b T T T T F F F T T F F T

(((a b) a) aT(T (a (a b)) b(a b ~b ~a((a b) c a (b c)

3) (40 (:(a (b (~c)) (a b) (~ (a c))(a (~ (b (~c))) (a (~b)) (a c)

) :)( ,)( ,-()33(

3

http://cs.haifa.ac.il/students/ אוניברסיטת חיפה, החוג למדעי המחשב–אתר הסטודנטים

1:

,'- ' .,'- ,' ,- ,'- ' , . ').(

2:

.((a b) a) a(a b) aa bba

TTTTTTTFFTTFTTFTFTFF

.(a (a b)) ba (a b)a bba

TTTTTTFFFTTFTTFTFTFF

.~b ~a~b~aa bba

TFFTTTFTFFFTTFTTTFTTTTFF

.a (b c)b c(a b) ca bcba

TTTTTTTFFFTFTTTTTFTFTTTTFFFTTTTFTTFTFTFFTFTTTFTFFTTTFFFF

4

http://cs.haifa.ac.il/students/ אוניברסיטת חיפה, החוג למדעי המחשב–אתר הסטודנטים

3. .") :(a (b (~c)) (a b) (~ (a c))

(a b) (~ (a c)) = - ~ (A B)

= (a b) (~a ~c) = (A B) C

= a (b (~a ~c) = A ( B C )

= a ((b ~a) (b ~c)) = A ( B C )

= (a (b ~a)) (a (b ~c)) = A B

= (a (~a b)) (a (b ~c)) = A ( B C)

= ((a ~a) b) (a (b ~c)) = (a ~a) -

= (F b) (a (b ~c)) = " "

= F (a (b ~c)) = " "

= a (b ~c) ).. (.

." :a (~ (b (~c))) (a (~b)) (a c)

a (~ (b (~c))) = - ~ (A B )

= a (~b ~(~c)) = " "

= a (~b c)) = A ( B C)

= (a (~b)) (a c) .. .

5

http://cs.haifa.ac.il/students/ אוניברסיטת חיפה, החוג למדעי המחשב–אתר הסטודנטים

-21.11.2005 ,12:00.

1) (40 ( ,:.a, a c b c.~a, a b c b.a c, c b, a c b.a, c a, ~b ~a c ~b

2) (20 (:i.a, a b b

ii.a b aiii.a (b c) (a b) (a c)iv.(~a ~b) (~a b) a

:.b a, b (a c) b c.~b, ~a b a

3) (30 ( ,:... { }. { }.{ } { }.{ } { }.{1, } {1,{1, }}.{1, } {1,{1, }}. {1,{ }, 2}.{{ }} {1,{ }, 2}

4) (10 (:P(A) = P(B) A = B

6

http://cs.haifa.ac.il/students/ אוניברסיטת חיפה, החוג למדעי המחשב–אתר הסטודנטים

2-

1.

(a a c) (b c)b ca a ca ccbaTTTTTTTTFFFFTTTTTTTFTTTFFFFTTTFTTTFTFFTFTFTTFTTFFTTFTFFF

.(~a (a b)) (c b)c b~a (a b) a b~acbaTTFTFTTTTTFTFFTTTFFTFTFTTTFTFFFTTTTTTTTFTTTTTFTFTFFFTTFFTTFFTFFF

.(a (a c) (c b)) c bc ba (a c) (c b) (a c) (c b)c ba ccbaTTTTTTTTTTFFFTFFTTTFFFFTTFTTFFFTFFFTTTFTTTTTFTFFTTTFTFTFFFFTTFFTFFTTTFFF

7

http://cs.haifa.ac.il/students/ אוניברסיטת חיפה, החוג למדעי המחשב–אתר הסטודנטים

.

(a (c a) ~b ~a) (c ~b)c ~ba (c a) (~b ~a)a (c a)~b ~ac a~b~a cba

TTTTTTFFTTTFFTTTTFFFTTTTFTFTTFTFTTTFTFTTFFFTTTFFTFFTTTFTFFFTTFTFTFTTFFTFTTTFFTTFFTTTTFFF

2.

3, b->(a->c) => (b->a)->(b->c)(b->a), (b->a)->(b->c), 1 => (b->c)

.2, ~b => ~a->~b

~a->~b, 4=> (~a->b)->a1, (~a->b)->a, ~a->b =>a

3. .)" ".(. ... .-}{.. . ,.. .} {-}{.. .} {) (}{.. .1}1, {-}},1,{1{.. .},1 {}},1,{1{.. .} {.. .}} {{)} { (}2},{,1{.

4a A .)(

{a} A) ({a} P(A))P(A)=P(B)({a} P(B))(

{a} B)(a B

8

http://cs.haifa.ac.il/students/ אוניברסיטת חיפה, החוג למדעי המחשב–אתר הסטודנטים

-3

)5.12.2005 (12:00.

)10 (1. :A={1,2}, B={2,3} C={3,4} .:

.Ax(BxC) = ?

.AxBxC = ?.Ax((BxA)xC) = ?

)90 (2.:

.A B= P(A) P(B) =

.A B = { } P(A) P(B)={ ,{ }}.A (BxC) = (A B)x(A C).(R S)-1 = R-1 S-1

.RR..R,SA .RSRS=SR.RR R2..R,S,T .R(S T) = RS RT.R,S,T .R(S T) = RS RT)(

9

http://cs.haifa.ac.il/students/ אוניברסיטת חיפה, החוג למדעי המחשב–אתר הסטודנטים

–3

1. .BxC = {(2,3), (2,4), (3,3), (3,4)} ,

Ax(BxC)={(1,(2,3)), (1,(2,4)), (1,(3,3)), (1,(3,4)), (2,(2,3)), (2,(2,4)), (2,(3,3)), (2,(3,4))} .AxBxC = {(1,2,3), (1,2,4), (1,3,3), (1,3,4), (2,2,3), (2,2,4), (2,3,3), (2,3,4)} .BxA = {(2,1), (2,2), (3,1), (3,2)}

(BxA)xC = {((2,1),3), ((2,1),4), ((2,2),3), ((2,2),4), ((3,1),3), ((3,1),4), ((3,2),3), ((3,2),4)}Ax((BxA)xC) = {(1, ((2,1), 3) ), (1, ((2,1), 4) ), (1, ((2,2), 3) ), (1, ((2,2), 4) ),

(1, ((3,1), 3) ), (1, ((3,1), 4) ), (1, ((3,2), 3) ), (1, ((3,2), 4) ), (2, ((2,1), 3) ), (2, ((2,1), 4) ), (2, ((2,2), 3) ), (2, ((2,2), 4) ), (2, ((3,1), 3) ), (2, ((3,1), 4) ), (2, ((3,2), 3) ), (2, ((3,2), 4) )}

2. ..

, ,{ } P(A) P(B) ,P(A) P(B) .

. . :A,B-A B = { }.

P(A) P(B) = { , { }}.X P(A) P(B) .

(X P(A)) (X P(B))(X A) (X B)

X=( A) ( B) , P(A) P(B).Xx X. x A x B .

x A BA B = { }x=X={ })X(

{ } P(A) P(B)..

. . :A=B=C={1}A (BxC) = {1} {(1,1)} =

(A B)x(A C) = ({1} {1}) x ({1} {1}) = {1} x {1} = {(1,1)}

. : (x,y) (R S)-1

(y,x) (R S) ((y,x) R) ((y,x) S) ((x,y) R-1) ((x,y) S-1) (x,y) R-1 S-1

10

http://cs.haifa.ac.il/students/ אוניברסיטת חיפה, החוג למדעי המחשב–אתר הסטודנטים

.. : ,.

. .RS=SR= <RS. (x,y) RS .RS=SR (x,y) SRR,SA .(R=R-1, S=S-1) (x,y) S-1R-1

a A. (x,a) S-1 (a,y)eR-1

a A. (a,x) S (y,a)eR (y,x) RS...

:RSRS=SR. (x,y) RS .-RS (y,x) RS a A. (a,x) S (y,a)eR a A. (x,a) S-1 (a,y)eR-1

(x,y) S-1R-1R, S A. (x,y) SR...

.45.

."":" :R(S T) RS RT

(a,b) R(S T)x. (a,x) R (x,b) (S T)

x. (a,x) R ( (x,b) S) ( (x,b) T)x. ((a,x) R (x,b) S) ((a,x) R (x,b) T)

( x. (a,x) R (x,b) S)) ( x. (a,x) R (x,b) T))((a,b) RS) ((a,b) RT)

(a,b) RS RT...

:RS RT R(S T)(a,b) RS RT

(a,b) RS (a,b) RT( x. (a,x) R (x,b) S)) ( y. (a,y) R (y,b) T))T,S S T

( x. (a,x) R (x,b) S T)) ( y. (a,y) R (y,b) S T))((a,b) R(S T)) ((a,b) R(S T))a a = a

(a,b) R(S T)...

. :R={(1,2), (1,3)}, S={(2,4)}, T={(3,4)} :RS={(1,4)}, RT={(1,4)} ,RS RT={(1,4)} ,

S T= ,R(S T)=.

11

http://cs.haifa.ac.il/students/ אוניברסיטת חיפה, החוג למדעי המחשב–אתר הסטודנטים

-4

)12.12.2005 (12:00.

)20 (1.)A ( , .

,. ,B A ,-RB.

.A={1,2,3,4}, R={(1,1),(1,4),(2,2),(2,3),(3,2),(3,3),(4,1),(4,4)}

.A=Z, R={(x,y)| (x-y) mod 5=0}.A=P({1,2}), R={(X,Y)| X Y}.A=Z, R={(x,y)| k Z. (x-y)=5k}

)20+10 (2.)-A-B (". '" ,-A-B ,

'".

.A={5,...,100}, B={1,...,105}, R={(x,y)| x=y-5} .A=N, B=Z, R={(x,y)| y=5} .A=Z, B=N, R={(x,y)| y=x2} . A={x| (2x) N}, B=N, R={(x,y)| (y+3x+0.5) N}

)10 (3.R,SA .S R ,- S R?

)50+5 (4.f:A B, g:B C.

.f,g '" ,fg"? .f,g ' ,fg? .fg")f"g"( ? .-A=C ,-fg=IA .g=f-1?

12

http://cs.haifa.ac.il/students/ אוניברסיטת חיפה, החוג למדעי המחשב–אתר הסטודנטים

–4

1) .20(. (1,1),(2,2),(3,3),(4,4).

(1,2) R (2,1) R ,(1,3) R (3,1) R,(1,4) R (4,1) R,(3,2) R (3,2) R,(4,2) R (2,4) R ,(4,3) R (3,4) R ..(1,1) R, (1,4) R(1,4) R(4,1) R, (1,1) R(4,1) R(1,4) R, (4,4) R(1,4) R(4,4) R, (4,1) R(4,1) R2,3 ,.

:A/R = { {1,4}, {2,3} }. :x Z.(x,x) R .x Z .(x-x)mod5=0 mod 5 = 0

. :x,y Z.(x,y) R (y,x) R .

x,y(x,y) R .)((x-y)mod5=0)x-y-5 ,-(x-y)-5((y-x)mod5=0)(

(y,x) R .... :x,y,z Z.(x,y) R (y,z) R (x,z) Rx,y,z Z :.(x,y) R (y,z) R)(

(x-y)mod5=0 (y-z)mod5=0((x-y)/5) Z ((y-z)/5) Z)(

[(x-y)/5 - (y-z)/5] Z ) (x-z)/5=[(x-y)-(y-z)]/5 = [(x-y)/5 - (y-z)/5]((x-z)/5 Z(x,z)mod5 = 0)(

(x,z) R :A/R={[0],[1],[2],[3],[4]} ,

[0]={0, 5, 10,...}, [1]={...,-9,-4,1,6,...}, [2]={...,-8,-3,2,7,...}[3]={...,-7,-2,3,8,...}, [4]={...,-6,-1,4,9,...}

.({1},{1,2}) R ,({1,2},{1}) R.A={ ,{1},{2},{1,2}} .

B A|B|=1) .(B={{1},{2}} ,({1},{2}), ({2},{1}) R.

. :x Z .(x-x)=0=0*5) .0-k( ,.

:x,y Z.(x,y) R (y,x) R .x,y(x,y) R .)(

k(x-y)=5k) :1-(k (y-x)=5(-k))z=-k(z(y-x)=5z)(

(y,x) R ....

13

http://cs.haifa.ac.il/students/ אוניברסיטת חיפה, החוג למדעי המחשב–אתר הסטודנטים

:x,y,z Z.(x,y) R (y,z) R (x,z) R

x,y,z Z :.(x,y) R (y,z) R)(k1,k2 :(x-y)=5k1 (y-z)=5k2)2(k1,k2 :(x-z)=(x-y)+(y-z)=5*(k1+k2))k3= k1+k2(

k3 :(x-z)=5k3)((x,z) R

'.2) .20 +10(

.x Ay By-5=x ,y=x+5. :x A .5 x 100 ,)x (10 x+5 105 ,)x (

y=x+510 y 105 ,)y (y B. :x A ,) (y1 y2 B ,-

(x,y1),(x,y2) R) (x=y1-5, x=y2-5y1-5=y2-5y1=y2 ,- y1 y2.

" :x1 x2 A .y1,y2 B ,(x1,y1) R ,(x2,y2) R.) (y1=x1-5, y2=x2-5 .y1=y2 ,

-x1-5=x2-5x1=x2 , ,y1 y2. :-B-1-9.

19-B)-A.(. ,x A)B5( ,(x,5) R ,

-x).( '")5.( 'y B ,5.

-B{5}A.. ,-0 .-0 ,x Z-x2 N ,

-x2) .x-x2.(0-A ,)0B (.")0 :(y Ny=x2 ,

y=(-x)2 , ,).() ( ,y)3,5,6,7,8 (.

-0)( ,) ,x( ,

).(.x=k+0.5 ,k ,y Ny+3x+0.5 N ,

xy Ny+3x+0.5 N .-x) (-x).(

,-x)k+0.5k)( ,0.5( ,

-xy+3x+0.5 N ,1.

"?

14

http://cs.haifa.ac.il/students/ אוניברסיטת חיפה, החוג למדעי המחשב–אתר הסטודנטים

y Nx ,x , ,.

"-x)1()0.5 ,-x(

,")0.5 ,.(

-{1.5, 2} 0.5, 1} ,{".

3)10(-S R .

:S-RIA S, IA R= <IA S R ,S R. :(a,b) S R)(

(a,b) S (a,b) R)-R,S((b,a) S (b,a) R)(

(b,a) S R :(a,b), (b,c) S R .)(

[(a,b) S (a,b) R] [(b,c) S (b,c) R])([(a,b) S (b,c) S] [(a,b) R (b,c) R])R,S(

(a,c) S (a,c) R)((a,c) S R

S R , , .:A={1,2,3}, S={(1,1),(2,2),(3,3),(1,2),(2,1)}, R={(1,1),(2,2),(3,3),(2,3),(3,2)}

:S R={(1,1),(2,2),(3,3),(1,2),(2,3),(3,2),(2,1)} ,(1,3),(3,1) S R.

4)50- +5(.a1 a2 A .-f"f(a1) f(a2).

-f(a1) f(a2) B-g"g(f(a1)) g(f(a2)) .....c C .-g ,b B ,-g(b)=c.

b ,-f ,a A ,-f(a)=b.c Ca A ,g(f(a))=g(b)=c.

.)5:("fg"f ,g".

b1 b2 B .-f ,a1,a2 A ,-f(a1)=b1 ,f(a2)=b2 .-f ')-" ("a1 a2.-fg"g(f(a1)) g(f(a2)) ,g(b1) g(b2) ....

)(- :A={1}, B=C={1,2},

f={(1,1)}, g={(1,1),(2,2)}, fg={(1,1)} .g ,fg" ,f)-2-A.(

.:A=C={1}, B={1,2}, f={(1,1)}, g={(1,1),(2,1)}, fg={(1,1)}=IA

15

http://cs.haifa.ac.il/students/ אוניברסיטת חיפה, החוג למדעי המחשב–אתר הסטודנטים

-5

)26.12.2005 (12:00.

1.A

,> ,<) .=223=223, 34>54, 34<54(A:

S={(a,b)| (a b) = True}W={(a,b)| (a b) = True}

R={(a,b)| (a ~b) (~a b)}."?." ??

2. ,.

, ,)(.R={ ((a,b), (c,d)) | a+b c+d}A=NxN.R={ ((a,b), (c,d)) | a c, d b }A=NxN.R={ ((a,b), (c,d)) | a 5c, b 5d}A=NxN.R={ ((a,b), (c,d)) | ab cd, a+b c+d}A={1,2,3}x{6,9,18}

3..

, ,).()(

.

.

.

5

1

3

4

2

5

1

3

4

2

5

1

3

4

2

16

http://cs.haifa.ac.il/students/ אוניברסיטת חיפה, החוג למדעי המחשב–אתר הסטודנטים

4..- ,

, ..)-(?

17

http://cs.haifa.ac.il/students/ אוניברסיטת חיפה, החוג למדעי המחשב–אתר הסטודנטים

–5

1) .30(.S , . :a

False ,bTrue .(a,b) S, (b,a) S ,a b = True, b a = False.

W . :aFalse ,a a = False ,(a,a) W.

R) . :})ab ()ba(|)b,a({=R :R={(a,b)| (a b)} ,(.

:a(a ~a) (~a a) :(a,b) R)(

(a ~b) (~a b))((b ~a) (~b a))(

(b,a) R :(a,b), (b,c) R)(

((a ~b) (~a b)) ((b ~c) (~b c)))(((~a b) (~b c)) ((a ~b) (b ~c))

):(x y) ~y = x(((~a c) (a ~c)))]''[(

(a,c) R.S)( ,-.

:a,bTrue ,(a,b) S ,(b,a) S ,a b = True ,b a = True)a-b.(

W)(R ,-)S(

2) .30(.- :((5,6),(6,5)),

((6,5),(5,6)) R ,5+6=6+5 ,((5,6),(6,5))((6,5),(5,6))..

:(a,b) NxN :a a, b b((a,b),(a,b)) R.- :

(a,b),(c,d) NxN ,((a,b),(c,d)) R ((c,d),(a,b)) R .) ((a c d b) (c a b d))(

(a c c a) (d b b d)(a=c) (b=d)(a,b)=(c,d). :

(a,b),(c,d),(e,f) NxN ,((a,b),(c,d)) R ((c,d),(e,f)) R .) ((a c d b) (c e f d))(

(a c c e) (f d d b)(a e) (f b))R (((a,b),(e,f)) R.

. :(1,1),(2,2) . :(1 2 2 1) (2 1 1 2) .((1,1),(2,2)) R ,((2,2),(1,1)) R

-(a,b) NxN :((a,b+1),(a,b)) R.)"(" , :((a,b),(a+1,b)) R

18

http://cs.haifa.ac.il/students/ אוניברסיטת חיפה, החוג למדעי המחשב–אתר הסטודנטים

.- : .5<5*6, 6<5*5 ,((5,6),(6,5)), ((6,5),(5,6)) R ,

(5,6) (6,5)...

:(a,b) A :ab ab, a+b a+b((a,b),(a,b)) R.- :

(a,b),(c,d) A ,((a,b),(c,d)) R ((c,d),(a,b)) R .) ((ab cd a+b c+d) (cd ab c+d a+b)) ((ab cd cd ab) (a+b c+d c+d a+b)

(ab=cd) (a+b=c+d) .a+b=c+d)(a,b),(c,d) A (

(a,b)=(c,d) ,-{6,9,18}3 ,-{1,2,3}2 .-.:

(a,b),(c,d),(e,f) A ,((a,b),(c,d)) R ((c,d),(e,f)) R .) ((ab cd a+b c+d) (cd ef c+d e+f)) ((ab cd cd ef) (a+b c+d c+d e+f)

(ab ef) (a+b e+f))R (((a,b),(e,f)) R. : :((1,9),(3,6)) R ,((3,6),(1,9)) R ,:

(1*9 3*6) (3+6 1+9).(1,6)" " ,(3,18) ," "

" ".

3) .15(. .-2,3 .-.. .-3.. ,-

:(2,1),(1,4) ,(2,4)

4) .10 ,'15'(./ . ,

/..2.

-5 ,2 ,2 .

2-42 , 2.2 .3 .2-42.

2 .5" ."2-42.

19

http://cs.haifa.ac.il/students/ אוניברסיטת חיפה, החוג למדעי המחשב–אתר הסטודנטים

-6

)2.1.2006 (12:00.

1.:

G=(V,E) .-G.

2.:

) (.

3.:K--K ,

. :2-.

20

http://cs.haifa.ac.il/students/ אוניברסיטת חיפה, החוג למדעי המחשב–אתר הסטודנטים

–6

1 .] :[ :-G) .(

x . ,x.

x.-x ,

, . , ,

.-x , ,

, ,. :.

: : .- ,

) .(1 , ,

. ,) ..(

:m ,. : ,m+1.

- ,) .(x-c.

,c , ,

.c , .c

) .(c .c . ,

,-c ,c.

-c , . , .

c ..

2. :) (.

1 ,. :)n > 2 ( , ,) (.

) :n( :n=3 .3

.. :N) (.

21

http://cs.haifa.ac.il/students/ אוניברסיטת חיפה, החוג למדעי המחשב–אתר הסטודנטים

) : (z- .) , ,( ,x

) ( .z .z-x , ,x .z-x ,x)

.(zyx ,y-x-z .zy ,-x.

3. :2-.

x) .(. , .

) ..( :""" ,". : ,y ,

)y .(" " , .

.

22

http://cs.haifa.ac.il/students/ אוניברסיטת חיפה, החוג למדעי המחשב–אתר הסטודנטים

-7

)9.1.2006 (12:00.

1 . /:n ,n ,

.

2 . /:dG .G"d+1"-.

3 . /:.--3..-3-.

23

http://cs.haifa.ac.il/students/ אוניברסיטת חיפה, החוג למדעי המחשב–אתר הסטודנטים

-7

1..

x,y .{x,y} .-|A|x ,-By.

x,yn ,|A|+|B| n.x,y-A-B)( ,

|A B| n-2 .|A B| = |A|+|B|-|A B| ,|A B|>0 ,z A B ,z Az B .zxy ,

-x-yz) ...(. :0 ,n-1

)( ,-n.

) ."(v .1 , .-v

, . , .

,)-.(

.x1 ,xm.

x1- xm , . .-Ax ,-B

xm .-C- xm.x1-C .- x1- xm

-C .|C|=|B| ,-B ,-C

)xm ,- xm-B.(n ,-|A|+|B| n ,

|A|+|C| n .x1-A-C ,|A C| n-1 . :|A C| = |A|+|C|-|A C| ,|A C|>0 ,xi-A-C ,xix1 ,-xi-1

xm .(x1, xi, xi+1,..., xm, xi-1, xi-2,..., x1) ,.

, ,. .) (z

" " xk .k<i , :(z, xk, xk-1,..., x1, xi, xi+1,..., xm, xi-1, xi-2,..., xk+1),

:(z, xk, xk+1,..., xm, xi-1, xi-2,..., x1, xi, xi+1,..., xk-1)..

..

24

http://cs.haifa.ac.il/students/ אוניברסיטת חיפה, החוג למדעי המחשב–אתר הסטודנטים

2:dG .G"d+1"-.

"") "( , .

.d ,-d+1 ..

3 . /:.--3..-3-.

:G=((U,V),E).

-3 .-U-V , ." "

)-U ()V .(--V ,

....

: :5-(a,b,c,d,e,a) .a,b .b,cca .c,ddb .ed

,a , ...c.

25

http://cs.haifa.ac.il/students/ אוניברסיטת חיפה, החוג למדעי המחשב–אתר הסטודנטים

-8

)16.1.2006 (12:00.

1 .4-14 ,.

."?

."?)(."?."?)(."2?)(."2?."(1,2,4)?."-?."-3-?)(."?

2 .4-14 ,-.

."5?

."5?)(."5?." ,5 ,?)(

3.)(4 ,.

."?)(

."?)(."?)(."5?)(."4?)(

:10)(?

-2) (10?-102.

:10-2)( ? :22*...*2)10 ( ,210.

26

http://cs.haifa.ac.il/students/ אוניברסיטת חיפה, החוג למדעי המחשב–אתר הסטודנטים

–8

1-3 ,/.1.

.4 ,4)- ,

.(4 ,3"3*4=12) .(

, .2"4212.

.

.4-2) (4) .(2

424 ,6. ,2- ,"26.

.

.

.2 , .

' :3."4)(

.23 ,.

3 ,32)23( ,"4*4.

' :2 .a,b-c,d ,-c,d ,-a,b) .

(24 ,-2)

( ,42 ,3. ,3.

' '-"16+3=19.

.(1,2,4){1,2},{2,4} .- '46 .2"4

,24.

.--2 , . ,3)

-.(333

) =43 = (4.4 ,3 .

4 ,)3 ()31 ( ."4*3=12.

27

http://cs.haifa.ac.il/students/ אוניברסיטת חיפה, החוג למדעי המחשב–אתר הסטודנטים

523 .56 ,6.23.

"3 ,4+12+6+1=23 ."62-23=39.

.

.- : .0-n-1 ,

,02 .v2 ,-2 ,1 ,-2 .2

)0 ()2.(

) :1 (2) .2 (320) .3 (0.

1)32 (-1.2)43 (2 ,4.3-.

3+4+1 = 8.

2..4) (1+2+3+4) .

4)( ,3 .(...-6 .4.

510" " .-" ") .(

)2"(" ,"" ,. , :5-10

) .5-10 .())10-1+(5 (5.

..

.12 .4) (16 .

) .05( ,'.) :16-1+00) + ... + (16-1+55.(

..

3) .() . ( : . :n-1 .n=4 .

43? ," " , .36 .2-3

)1( ,2 , .".

28

http://cs.haifa.ac.il/students/ אוניברסיטת חיפה, החוג למדעי המחשב–אתר הסטודנטים

-9

)26.1.2006 (16:00. :.

1 .12100 .4

25?

2.- :x1+x2+x3+x4<5.

3.77-777-7 ,-11?

: .5.

4.80 :-4

19 . ,3 ,6 ,)9 ( .?

..

.,).(

5. . , ,

. ,n? ..

6. :n ,{0,1,2,3}

0-.

7. , :f(n)=2n-1.

f(1) = 1, f(n+1) = 2*f(n)+1 .

29

http://cs.haifa.ac.il/students/ אוניברסיטת חיפה, החוג למדעי המחשב–אתר הסטודנטים

–9

1.12-34 .

-25 ,75 ,1275 ,12100.

2.-x1+x2+x3+x4<5 ,

:x1+x2+x3+x4=4 ,x1+x2+x3+x4=3 ,x1+x2+x3+x4=2 ,x1+x2+x3+x4=1 ,x1+x2+x3+x4=0 ,:

}]4)+4-1 [(4 { +}]3)+4-1 [(3 { +}]2)+4-1 [(2 { +}]1)+4-1 [({1+}]0)+4-1 [(0{.

3. :.

-A77-777-7.-B77-777-11.

:|Ac Bc| = ? :|Ac Bc| = |U|-|A|-|B|+|A B| .

77-777777+1-77 = 701.77-777-7700 / 7 + 1 = 101 .-77-777-777-11700/11 + 1 = 63 .-77-11.

-7-11-77 .77-777-77700 / 77 + 1 = 10.

:|Ac Bc| = 701-101-64+10 = 546.

4. . ,.

) :8019)*(6119)*(4219)*(2319*(4)]199)*(106)*(43.[()-.

,( . . ,

..) :41)*(7818)*(6119)*(4219)*(2319*(

4)]199)*(106)*(43.[(

5.n ,-.

,n-1. ,n-2.

,n-3.-f(n)n .:

f(n) = f(n-1)+f(n-2)+f(n-3)3.

]f(0)– :[ ,- .f(1)=1

30

http://cs.haifa.ac.il/students/ אוניברסיטת חיפה, החוג למדעי המחשב–אתר הסטודנטים

22 :- .- .f(2)=2.

3 , :-3 .-2" .- .

-- ."f(3)=4.

6.-f(n)n.

4 :0-3.-1,2 ,3 ,n-1 , '-.-0 ,n-1 '.

=-.

:f(n)=3*f(n-1)+[4n-1 - f(n-1)] = 2f(n-1)+ 4n-1.

7..

:f(1)=2-1=1 ..n ,-n+1.

:f(n+1)=2*f(n)+1 :2*[f(n)]+1= 2*[2n-1]+1.

2*[2n-1]+1 = [2n+1-2]+1 = 2n+1-1 ....

31

http://cs.haifa.ac.il/students/ אוניברסיטת חיפה, החוג למדעי המחשב–אתר הסטודנטים

1

22.11.2004 '–"7.11.2004

– '4:

1( -Z-Z . . .

.11, gfgf

.1100, gfOrgfgf

.Zxallforxgxfgf 1,

.ZxallforZCsomeforCxgxfgf ,

.0110, gfandgfgf

2(PA A ,A R :

),(),( 22112211 yxPyxyxyxA = {0, 1, 2, 1/2, 1/4} ,A A-P .

A = R..

3(nRS ,n.

nn w

ww

w

v

vv

v 2

1

2

1

,P:

Pwv,ni1 :)00( ii wv

P.?

4 (21,0 , SSS2N:

22211 ),(,),( Nyxyx ,),(),( 220112121 yxSyxyyxx

22211 ),(,),( Nyxyx ,),(),( 221112121 yxSyxyyxx

22211 ),(,),( Nyxyx ,),(),( 22211

22

22

21

21 yxSyxyxyx

:??

32

http://cs.haifa.ac.il/students/ אוניברסיטת חיפה, החוג למדעי המחשב–אתר הסטודנטים

2

- ? - ?

5 (RA . 1AA .1R1A":

111 AARR)1RR1AA . ( :

.R1R.

.R1R .

!

33

http://cs.haifa.ac.il/students/ אוניברסיטת חיפה, החוג למדעי המחשב–אתר הסטודנטים

1

'–"6.12.2004

– '4:

1( . .. . ,. .. . .

2(P:

:2),( Ryxyxyx),(),( yxPyx.

:),(),( wzPyxwzyxyxwz.),(),( yxPwz

:),(),(),(),( lkPwzwzPyxlkwzyx:

lkyx,),(),( lkPyxP.

A = {0, 1, 2, 1/2, 1/4} ,:

A/P = { {pairs that their sum is 0} , {pairs that their sum is 1/4},{ pairs that their sum is 1/2} , { pairs that their sum is 3/4} ,

{ pairs that their sum is 1 } , { pairs that their sum is 5/4} ,{ pairs that their sum is 6/4} , { pairs that their sum is 2},

{ pairs that their sum is 9/4 } , { pairs that their sum is 10/4} ,{ pairs that their sum is 3} , { pairs that their sum is 4} }

A = R::

,

.2R.2

00 , Ryxbyx 00yx,-2Rbyxbxyb.

(-1) 'yb .

–(-1) , b .

:b-xy,|,, 200 linestaighttheonisyxpionttheRyxyx

34

http://cs.haifa.ac.il/students/ אוניברסיטת חיפה, החוג למדעי המחשב–אתר הסטודנטים

2

: ,P1 - .

. ,

- . ,

. :

RbbyxyxRbbPR ||,}|)],0{[(/2 .:

Y. :.

3(

P:

:nPvni1ii vv00 ii vv .

vRv.

:vPwni100 ii wv00 ii vwwPv.

:vPwwPz)0000(1 iiii zwwvni :00 ii zvvPz.

P.

:

}00(1|{][ iin wvniRwv

,.

: ,

. ,"ni1

.)

.( :}|]{[/ vectorbinaryisvvPR n.

n2.

35

http://cs.haifa.ac.il/students/ אוניברסיטת חיפה, החוג למדעי המחשב–אתר הסטודנטים

3

4(

.22211 ),(,),( Nyxyx ,),(),( 220112121 yxSyxyyxx

.

3,21,4 .

0,0).("

:x .

y-) . :(

.22211 ),(,),( Nyxyx ,),(),( 221112121 yxSyxyyxx.

3,25,4.

.

. . .

5(:

." :R1R

:1,, Acba .

:11 ,, RcbRba.

RR1 :RcbRba ,,R:Rca,[*]

1, Aca11, AAca[**]

[*] [**]1, Rca..

.1R .

:1Aa.

AA1:Aa.

R :Raa,[*]

36

http://cs.haifa.ac.il/students/ אוניברסיטת חיפה, החוג למדעי המחשב–אתר הסטודנטים

4

:11, AAaa[**]

[*] [**]1, Raa..

:1, Aba.

:11 ,, RabRba.

RR1 :RabRba ,,R :ba

..

37

http://cs.haifa.ac.il/students/ אוניברסיטת חיפה, החוג למדעי המחשב–אתר הסטודנטים

1

2.12.2004 '–"23.11.2004)28.11.2004(

– '5:

1((5

?) :5

2( .

(" .

2(105 ,3" ,2 .:

( ," ,.

(.("

.

3((62,3,7?

(?(?(?

4(7. .23? .3 .

? .3?

5((n2 .

?

(n-n?(n-kn 2 ,

?) :(

6 (59?

38

http://cs.haifa.ac.il/students/ אוניברסיטת חיפה, החוג למדעי המחשב–אתר הסטודנטים

2

7(

.104

?

.710?

8 (254321 xxxx . :

(?(?

(4321 8,0,3,0 xxxx?

(106,32,80,61 4321 xxxx?)

.(

9( ,10 .4 -6)

( .?

10 (ABAAAPB .

TB :SdomRdomSRT ,.

)T( .

.10,..2,1A2,1R)BR (R ?

.TA?)TB /(

.? .A?

!

39

http://cs.haifa.ac.il/students/ אוניברסיטת חיפה, החוג למדעי המחשב–אתר הסטודנטים

1

'–"12.12.2004

–'5:

1 ( .

52 .2)".(

:30225

.53 . .

--303)"30–.(

-- .3 .

:333035

2 ( .!5 ,!3

"!2 . :1440!2!3!5

.' , !3" " .!3 .

8640)!2!3!5(!3

. , -" ."!5 .

,"!2!5!5 . "

,)' . ( :8640!2!5!5 .

3 (. :63.

.2 . :53.

40

http://cs.haifa.ac.il/students/ אוניברסיטת חיפה, החוג למדעי המחשב–אתר הסטודנטים

2

.7 :26

.""

3 :24

."

2 .

, :22

24

26

.

. ,2 . :

22

24

15

4(

.54 927

937

."710 ." " . :7103

.449 ."3

. :35

94

5 (.!2 n .!n2

) (n2 . :

nnn

2!!2

.) ( .n :!n

.n

kn 2 ."

!n .k2kkk2!

!2

) .( :

kkkn

nkn

2!!2!

2

41

http://cs.haifa.ac.il/students/ אוניברסיטת חיפה, החוג למדעי המחשב–אתר הסטודנטים

3

6 (

-59

. .

,52 .

:5259

.

7(

. . .74

:710

.

. .710.

8( .

:2528

251425

.

4321 ,,, yyyy14,3,2,1 ii yxi :251111 4321 yyyy

:214321 yyyy

"2124

211421

.

4321 ,,, yyyy

11 yx322 yx

33 yx

42

http://cs.haifa.ac.il/students/ אוניברסיטת חיפה, החוג למדעי המחשב–אתר הסטודנטים

4

844 yx :2583 4321 yyyy

:144321 yyyy

"1417

141414

9(

2

.210

.8

,448

."6

– .24 .

,24

48

210

10(

.R1 .

10,1,....,2,1,1,11 A ,

.R :/1 APR T .

1210.

. .

.

A ,102 , )TB /(.

. .1)

R. ( .

AA .) :AA(.

43

http://cs.haifa.ac.il/students/ אוניברסיטת חיפה, החוג למדעי המחשב–אתר הסטודנטים

1

9.12.2004 '–"29.11.2004

–6: ,

1(Xn .YXm .

XY?

2(.1,2,3,4,5,6,7247?

.1,2,3,4,5,6,724

2747?

3(59-12 ..

( ?).(

(

3 ?

( , .

?

4 (40 ,

10 ,20–30?

5 (},,,,,,,{ ddccbbaa

?

6 ( A10-B .. '-AB -BA?

. 'ABBA?

!

44

http://cs.haifa.ac.il/students/ אוניברסיטת חיפה, החוג למדעי המחשב–אתר הסטודנטים

1

'–"20.12.2004

–'6:

1 (" "Y .

XYmnYXYXP 22|)\(| |\| .XY ,Y .mnn 22.

2 (

.1,247,3,5,6 .!5.

.A=24

B=27

C=47

,

!5!6300!50!6!6!6|||||||||||||||| CBACBCABACBACBA

3 (. *-

954321 xxxxx , 913

9,5D.

* -

1254321 xxxxx , 1216

12,5D.

,1216

913

. * -

5954321 xxxxx , 48

4,5D.

45

http://cs.haifa.ac.il/students/ אוניברסיטת חיפה, החוג למדעי המחשב–אתר הסטודנטים

2

*3

-31254321 xxxxx ,

913

9,5D.

,913

48

.n=5:

44!

1!5!055

!145

!235

!325

!415

!55

0k

k

k

4 (

40" ,

-40321 xxx ,242

40,3D.

4011231

)29,3(D.

4021221

)19,3(D.

4031211

)9,3(D.

401121

210

)8,3(D.

. ,4010

,2030

176210

211

221

231

242

5 (

42!8

iA},,,,,,,{ ddccbbaaii . :32!7|| iA

)ii .(

46

http://cs.haifa.ac.il/students/ אוניברסיטת חיפה, החוג למדעי המחשב–אתר הסטודנטים

3

!4||2!5||

2!6|| 2

dcba

kji

ji

AAAA

AAA

AA

:

864!42!54

2!66

2!74

2!8

!444

2!5

34

2!6

24

2!7

14

2!8||

234

234''''dcba AAAA

6( .BAf : : A"fB .105.

ABf : :B"fB .510.

.ABf : ,|||| AB.

BAf ::

" 'AB105 'AB4104 ,5

.

'AB3103 ,35

.

'AB2102 ,

25

.

'AB1 ,5.

'ABi ' , .

:

5225

335

455 10101010

47

http://cs.haifa.ac.il/students/ אוניברסיטת חיפה, החוג למדעי המחשב–אתר הסטודנטים

1

16.12.2004 '–"5.12.2004

– '7:

1(

.nnin

i in

430

.2

22 aaa

.2x82 )1( x?

2(n :nin

i in

320

..

3(nn

k kn

20

4 ()( :

123

32

2 nnnn

nnn

n

:n"},1,0{ aa.

5(

:

.n

k

k

kn

k0

3

.n

K

k

kn

05

6 ( .:

nkk

kkin

inn

i

i 111

0

48

http://cs.haifa.ac.il/students/ אוניברסיטת חיפה, החוג למדעי המחשב–אתר הסטודנטים

2

:k- n.

!

49

http://cs.haifa.ac.il/students/ אוניברסיטת חיפה, החוג למדעי המחשב–אתר הסטודנטים

1

'–"26.12.2004

–'7:

, :

Rba,Nn . :n

k

knkn bakn

ba0

1 (

.1;3 ba:n

k

kn

k

knknn

kn

kn

00313134

. :

2111!2!2

!22

2 aaaaaaa

aaa

a

.

8

0

8

2

8

0

8

28

2

81

8)1(

i

ix

i

ixix

ii

2x4

2x

48

.

2224

2 835

1670

1648

48

xxxx .2x835

.

2 (

"n :nin

i in

320

.1,2 ba .

. :n"

2,1,0 .)n3 .(

1-2.

50

http://cs.haifa.ac.il/students/ אוניברסיטת חיפה, החוג למדעי המחשב–אתר הסטודנטים

2

3 (n

n

k kn

20

n.

:

0n:02100

1n:12211

01

2n:2212122

12

02

:n1n.

1

00

1

0

1

0

1

0

1

0

222

200211

...1011

...10

11

1

n

n

nnn

i

n

i

n

k

n

k

n

k

n

k

inn

nn

in

nnnnn

nn

nnnn

kn

kn

kn

kn

kn

..

4 ("n"},1,0{ aa .

:

:an ,01 .

11 221

nn nn

.

:n-a ,2

2n

2n ,1

a ,3

3n

3n ,2a ,kn

k

kn ,1ka)k ,

51

http://cs.haifa.ac.il/students/ אוניברסיטת חיפה, החוג למדעי המחשב–אתר הסטודנטים

3

a (…n0 ,n-1a

. ,nn

nnn

n3

32

2.

5 (

.:

ninin

iaxax

in

0 .

x:

11

0)( nini

n

iaxnaxi

in

:1,3 ax:

111

04)13(3 nni

n

inni

in

.

3 :

1

0433 ni

n

ini

in

.1;5 ba:

nnknkn

k kn

415150

6(

nkk

kkin

inn

i

i 111

0

k- n.

:

nkxxx n...21 . :nk

knknkn 11)(

52

http://cs.haifa.ac.il/students/ אוניברסיטת חיפה, החוג למדעי המחשב–אתר הסטודנטים

4

:k- nk- n) (

k- n .:

S–k- n).(

iA-–k- n-i.

:

kkn

S1

ni1k

knAi

11

nji1k

knAA ji

12

...

...

...

k- nn

i

i

kkin

in

0

11

..

53

http://cs.haifa.ac.il/students/ אוניברסיטת חיפה, החוג למדעי המחשב–אתר הסטודנטים

1

23.12.2004 '–"13.12.2004

–8:)(

1 (':

F(0)=1

F(1)=1

F(n)=F(n-1)+F(n-2)n>1 .10.

.':

F(n+4)=3F(n+2)-F(n)n 0

2(

,50000 . ,.

.-n. .1350000?

3 (:

n ,) ,

( .) .( .

4("10-5 ,

..

n ,.)

i-i(.

.45?

!

54

http://cs.haifa.ac.il/students/ אוניברסיטת חיפה, החוג למדעי המחשב–אתר הסטודנטים

1

'–"02.01.2005

–'8)(:

1 (

.1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 . :n=0,n=1

n=0F(4)=3F(2)-F(0)5=3*2-1

n=1F(5)=3F(3)-F(1)8=3*3-1n k 1:

F(k+4)=3F(k+2)-F(k)n +1 . ":

F(n+4+1)=3F(n+2+1)-F(n+1)F(n+5)=3F(n+3)-F(n+1)

':F(n+5)=F(n+4)+F(n+3)=3F(n+2)-F(n)+3F(n+1)-F(n-1)=

3(F(n+2)+F(n+1))-(F(n)+F(n-1))=3F(n+3)-F(n+1)

2 (

.A(1)=50000A(n)=3A(n-1)

n-1- n.

.1350000=33*500001350000.

3 (.nan ,

.

) (

.1na

,

) .(

2na.:

55

http://cs.haifa.ac.il/students/ אוניברסיטת חיפה, החוג למדעי המחשב–אתר הסטודנטים

2

110

21

aaaaa nnn

.

4 (

{5,10}n5 , ,{1,2}n.

. .n , :

a(n-11

b(-2n2

,:

21 nnn aaa.)nan(

:0) -0( ,1–“1” .

.9545

12.55 .

55...789 aaa

1,1 10

21

aaaaa nnn

56

http://cs.haifa.ac.il/students/ אוניברסיטת חיפה, החוג למדעי המחשב–אתר הסטודנטים

1

30.12.2004 '–"20.12.2004

– '9:

1(101 , '

) :abba.(

2(.

3(Gnvvv ...,, 21 ) 3n ( .2

}{\,},{\},{\ 21 nvGvGvG ,G.

4(ndddD ,,, 21.

.GDn

iid

1

.

.DGD .

:

1,3,3,4,5,6,62,3,3,4,5,6,7

5(Gn2/1nG.

6 (G4- ,

E(G)".

7 (G=(V,E) ,50.

.G50.

.G50.

!

57

http://cs.haifa.ac.il/students/ אוניברסיטת חיפה, החוג למדעי המחשב–אתר הסטודנטים

1

'–"10.01.2005

–'9-:

1(

.v-u"vu .101. .

101 - . ,-

:Vv

Evree 2deg

2(

G . , . ,

) .( ,)

( ..

3 (

}{\},{\ 21 vGvG ,G .

}{\ 1vG ,nji2Gji vv , .}{\ 2vG ,

jinji 21Gji vv , .

G21 , vv .}2,1{\Vw .

}1{\Vw1wv ,2.

}2{\Vw2wv ,1.

21 ,G21 , vv.

G.

4 ( : ,n

ii Evd

1

||2)(.

:},,{ 21 ndddDn

iid

1 ,

GnD .G :ni121 ii kd)id (2ii kd)id .(id ,ikiv

.n

iid

1 ,id .

ivid , .G)

(n

ii

n

ii dvd

11)(.

:

58

http://cs.haifa.ac.il/students/ אוניברסיטת חיפה, החוג למדעי המחשב–אתר הסטודנטים

2

(2,3,3,4,5,6,7 :7 , 7 .6.

1,3,3,4,5,6,6 :7 ,6 ,1.

5 (G . .

H .n/2)

<n .(Hn/2 -1)n/2 -1 ( (n-1)/2 ..

6(.

4321 ,,, xxxx4- .),(),,( 432211 xxexxe .

21 eeGG .C . , ,C

G.4-.

P ,"PG.

7( .

50" . .50 , 50 .

50 .49 . ,

-i ,150 i-1i . -50-51

.50 .

..

.

-50 .– . .50

50– . , , ,

. , ,50

.50.

..

59

http://cs.haifa.ac.il/students/ אוניברסיטת חיפה, החוג למדעי המחשב–אתר הסטודנטים

1

6.1.2005 '–"28.12.2004

– '10:

1(}},...,1{},,...,1{|),{( mlnklknm,

.),(),,( lklk

llkk.

.nm,?

.nm,?

2(4|| 2

|| VE.

3 (

.1G) (n . ,3 , ,.

.2Gn ,1 G . ,3 , ,.

4 (n,..n?.3?

!

60

http://cs.haifa.ac.il/students/ אוניברסיטת חיפה, החוג למדעי המחשב–אתר הסטודנטים

1

'–"16.1.2005

–'10)-:(

1(

.Gnm,,),(),,( lklk"llkk ,

),(),,(),,( lklklk),( lk.

.-Gnm , -Gnm)nm,nm, .(

2;1 nm1;2 nmnm .

2 (G|||||| 21 VVE

21 'VVK .|||| 21 VV|||| 21 VV)

( ,2

|||||| 21VVV .

4||

2||

2||||

2

21VVVVVE.

|||| 21 VV|||| 21 VV .

a .acb 2cb, .

iiaciab , . :222))(( aiaiaiacb0i ,acb .

3(

.3 ."4n

:!4

!n

n

.

326 nn3 .

3G2326!4

! nnn

n

61

http://cs.haifa.ac.il/students/ אוניברסיטת חיפה, החוג למדעי המחשב–אתר הסטודנטים

2

4(.

n,.

3n)2 (

) (3n ,3n-.

.

nk3n

.

--n.

--4nn.

:

43

nnnn

62

http://cs.haifa.ac.il/students/ אוניברסיטת חיפה, החוג למדעי המחשב–אתר הסטודנטים

1

13.1.2005 '–"05.01.2005

– '11:+

1(:G) (.

GwVE |||| ,wG.

2(

(G = (V, E) .-E -G .G.

(G = (V, E) .-EG .G.

3(

G = (V, E) .r1rG)

(

4 ( , ,n ,2?

!

63

http://cs.haifa.ac.il/students/ אוניברסיטת חיפה, החוג למדעי המחשב–אתר הסטודנטים

1

'–"10.01.2005

–'11) +:(

1(::

G . G),( iii VEG .

."1|||| ii VE .

GG ,

wVVVVEEEE ww ||1111|||||||||||||| 2121

:GwVE ||||G.

||V:

1||V : 011|| EG.

nwnwVE |||| ,

n+1 wnwVE 1||||. :

01 :2 ,

||2

||2|| VVE .".

0 ,n ,|| E)

( ,1w) . (wnwVE )1(1||||

.0 ,.

1 ,n ,1|| E ,

w .wVE 1||1|| ,wnE || . ,

n+1.

2(

.G = (V, E) .-E-G

.G.

: .G .

-E -G.

u,vV .v-u(v, u)-G) .(*

G ....

W

64

http://cs.haifa.ac.il/students/ אוניברסיטת חיפה, החוג למדעי המחשב–אתר הסטודנטים

2

.G = (V, E) .-EG .

G.

: .G .

-EG.

-G .u-v .

(u, v)-G .u-v) .(*....

(*) :Gv-u-v-u) .(

3 (x .

.r1r ..

4 (

21 , VVK:

21nV ,

22nV).. . (

22nnE

2)- (

2221 nnnn

.

2nn -n

2=

65

http://cs.haifa.ac.il/students/ אוניברסיטת חיפה, החוג למדעי המחשב–אתר הסטודנטים

– "31.10.2002 '21/10/2002

– '1

1 ( , .

qpqp .;qpqrprqp .];)[()](

)()]() qppqqp

[

2 ( , , .[(

)()]()[( rprqqp(

(

3 ( :

.rqqp . ,rqp . ,

nkn 2

.

4 ()(:..k

)])()([)]()()([ xBxAxBxAx

..

+

5 ( , ,:

(((( )],(),()[)( xyPyxPyx(( )],()()()[ yxQyxPx

6 (

11...

1210

aaaaaa

nn1a

1n0n17 (:

. a a

66

http://cs.haifa.ac.il/students/ אוניברסיטת חיפה, החוג למדעי המחשב–אתר הסטודנטים

" ":

: , a n101 0a0,1,2,…n-1 - ., :

1111

2

11

n

nnn

aaaa

0n.

n 8 (n(n-1)/2.

!

67

http://cs.haifa.ac.il/students/ אוניברסיטת חיפה, החוג למדעי המחשב–אתר הסטודנטים

– '"6.11.2002

1 –

)12 ( 1(p=F , q=F . .

.

.: .

qpTqprrqprqprqpqrprqpqrprqpqrprqp

2()12 (

:.)()]()[( qppqqp

qppqqp

TTTFFTTFFTFTFFTFFTFTTTFTFTFTTTTTFTFFFTTTTTFTFFTFTFTFTFFFFTTF

.

.)()]()[( rprqqp

rprqqp

TTTTTTTTTTTFFTTFFTFTTTTTTTTTFFFFTFFTTFTFFFFTTTFTTTTTTTFFTFTFFTFTTFTTFTTTFTFTFFTFTFTFTFTF

.

baba ,-

1

68

http://cs.haifa.ac.il/students/ אוניברסיטת חיפה, החוג למדעי המחשב–אתר הסטודנטים

" ": –

: .:

)()]()[( qppqqpF

T F T

T TF T

F T F T T T T T F F p=F ,q=T , .

,. F

:[( )()]() qppqqp

)()]()[( rprqqp

TF

FF T

F FF T F T F

T FF

,. T p=F , q=F

: .

F T F

T FT T T F

T F.

, . F

2

69

http://cs.haifa.ac.il/students/ אוניברסיטת חיפה, החוג למדעי המחשב–אתר הסטודנטים

)12 ( 3(

. rqqprqqprqqp

:rqp

.rqprqqrqprqp ][

)()]( yQx

4()8 (

.[ xP)(])([ yQxPx

),( knkPn

:.

.),( knPknn

)(xP

- nkk2.

.)(xP)(xP

)(xxP)(xPx

)2()(),0()( 2xxBxxxA)0()(),0()(

, . ,-.

." "" " .–.

5()15 (- Z.

.: xxBxxA

))()()(( xBxAx

)(),( yxyxP .: )(),( yxyxP

.: )0(),(),0()( yxyxQxxP

)2(),(),0()(xyyxQxxP

baba qpqp

baba -

3

70

http://cs.haifa.ac.il/students/ אוניברסיטת חיפה, החוג למדעי המחשב–אתר הסטודנטים

6( )14 (

" :1

1...1

210

aaaaaa

nn1a

:n

:n=0 :11

1100

aaa . .

.n n-1 ,n>0 :

:1

1...11

1210

aaaaaa

nn1a.

:

11

11

11

11

11...

111210

aa

aaaa

aaa

aaa

aaaaaaa

nnnnn

nn

nnn

12

..

7) (14 (

(n=0 "" ) .n=1

" "n-2) .( ,n=1 , , n

01an=0 . -1 .

, .

8) (13 ( ):( nn=0 :0 ,

) . :02/)10(

n=1 :.(

: , n 01n-1

221 nn.n

n-1 n .

" .2

21 nn

n-1 .

, :

21

222211

221 nnnnnnnn

..

4

71

http://cs.haifa.ac.il/students/ אוניברסיטת חיפה, החוג למדעי המחשב–אתר הסטודנטים

:–" 14.11.2002 '

– '2: ,

1(},,{},2,1{ cbaBA.

ABAA , ABA

ABABBABA B A 2(,,,

}2,1},3,2{{},2,1{

) .(:

.BA}4},3,2,1{{},3,2,1{ .BA

})2,1({, PBA .

.)(},2{ NPBA.}}2,1{,1,{, BA

)\()\()(\ CABACBA

3(":

.

)(\)()\()\( DBCADCBA .

)( DBCADCBA .

)( DBCADCBA .

nA,...,nAAA ...21

1n

n

ii AA

1

AA , 21 4( :

1

AAn

ii , .

i,...,1iiAi , .1000,...,3,2,1i100

1iiA

)\()\( ABBABA

.

: , 100

1iiA.

A,B 5( :

BAAB

.:

. AA .

B CACA B. .

6()(\)( APAAP .

BABPAP .)()(BABPAP )()( .

72

http://cs.haifa.ac.il/students/ אוניברסיטת חיפה, החוג למדעי המחשב–אתר הסטודנטים

– ” 7( .

. – :

.

.{ }}{, a

.{ }},{},{, aa

.}},{},{},{,{ baba

P(X) S 8(},,{ cbaX"

BAXPBABAS ,,,

RN "

.S ? ?

9( .R ,

,- , ?.

abNbabaR mod0,,,

NN" dcRba ,,

cbda

R 10( .R

.

.

11( .S

. . . xxxS

.S S. .SS.

73

http://cs.haifa.ac.il/students/ אוניברסיטת חיפה, החוג למדעי המחשב–אתר הסטודנטים

1

'–"19.11.2002

–2

1(},,{},2,1{ cbaBA

2,2,1,2,2,1,1,12,,1,,2,,1,,2,,1,

AAccbbaaAB

:2,,1,,2,,1,,2,,1,,2,1 ccbbaaABA

2,,1,,2,,1,,2,,1,,2,2,1,2,2,1,1,1 ccbbaaABAA2 (

.BAB2,1

.BAB..BA) {1,2}( ,

.BA. .BAN2N}2{)(}2{ NP .BAB .

BA.

3(

.:

)(\)()()()()\()\(

CBACBACBACABACABACABA

c

cccccc

. :

)(\)()()()\()\()\()\(

DBCAxDBxCAxDxBxCxAxDxCxBxAxDCxBAxDCBAx

.")( DBCADCBA:

DBCAyxDByxCAyxDyBxCyAxDyCyBxAx

DCyBAxDCBAyx

,,,

,

74

http://cs.haifa.ac.il/students/ אוניברסיטת חיפה, החוג למדעי המחשב–אתר הסטודנטים

2

.)( DBCADCBA

. :5;4;3;2,1 DCBA

5,43,2,1

DCBA

:5,3,4,3,5,2,4,2,5,1,4,1DCBA

5,33,2,3,1

DBCA

:5,3,3,2,3,1)( DBCA

:)( DBCADCBA

4( .nAAA ,...,, 21nAAA ...21

I(n

n

ii AA

1

".

" :"np

nppp ...21. ,

nAxnAxAxAx ...21" :n

iiAx

1

.

n

n

ii AA

1

.

n

iiAx

1

:nAxAxAx ...21 .iA

x) .(ni AA ,nAx .

.

II (11

AAn

ii" .

:XYXYXYX ,.

,n=1 :11 AA.

75

http://cs.haifa.ac.il/students/ אוניברסיטת חיפה, החוג למדעי המחשב–אתר הסטודנטים

3

:1

1

1

AAn

ii1

1

AAn

ii.

:n

n

ii

n

ii AAA

1

11

.

n

n

ii AAA 1

1

:nAA1

1

1

1

AAn

ii.

.iiiAi ,...,1,1000,...,3,2,1i . :}1,0,1{1A

}2,1,0,1,2{2A.........

}1000,999,...,999,1000{1000A

nAAA ...21100

11

ii AA , 100

100

1

AAi

i

5 (.) .( .

:

ABBAABABBABA \\\\

.:

AAAAA \\

76

http://cs.haifa.ac.il/students/ אוניברסיטת חיפה, החוג למדעי המחשב–אתר הסטודנטים

4

.

:CACBC.

A=B . ,BA .BAxABx .

,BAx .:

.Cx .CAx ,-CBx ,.

.Cx .CAx ,-CBx ,.

A=B.

6 (

.)(\)( APAAP . :

.BABPAP )()( .)(APB)()( BPAP

BA .:

xAxAP ,)(

xB ,xxBP ,,,,)(

:xx ,,,,x,

xx ,.

.BABPAP )()(:

:)()( BPAP ,X :)()( BPXAPX.

X :BXAX.

:BA

BaBPaAPaAa

7 (

. ,0||Nn02n.

. .})({}}{,{ aPa

AxxxAAPxxxxAP

xxA

,,,\,,,,

,

77

http://cs.haifa.ac.il/students/ אוניברסיטת חיפה, החוג למדעי המחשב–אתר הסטודנטים

5

. ,3|},{},{,{| aaNn32n.

. .}),({}},{},{},{,{ baPbaba

8 ( :},,{ cbaX

cbacbcabacbaXP ,,,,,,,,,,,,)(

S:

8X.cbaa ,,,...}{,,, .

"8.

{a}-4X :{a} , {a,b} , {a,c}, {a,b,c}

{b}-{c}4"."12

.

{a,b} : {a,b,c}-{a,b}.

{a,c}-{b,c} ."6.

{a,b,c}–.

,S :2716128

.

9("x) (-ymx-ym

.)(mod myx.abNbabaR mod0,,,

"ab :"baNbabaR |,,,.

:

:.

:).( :R8,2-2

8 .82R2,8.

:- ,ab-ba .

ba-ab .a=b.

:ab , bc:

Nk11kab

78

http://cs.haifa.ac.il/students/ אוניברסיטת חיפה, החוג למדעי המחשב–אתר הסטודנטים

6

Nk22kbc

,Nkk 21 ,21 kkac.ac.

10(R:

:NNba,abba ,

baRba ,,.

:dcRba ,,cbda .

adbc ." :baRdc ,,.

:dcRba ,,feRdc ,,:

I(cbda

II (edfc

fedc

fedbda

:ebfafeRba ,, .

R , ,.

11( . S .xxxS.

.SSSS , ,SS .

SS.

.SSS-S

.SS .SS.

" / " ,:

.

,. , ,'...

, , , .

79

http://cs.haifa.ac.il/students/ אוניברסיטת חיפה, החוג למדעי המחשב–אתר הסטודנטים

7

: , ?

, . ,..

80

http://cs.haifa.ac.il/students/ אוניברסיטת חיפה, החוג למדעי המחשב–אתר הסטודנטים

1

: '–"3.12.2002

– '3: ,,

1( , ,

RRS),(),( 22112211 yxPyxyxyx

2(nRS .

nn w

ww

w

v

vv

v 2

1

2

1

,P:

Pwv,ni1 :)00( ii wv

P , ,.

3(" .- .!

.1,: 2nnfNZf .nnfRQf 2,:

.NNf :"1nnfn- ,-1nnfn.

.A)()(: APAPfBABf \APB.

4(hgf ,,ZZ:

12)( xxf2)( 2xxg

0;0;

)(xx

xxxh

.".

. :2,,,,),( fgffghgghfgh

5(CBgBAf :,:" . :111 gffg.

6(BA, ,ABgBAf :,: ,

AIfg ."":

81

http://cs.haifa.ac.il/students/ אוניברסיטת חיפה, החוג למדעי המחשב–אתר הסטודנטים

2

.1fg.f.g.f.g

7(X, YYXf : .

)()(: YPXPF"AaafAF )(XPA.

.F?

.YXF?

.f"F".

.fF.

8(A1r)0,0( ,-B

2r(0,1) .BA ~ .!

9(A,B,C . :

.BABA.

.CBACA

10( .ABBA.}|10{~}|10{ RxxRxx. :1.}|53{ Rxx

2.}Zxx |53{.N) ( ?

!

11(BA,AB .

|||,||,\| BABABA?

12(X .-xF -X1,0xFP(X) -.

13():(."0 ""1".(x,y,z).

.-0.

.-R{0,1}.

82

http://cs.haifa.ac.il/students/ אוניברסיטת חיפה, החוג למדעי המחשב–אתר הסטודנטים

1

'–"6.12.2002

–3

1(P:

:2),( Ryxyxyx),(),( yxPyx. :),(),( wzPyxwzyxyxwz ,.

),(),( yxPwz:),(),(),(),( lkPwzwzPyxlkwzyx:

lkyx,),(),( lkPyxP.

: , .

2R.2

00 , Ryxbyx 00yx,-2Rbyxbxyb.

(-1) 'yb .–(-1) ,b

.

:b-xy,|,, 200 linestaighttheonisyxpionttheRyxyx

,P-1 ,:

83

http://cs.haifa.ac.il/students/ אוניברסיטת חיפה, החוג למדעי המחשב–אתר הסטודנטים

2

) :(:.

,- .

, . :}|)],0{[(/2 RbbPR .:

Y. :.

2(P:

:nPvni1ii vv00 ii vv .vRv.

:vPwni100 ii wv00 ii vwwPv.

:vPwwPz)0000(1 iiii zwwvni:00 ii zvvPz.

P.

:

" " . :}00(1|{][ ii

n wvniRwv,

.

:n)-n( .

.

:

,"ni1 .)

.( :}|]{[/ vectorbinaricisvvRRn.

84

http://cs.haifa.ac.il/students/ אוניברסיטת חיפה, החוג למדעי המחשב–אתר הסטודנטים

3

3(.

". :552655 ff . :7x712x

.f".ay,xyx aayx.yfxf

x = y.."

.

.f" :21 nn.

21 nfnf11 21 nn .

21 nfnf11 21 nn...1n-2n-111 nnf-122 nnf ,

:21 nfnf.

f :Ny .yNn-1ny .y-Nn1ny .NyNn

:ynf.

:f.

NNf :1

evenismwhenmoddismwhenm

mf;1;1

)(1

Nmn, :mmff 1 , nnff 1.

nnff 1 :nn-.

*n1nnf- ,:nnnfnff 11111

*n-1nnf ,:nnnfnff 11111

:nnff 1 .mmff 1.

. ,3,2,1A.

f" :

:21 BfBf :21 \\ BABA

85

http://cs.haifa.ac.il/students/ אוניברסיטת חיפה, החוג למדעי המחשב–אתר הסטודנטים

4

,21 BxAxBxAx ,21 BxBx

:21 BB .

f:APSAS .AS .ACSAC \ .

*APC-S"f.

**X,YYXYXX \\ .ASSSASAA \\.

*- ** :SSAASAfCf \\\..

:f :)()(:1 APAPf .

SASf \1APS.

:f-1f **:SSASAASAfSffSff \\\11

BBABAABAfBffBff \\\111

4(.f". :121222 212121 xxxxxx g" .:729)3()3( ff33.h" . :3)3()3( ff33.

.

f . :8x128 x.g. :3x23 2x.h.h.

.---<

86

http://cs.haifa.ac.il/students/ אוניברסיטת חיפה, החוג למדעי המחשב–אתר הסטודנטים

5

0144;1440144;144

)144()(

2)0;2

0;2)(()

0;0;

())(()(

11;211;2

02;202;2

2))(()(

321)2(2)2())(()(

1442)12()12())(()(

341)12(2)12())(()(

22

222

22

2

2

2

22

222

222

22

2

xxxxxxxx

xxhfgh

xxx

xxg

xxxx

gxhgxhg

xxxxx

xxxx

xhxghxgh

xxxfxgfxgf

xxxxgxfgxfg

xxxfxffxffxf

5(ACh : :11 gfh .hfg.

:AIfghcIhfg.

Aaaafgh )(

h , Cc :cgfch 11 . afggfafgh 11)(

g)"(:afafgg 1

:affafggf 111

f)" ( :aaff 1

:aafggfafgh 11)( .

AIfgh .

cIhfghfg.

h111 gffg.

87

http://cs.haifa.ac.il/students/ אוניברסיטת חיפה, החוג למדעי המחשב–אתר הסטודנטים

6

6 (.

:

)}3,3(),2,2(),1,1{()}2,(),3,(),2,(),1,{(

)},3(),,2(),,1{(},,,{},3,2,1{

gfdcbag

cbafdcbaBA

AIfg , 1fg.

. :f"Axx 21)()( 21 xfxf ,

2211 ))(())(( xxfgxfgx .f".

.:' .)()( dgbgdb

.:' .df.

.:Aa ,Baf )())(( afga ,

)(af ,Ba.

7(.AaafAF )( .

XA .)(AFA .A-A .F.

..:XAAxxfyYyA ;ImAf.

AaafAF )(AfY.XAYAF )(XA.

:YXF )(.

.XPAA 21,11 AA .Xw)..( :21 AwAw.

f"wfafAa :2F:*2AFwf.

88

http://cs.haifa.ac.il/students/ אוניברסיטת חיפה, החוג למדעי המחשב–אתר הסטודנטים

7

1AwF** :1AFwf .fYwf

*- ** -YP-1AF-2AF ,":21 AFAF .

..

.YPSY . XPSXSYSXF.

fSYyXxyxf . SXSYxfXxSX . FSYSXF.

8(BA ~ . :B

(0,0)) . ("A .B ."AB .

B .A '"BA .AB.

9(")34/(YX"X-Y .

X-YYX..

YX"A-B . :YXf : ,xxf.

.

A

B

F '"ABG '"BA

89

http://cs.haifa.ac.il/students/ אוניברסיטת חיפה, החוג למדעי המחשב–אתר הסטודנטים

8

:CBA

":CA

""AB"B-C ."-A-C.:*CA.

) (AC.AC.

,CA .:CBA , A

C .ABA :)()( ABBA .

** :CA .

- * - ** CA...

10 (.

'"BAAf :aaf )( .|||| BAA .BA.

.:A–B-A .ABA.

:"-A-BA.

.,..., 21 ssS-AS .

..-Bm . :mbbbB ,...,, 21

BAAf ::Aa.

1-Saaaf.

2-Saisa :mis

mibsf

mi

ii ;

1;)(

" :ABA . ..

) :B(

.

90

http://cs.haifa.ac.il/students/ אוניברסיטת חיפה, החוג למדעי המחשב–אתר הסטודנטים

9

}|10{ Rxx . ,1,0 . :

|}|10{|1,0}|10{||}|10{| RxxRxxRxx

..

.1.:

|}|53{||3}|53{||}|53{| RxxRxxRxx

..

2 . , :2|}4,3{||}|53{| Zxx

. . ,A|)(||| APA .:|)(|||0 NPN.

11(|\| BAA" ,

,.

|| BA0 , ,B.

|| BA ..

12(:

I (mnmn . XX2 . xF-X1,0

X2 .XX2 . xFP(X) - ...

(II

"

"

91

http://cs.haifa.ac.il/students/ אוניברסיטת חיפה, החוג למדעי המחשב–אתר הסטודנטים

10

"-XP-XF . XFXPg :"AfAg) .AfA ,24 /.(

g":XPAA 21,11 AA .Xw).. :(21 AwAw.

11

wf A02

wf A .1A

2A ."g :21 AgAg .

g:hX}0,1{ .XPAh

hAf h":1xhXxAh .ghAg h.

13(.

n , :01 .nn2 .

Nn

n2 . ,

. ,

"0,1 "N" ,.

.|| R ."

|||||||| RRRR.

.N ,:

'1N0. '2NN0.

n00|| nnN.

0

00. ,N ,

N.

.12 . :

|||| 2|}1,0{||}1,0{| RRR.

92

http://cs.haifa.ac.il/students/ אוניברסיטת חיפה, החוג למדעי המחשב–אתר הסטודנטים

:–" 18.12.2002 '

– '4:

k n 1( .

(?(?(?(?

n,k( ) .

2( ,' ,' ,' '3 . . 3 .

(?("?( '?

3( ,10 .4 - 6)

( .?

4(3 : ,' ,' ' .8 .

(?(4 '4? '(3 ? '( ' , ' , - '? ) :

(

5 (

105 ,3" ,2 .:

( ," ,.

(.("

.

6 (59?

m n 7(

?

1

93

http://cs.haifa.ac.il/students/ אוניברסיטת חיפה, החוג למדעי המחשב–אתר הסטודנטים

8(

.4 10

?

.710?

m X Y n X 9( . .

Y X ?

10(8 ,3 . 5

.?

: .:

, .

...

PAPAPAPADAS 11( 11 .11

":

.

S .

PPPP .

.A

12 (5 .114)7 (:

(.(.(.

: ,.

13 (n ? .

n? .

2

94

http://cs.haifa.ac.il/students/ אוניברסיטת חיפה, החוג למדעי המחשב–אתר הסטודנטים

},,,,{}10,2,1{ edcbaBA

254321

14 (

A B B A .? '

A B B A .? '"

A B B A .?) :( '

15 (xxxx

4321 8,0,3,0 xxxx

. :

(?(?

(?

(106,32,80,6 43211 xxxx

000,100

?

n1 7? 16 (

3

95

http://cs.haifa.ac.il/students/ אוניברסיטת חיפה, החוג למדעי המחשב–אתר הסטודנטים

– '"16.12.2002

–4

1( 120. :

.5120 116*117*118*119*

.5)

( = !115

!5120

5

5412

511205

6443

242*3*4

!*5120

. :.

.

.120.

.5 ) (! . .

:

2( . .3

.4 ,3 2 ,

23

323

. " ." 3

") " ,"" , . (" "

1

96

http://cs.haifa.ac.il/students/ אוניברסיטת חיפה, החוג למדעי המחשב–אתר הסטודנטים

3 (2 .

210

48

24

48

210

8

7048

38

52

38

828282

. 8 ,4

." 6– .

2 4 .

,

4 ( . :3 .

' .4 ,

. '

. ' .

' ' . . 52

." )' ('''.

.

')' - '(')' - '(')' - '(

' - ')"("' - ')"("' - ')"("

, :3233 88

!2

1440!2!3!5

38640)!2!3!5(!3

5( . 5 ,3

" . :!

!

.' , 3" " . .

!!

2

97

http://cs.haifa.ac.il/students/ אוניברסיטת חיפה, החוג למדעי המחשב–אתר הסטודנטים

. ,-" ." 5 .

," . " ,

)' . ( :

!

!2!5!5

8640!2!5!5

59

5252

59

nm 1

01

nm

710

7

mnYXYXP 22|)\(| |\|

mnn 22

6 (

- . .

, . :

.

7(m) .(

, . , m+1 n

..

. m+1<n

8(.

. .

.

. . . 10

9(

X . Y " "X . Y

. . Y ,Y

10(

5 : 1(

3

98

http://cs.haifa.ac.il/students/ אוניברסיטת חיפה, החוג למדעי המחשב–אתר הסטודנטים

78 3+2 ')(

3+1+1 '27

27

37

8

58

58

37

827

827

878

!

AP 5,4

8),

(

8 2+2+1 '

2+1+1+1 '

1+1+1+1+1 '

,.

11( 11 .

)!5!!

411. . (

.S' . !5!4!10

!8

.

PPPP 3 ( P ) 4 . .

A . !5!8

.A . !4!4!10

511

37

24

37

24

47

14

57

.

12(

. . :

. .3 .

:

. " " : , , . ,

. :

4

99

http://cs.haifa.ac.il/students/ אוניברסיטת חיפה, החוג למדעי המחשב–אתר הסטודנטים

13 (

. n ' 2n),( aa

nn2

2

),( ba),( ab}|),(),, baabba

. .

" . n .nn2

'.

. 1 , ,

."{() ( . , 2

2 nn

,(a )a)" .("2

)1(2 2

2

2nnn n

BAf :10

ABf :5

BAf :|||| AB

n

14 ( . . B f " B : .5

. . B f " B : 10. " , .

ABf :

!5510

ABf :|| AB

A " : 5 ,"

." : f " B ,B .

)510(. , .||

BAf :105

104

10335

10225

5225

335

455 10101010

:B A " '

4 B A ' , 5 .

, 3 B A '

.

, 2 B A '

.B A ' 1 , 5

.i B A ' '

, .:

5

100

http://cs.haifa.ac.il/students/ אוניברסיטת חיפה, החוג למדעי המחשב–אתר הסטודנטים

15 (

.

2528

251425

:

.4321 ,,, yyyy14,3,2,1 ii yxi

:251111 4321 yyyy214321 :yyyy

2124

211421

"

.4321 ,,, yyyy

11 yx322 yx33 yx844 yx

:2583 4321 yyyy144321 :yyyy

1417

141414

"

. : 4321 ,,, yyyy

111 yx50 1 === <y

22 yx80 2 === <y233 yx50 3 === <y644 yx40 4 === <y

254321 :xxxx :25621 4321 yyyy

204321 :yyyy

2023

201420

:

.

,. y -

6

101

http://cs.haifa.ac.il/students/ אוניברסיטת חיפה, החוג למדעי המחשב–אתר הסטודנטים

)- y , (

.2023

: -

:1A204321 yyyy

61y

2A204321 - :

yyyy92y

3A204321 - :

yyyy63y

4A204321 - :

yyyy54y

, :43212023

AAAA

1A:

- . 206 431 2 zzz z

:1417

141414

1A

2A- . 9 204321 zzzz

:1114

111411

2A

3A- . 206 421 3 zzz z

:1417

141414

3A

:1518

151415

4A

21 AA204321

:

- : - .

-

. ,

yyyy692y 1y

96 321 204zzzz58

5145

21 AA

7

102

http://cs.haifa.ac.il/students/ אוניברסיטת חיפה, החוג למדעי המחשב–אתר הסטודנטים

,811

8148

31 AA

,912

41 AA

58

32 AA

69

42 AA

912

43 AA

:0321 AAA

1421 AAA

36

431 AAA

1432 AAA

04321 AAAA

:

17610136

1912

69

58

912

811

58

1518

1417

1114

1417

4321 AAAA

:10176117712023

4321 AAAA

754321

16 (100,000 , ,

. ," .82 :00082 . :

- . xxxxx

711

7157

8

103

http://cs.haifa.ac.il/students/ אוניברסיטת חיפה, החוג למדעי המחשב–אתר הסטודנטים

:–" 25.12.2002 '

– '5: +

1( :123

32

2 nnnn

nnn

},1,0{ a

2x

n

n" :

a .

2(82 )1( x

nin

i in

320

knm

ikn

imm

i 0

nnm

in

imm

i 0

},,,,,,, ddccbbaa

?

n 3( :

..

4(:

.

.

5(

.1,2,3,4,5,6,7247?

.1,2,3,4,5,6,724

2747?

b a {a,b,c,d} n. 6 (

7( 40 ,10 ,20–30?

{ 8 (?

1

104

http://cs.haifa.ac.il/students/ אוניברסיטת חיפה, החוג למדעי המחשב–אתר הסטודנטים

1

'–"5.1.2003

–5

1 (

"n"},1,0{ aa .:

:an ,01 .

11 221

nn nn

.

:n-a ,2

2n

2n ,1

a ,3

3n

3n ,2a ,kn

k

kn ,1ka)k ,

a (…n0 ,n-1a . ,

nn

nnn

n3

32

2.

2 (8

0

8

2

8

0

8

28

2

81

8)1(

i

ix

i

ixix

ii

2x4

2x

48

.

2224

2 835

1670

1648

48

xxxx .2x835

.

3 (

"n :nin

i in

320

.1,2 ba .

. :n"

2,1,0 .)n3 .(

105

http://cs.haifa.ac.il/students/ אוניברסיטת חיפה, החוג למדעי המחשב–אתר הסטודנטים

2

1-2.

4 (

.kn

-m .

.

nk

5(

.1,247,3,5,6 .!5.

.A=24

B=27

C=47

,

!5!6300!50!6!6!6|||||||||||||||| CBACBCABACBACBA

6(

, :ab . c,d ."

n2 . nn 24.

7 (40" ,

-40321 xxx ,242

40,3D.

4011231

)29,3(D.

4021221

)19,3(D.

4031211

)9,3(D.

401121

210

)8,3(D.

106

http://cs.haifa.ac.il/students/ אוניברסיטת חיפה, החוג למדעי המחשב–אתר הסטודנטים

3

. ,4010

,2030

176210

211

221

231

242

8 (

42!8

iA},,,,,,,{ ddccbbaaii . :32!7|| iA

)ii .(

!4||2!5||

2!6|| 2

dcba

kji

ji

AAAA

AAA

AA

:

864!42!54

2!66

2!74

2!8

!444

2!5

34

2!6

24

2!7

14

2!8||

234

234''''dcba AAAA

107

http://cs.haifa.ac.il/students/ אוניברסיטת חיפה, החוג למדעי המחשב–אתר הסטודנטים

:–" 2.1.2003 '

– '6:

n 1( :

}5,4,3,2,1,0{

31

6116

210

321

?

2( :

aaa

aaaa nnnn

12,5

96

10

21

3( :

aa

aaa nnn

3021 aaa

4(.

j 451 ia 5( .i,

ji a

521 aaa

14a

j 6(9ia1 .i,

ji aa 10.

108

http://cs.haifa.ac.il/students/ אוניברסיטת חיפה, החוג למדעי המחשב–אתר הסטודנטים

– '"9.1.2003

6 , ,

na11a)0(

1

. n 1( . ,

: n ") " (n}5,4,3,2,1

15.{ .

nana1n

.) ( .0 .

1n16n

14665

1

11

11

1

aaaaa n

nn

nnn

1na.

' '

nn a321 6116 nnnn. 2(

3n

321

0)3)(2)(1(06116

6116

321

23

23

nnnn CBAa 321

:

nnn

nnnn

a

a

ACB

CACB

CBAnCBAn

CBAn

322

312212

21

23

20

94323211

10

1

1

109

http://cs.haifa.ac.il/students/ אוניברסיטת חיפה, החוג למדעי המחשב–אתר הסטודנטים

3(

2,12,5

96

10

21

naa

aaa nnn

nn a21 96 nnn.

2n

30)3)(3(

096

21

2

nnn BnAa 33. ,

:

nnnn nna

B

BAnAn

3)5(3351

3312150

)()(, vdvfVv}1,,2,1,0{

: G . n G 4 ( .fn

1n1

.G . G f “0”

.0n1

f .fn

)( 21 vvff . ,, " .

() f 21 ,vvG – . .

}14,14,14,,{ ,3021,3021 aaaaaaAA . 5 ()591415( iai )451( iai 60 . A ,

A 1 59 .60 A , ,, j 3021 ,, aaa , A .i,

i 14

521 aaa

jaa.

j ia 6 (91 .i,

ia. 10ja

i j ia . 5 :i

}10,10,,, 51521 aaaa ,{aA

521 aaa

A .10 ,1 9 .

" . A

5ia

,

ji,. , i10ji aa ji aa10

2

110

http://cs.haifa.ac.il/students/ אוניברסיטת חיפה, החוג למדעי המחשב–אתר הסטודנטים

:–"10.1.2003 '

, '7 –

G R2 R1 G 1(: - .

v u (v, u) R1 ". -

(v, u) R2u -v "w -u -v

.

2(101 , '

) :a b b a.(

3(

G E G = (V, E) - .- (

.G .

G E G = (V, E) .- (

.G .

G 4() (. :

GwVE ||||w , :

G.

5(4|| 2

|| VE

nvvv ,,, 213n

}{},{\ 1 nvGvG

},,,{ 21 ndddD

.

6(.

G 7( . ) ( 2

G \,},{\ 2 Gv . ,

8(.

n

iid

1

D G .

.

D G .D .

:

1,3,3,4,5,6,62,3,3,4,5,6,7

111

http://cs.haifa.ac.il/students/ אוניברסיטת חיפה, החוג למדעי המחשב–אתר הסטודנטים

1

'–"14.1.2003

– '7

1(.

1R:- :- :G ,.

- :s-t" ,-s-t-G .(v, u) R1-(u, w) R1 .v-u

u -w .-G ,v-uu -w . -v-w ."v-w".

2R:

wv

u

v-u"s-v-u.u-w"t-u-w.

v-w"u.

2(101 , ') :abba.(

: .v-u"vu .101. .

101- . ,-

:Vv

Evree 2deg

3(

.G = (V, E) .-E-G

.G.

: .G .

-E -G.

u,vV .v-u(v, u)-G) .(*

G ....

.G = (V, E) .-EG .

G.

112

http://cs.haifa.ac.il/students/ אוניברסיטת חיפה, החוג למדעי המחשב–אתר הסטודנטים

2

: .G .

-EG.

-G .u-v .

(u, v)-G .u-v) .(*....

(*) :Gv-u-v-u) .(

4(::

G . G),( iii VEG .

."1|||| ii VE .

GG ,

wVVVVEEEE ww ||1111|||||||||||||| 2121

:GwVE ||||G.

||V:

1||V : 011|| EG.

nwnwVE |||| ,

n+1 wnwVE 1||||. :

01 :2 ,

||2

||2|| VVE .".

0 ,n ,|| E)

( ,1w) . (wnwVE )1(1||||

.0 ,.

1 ,n ,1|| E ,

w .wVE 1||1|| ,wnE || . ,

n+1.

5 (G|||||| 21 VVE

21 'VVK .|||| 21 VV|||| 21 VV)

( ,2

|||||| 21VVV .

4||

2||

2||||

2

21VVVVVE.

|||| 21 VV|||| 21 VV .

W

113

http://cs.haifa.ac.il/students/ אוניברסיטת חיפה, החוג למדעי המחשב–אתר הסטודנטים

3

a .acb 2cb, .

iiaciab , . :222))(( aiaiaiacb0i ,acb .

6 (CG .C , . ,)C

.(C ,C) ( .

-C.

7 (}{\},{\ 21 vGvG ,G .

}{\ 1vG ,nji2Gji vv , .}{\ 2vG ,

jinji 21Gji vv , .

G21 , vv .}2,1{\Vw .

}1{\Vw1wv ,2.

}2{\Vw2wv ,1.

21 ,G21 , vv.

G

8 ( : ,n

ii Evd

1

||2)(.

:},,{ 21 ndddDn

iid

1

,

GnD .G :nnvvv ,...,, 21.ni121 ii kd)id (2ii kd

)id .(id ,ikiv .n

iid

1

,

id .ivid ,

.G) (n

ii

n

ii dvd

11)(.

:5,1,2,1,3,4,6D:

114

http://cs.haifa.ac.il/students/ אוניברסיטת חיפה, החוג למדעי המחשב–אתר הסטודנטים

4

(2,3,3,4,5,6,7 :7 , 7 .6.

1,3,3,4,5,6,6 :7 ,6 ,1.

115

http://cs.haifa.ac.il/students/ אוניברסיטת חיפה, החוג למדעי המחשב–אתר הסטודנטים

:–"15.1.2003 '

, '8 –

1(

G=(V,E) .),( EVG

G },),(|) VyxGyxy,{(xGG ) , ,

G (.

G .G

G .G

n2n

n3

n3

n

mn

nk

?)(

2(

-) ,

():(

. , -

. , -

. , -

3(

A ,

.– –: .

.

. , ,

. , ,

. , ,

4(

– D. 1 ( , ) 0

.?

– . 1?

.- 1?

k .? .

1

116

http://cs.haifa.ac.il/students/ אוניברסיטת חיפה, החוג למדעי המחשב–אתר הסטודנטים

5(

6 ,

.2

.

!

2

117

http://cs.haifa.ac.il/students/ אוניברסיטת חיפה, החוג למדעי המחשב–אתר הסטודנטים

1

'–"10.1.2003

– '8

1(

. :G ,–G .Vyx, .

xyG .:

x–yG :x-yG ,

x–yG ,G ,–x–y-

G.

x–yG ,zG

) ,G .(x-zG ,

x–zG ,G ,

y–zG .yzxx–yG.

G

.GG :

2(

. , .

)!2()!3(

nn

.2n ,

. :nnnn

)3(23

.n–) .( , .

nnn

n1

12

GG

118

http://cs.haifa.ac.il/students/ אוניברסיטת חיפה, החוג למדעי המחשב–אתר הסטודנטים

2

3(

. ,)}1,2(),2,1{(},3,2,1{ RA ,R

)(, bRaaRbAba .RRR )1,2()2,1(R)1,1(.

. .RAcba ,,

RcaRcbRba ),(),(),( .cbba

!–RRab ),( ,

Ra=b . ,

".

. , :)}2,2(),1,1(),1,2(),2,1{(},3,2,1{ RA .R

.)(, bRaaRbAbaRRR )2,2(),1,1()1,2(),2,1(

) .(R

R)3,3(.

. ,)}3,1(),3,2(),2,2(),1,1(),1,2(),2,1{(},3,2,1{ RAR

R)3,2(R)2,3( .RRR )1,2()2,1(

21 .R

RRRRRRRRR

RRR

)3,2()3,1()1,2()3,1()3,2()2,1()2,2()2,1()1,2(

)1,1()1,2()2,1(

4(

.01nm2.

.1nm , . ,

. ,0 .

1 .12 nm

..–m .m-1

.12m .n)1(2 mn.

. k kn

.

1 ." "m

119

http://cs.haifa.ac.il/students/ אוניברסיטת חיפה, החוג למדעי המחשב–אתר הסטודנטים

3

112m) . (" " .kn

,"knm

kn

)12.(

5(

N ,

.1–5)1––1 ,

–5 .( ,",

.

120

http://cs.haifa.ac.il/students/ אוניברסיטת חיפה, החוג למדעי המחשב–אתר הסטודנטים

'10/4/02

– '1

1.)20 ' (103 " : . .

"."?

2.)20 ' (..))(( .))((.)(.)(

)()(, ygxfyx3.)20 '(.

.

.32, yxxy)]0()0[(, .xyyyx

. .

4).20 ' (.

2222222 )1()2(

)1(12.....

325

213

nnn

nnn

12nyxn 73

5).20 ' (. x,y

.n=12,13,14 :-

121

http://cs.haifa.ac.il/students/ אוניברסיטת חיפה, החוג למדעי המחשב–אתר הסטודנטים

'

– '1

. D , G , B 1. :)))(())(()((: DBGGDBDB

.GDB )D)( BG)(DBGDB

1 1 1 0 1 011 0 1 1 0 010 1 1 1 1 110 0 1 1 1 111 1 1 1 0 001 0 1 1 0 000 1 0 1 1 000 0 0 1 1 00

3,4DB ..

2..))((

)( .

111101010000

0)(,1)( II . .)(1))(( II , .)(

. . )(

)()(, ygxfyx3.

.

.32, yxxy)0()0[( .xyyyx

. .

122

http://cs.haifa.ac.il/students/ אוניברסיטת חיפה, החוג למדעי המחשב–אתר הסטודנטים

4. : n=1 43

412

n-1 :

2222222 )()1)(1(

)()1(1)1(2.....

325

213

nnn

nnn

n

22

2

22

22

22

34

22

34

2222

2234

2222

22

2222

22

222

22222222

)1()2(

)1(2

)1()2(

)1(2

)1(12122

)1(12

)1()122(

)1(12

)1()12)(1(

)1(12

)1()1)(1(

)1(12)1)(1(

)1(12

)()1(1)1(2.....

325

213

nnn

nnn

nnnnn

nnnn

nnnnnn

nnn

nnnnnnn

nnn

nnnnn

nnn

nnnn

nnn

nnn

nnn

nnn

1

12=3*4 +7*0 n=12 5 . : 13=3*2+7*1 n=13

n=1414=3*0+7*2

12 nk

yxyxnn 7)1(337333

. :n

123

http://cs.haifa.ac.il/students/ אוניברסיטת חיפה, החוג למדעי המחשב–אתר הסטודנטים

'6/5/0213:00

– '2

1..)()( BPAPBA

)()( BPAPBA ..)()( BPAPBA.)()( BPAPBA

)()()( BAPBPAP2A,B,C .

.

.)()()( 2APAPAP)(\)()\( CABACBA .)\()\()(\)( CABACBAA .

.)()()()( CABACBAA3 ..

.}5,4,3,2{)4{

.

.}{ .

}}4{{)4{}}4{{)4{

AB

..

AC C B - .ABA B .

: A - P . A 4 . }0{\RAPyxxy ),(0

T

. P ..?P

.A- . A- R,T 5 . R

6 . RRAAb a .AaRbR . R

124

http://cs.haifa.ac.il/students/ אוניברסיטת חיפה, החוג למדעי המחשב–אתר הסטודנטים

125

http://cs.haifa.ac.il/students/ אוניברסיטת חיפה, החוג למדעי המחשב–אתר הסטודנטים

126

http://cs.haifa.ac.il/students/ אוניברסיטת חיפה, החוג למדעי המחשב–אתר הסטודנטים

127

http://cs.haifa.ac.il/students/ אוניברסיטת חיפה, החוג למדעי המחשב–אתר הסטודנטים

128

http://cs.haifa.ac.il/students/ אוניברסיטת חיפה, החוג למדעי המחשב–אתר הסטודנטים

'12/5/0216:00

– '3

1.NNNf : " )12(2 nmNnm,YZYg :fgh

BAfABg :,:

AIfg :1fg

}108,42|),

),( nmf ". , ". g " Y f 2.Xf :

. , B A 3..:

. ..f "..g ".. f..g .

13)( xxf||)( xxg

xxxx

xh0,

0,)(

2

2

.Z Z f,g,h 4.

"". .". .

: .h(f(x)), f(h(x)) ,f(g(h(x))), h(g(x))

5.) ( .

, 6.{( yxyx(|),{( xyx }4)5()1 22 y

..

7.

129

http://cs.haifa.ac.il/students/ אוניברסיטת חיפה, החוג למדעי המחשב–אתר הסטודנטים

130

http://cs.haifa.ac.il/students/ אוניברסיטת חיפה, החוג למדעי המחשב–אתר הסטודנטים

131

http://cs.haifa.ac.il/students/ אוניברסיטת חיפה, החוג למדעי המחשב–אתר הסטודנטים

132

http://cs.haifa.ac.il/students/ אוניברסיטת חיפה, החוג למדעי המחשב–אתר הסטודנטים

133

http://cs.haifa.ac.il/students/ אוניברסיטת חיפה, החוג למדעי המחשב–אתר הסטודנטים

134

http://cs.haifa.ac.il/students/ אוניברסיטת חיפה, החוג למדעי המחשב–אתר הסטודנטים

'19/5/0216:00

– '4x1+x2+x3+x4=70 1.

= <0. xi ..0<=x4 ,10<=x3 , -5<=x2 .15<=x1

.0<=x2,x3,x4 .<=x1<=200 , B={a,b,c,d,e} A={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10} 2.

? A B ?B A .?B A , - A B '" .

? B A ? A B ' .X . - M = {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10} 3.

- ? X 1 Xn A 4.

? .? .

4 .7 . 5.. .

. .6.8 ,3 .5

.?

135

http://cs.haifa.ac.il/students/ אוניברסיטת חיפה, החוג למדעי המחשב–אתר הסטודנטים

136

http://cs.haifa.ac.il/students/ אוניברסיטת חיפה, החוג למדעי המחשב–אתר הסטודנטים

137

http://cs.haifa.ac.il/students/ אוניברסיטת חיפה, החוג למדעי המחשב–אתר הסטודנטים

138

http://cs.haifa.ac.il/students/ אוניברסיטת חיפה, החוג למדעי המחשב–אתר הסטודנטים

'4/6/0216:00

– '51.

.kn

kn

k

k

03

ik

in k

i

in

i

i

00)5()2(

1

02n

n

kk k

n

1

02 n

n

kn

kn

k

2x

.

2.

.

.

". 3.

? 8)2

1( x 4.

n. 5.!2)!2(n

nn0

.

.|A|=r |B|=n 6.).

.(}1000...1 {2,3,5,7. 7.

8.a,b,c,d,e,f,g,h,i,j,k,l,m,n,o,p.

?bad,deaf,ape .?leading – , .

9.4 ,3 -5?

139

http://cs.haifa.ac.il/students/ אוניברסיטת חיפה, החוג למדעי המחשב–אתר הסטודנטים

140

http://cs.haifa.ac.il/students/ אוניברסיטת חיפה, החוג למדעי המחשב–אתר הסטודנטים

141

http://cs.haifa.ac.il/students/ אוניברסיטת חיפה, החוג למדעי המחשב–אתר הסטודנטים

142

http://cs.haifa.ac.il/students/ אוניברסיטת חיפה, החוג למדעי המחשב–אתר הסטודנטים

143

http://cs.haifa.ac.il/students/ אוניברסיטת חיפה, החוג למדעי המחשב–אתר הסטודנטים

144

http://cs.haifa.ac.il/students/ אוניברסיטת חיפה, החוג למדעי המחשב–אתר הסטודנטים

145

http://cs.haifa.ac.il/students/ אוניברסיטת חיפה, החוג למדעי המחשב–אתר הסטודנטים

146

http://cs.haifa.ac.il/students/ אוניברסיטת חיפה, החוג למדעי המחשב–אתר הסטודנטים

'13/6/0216:00

– '6ABCDE 1.) .

.1,2,3…,2n } n - n 2. {

.:t- 2 ,t. k,r N)12(2 rk

na

na

-'. n - 3.a,b 1,2,3,4, n - 4.

)1/2/3/4 ( ) .(.5.k - n ,

.

147

http://cs.haifa.ac.il/students/ אוניברסיטת חיפה, החוג למדעי המחשב–אתר הסטודנטים

148

http://cs.haifa.ac.il/students/ אוניברסיטת חיפה, החוג למדעי המחשב–אתר הסטודנטים

149

http://cs.haifa.ac.il/students/ אוניברסיטת חיפה, החוג למדעי המחשב–אתר הסטודנטים

150

http://cs.haifa.ac.il/students/ אוניברסיטת חיפה, החוג למדעי המחשב–אתר הסטודנטים

'16:00 19/6/02

– '7

.v u u,v 1.. n-k k - n 2.

. G " , G 3.. 4.

G : G-v1,…G-v4 v1,..,v4 G 5..

6.G 3 . ).(

G-v1…G-vn - V( G {) = v1,v2,..,vn} n>=3 7. . G

151

http://cs.haifa.ac.il/students/ אוניברסיטת חיפה, החוג למדעי המחשב–אתר הסטודנטים

152

http://cs.haifa.ac.il/students/ אוניברסיטת חיפה, החוג למדעי המחשב–אתר הסטודנטים

153

http://cs.haifa.ac.il/students/ אוניברסיטת חיפה, החוג למדעי המחשב–אתר הסטודנטים

154

http://cs.haifa.ac.il/students/ אוניברסיטת חיפה, החוג למדעי המחשב–אתר הסטודנטים

155

http://cs.haifa.ac.il/students/ אוניברסיטת חיפה, החוג למדעי המחשב–אתר הסטודנטים

top related