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Integración
La IntegralIndefinida
La IntegralDefinida
Propiedades
IntegralesImpropias
Curso Propedéutico de CálculoSesión 5:
Integración
Joaquín Ortega Sánchez
Centro de Investigación en Matemáticas, CIMATGuanajuato, Gto., Mexico
Integración
La IntegralIndefinida
La IntegralDefinida
Propiedades
IntegralesImpropias
Esquema
1 La Integral Indefinida
2 La Integral Definida
3 Propiedades
4 Integrales Impropias
Integración
La IntegralIndefinida
La IntegralDefinida
Propiedades
IntegralesImpropias
Esquema
1 La Integral Indefinida
2 La Integral Definida
3 Propiedades
4 Integrales Impropias
Integración
La IntegralIndefinida
La IntegralDefinida
Propiedades
IntegralesImpropias
Integral IndefinidaDefinición
DefiniciónSea f una función definida en algún intervalo I. Si F es unafunción definida sobre el mismo intervalo I y tal que
F ′(x) = f (x)
decimos que F es una integral indefinida de f .La notación usual para la integral indefinida de f (x) es∫
f (x) dx , o∫
f .
Integración
La IntegralIndefinida
La IntegralDefinida
Propiedades
IntegralesImpropias
Integral IndefinidaDefinición
DefiniciónSea f una función definida en algún intervalo I. Si F es unafunción definida sobre el mismo intervalo I y tal que
F ′(x) = f (x)
decimos que F es una integral indefinida de f .La notación usual para la integral indefinida de f (x) es∫
f (x) dx , o∫
f .
Integración
La IntegralIndefinida
La IntegralDefinida
Propiedades
IntegralesImpropias
Integral IndefinidaDefinición
Si G es otra integral indefinida de f en el mismo intervalo I,entonces G′(x) = f (x).
En consecuencia, existe una constante C tal que
F (x) = G(x) + C
Integración
La IntegralIndefinida
La IntegralDefinida
Propiedades
IntegralesImpropias
Integral IndefinidaDefiniciones
EjemploSabemos que las derivadas de las funcionestrigonométricas son
Dx sen x = cos x Dx cos x = − sen x ,
y por lo tanto tenemos las siguientes integrales indefinidas:∫cos x dx = sen x ,
∫sen x dx = − cos x
o también∫cos x dx = sen x + C,
∫sen x dx = − cos x + C
Integración
La IntegralIndefinida
La IntegralDefinida
Propiedades
IntegralesImpropias
Integral IndefinidaDefiniciones
Otros ejemplos de integrales indefinidas son los siguientes:∫xn dx =
xn+1
n + 1+ C si n 6= 1.
y si n = 1 y los valores de x son positivos tenemos∫1x
dx = log n + C
De manera similar, si x > 0 y α 6= −1∫xα dx =
xα+1
α + 1+ C
Integración
La IntegralIndefinida
La IntegralDefinida
Propiedades
IntegralesImpropias
Integral IndefinidaDefiniciones
∫ex dx = ex + C∫
11 + x2 dx = arctan x + C
y para -1 < x < 1,∫1√
1− x2dx = arcsen x + C
Integración
La IntegralIndefinida
La IntegralDefinida
Propiedades
IntegralesImpropias
Integral IndefinidaDefiniciones
Es importante tener en cuenta que en la mayoría de estasfórmulas hemos omitido mencionar sobre cuál intervalo esválida la ecuación. Sin embargo, al usarlas hay que teneresto en cuenta, pues el intervalo no puede contener puntosen los cuales la relación no sea cierta.
Por ejemplo la ecuación∫1
x1/3 dx =32
x2/3
es válida para x > 0 y también para x < 0, pero no para unintervalo que contenga al 0.
Integración
La IntegralIndefinida
La IntegralDefinida
Propiedades
IntegralesImpropias
Integral IndefinidaDefiniciones
Es importante tener en cuenta que en la mayoría de estasfórmulas hemos omitido mencionar sobre cuál intervalo esválida la ecuación. Sin embargo, al usarlas hay que teneresto en cuenta, pues el intervalo no puede contener puntosen los cuales la relación no sea cierta.
Por ejemplo la ecuación∫1
x1/3 dx =32
x2/3
es válida para x > 0 y también para x < 0, pero no para unintervalo que contenga al 0.
Integración
La IntegralIndefinida
La IntegralDefinida
Propiedades
IntegralesImpropias
Integral IndefinidaDefiniciones
Ya vimos que si x > 0 ∫1x
dx = log x .
También es posible considerar esta integral sobre elintervalo x < 0: ∫
1x
dx = log(−x)
Observamos que cuando x < 0, −x es positivo y log(−x)tiene sentido. Es sencillo verificar que la derivada delog(−x) es igual a 1/x para x < 0.
Integración
La IntegralIndefinida
La IntegralDefinida
Propiedades
IntegralesImpropias
Integral IndefinidaPropiedades
La integral indefinida es un operador lineal:Suponga que f y g tienen integrales indefinidas y sea k unaconstante,
•∫
kf (x) dx = k∫
f (x) dx ;
•∫ (
f (x) + g(x))
dx =
∫f (x) dx +
∫g(x) dx ;
Estas propiedades son consecuencia de la linealidad de laderivada. Para demostrarlas basta derivar el lado derechode cada identidad y observar que se obtiene el integrandodel lado izquierdo.
Integración
La IntegralIndefinida
La IntegralDefinida
Propiedades
IntegralesImpropias
Integral IndefinidaPropiedades
EjemploCalcular
∫(1/t2 +
√t)dt .
∫ ( 1t2 +
√t)
dt =
∫t−2 dt +
∫t1/2 dt
=t−1
−1+
t3/2
3/2+ C
= −1t
+23
t3/2 + C
Integración
La IntegralIndefinida
La IntegralDefinida
Propiedades
IntegralesImpropias
Integral IndefinidaPropiedades
EjemploCalcular
∫(1/t2 +
√t)dt .
∫ ( 1t2 +
√t)
dt =
∫t−2 dt +
∫t1/2 dt
=t−1
−1+
t3/2
3/2+ C
= −1t
+23
t3/2 + C
Integración
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La IntegralDefinida
Propiedades
IntegralesImpropias
Integral IndefinidaPropiedades
Recordemos la regla de la cadena y consideremos lasiguiente derivada
Dx
( 1n + 1
(g(x)
)n+1)
=(g(x)
)n · g′(x)
A partir de esta relación obtenemos la siguiente regla paraintegrales indefinidas∫ (
g(x))n · g′(x) dx =
( 1n + 1
(g(x)
)n+1)
+ C
Integración
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La IntegralDefinida
Propiedades
IntegralesImpropias
Integral IndefinidaPropiedades
EjemploEvaluar
∫sen10 x cos x dx .
Si ponemos g(x) = sen x entonces g′(x) = cos x . Por lotanto ∫
(sen x)10 cos x dx =
∫ (g(x)
)10g′(x) dx
=
(g(x)
)11
11+ C
=(sen x)11
11+ C
Integración
La IntegralIndefinida
La IntegralDefinida
Propiedades
IntegralesImpropias
Integral IndefinidaPropiedades
EjemploEvaluar
∫sen10 x cos x dx .
Si ponemos g(x) = sen x entonces g′(x) = cos x . Por lotanto ∫
(sen x)10 cos x dx =
∫ (g(x)
)10g′(x) dx
=
(g(x)
)11
11+ C
=(sen x)11
11+ C
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La IntegralDefinida
Propiedades
IntegralesImpropias
Integral IndefinidaArea
Sea a < b y sea f una función continua en [a,b]. Queremoshallar una función F (x) que sea diferenciable en (a,b) y
F ′(x) = f (x)
Supondremos que f (x) ≥ 0 y definimos F (x) como el áreabajo la curva que representa a f (x), entre los puntos a y x :
a x b
F(x)
Por lo tanto F (a) = 0
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La IntegralDefinida
Propiedades
IntegralesImpropias
Integral IndefinidaArea
Veamos que la función F es diferenciable y su derivada esf (x).
Tenemos que considerar el cociente incremental
F (x + h)− F (x)
h.
para a < x < b y para facilitar el argumento sóloconsideramos valores positivos de h.
La diferencia F (x + h)− F (x) es el área entre x y x + xh.
Integración
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La IntegralDefinida
Propiedades
IntegralesImpropias
Integral IndefinidaArea
Consideramos ahora la función f en el intervalo [x , x + h].En este intervalo cerrado la función, que es continua,alcanza su mínimo y su máximo. Sean c y d puntos dondeesto ocurre, entonces
f (c) ≤ f (t) ≤ f (d)
siempre que x ≤ t ≤ x + h.
x d c x+h
Integración
La IntegralIndefinida
La IntegralDefinida
Propiedades
IntegralesImpropias
Integral IndefinidaArea
El área bajo la curva entre x y x + h es
mayor que el área delrectángulo pequeño(en rojo en la figura)
menor que el área delrectángulo grande (enazul en la figura).
x d c x+h
x d c x+h
Area=h*f(d)
Integración
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La IntegralDefinida
Propiedades
IntegralesImpropias
Integral IndefinidaArea
En consecuencia
h · f (c) ≤ F (x + h)− F (x) ≤ h · f (d)
y dividiendo por h > 0 obtenemos
f (c) ≤ F (x + h)− F (x)
h≤ f (d)
Como c y d están en [x , x + h], cuando h→ 0, por lacontinuidad de f tanto f (c) como f (d) convergen a f (x).Esto nos dice que
F ′(x) = f (x).
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La IntegralDefinida
Propiedades
IntegralesImpropias
Esquema
1 La Integral Indefinida
2 La Integral Definida
3 Propiedades
4 Integrales Impropias
Integración
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La IntegralDefinida
Propiedades
IntegralesImpropias
Integral DefinidaDefinición
Vamos presentar las ideas fundamentales para la definiciónde la Integral Definida o Integral de Riemann a partir de unejemplo concreto.
Supongamos que queremos hallar el área entre el gráficode la función f (x) = x2 y el eje x , y en el intervalo [0,1].
Dividimos el intervalo elintervalo [0,1] ensubintervalos más pequeñosy aproximamos la función porfunciones constantes.
0.0 0.5 1.0
0.0
0.5
1.0
1.5
x
f(x)
Integración
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La IntegralDefinida
Propiedades
IntegralesImpropias
Integral DefinidaDefinición
Dividimos el intervalo [0,1] en cuatro y tomamos como valorde la función aproximante el valor de f en el extremoderecho del intervalo.Estos valores son
f (1/4) =1
16; f (1/2) =
14
; f (3/4) =916
; f (1) = 1
Obtenemos cuatro rectángulos, que cubren el área deinterés y tienen todos base igual a 0.25. El área total es
14
( 116
+14
+916
+ 1)
=1532
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Propiedades
IntegralesImpropias
Integral DefinidaDefinición
Otra posibilidad es tomar rectángulos aproximantes queestén debajo de la curva, usando los valores de la función fen los extremos izquierdos de los intervalos.
Las alturas de los rectángulos son ahora
f (0) = 0,
f (1/4) =116,
f (1/2) =14,
f (3/4) =916 0.0 0.5 1.0
0.0
0.5
1.0
1.5
x
f(x)
Integración
La IntegralIndefinida
La IntegralDefinida
Propiedades
IntegralesImpropias
Integral DefinidaDefinición
y el área total de los rectángulos es
14
(0 +
116
+14
+9
16
)=
732.
Así sabemos que el área bajo la curva y = x2 entre x = 0 yx = 1 está entre (7/32) y (15/32).
Esta no es una buena aproximación para el área que nosinteresa, pero podemos aplicar el mismo principio conintervalos más pequeños y obtenemos cada vez mejoresaproximaciones.
Veamos que ocurre en general si aproximamos tomando nintervalos.
Integración
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Propiedades
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Integral DefinidaDefinición
Cada intervalo tiene longitud 1/n y los extremos serán
0,1n,
2n, . . . ,
n − 1n
,nn
= 1.
Si aproximamos la curva desde arriba, las alturas de losrectángulos aproximantes serán
f (1/n) =1n2 , f (2/n) =
22
n2 , . . . , f (1) = 1
y el área del k -ésimo rectángulo es
1n
k2
n2 , k = 1, . . . ,n,
Integración
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Integral DefinidaDefinición
La suma de estas áreas es
1n3
∑k=1
nk2 =1n3 (1 + 22 + 32 + · · ·+ n2).
Afortunadamente, la suma de la derecha tiene unaexpresión explícita:∑
k=1
nk2 =16
n(n + 1)(2n + 1).
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Integral DefinidaDefinición
En consecuencia el área total de los rectángulos es
1n3
16
n(n + 1)(2n + 1) =16
(1 +
1n
)(2 +
1n
).
Si tomamos el límite de esta cantidad cuando hacemos elnúmero de intervalos tender a infinito obtenemos 1/3.
Es posible hacer un procedimiento similar aproximando conlos rectángulos que quedan por debajo de la gráfica y seobtiene el mismo valor límite.
Como esta segunda aproximación es por debajo, estogarantiza que el área bajo la curva tiene este valor.
Integración
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Propiedades
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Integral DefinidaDefinición
En consecuencia el área total de los rectángulos es
1n3
16
n(n + 1)(2n + 1) =16
(1 +
1n
)(2 +
1n
).
Si tomamos el límite de esta cantidad cuando hacemos elnúmero de intervalos tender a infinito obtenemos 1/3.
Es posible hacer un procedimiento similar aproximando conlos rectángulos que quedan por debajo de la gráfica y seobtiene el mismo valor límite.
Como esta segunda aproximación es por debajo, estogarantiza que el área bajo la curva tiene este valor.
Integración
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IntegralesImpropias
Integral DefinidaDefinición
Veamos ahora el procedimiento general para aproximar elárea bajo una curva.
Sea f una función continua en el intervalo a ≤ x ≤ b. Unapartición P del intervalo [a,b] es una sucesión de números
a = x0 ≤ x1 ≤ · · · ≤ xn = b
Una partición divide el intervalo inicial [a,b] en intervalos demenor tamaño [xi , xi+1].
Si añadimos puntos a una partición ésta se hace más fina.De esta manera la longitud de los intervalos de unasucesión de particiones puede hacerse cada vez máspequeña.
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Integral DefinidaDefinición
Si ci es un punto en el intervalo [xi , xi+1], podemos formarla suma
f (c0)(x1 − x0) + f (c1)(x2 − x1) + · · ·+ f (cn−1)(xn − xn−1)
que se conoce como una suma de Riemann.
Cada f (ci) es la altura de un rectángulo mientras que elfactor (xi − xi−1) es la longitud de la base.
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Propiedades
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Integral DefinidaDefinición
Si ci es el valor de x en el cual se alcanza el máximo en elintervalo [xi , xi+1], usaremos la notación zi en lugar de ci ytenemos que
f (x) ≤ f (zi), para x ∈ [xi , xi+1]
Decimos que la suma
n−1∑i=0
f (zi)(xi+1 − xi)
es una suma superior para la función f en la partición P yusamos la notación
Sba (P, f ).
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Propiedades
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Integral DefinidaDefinición
En lugar del máximo podemos también tomar el mínimo decada intervalo. Llamemos wi ∈ [xi , xi+1] el punto delintervalo en el cual la función alcanza su mínimo, entonces
f (wi) ≤ f (x), para x ∈ [xi , xi+1].
Decimos que la suma
n−1∑i=0
f (wi)(xi+1 − xi)
es una suma inferior para la función f en la partición P yusamos la notación
Iba (P, f ).
Integración
La IntegralIndefinida
La IntegralDefinida
Propiedades
IntegralesImpropias
Integral DefinidaDefinición
A partir def (wi) ≤ f (ci) ≤ f (zi)
y el hecho de que las longitudes de los intervalos sonpositivas obtenemos que
Iba (P, f ) ≤ Sb
a (P, f )
Sea ahora y un punto del intervalo [a,b] que no estáincluido en la partición P y sea Q la partición que seobtiene añadiendo el punto y a P.
Q es un refinamiento de P pues contiene a todos los puntosde P.
Integración
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La IntegralDefinida
Propiedades
IntegralesImpropias
Integral DefinidaDefinición
A partir def (wi) ≤ f (ci) ≤ f (zi)
y el hecho de que las longitudes de los intervalos sonpositivas obtenemos que
Iba (P, f ) ≤ Sb
a (P, f )
Sea ahora y un punto del intervalo [a,b] que no estáincluido en la partición P y sea Q la partición que seobtiene añadiendo el punto y a P.
Q es un refinamiento de P pues contiene a todos los puntosde P.
Integración
La IntegralIndefinida
La IntegralDefinida
Propiedades
IntegralesImpropias
Integral DefinidaDefinición
Es posible demostrar que si Q es un refinamiento de P setienen las siguientes desigualdades
Iba (P, f ) ≤ Ib
a (Q, f ) ≤ Sba (Q, f ) ≤ Sb
a (P, f )
Esto quiere decir que cualquier suma inferior es menor quecualquier suma superior.
Si f es continua en el intervalo [a,b] hay un único númeroque es mayor o igual que todas las sumas inferiores ymenor o igual que todas las sumas superiores.
Integración
La IntegralIndefinida
La IntegralDefinida
Propiedades
IntegralesImpropias
Integral DefinidaDefinición
Es posible demostrar que si Q es un refinamiento de P setienen las siguientes desigualdades
Iba (P, f ) ≤ Ib
a (Q, f ) ≤ Sba (Q, f ) ≤ Sb
a (P, f )
Esto quiere decir que cualquier suma inferior es menor quecualquier suma superior.
Si f es continua en el intervalo [a,b] hay un único númeroque es mayor o igual que todas las sumas inferiores ymenor o igual que todas las sumas superiores.
Integración
La IntegralIndefinida
La IntegralDefinida
Propiedades
IntegralesImpropias
Integral DefinidaDefinición
Este número se conoce como la integral definida o laintegral de Riemann de la función f en el intervalo [a,b]
Usamos la notación ∫ b
af (x) dx
para esta integral.
Integración
La IntegralIndefinida
La IntegralDefinida
Propiedades
IntegralesImpropias
Integral DefinidaDefinición
Si f es una función continua en el intervalo [a,b] y F es unafunción diferenciable en este intervalo cuya derivada es f ,sabemos que ∫ x
af (t) dt = F (x) + C
para todo x en el intervalo. Si ponemos x = a entonces
0 =
∫ a
af (t) dt = F (a) + C
de donde C = −F (a).
Integración
La IntegralIndefinida
La IntegralDefinida
Propiedades
IntegralesImpropias
Integral DefinidaDefinición
Además ∫ b
af (t) dt = F (b) + C
de donde obtenemos∫ b
af (t) dt = F (b)− F (a).
Usamos la notación
F (x)∣∣∣ba
= F (b)− F (a).
Este es un resultado básico y se conoce como el PrimerTeorema Fundamental del Cálculo.
Integración
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La IntegralDefinida
Propiedades
IntegralesImpropias
Integral DefinidaDefinición
Ejemplos
∫ π
0sen x dx = − cos x
∣∣∣π0
= − cosπ − (− cos 0)
= 2
∫ 2
0e−x dx = −e−x
∣∣∣20
= −e−2 − (−e0)
= 1− e−2
Integración
La IntegralIndefinida
La IntegralDefinida
Propiedades
IntegralesImpropias
Integral DefinidaDefinición
Ejemplos
∫ π
0sen x dx = − cos x
∣∣∣π0
= − cosπ − (− cos 0)
= 2
∫ 2
0e−x dx = −e−x
∣∣∣20
= −e−2 − (−e0)
= 1− e−2
Integración
La IntegralIndefinida
La IntegralDefinida
Propiedades
IntegralesImpropias
Esquema
1 La Integral Indefinida
2 La Integral Definida
3 Propiedades
4 Integrales Impropias
Integración
La IntegralIndefinida
La IntegralDefinida
Propiedades
IntegralesImpropias
Integral DefinidaPropiedades
Propiedad 1
A partir de la definición de la integral observamos que sim ≤ f (x) ≤ M para todo x ∈ [a,b] y f es una funcióncontinua en este intervalo, entonces
m(b − a) ≤∫ b
af (x) dx ≤ M(b − a).
En particular, si f (x) ≥ 0 para todo x ∈ [a,b],
0 ≤∫ b
af (x) dx .
Integración
La IntegralIndefinida
La IntegralDefinida
Propiedades
IntegralesImpropias
Integral DefinidaPropiedades
Propiedad 2
Dada la relación existente entre la integral definida y laintegral indefinida, la primera hereda las propiedades quevimos para la integral indefinida. En particular, la integraldefinida es lineal: Si k es una constante y f y g sonfunciones continuas
∫ b
ak · f (x) dx = k
∫ b
af (x) dx∫ b
a(f (x) + g(x)) dx =
∫ b
af (x) dx +
∫ b
ag(x) dx
Integración
La IntegralIndefinida
La IntegralDefinida
Propiedades
IntegralesImpropias
Integral DefinidaPropiedades
Ejemplo
∫ π
0(cos x + 3x2) dx =
∫ π
0cos x dx +
∫ π
03x2 dx
= sen x∣∣∣π0
+ x3∣∣∣π0
= π3
Integración
La IntegralIndefinida
La IntegralDefinida
Propiedades
IntegralesImpropias
Integral DefinidaPropiedades
La integral definida también es aditiva sobre intervalos deintegración.
Supongamos que a < b < c y que la función f es continuaen el intervalo [a, c], entonces∫ c
af (x) dx =
∫ b
af (x) dx +
∫ c
bf (x) dx
Integración
La IntegralIndefinida
La IntegralDefinida
Propiedades
IntegralesImpropias
Integral DefinidaPropiedades
La propiedad anterior sugiere una manera de extender ladefinición de la integral al caso más general de lasfunciones continuas a trozos.
Decimos que la función es continua a trozos en el intervalo[a,b] si existen números
a = a0 < a1 < · · · < an = b
y en cada intervalo [ai−1,ai ] hay una función continua fi(x)tal que
f (x) = fi(x) para ai−1 < x < ai ,
Integración
La IntegralIndefinida
La IntegralDefinida
Propiedades
IntegralesImpropias
Integral DefinidaPropiedades
En la situación descrita en la definición anterior, definimosla integral de f en [a,b] como la suma∫ b
af =
∫ a1
a0
f1 +
∫ a2
a1
f2 + · · ·+∫ an
an−1
fn
Integración
La IntegralIndefinida
La IntegralDefinida
Propiedades
IntegralesImpropias
Integral DefinidaPropiedades
EjemploSea f definida para 0 ≤ x ≤ π por la fórmula
f (x) =
{sen x si 0 ≤ x < π/2,cos x si π/2 ≤ x ≤ π.
Entonces la integral de f entre 0 y π está dada por∫ π
0f (x) dx =
∫ π/2
0sen x dx +
∫ π
π/2cos x dx
= − cos x∣∣∣π/2
0+ sen x
∣∣∣ππ/2
= 0
π 2 π
1
−1
Integración
La IntegralIndefinida
La IntegralDefinida
Propiedades
IntegralesImpropias
Integral DefinidaPropiedades
EjemploHalle el área entre el eje x y la curva y = x(x − 1)(x − 2) enel intervalo [0,1].
0.0 0.5 1.0 1.5 2.0
−0.
50.
00.
5
x
f(x)
Hay dos regiones de interés, que corresponden a losintervalos [0,1] y [1,2]. Sin embargo la función es negativaen el segundo de estos intervalos, así que tomamos el valorabsoluto.
Integración
La IntegralIndefinida
La IntegralDefinida
Propiedades
IntegralesImpropias
Integral DefinidaPropiedades
EjemploHalle el área entre el eje x y la curva y = x(x − 1)(x − 2) enel intervalo [0,1].
0.0 0.5 1.0 1.5 2.0
−0.
50.
00.
5
x
f(x)
Hay dos regiones de interés, que corresponden a losintervalos [0,1] y [1,2]. Sin embargo la función es negativaen el segundo de estos intervalos, así que tomamos el valorabsoluto.
Integración
La IntegralIndefinida
La IntegralDefinida
Propiedades
IntegralesImpropias
Integral DefinidaPropiedades
Calculamos estas dos integrales por separado.
Para calcular las integrales es más sencillo escribir lafunción como f (x) = x3 − 3x2 + 2xLa primera integral es∫ 1
0f (x) dx =
x4
4− x3 + x2
∣∣∣10
=14
y la segunda∫ 2
1f (x) dx =
x4
4− x3 + x2
∣∣∣21
=−14
y el área de las dos regiones es∣∣∣14
∣∣∣+∣∣∣−1
4
∣∣∣ =12.
Integración
La IntegralIndefinida
La IntegralDefinida
Propiedades
IntegralesImpropias
Integral DefinidaPropiedades
Propiedad 3Sean f ,g dos funciones continuas en el intervalo [a,b] ysupongamos que f (x) ≤ g(x) para todo x ∈ [a,b].Entonces ∫ b
af (x) dx ≤
∫ b
ag(x) dx .
Propiedad 4Si f es una función continua en el intervalo [a,b] entonces∣∣∣∣∣
∫ b
af (x) dx
∣∣∣∣∣ ≤∫ b
a|f (x)|dx .
Integración
La IntegralIndefinida
La IntegralDefinida
Propiedades
IntegralesImpropias
Integral DefinidaPropiedades
Propiedad 3Sean f ,g dos funciones continuas en el intervalo [a,b] ysupongamos que f (x) ≤ g(x) para todo x ∈ [a,b].Entonces ∫ b
af (x) dx ≤
∫ b
ag(x) dx .
Propiedad 4Si f es una función continua en el intervalo [a,b] entonces∣∣∣∣∣
∫ b
af (x) dx
∣∣∣∣∣ ≤∫ b
a|f (x)|dx .
Integración
La IntegralIndefinida
La IntegralDefinida
Propiedades
IntegralesImpropias
Integral DefinidaPropiedades
Propiedad 5Sea f continua en [a,b] con |f (x)| ≤ M para todo x en elintervalo. Entonces∣∣∣∣∣
∫ b
af (x) dx
∣∣∣∣∣ ≤ M|b − a|.
Propiedad 6Sea f continua en [a,b], entonces∫ b
af (x) dx = −
∫ a
bf (x) dx
Integración
La IntegralIndefinida
La IntegralDefinida
Propiedades
IntegralesImpropias
Integral DefinidaPropiedades
Propiedad 5Sea f continua en [a,b] con |f (x)| ≤ M para todo x en elintervalo. Entonces∣∣∣∣∣
∫ b
af (x) dx
∣∣∣∣∣ ≤ M|b − a|.
Propiedad 6Sea f continua en [a,b], entonces∫ b
af (x) dx = −
∫ a
bf (x) dx
Integración
La IntegralIndefinida
La IntegralDefinida
Propiedades
IntegralesImpropias
Integral DefinidaPropiedades
Propiedad 7Segundo Teorema Fundamental del CálculoSea f una función continua en el intervalo [a,b] y sea x unpunto en (a,b). Entonces
ddx
∫ x
af (t) dt = f (x).
Integración
La IntegralIndefinida
La IntegralDefinida
Propiedades
IntegralesImpropias
Integral DefinidaPropiedades
Ejemplo
Calculeddx
∫ x
2
t3/2√
t2 + 8.
No es necesario calcular la integral si usamos el TeoremaFundamental del Cálculo.
ddx
∫ x
2
t3/2√
t2 + 8=
x3/2√
x2 + 8
Integración
La IntegralIndefinida
La IntegralDefinida
Propiedades
IntegralesImpropias
Integral DefinidaPropiedades
Ejemplo
Calculeddx
∫ x
2
t3/2√
t2 + 8.
No es necesario calcular la integral si usamos el TeoremaFundamental del Cálculo.
ddx
∫ x
2
t3/2√
t2 + 8=
x3/2√
x2 + 8
Integración
La IntegralIndefinida
La IntegralDefinida
Propiedades
IntegralesImpropias
Integral DefinidaPropiedades
Ejemplo
Calculeddx
∫ 5
x
(sent)5/2√2 + t2 + (cost)2
.
ddx
∫ 5
x
(sent)5/2√2 + t2 + (cost)2
= − ddx
∫ x
5
(sent)5/2√2 + t2 + (cost)2
= − (senx)5/2√2 + x2 + (cosx)2
Integración
La IntegralIndefinida
La IntegralDefinida
Propiedades
IntegralesImpropias
Integral DefinidaPropiedades
Ejemplo
Calculeddx
∫ 5
x
(sent)5/2√2 + t2 + (cost)2
.
ddx
∫ 5
x
(sent)5/2√2 + t2 + (cost)2
= − ddx
∫ x
5
(sent)5/2√2 + t2 + (cost)2
= − (senx)5/2√2 + x2 + (cosx)2
Integración
La IntegralIndefinida
La IntegralDefinida
Propiedades
IntegralesImpropias
Integral DefinidaPropiedades
Ejemplo
Calcule Dx
∫ x2
1(t2 + 5t) dt .
En este caso es necesario usar la regla de la cadena. Laderivada de la integral es el integrando evaluado en x2,mutiplicado por la derivada de x2:
Dx
∫ x2
1(t2 + 5t) dt = (x4 + 5x2)2x .
Integración
La IntegralIndefinida
La IntegralDefinida
Propiedades
IntegralesImpropias
Integral DefinidaPropiedades
Ejemplo
Calcule Dx
∫ x2
1(t2 + 5t) dt .
En este caso es necesario usar la regla de la cadena. Laderivada de la integral es el integrando evaluado en x2,mutiplicado por la derivada de x2:
Dx
∫ x2
1(t2 + 5t) dt = (x4 + 5x2)2x .
Integración
La IntegralIndefinida
La IntegralDefinida
Propiedades
IntegralesImpropias
Integral DefinidaPropiedades
Si tenemos un conjunto de n números y1, . . . , yn, supromedio está definido por
y =1n
(y1 + y2 + · · ·+ yn)
¿Cómo podemos definir el valor promedio para una funciónf en un intervalo [a,b]?
Tomemos una partición regular de [a,b]:
a = x0 < x1 < x2 < · · · < xn−1 < xn = b
en la cual todos los intervalos tienen ancho común∆x = (b − a)/n.
Integración
La IntegralIndefinida
La IntegralDefinida
Propiedades
IntegralesImpropias
Integral DefinidaPropiedades
Si tenemos un conjunto de n números y1, . . . , yn, supromedio está definido por
y =1n
(y1 + y2 + · · ·+ yn)
¿Cómo podemos definir el valor promedio para una funciónf en un intervalo [a,b]?
Tomemos una partición regular de [a,b]:
a = x0 < x1 < x2 < · · · < xn−1 < xn = b
en la cual todos los intervalos tienen ancho común∆x = (b − a)/n.
Integración
La IntegralIndefinida
La IntegralDefinida
Propiedades
IntegralesImpropias
Integral DefinidaPropiedades
El promedio de los valores f (x1), f (x2), . . . , f (xn) es
1n
(f (x1) + · · ·+ f (xn)) =1n
n∑i=1
f (xi)
=n∑
i=1
f (xi)(b − a)
n1
(b − a)
=1
b − a
n∑i=1
f (xi)∆x
y si hacemos el tamaño de la partición n ir a infinito
→ 1b − a
∫ b
af (x) dx
Integración
La IntegralIndefinida
La IntegralDefinida
Propiedades
IntegralesImpropias
Integral DefinidaPropiedades
Esto sugiere la siguiente definición.
DefiniciónSi f es integrable en el intervalo [a,b], el valor promedio def en [a,b] es
1b − a
∫ b
af (x) dx
Integración
La IntegralIndefinida
La IntegralDefinida
Propiedades
IntegralesImpropias
Integral DefinidaPropiedades
Ejemplo
Suponga que la temperatura de una barra metálica delongitud 2 metros depende de la distancia X del punto auno de los extremos según la función
T (x) = 40 + 20x(2− x).
Determine la temperatura promedio de la barra. ¿Existealgún punto en donde la temperatura sea igual a latemperatura promedio?
Integración
La IntegralIndefinida
La IntegralDefinida
Propiedades
IntegralesImpropias
Integral DefinidaPropiedades
La temperatura promedio está dada por
12
∫ 2
0(40 + 20x(2− x)) dx =
∫ 2
0(20 + 20x + 10x2) dx
=(
20x + 10x2 − 103
x3∣∣∣20
=(
40 + 40− 803
)=
1603.
0.0 0.5 1.0 1.5 2.0
020
4060
x
T(x
)
Integración
La IntegralIndefinida
La IntegralDefinida
Propiedades
IntegralesImpropias
Integral DefinidaPropiedades
Para ver si hay algún punto en el cual la temperatura de labarra sea igual a la temperatura promedio tenemos queresolver
40 + 20x(2− x) =160
3que equivale a
x2 − 2x +23
= 0
y las soluciones a esta ecuación son
1±√
33
Integración
La IntegralIndefinida
La IntegralDefinida
Propiedades
IntegralesImpropias
Integral DefinidaPropiedades
Teorema del Valor Medio para IntegralesSi f es una función continua en el intervalo [a,b], existec ∈ (a,b) tal que
f (c) =1
b − a
∫ b
af (x) dx
Este resultado se escribe con frecuencia como
f (c)(b − a) =
∫ b
af (x) dx
Integración
La IntegralIndefinida
La IntegralDefinida
Propiedades
IntegralesImpropias
Integral DefinidaPropiedades
Teorema del Valor Medio para IntegralesSi f es una función continua en el intervalo [a,b], existec ∈ (a,b) tal que
f (c) =1
b − a
∫ b
af (x) dx
Este resultado se escribe con frecuencia como
f (c)(b − a) =
∫ b
af (x) dx
Integración
La IntegralIndefinida
La IntegralDefinida
Propiedades
IntegralesImpropias
Integral DefinidaPropiedades
EjemploDetermine todos los valores de c que satisfacen el teoremadel valor medio para integrales para la funciónf (x) = 1/(x + 1)2 en el intervalo [0,2].
La longitud del intervalo es 2 y el valor de la integral es∫ 2
0
1(x + 1)2 dx =
−1(x + 1)
∣∣∣20
=(− 1
3+ 1)
=23
Dividiendo por la longitud del intervalo obtenemos
1b − a
∫ b
af (x) dx =
13
Integración
La IntegralIndefinida
La IntegralDefinida
Propiedades
IntegralesImpropias
Integral DefinidaPropiedades
EjemploDetermine todos los valores de c que satisfacen el teoremadel valor medio para integrales para la funciónf (x) = 1/(x + 1)2 en el intervalo [0,2].
La longitud del intervalo es 2 y el valor de la integral es∫ 2
0
1(x + 1)2 dx =
−1(x + 1)
∣∣∣20
=(− 1
3+ 1)
=23
Dividiendo por la longitud del intervalo obtenemos
1b − a
∫ b
af (x) dx =
13
Integración
La IntegralIndefinida
La IntegralDefinida
Propiedades
IntegralesImpropias
Integral DefinidaPropiedades
Para ver en cuales puntos c la función toma este valortenemos que resolver la ecuación
f (c) =1
(c + 1)2 =13
o seac2 + 2c + 1 = 3
que tiene soluciones −1±√
3.La solución −1−
√3 es negativa y por lo tanto cae fuera
del intervalo que estamos considerando.En cambio −1 +
√3 ≈ 0.73205 si está en el intervalo y es el
único punto en el cual se satisface el TVM para integrales.
Integración
La IntegralIndefinida
La IntegralDefinida
Propiedades
IntegralesImpropias
Esquema
1 La Integral Indefinida
2 La Integral Definida
3 Propiedades
4 Integrales Impropias
Integración
La IntegralIndefinida
La IntegralDefinida
Propiedades
IntegralesImpropias
Integrales ImpropiasVamos a considerar la integral de la función f (x) = 1/xpara x cerca de 0.
−0.5 0.0 0.5 1.0
02
46
810
1 x
Integración
La IntegralIndefinida
La IntegralDefinida
Propiedades
IntegralesImpropias
Integrales Impropias
Sea 0 < x < 1, tenemos la integral∫ 1
x
1t
dt = log t∣∣∣1x
= − log x
Por lo tanto, a medida que x se acerca a 0, el valor de log xse hace muy grande negativo y el valor del área, que es− log x , se hace muy grande positivo.
En este caso decimos que el área bajo la curva entre 0 y 1es infinita.
Integración
La IntegralIndefinida
La IntegralDefinida
Propiedades
IntegralesImpropias
Integrales ImpropiasUna situación distinta ocurre si consideramos otra función,f (x) = 1/
√x , que tiene características similares a 1/x .
−0.5 0.0 0.5 1.0
02
46
810
1 x
Integración
La IntegralIndefinida
La IntegralDefinida
Propiedades
IntegralesImpropias
Integrales Impropias
Si tomamos x > 0 y calculamos la integral∫ 1
x
1√t
dt =t1/2
1/2
∣∣∣1x
= 2− 2x1/2.
Si hacemos x tender a 0 el área tiende a 2, aún cuando lafunción 1/
√x no está acotada cerca de 0 y no está definida
en ese punto.
En una situación como esta decimos que la integral∫ 1
0
1√t
dt
converge o existe, aún cuando la función no está definidaen 0 y no es continua en el intervalo cerrado [0,1].
Integración
La IntegralIndefinida
La IntegralDefinida
Propiedades
IntegralesImpropias
Integrales Impropias
Si tomamos x > 0 y calculamos la integral∫ 1
x
1√t
dt =t1/2
1/2
∣∣∣1x
= 2− 2x1/2.
Si hacemos x tender a 0 el área tiende a 2, aún cuando lafunción 1/
√x no está acotada cerca de 0 y no está definida
en ese punto.
En una situación como esta decimos que la integral∫ 1
0
1√t
dt
converge o existe, aún cuando la función no está definidaen 0 y no es continua en el intervalo cerrado [0,1].
Integración
La IntegralIndefinida
La IntegralDefinida
Propiedades
IntegralesImpropias
Integrales Impropias
−0.5 0.0 0.5 1.0
02
46
810
1 x
−0.5 0.0 0.5 1.0
02
46
810
1 x
Integración
La IntegralIndefinida
La IntegralDefinida
Propiedades
IntegralesImpropias
Integrales Impropias
Supongamos que tenemos un intervalo [a,b] y f es unafunción continua en (a,b]. Entonces existe la integral∫ b
a+hf (x) dx
para cualquier h > 0 tal que a + h < b.
Si F es una integral indefinida para f en este intervalo,∫ b
a+hf (x) dx = F (b)− F (a− h)
Integración
La IntegralIndefinida
La IntegralDefinida
Propiedades
IntegralesImpropias
Integrales Impropias
Si el límite limh→0 F (a + h) = F (a+) existe, decimos que laintegral impropia ∫ b
af (x) dx
existe y es igual a F (b)− F (a+).
Hay una definición similar en el caso de un intervalo [a,b) yuna función f continua en este intervalo. Si el límite
limh→0+
∫ b−h
af (x) dx
existe, decimos que la integral impropia existe y vale lo quevale el límite.
Integración
La IntegralIndefinida
La IntegralDefinida
Propiedades
IntegralesImpropias
Integrales Impropias
Si el límite limh→0 F (a + h) = F (a+) existe, decimos que laintegral impropia ∫ b
af (x) dx
existe y es igual a F (b)− F (a+).
Hay una definición similar en el caso de un intervalo [a,b) yuna función f continua en este intervalo. Si el límite
limh→0+
∫ b−h
af (x) dx
existe, decimos que la integral impropia existe y vale lo quevale el límite.
Integración
La IntegralIndefinida
La IntegralDefinida
Propiedades
IntegralesImpropias
Integrales Impropias
Hay un segundo tipo de integral impropia, en el cual lafunción está definida en un intervalo infinito.
Sea a ∈ R y f una función continua definida para x ≥ a.Consideremos la integral∫ b
af (x) dx
para algún b > a.
Si F es una integral indefinida de f , la integral vale
F (b)− F (a).
Integración
La IntegralIndefinida
La IntegralDefinida
Propiedades
IntegralesImpropias
Integrales Impropias
Si al hacer b →∞ esta expresión converge a un límite finitoL:
limb→∞
F (b)− F (a) = L
definimos la integral impropia∫ ∞a
f (x) dx
como el valor L de este límite y decimos que la integralimpropia converge o existe:∫ ∞
af (x) dx = L
Integración
La IntegralIndefinida
La IntegralDefinida
Propiedades
IntegralesImpropias
Integrales Impropias
Ejemplo
Determine si la integral impropia∫ ∞1
1x
dx
converge, y en caso afirmativo, halle su valor.
Para cualquier b > 1 tenemos∫ b
1
1x
dx = log b − log 1 = log b
A medida que b →∞, log b tambien tiende a infinito y laintegral impropia no converge.
Integración
La IntegralIndefinida
La IntegralDefinida
Propiedades
IntegralesImpropias
Integrales Impropias
Ejemplo
Determine si la integral impropia∫ ∞1
1x
dx
converge, y en caso afirmativo, halle su valor.
Para cualquier b > 1 tenemos∫ b
1
1x
dx = log b − log 1 = log b
A medida que b →∞, log b tambien tiende a infinito y laintegral impropia no converge.
Integración
La IntegralIndefinida
La IntegralDefinida
Propiedades
IntegralesImpropias
Integrales Impropias
Ejemplo
Determine si la integral impropia∫∞
11x2 dx converge, y en
caso afirmativo, halle su valor.
Para cualquier b > 1 tenemos∫ b
1
1x2 dx =
−1x2
∣∣∣b1
= −1b
+ 1.
A medida que b →∞, 1/b tiende a cero y la integralimpropia converge a 1:∫ ∞
1
1x2 dx = 1.
Integración
La IntegralIndefinida
La IntegralDefinida
Propiedades
IntegralesImpropias
Integrales Impropias
Ejemplo
Determine si la integral impropia∫∞
11x2 dx converge, y en
caso afirmativo, halle su valor.
Para cualquier b > 1 tenemos∫ b
1
1x2 dx =
−1x2
∣∣∣b1
= −1b
+ 1.
A medida que b →∞, 1/b tiende a cero y la integralimpropia converge a 1:∫ ∞
1
1x2 dx = 1.
Integración
La IntegralIndefinida
La IntegralDefinida
Propiedades
IntegralesImpropias
Integrales Impropias
0 20 40 60 80 100
0.0
0.4
0.8
1 x
0 20 40 60 80 100
0.0
0.4
0.8
1 x2
Integración
La IntegralIndefinida
La IntegralDefinida
Propiedades
IntegralesImpropias
Integrales ImpropiasPropiedades
Propiedad 8
Sean f y g dos funciones continuas y positivas definidaspara x ≥ a. Supongamos que
f (x) ≤ g(x)
Entonces ∫ ∞a
g(x) dx <∞ ⇒∫ ∞
af (x) dx <∞
y ∫ ∞a
f (x) dx =∞ ⇒∫ ∞
ag(x) dx =∞
Integración
La IntegralIndefinida
La IntegralDefinida
Propiedades
IntegralesImpropias
Integrales Impropias
Ejemplo
Determine si la integral impropia∫∞
1x
x3+1 dx converge
En lugar de evaluar la integral observamos que para x ≥ 1,x3 ≤ x3 + 1 y en consecuencia
xx3 + 1
≤ xx3 =
1x2
Todas las funciones que estamos considerando sonpositivas y ya vimos que la integral de 1/x2 es convergente.Por lo tanto ∫ ∞
1
xx3 + 1
dx
converge.
Integración
La IntegralIndefinida
La IntegralDefinida
Propiedades
IntegralesImpropias
Integrales Impropias
Ejemplo
Determine si la integral impropia∫∞
1x
x3+1 dx converge
En lugar de evaluar la integral observamos que para x ≥ 1,x3 ≤ x3 + 1 y en consecuencia
xx3 + 1
≤ xx3 =
1x2
Todas las funciones que estamos considerando sonpositivas y ya vimos que la integral de 1/x2 es convergente.Por lo tanto ∫ ∞
1
xx3 + 1
dx
converge.
Integración
La IntegralIndefinida
La IntegralDefinida
Propiedades
IntegralesImpropias
Integrales Impropias
También es posible definir integrales impropias sobre losreales negativos.
Si b ∈ R y f es una función continua para x ≤ b, definimosla integral ∫ b
−∞f (x) dx
como el límite
lima→−∞
∫ b
af (x) dx
si este límite existe.
Integración
La IntegralIndefinida
La IntegralDefinida
Propiedades
IntegralesImpropias
Integrales Impropias
Ejemplo
Encuentre, si existe,∫ 0
−∞xe−x2
dx .
∫ 0
axe−x2
dx =(− 1
2e−x2
∣∣∣0a
= −12(1− e−a2)
Por lo tanto,∫ 0
−∞xe−x2
dx = lima→−∞
−12(1− e−a2)
= −12
Decimos que la integral converge y vale −1/2.
Integración
La IntegralIndefinida
La IntegralDefinida
Propiedades
IntegralesImpropias
Integrales Impropias
Ejemplo
Encuentre, si existe,∫ 0
−∞xe−x2
dx .
∫ 0
axe−x2
dx =(− 1
2e−x2
∣∣∣0a
= −12(1− e−a2)
Por lo tanto,∫ 0
−∞xe−x2
dx = lima→−∞
−12(1− e−a2)
= −12
Decimos que la integral converge y vale −1/2.
Integración
La IntegralIndefinida
La IntegralDefinida
Propiedades
IntegralesImpropias
Integrales Impropias
DefiniciónSi ∫ 0
−∞f (x) dx y
∫ ∞0
f (x) dx
convergen, decimos que∫ ∞−∞
f (x) dx existe y vale
∫ ∞−∞
f (x) dx =
∫ 0
−∞f (x) dx +
∫ ∞0
f (x) dx .
En caso contrario decimos que la integral no existe.
Integración
La IntegralIndefinida
La IntegralDefinida
Propiedades
IntegralesImpropias
Integrales Impropias
EjemploDetermine si la integral
∫∞−∞ e−|x |dx existe y en caso
afirmativo, halle su valor.
∫ ∞−∞
e−|x |dx =
∫ 0
−∞e−|x |dx +
∫ ∞0
e−|x |dx
=
∫ 0
−∞exdx +
∫ ∞0
e−xdx
= (ex ∣∣0−∞ + (−e−x ∣∣∞
0
= 2.
Integración
La IntegralIndefinida
La IntegralDefinida
Propiedades
IntegralesImpropias
Integrales Impropias
EjemploDetermine si la integral
∫∞−∞ e−|x |dx existe y en caso
afirmativo, halle su valor.
∫ ∞−∞
e−|x |dx =
∫ 0
−∞e−|x |dx +
∫ ∞0
e−|x |dx
=
∫ 0
−∞exdx +
∫ ∞0
e−xdx
= (ex ∣∣0−∞ + (−e−x ∣∣∞
0
= 2.
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