cycle préparatoire semestre s2 moduleoptique
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CyclePréparatoireSemestreS2Module OptiquePr.AAMOUCHEAhmedUniversitéCadiAyyadENSAMarrakech2018-2019
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Conseilsàsuivrepourunemeilleureassimilationdececours
• Cecoursestorganisésousformede3chapitresprincipaux.Ilseraalimentéaufuretàmesuredel'avancementducoursenprésentiel(voirsiteweb:http://aamouche.e-monsite.com ).
• LesupportPDF, nepeutenaucuncasêtreunealternativeàlaprésence desétudiantsinscritsdanscemodule.
• Lesétudiantssontinvitésàenrichirleforumenlignepourdiscuteretéchangerlesidéesautourdesconceptsqu’introduitcecours.
• Lecoursreprendsl’essentieldesrésolutionsmathématiquesdesdifférentesdémonstrations,lesétudiantsdevrontpareux-mêmesêtrecapabledereproduirelespassages.
• LasélectiondesTDsproposéecomplètelaconceptionoptiqueetlesétudiantsdoivents’inspirerdansletraitementd’autrescasd’étude. 2
SommaireChapitreI GénéralitésHistorique,AspectsCorpusculaireetOndulatoire:spectrelumineux- notionsd'ondes-notionsd'amplitude,defréquence,d’énergie,d'intensitéetdepuissanced'uneonde-équationsdeMaxwelletéquationsd'onde- vitessedelalumière- indicederéfraction.
ChapitreII L’OptiquegéométriqueLoisderéfractionetderéflexion,Dioptres,Miroirs,StigmatismeetAplanétisme,Systèmesoptiques:rayonlumineux- domainedevaliditédel'optiquegéométrique-milieuxnonhomogènes,applicationauxfibresoptiques,lumièresmonochromatique- lumièrepolychromatique- approximationdeGauss-aberrations- élémentsdessystèmesoptiques–dispersion- systèmecentrésdansl'approximationdeGauss- applicationauxlentilles-instrumentsoptiques.
ChapitreIII L’OptiqueondulatoirePolarisation,InterférencesetDiffraction:Conditiond'obtentiond'interférencesdedeuxondes- fentes- expérienced'Young-miroirsdeFresnel,bi-lentillesdeBillet,biprismedeFresnel- sourceslarges,lamesminces,coind'air,anneauxgénérauxd'interférencedeplusieursondescomprenantnotammentladiffractiondeFraunhofer,lesréseauxetlesfentesmultiples. 3
Chapitre1:GénéralitésHistoriqueDéfinition:L’optique(dugrec«Optikê »:vision)estunesciencedontlesfondementsontétéétablisavantle20ième siècle.C’estunebranchedel’électromagnétisme.
ObservationdesphilosophesLaGrèceAntique:Pythagore,Démocrite,Empédocle,Platon,Aristote,Euclide,Héron,Aristophane,Clèomède,Ptolémée,Sénèque….
4
Chapitre1:GénéralitésQuelquesnomsetdates:IbnSahl 940-1000Ibnal-Haitham(Alhazen)965-1040Kepler1571-1630Snell 1591-1626Descartes 1596-1650Fermat 1601-1665Hooke1635-1703Newton 1642-1727Huygens 1629-1695Young 1773-1829Fresnel 1788-1827Malus 1775-1812Maxwell 1831-1879Hertz 1857-1894
Lumière???5
Chapitre1:GénéralitésNaissancedel’optiquequantique
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Chapitre1:GénéralitésDébathistoriquesurl’aspectondulatoireetl’aspectcorpusculairedelalumière:iln’aprisfinqu’avecl’arrivéedelaphysiquequantique.
Danscecoursnousnousrestreindronsàlathéorieondulatoire.ThéoriecorpusculaireàtraiterdansleprogrammeCP2/ModulePhysiqueModerne
Pourunaperçuallervisiterhttp://toutestquantique.fr
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Chapitre1:GénéralitésCaractéristiquesondulatoiresdelumière :Ondesélectromagnétiques(champsélectriqueetmagnétique)dontlalongueurd’ondecorrespondaudomainedesensibilitédel’œil.
Dansunmilieuisotrope,homogène,linéaireetisolant(voircoursélectromagnétisme),onécritleséquationsdeMaxwellsouslaforme:
Aprèsrésolution,ontrouve:
oùV estlavitessedepropagation
etn l’indicederéfractiondanscemilieu
72 Les équations de Maxwell dans les milieux
En utilisant la même démarche que dans le chapitre précédent, on peut montrer que lechamp électrique et le champ magnétique satisfont les équations de propagation suivantes :
�E ≠ 1V 2
ˆ2E
ˆt2 = ≠æ0 (6.39)
�B ≠ 1V 2
ˆ2B
ˆt2 = ≠æ0 (6.40)
où la vitesse de propagation de l’onde est :
V = 1Ôµ0µrÁ0Ár
= 1Ôµ0Á0
ÔµrÁr
= c
n(6.41)
n = ÔµrÁr est l’indice de réfraction (ou indice optique) du milieu. Dans les milieux réels
n est constant pour les grandes longueurs d’onde, tandis que pour les hautes fréquencesil faut faire intervenir le phénomène de dispersion qui entraîne une dépendance de n avecla fréquence.
Dans la plupart des diélectriques µr = 1, d’où n = ÔÁr.
On peut également montrer que l’impédance caractéristique d’un tel milieu peuts’écrire :
Z = Z0n
(6.42)
où Z0 est l’impédance caractéristique du vide.
6.4 ExercicesDiélectriques
Exercice 1 : Modèle de Thomson et polarisation induiteDans le modèle de l’atome de J.J Thomson, un atome d’hydrogène est représenté
par un noyau de charge e occupant une sphère de rayon R avec une densité de chargeconstante. L’électron de charge ≠e se déplace à l’intérieur de cette sphère.
1. Quelle est la force subie par l’électron ? Quelle est sa position d’équilibre ?2. On applique un champ E0 uniforme et on suppose que le noyau reste immobile.
Quelle force supplémentaire entraîne ce champ ? En admettant que ce champ estseul responsable de la polarisation de l’atome, montrer que le moment dipolairepeut se mettre sous la forme p = –Á0E0. – est la polarisation de l’atome. Quelle estsa dimension, quelle est son ordre de grandeur ?
3. Pour quelle valeur de E0, l’atome est-il ionisé ?
Exercice 2 : Trouver la polarisation P dans un milieu diélectrique, homogène et isotropeavec Ár = 2.8 et D = 3.0 ◊ 10≠7 u (C m≠2).
Exercice 3 : Déterminer la valeur de E dans un milieu dont la susceptibilité électriqueest 3.5 , avec P = 2.3 ◊ 10≠7 u (C m≠2).
Exercice 4 : Trouver les valeurs de E, P et ‰e dans un diélectrique avec Ár = 3.6 etD = 285 nC m≠2.
H. Djelouah
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PrérequisenparallèledansleModule ElectromagnétismeCP1SemestreS2
∇.E= 0
∇.B= 0
∇×E= −
∂B
∂t∇×B= µε
∂E
∂t
ΔE−1V 2
∂2E
∂t2= 0
ΔB−1V 2
∂2B
∂t2= 0
n = µrεr
Chapitre1:GénéralitésSolution complexedel’équationd’onde:Ondeélectromagnétique
Lechampmagnétiqueestenpermanenceperpendiculaireauchamp électriqueetauvecteurd’ondek=kex,letrièdre(k, E, B) étantdirectetl’amplitudeduchampmagnétiquevérifieB0 = E0/V
Cetteondediteplaneprogressivesepropagedansladirectiondel’axe(Ox);elleapourvecteurd’ondek,pourpulsationω etpourvitessedepropagation(ditedephase)V = c/n.
LesexpressionsE etB sontévidemmentdesnotationscomplexes,dépourvuesdesensphysique,àremplacerparleschampsélectriqueetmagnétiqueréels,à savoirRe (E)etRe (B)
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E =E 0 exp j(ωt − kx)[ ]
B = n
cex ×E 0 exp j(ωt − kx)[ ]
PlusdedétailsdansleModule PhysiquedesOndesCP2SemestreS3
Chapitre1:GénéralitésMilieutransparent:pasd’absorptiondelalumière.Milieuhomogèneetisotrope:lalumièresecomportedelamêmemanièrequelsquesoientlepointdumilieuetsadirection.
Dansuntelmilieu,lalumièresepropageenlignedroiteetsavitessedepropagationVestconstante(V ≤ c).
Cemilieuestcaractériséparsonindicen quiestlerapportentrelavitessedelalumièredanslevideestcelledanscemilieu.
Lavitessedelalumièrevarieenfonctiondumilieutraversé
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Considéronslecassimpled’uneonde(ψ=E ouB)harmonique (monochromatique)Lavaleurmaximaledeψ étantA ditAmplitude
Pourdécrireuneondeprogressivesedéplaçantdansladirectiondesxpositifs,àlavitesseV,oneffectuelatransformationxàx-Vt :
L’ondeψ estdoublementpériodiquedansl’espaceetdansletemps:lapériodespatialeestlalongueurd’ondeλ (longueurd’uncycle)etlapériodetemporelleT.
Chapitre1:Généralités
11
ψ(x, t)t=0 =ψ(x) = Asinkx = f (x)
ψ(x, t) = Asink(x −Vt) = f (x −Vt)
Puisquel’argumentdelafonctionsinusest2π:kλ=2π etkVT=2π
Donc k=2π/λ et T=λ/VSachantquelafréquenceν=1/T,ontrouvelavitesseV=νλLapulsation ω=2πν=2π/Tsoit ω=2πV/λ=kVλ =V.T = (c/n)T donclalongueurd’ondedelalumièrechangelorsqu’ellepassed’unmilieuàunautre(maislafréquence ;ν=V/λ,nechangepas).
Chapitre1:Généralités
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A
ψ
-A
ψ périodeλ
périodeλ
A
-Ax
ψ(x, t) =ψ(x ±λ, t)ψ(x, t) =ψ(x, t ±T )
période T
période T
Onappellephasedel’ondemonochromatiquelaquantité:Surfaceéquiphase :ensembledepointspossédantlamêmephaseϕ=ctePouruneondeplanelessurfaceséquiphases sontdesplans
Pourl’ondeplane,lesplanséquiphases sontorthogonaux àladirectiondepropagationLaphases’écritcomme:
avec
et onretrouvel’expression
Chapitre1:Généralités
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ϕ0 phase à l’origine
Variationtemporelle aupointx=0
ϕ(x, t) =ω.(t − xV)+ϕ0
ψ(x,t)
ψ(0, t) = Acos(ωt +ϕ0 )
Equation du vecteur d’onde
ϕ(r, t) =ωt −k.r +ϕ0
r =OM
= x.ex + y.ey + z.
ez
L’ondeélectromagnétiquetransportel’énergiedepuislasource:parexemplelesrayonssolairesvoyagentdesmillionsdekmpouratteindrelaterreentransportantl’énergieémiseparlasource.Ladensitéd’énergieduchampélectriqueE estdonnéepar(exempleparuncondensateur):
aussiégaleàladensitéd’énergieportéeparlechampmagnétiqueB :
L’énergiequisepropagedansl’espacesousformed’ondeélectromagnétiqueestrépartiedefaçonégaleentreleschampsE etB.
Ladensitéd’énergietotaleportéeparl’ondeestdonc:
onretrouvelarelation
Chapitre1:Généralités
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Front d’onde ou Surface équiphase
VecteurdePoynting
uE =ε02E 2
uE = uB =12µ0
B2
u = uE +uB =ε02E 2 +
12µ0
B2
E =VB u = ε0E2 =
B2
µ0
R=1µ0E×B
Lalumièretransportedel’énergieavecundébitappeléfluxlumineuxφ oupuissanceoptiqueP.Elles’exprimeenWatt(W).L’intensitéoptiqueouéclairement estlapuissancetransportéeparunitédesurface. Ils’exprimeenWattparunitédesurface(W/m2):
Pouruneondeplanemonochromatiquedansunespacelibreetisotrope:
L’éclairementestdonnépar:
Chapitre1:Généralités
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ξ =dφdS
=uVΔtAΔtA
= uV =VB2
µ0=EBµ0
Surface traverséeA
NormeduvecteurdePoyntingR
Distance traverséeVΔt
ξ = R
=1µ0E×B=EBµ0
E =E 0 cos(k
.r−ωt) B
= B0 cos(k
.r−ωt)
ξ (r, t) = 1
µ0E(r, t)×B(r, t)
ξ (r, t) = n
cµ0
2
E(r,t)
Front d’onde ouSurface équiphase
Lesdétecteursélectromagnétiquespossèdentdestempsderéponseτ trèslongdevantlapérioded’oscillationdelalumière.Parexemple:l’œilhumainτ=0.05s,laphotodiodeτ≥10-10 sSachantquelapériodedelalumièrevisibleT ≈10-15s,lesoscillationsserontdonctrèsrapidespourêtredétectés. Ledétecteurn’estsensiblequ’àlavaleurmoyennetemporelledel’éclairement.SoitDonc
Etpouruneondeplane:
Chapitre1:Généralités
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ξ ∝ cos2(k.r −wt)
Puisquelapériodedeξ estT/2Pourcalculerlamoyennesurτ>T/2,ilsuffitdelacalculerpendantT/2:Paruncalculvisuel cos2ωt = 1
2
τ
ξ(r,t) =
1τ
ξ (r, t)dt
0
τ
∫
τ
ξ(r,t) =
T /2ξ(r,t) = ξ(r
,t) =
2T
ξ (r, t)dt
0
T /2
∫
ξ(r,t) =
ncµ0
2T
E(r, t)
2dt
0
T /2
∫
Lecalculdeladernièreintégrale:
L’éclairementestdoncproportionnelaucarrédel’amplitudeduchampélectrique quiportel’onde
LapuissanceoptiqueP rayonnéeparl’ondeélectromagnétiqueàtraversunesurfaceA,quis’exprimecommelefluxduvecteurR:
Onsecontentedecalculerlamoyennedecettegrandeur<P>caraucundétecteurnepeutsuivredes évolutionsaussirapides:
Lapuissancemoyennetransportéeparuneonde électromagnétique
Chapitre1:Généralités
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E(r, t)
2dt
0
T /2
∫ = E02 cos2(ωt − k
.r)
0
T /2∫ dt
=E02
21+ cos(2ωt − 2k
.r)#
$%&0
T /2∫ dt
=E02
2t + 1
2ω sin(2ωt − 2k.r)#
$%&0T /2
=TE0
2
4ξ = RT=2ncµ0T
TE02
4
ξ =nE0
2
2cµ0=ncε0E0
2
2 P = R.ndS(A)∫∫
P = R .ndS(A)∫∫ =
nA2µ0c
2 Re(E.E*)
Champcomplexe:
Sanorme
Enfinall’éclairementest:
Rappel surlesnotationscomplexes:
Chapitre1:Généralités
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E(r, t) = E0e
j (ωt−k . r )e
E(r, t).E
*(r, t) = E0
2
ξ (r, t) = KE02 =
KE(r, t).E
*(r, t)
K E(r, t).E
*(r, t)
τ
!
"#
$#
z = re jθ = x + jy = r(cosθ + j sinθ )
z* = re− jθ = x − jy = r(cosθ − j sinθ )
x =Re(z) = 12 (z+ z
*) = rcosθ
y = Im(z) = 12 j (z− z
*) = rsinθ
z
Cas d’oscillations normales
Cas d’oscillations rapides
• Doubleaspect(ondulatoireetcorpusculaire)delalumière.• Danscecoursnousnousrestreindronsàlathéorieondulatoire.• Lalumièreestuneondeélectromagnétiquecaractériséeparunepulsation,unvecteurd’onde,unelongueurd’ondeetunevitessedepropagationdépendantdumilieu.
• Prérequis:l’électromagnétisme• Continuité:ondesetmécaniquequantique
• L’équationd’onde:• 1ere Solution:OndePlane• L’éclairement:
• 2eme Solution:OndeSphérique
• Casgénéraldefluctuationsrapides:
Chapitre1:Résumé
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ΔE−1V 2
∂2E
∂t2= 0
ξ (r, t) = n
cµ0
2
E(r,t)
E(r, t) = E0e
j (ωt−k . r )e
ξ(r,t) =
ncµ0
2T
E(r, t)
2dt
0
T /2
∫
E(r, t) = A0
re j (ωt−k.r )e
• LienInternetpourcecours:• http://aamouche.e-monsite.com
• Ouvrages:• COURSDEPHYSIQUEOptique.AuteursJean-PaulParisot,PatriciaSegonds,SylvieLeBoiteux.2eédition(2003)Dunod,CollectionSciencesSup, ISBN2100068466
• OptiqueI:Optiquegéométrique.Auteurs:Soumetal.,TravauxDirigés1ercycle,HachetteSupérieur,ISBN:9782010179655
• Optiquegéométriqueetondulatoire.2ème édition(2000),Auteur:HubertLumbroso, Editeur:Dunod,Collection:J'intègre,ISBN:2-10-005006-0.
• Optique.4ieme Edition(2002),Auteur:EugeneHecht,EditionPearsonEducation,ISBN2-7440-7063-7
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