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DAS WASSERSTOFFSPEKTRUM
Die Geschichte einer genialen Ideein der Physik des 20. Jahrhunderts
Matthias Brack
Universitat Regensburg
Akademie der Gesellschaft fur Erwachsenenbildung
“Haus der Begegnung”, Regensburg, 23. Februar 2010
Basel, anno 1884: Ein Schullehrer studiert das Licht der Sonne ...
Basel, anno 1884: Ein Schullehrer studiert das Licht der Sonne ...
Die verschiedenen Farben entprechenverschiedenen Wellenlangen des Lichts(“Fourier-Zerlegung”!)Wenn man genau hinschaut, erkenntman im Farbspektrum des Sonnenlichtsdunkle Lucken
Basel, anno 1884: Ein Schullehrer studiert das Licht der Sonne ...
Die verschiedenen Farben entprechenverschiedenen Wellenlangen des Lichts(“Fourier-Zerlegung”!)Wenn man genau hinschaut, erkenntman im Farbspektrum des Sonnenlichtsdunkle Lucken
Joseph von Fraunhofer(*1787 in Straubing, †1826 in Munchen)hatte bereits 1814 diese Lucken (“dunkleLinien”) entdeckt
Licht als elektromagnetische Welle
Wellenlange: λ = Abstand zwischen Wellenbergen (oder -talern)
Frequenz: ν = Zahl der Wellenberge (oder -taler) pro Zeiteinheit
Geschwindigkeit: c = λ ν = 2.9979 · 108 ms−1 (im Vakuum)
c ist eine universelle Naturkonstante!
Licht als elektromagnetische Welle
Wellenlange: λ = Abstand zwischen Wellenbergen (oder -talern)
Frequenz: ν = Zahl der Wellenberge (oder -taler) pro Zeiteinheit
Geschwindigkeit: c = λ ν = 2.9979 · 108 ms−1 (im Vakuum)
c ist eine universelle Naturkonstante!
Balmer versuchte, die Wellenlangen λ der vier damals bekannten Lucken,die “Fraunhofer-Linien”, mit einer einfachen Formel zu erfassen
Er liebte es, mit Zahlen zu spielen ...
Die “Balmer-Serie”
Johannes Balmer (*1825 in Lausen, †1889 in Basel)konnte 1885 die vier Wellenlangen mit einer einzigenKonstante B = 364.6 nm folgendermaßen erfassen:
λ = B9
5, B
4
3, B
25
21, B
9
8
Die “Balmer-Serie”
Johannes Balmer (*1825 in Lausen, †1889 in Basel)konnte 1885 die vier Wellenlangen mit einer einzigenKonstante B = 364.6 nm folgendermaßen erfassen:
λ = B9
5, B
4
3, B
25
21, B
9
8= B
9
5, B
16
12, B
25
21, B
36
32
Die “Balmer-Serie”
Johannes Balmer (*1825 in Lausen, †1889 in Basel)konnte 1885 die vier Wellenlangen mit einer einzigenKonstante B = 364.6 nm folgendermaßen erfassen:
λ = B9
5, B
4
3, B
25
21, B
9
8= B
9
5, B
16
12, B
25
21, B
36
32
Dafur fand er die heute so genannte Balmer-Formel:
λ = B(
m2
m2−4
)
mit m = 3, 4, 5, 6
Die “Balmer-Serie”
Johannes Balmer (*1825 in Lausen, †1889 in Basel)konnte 1885 die vier Wellenlangen mit einer einzigenKonstante B = 364.6 nm folgendermaßen erfassen:
λ = B9
5, B
4
3, B
25
21, B
9
8= B
9
5, B
16
12, B
25
21, B
36
32
Dafur fand er die heute so genannte Balmer-Formel:
λ = B(
m2
m2−4
)
mit m = 3, 4, 5, 6
Der Physik-Professor an der Universitat Basel maß dieser Formel keine physi-kalische Bedeutung zu. Aber er verwies auf andere ahnliche Formeln ...
Die Rydberg-Formel
Johannes Rydberg (*1854 in Halmstad, †1919 in Lund)verallgemeinerte die Balmer-Formel. Er formulierte siefur die Frequenzen ν der Spektrallinien:
ν = cλ = R
(
1n2 −
1m2
)
n = 1, 2, . . . , m = 2, 3, . . . (m > n)
(R = 3.29 · 1015s−1) n = 2 gibt mit λ = cν und B = 4c
R die Balmer-Formel!
Die Rydberg-Formel
Johannes Rydberg (*1854 in Halmstad, †1919 in Lund)verallgemeinerte die Balmer-Formel. Er formulierte siefur die Frequenzen ν der Spektrallinien:
ν = cλ = R
(
1n2 −
1m2
)
n = 1, 2, . . . , m = 2, 3, . . . (m > n)
(R = 3.29 · 1015s−1) n = 2 gibt mit λ = cν und B = 4c
R die Balmer-Formel!
Fur andere Werte von n sagte diese Formel neue Linien voraus:
n = 1: “Lyman-Serie” (ultraviolett)n = 3: “Paschen-Serie” (infrarot)
Diese wurden tatsachlich experimentell gemessen!
Die Rydberg-Formel
Johannes Rydberg (*1854 in Halmstad, †1919 in Lund)verallgemeinerte die Balmer-Formel. Er formulierte siefur die Frequenzen ν der Spektrallinien:
ν = cλ = R
(
1n2 −
1m2
)
n = 1, 2, . . . , m = 2, 3, . . . (m > n)
(R = 3.29 · 1015s−1) n = 2 gibt mit λ = cν und B = 4c
R die Balmer-Formel!
Fur andere Werte von n sagte diese Formel neue Linien voraus:
n = 1: “Lyman-Serie” (ultraviolett)n = 3: “Paschen-Serie” (infrarot)
Diese wurden tatsachlich experimentell gemessen!
Aber: Weder Balmer noch Rydberg verstanden die Bedeutung ihrer Formeln
doch etwa 27 Jahre spater...
Kopenhagen, anno 1912: Niels Bohr denkt uber das Atom nach ...
Ernest Rutherford(*1871 in Nelson, New Zealand, †1937in Cambridge)zeigte 1911 experimentell, dass das Atomeinen winzigen Kern enthalt, der positivgeladen und (weit außen) von den negativgeladenen Elektronen umgeben ist
Kopenhagen, anno 1912: Niels Bohr denkt uber das Atom nach ...
Ernest Rutherford(*1871 in Nelson, New Zealand, †1937in Cambridge)zeigte 1911 experimentell, dass das Atomeinen winzigen Kern enthalt, der positivgeladen und (weit außen) von den negativgeladenen Elektronen umgeben ist
Aber: nach der klassischen Theorie vonMaxwell mussten die Elektronen Energieabstrahlen ...
Bohr stellt die Frage: warum sturzen dieElektronen nicht in den Kern?
Kopenhagen, anno 1912: Niels Bohr denkt uber das Atom nach ...
Ernest Rutherford(*1871 in Nelson, New Zealand, †1937in Cambridge)zeigte 1911 experimentell, dass das Atomeinen winzigen Kern enthalt, der positivgeladen und (weit außen) von den negativgeladenen Elektronen umgeben ist
Aber: nach der klassischen Theorie vonMaxwell mussten die Elektronen Energieabstrahlen ...
Bohr stellt die Frage: warum sturzen dieElektronen nicht in den Kern?
Dann hat er eine Idee: er erinnert sich anPlancks Quantenhypothese...
Die Plancksche Strahlungsgesetz
Max Planck (*1858 in Kiel, †1947 in Gottingen)entdeckte 1900 seine beruhmte Strahlungsformelfur die Energiedichte u(λ) von elektromagnetischerStrahlung als Funktion von der Wellenlangeund der Temperatur
Die Plancksche Strahlungsgesetz
Max Planck (*1858 in Kiel, †1947 in Gottingen)entdeckte 1900 seine beruhmte Strahlungsformelfur die Energiedichte u(λ) von elektromagnetischerStrahlung als Funktion von der Wellenlangeund der Temperatur
Verlauf der Kurve u(λ) bei verschiedenenTemperaturen (in Kelvin)Damit kann z.B. die Temperatur eines Sterns“gemessen” werden(auch: Altersbestimmung des Weltalls uber dieHintergrunds-Strahlung nach dem “Big Bang”!)
Aber: Um eine geschlossene Formel zu erhalten, musste Planck eine scheinbarunsinnige Hypothese machen ...
Plancks Quantenhypothese
Planck machte – sehr widerwillig! – folgende Quantenhypothese:
“Die Energie E des Lichts (resp. des Strahlungsfeldes) ist nicht kontinuierlich(wie in der klassischen Mechanik und Elektrodynamik), sondern quantisiert!Sie muss ein ganzzahliges Vielfaches n von h ν sein:”
E = n h ν n = 1, 2, 3, . . .
Das Plancksche Wirkungsquantum h = 0.66249 · 10−33 J·sist dabei eine neue NaturkonstanteDimension: [h] = [Energie · Zeit] = [Wirkung]
Plancks Quantenhypothese
Planck machte – sehr widerwillig! – folgende Quantenhypothese:
“Die Energie E des Lichts (resp. des Strahlungsfeldes) ist nicht kontinuierlich(wie in der klassischen Mechanik und Elektrodynamik), sondern quantisiert!Sie muss ein ganzzahliges Vielfaches n von h ν sein:”
E = n h ν n = 1, 2, 3, . . .
Das Plancksche Wirkungsquantum h = 0.66249 · 10−33 J·sist dabei eine neue NaturkonstanteDimension: [h] = [Energie · Zeit] = [Wirkung]
Planck mochte diese revolutionare Hypothese selber gar nicht!Aber der Erfolg seiner Formel, in welcher h explizit vorkommt, schien dieseAnnahme zu rechtfertigen
Experimentelle Verifizierung von E = h ν im Photoelektrischen Effektdurch Albert Einstein (1905) n = 1: “Lichtquant” = “Photon”
zuruck zu Bohr ...
Bohrs Quantenhypothese
Niels Bohr (*1885 und †1962 in Kopenhagen)fuhrte 1913 die Quantenhypothese fur die Elektronen im H-Atom ein:
“Die einzigen erlaubten Zustande der Elektronen im Atom sind Bahnen um denAtomkern, deren Drehimpuls L proportional zu n h ist”:
L = n h 12π n = 1, 2, . . .
Bohrs Quantenhypothese
Niels Bohr (*1885 und †1962 in Kopenhagen)fuhrte 1913 die Quantenhypothese fur die Elektronen im H-Atom ein:
“Die einzigen erlaubten Zustande der Elektronen im Atom sind Bahnen um denAtomkern, deren Drehimpuls L proportional zu n h ist”:
L = n h 12π n = 1, 2, . . .
⇒ der Drehimpuls L ist quantisiert! n = 1, 2, ... heisst “Quantenzahl”
Fur Kreisbahnen: L = R × p (Impuls: p = mv = Masse · Geschwindigkeit)Dimension: [L] = [Lange · Impuls] = [Wirkung] = [h] (Planck-Konstante!)
Triumph der Bohrschen Quantentheorie
Die Quantisierung des Drehimpulses der Elektronen impliziert die Quantisierungihrer Energien E. Fur das Wasserstoff-Atom (H-Atom) ergibt dies das sogenannte Rydberg-Spektrum:
E ⇒ En = −E01n2 n = 1, 2, . . . {En} = (Energie-) Spektrum
Die “Rydberg-Energie” E0 = me e4
2~2 = 13.6 eV besteht aus Naturkonstanten:
me = Elektronenmasse, e = Elementarladung, ~ = h2π
Triumph der Bohrschen Quantentheorie
Die Quantisierung des Drehimpulses der Elektronen impliziert die Quantisierungihrer Energien E. Fur das Wasserstoff-Atom (H-Atom) ergibt dies das sogenannte Rydberg-Spektrum:
E ⇒ En = −E01n2 n = 1, 2, . . . {En} = (Energie-) Spektrum
Die “Rydberg-Energie” E0 = me e4
2~2 = 13.6 eV besteht aus Naturkonstanten:
me = Elektronenmasse, e = Elementarladung, ~ = h2π
Ein weiteres Postulat von Bohr:
“Beim Ubergang eines Elektrons zwischen zwei Quantenzustanden n und mwird die Energiedifferenz als Licht(-quant) emittiert oder absorbiert”:
∆En,m = E0
(
1n2 −
1m2
)
= h ν
Triumph der Bohrschen Quantentheorie
Die Quantisierung des Drehimpulses der Elektronen impliziert die Quantisierungihrer Energien E. Fur das Wasserstoff-Atom (H-Atom) ergibt dies das sogenannte Rydberg-Spektrum:
E ⇒ En = −E01n2 n = 1, 2, . . . {En} = (Energie-) Spektrum
Die “Rydberg-Energie” E0 = me e4
2~2 = 13.6 eV besteht aus Naturkonstanten:
me = Elektronenmasse, e = Elementarladung, ~ = h2π
Ein weiteres Postulat von Bohr:
“Beim Ubergang eines Elektrons zwischen zwei Quantenzustanden n und mwird die Energiedifferenz als Licht(-quant) emittiert oder absorbiert”:
∆En,m = E0
(
1n2 −
1m2
)
= h ν ν = cλ = R
(
1n2 −
1m2
)
Dies gibt mit E0 = h R die Rydbergformel (und mit R = E0/h die Rydberg-Konstante). Diese war jetzt zum ersten Mal verstanden!
Bei Ubergangen des Elektronszwischen zwei Quantenzustandenwird die Energiedifferenz ∆Eals Licht mit der Frequenz νgemaß E = h ν emittiert –oder auch absorbiert!
Bei Ubergangen des Elektronszwischen zwei Quantenzustandenwird die Energiedifferenz ∆Eals Licht mit der Frequenz νgemaß E = h ν emittiert –oder auch absorbiert!
Die Fraunhofer-Linien mussen alsoden Frequenzen ν entsprechen,bei denen das Sonnenlicht in derWasserstoff-Atmosphare der Sonneabsorbiert werden kann
Die Absorptionslinien im Wasserstoffliefern direkt das Rydberg-SpektrumEn des H-Atoms!
Die Bohr-Sommerfeld-Quantisierung
Arnold Sommerfeld (*1868 in Konigsberg, †1951 in Munchen)und Niels Bohr verallgemeinerten die Quantisierungs-Bedingung fur ein gebundenes Teilchen
“Das Wirkungsintegral S entlang einer geschlossenen Bahn des Teilchensist quantisiert:”
S =∮
p · dr = n h n = 1, 2, . . .
S = Produkt von Impuls p (Komponente entlang der Bahn) mal Lange r,entlang der ganzen Bahn aufsummiert
Die Bohr-Sommerfeld-Quantisierung
Arnold Sommerfeld (*1868 in Konigsberg, †1951 in Munchen)und Niels Bohr verallgemeinerten die Quantisierungs-Bedingung fur ein gebundenes Teilchen
“Das Wirkungsintegral S entlang einer geschlossenen Bahn des Teilchensist quantisiert:”
S =∮
p · dr = n h n = 1, 2, . . .
S = Produkt von Impuls p (Komponente entlang der Bahn) mal Lange r,entlang der ganzen Bahn aufsummiert
Dimension: [S] = [Impuls · Lange] = [Wirkung] = [h]
Fur eine Kreisbahn: S = p 2πR = 2π(p R) = 2π L
Die Bohr-Sommerfeld-Quantisierung war viel allgemeiner als die Drehimpuls-Quantisierung von Bohr. Aber...
Das Helium-Atom
Das Helium-Atom besteht aus einem Kern (α-Teilchen) und zwei ElektronenEs ist also ein Drei-Teilchen-SystemDie beiden Elektronen storen gegenseitig ihre Bahnen!
Werner Heisenberg (*1901 in Wurzburg, †1976 in Munchen)versuchte, zusammen mit seinem Lehrer Sommerfeld und mitBohr, die Quantisierungs-Bedingung fur die Elektronen imHe-Atom zu finden
Das Helium-Atom
Das Helium-Atom besteht aus einem Kern (α-Teilchen) und zwei ElektronenEs ist also ein Drei-Teilchen-SystemDie beiden Elektronen storen gegenseitig ihre Bahnen!
Werner Heisenberg (*1901 in Wurzburg, †1976 in Munchen)versuchte, zusammen mit seinem Lehrer Sommerfeld und mitBohr, die Quantisierungs-Bedingung fur die Elektronen imHe-Atom zu finden
Skizzen in einem Brief von Heisenberg an Sommerfeld (1922): Quantisierung der ϕ-Bewegung
Das Versagen der Bohrschen Quantentheorie
Heisenberg erhielt ein gutes Resultat fur die Ionisations-Energie vonHelium (24.6 eV statt 24.5 eV ), aber er brauchte eine nicht-ganzeQuantenzahl: nϕ = 1
2. Fur Bohr war dies aber streng verboten!Angeregte Elektronenzustande konnte man uberhaupt nicht beschreiben
Helium konnte nicht verstanden werden – Bohrs Quantentheorie versagte!
Was war falsch?
Das Versagen der Bohrschen Quantentheorie
Heisenberg erhielt ein gutes Resultat fur die Ionisations-Energie vonHelium (24.6 eV statt 24.5 eV ), aber er brauchte eine nicht-ganzeQuantenzahl: nϕ = 1
2. Fur Bohr war dies aber streng verboten!Angeregte Elektronenzustande konnte man uberhaupt nicht beschreiben
Helium konnte nicht verstanden werden – Bohrs Quantentheorie versagte!
Was war falsch?
Albert Einstein (*1879 in Ulm, †1955 in Princeton)zeigte 1917 (von den meisten unbemerkt!), dass dieBohr-Sommerfeld-Quantisierung nur in integrablen(d.h. exakt losbaren) Systemen funktionieren kann.Drei-Teilchen-Systeme sind aber i.A. nicht integrabel.
NB: Das H-Atom ist integrabel, das He-Atom nicht!In nicht-integrablen Systemen kann Chaos auftreten! (s.u.)
Um weiterzukommen, musste eine neue Quantentheorie entwickelt werden ...
Die neue Quantenmechanik
Die Jahre 1925 – 1928 brachten die Entwicklung der neuen Quantenmechanik(Heisenberg, Born, de Broglie, Jordan, Schrodinger, Bohr, Pauli, Dirac, ...)Die Erfolge der neuen Theorie waren uberwaltigend, und die “alte Quantentheorie”von Bohr (und Sommerfeld) wurde praktisch vergessen ...
Das neue Credo: In Atomen laufen die Teilchen nicht auf klassichen Bahnen!
Denn: Teilchen fuhren sich im mikroskopischen Bereich wie Wellen auf –und umgekehrt! (Teilchen-Welle-Dualitat; Bohr: Komplementaritat)
Die neue Quantenmechanik
Die Jahre 1925 – 1928 brachten die Entwicklung der neuen Quantenmechanik(Heisenberg, Born, de Broglie, Jordan, Schrodinger, Bohr, Pauli, Dirac, ...)Die Erfolge der neuen Theorie waren uberwaltigend, und die “alte Quantentheorie”von Bohr (und Sommerfeld) wurde praktisch vergessen ...
Das neue Credo: In Atomen laufen die Teilchen nicht auf klassichen Bahnen!
Denn: Teilchen fuhren sich im mikroskopischen Bereich wie Wellen auf –und umgekehrt! (Teilchen-Welle-Dualitat; Bohr: Komplementaritat)
Ort und Impuls eines Teilchens (in derselben Richtung) konnen nicht exaktgemessen werden (Heisenberg: Unscharfeprinzip)
Fur Messgroßen konnen oft nur Wahrscheinlichkeiten vorausgesagt werdenStatt Ort und Impuls (oder anderer Großen) kennt man nur derenErwartungswerte (“Kopenhagener Interpretation” der Quantenmechanik)
Es herrscht also kein exakter Determinismus wie in der klassischen Mechanik!
Eine hervorragende Bohr-Biographie:
Abraham Pais: (*1918 in Amsterdam, †2000 in Kopenhagen)
Niels Bohr’s Times,
In Physics, Philosophy, and Polity
(Oxford University Press, New York, 1991)
doch zuruck zu Drei-Teilchen-Systemen ...
Mikroskopisches Drei-Teilchen-System:Das Helium-Atom(Kern + 2 Elektronen)
Makroskopisches Drei-Korper-System:Sonne - Erde - Mond
Das alteste Drei-Korper-System der Welt
Vor mehr als 2600 Jahren beobachteten die Babylonierdie Bewegung von Sonne, Mond und Erde. Sie konntenderen Perioden sehr genau bestimmen! (s.u. ?)
Das alteste Drei-Korper-System der Welt
Vor mehr als 2600 Jahren beobachteten die Babylonierdie Bewegung von Sonne, Mond und Erde. Sie konntenderen Perioden sehr genau bestimmen! (s.u. ?)
Johannes Kepler(*1571 in Wurttemberg,†1630 in Regensburg)entdeckte die elliptischenBahnen der Planeten umdie Sonne
Das alteste Drei-Korper-System der Welt
Vor mehr als 2600 Jahren beobachteten die Babylonierdie Bewegung von Sonne, Mond und Erde. Sie konntenderen Perioden sehr genau bestimmen! (s.u. ?)
Johannes Kepler(*1571 in Wurttemberg,†1630 in Regensburg)entdeckte die elliptischenBahnen der Planeten umdie Sonne
Sir Isaac Newton(*1643 in Woolsthorpe,†1727 in London)leitete die elliptischenBahnen der Planetenmathematisch her
Das alteste Drei-Korper-System der Welt
Vor mehr als 2600 Jahren beobachteten die Babylonierdie Bewegung von Sonne, Mond und Erde. Sie konntenderen Perioden sehr genau bestimmen! (s.u. ?)
Johannes Kepler(*1571 in Wurttemberg,†1630 in Regensburg)entdeckte die elliptischenBahnen der Planeten umdie Sonne
Sir Isaac Newton(*1643 in Woolsthorpe,†1727 in London)leitete die elliptischenBahnen der Planetenmathematisch her
Im 19. Jh. untersuchte man die mathematischen Losungen fur dieses Drei-Korper-Problem und insbesondere auch die Stabilitat der Mondbahn
Stabilitat des Drei-Korper-Systems
Henri Poincare (*1854 in Nancy, †1912 in Paris),einer der genialsten Mathematiker aller Zeiten, gewann 1889 einen Wettbewerbanlasslich des 60. Geburtstags von Konig Oskar II von Schweden und Norwegen
Stabilitat des Drei-Korper-Systems
Henri Poincare (*1854 in Nancy, †1912 in Paris),einer der genialsten Mathematiker aller Zeiten, gewann 1889 einen Wettbewerbanlasslich des 60. Geburtstags von Konig Oskar II von Schweden und Norwegen
Titel seines Beitrags:
Sur le probleme des trois corps et les equations de la
dynamique
(Uber das Drei-Korper-Problem und die Gleichungen der Dynamik)
Acta Mathematica (1890)
Stabilitat des Drei-Korper-Systems
Henri Poincare (*1854 in Nancy, †1912 in Paris),einer der genialsten Mathematiker aller Zeiten, gewann 1889 einen Wettbewerbanlasslich des 60. Geburtstags von Konig Oskar II von Schweden und Norwegen
Titel seines Beitrags:
Sur le probleme des trois corps et les equations de la
dynamique
(Uber das Drei-Korper-Problem und die Gleichungen der Dynamik)
Acta Mathematica (1890)
Poincares Erkenntnis: Das Drei-Korper-Problem ist nicht immer integrabel!Trotz des strengen Determinismus der klassischen Mechanik kann keine exakteVoraussage uber die Stabilitat des Systems Sonne-Erde-Mond gemacht werden!
Stabilitat des Drei-Korper-Systems
Henri Poincare (*1854 in Nancy, †1912 in Paris),einer der genialsten Mathematiker aller Zeiten, gewann 1889 einen Wettbewerbanlasslich des 60. Geburtstags von Konig Oskar II von Schweden und Norwegen
Titel seines Beitrags:
Sur le probleme des trois corps et les equations de la
dynamique
(Uber das Drei-Korper-Problem und die Gleichungen der Dynamik)
Acta Mathematica (1890)
Poincares Erkenntnis: Das Drei-Korper-Problem ist nicht immer integrabel!Trotz des strengen Determinismus der klassischen Mechanik kann keine exakteVoraussage uber die Stabilitat des Systems Sonne-Erde-Mond gemacht werden!
Seine drei Bucher Les methodes nouvelles de la mechanique celeste
(Die Methoden der neuen Himmelsmechanik) (Paris, 1899)
legten die Grundlagen zur modernen Chaos-Forschung
Fraktale Strukturen im Chaos: (“Mandelbrot-Diagramm”)
Beim Vergroßern eines Ausschnittes(“zoom”) wiederholen sich dieselbenStrukturen
Dies kann unendlich oft fortgesetztwerden!
Determinismus in der klassischen Mechanik
Die Bahn r(t) (Koordinate r als Funktion der Zeit t) eines Teilchenswird durch die Newton-Gleichung bestimmt:
Kraft = Masse · Beschleunigung : K = mb
Determinismus in der klassischen Mechanik
Die Bahn r(t) (Koordinate r als Funktion der Zeit t) eines Teilchenswird durch die Newton-Gleichung bestimmt:
Kraft = Masse · Beschleunigung : K = mb
Ausgehend von einer Potentialfunktion V (r) ergibt dies eine Differentialgleichungfur r(t):
K(r) = −∇V (r) = mb = m d2
dt2r(t)
Die Losung r(t) ist fur alle Zeiten eindeutig festgelegt durch dieAnfangsbedingungen zur Zeit t0: Ort r0 = r(t0) und Impuls p0 = mv(t0)[
v(t) = ddt r(t) = Geschwindigkeit]
Determinismus in der klassischen Mechanik
Die Bahn r(t) (Koordinate r als Funktion der Zeit t) eines Teilchenswird durch die Newton-Gleichung bestimmt:
Kraft = Masse · Beschleunigung : K = mb
Ausgehend von einer Potentialfunktion V (r) ergibt dies eine Differentialgleichungfur r(t):
K(r) = −∇V (r) = mb = m d2
dt2r(t)
Die Losung r(t) ist fur alle Zeiten eindeutig festgelegt durch dieAnfangsbedingungen zur Zeit t0: Ort r0 = r(t0) und Impuls p0 = mv(t0)[
v(t) = ddt r(t) = Geschwindigkeit]
[NB: In der Quantenmechanik gilt die Newton-Gleichung nicht mehrStattdessen: Losen der Schrodingergleichung, Berechnen von Aufenthalts-wahrscheinlichkeiten der Teilchen!]
Periodische Bahnen und Chaos
Periodische Bahnen wiederholen sich nach einer endlichen Periode T der Zeit:
r(t + T ) = r(t) , p(t + T ) = p(t)
(z.B. Kreis, Ellipse, ...)
In integrablen Systemen sind alle Bahnen periodisch (oder quasi-periodisch)
In nicht-integrablen Systemen gibt es sowohl periodische als auchnicht-periodische irregulare Bahnen, die sich nie wiederholen
Periodische Bahnen und Chaos
Periodische Bahnen wiederholen sich nach einer endlichen Periode T der Zeit:
r(t + T ) = r(t) , p(t + T ) = p(t)
(z.B. Kreis, Ellipse, ...)
In integrablen Systemen sind alle Bahnen periodisch (oder quasi-periodisch)
In nicht-integrablen Systemen gibt es sowohl periodische als auchnicht-periodische irregulare Bahnen, die sich nie wiederholen
Ein wichtiger Aspekt ist die Stabilitat einer Bahn (s.u.)
Chaos: In einem chaotischen System sind alle Bahnen instabilKleine Storungen (z.B. numerische Fehler) wachsen exponentiell!
⇒ praktisch: Keine Voraussagbarkeit trotz Determinismus!
Laut Poincare sind die periodischen Bahnen der “Schlussel zum Chaos”!
stabile Bahn:
bei kleiner Anderung der Anfangsbedingungen
bleibt die gestorte Bahn in der Nahe der
ungestorten Bahn
instabile Bahn:
bei kleiner Anderung der Anfangsbedingungen
entfernt sich die gestorte Bahn exponentiell
von der ungestorten Bahn
Ein nicht-integrables System mit Chaos
Ein Teilchen im Henon-Heiles-Potential1 [V (x, y) = 3 (x2 + y2) + 6 x2y − 2 y3]
Hohenlinien konstanter potentieller Energie E:
-1.0 -0.5 0.0 0.5 1.0
-0.5
0.0
0.5
1.0
y
x
g r
b
Minimum bei (x, y) = (0,0) mit Energie E = 0;drei Sattelpunkte (b,g,r) mit Energie E = 1
1ursprunglich: Modellpotential fur einen Stern in einer Galaxie!
Dreidimensionale Perspektive:
-1
-0.5
0
0.5
1
x
-1
-0.5
0
0.5
1
y
-1
-0.5
0
0.5
1
x
Die drei kurzesten periodischen Bahnen (bei E = 1):
-1.0 -0.5 0.0 0.5 1.0
-0.5
0.0
0.5
1.0
y
x
A
C
B
Bahn A: stabil bis zu E = 0.96dann abwechselnd stabil und instabilbis zu E = 1; dabei entstehenneue periodische Bahnen durchBifurkationen ⇒ Chaos1
Bahn B: instabil bei allen Energien
Bahn C: stabil bis zu E = 0.89bei E > 0.89: instabil
[1 vgl. das sog. “Feigenbaum-Szenario”]
Zwei weitere periodische Bahnen bei E = 1:
-1.0 -0.5 0.0 0.5 1.0
-0.5
0.0
0.5
1.0
y
x
Eine quasi-periodische Bahn bei E = 0.5:
-1.0 -0.5 0.0 0.5 1.0
-0.5
0.0
0.5
1.0
y
x
Eine chaotische Bahn bei E = 1:
-1.0 -0.5 0.0 0.5 1.0
-0.5
0.0
0.5
1.0
y
x
Bei E > 1 sind > 95% der Bahnen chaotisch!
Gebundene Bahnen bei E > 1: Teilchen kann gebunden sein! (hier bei E = 1.2)
-0.5
0.0
0.5
1.0
-1.0 -0.5 0.0 0.5 1.0
y
xBeide Bahnen sind stabil, obwohl hier 99% der Bahnen chaotisch sind!
Ungebundene Bahnen bei E > 1: Teilchen kann entweichen! (hier bei E = 1.2)
-1.0 -0.5 0.0 0.5 1.0
-0.5
0.0
0.5
1.0
y
xMan bemerke die empfindliche Abhangigkeit der Entweich-Barriere (g,b,r)von der Anfangsrichtung (-geschwindigkeit)!
Entweichen aus dem Henon-Heiles-Potential
Wohin entweicht das Teilchen, wenn es bei E > 1 von (x, y) = (0,0) aus startet?
Wir variieren die Anfangsgeschwindigkeit v (Komponenten vx, vy)
-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5x
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
y
vx
vy
blue
green red
und tragen farbige Punkte (blau, grun, rot), welche der Entweich-Barriereentsprechen, in ein Diagramm (vx, vy) ein
Fraktale im Henon-Heiles-Potential
Farbe gibt Entweich-Barriere (blau: oben, rot: unten rechts, grun: unten links;schwarz: kein Entweichen, Teilchen gebunden; schwarzer Kreis: E < 1)
-1.21 -0.61 0 0.61 1.21vx
-1.21
-0.61
0
0.61
1.21
vy
Fraktale im Henon-Heiles-Potential
Farbe gibt Entweich-Barriere (blau: oben, rot: unten rechts, grun: unten links;schwarz: kein Entweichen, Teilchen gebunden; schwarzer Kreis: E < 1)
-1.21 -0.61 0 0.61 1.21vx
-1.21
-0.61
0
0.61
1.21
vy zoom −→
0.39 0.7 1.0.55 0.85
-0.21
0.1
0.39
-0.05
0.25
Fraktale im Henon-Heiles-Potential
Farbe gibt Entweich-Barriere (blau: oben, rot: unten rechts, grun: unten links;schwarz: kein Entweichen, Teilchen gebunden; schwarzer Kreis: E < 1)
-1.21 -0.61 0 0.61 1.21vx
-1.21
-0.61
0
0.61
1.21
vy zoom −→
0.39 0.7 1.0.55 0.85
-0.21
0.1
0.39
-0.05
0.25
zoom −→
0.57 0.605 0.64
-0.03
0.03
0
auch bei E > 1 gibt es noch stabile
gebundene Bahnen (s.o.)
⇒ Teilchen kann gebunden bleiben!
(J. Kaidel, Regensburg, 2002)
Fraktale im Henon-Heiles-Potential
Farbe gibt Entweich-Barriere (blau: oben, rot: unten rechts, grun: unten links;schwarz: kein Entweichen, Teilchen gebunden; schwarzer Kreis: E < 1)
-1.21 -0.61 0 0.61 1.21vx
-1.21
-0.61
0
0.61
1.21
vy zoom −→
0.39 0.7 1.0.55 0.85
-0.21
0.1
0.39
-0.05
0.25
zoom −→
0.57 0.605 0.64
-0.03
0.03
0
auch bei E > 1 gibt es noch stabile
gebundene Bahnen (s.o.)
⇒ Teilchen kann gebunden bleiben!
(J. Kaidel, Regensburg, 2002) doch zuruck zur alten Idee von Bohr ...
Renaissance von Bohrs Quantentheorie
Martin Gutzwiller (*1925 in Basel)entwickelte 1967-1971 die Theorie der periodischen Bahnen:eine moderne Version der Bohr-Sommerfeld-Quantisierung,die auch fur nicht-integrable und chaotische Systeme gilt!
Renaissance von Bohrs Quantentheorie
Martin Gutzwiller (*1925 in Basel)entwickelte 1967-1971 die Theorie der periodischen Bahnen:eine moderne Version der Bohr-Sommerfeld-Quantisierung,die auch fur nicht-integrable und chaotische Systeme gilt!
Die semiklassische Spurformel von Gutzwiller:
g(E) =∑
n δ(E − En) ≃∑
poApo(E) cos[
1~Spo(E) − αpo
]
Links: Summe uber das Quantenspektrum {En} gibt die exakte quanten-mechanische Zustandsdichte g(E)Rechts: Summe uber alle periodischen Bahnen (po) des klassischen Systemsgibt naherungsweise dasselbe Resultat (∼ Fourier-Zerlegung)
Spo =∮
pop · dr = Wirkungsintegral entlang der periodischen Bahn
⇒ also doch Quantenmechanik mit klassischen Bahnen?
Exakte Spurformel fur das H-Spektrum (integrabel)
g (E) = (−E0/E )5/2/2E0
{
1 + 2∑∞(kmax)
k=1 cos(
2πk√
−E0/E)}
Die Summe uber k = 1 . . . ∞ entspricht der Summation uber alle periodischenBahnen
Fur numerische Rechungen muss k = ∞ durch ein endliches kmax ersetzt werden!
Exakte Spurformel fur das H-Spektrum (integrabel)
g (E) = (−E0/E )5/2/2E0
{
1 + 2∑∞(kmax)
k=1 cos(
2πk√
−E0/E)}
g(E
)
kmax=1
-1.0 -0.75 -0.5 -0.25 0.0
g(E
) kmax=4
-1.0 -0.75 -0.5 -0.25 0.0
kmax=2000
-1.0 -0.75 -0.5 -0.25 0.0
E/E0
g(E
)
Exakte Spurformel fur das H-Spektrum (integrabel)
g (E) = (−E0/E )5/2/2E0
{
1 + 2∑∞(kmax)
k=1 cos(
2πk√
−E0/E)}
g(E
)
kmax=1
-1.0 -0.75 -0.5 -0.25 0.0
g(E
) kmax=4
-1.0 -0.75 -0.5 -0.25 0.0
kmax=2000
-1.0 -0.75 -0.5 -0.25 0.0
E/E0
g(E
)
Die erste Fourierkomponente (k = 1),d.h. die kurzeste periodische Bahn,gibt bereits die richtigen Positionen(Maxima!) der Quantenenergien
Exakte Spurformel fur das H-Spektrum (integrabel)
g (E) = (−E0/E )5/2/2E0
{
1 + 2∑∞(kmax)
k=1 cos(
2πk√
−E0/E)}
g(E
)
kmax=1
-1.0 -0.75 -0.5 -0.25 0.0
g(E
) kmax=4
-1.0 -0.75 -0.5 -0.25 0.0
kmax=2000
-1.0 -0.75 -0.5 -0.25 0.0
E/E0
g(E
)
Die erste Fourierkomponente (k = 1),d.h. die kurzeste periodische Bahn,gibt bereits die richtigen Positionen(Maxima!) der Quantenenergien
Wenige kurze Bahnen geben einegemittelte Zustandsdichte
kmax = 2000 gibt praktisch das exakteRydberg-Spektrum:
En = −E0/n2
Spurformel fur das Henon-Heiles-Potential (nicht-integrabel)
Gemittelte Zustandsdichte (oszillierender Teil) fur kleine Energien:
0 .1 .2 .3 .4 .5 .6 .7 E
-0.4
-0.2
0.0
0.2
0.4
g(E
)
sclqm
Schwarz: quantenmechanisch berechnet
Rot: uber die Spurformel, mit nur drei periodischen Bahnen A, B, und C[M. Brack, P. Meier, K. Tanaka, J. Phys. A 32, 331 (1999)]
Das Schwebungsmuster kommt durch die Interferenz der drei klassichen BahnenA, B, und C zustande!
Dasselbe bei E > 1: (chaotischer Bereich)
Gemittelte Zustandsdichte (oszillierender Teil) fur Energien oberhalb Barriere:
1.0 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 2.0E
-3.0
-1.5
0.0
1.5
3.0
g(E
)
ausgezogene Linie: quantenmechanisch berechnet
gestrichelt: uber die Spurformel mit 18 periodischen Bahnen berechnet(weitere Bahnen tragen bei dieser Auflosung nicht mehr bei!)
[J. Kaidel, P. Winkler, M. Brack, Phys. Rev. E 70, 066208 (2004)]
Die Spurformel funktioniert auch im vollig chaotischen Bereich!
Dasselbe bei E > 1: (chaotischer Bereich)
Gemittelte Zustandsdichte (oszillierender Teil) fur Energien oberhalb Barriere:
1.0 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 2.0E
-3.0
-1.5
0.0
1.5
3.0
g(E
)
ausgezogene Linie: quantenmechanisch berechnet
gestrichelt: uber die Spurformel mit 18 periodischen Bahnen berechnet(weitere Bahnen tragen bei dieser Auflosung nicht mehr bei!)
[J. Kaidel, P. Winkler, M. Brack, Phys. Rev. E 70, 066208 (2004)]
Die Spurformel funktioniert auch im vollig chaotischen Bereich!
a propos Fourier-Zerlegung ...
Derselbe Ton auf vier verschiedenen Instrumenten:(Schalldruck als Funktion der Zeit)
(a) Euphonium
(b) Baritonhorn
(c) Tenorposaune
(d) Messingrohr (2.5 m)
Fourier-Zerlegungen derselben vier Tone:(Intensitat als Funktion der Frequenz)
Das H-Atom in einem starken Magnetfeld (chaotisch)
(a) Experimentelles Quantenspektrumder Ionisationsenergie (in Magnetfeldernvon 3 ≤ B ≤ 5.2 Tesla)
(b) Fourier-Zerlegung dieses Spektrums:Die Maxima liegen bei den Perioden dergeschlossenen Bahnen im chaotischenklassischen System!
[A. Holle, J. Main, G. Wiebusch, H. Rottke, und K. H. Welge, Phys. Rev. Lett. 61, 161 (1988)]
Leitwert-Oszillationen in mesoskopischem Kanal
0.2µm 1.0µm
EF
Gate
Gate
Gate
Gate
E0
Ein Halbleiter-Kanal mit zwei
Hindernissen im Magnetfeld B.
Elektronen, die durch den Kanal
fließen, konnen in geschlossene
Bahnen um die Hindernisse her-
um eingefangen werden, deren
Große (Radien) von B abhangen
Leitwert-Oszillationen in mesoskopischem Kanal
0.2µm 1.0µm
EF
Gate
Gate
Gate
Gate
E0
Ein Halbleiter-Kanal mit zwei
Hindernissen im Magnetfeld B.
Elektronen, die durch den Kanal
fließen, konnen in geschlossene
Bahnen um die Hindernisse her-
um eingefangen werden, deren
Große (Radien) von B abhangen
0.15 0.20 0.25 B[T]→
δG
[arb
.u.]
→xx
Leitwert-Oszillationen:
ausgezogene Linie: experimentell
(Sachraida et al., Ottawa, 1997)
gestrichelte Linie: semiklassisch
uber eine Spurformel berechnet
[J. Blaschke und M. Brack,
Europhys. Lett. 50, 294 (2000)]
Leitwert-Oszillationen in mesoskopischem Kanal
0.2µm 1.0µm
EF
Gate
Gate
Gate
Gate
E0
Ein Halbleiter-Kanal mit zwei
Hindernissen im Magnetfeld B.
Elektronen, die durch den Kanal
fließen, konnen in geschlossene
Bahnen um die Hindernisse her-
um eingefangen werden, deren
Große (Radien) von B abhangen
0.15 0.20 0.25 B[T]→
δG
[arb
.u.]
→xx
Leitwert-Oszillationen:
ausgezogene Linie: experimentell
(Sachraida et al., Ottawa, 1997)
gestrichelte Linie: semiklassisch
uber eine Spurformel berechnet
[J. Blaschke und M. Brack,
Europhys. Lett. 50, 294 (2000)]
... und wieder zuruck zum Helium-Atom:
Das He-Atom semiklassisch – nach 70 Jahren
D. Wintgen, K. Richter und G. Tanner (Universitat Freiburg) konnten 1989 - 1992die angeregten Zustande des He-Atoms mit Drehimpuls L = 0 mit GutzwillersTheorie richtig wiedergeben!
[siehe: G. Tanner, K. Richter und J. M. Rost, Rev. Mod. Phys. 72, 497 (2000)]
Das He-Atom semiklassisch – nach 70 Jahren
D. Wintgen, K. Richter und G. Tanner (Universitat Freiburg) konnten 1989 - 1992die angeregten Zustande des He-Atoms mit Drehimpuls L = 0 mit GutzwillersTheorie richtig wiedergeben!
[siehe: G. Tanner, K. Richter und J. M. Rost, Rev. Mod. Phys. 72, 497 (2000)]
⇒ Mehr als 70 nach dem Versagen von Heisenberg, Bohr und Sommerfeld wurdedas He-Problem (wenigstens teilweise) semiklassisch gelost!
Heute: viele Erfolge mit der semiklassischen Theorie auf dem Gebiet der meso-skopischen Physik und der Nanophysik (insbesondere auch “Quantenchaos”)
Das He-Atom semiklassisch – nach 70 Jahren
D. Wintgen, K. Richter und G. Tanner (Universitat Freiburg) konnten 1989 - 1992die angeregten Zustande des He-Atoms mit Drehimpuls L = 0 mit GutzwillersTheorie richtig wiedergeben!
[siehe: G. Tanner, K. Richter und J. M. Rost, Rev. Mod. Phys. 72, 497 (2000)]
⇒ Mehr als 70 nach dem Versagen von Heisenberg, Bohr und Sommerfeld wurdedas He-Problem (wenigstens teilweise) semiklassisch gelost!
Heute: viele Erfolge mit der semiklassischen Theorie auf dem Gebiet der meso-skopischen Physik und der Nanophysik (insbesondere auch “Quantenchaos”)
Die Frage war: konnen wir Quantenmechanik mit klassischen Bahnen treiben?
Das He-Atom semiklassisch – nach 70 Jahren
D. Wintgen, K. Richter und G. Tanner (Universitat Freiburg) konnten 1989 - 1992die angeregten Zustande des He-Atoms mit Drehimpuls L = 0 mit GutzwillersTheorie richtig wiedergeben!
[siehe: G. Tanner, K. Richter und J. M. Rost, Rev. Mod. Phys. 72, 497 (2000)]
⇒ Mehr als 70 nach dem Versagen von Heisenberg, Bohr und Sommerfeld wurdedas He-Problem (wenigstens teilweise) semiklassisch gelost!
Heute: viele Erfolge mit der semiklassischen Theorie auf dem Gebiet der meso-skopischen Physik und der Nanophysik (insbesondere auch “Quantenchaos”)
Die Frage war: konnen wir Quantenmechanik mit klassischen Bahnen treiben?
Antwort: Yes, we can!
Dank
an meine Kollegen und fruheren Student(inn)en:
• R. K. Bhaduri, McMaster University, Hamilton, Kanada
• M. V. N. Murthy, IMSc, Chennai, Indien
• K. Tanaka, University of Saskatchewan, Saskatoon, Kanada
• S. Reimann, Lund Institute of Technology, Schweden
• J. Blaschke, J. Kaidel, (damals) Universitat Regensburg
Dank
an meine Kollegen und fruheren Student(inn)en:
• R. K. Bhaduri, McMaster University, Hamilton, Kanada
• M. V. N. Murthy, IMSc, Chennai, Indien
• K. Tanaka, University of Saskatchewan, Saskatoon, Kanada
• S. Reimann, Lund Institute of Technology, Schweden
• J. Blaschke, J. Kaidel, (damals) Universitat Regensburg
an meine Geldgeber:
• Deutsche Forschungsgemeinschaft
• NSERC, Kanada
Dank
an meine Kollegen und fruheren Student(inn)en:
• R. K. Bhaduri, McMaster University, Hamilton, Kanada
• M. V. N. Murthy, IMSc, Chennai, Indien
• K. Tanaka, University of Saskatchewan, Saskatoon, Kanada
• S. Reimann, Lund Institute of Technology, Schweden
• J. Blaschke, J. Kaidel, (damals) Universitat Regensburg
an meine Geldgeber:
• Deutsche Forschungsgemeinschaft
• NSERC, Kanada
und an meine gedulgigen Zuhorer!
Monddaten aus Babylon (seit ca. 600 B.C.)
0 100 200 300 400
luna t ion number L
80
100
120
140
SU+
NA
+G
E+
ME
0 100 200 300 40020
40
60
80
SU+
NA
(min
)
0 100 200 300 400
0
20
40
60
80
SU(m
in)
Die Babylonier beobachteten vier Zeit-intervalle SU, NA, GE, ME zwischen Auf-und Untergangen von Sonne und Mondan sukzessiven Oppositionen (numeriertdurch die Lunationszahl L)
Sie notierten auch regelmaßig die Teil-summen (SU+NA) und (ME+GE)
Die Summe (SU+NA)+(GE+ME) wurdesehr wahrscheinlich verwendet, um die“Kolonne Φ” zu bestimmen, welche diekorrekte Mondperiode T$ enthalt[Lis Brack-Bernsen, Centaurus 33, 39 (1990)]
Fourier-Analyse derselben Monddaten
2 4 6 8 10 12 14 16 18
period T (in months)
|A(T
)|2
SU+NA+GE+ME
2 4 6 8 10 12 14 16 18
|A(T
)|2
SU+NA
2 4 6 8 10 12 14 16 18
|A(T
)|2
SUDie Babylonier bewerkstelligten (ohne eszu wissen!) implizit eine Fourier-Analyseihrer beobachteten Monddaten:
Die Daten SU, (SU+NA) und (GE+ME)enthalten Informationen uber die PeriodenT⊙ ≃ 12 (Sonne) und T$ ≃ 14 (Mond)
In der Summe (SU+NA)+(GE+ME)wird der Einfluss von T⊙ eliminiert undT$ bestimmt die Periode der Oszillationen!
[L. Brack-Bernsen und M. Brack,
Int. J. Mod. Phys. E 13, 247 (2004)]
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