dasar matematika

Pangkat dan Akar

Politeknik Negeri Batam

Pangkat• Pangkat dari sebuah bilangan ialah

suatu indeks yang menunjukkan banyaknya perkalian bilangan yang sama secara berurutan.

• Notasi xa : bahwa x harus dikalikan dengan x itu sendiri secara berturut-turut sebanyak a kali.

Kaidah Pemangkatan Bilangan

.5

1 .4

dimana 8. 00 .3

7. .2

6. )0( 1 .1

1

0

b aba

aa

bcax

abba

a

aa

Xx

xx

acxx

x xxx

yx

yxxx

b

Kaidah perkalian bilangan berpangkat

22515)53(53 :contoh

7293333 :contoh

2222

64242

aaa

baba

xyyx

xxx

Kaidah pembagian bilangan berpangkat

259

535:3 :contoh

:

91333:3 :contoh

:

222

24242

aaa

baba

yxyx

xxx

Akar• Akar merupakan bentuk lain untuk

menyatakan bilangan berpangkat. • Akar dari sebuah bilangan ialah

basis (x) yang memenuhi bilangan tersebut berkenaan dengan pangkat akarnya (a).

• Bentuk umum :mxxm aa jika

Kaidah pengakaran bilangan

b

b

b

bb

ba

b a

bb

yx

yx

yxxy

xx

xx

.4

.3

.2

.11

Kaidah penjumlahan (pengurangan) bilangan terakar

• Bilangan-bilangan terakar hanya dapat ditambahkan atau dikurangkan apabila akar-akarnya sejenis.

b ab ab a xnmxnxm )(

Kaidah perkalian bilangan terakar

bc ac ab

bbb

xx

xyyx

.sebelumnyaakar -akar daripangkat kali hasilialah akarnyabaru -pangkat an;bersangkutbilangan

daribaru pangkat akar adalah bilangan sebuah dari gandaAkar

sama. berpangkat akarnya-akar apabiladilakukan dapat hanyaPerkalian a.bilanganny-bilangan

kali hasil dariakar adalah erakar bilangan t-bilangan kali Hasil

Kaidah pembagian bilangan terakar• Hasil bagi bilangan-

bilangan terakar adalah akar dari hasil bagi bilangan-bilangannya. Pembagian hanya dapat dilakukan apabila akar-akarnya berpangkat sama.

bb

b

yx

yx

LATIHAN SOAL1. Selesaikanlah : a. d. b. e. c. f. 2. Selesaikanlah !

a. d. b. e.

c.

3. Sederhanakanlah!a. b.

OPERASI ALJABAR1. Pengertian persamaan

yaitu : pernyataan yang memuat hubungan sama dengan.

Persamaan aljabar : pernyataan yang memuat satu atau lebih variabel.contoh :2x + 3y = 8

2. Operasi aljabara. penjumlahan dan pengurangan aljabar

untuk operasi ini yang dijumlahkan dan dikurangkan adalah suku yang sejenis.

b. perkalian aljabarc. pembagian aljabar

3. Menyelesaikan persamaan aljabarada dua metode :a. metode penjumlahan dan perkalianb. metode perkalian dan pembagian

contoh:3x – 2 = 10 3x – 2 + 2 = 10 + 2

3x = 12 x = 4

3 (3x + 3) = 4 (2x – 5) x = …

14

HIMPUNAN

Politeknik Negeri Batam

15

Definisi

• Himpunan (set) adalah kumpulan objek-objek yang berbeda

• Objek di dalam himpunan disebut elemen, unsur, atau anggota

Penyajian Himpunan

Ada dua cara menyajikan himpunan :1. Cara daftar

contoh : A = {1, 2, 3, 4, 5}

2. Cara kaidah / pengisiancontoh : A = {y| 6 > y > 0}

Beberapa Notasi Himpunan

a A berarti a anggota him A

a A berarti a bukan anggota him A notasi untuk himpunan kosong atau

{ } notasi untuk himpunan universal / himpunan yang memuat semua unsur himpunan yaitu S

18

Operasi Terhadap Himpunan 1. Irisan (intersection)

Notasi : A B = { x x A dan x B }

Contoh 14. (i) Jika A = {2, 4, 6, 8, 10} dan B = {4, 10, 14, 18}, maka A B = {4, 10} (ii) Jika A = { 3, 5, 9 } dan B = { -2, 6 }, maka A B = . Artinya: A // B

19

2. Gabungan (union) Notasi : A B = { x x A atau x B }

Contoh 15. (i) Jika A = { 2, 5, 8 } dan B = { 7, 5, 22 }, maka A B =

{ 2, 5, 7, 8, 22 } (ii) A = A

20

3. Komplemen (complement) Notasi : A = { x x U, x A }

Contoh 16. Misalkan U = { 1, 2, 3, ..., 9 }, (i) jika A = {1, 3, 7, 9}, maka A = {2, 4, 6, 8}

21

4. Selisih (difference) Notasi : A – B = { x x A dan x B } = A B

Contoh 18. (i) Jika A = { 1, 2, 3, ..., 10 } dan B = { 2, 4, 6, 8, 10 }, maka A – B

= { 1, 3, 5, 7, 9 } dan B – A = (ii) {1, 3, 5} – {1, 2, 3} = {5}, tetapi {1, 2, 3} – {1, 3, 5} = {2}

22

Diagram Venn

ContohMisalkan U = {1, 2, …, 7, 8},

A = {1, 2, 3, 5} dan B = {2, 5, 6, 8}.

Diagram Venn: U

1 25

3 6

8

4

7A B

23

Contoh. Misalkan A, B, dan C adalah himpunan. Buktikan bahwa A (B C) = (A B) (A C) dengan diagram Venn. Bukti:

A (B C) (A B) (A C)

Kedua digaram Venn memberikan area arsiran yang sama. Terbukti bahwa A (B C) = (A B) (A C).

TUGAS1. Selesaikanlah persamaan :

a. 5x – 3 = 2x + 9b. 3x + 7 = 12 – 2x

2. Carilah akar persamaan :a. 2x – 3 = 0b. 6x + 12 = 0

3. Carilah x dari persamaan :

65x6

2x3 b.

6x1

25x a.

TUGAS1. Tulislah himpunan berikut dengan cara

daftara. G = {x|0<x<16, bilangan ganjil}b. V = {x|-1=0}

2. Jika :S = {1,2,3,4,5,6,7,8}A = {2,3,5,7}B = {1,3,4,7,8}Selesaikanlah : A-B, B-A, AB, AB, dan BA serta gambarkan diagram vennya.