data, model and decisions 数据、模型与决策
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Data, Model and Decisions 数据、模型与决策
第３章 随机变量和概率分布
Session Topics
Basic Probability Concepts 基本概率概念 Discrete Random Variable
离散随机变量 Continuous Random Variable
连续随机变量
Sample Spaces
样本空间
收集所有可能出现的结果 ：
例如 6 个摔子都出现 1 点
今天老师备课笔记丢了
随机事件
（一）随机试验与事件
随机现象的特点是：在条件不变的情况下，一系列的试验或观测会得到不同的结果，并且在试验或观测前不能预见何种结果将出现。对随机现象的试验或观测称为随机试验，它必须满足以下的性质：
（ 1 ）每次试验的可能结果不是唯一的；
（ 2 ）每次试验之前不能确定何种结果会出现；
（ 3 ）试验可在相同条件下重复进行。
随机事件
在随机试验中，可能出现也可能不出现的结果，称之为随机事件，简称事件。试验的结果可能是一个简单事件，也可能是一个复杂事件。简单事件就是不可以再分解的事件，又称为基本事件。复杂事件是由简单事件组合而成的事件。基本事件还可称为样本点，设试验有 n 个基本事件，分别记为 (i=1,2,… ， n) 。集合 Ω={ω1 ,ω2 , … ,
ωn} 称为样本空间， Ω 中的元素就是样本点。i
Events
事件
简单事件（ Simple event ） :
从样本空间出现的结果只有一个特征例如：从一副牌中抽出的是一张红桃
联合或混合事件（ Joint/Compound event ）：涉及同时出现两个或以上特征例如：从一副牌中抽出的是一张红桃
这是一张红桃 Ace
Visualizing Events
事件形象化
关联表
树图
Ace Not Ace Total
Red 2 24 26
Black 2 24 26
Total 4 48 52
Special Events
特殊事件
空事件（ Null Event ）
非事件、补事件（ Complement of Event ）
独立与非独立事件 （ Dependent or Independent Events ）
Contingency Table
关联表
一副 52 张的牌
Ace Not anAce
Total
Red
Black
Total
2 24
2 24
26
26
4 48 52样本空间
Red Ace
Tree Diagram
树形图
事件可能性Red Cards
Black Cards
Ace
Not an Ace
Ace
Not an Ace
所有牌
（二）概率
1. 概率的定义 概率就是指随机事件发生的可能性，或称为机率，是对随机事件发
生可能性的度量。 进行 n 次重复试验，随机事件 A 发生的次数是 m
次，发生的频率是 m/n ，当试验的次数 n 很大时，如果频率在某一数值 p 附近摆动，而且随着试验次数 n 的不断增加，频率的摆动幅度越来越小，则称 p 为事件 A 发生的概率，记为： P(A)=p 。在古典概型场合 , 即基本事件发生的概率都一样的场合 :
样本点总数
包含的样本点个数A
n
mAP
样本点总数的有利场合数A
2. 概率的基本性质
性质 1 1≥P(A)≥0 。
性质 2 P(Ω)=1 。
性质 3 若事件 A 与事件 B 互不相容，即 AB=Ф ，则 P(A B)=∪P(A)+P(B) 。
推论 1 不可能事件的概率为 0 ，即： P(Ф)=0 。
推论 2 P( )=1-P(A), 表示 A 的对立事件，即它们二者必有一事件发生但又不能同时发生。
A A
3. 事件的独立性
定义 对事件 A 与 B ，若 p(AB)=p(B)p(A) ，则称它们是统计独立的，简称相互独立。
例：已知袋中有 6 只红球 , 4 只白球。从袋中有放回地取两次球 , 每次都取 1 球。设 表示第 i 次取到红球。那么，
因此， ，也就是说， B1,B2 相互独立
。从题目条件看，这一结论是显然的。
iB
1 2
6 3( ) ( )
10 5P B P B 1 2
2 11
36( ) 3100( )3( ) 5
5
P B BP B B
P B
1 2 2 1 1 1 2
3 3( ) ( ) ( ) ( ) ( )
5 5P B B P B B P B P B P B
Computing Joint Probability
计算联合概率
A 和 B 事件的联合概率为：
例如 . P(Red Card 和 Ace) =
CardsofNumberTotal
Acesd
52
Re226
1
P(A and B) =A 和 B 事件联合出现的结果个数
样本空间的总个数
Computing Compound Probability
计算混合概率
A 、 B 的混合事件（ A or B ）:
样本空间总个数出现的事件结果个数出现或或 BA
BAP )(
例如： P(Red Card or Ace)
CardsNumberofTotal
AcesdCardsdAces
52
Re2Re264
13
7
52
28
Compound Probability Addition Rule
混合概率规则
P(A1 or B1 ) = P(A1) +P(B1) - P(A1 and B1)
对于互斥事件 : P(A or B) = P(A) + P(B)
P(A1 and B1)
P(B2)P(B1)
P(A2 and B2)P(A2 and B1)
事件事件 Total
Total 1
P(A1 and B2) P(A1)A1
A2
B1 B2
P(A2)
条件概率是指一个事件给定下另一事件发生的可能性 :
给定事件 B 发生，事件 A 发生的概率
P(A B) =
例如： P(Red Card 给定是一张 Ace) =
)(
)(
BP
BandAP
2
1
4
2
Aces
AcesdRe
Computing Conditional Probability
计算条件概率
Discrete Random Variable
离散随机变量
随机变量 : 是一次试验的结果的数值性描述 离散随机变量 :
指有限个数值或一系列无穷个数值的随机变量
Discrete Random Variable Example
离散随机变量例
值 概率
0 1/4 = .25
1 2/4 = .50
2 1/4 = .25
事件 : 抛 2 个硬币 . 数是正面的个数
T
T
T T
Discrete Probability Distribution
离散概率分布
列出所有可能的 [ Xi, f (Xi) ]
Xi = 随机变量的值 ( 结果 )
P(Xi) = 取这个值的概率 相互排斥 ( 没有重叠 ) 穷举性 ( 没有漏下 )
0 f(xi) 1 f(xi) = 1
Discrete Random Variable Measures
离散随机变量的度量
数学期望（ Expected Value ） 或平均值度量随机变量的中心位置 E E ((x x ) = ) = = = xf xf ((x x ))方差（ Variance ）
随机变量的取值离均值的变异程度Var(Var(x x ) = ) = 22 = = ((xx - - ))22f f ((x x ))
Important Discrete Probability Distribution
重要的离散概率分布
离散概率分布
Binomial
二项分布Poisson
泊松分布
贝努里试验
有时我们只对试验中某事件 A 是否出现感兴趣，如果 A 发生，我们称“成功”，否则称“失败”。像这样只有两种结果的试验称为贝努里试验。设 A 出现的概率为 p ，我们独立地重复进行 n 次贝努里试验，称为 n 重贝努里试验 .
Binomial Probability Distributions
二项分布
二项试验的性质 试验由一个包括 n 次相同的试验的序列组
成 . 每次试验有两个结果 , 成功和失败 . 成功的概率为 p, 每次试验都相同 . 试验都是独立的 .
二项分布函数二项分布函数
其中其中
f f ((x x ) = ) = nn 次试验中成功 次试验中成功 xx 次的概率次的概率
nn = = 试验次数试验次数
pp = = 每次试验中成功的概率每次试验中成功的概率
Binomial Probability Distributions
二项分布
f xn
x n xp px n x( )
!!( )!
( ) ( )
1f xn
x n xp px n x( )
!!( )!
( ) ( )
1
EXCEL 函数
BINOMDIST(number_s, trials, probability_s, cumulative)
二项分布示例
Poisson Distribution
泊松分布
泊松试验的性质： 任意两个相等长度的区间发生一次的概率
相等 . 任意区间发生或不发生与其他区间发生与
否独立 .
Poisson Probability Distribution Function
泊松概率分布函数
泊松概率分布函数：
其中 f (x ) = 在一个区间发生 x 次的概率
= 在一个区间发生次数的数学期望 e = 2.71828
f xex
x( )
!
f x
ex
x( )
!
Excel 函数
POISSON (x, mean, cumulative)
泊松分布 ( = 12)
The Normal Distribution
正态分布
钟形 对称 均值 , 中位数，众数相等 随机变量无限取值
X
f(X)
The Mathematical Model
数学模型
f(X) = 随机变量 X 的分布密度函数 = 3.14159; e = 2.71828 = 总体标准方差X = 随机变量取值 (-∞< X < ＋∞ ) = 总体均值
f(x) =e
-(x- )2
2
2
2
2
Many Normal Distributions
许多正态分布
变动参数 和 , 我们得到许多不同的正态分布
The Standardized Normal Distribution
标准正态分布
标准正态分布表 = 0 and = 1
Z = 0.12
Z .00 .01
0.0 .0000.0040 .0080
.0398 .0438
0.2 .0793 .0832 .0871
0.3 .0179 .0217 .0255
.0478.02
0.1 .0478
Probabilities
Standardizing Example
标准化例
12010
526 ..XZ
Z = 0
Z = 1
.12
正态分布 标准正态分布
X = 5
= 10
6.2
Example:P(2.9 < X < 7.1) = .1664举例计算 P(2.9 < X < 7.1)
0
= 1
-.21 Z.21
正态分布
.1664
.0832.0832
标准正态分布
5
= 10
2.9 7.1 X
2110
592.
.xz
21
10
517.
.xz
Finding Z Values for Known Probabilities
已知概率找 Z 值
Z .00 0.2
0.0 .0000 .0040 .0080
0.1 .0398 .0438 .0478
0.2 .0793 .0832 .0871
.1179 .1255
Z = 0
= 1
.31
.1217.01
0.3
标准正态分布表
.1217
Z = 0
= 1
.31X = 5
= 10
?
正态分布 标准正态分布
.1217 .1217
X 8.1 Z= 5 + (0.31)(10) =
Finding X Values for Known Probabilities
已知概率找 X 值
EXCEL 的正态分布函数
1 ．正态分布函数
2 ．绘制正态分布图形
1 ．正态分布函数
（ 1 ）正态分布函数。
（ 2 ）标准正态分布函数。
（ 3 ）正态分布函数的反函数。
（ 4 ）标准正态分布函数的反函数。NORMDI
ST返回给定平均值和标准偏差的正态分布的
累积函数。NORMDIST(x,mean,standar
d_dev,cumulative)
NORMINV
返回给定平均值和标准偏差的正态分布的累积函数的逆函数。
NORMINV(probability,mean,standard_dev)
NORMSDIST
返回标准正态分布的累积函数，该分布的平均值为 0，标准偏差为 1。 NORMSDIST(z)
NORMSINV
返回标准正态分布累积函数的逆函数。该分布的平均值为 0，标准偏差为 1。 NORMSINV(probability)
2 ．绘制正态分布图形
（ 1 ）建立正态分布基本数据。
（ 2 ）绘制正态分布图形。
“序列”对话框
数据填充编辑 /填充 /序列
结果显示（ 4~117 行隐藏）
图 4-10 “ 数据系列格式”对话框
正态分布图绘制结果
返回本节
Exponential Distributions
指数分布
e = 2.71828
P arrival time < X( ) 1 - e - x
= 到达的均值X = 连续随机变量
f(X)
X
= 0.5
= 2.0
The Uniform Probability Distribution
均匀分布
随机变量在一个区间内均匀分布，对应的概率与区间的长度成正比例
均匀分别密度函数 f (x) = 1/(b - a) for a < x <
b = 0 elsewhere
数学期望 E(x) = (a + b)/2方差 Var(x) = (b - a)2/12
概率分布曲线
The End of Session 9
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