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• Daten verwalten (2)Daten verwalten (2)• Logische Verknüpfungen als Grundlage für die
Informationsgewinnung
• Werte von Aussagen: Wahrheitstabellen
• Grafische vs. formale Darstellung von Abfragen
• Boolesche Algebra
Agenda für heute, 28. April 2010
Das heutige Thema im Kontext des Informationsarbeitsplatzes
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Informatik für Biol. & Pharm. Wissenschaften © Departement Informatik, ETH Zürich
Daten verwalten (2): Drei Stufen der Datenverwaltung
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• Daten organisieren
• Daten speichern
• Daten wieder gewinnen
• Daten reorganisieren
Anwendung Informatik
• Entity-Relationship-Modell
• Datenbanken
• Daten austauschen
• Daten umformen
• Abfragen (z.B. mit SQL)
• Logische Verknüpfungen
• Datenformate
• Standards
Informatik für Biol. & Pharm. Wissenschaften © Departement Informatik, ETH Zürich
Daten organisieren, Daten Speichern
Restrukturieren
Ursprüngliche Information
Verwaltbare Information•Metadaten werden zu Daten•Jede Zelle ein Datentyp
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Name CH-Code Nährstoff Menge Einheit Hauptkomp.
Aprikose 18.1.2.1 Eisen 0.4 mg ja
Aprikose 18.1.2.1 Protein 0.8 g ja
Aprikose 18.1.2.1 Wasser 86.79 g ja
Bürli 12.1.2.Z.2 Kohlehydrate 48.8 g ja
Bürli 12.1.2.Z.2 Kalium 160 mg ja
Bürli 12.1.2.Z.2 Wasser 39.6 g ja
Metadaten
Name CH-Code Wasser Kohlehyd. Eisen Protein Kalium Hauptkomp.
Aprikose 18.1.2.1 86.79 g 12.1 g 0.4 mg 0.8 g 315 mg ja
Bürli 12.1.2.Z.2 39.6 g 48.8 g 2.0 mg 8.6 g 160 mg ja
Daten
Name CH-Code Wasser Kohlehyd. Eisen Protein Kalium Hauptkomp.
Aprikose 18.1.2.1 86.79 g 12.1 g 0.4 mg 0.8 g 315 mg ja
Bürli 12.1.2.Z.2 39.6 g 48.8 g 2.0 mg 8.6 g 160 mg ja
Informatik für Biol. & Pharm. Wissenschaften © Departement Informatik, ETH Zürich
Daten organisieren, Daten speichern: Relationale Datenbank
Normalisieren
Relationale Operatoren (Select, Project, Join)
Ursprüngliche Information
Relationen
Umstrukturierte Information
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Name Nährstoff Menge
Bürli Kohlehydrate 48.8
Bürli Wasser 39.6
Name CH-Code Nährstoff Menge Einheit Hauptkomp.
Aprikose 18.1.2.1 Eisen 0.4 mg ja
Bürli 12.1.2.Z.2 Kohlehydrate 48.8 g ja
Bürli 12.1.2.Z.2 Kalium 160 mg ja
Name CH-Code Nährstoff_id Menge
Aprikose 18.1.2.1 57 0.4
Aprikose 18.1.2.1 400 0.8
Bürli 12.1.2.Z.2 84 48.8
Bürli 12.1.2.Z.2 180 39.6
Nährstoff_id Nährstoff Einheit Hauptkomp.
57 Eisen mg ja
180 Wasser g ja
84 Kohlehyd. g ja
330 Kalium mg ja
• Daten verwalten (2)
• Logische Verknüpfungen als Grundlage für die Logische Verknüpfungen als Grundlage für die InformationsgewinnungInformationsgewinnung
• Werte von Aussagen: Wahrheitstabellen
• Grafische vs. formale Darstellung von Abfragen
• Boolesche Algebra
Informatik für Biol. & Pharm. Wissenschaften © Departement Informatik, ETH Zürich
Wiedergewinnen von Information mittels Aussagenlogik
Welche Nahrungsmittel enthalten weniger als 2 mg Eisen?
Name in Nahrungsmittel mit Nährstoff = Eisen und Menge < 2
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Aussage
ausgewertet mit Tupel einer Datenbank
wahr(z.B. 1.7 mg Eisen)
Datenbankabfrage
falsch(z.B. 3.4 mg Eisen)
(z.B. 1.7 mg Kalzium)
Elemente der Aussagenlogik
• Eine Aussage hat einen Wahrheitswert ("wahr", "falsch")
• Aussagen können aus Teilaussagen zusammengesetzt sein
Nährstoff = Eisen und Menge < 2
• Diese Teilaussagen sind durch logische Operatoren verknüpft
Nährstoff = Eisen and Menge < 2
Der Wahrheitswert einer zusammengesetzten Aussage ist vollständig durch die Wahrheitswerte der Teilaussagen und die Art der Verknüpfung gegeben.
Informatik für Biol. & Pharm. Wissenschaften © Departement Informatik, ETH Zürich7/27
Informatik für Biol. & Pharm. Wissenschaften © Departement Informatik, ETH Zürich
Logische Operatoren
p und q sind Teilaussagen (logische Operanden)
z.B. p steht für: Nährstoff = Eisen
q steht für: Menge < 2
Konjunktion: "sowohl p als auch q"
p and q
Disjunktion: "entweder p oder q"
p or q
Negation: "nicht p"
not p
• UND
• ODER
• NICHT
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• Daten verwalten (2)
• Logische Verknüpfungen als Grundlage für die Informationsgewinnung
• Werte von Aussagen: WahrheitstabellenWerte von Aussagen: Wahrheitstabellen• Grafische vs. formale Darstellung von Abfragen
• Boolesche Algebra
Informatik für Biol. & Pharm. Wissenschaften © Departement Informatik, ETH Zürich
Werte von Aussagen: Wahrheitstabellen
• Logische Verknüpfungen anschaulich spezifizieren
• Für jede mögliche Kombination von Wahrheitswerten wird das Resultat der Verküpfung aufgelistet
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p q Verknüpfung von p mit q
w w x
w f x
f w x
f f x
w = wahr, f = falsch
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Wahrheitstabelle für die Konjunktion
Die erste Zeile ist eine Kurzform für:"Falls p wahr ist und q wahr ist, dannist p and q wahr
Für alle Zeilen: wenn p dann q sonst falsch
Symbole: und, and, •,
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p q p and q
w w w
w f f
f w f
f f f
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Wahrheitstabelle für die Disjunktion
Beachte: p or q ist nur dann falsch wenn beide Teilaussagen falsch sind
Für alle: wenn p dann wahr sonst q
Symbole: oder, or, +,
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p q p or q
w w w
w f w
f w w
f f f
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Beispiele
Eisen ist magnetisch and Gold ist gelb
ist wahr
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Eisen ist magnetisch and Gold ist magnetisch
ist falsch
Eisen ist magnetisch or Gold ist gelb
ist wahr
Eisen ist magnetisch or Gold ist magnetisch
ist wahr
Eisen ist gelb or Gold ist magnetisch
ist falsch
wahr and wahr
wahr and falsch
wahr or wahr
wahr or falsch
falsch or falsch
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Wahrheitstabelle für die Negation
Symbole: nicht, not, ¬
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Vorrangregelung der logischen Operatoren :
1. not 2. and 3. or 4. Vergleiche
Kann durch Setzen von Klammern aufgehoben werden
p not p
w f
f w
p or q and r ≠ (p or q) and r
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Bemerkungen zur Disjunktion
Umgangssprachlich bedeutet "oder" meistens:
p oder q oder beide (sie ist intelligent oder sie studiert jede Nacht)
p or q bedeutet immer "p oder q oder beide" (siehe Wahrheitstabelle)
manchmal bedeutet "oder" jedoch:
p oder q aber nicht beide (sie telefoniert aus Basel oder aus Genf)
für diese Bedeutung wird die exklusive Disjunktion (xor) angewandt
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Beachte: p xor q ist dann falsch wennbeide Teilaussagen entweder falschoder richtig sind.
p q p xor q
w w f
w f w
f w w
f f f
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Disjunktion oder exklusive Disjunktion?
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Genauer: drink and < 1 Glas xor drive
Genauer: drink xor drive Aber stimmt das?
Genauer: (drink and ≤ 1 Glas and drive) or (drink and > 1 Glas and not drive)
Stimmts jetzt?
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Das neue Plakat
© Raphael Theiler
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Ein paar Spezialfälle
Logische Äquivalenzennot p or not q not ( p and q ) (de Morgan)not p and not q not ( p or q )
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p not p p or not p
w f w
f w w
p not p p and not p
w f f
f w f
Tautologie
p or not p
Widerspruch
p and not p
• Daten verwalten (2)
• Logische Verknüpfungen als Grundlage für die Informationsgewinnung
• Werete von Aussagen: Wahrheitstabellen
• Grafische vs. formale Darstellung von AbfragenGrafische vs. formale Darstellung von Abfragen• Boolesche Algebra
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Grafische vs. formale Darstellung logischer Verknüpfungen
Alle Nahrungsmittelmit Eisen
Alle Nahrungsmittel mit Zink
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Logischer Ausdruck
(Menge < 2 mg) and (Nährstoff = Eisen) or (Nährstoff = Zink)
Mengendiagramme
Welche Nahrungsmittel enthalten weniger als 2 mg Eisen oder Zink?
Alle Nahrungsmittel mit Menge < 2 mg
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Grafische vs. formale Darstellung logischer Verknüpfungen
Eisen
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Menge and Eisen
Zink
Menge
(Menge < 2 mg) and (Nährstoff = Eisen) or (Nährstoff = Zink)
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Grafische vs. formale Darstellung logischer Verknüpfungen
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Logischer Ausdruck
(Nährstoff = Eisen) and (Menge < 2 mg) or
(Nährstoff = Zink) and (Menge < 2 mg)
Welche Nahrungsmittel enthalten weniger als 2 mg Eisen oder weniger als 2 mg Zink?
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Wahrheitstabellen für die Analyse logischer Ausdrücke
< 2 mg Eisen Zink Eisen or Zink (Eisen or Zink) and < 2 mg
W W W W W
W W F W W
W F W W W
W F F F F
F W W W F
F W F W F
F F W W F
F F F F F
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(Menge < 2 mg) and (( Nährstoff = Eisen) or (Nährstoff = Zink))
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Wahrheitstabellen für die Analyse logischer Ausdrücke
< 2 mg Eisen Zink < 2 mg and Eisen < 2 mg and Eisenor Zink
W W W W W
W W F W W
W F W F W
W F F F F
F W W F W
F W F F F
F F W F W
F F F F F
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(Menge < 2 mg) and ( Nährstoff = Eisen) or (Nährstoff = Zink)
• Daten verwalten (2)
• Logische Verknüpfungen als Grundlage für die Informationsgewinnung
• Werte von Aussagen: Wahrheitstabellen
• Grafische vs. formale Darstellung von Abfragen
• Boolesche AlgebraBoolesche Algebra
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Boolesche Algebra
Eine Menge M mit zwei Verknüpfungen "•" und "+" heisst Boolesche* Algebra, wenn für alle x, y, z M gilt:
(1) x • (y • z) = (x • y) • z; Assoziativ
(2) x + (y + z) = (x + y) + z; Assoziativ
(3) x • y = y • x; Kommutativ
(4) x + y = y + x; Kommutativ
(5) x • (x + y) = x; Absorption
(6) x + (x • y) = x; Absorption
(8) x • (y + z) = (x • y) + (x • z); Distributiv
(8) x + (y • z) = (x + y) • (x + z); Distributiv
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* nach George Boole, englischer Mathematiker, 1815 – 1864
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Boolesche Algebra
(9) es gibt ein Element 0 M mit 0 • x = 0 und 0 + x = x für alle x M ;Neutrales Element
(10) es gibt ein Element 1 M mit 1 • x = x und 1 + x = x für alle x M ;
Neutrales Element
(11) zu jedem x M existiert genau ein y M mit x • y = 0 und x + y = 1;
Komplementäres Element
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Wir ersetzen "wahr" mit "1" und "falsch" mit "0" und wenden die Boolesche Algebra auf logische Ausdrücke an.
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Vereinfachung logischer Ausdrücke
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Ananas und Banane oder Ananas und keine Banane oder keine Ananas und keine Banane
Wir möchten einen Fruchtsalat mit Ananas und Bananen oder mit Ananas und keinen Bananen oder mit keinen Ananas und keinen Bananen.
Können wir das einfacher sagen?
Was sagen wir überhaupt?
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Vereinfachung logischer Ausdrücke
1. (A • B) + (A • ¬B) + (¬A • ¬B)
2. [A • (B + ¬B)] + (¬A • ¬B) Distributivgesetz
3. (A • 1) + (¬A • ¬B) komplementäres Element bez. +
4. A + (¬A • ¬B) neutrales Element bez. •
5. (A + ¬A) • (A + ¬B) Distributivgesetz
6. 1 • (A + ¬B) komplementäres Element bez. +
7. A + ¬B neutrales Element bez. •
Aber . . . sind der 1. und der 7. Ausdruck auch äquivalent?
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Ananas und Banane oder Ananas und keine Banane oder keine Ananas und keine Banane
Ananas oder keine Banane
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Verifizierung logischer Ausdrücke
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A B ((A • B) + (A • ¬B)) + (¬A • ¬B)
1 1 1 1 1 1 1 0 0 1 0 0 0
1 0 1 0 0 1 1 1 1 1 0 0 1
0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1
Schritt: 1 2 1 5 1 3 1 6 1 4 1
A B A + ¬B
1 1 1 1 0
1 0 1 1 1
0 1 0 0 0
0 0 0 1 1
Schritt: 1 2 1
Reihenfolge:1. Aussage2. Logischer Ausdruck (Symbole)3. Boolesche Algebra4. Ausdruck evaluieren
1. Ausdruck:
7. Ausdruck:
Danke für Ihre Aufmerksamkeit
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