Đề thi học sinh giỏi toán cấp trường - trường thpt nguyễn thượng hiền -...
Post on 27-Jul-2015
2.364 Views
Preview:
DESCRIPTION
TRANSCRIPT
1. a) (2đ) Giải phương trình
b) (2đ) Giải hệ phương trình
2. (4đ) Cho 3 số thực dương x, y, z thỏa mãn x + y + z = 1. Tìm GTNN
3. a) (2đ) Giải phương trình nghiệm nguyên:
b) (2đ) Chứng minh rằng nếu n là số tự nhiên sao cho n+1 và 2n+1 đều là các số chính
phương thì n là bội số của 24
4. (4đ) Tam giác nhọn ABC thỏa hệ thức:
Chứng minh tam giác ABC đều
5. (4đ) Cho tam giác ABC nội tiếp trong đường tròn (O). Tìm quỹ tích những điểm M nằm
trong (O) sao cho các dây cung đi qua M là AA’, BB’, CC’ thỏa mãn hệ thức:
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TP.HCM
TRƯỜNG THPT NGUYỄN THƯỢNG HIỀN
ĐỀ CHÍNH THỨC
KỲ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG
TRƯỜNG THPT NGUYỄN THƯỢNG HIỀN
NĂM HỌC 2009-2010
ĐỀ THI MÔN TOÁN KHỐI 10
Thời gian làm bài: 180 phút (không kể thời gian phát đề)
(đề thi gồm có: 01 trang)
GIẢI ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI NGUYỄN THƯỢNG HIỀN
MÔN TOÁN KHỐI 10 - NĂM HỌC 2009-2010
1. a) (2đ) Giải phương trình
đk:
Phương trình đã cho tương đương:
Xét . Từ đk ta có:
Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất
b) (2đ) Giải hệ phương trình
Trừ hai phương trình của hệ, ta có:
TH1:
Thay vào ta có:
không nghiệm đúng hệ
TH2:
Thay vào ta có:
Vậy hệ phương trình đã cho có 2 nghiệm
2. (4đ) Cho 3 số thực dương x, y, z thỏa mãn x + y + z = 1. Tìm GTNN
Chứng minh bất đẳng thức phụ:
Ta có:
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a = b = c
Áp dụng bất đẳng thức phụ, ta có:
Tiếp tục áp dụng bất đẳng thức phụ, ta có:
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi
Suy ra:
Chứng minh một bất đẳng thức phụ khác:
Ta có:
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a = b = c
Áp dụng bất đẳng thức phụ, ta có:
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi x = y = z
Từ (*) và (**) ta suy ra:
Dấu “=” xảy ra
Vậy
3. a) (2đ) Giải phương trình nghiệm nguyên:
Dễ thấy phương trình có nghiệm đặc biệt x = y = 0
Do . Xem (**) như phương trình bậc hai ẩn y
Ta có bảng sau:
x – q 1 7 –1 –7
x + q 7 1 –7 –1
x 4 -4
y 2 –1 1 –2
Vậy phương trình đã cho có 5 nghiệm nguyên
b) (2đ) Chứng minh rằng nếu n là số tự nhiên sao cho n+1 và 2n+1 đều là các số chính
phương thì n là bội số của 24
Ta có . Giả sử k chẵn là số chẵn (vô lí)
lẻ
chẵn. Ta có lẻ (n chẵn). Chứng minh như trên ta
có l lẻ
Do là 2 số liên tiếp nên chắc chắn có 1 số chia hết cho 2
Ta có
Ta lại có
Mặt khác
Từ (a), (b) và (c)
4. (4đ) Tam giác nhọn ABC thỏa hệ thức:
Chứng minh tam giác ABC đều
Ta có
Tương tự:
Đặt . Ta có:
Ta chứng minh bất đẳng thức phụ. Từ BĐT B.C.S, ta có:
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi
Áp dụng bất đẳng thức phụ, ta có:
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi
Ta chứng minh 2 BĐT phụ khác. Ta có:
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a = b = c
Áp dụng BĐT phụ, ta suy ra:
Ta chứng minh đẳng thức phụ: . Ta có:
Áp dụng đẳng thức trên, ta suy ra:
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi:
Với a = b = c, ta suy ra:
(do tam giác ABC nhọn)
Từ đây suy ra tam giác ABC đều (đpcm)
5. (4đ) Cho tam giác ABC nội tiếp trong đường tròn (O). Tìm quỹ tích những điểm M
nằm trong (O) sao cho các dây cung đi qua M là AA’, BB’, CC’ thỏa mãn hệ thức:
Gọi G là trọng tâm tam giác ABC, R là bán
kính đường tròn (O) ngoại tiếp tam giác ABC
o Phần thuận
Ta có:
Với , ta có:
Mặt khác, kết hợp giả thiết ta lại có:
Tam giác MOG vuông tại M (định lý Pythagore đảo)
M thuộc đường tròn đường kính OG
o Phần đảo
Ta có:
luôn nằm trong đường tròn (O)
Ta có M thuộc đường tròn đường kính OG. Cần chứng minh
Ta có (định lý Pythagore)
o Kết luận
Vậy quỹ tích điểm M là đường tròn đường kính OG
top related