delay systems applied queuing theory network of queues

PPKE ITK

2008/09tanév

8.félév

(tavaszi)

Távközlő rendszerekTávközlő rendszerekforgalmi elemzéseforgalmi elemzése

TájékoztatásTájékoztatáshttp://digitushttp://digitus.itk.ppke.hu/~gosztony/.itk.ppke.hu/~gosztony/

14-2.

Távközlő rendszerek forgalmi elemzése/TTE-14-2 – 2009. 05. 12.Távközlő rendszerek forgalmi elemzése/TTE-14-2 – 2009. 05. 12. 22

1.1. Delay SystemsDelay Systems

2.2. Applied Queuing theoryApplied Queuing theory

3.3. Network of QueuesNetwork of Queues

Network of QueuesNetwork of Queues

TPV rendszerekben, számítógépes hálózatokban, TPV rendszerekben, számítógépes hálózatokban, Internetben, IP rendeszerekben … ez a szokásosInternetben, IP rendeszerekben … ez a szokásosüzemmód. üzemmód.

Távközlő rendszerek forgalmi elemzése/TTE-14-2 – 2009. 05. 12.Távközlő rendszerek forgalmi elemzése/TTE-14-2 – 2009. 05. 12. 33

1.1. BevezetésBevezetés2.2. Szimmetrikus várakozásos rendszerekSzimmetrikus várakozásos rendszerek3.3. Jackson tételeJackson tétele4.4. Várakozásos hálózatok egyetlen lánccal Várakozásos hálózatok egyetlen lánccal 5.5. Többdimenziós várakozásos hálózatokTöbbdimenziós várakozásos hálózatok6.6. Zárt várakozásos hálózatok több lánccalZárt várakozásos hálózatok több lánccal7.7. Egyéb kérdésekEgyéb kérdések

Várakozásos rendszerek Várakozásos rendszerek

MárMárvoltvolt

Távközlő rendszerek forgalmi elemzése/TTE-14-2 – 2009. 05. 12.Távközlő rendszerek forgalmi elemzése/TTE-14-2 – 2009. 05. 12. 44

Egyetlen lánc – 4. Egyetlen lánc – 4.

MVA algoritmusMVA algoritmus

(Mean Value Algorithm)(Mean Value Algorithm)

KK csomópont, csomópont, SS igény (egyetlen láncban), igény (egyetlen láncban), ααkk relatívrelatív

forgalmak. Rekurzió az igények forgalmak. Rekurzió az igények xx darabszáma szerint. darabszáma szerint.A A k.k. csomópontnál átlagosan csomópontnál átlagosan LLkk(x)(x) igény van igény van

Em

léke

ztető

!E

mlé

kezt

ető

!

Távközlő rendszerek forgalmi elemzése/TTE-14-2 – 2009. 05. 12.Távközlő rendszerek forgalmi elemzése/TTE-14-2 – 2009. 05. 12. 55

Egyetlen lánc – 5. Egyetlen lánc – 5. Lépések:Lépések:

sskk az átlagos tartásidő az az átlagos tartásidő az nnkk kiszolgáló egységet kiszolgáló egységet tartalmazó tartalmazó k.k. csomópontban csomópontban

itt azonnalitt azonnalkiszolgáljákkiszolgálják

(Processor Sharing)(Processor Sharing) (Preemptive Resume)(Preemptive Resume)

average sojourn time!!average sojourn time!!

Távközlő rendszerek forgalmi elemzése/TTE-14-2 – 2009. 05. 12.Távközlő rendszerek forgalmi elemzése/TTE-14-2 – 2009. 05. 12. 66

Egyetlen lánc – 6. Egyetlen lánc – 6.

Ha x=1, akkor nincs várakozás a rendszerben Ha x=1, akkor nincs várakozás a rendszerben WWkk (1) = s (1) = skk

Példa Példa nnkk = 1 = 1 esetére, azonban a módszer esetére, azonban a módszer általánosítható tetszőleges általánosítható tetszőleges nnkk-re-re

Távközlő rendszerek forgalmi elemzése/TTE-14-2 – 2009. 05. 12.Távközlő rendszerek forgalmi elemzése/TTE-14-2 – 2009. 05. 12. 77

Egyetlen lánc – 14.4.3 példa – 1. Egyetlen lánc – 14.4.3 példa – 1. 14.4.3 példa14.4.3 példa (= 14.4.2 példa, de MVA-val) (= 14.4.2 példa, de MVA-val)

K=3, S=4, K=3, S=4,

relatív relatív kk értékek:értékek:

Képletek a rekurzióhoz:Képletek a rekurzióhoz:i

iiii s

aa

ii

1s

Távközlő rendszerek forgalmi elemzése/TTE-14-2 – 2009. 05. 12.Távközlő rendszerek forgalmi elemzése/TTE-14-2 – 2009. 05. 12. 88

Egyetlen lánc – 14.4.3 példa – 2. Egyetlen lánc – 14.4.3 példa – 2.

Képletek a rekurzióhoz:Képletek a rekurzióhoz:

x (=S) = 1x (=S) = 1

WWkk (1) = s (1) = skk !!

Távközlő rendszerek forgalmi elemzése/TTE-14-2 – 2009. 05. 12.Távközlő rendszerek forgalmi elemzése/TTE-14-2 – 2009. 05. 12. 99

Egyetlen lánc – 14.4.3 példa – 3. Egyetlen lánc – 14.4.3 példa – 3.

Képletek a rekurzióhoz:Képletek a rekurzióhoz:

x (=S) = 2x (=S) = 2

Távközlő rendszerek forgalmi elemzése/TTE-14-2 – 2009. 05. 12.Távközlő rendszerek forgalmi elemzése/TTE-14-2 – 2009. 05. 12. 1010

Egyetlen lánc – 14.4.3 példa – 4. Egyetlen lánc – 14.4.3 példa – 4.

Képletek a rekurzióhoz:Képletek a rekurzióhoz:

x (=S)x (=S) = 3= 3

Távközlő rendszerek forgalmi elemzése/TTE-14-2 – 2009. 05. 12.Távközlő rendszerek forgalmi elemzése/TTE-14-2 – 2009. 05. 12. 1111

Egyetlen lánc – 14.4.3 példa – 5. Egyetlen lánc – 14.4.3 példa – 5.

Képletek a rekurzióhoz:Képletek a rekurzióhoz:

x (=S)x (=S) = 4= 4

A tartózkodási időkA tartózkodási idők(sojourn times) ugyanazok(sojourn times) ugyanazokmint a 14.4.2 példában !mint a 14.4.2 példában !

Távközlő rendszerek forgalmi elemzése/TTE-14-2 – 2009. 05. 12.Távközlő rendszerek forgalmi elemzése/TTE-14-2 – 2009. 05. 12. 1212

BCMP várakozásos hálózatok – 1. BCMP várakozásos hálózatok – 1.

Egynél több típusú igény esetén is lehetséges a szorzatEgynél több típusú igény esetén is lehetséges a szorzatalakú megoldásalakú megoldás(Jackson második modelljének általánosítása. (Jackson második modelljének általánosítása. BCMPBCMP Baskett, Baskett,Chandy, Muntz és Palacios - 1975)Chandy, Muntz és Palacios - 1975)

Feltételek:Feltételek:

BCMP–networksBCMP–networks can be evaluated with the multi-dimensional can be evaluated with the multi-dimensional convolution algorithm and theconvolution algorithm and the multidimensional MVA algorithm.multidimensional MVA algorithm.

Távközlő rendszerek forgalmi elemzése/TTE-14-2 – 2009. 05. 12.Távközlő rendszerek forgalmi elemzése/TTE-14-2 – 2009. 05. 12. 1313

Kevert várakozásos hálózatok Kevert várakozásos hálózatok

Mixed queueing networksMixed queueing networks (open & closed) are (open & closed) are calculated by first calculating the traffic load incalculated by first calculating the traffic load in each node each node from the open chains. This traffic must be carried to enter from the open chains. This traffic must be carried to enter statistical equilibrium.statistical equilibrium. The capacity of the nodes are The capacity of the nodes are reduced by this traffic, and the closed queueing network isreduced by this traffic, and the closed queueing network is calculated by the reduced capacity. So the main problem is calculated by the reduced capacity. So the main problem is to calculate closed networks.to calculate closed networks. For this we have more For this we have more algorithms among which the most important ones are algorithms among which the most important ones are convolutionconvolution algorithm and the MVA (Mean Value Algorithm) algorithm and the MVA (Mean Value Algorithm) algorithm.algorithm.

Távközlő rendszerek forgalmi elemzése/TTE-14-2 – 2009. 05. 12.Távközlő rendszerek forgalmi elemzése/TTE-14-2 – 2009. 05. 12. 1414

Több-dimenziós rendszerekTöbb-dimenziós rendszerek – 1.– 1.

A rendszerben egynél több típusú igény található.A rendszerben egynél több típusú igény található.

M/M/1M/M/1

jj intenzitású intenzitású

Poisson bemeneti Poisson bemeneti folyamat (folyamat (j=1,2j=1,2))

μμi ji j megszűnési megszűnési

intenzitás intenzitás az (az (i,ji,j) ) állapotban.állapotban. Megválasztható Megválasztható állapotfüggállapotfüggőőnek, pl.:nek, pl.:

Távközlő rendszerek forgalmi elemzése/TTE-14-2 – 2009. 05. 12.Távközlő rendszerek forgalmi elemzése/TTE-14-2 – 2009. 05. 12. 1515

Több-dimenziós rendszerekTöbb-dimenziós rendszerek – 2.– 2.

Kiszolgálási idők értelmezéseKiszolgálási idők értelmezése

Távközlő rendszerek forgalmi elemzése/TTE-14-2 – 2009. 05. 12.Távközlő rendszerek forgalmi elemzése/TTE-14-2 – 2009. 05. 12. 1616

Több-dimenziós rendszerek – 3. Több-dimenziós rendszerek – 3.

Helyi egyensúlyHelyi egyensúly (local (local balance) van.balance) van.(! Lásd reverzibilis Markov(! Lásd reverzibilis Markovfolyamatok.)folyamatok.)

Szorzat forma előállíthatóSzorzat forma előállítható::

Többlettényező a többdimenziós Többlettényező a többdimenziós Erlang B képlethez képest.Erlang B képlethez képest.

Távközlő rendszerek forgalmi elemzése/TTE-14-2 – 2009. 05. 12.Távközlő rendszerek forgalmi elemzése/TTE-14-2 – 2009. 05. 12. 1717

Több-dimenziós rendszerekTöbb-dimenziós rendszerek – 4.– 4.

N különböző N különböző típusú igény típusú igény esetében esetében (egyetlen(egyetlencsomópontra)csomópontra)::

polinomiálispolinomiális eloszláseloszlás

Ha , akkor M/M/1 rendszerhez jutunk intenzitással.Ha , akkor M/M/1 rendszerhez jutunk intenzitással.

Ilyenkor: Ilyenkor:

Távközlő rendszerek forgalmi elemzése/TTE-14-2 – 2009. 05. 12.Távközlő rendszerek forgalmi elemzése/TTE-14-2 – 2009. 05. 12. 1818

Több-dimenziós rendszerekTöbb-dimenziós rendszerek – 5.– 5.ÖsszefoglalásÖsszefoglalás Egy kiszolgáló szerv Egy kiszolgáló szerv

M/M/nM/M/n

Távközlő rendszerek forgalmi elemzése/TTE-14-2 – 2009. 05. 12.Távközlő rendszerek forgalmi elemzése/TTE-14-2 – 2009. 05. 12. 1919

1.1. A A konvolúciós algoritmuskonvolúciós algoritmus módosított formában módosított formában alkalmazható.alkalmazható.

Részletek: Jegyzet 14.7.1 + példaRészletek: Jegyzet 14.7.1 + példa

2.2. MVA algoritmusMVA algoritmus is alkalmazható is alkalmazható

3.3. Állapotok számaÁllapotok száma rohamosan növekszik rohamosan növekszik

Több-dimenziós rendszerekTöbb-dimenziós rendszerek – 6.– 6.

ααj kj k mutatja mutatja j.j. lánc forgalmát a lánc forgalmát a k.k.

csomópontban csomópontban

Távközlő rendszerek forgalmi elemzése/TTE-14-2 – 2009. 05. 12.Távközlő rendszerek forgalmi elemzése/TTE-14-2 – 2009. 05. 12. 2020

Kleinrock négyzetgyök szabály – 1.Kleinrock négyzetgyök szabály – 1.

Optimális kapacitás hozzárendelés:Optimális kapacitás hozzárendelés:

várakozás +várakozás +kiszolgáláskiszolgálás

mivel az átlagosmivel az átlagostartózkodási időtartózkodási időM/M/1-re: M/M/1-re: mmlásd: Jegyzet 12.4.1lásd: Jegyzet 12.4.1

Távközlő rendszerek forgalmi elemzése/TTE-14-2 – 2009. 05. 12.Távközlő rendszerek forgalmi elemzése/TTE-14-2 – 2009. 05. 12. 2121

Kleinrock négyzetgyök szabály – 2.Kleinrock négyzetgyök szabály – 2.

ahol:ahol:

várakozás +várakozás +kiszolgáláskiszolgálás

Legyen a rendszer teljes kapacitásaLegyen a rendszer teljes kapacitása

Minden olyan kapacitás kiosztásra, amely ezt teljesiti az alábbi Minden olyan kapacitás kiosztásra, amely ezt teljesiti az alábbi átlagos tartózkodási időt adja az összes üzenet (igény) számára:átlagos tartózkodási időt adja az összes üzenet (igény) számára:

Távközlő rendszerek forgalmi elemzése/TTE-14-2 – 2009. 05. 12.Távközlő rendszerek forgalmi elemzése/TTE-14-2 – 2009. 05. 12. 2222

Kleinrock négyzetgyök szabály – 3.Kleinrock négyzetgyök szabály – 3.További jelölések:További jelölések:

Kleinrock’s square root lawKleinrock’s square root law: : The optimal allocation of capacity whichThe optimal allocation of capacity which minimizes minimizes mm11 (and thus the total number of messages in all nodes) is:(and thus the total number of messages in all nodes) is:

ha teljesül, hogy:ha teljesül, hogy:

Ezzel:Ezzel:

Bizonyítás: p. 312-313Bizonyítás: p. 312-313

Távközlő rendszerek forgalmi elemzése/TTE-14-2 – 2009. 05. 12.Távközlő rendszerek forgalmi elemzése/TTE-14-2 – 2009. 05. 12. 2323

Értelmezés:Értelmezés:

Optimális a kiosztásOptimális a kiosztás, ha minden csomóponthoz először, ha minden csomóponthoz előszöra szükséges minimális kapacitást rendeljük. Majda szükséges minimális kapacitást rendeljük. Majda megmaradó kapacitást, ami a megmaradó kapacitást, ami

miatt:miatt:

az átlagos forgalom folyam négyzetgyökével az átlagos forgalom folyam négyzetgyökével arányosan osztjuk szét. arányosan osztjuk szét.

Kleinrock négyzetgyök szabály – 4.Kleinrock négyzetgyök szabály – 4.