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Departamento Ingeniería de Mecánica
TESIS DOCTORAL
Modelo Matemático Promediado en Volumen para la Transferencia de Calor en Medios Porosos con Tres Fases
presentada por
Angélica Gabriela Vital Ocampo M. en C. en Ing. Mecánica por el cenidet
como requisito para la obtención del grado de:
Doctor en Ciencias en Ingeniería Mecánica
Director (es) de tesis: Dr. Octavio Cazarez Candia.
Dra. Sara Lilia Moya Acosta
Cuernavaca, Morelos, México.
Departamento de Mecánica.
TESIS DOCTORAL
Modelo Matemático Promediado en Volumen para la Transferencia de Calor en Medios Porosos con Tres Fases.
presentada por
Angélica Gabriela Vital Ocampo M. en C. en Ing. Mecánica por el cenidet
como requisito para la obtención del grado de:
Doctor en Ciencias en Ingeniería Mecánica.
Director (es) de tesis:
Dr. Octavio Cazarez Candia. Dra. Sara Lilia Moya Acosta
Jurado:
_______________________________ ____________________________ Dr. Jesús Perfecto Xamán Villaseñor – Presidente Dr. Octavio Cazarez Candia – Secretario __________________________ _______________________________ Dr. Gilberto Espinosa Paredes– Vocal Dr. Gustavo Urquiza Beltrán– Vocal _____________________________ Sara Lilia Moya Acosta – Vocal
“2011, Año del Turismo en México”
Interior Internado Palmira S/N, Col. Palmira C.P. 62490, Cuernavaca, Morelos, México Tel. 01(777) 362‐7770 (con 10 líneas), Fax 01(777) 362‐7795
www.cenidet.edu.mx
SUBSECRETARÍA DE EDUCACIÓN SUPERIOR DIRECCIÓN GENERAL DE EDUCACIÓN SUPERIOR TECNOLÓGICA CENTRO NACIONAL DE INVESTIGACIÓN Y DESARROLLO TECNOLÓGICO
ESC\FORDOC09
ACEPTACIÓN DEL TRABAJO DE TESIS DOCTORAL
Cuernavaca, Morelos a 28 de Febrero del 2011
Dr. Jesús Arce landa Jefe del Depto. de Ing. Mecánica P r e s e n t e Los abajo firmantes, miembros del Comité Tutorial de la Tesis Doctoral de la alumna M.C. ANGELICA GABRIELA VITAL OCAMPO, manifiestan que después de haber revisado su trabajo de tesis doctoral titulado “MODELO MATEMÀTICO PROMEDIADO EN VOLUMEN PARA LA TRANSFERENCIA DE CALOR EN MEDIOS POROSOS CON TRES FASES”, realizado bajo la dirección del Dr. Octavio Cazarez Candia y co-dirección de la Dra. Sara Lilia Moya Acosta, el trabajo se ACEPTA para proceder a su impresión.
A T E N T A M E N T E
_______________________________ DR. OCTAVIO CAZAREZ CANDIA
INVESTIGADOR INSTITUTO MEXICANO DEL PETROLEO
_______________________________
DRA. SARA LILIA MOYA ACOSTA PROFESOR -INVESTIGADOR
CENIDET
_______________________________ DR. GILBERTO ESPINOSA PAREDES
PROFESOR-INVESTIGADOR UAM IZTAPALAPA
_______________________________ DR. GUSTAVO URQUIZA BELTRÁN
PROFESOR-INVESTIGADOR UAEM
_______________________________ DR. JESUS PERFECTO XAMAN
VILLASEÑOR PROFESOR -INVESTIGADOR
CENIDET
C.p.: L.I Guadalupe Garrido Rivera / Jefa de Servicios Escolares Dr. Gerardo Reyes Salgado/ Subdirector Académico
Expediente
i
Resumen En este trabajo se obtienen las ecuaciones promediadas en volumen de masa, cantidad de
movimiento y energía para un flujo multifásico de dos líquidos y un gas a través de un medio
poroso homogéneo, isotrópico y rígido. Las ecuaciones se obtuvieron aplicando el método del
promedio volumétrico sobre las ecuaciones locales en régimen transitorio para las fases,
interfases, líneas y puntos de contacto.
Al aplicar dicho método se obtienen de forma natural términos adicionales conocidos como
términos de cerrado, los cuales son definidos en función de variables dependientes y al
aplicarlos sobre el sistema de ecuaciones promediadas dan lugar a un sistema cerrado de
ecuaciones.
En la obtención de las ecuaciones se toma en cuenta lo siguiente: a) flujo simultáneo de un gas
y dos líquidos inmiscibles, b) generación de masa y calor debido a una reacción química, c)
fluxes difusivos; los fluxes netos van de las fases a las interfases, de las interfases a las líneas
de contacto y de las líneas de contacto al punto de contacto (proceso cascada), y d)
transferencia de masa. Además se supuso: a) una fase sólida no-permeable y rígida, b) fluidos
Newtonianos, y c) coordenadas cartesianas en tres dimensiones.
Se obtuvieron dos versiones de la ecuación de energía; una bajo la suposición de desequilibrio
térmico (modelo de fases separadas) y otra bajo la suposición de equilibrio térmico (modelo de
una ecuación).
Las ecuaciones promediadas en volumen para las fases se usaron para simular la recuperación
de hidrocarburos por medio de la técnica combustión in-situ. En la simulación se toma en
cuenta lo siguiente: 1) el gas es incompresible, 2) la fase gas es una mezcla de oxígeno, vapor
de agua, vapor de aceite, y gases de combustión, 3) la generación de masa debido a la reacción
ii
química del aceite, 4) la generación de masa debido a la reacción química entre el coque y el
oxígeno, 5) la transferencia de masa debido al cambio de fase del aceite y agua. La ecuación
de cantidad de movimiento se simplificó hasta llegar a la ecuación de Darcy.
Se propusieron las ecuaciones de cerrado para el cambio de fase del agua y del aceite así como
los términos de generación de calor a causa de reacciones químicas.
Las ecuaciones de masa se resolvieron numéricamente usando la técnica de diferencias finitas.
con un esquema explícito y para la ecuación de energía se usó la el esquema de Crank-
Nicolson.
Las predicciones de temperatura, presión y volumen de aceite recuperado obtenidas con el
modelo mostraron resultados aceptables al ser comparados con datos experimentales. Por otro
lado, el modelo también permite predecir perfiles de: a) saturaciones de aceite, agua y gas, y
b) fracciones masa para oxígeno, vapor de aceite y agua.
Las principales contribuciones de esta tesis son: a) la derivación de las ecuaciones de masa,
cantidad de movimiento y energía para las líneas y puntos de contacto promediadas en
volumen para flujo multifásico, y b) el uso de las ecuaciones conservación promediadas en
volumen para resolver un problema de combustión in-situ que involucra la vaporización de
aceite.
La tesis esta conformada por siete capítulos. En el capítulo uno, se muestra la importancia y
relevancia del trabajo doctoral realizado. Por otra parte se presenta la descripción general del
problema y su metodología de solución. En el capítulo dos, se presentan las consideraciones y
suposiciones generales, y las ecuaciones locales de masa para la fase, interfase, línea y punto
de contacto. En el mismo capítulo se definen los teoremas de promediado, se obtienen las
ecuaciones promediadas de masa en cada una de las regiones antes mencionadas y se muestra
la comparación de las ecuaciones promediadas obtenidas con otros trabajos. En los capítulos
iii
tres y cuatro, se proponen las ecuaciones locales de cantidad de movimiento y energía para la
fase, interfase, línea y punto de contacto, se obtienen las ecuaciones promediadas y se muestra
la comparación de las ecuaciones de cantidad de movimiento y energía obtenidas con otros
trabajos. En el capítulo cinco, se obtiene la ecuación de energía una bajo la consideración de
desequilibrio térmico y otra bajo la suposición de equilibrio térmico.. En el capítulo seis, se
plantea el modelo físico para un problema de combustión in-situ, se proponen las
consideraciones y suposiciones para dicho problema, se obtiene el modelo de combustión in-
situ, se presenta la solución numérica y se realiza la comparación entre los resultados
obtenidos y lo datos experimentales. Finalmente en el capítulo siete, se presentan las
conclusiones y recomendaciones del trabajo doctoral desarrollado.
iv
Abstract
In this work are obtained the average volume mass, momentum and energy equations for the
multiphase flow of gas and two immiscible liquids in a homogeneous, isotropic, and rigid
porous media. The average equations are obtained averaging the transient and local mass,
momentum and energy equations using the volume averaging method. The average equations
are obtained for phases, interfaces, lines and common points.
Additional terms arise when the volume averaging method is applied. Such terms are known
as closure terms, which should be defined as function of dependent variables. These terms
allow obtaining a closed equations system.
The average equations are obtained taken into account: a) the simultaneous flow of one gas
and two immiscible liquids, b) the mass and heat generation due to chemical reactions, c)
diffusive fluxes; the diffusive fluxes go from phases to interfaces, from interfaces to contact
lines and from contact lines to contact point (cascade process), and d) mass transfer. Moreover
the next suppositions are made: a) non-permeable and rigid solid phase, b) Newtonian fluids,
and c) coordinated cartesian in three dimensions.
The energy equation is obtained for non-thermal equilibrium (separate equations model) and
for thermal equilibrium (one equation model).
The obtained volume averaged phase equations are used to simulate the in-situ combustion
technique in oil reservoirs. In the simulation it is considered that: 1) the gas phase is
compressible, 2) the gas phase is a mixture composed by nitrogen, oxygen, oil vapor, steam,
and combustion gases, 3) the mass generation is presented due to the chemical reaction of oil,
4) there is gas generation due to the chemical reaction between coke and oxygen, and 5) the
v
mass transfer can be presented due to the phase change of oil and water. The momentum
equation is simplified to get the Darcy Law.
The closure relationships for the water and oil phase change and mass generation due to
chemical reactions are proposed.
The mass equations are numerically solved using the finite differences technique with an
explicit scheme and the Crack-Nicholson scheme is used to solve the energy equation.
The predictions of temperature, pressure and oil recovery obtained with the model are in
agreement with experimental data. The mathematical model is also able to predict the profiles
of: a) oil, water and gas saturations, and b) oxygen, oil vapor, and water steam mass fractions.
The main contributions of this thesis are: a) the volume averaged mass, momentum and energy
equations for lines and contact points for multiphase flow, and b) the use of the volume
averaged phase conservation equations (mass, momentum and energy) to solve a combustion
in-situ problem in which the oil vaporization is considered.
This thesis is formed by seven chapters. In chapter one, the importance and relevance of the
developed work is presented. Moreover the general description of the problem and the solution
methodology are given.
In chapter two, the general considerations and suppositions, and the local mass equations for
phase, interface, lines and common points are presented. In the same chapter the averaging
theorems are defined and applied to the local mass equations obtaining the averaged mass
equations which are compared with models reported in literature. In chapters three and four,
the local momentum and energy equations for phase, interface, lines and common points are
presented, and the averaged momentum and energy equations for every region above
mentioned are obtained and compared with models reported in literature. In chapter five, the
energy equation is obtained for both no-thermal and thermal equilibrium.
vi
In chapter six, the physical model for an in-situ combustion problem is described, i.e.
considerations and suppositions for such problem are proposed. Moreover the mathematical
model for an in-situ combustion problem is obtained and its numeric solution is presented and
compared with experimental data. Finally, in chapter seven, the conclusions and
recommendations about this work are presented.
vii
RECONOCIMIENTOS Se agradece al Consejo Nacional de Ciencia y Tecnología (CONACyT) por el apoyo económico brindado en la realización del presente trabajo.
viii
CONTENIDO
Lista de Figuras …………………………………………………………………………... xi
Lista de Tablas……………………………………………………………………………. xiii
Nomenclatura……………………………………………………………………………... xiv
CAPÍTULO 1: MARCO TEÓRICO Y PROBLEMA A RESOLVER 1. INTRODUCCIÓN………………...…………………………………………………… 1 1.2. ESTADO DEL ARTE………………………………………………………………... 4 1.2.1. Trabajos teóricos…………………………………………………………………. 5 1.2.2. Trabajos teórico- experimentales………………………………………………… 11 1.2.3. Ecuaciones de salto interfacial…………………………………………………… 13 1.2.4. Aplicaciones industriales………………………………………………………… 16 1.2.5. Resumen de la revisión………………………………………………………….. 19 1.2.6. Conclusiones de la revisión………………………………………………………. 24 1.3. HIPÓTESIS…………………………………………………………………………... 24 1.4. JUSTIFICACIÓN……………………………………………………………………. 25 1.5. OBJETIVO…………………………………………………………………………... 31 1.6. ALCANCE…………………………………………………………………………... 32 1. 7. DESCRIPCIÓN DEL PROBLEMA………………………………………………... 32 1.8. MÉTODOS Y PROPUESTAS DE SOLUCIÓN…………………………………….. 33 CAPÍTULO 2: ECUACIÓN DE MASA 2.1 INTRODUCCIÓN……………………………………………………………………. 38 2. 2 CONSIDERACIONES Y SUPOSICIONES………………………………………… 43 2.3 ECUACIÓN LOCAL….……………………………………………………………… 44 2. 3. 1 Ecuación para la fase……..…...…………………………………………………. 45 2. 3. 2 Ecuación para la interfase…………………………………………………..…… 46 2. 3. 3 Ecuación para la línea de contacto……….……………………………………… 47 2. 3. 4 Ecuación para el punto de contacto……………………………………………... 47 2. 4 MÉTODO DEL PROMEDIO VOLUMÉTRICO……………………………………. 48 2. 4. 1 Teoremas de promediado para el volumen……………………………………… 49 2. 4. 2 Teoremas de promediado para la interfase……………………………………… 53 2. 4. 3 Teoremas de promediado para la línea de contacto………………………….….. 54 2. 4. 4 Teoremas de promediado para el punto de contacto……………………….……. 562. 5 ECUACIÓN DE MASA PROMEDIADA…………………………………………… 57 2. 5. 1 Ecuación de masa promediada en volumen……………………………………... 57 2. 5. 2 Ecuación de masa promediada en el área interfacial…………………………….. 61 2. 5. 3 Ecuación de masa promediada en la línea de contacto………………………….. 66 2. 5. 4 Ecuación de masa promediada en el punto de contacto…………………………. 70 2. 6. DISCUSIÓN DE RESULTADOS…………………………………………………... 72 2. 7. CONCLUSIONES…………………………………………………………………... 75
ix
CONTENIDO CAPÍTULO 3: ECUACIÓN DE CANTIDAD DE MOVIMIENTO 3.1 INTRODUCCIÓN……………………………………………………………………. 76 3.2 ECUACIÓN DE CONSERVACIÓN LOCAL……………………………………….. 82 3. 2. 1 Ecuación para la fase…………………………………………………………….. 82 3. 2. 2 Ecuación para la interfase…….…………………………………………………. 83 3. 2. 3 Ecuación para la línea de contacto………….…………………………………… 84 3. 2. 4 Ecuación para el punto de contacto……………………………………………... 84 3.3 ECUACIÓN DE CANTIDAD DE MOVIMIENTO PROMEDIADA…...…………... 85 3. 3. 1 Ecuación de cantidad de movimiento promediada en el volumen………………. 85 3. 3. 2 Ecuación de cantidad de movimiento promediada en el área interfacial………... 92 3. 3 .3 Ecuación de cantidad de movimiento promediada en la línea de contacto……… 101 3. 3. 4 Ecuación de cantidad de movimiento promediada en el punto de contacto……... 110 3. 4 DISCUSIÓN DE RESULTADOS…………………………………………………… 112 3. 5 CONCLUSIONES…………………………………………………………………… 119 CAPÍTULO 4: ECUACIÓN DE ENERGÍA 4.1 INTRODUCCIÓN……………………………………………………………………. 120 4.2 ECUACIÓN DE ENERGÍA LOCAL...…..…………………………………………... 122 4. 2. 1 Ecuación para la fase…………………………………………………………….. 122 4. 2. 2 Ecuación para la interfase……………………………………………………….. 123 4. 2. 3 Ecuación para la línea de contacto…………….………………………………… 123 4. 2. 4 Ecuación para el punto de contacto…….………………………………………... 124 4.3 ECUACIÓN PROMEDIADA…..……………………………………………………. 125 4. 3. 1 Ecuación promediada en el volumen……………………………………………. 125 4. 3. 2 Ecuación promediada en el área interfacial……………………………………… 133 4. 3 .3 Ecuación promediada en la línea de contacto…………………………………… 145 4. 3. 4 Ecuación promediada en el punto de contacto…………………………………... 158 4. 4 DISCUSIÓN DE RESULTADOS…………………………………………………… 160 4. 5 CONCLUSIONES…………………………………………………………………… 170 CAPÍTULO 5: ECUACIÓN DE ENERGÍA BAJO CONDICIONES DE EQUILIBRIO Y DESEQUILIBRIO TÉRMICO
5.1 ECUACIÓN CON DESEQUILIBRIO TÉRMICO…………………………………... 171 5.1.1 Cerraduras………………………………………………………………………… 174 5.1.2 Forma Cerrada del modelo de fases separadas……………….…………………... 178 5.2 ECUACIÓN CON EQUILIBRIO TÉRMICO…..…………………………………… 180 5.3 CONCLUSIONES……………………………………………………………………. 184 CAPÍTULO 6: ECUACIONES PARA COMBUSTIÓN IN-SITU 6.1 INTRODUCCIÓN……………………………………………………………………. 185 6.2 MODELO FÍSICO……………………………………………………………………. 187 6.3 CONSIDERACIONES……………………………………………………………..… 188 6.4 ECUACIONES DE MASA…………………………………………………...…...….. 190 6.5 ECUACIONES DE CANTIDAD DE MOVIMIENTO.…………………………….... 196 6.6 ECUACIONES DE ENERGÍA.………………………………………………………. 197
x
CONTENIDO 6.7 SOLUCIÓN NUMÉRICA.…………………………………..……………………….. 200 6.7.1 Discretización de las ecuaciones gobernantes…………………………………….. 201 6.7.2 Procedimiento de solución del modelo numérico………………………………… 203 6.8 RESULTADOS……………………………………………………………………….. 209 6.9 CONCLUSIONES……………………………………………………………………. 220 CAPÍTULO7: CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES 7.1 CONCLUSIONES GENERALES……………………..…………………………… 222 7.2 RECOMENDACIONES PARA TRABAJOS POSTERIORES…………………... 223 REFERENCIAS………………………………………………………………………….
226
APÉNDICE A Vaporización de aceite…………………………………………………. 240 APÉNDICE B Publicaciones, Congresos y Conferencias……………………………... 241
xi
Lista de Figuras No. de Figura
Descripción Pág.
1.1 Flujo multifásico en medio poroso………………………………………….. 33
1.2 Regiones involucradas dentro del volumen de promediado: áreas
interfaciales ( 1 2 1 1 2 2, , , , y gsl l l g l s l g l sA A A A A A ), líneas de contacto
( 1 2 1 2 1 2, , y l l g l l s l gs l gsL L L L ), y punto de contacto ( 1 2l l gsP ). Los subíndices
indican las fases involucradas en cada región.................................................
34
1.3 Volumen de promediado. r es el vector de posición para la fase l1, x es el
vector de posición localizando el centroide del volumen de promediado, yl1
es el vector de posición en cualquier punto de la fase l1 relativo al
centroide..........................................................................................................
35
1.4 Diagrama de flujo de la metodología utilizada.……….................................. 37
6.1 Tubo de Combustión (Modificado de Cazarez-Candia, 2010)…………...… 188
6.2 Diagrama de flujo para la solución del modelo numérico………….............. 208
6.3 Comparación entre datos del experimento 1 y predicciones de temperatura
del modelo…………………………………………………………………...
209
6.4 Comparación entre datos del experimento 1 y predicciones de temperatura
del modelo sin el término de vaporización de aceite………………………..
210
6.5 Comparación entre datos del experimento 2 y predicciones de temperatura
del modelo…………………………………………………………………..
211
6.6 Comparación entre datos del experimento 2 y predicciones de temperatura
del modelo sin el término de vaporización de aceite………………………
212
6.7 Efecto del término de vaporización de aceite para el experimento 1……….. 213
6.8 Efecto del término de vaporización de aceite para el experimento 2……….. 213
xii
6.9 Perfiles de presión para el experimento 1……………………...…………… 214
6.10 Saturación de aceite para el experimento1……………………..…………... 215
6.11 Saturación de agua para el experimento1…………………………………... 215
6.12 Saturación de gas para el experimento 1………………………………….... 216
6.13 Volumen recuperado para el experimento 1………………………............... 217
6.14 Volumen recuperado para el experimento 2………………………............... 217
6.15 Fracción masa de oxígeno. experimento 1…………………………………. 218
6.16 Fracción masa de vapor de aceite para el experimento 1…………............... 219
6.17 Fracción masa de vapor de agua para el experimento 1…………..……….. 219
.
xiii
Lista de Tablas No. de Tabla Descripción Pág.
1.1 Trabajos teóricos…………………………………………………... 19
1.2 Trabajos teóricos experimentales………………………………….. 21
1.3 Trabajos de salto interfacial………………………………………. 22
1.4 Aplicaciones industriales………………………………………….. 23
2.1
Comparación de las ecuaciones de masa obtenidas contra otros
trabajos………………………....…………………….…………....
73
3.1
Comparación de las ecuaciones de cantidad de movimiento
obtenidas contra otros trabajos……………………..……………...
115
4.1
Comparación de las ecuaciones de energía obtenidas contra otros
trabajos……………………………..………………………………
163
6.1 Parámetros experimentales………………………………………... 187
xiv
NOMENCLATURA
Símbolo Descripción Unidades kmA Área interfacial (área de la superficie común a las
fases k y m) contenida en la región macroscópica ( )mkA= . k=l1, l2, g; m=l1, l2, g donde (k≠m).
m2
Cp Calor específico a presión constante. J/kg-K dA Elemento diferencial de área. m3 dL Elemento diferencial de longitud. m dP Elemento diferencial de un punto. dV Elemento diferencial de volumen. m3 g Vector de aceleración de la gravedad. m/s2 H Curvatura de la superficie. m-1
kj Flux difusivo de masa de la fase k. kg/m2-s kkmj Flux difusivo de masa de la fase k en la interfase km
(k≠m). kg/m-s kkmnj Flux difusivo de masa de la fase k en la línea de
contacto kmn (k≠m≠n). kg/m-s
kk Conductividad térmica de la fase k. W/m-K kkmk Conductividad térmica de superficie para la fase k. W/K kkmnk Conductividad térmica lineal de la fase k. J-m2/K
lk Longitud característica microscópica de la fase k. L Longitud característica macroscópica. Lkmn Longitud de la línea formada por las fases kmn; k=l1,
l2, g, s; m=l1, l2, g, s;n=l1, l2, g, s; (k≠m≠n).
M Número de las diferentes fases. N Número de los diferentes tipos de interfases.
kmn Vector normal unitario dirigido de la fase k a la fase m ( )mk= −n . k=l1, l2, g; m=l1, l2, g; (k≠m). --
kp Presión en la fase k. N/m2 kkmp Presión de la fase k en la interfase km. N/m kkmnp Presión de la fase k en la línea de contacto kmn. N
kmnqP Punto de contacto formado por la intersección de las líneas de contacto kmnq, (k≠m≠n≠q).
P Número de los diferentes tipos de puntos de contacto. Q Número de los diferentes tipos de líneas de contacto ro Longitud característica del volumen promedio. s(t) Superficie. t Tiempo. T Temperatura. K uα Coordenadas de superficie. Ukmn Velocidad de la línea de contacto kmn.
kv Velocidad de la fase k. m/s kkmv Velocidad de la fase k en la interfase km (k≠m). m/s
xv
NOMENCLATURA
kkmnv Velocidad de la fase k en la línea de contacto kmn
(k≠m≠n). m/s
pv Velocidad del punto de contacto. m/s
kV Volumen intrínseco de la fase k, k=l1, l2, g. m3 V Volumen de promediado. m3
kmw Componente normal de la velocidad interfacial ( km km kmw=w n ). m/s
SÍMBOLOS GRIEGOS kµ Viscosidad de la fase k. N-s/m2 kkmµ Viscosidad de la fase k en la interfase km. N-s/m kkmnµ Viscosidad de la fase k en la línea de contacto kmn. N-s
kρ Densidad de masa de la fase k por unidad de volumen. kg/m3
kkmρ Densidad de masa de la fase k en la interfase km. kg/m2 kkmnρ Densidad de masa de la fase k en la línea de contacto
kmn. kg/m
kε Fracción volumen de la fase k. m3/m3 kkmε Fracción en área por unidad de volumen en la
interfase km. m2/m3 kkmnε Fracción de línea por unidad de volumen en la línea
de contacto kmn. m/m3 kkmnqε Fracción de punto por unidad de volumen en el punto
de contacto kmnq. m-3
kmω Velocidad de desplazamiento de la interfase (componente normal km kmnω = ⋅w ). m/s
kΦ Generación de masa de la fase k (dada una reacción
química) en el volumen (Ec. 3). Generación de calor de la fase k (Ec. 186).
kg/m2-s
J/ s-m3 kkmΦ Generación de masa de la fase k en la interfase km
(Ec. 4). Generación de calor de la fase k en la superficie ( Ec.188).
kg/m-s J/s -m2
kkmnΦ Generación de masa de la fase k en la línea de
contacto kmn (Ec. 5). Generación de calor de la fase k en la línea de contacto kmn (Ec.190).
kg/m-s
J/s-m
kmnυ Vector normal unitario a la línea de contacto y tangente a la interfase km apuntando fuera de dicha la interfase.
kmnqλ Vector unitario tangente a la línea de contacto kmn dirigido hacia el punto de contacto Pkmnq. (k≠m≠n≠q).
ψ Variable arbitraria.
xvi
NOMENCLATURA
ψk Variable genérica por unidad de volumen. ˆkψ Desviación espacial de la fase k.
kkmΨ Variable genérica evaluada en el área interfacial.
kkmnϒ Variable genérica evaluada en la línea de contacto.
γkkmnq Variable genérica evaluada en el punto de contacto.
σ Tensión superficial. kkmp∆ Gradiente de presión interfacial promedio. N/m2 kkmnp∆ Gradiente de presión lineal promedio. N/m kkmnqp∆ Gradiente de promedios de presión puntual
promedio. N
SUBÍNDICES g Fase gas. k Fases existentes en el sistema (k=l1, l2, g). km=mk k=l1, l2, g y m=l1, l2, g,s (k≠ m) km Interfase km. kmn Línea de contacto kmn. l1 Fase líquido uno. l2 Fase líquido dos. s Fase sólida. α,β,γ Cantidades tensoriales superficiales. i, j, k Cantidades tensoriales superficiales. SUPERÍNDICES k Fase k. km Interfase km. kmn Línea kmn. kmnq Punto kmnq. OPERADORES
N
kmk m≠
∑ Sumatoria de todas las interfases k tal que la fase k se encuentra rodeada por aquellas interfases.
Q
kmnk m n≠ ≠
∑ Sumatoria de todas las líneas de contacto (ó en común) kmn tal que la interfase km se encuentra rodeada por aquellas líneas de contacto.
P
kmnqk m n q≠ ≠ ≠
∑ Sumatoria de todos los puntos de contacto (ó en común) kmnq tal que la línea de contacto kmn se encuentre rodeado por aquellos puntos de contacto.
Promedio. k
Promedio de fase intrínseco. --
xvii
NOMENCLATURA
k m
Promedio de interfase intrínseco. --
k m n
Promedio de línea intrínseco. --
k m n q
Promedio de punto intrínseco. --
~ Desviación espacial. ∇ Gradiente. ⋅∇ Divergencia.
s∇ ⋅ Divergencia de superficie.
l∇ ⋅ Divergencia de línea.
1
Capítulo 1
MARCO TEÓRICO Y PROBLEMA A RESOLVER 1. INTRODUCCIÓN
El flujo multifásico en medios porosos se presenta en muchas disciplinas, tales como la
Física, Química, Biología, Geología y en las Ingenierías como la Química, Bioquímica,
Geotérmica, Petrolera, Solar, etc. Algunos casos específicos son: 1) yacimientos petroleros
y geotérmicos, 2) lechos catalíticos, 3) almacenamiento, ventilación y secado de granos, 4)
dispersión de contaminantes químicos y nucleares en el subsuelo, 5) movimiento del
magma en la corteza y manto terrestre, 6) fabricación de materiales para la construcción de
edificaciones. Entre otros ejemplos se encuentran muchas funciones propias de los seres
vivos como: la respiración, la transpiración y la digestión. Casi cualquier material que nos
rodea es poroso (textiles, piel, madera, concreto, papel, etc.), y para la inmensa mayoría de
ellos es imposible dar una descripción geométrica correcta bebido a que son demasiado
irregulares.
En los últimos años, en la industria química, se han desarrollado investigaciones sobre
reactores de membrana, que son consideradas como elementos porosos y regularmente
pueden ser de vidrio o cerámica. En este tipo de reactores, el rendimiento está limitado por
el transporte de productos a través de la membrana y en general se obtienen bajos
rendimientos, por lo que es necesario desarrollar membranas que sean altamente selectivas,
que admitan flujos altos y que no sean tan costosas.
Por otro lado, en la industria petrolera, en la extracción de petróleo del subsuelo el cual es
un medio poroso (fase sólida), específicamente en los procesos de recuperación secundaria,
se inyecta un fluido (gas ó agua) para recuperar la condición de presión y tener una mayor
2
producción, por lo que es necesario determinar el flujo, la presión y la temperatura a la
que debe ser inyectado dicho fluido.
En la ingeniería de alimentos, para el secado de granos (cereales) y otros materiales
agrícolas, se utiliza aire caliente el cual se inyecta a las torres de almacenamiento durante
todo el proceso. En este caso, los alimentos se consideran como medios porosos (fase
sólida), por lo que se hace necesario el estudio de flujo multifásico (acompañados con
cambios de fase) para determinar las condiciones adecuadas de secado..
Durante el flujo de fluidos a través de medios porosos se presenta una diversidad de
procesos en los que intervienen, no sólo la estructura tortuosa del medio, sino las
propiedades de los fluidos y las fuerzas superficiales que aparecen como consecuencia de
la interacción medio poroso-fluido. Es por esto que la descripción del flujo y transporte de
masa y energía, ha sido abordada desde diversos puntos de vista durante décadas,
diferenciándose unas de otras en: 1) el número de parámetros y tipo de ecuaciones, 2) por
su aplicación en diferentes disciplinas y 3) al tratamiento matemático de las ecuaciones
utilizadas.
Para resolver un problema de transporte es necesario determinar la distribución espacial y
temporal de las variables de estado (velocidades, densidad de masa, presión de la fase
fluida, concentración del soluto, esfuerzos en la estructura del sólido, etc.) que han sido
seleccionadas para describir el estado del sistema material.
En principio, las ecuaciones que describen los diversos fenómenos de transporte
(ecuaciones de conservación de masa, cantidad de movimiento y energía) son conocidas y
pueden describirse a nivel microscópico ó macroscópico. En el nivel microscópico, se
enfoca la atención de lo que pasa en un elemento diferencial dentro del dominio de la fase
considerada. El análisis de flujo multifásico en medios porosos a nivel microscópico
generalmente no es sencillo debido a: 1) la dificultad en la obtención de la descripción
3
geométrica de los materiales, 2) la irregularidad de las interfases en las que se deben
acoplar estos procesos microscópicos, y 3) problemas con longitudes de escalas. Por otro
lado, el nivel macroscópico, permite determinar las propiedades termo-hidrodinámicas las
cuales pueden ser 1) medidas, 2) continuas, y 3) diferenciables, permitiendo a los
problemas de valor a la frontera ser resueltos.
Una de las técnicas exitosamente empleadas para resolver este tipo de problemas es la
técnica del método del promedio volumétrico (Slattery, 1967; Benerjee y Chan, 1980;
Carbonell y Whitaker, 1984; Howes y Whitaker, 1985; Sha et al., 1984; Whitaker, 1966,
1967, 1969, 1986a, 1986b y 1986c; Crapiste et al., 1986; Ochoa-Tapia et al., 1993;
Espinosa-Paredes 1998; Nakayama et al. 2001; Duval et al., 2004; Quintard et al., 2006), la
cual es una técnica que puede usarse para derivar rigurosamente las ecuaciones continuas
de masa, cantidad de movimiento y energía para sistemas multifásicos. Esto significa que
las ecuaciones las cuales son válidas dentro de una fase en particular pueden ser
espacialmente suavizadas y obtener ecuaciones que sean válidas en todas partes dentro del
volumen de promediado el cual puede contener varias fases, varias interfases, líneas y
puntos de contacto.
Resolver un problema de flujo multifásico en un medio poroso utilizando la técnica del
promedio volumétrico es complejo ya que además de las ecuaciones de transporte de masa,
cantidad de movimiento y energía se requieren de condiciones de frontera (o de salto
interfacial de masa, cantidad de movimiento y energía) que sean válidas en los poros por lo
que es necesario establecer para ello, restricciones de escala que rijan la validez del
promediado en volumen. Por otro lado, cuando se promedian en volumen las ecuaciones
locales y salto interfacial, se obtienen términos adicionales conocidos como:
• Términos de cerradura (desviaciones espaciales de presión, diáda de las
desviaciones espaciales de la velocidad, diferencia del promedio de presión, etc),
4
que deben plantearse en función de variables dependientes para poder determinar
el sistema cerrado de ecuaciones de flujo multifásico en medios porosos.
• Coeficientes promedio intrínseco, los cuales describen el comportamiento de las
propiedades promedio expresadas para cada una de las fases involucradas. Dichos
coeficientes pueden obtenerse de forma experimental.
Por otra parte, el promedio volumétrico es ampliamente utilizado debido a la flexibilidad
que tiene para poder resolver un mismo problema bajo diferentes consideraciones y
suposiciones. Por ejemplo, para la ecuación de energía, permite proponer 1) modelos
matemáticos de fases separadas, el cual se debe usar cuando las variaciones de las
propiedades térmicas del medio son muy grandes tanto que no se puede considerar
equilibrio térmico local (Whitaker, 1999), y 2) modelos matemáticos de sólo una
ecuación, en los cuales se usa el concepto de equilibro térmico.
Dada la flexibilidad del método del promedio volumétrico se han realizado trabajos de
investigación para flujo multifásico en un medio poroso tomando en cuenta diferentes
consideraciones. Los trabajos más importantes se describen en la siguiente sección.
1.2 ESTADO DEL ARTE
Los modelos conceptuales para un gas o líquido, de acuerdo a la mecánica del medio
continuo, establecen su formulación en términos de ecuaciones que describen las leyes de
conservación de masa, cantidad de movimiento y energía. De la misma forma, los medios
multifásicos estructurados se modelan en términos de ecuaciones de conservación, sin
embargo su formulación resulta ser más complicada.
5
No obstante la complejidad del manejo del flujo multifásico (dos y tres fases) en medios
porosos, (Whitaker, 1969; 1986a, 1986b y 1999; Carbonell y Whitaker, 1984; Crapiste, et
al., 1986; Ochoa-Tapia et al., 1993; Sha et al., 1984), se ha utilizado el método del
promedio volumétrico estableciendo las ecuaciones de transporte promedio en volumen
instantáneas aplicando teoremas de integrales (Whitaker, 1967; Slattery, 1967), relaciones
de desviaciones espaciales (Gray , 1975) y comprobaciones del teorema de promedio
espacial (Howes y Whitaker, 1985; Benerjee y Chan, 1980, etc.), para resolver diferentes
situaciones tales como: transferencia de masa, cantidad de movimiento y energía (este
último tomando en cuenta convección-conducción) en medios porosos con o sin cambio de
fase, así como la deducción de ecuaciones de cerrado y salto interfacial.
Por lo anterior, con la finalidad de abordar la problemática desde una mejor perspectiva, la
revisión bibliográfica se ordenó en: 1) trabajos teóricos, y 2) trabajos teóricos-
experimentales, ambos relacionados a la conservación de masa, cantidad de movimiento y
energía en medios porosos para sistemas fluido-sólido y sólido-líquido-gas utilizando el
método del promedio volumétrico.
1.2.1 Trabajos teóricos
En relación a las ecuaciones de transferencia de masa, cantidad de movimiento y energía
que describen al flujo multifásico (dos o tres fases) en un medio poroso utilizando el
método del promedio volumétrico, en la literatura se encuentran los trabajos presentados
por Whitaker (1973a) y Gray (1975). En ambas investigaciones los autores obtuvieron la
ecuación de transporte de masa promediada en volumen para un medio poroso (fluido-
sólido) en estado transitorio. En sus trabajos, ellos supusieron flujo incompresible,
porosidad constante, y consideraron el término de flux difusivo expresado de acuerdo a la
ley de Fick, y reacción química. Las ecuaciones obtenidas por ambos investigadores
presentaron discrepancias en los términos convectivos y dispersivos. Sin embargo se
6
encontró finalmente que la ecuación obtenida por Gray (1975) se encuentra más apegada a
la definición del decremento de la velocidad de difusión debida a la geometría del sistema.
Ochoa-Tapia et al. (1993), utilizando la ecuación de continuidad para la concentración de
las especies (sin reacción química) en un sistema de N- componentes en estado transitorio
(Carbonell y Whitaker, 1983; Ryan et al., 1980) deducen la difusividad de bulto y de
superficie en un medio poroso para un sistema bifásico (fluido-sólido). En esta
investigación, los autores utilizan el método de promediado de superficie en conjunto con
el método del promedio volumétrico. El problema de cerradura fue desarrollado de tal
manera que las difusividades efectivas se pudieran calcular en base a modelos geométricos.
Los autores proponen el desarrollo de una solución analítica haciendo uso de la celda
unitaria de Chang para producir el modelo de Maxwell de difusión de bulto y de superficie.
Al comparar sus resultados encontraron que las difusividades de superficie efectivas eran
altamente sensibles a la topología del medio poroso en consideración.
Un trabajo similar presentaron Capriste, et al. (1986), en el cual deducen la ecuación
general de transporte, utilizando el método del promedio volumétrico, misma que fue
simplificada para resolver la difusión de bulto en estado transitorio para un medio poroso
rígido en dos fases, con reacción química irreversible y heterogénea de primer orden,
donde las variaciones de la dispersión y el coeficiente de velocidad de la seudo-reacción no
fueron consideradas. Los resultados obtenidos se compararon con los trabajos presentados
por Ryan et al. (1981) y Carbonel y Whitaker (1983). Esta comparación la realizaron por
que dichos trabajos proporcionan una base para el análisis de un gran número de procesos
de transporte en sistemas multifásicos complejos. Duval et al., (2004), considerando que el
perfil de velocidades era conocido, utilizan las ecuaciones de transporte de masa y energía
en estado transitorio y sus respectivas condiciones de salto interfacial para obtener perfiles
de temperatura y saturación de un medio poroso con tres fases (sólido-líquido-gas).
7
Algunas de las consideraciones hechas en esta investigación fueron: medio poroso rígido,
cambio de fase del líquido y gas, desequilibrio térmico local (modelo de tres temperaturas),
temperatura interfacial líquido-gas en equilibrio termodinámico y propiedades termofísicas
constantes. Los autores deducen las ecuaciones de cerrado identificando seis términos
como términos fuentes macroscópicos que actuaron como generadores de las desviaciones
espaciales de temperatura. Estos términos permitieron proponer una solución aproximada
de la ecuación de cerrado de las desviaciones espaciales de temperatura para cada una de
las fases (sólido, líquido y gas) involucradas. La solución obtenida permite manejar
diferentes problemas aplicables a los trabajos propuestos por: 1) Wang y Beckerman
(1993) (conocido como mezcla de dos fases), 2) Lipinski, (1984) (usado para el análisis de
accidentes de reactores nucleares como carcasas de lechos de enfriamiento), y 3) Décossin,
(1999) (para el modelo de una temperatura el cual permite simplificar la ecuación de
energía del fluido en la región de las dos fases, tomando en cuenta consideraciones
específicas sobre el flujo másico). Los autores decidieron utilizar la definición de Gray,
(1975) para las desviaciones espaciales de la temperatura para resolver un problema teórico
enfocado a un proceso a macro-escala puramente difusivo con cambio de fase. Las
ecuaciones obtenidas fueron simplificadas y comparadas con las ecuaciones de escala de
poro considerando dos casos: a) calentamiento volumétrico en el sólido y medio saturado y
2) temperatura en una celda estratificada y en una celda unitaria de Chang. Los resultados
teórico-numérico en ambas celdas presentaron muy buenas aproximaciones.
Vafai y Tien (1981) presentaron el análisis de los efectos de una frontera sólida, efectos
inerciales del flujo (modelo no-darciano) y la transferencia de calor en el medio poroso
para un sistema fluido-sólido en estado estable. Algunas de las suposiciones establecidas
para este trabajo fueron: flujo incompresible, porosidad constante y geometría compleja.
Dado que la geometría del medio poroso se consideró compleja, los autores reemplazaron
8
las ecuaciones microscópicas de cantidad de movimiento y energía por las
correspondientes ecuaciones macroscópicas con ayuda de una relación empírica. Dicha
relación sugirió utilizar al método del promedio volumétrico local (el promediado de las
ecuaciones fue sobre el volumen seleccionado (total) y no respecto al volumen que ocupa
la fase). Para el estudio del fluido en el medio poroso emplearon la teoría de la capa límite
de cantidad de movimiento y para el estudio de la transferencia de calor utilizaron la capa
límite térmica. Las ecuaciones obtenidas fueron aplicadas al caso de un medio poroso para
un sistema fluido-sólido, donde la fase fluida estaba formada por dos líquidos inmiscibles
(aceite ligero–agua) limitada por una frontera externa en dos dimensiones para un sistema
de coordenadas cartesianas. Los autores encontraron que los efectos de frontera en la
transferencia de calor podían ser tan importantes y más pronunciados para la capa límite
térmica con un espesor menor o del mismo orden que el de la capa límite de cantidad de
movimiento. Lo anterior debido a que los números de Prandtl y las diferencias de presión
utilizados fueron grandes. Encontraron además, que los efectos inerciales se incrementan
para una alta permeabilidad y una baja viscosidad del fluido y que los gradientes de
velocidad cerca de la pared están limitados por el incremento de la resistencia viscosa en la
frontera.
Años más tarde, Moyne (1997), utilizando el método del promedio volumétrico, deduce la
ecuación de energía promediada en volumen en estado transitorio, flujo bifásico y
propiedades termofísicas constantes para un proceso difusivo en un medio poroso. En este
trabajo, el autor consideró inicialmente el sistema en equilibrio termodinámico local, que la
transferencia de calor ocurría solo por conducción y que la geometría del medio poroso era
conocida (medio poroso espacialmente periódico). Las ecuaciones de cerradura (términos
de desviaciones espaciales) se plantearon para el caso de estado estable. El autor obtuvo
dos modelos, uno de dos ecuaciones (ó fases separadas) y otro de una ecuación. En esta
9
investigación se estudiaron dos ejemplos de aplicación: 1) para un material multicapas bi-
direccional, y 2) para partículas cilíndricas dentro de una fase continua. El autor comparó
el modelo de dos ecuaciones con cerradura en estados transitorio y estable con una
solución exacta, encontrando que los problemas de cerradura para el caso estable
proporcionaban mejores resultados de temperatura que el caso transitorio.
Por su parte, siendo una extensión del trabajo realizado por Hsu (1999) quien únicamente
trabajó con la conducción de calor, Nakayama et al. (2001), utilizando el método del
promedio volumétrico propusieron la ecuación de energía transitoria para analizar la
conducción y la convección dentro de un medio poroso saturado (sistema fluido-sólido),
tomando en cuenta el desequilibrio térmico local (modelo de fases separadas) y suponiendo
la densidad, conductividad térmica y calor específico como constantes. Las ecuaciones de
energía promediadas en volumen obtenidas por Nakayama et al. (2001) fueron combinadas
dentro de una ecuación diferencial ordinaria de cuarto orden con el propósito de encontrar
soluciones exactas para dos casos fundamentales en estado estable en una dimensión. El
primero fue para resolver la conducción de calor en una placa porosa con generación de
calor interna dentro del sólido y el segundo para un flujo unidireccional térmicamente
desarrollado a través de un medio semi-infinito. Los resultados obtenidos para el primer
caso mostraron que para una relación de conductividad térmica sólido-fluido de 40 y una
porosidad de 0.4, el calor generado en la fase sólida constantemente se transfería a la fase
fluida, por lo que el equilibrio térmico local considerado no era valido para el caso de
relaciones de conductividad grandes. Y para el segundo caso, el fluido se enfriaba hasta
llegar a la temperatura de equilibrio térmico liberando calor a la fase sólida.
Espinosa-Paredes y Cazarez-Candia (2004) desarrollaron las ecuaciones para transferencia
de calor con cambio de fase para un yacimiento petrolero con tres fases presentes (gas-
aceite-sólido) en estado transitorio utilizando el método del promedio volumétrico. Los
10
autores parten de la ecuación general de transporte de energía considerando a las
propiedades físicas como efectivas, términos conductivos-convectivos y efectos
compresibles para la fase gas. Como resultado, los autores obtuvieron dos modelos: 1)
modelo matemático de fases separadas (o de no equilibrio termodinámico) y 2) modelo
promedio de una ecuación (o de equilibrio termodinámico). El primer modelo se obtuvo
estableciendo aproximaciones de las ecuaciones de cerrado; el segundo modelo lo
obtuvieron siguiendo el trabajo original de Whitaker (1977 y 1991). Cabe señalar que el
desarrollo realizado por Whitaker (1991), fue aplicado a un sistema de dos fases, no
obstante Espinosa-Paredes y Cazarez-Candia (2004) las adaptaron para un sistema trifásico
(aceite-gas-sólido).
Por otro lado, Sha et al. (1984) estudiaron la transferencia de calor en un medio poroso.
Presentaron una nueva manera de formular el medio poroso anisotrópico en estado
transitorio con tres fases (fluido-fluido-sólido). Los autores para esta investigación,
partieron de las ecuaciones de continuidad, cantidad movimiento y energía, además de sus
ecuaciones de salto interfacial representativas para cada una de las ecuaciones antes
mencionadas. En este trabajo se aplicaron definiciones de volumen de porosidad, de
permeabilidades de superficie direccional, fracción de volumen, resistencia y fuente de
calor distribuida. Entre otras cosas, los autores supusieron que no existía transferencia de
masa interfacial, medio poroso impermeable y presión capilar despreciable. Las ecuaciones
resultantes de continuidad, cantidad de movimiento y energía así como las ecuaciones de
salto promediadas en volumen se aplicaron para resolver dos casos: 1) flujo estratificado
puro y 2) flujo en dos fases. Para el caso uno, se supuso que la transferencia de fuerza
inercial y presión a través de la interfase eran despreciables y por otro lado, que la
velocidad normal a la interfase estratificada era pequeña. Para el segundo caso, se
consideró: 1) que el promedio intrínseco de productos era igual a los productos de los
11
promedios intrínsecos, 2) que la configuración del flujo era tal que la interacción entre las
fases podía representarse solamente por la fuerza de arrastre y convección de calor, 3) que
los efectos de propagación de onda eran despreciables y 4) sistema coordenado cartesiano.
Los resultados encontrados mostraron que el concepto de permeabilidad de superficie
facilitaba el modelado de los campos de temperatura y velocidad en un medio anisotrópico
y en general, mejoraba la aproximación de la transferencia de cantidad de movimiento.
1.2.2 Trabajos teórico-experimentales
Whitaker (1996) utilizó el método del promedio volumétrico para derivar la ecuación de
Darcy con la corrección de Forchheimer para un medio poroso homogéneo. El autor parte
de la ecuación de Navier-Stokes transitoria para una sola fase fluida incompresible en un
medio poroso rígido. Para obtener el problema general de cerradura de las desviaciones
espaciales de presión y velocidad utilizó una celda unitaria espacialmente periódica. Con el
fin de observar por separado la contribución de la ecuación de cerrado, se dividió esta en
dos problemas: 1) el tensor de permeabilidad de la ley de Darcy, el cual depende solo de la
geometría del medio poroso bajo consideración, y 2) la corrección inercial de la ecuación
de Forchheimer, dada por los términos inerciales interfaciales. Los resultados teóricos
indicaron que la corrección de Forchheimer es cuadrática en la velocidad para pequeños
valores del número de Reynolds y el análisis del orden de magnitud sugirió que, esta
dependencia funcional no debería cambiar significativamente con el número de Reynolds.
La ecuación usada por Whitaker (1996) también fue estudiada por medio del método
espacial de homogenización (Bensoussan et al., 1978; Sánchez-Palencia, 1980; Ene y
Poliševski, 1987). Usando esa técnica Mei y Auriault (1991) y Wodie y Levy (1991)
encontraron que la primera corrección inercial de la ley de Darcy es una función cúbica de
la velocidad en vez de una dependencia cuadrática como lo dedujo Whitaker (1996), sin
embargo, la definición del tensor de corrección de Forchheimer se encontraba definida de
12
la misma forma que la presentada por Whitaker (1996). En la investigación hecha por
Whitaker (1996), se realizó la comparación de forma indirecta de la parte teórica con la
experimental, para ello, se supuso en el término de fuerzas de cuerpo que el flujo era
uniforme y que los efectos gravitaciones eran nulos, con esto, se llegó a una ecuación
simplificada similar a la expresión experimental presentada por Ergun (1952) que
posteriormente fue modificada por Macdonald et al. (1979) misma que fue comparada con
un amplio intervalo de datos experimentales encontrando que la aproximación entre ambas
partes (teórico-experimental) se encontraban dentro de ±50%.
Por su parte, Carbonell y Whitaker (1983) utilizando el método del promedio volumétrico,
desarrollaron una teoría general para el problema de dispersión de un soluto en un medio
poroso rígido e impermeable para un sistema fluido-sólido en estado transitorio. Los
autores partieron de la ecuación de difusión la cual se encontraba gobernada por los
términos convectivos. Las suposiciones establecidas en este trabajo fueron: fluido
incompresible, difusividad molecular constante, sin reacción química ni adhesión. El
esquema de cerradura fue propuesto para representar las desviaciones espaciales de
concentración como una función lineal del gradiente de la concentración promediada.
Dicho resultado se consideró como una representación única de un medio poroso
espacialmente periódico. Los resultados obtenidos fueron reducidos al modelo de Taylor-
Aris para el caso de dispersión en un tubo capilar bajo consideraciones de flujo laminar,
para ello se estableció trabajar en una dimensión, por lo que el tensor tortuosidad fue igual
a cero dado que su contribución no se consideró importante.
Nozad et al. (1985a, 1985b) aplicaron el método del promedio volumétrico para desarrollar
el proceso de transferencia de calor en estado transitorio para un sistema bifásico y
trifásico en un medio poroso isotrópico. En este caso, el autor parte de la ecuación de
conducción de calor. Para este trabajo, los autores propusieron equilibrio térmico local lo
13
cual permitió presentar dos modelos, uno de fases separadas y otro de una ecuación. Para
el problema de cerradura se consideró al proceso cuasi-estable, medio poroso
espacialmente periódico, y se utilizó una celda unitaria permitiendo así deducir al tensor de
conductividad térmica efectiva. La solución del problema de cerradura se comparó con
datos experimentales; para esta comparación, se planteó trabajar con un arreglo rectangular
en un sistema agua-aluminio y agua-aire obteniéndose resultados satisfactorios.
De igual manera usando el método del promedio volumétrico en un medio poroso donde la
contribución de la transferencia de calor era por convección, Levec y Carbonell (1985),
derivaron la ecuación de energía para determinar la temperatura promedio local sólido-
fluido de un lecho empacado. Las temperaturas promediadas, fueron utilizadas para
analizar la respuesta del lecho sometido a una perturbación introducida dentro de la fase
fluida, estableciendo que la conductividad térmica efectiva bajo condiciones de estado
estable podía ser significativamente diferente a diferencia de los procesos transitorios. Para
verificar sus predicciones teóricas los autores realizaron experimentos en lechos
empacados usando sondas espacialmente diseñadas para medir la temperatura en tres
puntos de manera simultánea: 1) dentro de la partícula sólida, 2) en la interfase entre
sólido-fluido y 3) en la región fluida. La respuesta de la temperatura en el lecho empacado
experimental mostró buenos resultados al ser comparada con las predicciones teóricas.
1.2.3 Ecuaciones de salto interfacial
En cuanto a los trabajos enfocados al estudio de las condiciones de salto interfacial se
encuentran los trabajos hechos por Valencia-López et al. (2003) y Ochoa-Tapia y Whitaker
(1995a, 1995b, 1997a, 1997b). Los autores desarrollaron las ecuaciones de salto de masa,
cantidad de movimiento y energía en la frontera entre un medio poroso y un fluido
homogéneo basándose en la forma no local de las ecuaciones de transporte promediadas en
volumen. Para estos trabajos, consideraron que afuera de la región de frontera estas
14
ecuaciones se reducían a las ecuaciones de transporte clásicas. De esta manera Valencia-
López et al. (2003) desarrollaron la ecuación de salto de masa. Para ello, se basaron en la
ecuación generalizada no-local de transporte de masa promediada en volumen en estado
transitorio válida para cada una de las regiones homogéneas y en la frontera. La ecuación
generalizada de salto de masa, tomó la forma de una ecuación de transporte de superficie
que contiene términos de exceso superficiales (mismos que desaparecen cuando se aplican
restricciones de escala que permiten obtener las ecuaciones de masa válidas para cada una
de las regiones homogéneas), convectivos, difusivos, de adsorción, un término fuente,
además de un término que representa el intercambio con los alrededores. Los resultados
obtenidos mostraron que la velocidad superficial promediada y las concentraciones
promediadas intrínsecamente eran continuas en la frontera.
De manera similar, Ochoa-Tapia y Whitaker (1995a) utilizando la ecuación de transporte
de masa para flujo incompresible y cantidad de movimiento en estado estable y sin efectos
inerciales, desarrollaron la ecuación de salto de cantidad de movimiento conocida también
como condición de salto de exceso (Larson y Higdon 1987a, 1987b; Sahraoui y Kaviany
1992). Para deducir la ecuación de salto, los autores unieron la ecuación de la ley de Darcy
con la corrección de Brinkman a la ecuación de Stokes. La ecuación resultante de salto de
cantidad de movimiento presentó términos de exceso de esfuerzo superficiales de bulto y
esfuerzos de Brinkman. En la región homogénea porosa, los términos de exceso
superficial se definieron en función del tensor de permeabilidad de la ley de Darcy y de la
velocidad promediada en volumen, mientras que para la región homogénea fluida estos
términos de exceso superficial se despreciaron. Como parte de los resultados obtenidos
encontraron que los campos de velocidades promediadas en volumen eran continuos.
Un año más tarde, Ochoa-Tapia y Whitaker (1995b), utilizaron la solución teórica obtenida
por Ochoa-Tapia y Whitaker (1995a) para compararla con los datos experimentales
15
presentados por Beavers y Joseph, (1967). Para ello, consideraron un flujo unidireccional,
el tensor de Brinkman despresiable, y gradientes de presión iguales en cualquier región
homogénea. Los términos de exceso de esfuerzos que aparecen en la condición de salto, se
presentaron de forma que llevaran a una condición de frontera de esfuerzos tangenciales
para manejar un solo coeficiente ajustable de orden uno, con esto, obtuvieron que el
término convectivo podía ser continuo en la frontera entre un medio poroso y un fluido
homogéneo.
Posteriormente, Ochoa-Tapia y Whitaker (1997b), desarrollaron la condición de salto de
energía en estado transitorio, para ello, tomaron como base los trabajos hechos por Ochoa-
Tapia y Whitaker (1995a, 1995b) y Whitaker (1996). Algunas de las consideraciones
hechas para este trabajo fueron: propiedades físicas constantes, medio poroso (sólido)
rígido e impermeable. La ecuación obtenida presenta términos de acumulación, convección
y conducción/dispersión de exceso superficial de energía térmica y un término fuente
térmico de exceso que resultó de la consideración de no-equilibrio térmico local en la
región de la frontera. En este trabajo, los autores establecieron que las condiciones de
salto de la velocidad y la temperatura promediadas en volumen eran continuas en la
frontera lo cual garantiza que la ecuación generalizada de transporte de energía sea valida
en toda la región de estudio.
Por su lado, Vafai y Thiyagaraja (1987) desarrollaron el análisis del flujo del fluido y la
transferencia de calor en la región interfacial para tres clases generales y fundamentales de
problemas en medios porosos saturados. Los tres casos incluyeron la región interfacial: a)
entre un medio poroso y un fluido homogéneo, b) entre dos medios porosos diferentes y c)
entre un medio poroso y un medio impermeable. Para ello, los autores partieron de las
ecuaciones de cantidad de movimiento y energía, considerando los términos inerciales y
condiciones de frontera pertinentes. De acuerdo a los tres casos que se resolvieron, los
16
autores establecieron que debido a la presencia de una discontinuidad de las propiedades
del material en la interfase, el flujo de fluido y los campos de temperatura necesitaban
satisfacer condiciones de suavizado en esa zona. Más específicamente, la velocidad, los
campos de temperatura, el esfuerzo de corte, y la distribución de flux de calor debían ser
continuos a través de la interfase. Como resultado los autores obtuvieron expresiones
teóricas para las distribuciones de velocidad y temperatura para cada uno de los casos. Las
soluciones teóricas mostraron ser una excelente aproximación al ser comparadas con los
resultados numéricos.
1.2.4 Aplicaciones industriales
Whitaker (1986a) presentó el proceso de transferencia de calor en estado transitorio en un
reactor catalítico empacado para un sistema fluido-sólido (Anderson y Jackson, 1967;
Merle, 1967; Slattery, 1967; Whitaker 1967). En este desarrollo, el autor consideró la
ecuación de energía con equilibrio térmico local. Las ecuaciones se derivaron y limitaron
al modelo homogéneo o al modelo de una sola ecuación. En su trabajo el autor tomó en
cuenta los efectos convectivos-conductivos y una fuente de energía térmica. Las
ecuaciones resultantes quedaron expresadas en función de propiedades efectivas. Los
resultados de este análisis proporcionan la pauta para el uso de modelos homogéneos o
heterogéneos indicando los parámetros que deben considerarse para la selección entre estos
dos modelos.
Por otro lado, Thorpe y Whitaker (1992a, 1992b), enfocados al secado de granos,
desarrollaron las ecuaciones de transferencia de masa (ecuación de continuidad de
especies) y energía para un sistema fluido-sólido en estado transitorio. La fase fluida estaba
compuesta por agua-aire mientras que la fase sólida por los granos. Consideraron medio
poroso homogéneo continuo, adsorción, efectos convectivos-conductivos, variaciones
nulas de difusividad dentro del volumen de promediado, fluido intergranular y equilibrio
17
térmico local. Basándose en el trabajo hecho por Whitaker (1977) (en el cual se desarrolló
la teoría de secado de granos para sistemas en los cuales la fase sólida era no absorbente)
los autores reemplazaron la entalpía de la fase sólida por una que incluyera un término de
calor de humedad. Las ecuaciones obtenidas se expresan en términos de cantidades de
promedio en volumen y desviaciones macroscópicas que varían con la longitud de escala
del proceso, entre otros términos.
Posteriormente, esos mismos autores determinaron bajo qué circunstancias los principios
de masa local y equilibrio térmico eran válidos. Para ello se apoyaron de los trabajos
presentados por Whitaker (1986a y 1991) con el fin de deducir los términos de
desviaciones de temperatura, densidad, etc. Los autores establecieron y derivaron órdenes
de magnitud para las desviaciones macroscópicas y desarrollaron restricciones (de
acumulación, convectivas y conductivas entre otras) las cuales cuando eran respetadas
indicaban que la masa local y el equilibrio térmico eran posibles. El análisis mostró que
era posible la existencia del equilibrio térmico en un volumen de granos airado, pero el
equilibrio de masa se lograba sólo cuando el tamaño del grano era pequeño.
Años más tarde, Jiménez-Islas (1999) utilizando ecuaciones de transporte de masa,
cantidad de movimiento y energía para flujos multifásicos obtenidas a partir del método
del promedio volumétrico, realizó un estudio sobre el fenómeno de convección natural en
un medio poroso para un sistema gas-sólido. Él analizó el efecto del número de Rayleigh,
el aspecto geométrico, las fuentes de calor y diversas condiciones de frontera sobre el
comportamiento de las líneas de corriente, perfiles de temperatura y concentración dando
énfasis a los medios porosos con generación volumétrica de calor. Estudios similares han
sido presentados por Prasad y Chui (1989) y Singh y Thorpe (1993). Uno de los casos
particulares que desarrolló el autor de forma numérica fue la convección natural que se
manifiesta en el almacenamiento de granos en silos debido a los gradientes de temperatura
18
producidos por el calor de respiración. El punto de partida de su estudio fueron las
ecuaciones de transporte de cantidad de movimiento y de energía sobre las cuales aplicó el
Método del Promedio Volumétrico y el concepto de propiedades efectivas, tal como lo han
reportado otros trabajos (Whitaker 1986a; Carbonell y Whitaker 1984; Thorpe et al, 1991a,
1991b). En su estudio, Jiménez-Islas (1999), en las ecuaciones de transporte de
movimiento y de energía implicó 1) la inclusión de fenómenos de transporte en dos fases
(fluido-sólido), 2) un medio poroso (constituido por la masa de grano) isotrópico, saturado,
rígido e impermeable, 3) generación uniforme de calor, 4) fluido intersticial newtoniano y
5) régimen laminar. Es importante mencionar que, en este estudio no se consideró el efecto
que tiene el calor de respiración sobre la humedad del grano, ya que le transfiere calor
sensible, de tal manera que parte de la humedad se evapora y se transfiere al seno del aire.
La representación matemática de este fenómeno requeriría la inclusión de la ecuación de
transporte de masa y de ecuaciones de equilibrio.
19
1.2.5 Resumen de la revisión.
En las siguientes tablas, de forma resumida, se presenta la comparación del trabajo desarrollado en la presente tesis doctoral contra los
trabajos más importantes descritos anteriormente. Por ejemplo en la Tabla 1.1, se muestran los trabajos teóricos en los cuales se observa que a
diferencia del presente trabajo doctoral, en el cual se toman en cuenta las ecuaciones de masa, cantidad de movimiento y energía y flujo
multifásico de tres fases, solo en algunos de ellos son tomadas en cuenta las tres ecuaciones y en todos estos trabajos solo han considerado
flujo mono y bifásico.
Tabla 1.1.Trabajos teóricos.
20
CONTINUACIÓN (Tabla 1.1.Trabajos teóricos)
21
A pesar de que en el presente trabajo doctoral no se incluye experimentación se obtiene el sistema de ecuaciones de masa, cantidad de
movimiento y energía, que consideran el estudio de los mecanísmos de transferencia de calor por conducción y convección con flujo
multifásico a través de un medio poroso, que puede ser utilizado para resolver casos particulares similares a los presentados en la Tabla 1.2.
Tabla 1.2.Trabajos teóricos experimentales.
22
A diferencia de los trabajos mostrados en la Tabla 1.3, en los cuales se maneja flujo monofásico por lo que es necesario plantear ecuaciones de
alto interfacial, en el presente trabajo doctoral, dado que se maneja flujo multifásico, estas ecuaciones de salto interfacial fueron cambiadas
por balances de masa, cantidad de movimiento y energía para las fases, interfases, líneas y puntos de contacto los cuales permiten visualizar la
interacción completa del flujo multifásico en el medio poroso.
Tabla 1.3.Trabajos de salto interfacial.
23
Existen diversas aplicaciones que se pueden resolver utilizando ecuaciones de masa, cantidad de movimiento y energía para flujo monofásico
en un medio poroso. Sin embargo hasta el momento aplicaciones que involucren flujo multifásico tal como se propuso en el presente trabajo
doctoral no han sido reportadas hasta el momento (Ver Tabla 1.4).
Tabla 1.4 Aplicaciones industriales.
24
1.2.6 Conclusiones de la revisión
De la revisión de la literatura se obtienen las siguientes conclusiones:
El estudio del flujo (una ó dos fases) a través de medios porosos presenta un grado de
complejidad muy grande, por lo que la aparición de otra fase hace más evidente el
incremento de la complejidad sin importar la técnica de modelación empleada. Por lo
anterior, la habilidad para entender la problemática del manejo de flujo multifásico
(líquido-líquido, gas) en medios porosos se ve limitada debido a:
1. La complejidad misma del problema. Hasta donde se sabe no se ha desarrollado
trabajo teórico alguno para: a) la transferencia de masa y energía, y b) con
generación de calor debido a la reacción química en un medio poroso homogéneo
con tres fases (dos líquidos inmiscibles y un gas).
2. Las ecuaciones de salto o balances de masa, cantidad de movimiento y energía para
la interfase, línea y punto de contacto. La necesidad de generar ecuaciones de
balance que representen adecuadamente la interacción entre las fases, interfases,
líneas y puntos de contacto al estar presente el flujo multifásico en el medio poroso.
3. Las ecuaciones de cerradura. Es necesario realizar desarrollos matemáticos o
búsquedas en la literatura especializada para determinar las ecuaciones de cerrado y así
poder establecer un modelo físico objetivo.
1.3 HIPÓTESIS
De acuerdo a la revisión bibliográfica y a la fenomenología del flujo multifásico en medios
porosos homogéneos (líquido1-líquido2, gas) se desea confirmar las siguientes hipótesis:
Basados en los modelos físicos tomados en la literatura de un flujo multifásico con dos ó
tres fases (Espinosa-Paredes y Cazarez-Candia 2004; Sha et al., 1984; Duval et al., 2004)
25
en medios porosos, se propone emplear la técnica del método del promedio volumétrico
para modelar la transferencia de masa y calor (convección –conducción) de flujo
multifásico para un sistema que incluye un medio poroso homogéneo con tres fases (dos
líquidos inmiscibles y un gas) tomando en cuenta las interacciones entre ellas (en el
volumen, área interfacial, línea y punto de contacto), la transferencia de masa en la
interfase, líneas y punto de contacto entre el líquido 1 con el gas y el líquido 2 con el gas
en el medio poroso, así como la generación de calor debido a una reacción química entre el
líquido 1 y el gas.
Una vez obtenido el modelo promediado en volumen, este se usará para resolver un
problema de combustión in-situ el cual será resuelto numéricamente usando la técnica de
diferencias finitas. En dicha aplicación, se propondrán balances de masa, cantidad de
movimiento y energía para cada una de las fases involucradas y se podrán predecir
temperatura, presión, saturaciones, fracciones masa y producción de aceite.
1.4 JUSTIFICACIÓN
Un medio poroso es una pared tridimensional interconectada de poros, de cuyo grado de
interconexión, tamaño y forma dependen las propiedades del material. Estas propiedades
influirán en los procesos en los cuales intervengan dichos materiales y por lo tanto, es
importante conocer aquellos parámetros relacionados con su estructura física-química
como lo son la porosidad, permeabilidad, área superficial, entre otros. Cabe señalar que en
algunos casos los poros pueden estar cerrados por un extremo y poco interconectados o
completamente aislados, por lo cual contribuyen poco o nada en los procesos de
transferencia.
Particularmente en el campo de la ingeniería, un mejor conocimiento de los procesos
termo-hidráulicos de flujo multifásico (dos ó más fases) es la base para el diseño y análisis
26
de seguridad de equipo industrial (reactores químicos, diseño de intercambiadores de calor
tipo regeneradores, diseño de procesos de separación, cámaras de combustión, etc.) bajo
condiciones fuera de control o en condiciones de accidentes.
Por otro lado, el conocimiento de las propiedades térmicas y el comportamiento de las
temperaturas del sistema medio poroso-fluido ha adquirido una atención considerable
debido a la gran cantidad de aplicaciones (Whitaker, 1986; Thorpe y Whitaker, 1992 a,
1992b; Vafai y Tien, 1981; Hsu y Cheng, 1988; entre otros).
Por otra parte, son la convección (si los fluidos están en movimiento de forma natural o
forzada) y la conducción (transferencia de calor entre la roca ó medio poroso y el fluido)
los mecanísmos de transferencia de calor que se presentan con mucha frecuencia en
aplicaciones industriales.
En la mayoría de las aplicaciones industriales, se requiere el entendimiento del
comportamiento de la temperatura así como de las propiedades de los fluidos gaseoso y
líquido. Por ejemplo, en el secado de granos, tal aplicación se emplea con propósitos
comerciales o con fines de investigación para el diseño termodinámico de procesos de
secado o ventilación, los cuales pueden tener fundamentos rigurosos en mayor o menor
grado. En el secado de granos y otros materiales agrícolas en un silo utilizando aire
caliente, implica la inclusión de fenómenos de transporte multifásico acompañados por
cambio de fase. En este sistema es necesario conocer y controlar el movimiento de
humedad desde el interior de la matriz porosa hasta su superficie y de ahí, su transporte
(con cambio de fase) hasta el seno del aire. El parámetro fundamental de diseño es la
velocidad de secado, la que depende principalmente de la temperatura, velocidad y
contenido de humedad del aire, área interfacial por unidad de volumen, espesor del lecho
de material y la naturaleza intrínseca del material poroso (fracción de huecos,
permeabilidad, estructura molecular, etc.), que determinará si el mecanismo de transporte
27
dentro del material sólido es por difusión molecular, capilaridad, convección o un
transporte mixto (Thorpe, 1995). Estos procesos usualmente involucran la transferencia de
calor y masa como los transportes difusivos y el diseño de sistemas óptimos de
conservación de granos y cereales, por lo que se requiere del entendimiento de los
métodos de transporte de masa, cantidad de movimiento y energía que ocurren en 1) el
lecho de grano, 2) en el espacio libre superior del silo y 3) en el medio ambiente sobre los
perfiles de velocidad, temperatura y concentración que se manifiestan en el silo.
Por otro lado, en los yacimientos geotérmicos, la temperatura imperturbada o temperatura
de formación es uno de los parámetros más importantes de los sistemas geotérmicos que
necesita ser estimado para definir la factibilidad de explotación de los recursos geotérmicos
para la generación de electricidad o algún otro proceso de aplicación de calor.
El conocimiento de las temperaturas de formación de los yacimientos geotérmicos puede
beneficiar a una amplia variedad de actividades geotérmicas, tales como:1) localización de
regiones de influjo o zonas con pérdidas de circulación, 2) estimación de reservas de calor
en un yacimiento geotérmico, 3) evaluación de gradientes térmicos, 4) interpretación de
registros y 5) evaluación de conductividades térmicas de la formación in-situ.
Normalmente, las temperaturas de formación son obtenidas a partir de la información
generada durante las actividades de perforación y terminación de los pozos geotérmicos.
El conocimiento preciso (desde el punto de vista de ingeniería) de las temperaturas de
formación ha sido identificado como uno de los problemas que la industria geotérmica
necesita resolver. Esta información se aplica para un buen diseño de los programas de los
fluidos de perforación y lechadas de cementación. Así también, cuando la perforación debe
detenerse o continuar (Davies et al., 1994; Takahashi et al., 1997). Además, un mejor
entendimiento de las temperatura de formación es también requerida para una predicción
más precisa del historial térmico-dinámico del pozo, durante y después de las operaciones
28
de perforación (Wooley, 1980; Marshall y Bentsen, 1982; Arnold, 1990; García et al.,
1998).
Enfocando nuestra atención ahora a la transferencia de calor, se sabe que la recuperación
térmica es uno de los procedimientos de recuperación de aceite viscoso, donde el calor
juega un papel importante dado a la fuerte dependencia que existe entre la viscosidad y la
temperatura.
Aplicar calor a los yacimientos de aceite trae consigo muchos beneficios por ejemplo: 1)
incrementa el empuje del gas en solución, 2) provoca la expansión térmica del aceite y
como consecuencia incrementa la permeabilidad relativa al aceite, 3) logra la destilación, y
en algunos casos, la desintegración térmica del aceite.
Dentro de las técnicas térmicas utilizadas se encuentran: 1) inyección cíclica de vapor,
inyección alterna o estimulación con vapor, 2) inyección de vapor continua o
desplazamiento con vapor, 3) inyección de aire (combustión in-situ) y 4) inyección de
agua. En la primera técnica, el vapor se inyecta directamente al yacimiento con objeto de
calentar el área circundante del pozo inyector productor. La condensación y enfriamiento
del vapor calienta la roca y por lo tanto el aceite contenido en ella, reduciéndole su
viscosidad y mejorando su movilidad; de ahí que la producción se incremente en forma
notable, estableciendo para ello, que a mayores profundidades se necesitan mayores
temperaturas y presiones para que el uso del vapor sea efectivo, y la segunda técnica,
involucra la inyección de vapor en un arreglo de pozos inyectores con objeto de calentar el
aceite pesado hacia otros pozos productores. Cuando el vapor invade la formación, éste se
condensa transfiriéndose calor latente a la roca y los fluidos contenidos en el yacimiento,
existiendo normalmente pérdidas de calor a las formaciones adyacentes, incrementándose
éstas a medida que la zona de vapor se expande al alejarse del pozo inyector. El agua
condensada (a partir del vapor acumulado) en el frente de vapor tiende a estar por debajo
29
de una mezcla de gases, vapor de agua y destilados de aceite, productos de proceso, dado
que es mucho más densa que estos. De ahí que el vapor tienda a fluir hacia la parte
superior de la formación, mientras que el frente se mueve alejándose del pozo inyector. En
la fase final de la operación, el procedimiento se puede mejorar aun más con la inyección
de agua fría con objeto de recobrar el calor de la región invadida y llevarlo hacia el pozo
productor como se si tratara de una invasión de agua caliente. La recuperación de aceite
que se obtiene usando éste método de inyección continua varía de un 35% a un 50% del
volumen original (Alba-Morales, 1981).
En contraste con los métodos de inyección de fluidos calientes en donde el calor se genera
en la superficie y posteriormente es inyectado al yacimiento son las técnicas de combustión
in-situ (para aceite ligero (API>17°) ó pesado 10 a 17° API). En éste método el calor se
produce dentro del mismo medio poroso. Esto se hace quemando parte del aceite,
manteniendo la combustión por medio de la acción controlada de aceite. La cantidad de
aceite quemado, y por lo tanto el calor generado se mantiene dentro de los límites deseados
mediante el control de la inyección de aire. Los gases calientes generados de la combustión
fluyen hacia los pozos productores empujando el aceite a medida que avanzan. En algunos
casos, éste tipo de técnicas se pueden llevar acabo conjuntamente con la inyección cíclica
de vapor, con el objeto de incrementar la tasa de producción de determinado campo. La
combustión in-situ posee algunas variantes: 1) combustión directa: esta variante requiere
de la perforación de los pozos productores, aunque la ignición puede ocurrir
espontáneamente en los pozos inyectores generalmente se usa un dispositivo para empezar
la combustión y 2) combustión inversa: en este proceso al igual que en el anterior, la
ignición se genera en el pozo inyector, con la diferencia de que una vez lograda la ignición
el pozo inyector se convierte en productor manteniéndose la combustión mediante la
inyección controlada de aire a través de un nuevo pozo inyector. Se ha visto que los
30
requerimientos de aire para una combustión in-situ inversa son el doble de los usados en la
combustión directa, sin embargo la combustión inversa puede recuperar alrededor del 50%
del aceite original en yacimientos donde otros método de recuperación no funcionan.
En cada uno de los ejemplos antes mencionados el medio poroso cuenta con propiedades
que difieren apreciablemente de una posición a otra dentro del medio, y estas dificultades
muchas veces orillan a describir las propiedades presentes del medio poroso de forma
local, por lo que el promediar las ecuaciones de conservación en volumen, permite conocer
estas propiedades (temperatura, presión, velocidad, porosidad, etc.) en cualquier punto
dentro del volumen seleccionado.
Uno de los métodos principales para obtener ecuaciones de conservación en términos de
variables promedio, las cuales se pueden aplicar para modelar flujo simultáneo en medios
porosos es el promediado volumétrico local de balances de masa, cantidad de movimiento
y energía. Las ecuaciones promediadas de transporte de flujo multifásico (dos y tres fases)
pueden resolver muchos problemas prácticos ya sea de manera analítica o numérica. Sin
embargo, la dificultad de usar tales formulaciones cae en seleccionar la forma adecuada de
los términos de cerrado para cada interacción introducidos por el proceso de promediado.
Algunas de las ecuaciones de cerrado para flujo multifásico en medios porosos han sido
propuestas por Ryan et al. (1980 y 1981), Carbonell y Whitaker (1983), Crapiste et al.
(1986), Quintard y Whitaker (1993), Moyne (1997), Nakayama et al. (2001), entre otros.
Como consecuencia misma de las complicaciones que se presentan en el estudio de flujo
multifásico (dos ó más fases) en medios porosos, en la literatura hay muy pocos modelos
matemáticos que sean capaces de predecir presiones y temperaturas en los medios porosos
que incluyan: 1) tres fases (dos líquidos inmiscibles y un gas) fluyendo a través de un
medio poroso (fase sólida) , 2) transferencia de masa interfacial entre líquido 1–gas y
31
líquido 2–gas y 3) generación de calor debido a una reacción química entre el líquido 1-
gas.
De la información antes mencionada se puede detectar que la descripción del flujo y
transporte en medios porosos ha sido abordada desde diversos puntos de vista durante
décadas, diferenciándose unas de otras en: 1) el número de parámetros y tipo de ecuaciones
utilizadas, 2) la aplicación en diferentes disciplinas en las cuales se han utilizado métodos
y aproximaciones adecuadas a las particularidades del problema y 3) en el tratamiento
matemático de las ecuaciones utilizadas.
Por todo lo anterior, es necesario el desarrollo de modelos matemáticos confiables que
contribuyan al conocimiento adecuado de los procesos de transferencia (masa, cantidad de
movimiento y energía) en sistemas multifásicos, que permitan llevar acabo el diseño y
optimización de operaciones unitarias involucradas, la adopción de estrategias para la
recuperación de materiales valiosos, el confinamiento seguro de desechos peligrosos, etc.,
incrementando la competencia entre el capital y los costos de operación.
Por otro lado, un buen diseño de cualquiera de estas aplicaciones a nivel industrial implica
un ahorro de energía así como de recursos económicos lo cual contribuye a las líneas de
investigación del Cenidet (Centro Nacional de Investigación y Desarrollo Tecnológico), en
el área de Ingeniería Mecánica en la especialidad de Sistemas Térmicos.
1.5 OBJETIVO
Realizar un desarrollo matemático para la obtención de un modelo promediado en volumen
para describir los procesos de transferencia de calor en un medio poroso homogéneo y tres
fases. Las fases involucradas son: sólido (medio poroso), dos líquidos inmiscibles y gas. Se
obtendrán dos modelos, uno bajo condiciones de desequilibrio térmico y otro bajo la
suposición de equilibrio térmico.
32
Se usará el modelo promediado volumen, válido para flujo multifásico a través de un
medio poroso, obtenido bajo la suposición de equilibrio térmico para resolver un problema
de recuperación de hidrocarburos usando la técnica de combustión in-situ.
1.6 ALCANCE
La formulación matemática consistirá de las ecuaciones de balance de masa, energía y
cantidad de movimiento del tipo promedio. Lo anterior para considerar el flujo y el medio
poroso como un medio efectivo. La ecuación de energía incluirá transporte de calor por
efectos convectivos y conductivos en 3-D, en estado transitorio y coordenadas
rectangulares. Dado que el flujo se encuentra en los intersticios o poros del medio poroso,
el modelo promedio considerará a las propiedades termo físicas como efectivas. Para
describir el movimiento de los fluidos a través del medio poroso se utilizará la ecuación de
Darcy, también promediada en volumen.
1. 7 DESCRIPCIÓN DEL PROBLEMA
El sistema físico para el cual se planteó un modelo promediado en volumen, consiste de
una fase gas (g) y dos fases líquidas inmiscibles (l1 y l2) interactuando con la fase sólida
(Figura 1.1).
Se considera que las fases g, l1 y l2 pueden estar en movimiento o en reposo. Se consideran
en movimiento para analizar el sistema con mecanísmo convectivo y sin movimiento para
estudiar el efecto puramente conductivo.
El medio poroso se supone homogéneo, isotrópico y rígido. La fase sólida se supone no-
permeable. En el sistema de estudio se considera: 1) la compresibilidad de la fase g, b)
generación de calor (debido a una reacción química) entre las fases 1l g− y 3)
transferencia de masa entre las fases 1l g− y 2l g− debido al cambio de fase.
33
Se tomarán en cuenta las diferentes regiones coexistentes dentro del volumen de
promediado, es decir, las fases, interfases, líneas y puntos de contacto (Figura 1.2). Cada
región presenta sus propias propiedades termodinámicas con la finalidad de predecir las
temperaturas y presiones del tipo promedio de la fase gaseosa y de las fases líquidas.
1.8 MÉTODOS Y PROPUESTAS DE SOLUCIÓN
Para la obtención de las ecuaciones promediadas, se parte de las ecuaciones locales de
transporte de masa, cantidad de movimiento y energía en cada una de las regiones
involucradas dentro del volumen de promediado, es decir, balances de transporte para la
fase, interfase, línea y punto de contacto (Figura 1.2). Lo anterior se hará con la finalidad
de proponer un balance de entidades conservativas adecuado (Gray y Hassanizadeh, 1998).
Posteriormente a estas ecuaciones se les aplica la técnica del promedio volumétrico para
obtener ecuaciones en términos de variables promedio en donde la característica de dicho
volumen es:
1 2, ,l l g or L (1)
Figura 1. 1 flujo multifásico en medio poroso
34
Figura 1.2. Regiones involucradas dentro del volumen de promediado: áreas interfaciales
( 1 2 1 1 2 2, , , , y gsl l l g l s l g l sA A A A A A ), líneas de contacto ( 1 2 1 2 1 2, , y l l g l l s l gs l gsL L L L ) y punto de
contacto ( 1 2l l gsP ). Los subíndices indican las fases involucradas en cada región.
donde 1 2, ,l l g son las longitudes características de las fases l1, l2 y g, respectivamente, ro
es la longitud característica del volumen de promediado y L es la longitud característica
macroscópica del sistema de estudio (Ver Figura 1.3).
Esta restricción de escalas se aplica para garantizar que las variables promediadas sean
bien comportadas y que del proceso de promediado partiendo de un sistema heterogéneo se
genere un sistema homogéneo. Este concepto es similar a la hipótesis del continuo, en
donde la muestra del material debe contener tal número de moléculas para que sus
propiedades no se vean afectadas por la variación de ellas dentro de dicha muestra.
35
Por otro lado, cuando se promedian en volumen las ecuaciones locales se obtienen
términos adicionales conocidos como términos de cerradura, estos, se desarrollaran con el
fin de expresarlos en función de variables dependientes una vez establecida la aplicación.
Lo anterior permite contar con un sistema cerrado de ecuaciones para flujo multifásico en
medios porosos.
Una vez obtenidas las ecuaciones promediadas, las cuales son válidas para flujo
multifásico a través de un medio poroso, se propusieron para resolver un problema
Figura 1.3. Volumen de promediado. r es el vector de posición para la fase 1l , x es el
vector de posición localizando el centroide del volumen de promediado, 1l
y es el vector de
posición en cualquier punto de la fase 1l relativo al centroide.
36
específico de recuperación de hidrocarburos utilizando la técnica de combustión in-situ.
Para ello se partió de las ecuaciones promediadas en volumen para la fase y se definieron
las ecuaciones de cerradura con la finalidad obtener el sistema cerrado de ecuaciones.
Posteriormente, el modelo válido para resolver el problema de combustión in-situ se
resolvió numéricamente y se compararon los resultados con datos experimentales
presentados por Cazarez-Candia et al., (2010). Lo anterior se puede observar en la Figura
1.4.
37
Figura 1.4 Diagrama de flujo de la metodología utilizada.
Ecuaciones locales de masa, cantidad de movimiento y energía para flujo multifásico l1,l2 y g
Punto Línea Interfase Fase
Obtención de cerraduras para
combustión in-situ
Aplicación del Método del Promedio Volumétrico
Obtención de las ecuaciones Promedio FASE, Interfase, Línea y Punto
Ecs. de Masa y Cantidad de Movimiento
Ecuaciones Promedio para la Fase
APLICACIÓN
Ec. de Energía(bajo la suposición de equilibrio térmico.)
Sistema cerrado de ecs. para combustión in situ
Problema de combustión in-situ ( Ecs. Modificadas de masa,
cant. de Mov. y energía)
Solución Numérica para combustión In-situ y Resultados
38
Capítulo 2
ECUACIÓN DE MASA
2.1 INTRODUCCIÓN
Durante las últimas décadas se han logrado progresos significativos al desarrollar teorías
generales que describan los procesos termodinámicos e hidrodinámicos para flujos
multifásicos en medios porosos. El principal objetivo de los desarrollos, ha sido obtener
ecuaciones microscópicas y macroscópicas de transporte de masa, cantidad de movimiento
y energía que permitan la descripción de los diversos fenómenos que acontecen en el
medio poroso. Una de las aproximaciones ampliamente utilizada para obtener estos
desarrollos son los métodos de promediado, dentro de los cuales destaca el método del
promedio volumétrico. Este método permite modelar apropiadamente la microestructura
del medio poroso al tomar en cuenta las propiedades termodinámicas de las fases,
interfases, líneas y puntos de contacto dentro del medio poroso (Hassanizadeh y Gray
y1990; Gray y Hassanizadeh 1998).
En relación a las ecuaciones de transporte, y en especial, a la ecuación de masa, para un
flujo multifásico (dos o tres fases) en un medio poroso utilizando el método del promedio
volumétrico, en la literatura se encuentran los trabajos presentados por Whitaker (1973a) y
Gray (1975). En ambas investigaciones los autores obtuvieron la ecuación de transporte de
masa promediada en volumen para un medio poroso (fluido-sólido) en estado transitorio.
En sus trabajos, supusieron flujo incompresible, reacción química, porosidad constante y
consideraron el término de flux difusivo expresado de acuerdo a la ley de Fick así como la
inexistencia de cambio de fase. Las ecuaciones obtenidas por ambos autores presentaron
discrepancias en los términos convectivos y dispersivos. Sin embargo, la ecuación obtenida
39
por Gray (1975) esta más apegada a la definición del decremento de la velocidad de
difusión debida a la geometría del sistema.
Por su parte, Capriste, et al. (1986), utilizando el método del promedio volumétrico,
dedujeron la ecuación general de transporte para flujo bifásico (fluido-sólido) con reacción
química sin cambio de fase. Como aplicación, los autores la resolvieron para el caso de
difusión en volumen en donde no se consideraron las variaciones de la dispersión ni los
coeficientes de velocidad de la seudo-reacción. Por otra parte, ellos resolvieron el
problema de cerrado, considerando una pequeña región representativa espacialmente
periódica conocida como “celda unitaria” de un medio poroso. Como resultado, los autores
concluyeron que la solución del problema de cerradura para producir valores teóricos de
difusividad efectiva, no requería que la ecuación de transporte promediada en volumen se
restringiera al uso de un medio poroso espacialmente periódico.
Años más tarde, Ochoa-Tapia et al. (1993), partiendo de la ecuación de continuidad para la
concentración de las especies (sin reacción química) en un sistema de N- componentes en
estado transitorio (al igual que Carbonell y Whitaker, 1983; Ryan et al. 1981) dedujeron la
difusividad en volumen y de superficie en un medio poroso para un sistema bifásico
(fluido-sólido). Ellos utilizan el método de promediado de superficie en conjunto con el
método de promedio volumétrico. Resolvieron el problema de cerradura al considerar que
las difusividades efectivas se podían calcular con base a modelos geométricos. Para
validar la ecuación de difusión obtenida, los autores obtuvieron una solución analítica
haciendo uso de la celda unitaria de Chang para producir el modelo de Maxwell de
difusión en volumen y de superficie. Con ello, los autores encontraron que las
difusividades de superficie efectivas eran altamente sensibles a la topología del medio
poroso. Soria y De lasa, (1991), utilizaron el método del promedio volumétrico para
desarrollar de forma teórica la ecuación de transporte de masa para flujo multifásico
40
considerando un número arbitrario de fases, interfases y líneas de contacto, además de flux
difusivo, reacción química y transferencia de masa entre las fases, interfaces y líneas de
contacto. Las condiciones de salto fueron consideradas como fluxes que van de las fases
adyacentes a las interfases. La extensión de este concepto hacia las líneas de contacto hizo
posible visualizar la interacción completa del proceso como un fenómeno de cascada con
fluxes que van de las fases adyacentes a las correspondientes interfases y de las interfases
adyacentes a las correspondientes líneas de contacto. Los autores no consideraron la
formación del punto de contacto. Con la finalidad de obtener la ecuación promediada en
cada una de las regiones antes mencionadas (fases, interfases y líneas de contacto) los
autores desarrollaron y aplicaron teoremas de promedio espacial y promedio en tiempo
para las superficies. Por otro lado, los autores adoptaron la forma particular del teorema de
promediado en tiempo, la cual es consistente con la ecuación de transporte en superficies
propuesta por Moeckel (1975). Cabe señalar que los autores presentaron los balances para
cada una de las regiones involucradas dentro del volumen de promediado, sin embargo, en
el balance general para la línea de contacto, consideraron que la contribución de las
propiedades termodinámicas intrínsecas (densidad, flux difusivo, generación, velocidad de
flujo de fluido, etc.) eran irrelevantes por lo que la ecuación de balance general para la
línea de contacto llegó a ser estrictamente su ecuación de salto, tal como lo propusieron
Deemer y Slattery (1978). Como aplicación, los autores desarrollaron la ecuación de
transporte de masa promediada en volumen. En esta, los autores, aplicaron los teoremas de
promediado en volumen propuestos por Whitaker S. (1973a, b, 1990), Gray (1975, 1983),
Gray y Lee (1977) y los teoremas de superficie (válidos dentro de un volumen de
promediado) propuestos por Soria y De lasa (1991), Gray y Hassanizadeh (1989)
obteniendo así, el balance completo para el estudio del flujo multifásico.
41
Posteriormente, Gray y Hassanizadeh, (1998), quienes partiendo de la ecuación de
conservación general en su forma integral, desarrollaron de forma teórica, la ecuación de
conservación general macroscópica para masa, cantidad de movimiento y energía para las
fases, interfases, líneas y puntos de contacto para un sistema de flujo multifásico (tres
fases), sin generación de masa (a causa de una reacción química) ni flux difusivo en un
medio poroso rígido y no deformable. En cuanto a las condiciones de salto para las
interfases, líneas y punto de contacto, los autores las obtuvieron partiendo de las mismas
ecuaciones de balance de las interfases, líneas y puntos de contacto suponiendo algunos
términos despreciables (acumulación, inerciales, flux difusivo, generación de masa y calor)
lo que permitió: 1) a las interfases actuar como superficies de discontinuidad entre las
fases, b) a las líneas actuar como discontinuidades entre las interfases y c) a los puntos de
contacto actuar como discontinuidades entre las líneas, proporcionando así, las condiciones
de salto para las leyes de conservación. Como resultado, se obtuvieron ecuaciones de masa,
cantidad de movimiento y energía promediadas en volumen para las interfases, líneas y
puntos de contacto con y sin transferencia de masa interfacial.
Otros trabajos similares son los realizados por Hassanizadeh y Gray (1990), en los que los
autores utilizan las ecuaciones promediadas en volumen o macroscópicas para las fases e
interfases de masa, cantidad de movimiento y energía para flujo bifásico (fluido-sólido) en
un medio poroso homogéneo en estado transitorio. Para el desarrollo de las ecuaciones, se
consideró: medio poroso deformable, fluidos compresibles, sin generación de masa ni flux
difusivo. Las ecuaciones de cerrado, se resolvieron empleando ecuaciones constitutivas.
Como resultado, se obtuvieron ecuaciones de balance de masa, cantidad de movimiento y
energía para resolver un caso en particular de presión capilar bajo condiciones de
equilibrio y no equilibrio termodinámico. Los resultados obtenidos mostraron que la
42
presión capilar era una función del área interfacial por unidad de volumen así como de la
saturación.
Partiendo de las ecuaciones generales promediadas en volumen de masa, cantidad de
movimiento y energía para un sistema de tres fases obtenidas por Hassanizadeh y Gray
(1990), Gray y Hassanizadeh (1991b), las propusieron para resolver flujo trifásico (aire-
agua-sólido) en un medio poroso no saturado en estado transitorio para las fases, interfaces
y líneas de contacto (estas últimas sin propiedades termodinámicas). En este trabajo, los
autores se enfocaron principalmente a la solución de la ecuación de cantidad de
movimiento para la fase agua para la cual se tomó en cuenta: 1) agua fluyendo lentamente
en el medio poroso y 2) mojabilidad total del agua en el sólido. Específicamente en el caso
dos, los autores concluyeron que la mojabilidad relativa de las fases agua-aire era una
variable importante desde el punto de vista termodinámico debido a que esta contribuía a la
histéresis natural de la curva de presión capilar contra saturación.
De lo comentado anteriormente se detecta que existe muy poca literatura respecto al
estudio de flujo multifásico (tres fases) a través de un medio poroso que tome en cuenta los
balances de masa, para cada unas de las regiones existentes dentro del volumen de
promediado, es decir, para las fases, interfases, líneas y punto de contacto.
Es por ello que en este trabajo se presentan las ecuaciones de balance de masa para cada
una de las regiones antes mencionadas, incluyendo al punto de contacto. En dichas
ecuaciones se toma en cuenta: a) la generación de masa (debida a reacciones químicas) y
b) la transferencia de masa (vaporización y/o condensación).
Para poder proponer cualquier sistema de ecuaciones es esencial definir o describir el
problema a resolver, así como establecer bajo que consideraciones y suposiciones estas
ecuaciones serán válidas, por esta razón en la siguiente sección se presentan detalles del
problema a resolver.
43
2. 2 CONSIDERACIONES Y SUPOSICIONES
En esta sección se presentan las consideraciones y suposiciones generales que serán
tomadas en cuenta sobre en las ecuaciones de masa, cantidad de movimiento y energía.
Para la obtención de las ecuaciones promedio, se parte de las ecuaciones locales de
transporte de masa, cantidad de movimiento y energía en cada una de las regiones
coexistentes dentro del volumen de promediado (fase, interfase, línea y punto de contacto).
Partiendo entonces con la ecuación de masa las consideraciones y suposiciones para
obtener su descripción local son:
1. Un medio poroso homogéneo, isotrópico y rígido.
2. Flujo multifásico, con 3 fases monocomponentes. Un gas compresible (g) y 2
líquidos inmiscibles (l1 y l2 ) a través de un medio poroso (fase sólida, s ).
3. Fase sólida no-permeable e indeformable.
4. Fluidos Newtonianos.
5. Generación de masa y calor debida a una reacción química entre la fase líquido 1
con el gas.
6. Fluxes difusivos. Los fluxes netos van de las fases a las interfases, de las interfases
a las líneas de contacto, de las líneas de contacto al punto de contacto (proceso
cascada).
7. Transferencia de masa interfacial sólo entre (l1 con g y l2 con g).
8. Estado transitorio.
9. Coordenadas cartesianas en tres dimensiones.
10. La ecuación de energía incluirá transporte de calor por efectos convectivos y
conductivos (en movimiento para analizar el sistema con mecanísmo convectivo y
sin movimiento para estudiar el efecto puramente conductivo).
44
2.3 ECUACIÓN LOCAL
En este trabajo, se toma en cuenta que cada fase posee propiedades termodinámicas
distintas. Cada fase esta separada por pequeñas regiones de transición las cuales son
modeladas como regiones interfaciales en dos dimensiones. Cada región interfacial posee
sus propias propiedades termodinámicas, distintas de aquellas fases que la conforman, así
como de las otras interfases (Gray y Hassanizadeh, 1998).
Dado que el sistema considera flujo multifásico a través de un medio poroso, las líneas de
contacto, pueden también existir. Estas, son regiones unidimensionales de transición donde
tres interfases coexisten cada una con sus propias propiedades termodinámicas (diferentes
a las de las interfases y a las de fases involucradas).
Por otro lado, en un sistema de cuatro fases (g, l1, l2 y s), cuatro diferentes líneas pueden
existir y estas líneas pueden formar un punto en común. Un punto en común, es un punto
singular donde las propiedades de las líneas en común experimentan discontinuidades.
Entonces, para este trabajo las fases, interfases, líneas y puntos en común (o de contacto)
existirán en un dominio mutuamente exclusivo, es decir, dentro del volumen elemental
representativo (V.E.R.) o bien volumen de promediado (Ver Fig. 1.2) por lo que al
volumen de promediado se define como:
( ) ( ) ( ) ( )k km kmn kmnq
QM N P
km kmn kmnqkk m k m n k m n q
V V t A t L t P t≠ ≠ ≠ ≠ ≠ ≠
= + + +∑ ∑ ∑ ∑ (2)
donde:
3( )kV t ⊂ es el conjunto de regiones de volumen ocupado por la fase k en un tiempo t.
2( )k mA t ⊂ es el conjunto de regiones de superficie ocupado por la interfase formada por
las fases k y m en un tiempo t.
45
( )k mnL t ⊂ es el conjunto de regiones lineales ocupado por la línea de contacto formada
por las fases k, m y n en un tiempo t.
( )k mnqP t ⊂ es el conjunto de los puntos de contacto en movimiento formado por las fases
k, m, n y q en un tiempo t.
M es el número de las diferentes fases
N es el número de los diferentes tipos de interfases
Q es el número de los diferentes tipos de líneas de contacto
P es el número de las diferentes tipos de puntos de contacto.
Cabe señalar que la inclusión de las propiedades interfaciales y lineales son esenciales, si
lo que se pretende es evitar errores grandes en la descripción del sistema de flujo
multifásico (Gray y Hassanizadeh, 1998). Basados en los estudios realizados hasta el
momento (Gray y Hassanizadeh, 1991a, 1991b; Hassanizadeh y Gray, 1993, Kalaydjian,
1987) es evidente que todas las características de un sistema multifásico (tipos de fluidos
de trabajo, número de fases involucradas, etc.) que puedan afectar la conducta
termodinámica del sistema deben de tomarse en cuenta (Gray y Hassanizadeh, 1998).
Para el desarrollo de las ecuaciones en cada una de las regiones mencionadas, en este
trabajo doctoral y específicamente para este capítulo se toman como punto de partida las
ecuaciones locales de masa.
2. 3. 1 Ecuación para la fase
La ecuación general de transporte local para cada una de las fases en el volumen de
promediado ha sido establecida por diversos autores (Truesdell y Toupin, 1960; Whitaker,
1973a, 1973b; Crapiste et al. 1986; Soria y De lasa, 1991; Du plessis, 1997; Ishii y Hibiki,
2006, etc.). Dicha ecuación para una fase k está definida por:
46
Acumulación Generación Inercial Flux difusivode masa.de masa
( ) ( ) 0kk k k kt
ρ ρ∂+∇⋅ + ∇⋅ − Φ =
∂v j , 1 2, ,k l l g= (3)
donde ρ es la densidad, v es la velocidad, j es el flux difusivo de masa, Φ es la
generación de masa (a causa de una reacción química, por ejemplo entre la fase g y l1) y t
es la coordenada temporal. El subíndice k denota “de la fase k”.
2. 3. 2 Ecuación para la interfase
La ecuación general de balance local para una interfase km fue establecida por Moeckel
(1975), Deemer y Slatery (1978), Soria y De lasa (1991), Du plessis (1997), Gray y
Hassanizadeh (1998), etc. La ecuación puede escribirse como:
{ }Generación de Inercial Flux difusivo de masaCurvatura media Transferencia de masa interfacial Acumulación masa y f
( ) 2 ( ) ( )kkm k k k k k
s km km km km km s km km k k km kHtρ
ρ ω ρ ρ∂
+∇ ⋅ − + ∇ ⋅ − Φ = − +∂
v j v w j
lux difusivo de masa interfacial
km
N
kmk m≠
⋅∑ n (4)
1 2 1 2, , , ,...;km l l g l g gs k ml= ≠
Para la Ec. (4), 2H es dos veces la curvatura media ( )= −∇ ⋅n , kmω es la velocidad de
desplazamiento de la interfase ( km km kmω = ⋅w n ), kmn es el vector normal unitario dirigido
de la fase k a la fase m, y N
kmk m≠
∑ es la sumatoria de todas las interfases que involucran la fase
k. El subíndice km indica “en la interfase km”. Por otra parte, se tomará en cuenta que:
km mk=w w , km mkA A= , y km mk= −n n ; para k=l1, l2, g; m=l1, l2, g; k≠m.
Además de los términos tradicionales (primero, segundo, cuarto y quinto término del lado
izquierdo) de la Ec. (4), se consideran los términos de curvatura media (el cual evalúa la
transferencia de masa debido a la curvatura en la interfase), y el de transferencia de masa y
flux difusivo interfacial, (con los cuales es posible aplicar la consideración de proceso
cascada).
47
2. 3. 3 Ecuación para la línea de contacto
La ecuación general de balance para la línea de contacto kmn fue propuesta por Slatery
(1990), Du plessis (1997), y Gray y Hassanizadeh (1998). La ecuación se puede escribir
como:
{ }Acumulación GeneraciónInercia Flux difusivo
de masa Transferencia de masa y flux difusivode masa en la l
de masa
( ) ( ) ( )k Qkmn k k k k k k k
kmn kmn kmn kmn km km kmn km kmnkmn
k m nt
ρρ ρ
≠ ≠
∂+ ∇⋅ + ∇⋅ − Φ = − + ⋅
∂ ∑v j v U j υ
1 2 1 1 2 2
ínea de contacto" "
, , , ,..;
kmn
g gs s gskmn l l l l l l k m n= ≠ ≠
(5)
donde, kmnυ , es el vector normal unitario a la línea de contacto y tangente a la interfase km
apuntando hacia fuera de dicha interfase, Ukmn es la velocidad de la línea de
contacto,Q
kmnk m n≠ ≠
∑ es la sumatoria de todas la líneas de contacto kmn que involucran la interfase
km. El subíndice kmn indica “en la línea de contacto kmn”. Por otra parte, se tomarán en
cuenta que: kmn nmk=U U , kmn nmkL L= , kmn nmk=−υ υ ; para k=l1, l2, g; m=l1, l2, g; n=l1, l2, g; k≠m≠n.
2. 3. 4 Ecuación para el punto de contacto
La ecuación de balance para el punto de contacto kmnq fue propuesta por Gray y
Hassanizadeh (1998). A diferencia de los balances de masa en el volumen, interfase y línea
de contacto, ésta ecuación no presenta términos de acumulación, inerciales ni generación
de masa a causa que los puntos de contacto son los lugares geométricos de la convergencia
de las líneas de contacto. La ecuación puede escribirse como:
{ }
1 2 1 2 2 1 2
Término de transferencia de masa y flux difusivo de masa en el punto de contacto
, , , ,....
0 ( )P
k k kkmn kmn p kmn kmnq
kmnqk m n q
kmn l l g l l s l gl l gs
ρ≠ ≠ ≠
=
= − +∑ v v j λ
(6)
48
donde pv , es la velocidad del punto de contacto formado por las fases kmnq (k≠m≠n≠ q),
kmnqλ es el vector unitario tangente a la línea de contacto kmn dirigido hacia el punto de
contacto kmnq (k≠m≠n≠ q), P
kmnqk m n q≠ ≠ ≠
∑ es la sumatoria de todos los puntos de contacto kmnq
que involucran las líneas de contacto kmn. El subíndice kmnq indica “en el punto de
contacto kmnq”. Por otra parte, se tomarán en cuenta que: kmnq qmnkP P= , kmnq qmnk=−λ λ . Lo
anterior permite manejar ecuaciones de balance simplificadas en las líneas y punto de
contacto.
La velocidad de las diferentes líneas en el punto de contacto son iguales por lo que las
ecuaciones, de cada una de las líneas en el punto de contacto, son totalmente equivalentes.
Lo anterior permite expresar la ecuación de masa en el punto de contacto tomando en
cuenta solo una línea de contacto.
2. 4 MÉTODO DEL PROMEDIO VOLUMÉTRICO.
El método del promedio volumétrico es una técnica que se puede usar para derivar
rigurosamente las ecuaciones continuas para sistemas multifásicos. Esto significa que las
ecuaciones que son válidas para una fase en particular pueden ser espacialmente
suavizadas y obtener de ésta manera ecuaciones que sean válidas en todas partes dentro del
volumen de promediado, es decir para las fases, interfases, líneas y puntos de contacto.
Gray (1983), desarrolló expresiones para el método del promedio volumétrico
dependientes del espacio y tiempo, sin embargo en este estudio se restringirá a un volumen
promedio constante, es decir, lejos de los contornos, o de medios heterogéneos, para
asegurar que el sistema sea homogéneo y continuo.
49
Entre otras cosas, las ecuaciones promedio obtenidas son independientes de la geometría
del volumen promedio (siempre y cuando éste sea independiente del tiempo). Por otro
lado, el volumen promedio cumple las restricciones de escala de longitud dada por la Ec.
(1).
Resolver un problema de flujo multifásico en un medio poroso es complejo por lo que
además de las ecuaciones de trasporte de masa, cantidad de movimiento y energía se
requieren de condiciones de frontera que sean válidas en los poros, por lo que se hace
necesario establecer restricciones de escala las cuales rijan la validez del promediado en
volumen de la derivada local.
Si se considera que el volumen promedio se compone de las fases: gas, dos líquidos
inmiscibles y un sólido, donde el volumen promedio es constante y el volumen de cada una
de las fases fluidas es dependiente del tiempo se tiene que:
1 2
( ) ( ) ( )g l l sV V t V t V t V= + + + (7)
Para obtener los balances locales (de las Ec. 3-6) promediados en volumen será necesario
establecer los teoremas promedio en: a) volumen, para las fases, b) superficie, para las
interfases, 3) la línea, para líneas de contacto, y 4) el punto de contacto.
2. 4. 1 Teoremas de promediado para el volumen
Las cantidades promedio se asocian con cantidades locales a través de un operador
promedio de una variable genérica ψ que puede ser escalar, vector o un tensor de la fase k
( , )
1( , ) ( , )k k k ytkV
t t dVV
ψ ψ= +∫x
x x y
(8)
Donde ψ es la variable local, V representa el volumen de promediado, Vk es el volumen de
la fase k, x representa el vector de posición para el centroide del volumen de promediado,
50
mientras que ky representa el vector de posición para la fase k relativo al centroide. El
diferencial dVy indica que la integral se lleva cabo respecto a la componente espacial yk. La
nomenclatura empleada por la Ec. (8) indica que las cantidades promedio volumétrico
están asociadas con el centroide del volumen de promediado (Ver Fig. 1.3)
Con la idea de simplificar la notación, se evitará usar con precisión la nomenclatura usada
en la Ec. (8) por lo que el promedio superficial queda representado como:
1k k
Vk
dVV
ψ ψ⟨ ⟩ = ∫ (9)
La Ec. (9) es conocida como promedio de fase, mientras que el promedio intrínseco se
define como:
1kk k
k Vk
dVV
ψ ψ⟨ ⟩ = ∫ (10)
Los operadores promedio en fase y promedio intrínseco están relacionados con la siguiente
expresión:
kk k kψ ε ψ= (11)
donde la definición de fracción de volumen esta dada como:
( ) kk
VtV
ε = (12)
otra cantidad promedio importante es:
( )
1km km km
A tkm
dAA
ψ ψ⟨ ⟩ = ∫ (13)
Para obtener la descripción promedio es necesario aplicar dos teoremas de integrales.
Dichos teoremas son una herramienta matemática que permiten intercambiar las variables
entre las derivadas promedio por derivadas de variables promedio. El primer teorema es la
51
ecuación de transporte general, con la cual se relaciona la derivada promedio de una
cantidad ψk con respecto al tiempo. Para un sistema de M fases y N interfaces este teorema
está dado por:
( ) ( )
1 1kkk km km k ks ks
A Akm t ks t
N
kmk m
dA dAt t V V
ψψ ψ ψ≠
∂∂= − ⋅ + ⋅
∂ ∂ ∑ ∫ ∫w n w n (14)
Tomando en cuenta que el segundo término del lado derecho de la Ec. (14) promedia a la
propiedad de la fase k en volumen sobre la región interfacial km, se puede escribir la Ec.
(14) de la siguiente manera (Soria y De lasa, 1991):
kkk km km k ks ks
N
kmk m
t tψψ ψ ψ
≠
∂∂= − ⋅ + ⋅
∂ ∂ ∑ w n w n (15)
Un segundo teorema se le conoce como el teorema de promedio espacial. Para cualquier
cantidad ψ asociada con la fase k dicho teorema está dado por:
( ) ( )
1 1k k k km k ks
A Akm t ks t
N
kmk m
dA dAV V
ψ ψ ψ ψ≠
∇ = ∇ + +∑ ∫ ∫n n (16)
( ) ( )
1 1k k k km k ks
A Akm t ks t
N
kmk m
dA dAV V
ψ ψ ψ ψ
≠
∇⋅ = ∇⋅ + ⋅ + ⋅∑ ∫ ∫n n (17)
El segundo término del lado derecho de la Ec. (16) promedia a la propiedad de la fase k en
volumen sobre la región interfacial km, por lo cual se puede escribir de la siguiente manera
(Soria y De lasa, 1991):
k k k km k ks
N
kmk m
ψ ψ ψ ψ≠
∇ = ∇ + +∑ n n (18)
k k k km k ks
N
kmk m
ψ ψ ψ ψ≠
∇⋅ = ∇⋅ + ⋅ + ⋅∑ n n (19)
52
Cuando ψk=1 se obtiene dos teoremas ampliamente usados concernientes a la fracción de
volumen. Aplicando esta igualdad en los teoremas (14) y (19) se reducen a:
( ) ( )
1 1kkm km ks ks
A Akm t ks t
N
kmk m
dA dAt V Vε
≠
∂= ⋅ + ⋅
∂ ∑ ∫ ∫w n w n (20)
( ) ( )
1 1k km ks
A Akm t ks t
N
kmk m
dA dAV V
ε
≠
∇ = − +∑ ∫ ∫n n (21)
donde kmw es la velocidad de desplazamiento de la interfase km , nkm es el vector normal
unitario en la interfaz apuntando de la fase k a la fase m y ψk es cualquier cantidad
asociada con la fase k . Si ψk es una constante igual a uno, de la Ec. (9) se tiene:
( )
1 ( )1 1 kk
V tk
V tdVV V
ε= = =∫ (22)
Lo que indica que el promedio de una constante es igual a la fracción de volumen de la
fase k multiplicada por esa constante.
Si se aplica la condición dada por 0k ks ks ks⋅ = ⋅ =v n w n conocida como condición de no
deslizamiento, las Ecs. (14), (16), (17), (20), (21) se simplifican y no aparecerán fases e
interfaces que tengan que ver con el sólido, por lo que dichas ecuaciones, se pueden
escribir respectivamente como sigue:
( )
1Nkk
k km kmkmk m
Akm t
dAt t V
ψψ ψ≠
∂∂= − ⋅
∂ ∂ ∑ ∫ w n (23)
( )
1N
k k k kmkmk m
Akm t
dAV
ψ ψ ψ≠
∇ = ∇ + ∑ ∫ n (24)
( )
1N
k k k kmkmk m
A km t
dAV
ψ ψ ψ≠
∇⋅ = ∇⋅ + ⋅∑ ∫ n (25)
( )
1Nk
km kmkmk m
Akm t
dAt Vε
≠
∂= ⋅
∂ ∑ ∫ w n (26)
53
( )
1N
k kmkmk m
Akm t
dAV
ε≠
∇ = − ∑ ∫ n (27)
En las Ecs. (23)-(27), k m≠ ; 1 2 1 2, , ; , ,k l l g m l l g= = . Es importante recordar que la derivación
teórica de las ecuaciones anteriores debe satisfacer la restricción de escala de longitud
o1 2, ,l l g Lr .
2. 4. 2 Teoremas de promediado para la interfase
De acuerdo a Gray y Hassanizadeh (1998) y de Soria y De lasa (1991), el teorema de
promediado en volumen en la interfase esta definido como:
( )
1V
k kkm km
A tkm
dAΨ = Ψ∫ (28)
donde kkmΨ es cualquier propiedad de la fase k en la interfase km dentro del volumen de
promediado. La expresión dada por la Ec. (28) se conoce como promedio de interfase,
mientras que el promedio de interfase intrínseco se define como:
( )
1k km kkm km
km A tkm
dAA
⟨Ψ ⟩ = Ψ∫ (29)
Los operadores promedio de interfase y promedio de interfase intrínseco están
relacionados con la siguiente expresión.
kmk k kkm km kmεΨ = Ψ (30)
donde la definición de fracción de área por unidad de volumen esta dada como :
( ) kmkkm
At
Vε = (31)
Para un sistema de N interfases y Q líneas de contacto, el teorema de transporte de
superficie en términos de la fase k, se define como:
54
12kkkmkm k k k k
km km km km km km km km kmn kmnLkmn
Q
kmnw H dL
t t V∂ Ψ∂Ψ
= + ∇⋅ Ψ + Ψ ⋅ − Ψ ⋅∂ ∂ ∑ ∫n w n U υ (32)
El tercer término del lado derecho de la Eq. (32) promedia la curvatura media de la fase k
en la interfase km, mientras que el cuarto término promedia a la propiedad de la fase k
interfacial sobre la región de la línea de contacto kmn.
Por otro lado, el teorema de promedio espacial para una superficie se define como:
1k k kkm km km kmn
Lkmn
Q
kmndL
V∇⋅Ψ = ∇⋅ Ψ + Ψ ⋅∑ ∫ υ (33)
En los teoremas (32) y (33) aparecen vectores normales ( k mnυ ) a la línea de contacto kmn
y al mismo tiempo tangentes a la interfase km. Estos vectores, surgen debido a la existencia
de las regiones interfaciales las cuales forman las diferentes líneas de contacto en el
sistema de estudio.
Es importante mencionar que si se aplican las condiciones dadas por 0k ks ks ks⋅ = ⋅ =v n w n y
0kkm kms kms kms⋅ = ⋅ =v υ U υ conocidas como condiciones de no deslizamiento en la interfase y en
la línea de contacto las Ecs. (32)-(33) se simplificarán y no aparecerán las interfases que se
formen con el sólido.
2. 4. 3 Teoremas de promediado para la línea de contacto.
Los teoremas de promediado en volumen para línea de contacto (Ec. 5), (Gray y
Hassanizadeh 1998; Soria y De lasa 1991) se definen:
1k kkmn kmn
Lkmn
dLV
ϒ = ϒ∫ (34)
55
donde kk mnϒ es el valor de la propiedad en la línea de contacto dentro del volumen de
promediado. La expresión dada por la Ec. (34) se conoce como promedio de línea de
contacto, mientras que el promedio de línea de contacto intrínseco se define como:
1k kmn kkmn kmn
kmn Lkmn
dLL
⟨ϒ ⟩ = ϒ∫ (35)
Los operadores promedio en fase y promedio intrínseco están relacionados con la siguiente
expresión:
kmnk k kkmn kmn kmnεϒ = ϒ (36)
donde la definición de fracción de línea por unidad de volumen esta dada como:
( ) k m nkk m n
Lt
Vε = (37)
Aplicando los teoremas integrables de igual manera que las Ecs. (14) y (32) para un
sistema de Q líneas de contacto, el teorema de transporte para la línea de contacto en
términos de la fase k, se define como:
( )
1kk Nkmnkmn k
kmn p kmnqkmnq
k m n qPkmnq t
dPt t V
≠ ≠ ≠
∂ ϒ∂ϒ= − ϒ ⋅
∂ ∂ ∑ ∫ v λ (38)
Por su lado, el teorema de promedio espacial para cualquier cantidad kk mnϒ asociada con la
fase k, en una línea de contacto se define:
( )
1k k kkmn kmn kmn kmnq
Pkmnq t
N
kmnqk m n q
dPV
≠ ≠ ≠
∇ϒ = ∇ ϒ + ϒ∑ ∫ λ (39)
( )
1k k kkmn kmn kmn kmnq
Pkmnq t
N
kmnqk m n q
dPV
≠ ≠ ≠
∇⋅ϒ = ∇⋅ ϒ + ϒ ⋅∑ ∫ λ (40)
56
Es importante establecer que para el balance en la línea de contacto se toma en cuenta la
condición de no deslizamiento 0kkmn kmns p kmns⋅ = ⋅ =v λ v λ en el punto de contacto lo que
permitirá manejar ecuaciones de balance simplificadas.
2. 4. 4 Teoremas de promediado para el punto de contacto.
Dado que la ecuación de balance de masa en el punto de contacto (Ec. 6) no considera
efectos de acumulación ni inerciales, los teoremas de promediado en volumen para el
punto de contacto se definen como (Gray y Hassanizadeh, 1998):
( )
1k kkmnq kmnq
P tkmnq
dPV
γ γ= ∫ (41)
donde kk mnqγ es cualquier propiedad en el punto de contacto dentro del volumen de
promediado. La expresión dada por la Ec. (41) se conoce como promedio de punto,
mientras que el promedio de punto intrínseco se define como:
( )
1k kmnq kkmnq kmnq
kmnq P tkmnq
dPP
γ γ⟨ ⟩ = ∫ (42)
Los operadores promedio de punto y promedio de punto intrínseco están relacionados con
la siguiente expresión.
kmnqk k kkmnq kmnq kmnqγ ε γ= (43)
donde la definición de fracción de punto por unidad de volumen esta dada como:
1( )kkmnq t
Vε = (44)
57
2. 5 ECUACIÓN DE MASA PROMEDIADA
2. 5. 1 Ecuación de masa promediada en volumen
En este tema, se obtendrá la ecuación de masa del tipo promedio en volumen para cada una
de las fases involucradas. Aplicando el operador promedio en volumen dado por la Ec. (9)
a la Ec. (3) para la fase k se tiene:
Para la fase k
( ) 0kk k k kt
ρ ρ∂+ ∇⋅ + ∇⋅ − Φ =
∂v j (45)
Aplicando los teoremas dados por las Ecs. (23)-(27) según corresponda a cada término de
la Ec. (45) se tiene:
( )
1Nkk
k km kmkmk m
Akm t
dAt t V
ρρ ρ≠
∂∂= − ⋅
∂ ∂ ∑ ∫ w n (46)
( )
1N
k k k k k k kmkmk m
Akm t
dAV
ρ ρ ρ≠
∇⋅ = ∇⋅ + ⋅∑ ∫v v v n (47)
( )
1N
k k k kmkmk m
A tkm
dAV
≠
∇⋅ = ∇⋅ + ⋅∑ ∫j j j n 48)
Sustituyendo las Ecs. (46)-(48) en la Ec. (45) se obtiene la siguiente ecuación promediada:
{ }( )
1 ( )N
kk k k k k k km k km
kmk m
A tkm
dAt Vρ
ρ ρ≠
∂+∇⋅ + ∇⋅ − Φ = − − + ⋅
∂ ∑ ∫v j v w j n (49)
En la Ec. (49) el término de la integral representa la transferencia de masa interfacial por
unidad de volumen. Dicha transferencia de masa se presenta debido al desequilibrio
termodinámico entre estas. Algunos investigadores (Ishii e Hibiki, 2006; Lahey, 1992)
representan dicho término con km mk−Γ =Γ el cual se determina por medio de ecuaciones de
cerradura.
58
Es conveniente representar la Ec. (49) en términos de kε y kkmε . Entonces, para obtener la
ecuación promedio intrínseco, a la Ec. (49) se le aplican las Ecs. (11) y (30) quedando
como:
{ }( )k
N kmk k kk k kk k k k k k k km k k km km km
kmk m
tε ρ
ε ρ ε ε ε ρ≠
∂+∇⋅ + ∇⋅ − Φ = − − + ⋅
∂ ∑v j v w j n (50)
donde el término del lado derecho de la Ec. (50) expresado de forma intrínseca se puede
escribir como:
{ } { }
{ }( )
( )
( ) ( )
1 ( )
kk m k mk
k m k k k m k k m k k k m k k mkm
m m k m k k m
A tk m
A tk m
dAA
dAV
εε ρ ρ
ρ
− − + ⋅ = − − + ⋅
= − − + ⋅
∫
∫
v w j n v w j n
v w j n (51)
Para el planteamiento propuesto, es más conveniente tener producto de promedios de en
lugar de promedio de productos entre variables locales instantáneas (segundo término del
lado izquierdo de la Ec. (50)). Lo anterior se logra introduciendo las desviaciones
espaciales de las variables locales (Gray, 1975).
Las variables locales espaciales tienen características importantes asociadas con la longitud
característica que permiten realizar simplificaciones de las ecuaciones promedio. Dichas
ecuaciones están en términos de las variables promedio y de las desviaciones espaciales
(Ochoa Tapia y Whitaker, 1995a). Una variable local cualquiera ( )kψ esta definida por la
suma de su promedio en volumen intrínseco y su desviación espacial (Gray, 1975), es
decir:
kk k kψ ψ ψ= + (52)
Cuando se presenta el producto entre dos variables locales instantáneas 1k
ψ y 2kψ se usa la
definición de la Ec. (52). Estos productos se definen como:
59
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
k k k k
k k k k k k k k k kψ ψ ψ ψ ψ ψ ψ ψ ψ ψ= + + + (53)
Promediando la Ec. (53)
1 2 1 2 1 2
k kk k
k k k k k kψ ψ ψ ψ ψ ψ= + (54)
Similarmente para tres variables locales instantáneas se tiene:
1 2 3 1 2 3 1 2 3 2 1 3
1 2 3 1 2 3
k kk k k
k
k kk
k k k k k k k k k k k k
k k
k k k k k k
ψ ψ ψ ψ ψ ψ ψ ψ ψ ψ ψ ψ
ψ ψ ψ ψ ψ ψ
= + +
+ + (55)
Si el promedio de fase y el promedio de fase intrínseco presentan pequeñas variaciones de
ψk , las siguientes relaciones son validas: kk k k
k k kψ ψ ψ= = (56)
kk k kψ ψ ψ= = (57)
1 2 1 2
kk k k kk k k kψ ψ ψ ψ= (58)
1 2 1 2 0kk k k
k k k kψ ψ ψ ψ= = (59)
2 1 2 1 0kk k k
k k k kψ ψ ψ ψ= = (60)
1 2 3 1 2 3
kk k k k k kk k k k k kψ ψ ψ ψ ψ ψ= (61)
1 2 3 1 2 3 0kk k k k k
k k k k k kψ ψ ψ ψ ψ ψ= = (62)
2 1 3 2 1 3 0kk k k k k
k k k k k kψ ψ ψ ψ ψ ψ= = (63)
En las Ecs. (53)-(63), los subíndices 1, 2 y 3 se usan para indicar las diferentes propiedades
de la fase k.
Nótese de las Ecs. (56)-(58) y (61) que el promedio de una cantidad promedio es igual a la
cantidad promedio y esto es valido cuando se satisface la restricción de escala de longitud
dada por la Ec. (1). Por otro lado, el resultado dado por las Ecs. (59), (60), (62) y (63) son
una consecuencia inmediata de promediar la Ec. (52), donde el promedio intrínseco de las
desviaciones espaciales es cero si la variable local presenta un buen comportamiento; no
ocurre lo mismo para el promedio de las desviaciones espaciales que producen términos de
dispersión cuando la variable local es uniforme (Gray, 1975).
60
Entonces, al aplicar la Ec. (54) a la Ec. (50) (segundo término del lado izquierdo) para el
caso 1k kψ ρ= y 2k kψ = v , se obtiene la ecuación de conservación de masa promediada en
volumen en términos de la fracción de volumen, de variables promedio y de las
desviaciones espaciales para la fase k.
{ }( )
1 ( )k
Nk k k k kk k
k k k k k k k k k km k km k k kkmk m
A tkm
dAt V
ε ρε ρ ε ε ρ ε ρ
≠
∂+∇⋅ + ∇⋅ − Φ = − − + ⋅ −∇⋅
∂ ∑ ∫v j v w j n v
(64)
Cuando los gradientes de presión no son muy grandes, los gradientes de densidad a nivel
microscópico son muy pequeños en comparación con los gradientes de velocidad.
Entonces todos los términos que contienen variaciones espaciales de la densidad alrededor
de su valor promedio, se pueden despreciar (Cazarez-Candia, 2001).
Tomando en cuenta lo anterior se obtiene la ecuación de conservación de masa promediada
en volumen.
{ }( )
1 ( )k
Nk k k kk k
k k k k k k k k k km k kmkmk m
A tkm
dAt V
ε ρε ρ ε ε ρ
≠
∂+∇⋅ + ∇⋅ − Φ = − − + ⋅
∂ ∑ ∫v j v w j n (65)
En la Ec. (65) se consideran efectos de acumulación, efectos inerciales, flux difusivo de
masa, generación de masa, transferencia de masa interfacial y flux difusivo de masa
interfacial. Por otra parte, para la Ec. (65) se toma en cuenta la condición de no
deslizamiento por lo que 0k k s k s k s⋅ = ⋅ =v n w n .
Con la finalidad de expresar la Ec. (65) explícitamente para un medio poroso homogéneo,
rígido e isotrópico, se considera que k ksε φ= , donde la saturación de la fase k se define
como: kk
m
VsV= , la porosidad: mV
Vφ = y el volumen de las fases fluidas como:
61
1 2m l l gV V V V= + + , (Ver mas detalle en Espinosa-Paredes 2010) por lo que la Ec. (65) se
reescribe quedando de la siguiente manera:
{ }( )Inércia Flux difusivo de masa Generación de masaAcumulación
Transferencia de masa interfacial y flux difu
1 ( )k
Nk k k kk k
k k k k k k k k k km k kmkmk m
A tkm
ss s s dA
t Vφ ρ
φ ρ φ φ ρ≠
∂+ ∇⋅ + ∇⋅ − Φ =− − + ⋅
∂ ∑ ∫v j v w j n
sivo de masainterfacial
(66)
Dado que la fase k=l1, l2, g la forma extendida de la Ec. (66) para cada una de estas fases al
tomar en cuenta las consideraciones hechas (líquidos inmiscibles e incompresibles, gas
compresible, transferencia de masa entre l1 con g l2 con g, y generación de masa entre l1
con g ) en la sección 2.2 son:
Para la fase l1:
{ }1 1 1 1 11
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
1 ( )
1 ( )l g
l l l l lll l l l l l l l l l l g l l g
A t
ss s s dA
t Vφ
ρ ρ φ φ φ ρ∂
+ ∇⋅ + ∇⋅ − Φ =− − + ⋅∂ ∫v j v w j n
(67)
Para la fase l2:
{ }2 2 2 22
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
2 ( )
1 ( )l g
l l l lll l l l l l l l l g l l g
A t
ss s dA
t Vφ
ρ ρ φ φ ρ∂
+ ∇⋅ + ∇⋅ = − − + ⋅∂ ∫v j v w j n (68)
Para la fase g:
{ } { }1 1 2 2
1 2( ) ( )
1 1( ) ( )
gg g g gg g
g g g g g g g
g g gl g gl g g gl g glA t A tgl gl
ss s s
tdA dA
V V
φ ρφ ρ φ φ
ρ ρ
∂+ ∇⋅ + ∇⋅ − Φ =
∂− − + ⋅ − − + ⋅∫ ∫
v j
v w j n v w j n (69)
2. 5. 2 Ecuación de masa promediada en el área interfacial
Las fases en un sistema multifásico están separadas por las interfases. A nivel de
microescala, las regiones interfaciales son modeladas en dos dimensiones y pueden tener
propiedades termodinámicas diferentes de aquellas fases que la conforman (Gray y
62
Hassanizadeh, 1998). La ecuación de conservación para una propiedad en la interfase
cuando ésta interfase esta localizada en un volumen esta definida por la Ec. (4).
Dado que las fases se encuentran rodeadas por las interfases del sistema es conveniente
especificar entonces ecuaciones de conservación del tipo promedio en superficie para cada
una de estas interfases y esto se muestra a continuación:
Para la fase k:
{ }( ) 2 ( ) ( )kkm k k k k k k
s km km km km km km s km km k k km k kmk
N
mH
tρ
ρ ρ ρ∂
+ ∇ ⋅ − ⋅ + ∇ ⋅ − Φ = − + ⋅∂ ∑v w n j v w j n (70)
Donde 1 2, , ,k l l g s= 1 2, , ,m l l g s= , ρ es la densidad de masa, v es velocidad, j es flux difusivo
de masa, Φ es la generación de masa, H es la curvatura media medida, kmn es el vector
normal unitario dirigido de la fase k a la fase m y t es la coordenada temporal. El
superíndice k indica “de la fase k” y el subíndice km indica “en la interfase km”.
Aplicando el operador promedio en área dado por la Ec. (28) a la Ec. (70) se obtiene
{ }( ) 2 ( ) ( )k N
k k k k k kkms km km km km km km s km km k k km k km
kmk m
Ht
ρ ρ ρ ρ≠
=∂ + ∇ ⋅ − ⋅ + ∇ ⋅ + Φ − + ⋅∂
∑v w n j v w j n (71)
Aplicando teoremas de promediado en superficie dados por las Ecs. (32) y (33) según
corresponda a los términos de la Ec. (71) se tiene:
( )
12kk Qkmkm k k k k
s km km km km km km km km kmn kmnkmn
k m nL tkmn
w H dLt t V
ρρρ ρ ρ
≠ ≠
∂∂= +∇ ⋅ + ⋅ − ⋅
∂ ∂ ∑ ∫n w n U υ (72)
( )
1( )Q
k k k k k ks km km km km km km kmn
kmnk m n
L tkmn
dLV
ρ ρ ρ≠ ≠
∇ ⋅ = ∇⋅ + ⋅∑ ∫v v v υ (73)
( )
1( )Q
k k ks km km km kmn
kmnk m n
L tkmn
dLV
≠ ≠
∇ ⋅ = ∇⋅ + ⋅∑ ∫j j j υ (74)
Sustituyendo las Ecs. (72)-(74) en la Ec. (71), se tiene:
63
{ }
{ }
( )
1( ) ( )V
( )
k Nkm k k k k k k k
km km km km km km km km kmn km kmnkmn
k m n
N
k k km k kmkmk m
L tkmn
w dLtρ
ρ ρ
ρ
≠ ≠
≠
∂+∇⋅ + +∇⋅ − Φ + − + ⋅
∂
= − + ⋅
∑ ∫
∑
v n j v U j υ
v w j n
(75)
Para la Ec. (75) se usa la condición de no deslizamiento por lo que 0k k s k s k s⋅ = ⋅ =v n w n y
0kk m k ms k ms k ms⋅ = ⋅ =v υ U υ .
Expresando la Ec. (75) en términos de promedios intrínsecos definidas por las Ecs. (30) y
(36), se tiene:
{ } { }
( )
( )( )
kmk kkm km kmkm km k k k k k k k
km km km km km km km km km
N N kmkmnk kk k kkmn km k k km k kmkm km kmn km kmn
kmn kmk m n k m
wt
ε ρε ρ ε ε
ε ε ρρ≠ ≠ ≠
∂+∇⋅ + +∇⋅ − Φ
∂
+ = − + ⋅− + ⋅∑ ∑
v n j
v w j nv U j υ (76)
De la misma forma que en el promediado en volumen para la fase, en el promediado en la
interfase, es conveniente tener productos de promedios en lugar de promedio de productos
entre variables locales. Lo anterior se logra introduciendo las desviaciones espaciales de
las variables locales propuestas por (Gray, 1975) al segundo término del lado izquierdo de
la Ec. (76), esto es:
( )( ) ( )km km km kmk k k k k k k k k
km km km km km km km km km km km km km km kmw w wε ρ ε ρ ε ρ∇⋅ + = ∇⋅ + + ∇⋅ +v n v n v n (77)
Sustituyendo la Ec. (77) en la Ec. (76)se tiene que:
( ){ } { }( ) ( )
( )
kmk kkm km km kmkm km k k k k k k k
km km km km km km km km km
N Nkm kmnk k k k kkm k k km k km kmn km km kmn km kmn
km kmnk m k m n
kmk k kkm km km km km
wt
w
ε ρε ρ ε ε
ε ρ ε ρ
ε ρ
≠ ≠ ≠
∂+∇⋅ + +∇⋅ − Φ
∂
= − + ⋅ − − + ⋅
− ∇⋅ +
∑ ∑
v n j
v w j n v U j υ
v n
(78)
El término promedio en la línea de contacto (segundo término del lado derecho) de la Ec.
(78) se pueden expresar de forma similar al correspondiente término de la Ec. (51)
quedando:
64
{ } { }
{ }
( )
( )
( )
1( )
( )k
k mn k mnk k k k k k kk mn k m k m kmn k m kmn k m k m k mn k m k mn
k mn k mn
k k kkm k m kmn km k mn
L t
L tk mn
L
V
dL
dL
ερ
ρ
ε ρ − + ⋅
− + ⋅
− − + ⋅ = −
= −
∫
∫
v U j υ
v U j υ
v U j υ
(79)
Al igual que la ecuación de masa promediada en volumen para la fase Ec. (65), en la
ecuación promediada en volumen para la interfase se aplican: 1) la Ec. (79) y 2) no se
toman en cuenta las variaciones espaciales de la densidad alrededor de su valor promedio.
Por lo anterior a partir de la Ec. (78), se obtiene la ecuación de conservación de masa
promediada en volumen para la fase k en la interfase:
( ){ } { }
( )( )
1( )
1 ( )
kmk kkm km km kmkm km k k k k k k k
km km km km km km km km km
N Nk k k
k k km k km km km kmn km kmnkm kmnk m k m n
L tA t kmnkmV
wt
dA dLV
ρ
ε ρε ρ ε ε
ρ≠ ≠ ≠
− + ⋅
∂+∇⋅ + +∇⋅ − Φ
∂
= − + ⋅ − ∫∑ ∑∫ v U j υ
v n j
v w j n (80)
Considerando que k kkm kmsε φ= , donde la porosidad de la fase k en la interfase km se define
como: k kmkm
m
AsV
= , y la porosidad: mVV
φ = , la Ec. (80) se expresa como:
( )
{ }
Flux difusivo de masa GeneraciónInerciaAcumulación de masa
Transf
( )
1 ( )
kmk kkm km km kmkm km k k k k k k k
km km km km km km km km km
N
k k km k kmkmk m
A tkm
ss w s s
t
dAV
φ ρφ ρ φ φ
ρ≠
∂+∇⋅ + +∇⋅ − Φ
∂
= − + ⋅∑ ∫
v n j
v w j n { }
erencia de masa interfacial y flux difusivo Transferencia de masa y flux difusivo de masa de masa interfacial en la línea de contacto
( )
1( )
Nk k kkm km kmn km kmn
kmnk m n
L tkmnV
dLρ
≠ ≠
− + ⋅− ∫∑ v U j υ
(81)
Dado que la fase k=l1, l2, g la forma extendida de la Ec. (81) para cada una de estas fases al
tomar en cuenta las consideraciones hechas en la sección 2.2 (líquidos inmiscibles e
incompresibles, gas compresible, transferencia de masa entre l1 con g l2 con g, y
generación de masa entre l1 con g) son:
65
Para l1:
( )( ) ( )
1 1 11 2 1 1 1 2 1 21 2 1 11 1 1 1 1 1
1 2 1 1 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
1 1 1 11 1 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
11 1
1 1
l l ll l l g l s l l l ll l l g l sl l l l l l
l l l g l s l l l l l l l l l l
l g l g l s l sl l l l l ll g l g l g l g l g l s l s l s l s l s
l gl ll g l g
s s ss w
t t ts w s w
s
φ φ φρ ρ ρ ρ φ
ρ φ ρ φ
φ
∂ ∂ ∂+ + + ∇⋅ +
∂ ∂ ∂+ ∇⋅ + + ∇⋅ +
+∇⋅ +
v n
v n v n
j
{ } { }
{ }
1 2 1 11 1 1 1 1 1
1 2 1 2 1 1 1 1
1 1 1
1 1 1 1 1 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
1 21
1 1 1
1 1 1 1 1
1
1 1( ) ( )
1 ( )
l l l s l gl l l l l ll l l l l s l s l g l g
l l ll l l g l l g l l l l l l g l l l l g
l l g
l l ll s l s l sg l s l sg
l sgL
LAl g
ss s
dA dLV V
dLV
φ φ φ
ρ ρ
ρ
∇⋅ +∇⋅ − Φ
= − + ⋅ − − + ⋅
− − + ⋅
∫ ∫
∫
j j
v w j n v U j υ
v U j υ
(82)
Para l2:
( )( ) ( )
2 2 22 1 2 2 2 1 2 12 1 2 22 2 2 2 2 2
2 1 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1
2 2 2 22 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
22 2
2 2
l l ll l l g l s l l l ll l l g l sl l l l l l
l l l g l s l l l l l l l l l l
l g l g l s l sl l l l l ll g l g l g l g l g l s l s l s l s l s
l gl ll g l g
s s ss w
t t t
s w s w
s
φ φ φρ ρ ρ ρ φ
ρ φ ρ φ
φ
∂ ∂ ∂+ + + ∇⋅ +
∂ ∂ ∂
+ ∇⋅ + + ∇⋅ +
+∇⋅ +
v n
v n v n
j { }
{ } { }
2 2 12 2 2 2
2 2 2 1 2 1 2 2 2 2 2
2
2 2 2 2 2 2
2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 2 2 2
22 1
1 ( )
1 1( ) ( )
l s l ll l l ll s l s l l l l l l l g l l g
Al g
l l l l l ll l l l l l g l l l l g l s l s l sg l s l sg
LL l sgl l g
s s dAV
dL dLV V
φ φ ρ
ρ ρ
∇⋅ +∇⋅ = − + ⋅
− − + ⋅ − − + ⋅
∫
∫ ∫
j j v w j n
v U j υ v U j υ
(83)
Para g:
( )( ) ( )
1 2
1 11 1 2 2
1 1 1 1 1
2 2
2 2 2 2 2
1 2
1 1 2 2 1
g l g l g sg l g l
g l g l g s g s
g l g l g s
g g g g g gg l g l g l g l g s g s g g g
g l g l g l g l g l
g g g g g gg l g l g l g l g l g s g s g s g s g s
g g g g g g gg l g l g l g l g s g s g ls
s s ss w
t t t
s w s w
s s s
φ ρ φ ρ φ ρφ ρ
φ ρ φ ρ
φ φ φ φ
∂ ∂ ∂+ + +∇ ⋅ +
∂ ∂ ∂
+∇ ⋅ + +∇⋅ +
+∇ ⋅ +∇ ⋅ +∇ ⋅ −
v n
v n v n
j j j
{ } { }
{ } { }
{ }
1
1
1 21 2
1 2
1 1 1 2 1 1 2 2 2 2 2 2 1
1 2 2 1
2 2
2
1 1( ) ( )
1 1( ) ( )
1 1( ) (
g l
g g g g l g g g glA Ag l g l
g g g g g gg l g l g l l g l g l l g l g l g l l g l g l l
L Lg l l g l l
g g g gg s gs g s l g s gs l g s
Lg sl
gg l
g l g ldA dAV V
dL dLV V
dLV V
ρ ρ
ρ ρ
ρ ρ
Φ
= − + ⋅ + − + ⋅
− − + ⋅ − − + ⋅
− − + ⋅ −
∫ ∫
∫ ∫
∫
v w j n v w j n
v U j υ v U j υ
v U j υ v{ } 1
1
)g gg s g s l g s g s l
Lg sl
dL− + ⋅∫ U j υ
(84)
66
2. 5. 3 Ecuación de masa promediada en la línea de contacto
A nivel microescala, las líneas de contacto (Ec. 5) son regiones donde tres fases (y por lo
tanto tres interfases) que vienen juntas. Las líneas son modeladas en una dimensión y estas
pueden tener propiedades termodinámicas diferentes a las correspondientes de las fases y
las interfases que las conforman (Gray y Hassanizadeh, 1998). Por otro lado, si existe
transferencia de masa en la línea de contacto, deben asumirse diferentes valores de esta en
cada una de las superficies divididas (interfases) que conforman la línea de contacto. Por lo
que es necesario multi evaluar la velocidad de las líneas sobre un sólido rígido (Slattery,
1990). Por ello, se presentan a continuación los balances en las líneas de contacto tomando
en cuenta las contribuciones de cada una de las fases y de las interfases que conforman las
líneas de contacto. La Ec. (5) para la fase k se puede escribir como:
{ }( ) ( ) ( )kkmn k k k k k k k
kmn kmn kmn kmn km km kmn km kmnk
k
Q
mnm n
tρ
ρ ρ≠ ≠
∂+ ∇⋅ + ∇⋅ − Φ = − + ⋅
∂ ∑v j v U j υ (85)
donde 1 2, ,,k l l g s= , 1 2, ,,m l l g s= , 1 2, ,,n l l g s= ( )k m n≠ ≠ , ρ es la densidad de masa, v es la
velocidad, j es el flux difusivo de masa, Φ es la generación de masa, gmnυ es el vector
normal unitario a la línea de contacto kmn y tangente a la interfase km apuntando hacia
fuera de dicha interfase. El subíndice kmn indica “en la línea de contacto kmn”.
Aplicando el operador promedio en línea [Ec. (34)] a la Ec. (85) se tiene que:
{ }( ) ( ) ( )k
k k k k k k kkmnkmn kmn kmn kmn km km kmn km kmn
kk
Q
mnm n
tρ ρ ρ
≠ ≠
∂ + ∇⋅ + ∇⋅ − Φ = − + ⋅∂
∑v j v U j υ (86)
Aplicando los teoremas definidos en las Ecs. (38) y (40) según corresponda a los términos
de la Ec. (86) se tiene que:
( )
1kk Pkmnkmn k
kmn p kmnqkmnq kmnqk m n q
P t
dPt t V
ρρρ
≠ ≠ ≠
∂∂= − ⋅
∂ ∂ ∑ ∫ v λ (87)
67
( )
1( )P
k k k k k kkmn kmn kmn kmn kmn kmn kmnq
kmnq kmnqk m n qP t
dPV
ρ ρ ρ≠ ≠ ≠
∇⋅ = ∇⋅ + ⋅∑ ∫v v v λ (88)
( )
1( )P
k k kkmn kmn kmn kmnq
kmnqk m n q
P tkmnq
dPV
≠ ≠ ≠
∇⋅ = ∇⋅ + ⋅∑ ∫j j j λ (89)
Sustituyendo las Ecs. (87)-(89) en Ec. (86) se tiene.
{ }
( )
( ) ( )
1(
1 1
( )
k Pk mn k k k k k k
k mn k mn k mn k mn k mn k mn k mnqkmnq
k m n q
P Pk kk mn k mn q k mn p k mnq
kmnq kmnqk mnq k mn qk m n q k m n q
Qk k kk m k m k mn k m k mn
k mnk m n
P tk mnq
P t P t
dPt V
dP dPV V
ρρ ρ
ρ
ρ
≠ ≠ ≠
≠ ≠ ≠ ≠ ≠ ≠
≠ ≠
∂+ ∇⋅ + ∇⋅ − Φ + ⋅
∂
+ ⋅ − ⋅
= − + ⋅
∑ ∫
∑ ∑∫ ∫
∑
v j v λ
j λ v λ
v U j υ
(90)
Agrupando términos:
{ }
( ){ }( )
( ( )
1
k Qk mn k k k k k k k
k mn k mn k mn k mn k m k m k mn k m k mnk mn
k m n
Pk k kk mn k mn p k mn k mnq
kmnqk m n q
P tk mnq
t
dPV
ρρ ρ
ρ
≠ ≠
−
≠ ≠ ≠
∂+∇⋅ +∇⋅ − Φ = − + ⋅
∂
− + ⋅
∑
∑ ∫
v j v U j υ
v v j λ
(91)
Dada la consideración de no deslizamiento en la Ec. (91), se debe cumplir que
0kk m k ms k ms k ms⋅ = ⋅ =v υ U υ y 0k
k ms k mns p k mn s⋅ = ⋅ =v λ v λ .
Expresando la Ec. (91) en términos de las fracciones kkmnε y k
kmnqε [ver Ecs. (36) y (40)], se
obtiene:
{ } ( ){ }
(
( )
k mnk kk mn k mn k mnk mn k mn k k k k k k k
k mn k mn k mn k mn k mn k mn k mn
Q P k mnqk mnk k k k k k k kk mn k m k m k mn k m k mn k mnq k mn k mn p k mn k mnq
k mn kmnqk m n k m n q
tε ρ
ε ρ ε ε
ε ρ ε ρ −
≠ ≠ ≠ ≠ ≠
∂+∇⋅ +∇⋅ − Φ
∂
= − + ⋅ − + ⋅∑ ∑
v j
v U j υ v v j λ
(92)
68
De acuerdo a la Ec. (79) el último término (lado derecho) de la Ec. (92) se puede expresar
como:
{ } { }
{ }( )
( )
( ) ( )
1 ( )
kkmnq kmnqk k k k k k k
kmnq kmn kmn p kmn kmnq kmn kmn p kmn kmnqkmnq
k k kkmn kmn p kmn kmnq
P tkmnq
P tkmnq
dPP
dPV
εε ρ ρ
ρ
− − + ⋅ =− − + ⋅
=− − + ⋅
∫
∫
v v j λ v v j λ
v v j λ
(93)
Al igual que en las ecuaciones de masa promediadas en volumen para la fase y la interfase,
a la Ec. (92) se le aplica: 1) la Ec. (93), 2) el teorema de producto entre dos variables
locales instantáneas definido por la Ec. (54) y 3) se desprecian todos los términos que
contienen variaciones espaciales de la densidad alrededor de su valor promedio. Con esto,
se obtiene la ecuación de conservación de masa promediada en la línea de contacto para la
fase k:
{ }
{ }
( )
( )
1( )(
1 ( )
k mnk kk mn k mn k mnk mn k mn k k k k k
k mn k mn k mn k mn k mn
Nk mnk k k k kk mn k mn k m k m k mn k m k mn
kmnk m n
Pk k kk mn k mn p k mn k mn q
kmnqk m n q
L tk mn
P tk mn q
V
t
dL
dPV
ρ
ε ρε ρ ε
ε
ρ
≠ ≠
≠ ≠ ≠
− + ⋅
∂+ ∇ ⋅ + ∇ ⋅
∂
− Φ =
− − + ⋅
∫∑
∑ ∫
v U j υ
v j
v v j λ
(94)
Si en la Ec. (94) se considera k kkmn kmnsε φ= , donde la saturación de la fase k en la línea de
contacto kmn se define como: k
k kmnkmn
m
LsV
= , y la porosidad: mVV
φ = , se tiene:
Inércia Flux difusivode masa Acumulación
k mnk kk mn k mn k mnk mn k mn k k k k k
k mn k mn k mn k mn k mn
ss s
tφ ρ
φ ρ φ∂
+ ∇⋅ + ∇ ⋅∂
v j
69
{ }( )Generación de masa
Transferencia de masa y flux difusivo de masa en la línea de contacto
1( )(
1 ( )
Nk mnk k k k kk mn k mn k m k m k mn k m k mn
kmnk m n
k kk mn k mn p
L tk mnV
s dL
V
ρφ
ρ
≠ ≠
− + ⋅− Φ =
− −
∫∑ v U j υ
v v{ }( )
Transferencia de masa y flux difusivo de masa en el punto de contacto
Pkk mn k mn q
kmnqk m n q
P tk mn q
dP≠ ≠ ≠
+ ⋅∑ ∫ j λ
(95)
Dado que la fase k=l1, l2, g la forma extendida de la Ec. (95) para cada una de estas fases al
tomar en cuenta las consideraciones hechas en la sección 2.2 (líquidos inmiscibles e
incompresibles, gas compresible, transferencia de masa entre l1 con g l2 con g, y
generación de masa entre l1 con g) son:
Para l1:
1 1 1 11 21 2 1 2 1 21 2 1 2 1 2 1 21 1 1 1
1 2 1 2 1 2 1 2
1 11 1 1 2 1 21 11 1 1 1 1 1
1 1 1 2 1 2 1 2 1 2
l l l ll l sl l g l gl l sll l g l gl l l s l sll l l l
l l g l gl l l s l sl
l ll gs l sg l l g l l gl gs l sgl l l l l l
l gs l sg l l g l l g l l g l gl
s s s st t t t
s ss s
t t
φ φ φ φρ ρ ρ ρ
φ φρ ρ φ ρ φ ρ
∂ ∂ ∂ ∂+ + +
∂ ∂ ∂ ∂∂ ∂
+ + +∇⋅ +∇⋅∂ ∂
v 1 21
1 2
1 2 1 2 1 2 1 11 1 1 1 1 1 1
1 2 1 2 1 2 1 2 1 1 1
1 2 1 2 1 1 1 21 1 1 1 1 1 1 1
1 2 1 2 1 2 1 1 1 1 2 1 2
1 2
l glll gl
l gl l sl l sl l sg l sgl l l l l l ll gl l sl l sl l sl l sg l sg l sg
l l s l l s l gs l gs l l gl l l l l l l ll l s l l s l l s l gs l gs l gs l l g l l g
l l
s s
s s s
s
φ ρ φ ρ
φ ρ φ ρ φ
+ ∇⋅ +∇⋅
+∇⋅ +∇⋅ +∇⋅
+∇⋅
v v v
v v j
{ }
1 2 1 2 1 11 1 1 1 1 1 1 1
1 2 1 2 1 2 1 1 1 1
1 2 1 2 11 1 1 1 1 1
1 2 1 2 1 2 1 2 1 1
1 1 1
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
1
1 ( )
l l s l gl l gs l sgl l l l l l l ls l l s l gl l gl l gs l gs l sg l sg
l sl l l g l sgl l l l l ll sl l sl l l g l l g l sg l sg
l l ll l l l l l g l l l l g
Ll
s s s
s s s
dLV
φ φ φ φ
φ φ φ
ρ
+∇⋅ +∇⋅ +∇⋅
+∇⋅ − Φ − Φ
= − + ⋅
j j j j
j
v U j υ { }
{ } { }
1 1 1
1 1 1 1 1
2 1
1 1 1 1 1 1
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
1 2 1 2
1 ( )
1 1( ) ( )
l l ll s l s l sg l s l sg
Ll g l sg
l l l l l ll sl l sl p l sl l sl g l l s l l s p l l s l l sg
P Pl sl g l l sg
dLV
dP dPV V
ρ
ρ ρ
+ − + ⋅
− − + ⋅ − − + ⋅
∫ ∫
∫ ∫
v U j υ
v v j λ v v j λ (96)
Para l2:
2 2 2 22 1 2 1 2 1 22 1 2 1 2 1 22 2 2 2
2 1 2 1 2 1 2
2 22 12 1 2 2 12 1 22 2 2 2 2
2 1 2 2 1 2 1 2 1
l l l ll l g l l s l s l l s gl l g l l s l s l l s gl l l l
l l g l l s l s l l s g
l ll l gl g l l g s l l gl g l l g sl l l l l
l g l l g s l l g l l g l l g
s s s st t t t
s ss
t t
φ φ φ φρ ρ ρ ρ
φ φρ ρ φ ρ
∂ ∂ ∂ ∂+ + +
∂ ∂ ∂ ∂∂ ∂
+ + ∇⋅∂ ∂
v
70
2 1 2 1 2 1 2 1 2 22 2 2 2 2 2 2 2 2
2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 2
2 1 2 12 22 2 2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1
l l s l l s l s l l s l l s g l s gl l l l l l l l ll l s l l s l l s l s l l s l l s l l sg l sg l sg
l g l l g ll g s l g sl l l l l l l ll gs l gs l gs l gl l gl l gl l l g l l g
s s s
s s s
φ ρ φ ρ φ ρ
φ ρ φ ρ φ
+ ∇⋅ + ∇ ⋅ + ∇ ⋅
+ ∇ ⋅ + ∇ ⋅ +∇ ⋅
v v v
v v j
{ }
2 1
2 1 2 2 12 2 2 2 2 2
2 1 2 1 2 2 2 1 2 1
2 2 12 2 2 2 2 2 2
2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1
2 1
2 2
2 2 2
1 ( )
1 ( )
l l g
l l s l s g l s ll l l l l ll l s l l s l s g l s g l s l l s l
l g s l g ll l l l l l ll g s l g s l g l l g l l l l l l l g l l l l g
Ll l g
l ll s l s l sg l
s s s
s s dLV
V
φ φ φ
φ φ ρ
ρ
+∇⋅ +∇ ⋅ +∇ ⋅
+∇ ⋅ +∇ ⋅ = − + ⋅
+ − +
∫
j j j
j j v U j υ
v U j{ } { }
{ }
2 2 2 2
2 2 2 1 2 1 2 1 2 1
2 2 1
2 2 2
2 1 2 1 2 1 2 1
2 1
1 ( )
1 ( )
l l l ls l sg l l s l l s p l l s l l s g
L Pl s g l l s g
l l ll s l l s l p l s l l s l g
Pl s l g
dL dPV
dPV
ρ
ρ
⋅ − − + ⋅
− − + ⋅
∫ ∫
∫
υ v v j λ
v v j λ
(97)
Para g:
2 11 2 1 2
2 1 2 11 2 1 2 1 1 2 2
1 2
1 2 1 21 1 2 2
1 2 1 2 1 2 1
1 1
1 1
g l lg l l g l s g l sg gg g g g g gg l l g l lg l l g l l g l s g l s g l s g l s
g sl g slg g g gg l l g l lg sl g sl g s l g sl g g g g
g l l g l l g l l g sl
g sl g s lg gg sl g s l
ss s st t t t
s ss s
t ts
φ ρφ ρ φ ρ φ ρ
φ ρ φ ρφ ρ φ
ρ
∂∂ ∂ ∂+ + +
∂ ∂ ∂ ∂∂ ∂
+ + + ∇ ⋅ +∇ ⋅∂ ∂
+∇⋅
v
v2 12 1 2 2
2 1 2 1 2 1 2 2 2
1 1 2 2 1 2
1 1 1 2 2 2 1 2 1 2
1 2 2 1
1 1 2 1 2 1 2
g l lg l l g sl g l sg g g g g gg l l g l l g l l g s l g s l g l s
g l s g l s g l s g l s g l lg g g g g g g gg l s g l s g l s g l s g l s g l s g l l g l l
g l l g l lg g g g gg l s g l s g l l g l l g l s g
s
s s s
s s s
φ ρ φ ρ
φ ρ φ ρ φ
φ φ φ
+∇ ⋅
+ ∇ ⋅ + ∇ ⋅ + ∇ ⋅
+ ∇ ⋅ +∇ ⋅ +∇ ⋅
v v
v v j
j j j
{ } { }
{ }
2 1
2 1 1
2 2 1 1
2 2 2 1 2 1 1 1
1 1 1 2 1 1 2 1 1
1 2 1
2 2 2 1 2
1 1( ) ( )
1 ( )
g l s g s lg g gl s g sl g s l
g s l g l l g slg g g g g gg sl g sl g l l g l l g s l g sl
g g g g g gg l g l g l l g l g l l g s g s g s l g s g sl
L Lg l l g sl
g g ggl g l g l l g l g
s
s s s
dL dLV V
V
φ
φ φ φ
ρ ρ
ρ
+∇ ⋅
+∇ ⋅ − Φ − Φ
= − + ⋅ + − + ⋅
+ − + ⋅
∫ ∫
j
j
v U j υ v U j υ
v U j υ { }
{ } { }
{ }
2 1 2 2
2 1 2
1 1 1 1 2 1 1 1 1 2
1 2 1 2
2 2 2 2 1 2
2 1
1 ( )
1 1( ) ( )
1 1( ) (
g g gl l g s g s g s l g s g s l
L Lg l l g s l
g g g g g gg l s g l s p g l s g l s l g sl g sl p g sl g sl l
P Pg l sl g sl l
g g g ggl s gl s p gl s gl sl g s l g s l
Pg l s l
dL dLV
dP dPV V
dPV V
ρ
ρ ρ
ρ ρ
+ − + ⋅
− − + ⋅ − − + ⋅
− − + ⋅ −
∫ ∫
∫ ∫
∫
v U j υ
v v j λ v v j λ
v v j λ v{ }2 2 2 1
2 1
)g gp g sl g s l l
Pg s l l
dP− + ⋅∫ v j λ
(98)
2. 5. 4 Ecuación de masa promediada en el punto de contacto
En esta sección se presentan las ecuaciones de balance en el punto de contacto para cada
una de las fases involucradas. Es importante mencionar que para estas ecuaciones se toma
71
en cuenta la contribución de las fases hacia las interfases formando líneas de contacto que
convergen en el punto de contacto. La Ec. (6) para la fase k se puede escribir como:
{ }0 ( )P
k k kkmn kmn p kmn kmnq
kmnqk m n q
ρ≠ ≠ ≠
= − + ⋅∑ v v j λ (99)
Aplicando la Ec. (34) y Ec. (43) a la Ec. (99) queda expresada en términos de kkmnqε .
{ }0 ( )P kmnqk k k k
kmnq kmn kmn p kmn kmnqkmnq
k m n q
ε ρ≠ ≠ ≠
= − + ⋅∑ v v j λ (100)
Para la Ec. (100), debido a la condición de no deslizamiento 0kk ms k mns p k mn s⋅ = ⋅ =v λ v λ .
La Ec. (100) define el balance de masa en el punto de contacto, para la fase k, donde la
transferencia de masa y el flux difusivo de masa fueron estructurados mediante la
consideración de proceso tipo cascada, partiendo de las fases hacia las interfases, de las
interfases hacia las líneas de contacto y finalmente de las líneas de contacto hacia el punto
de contacto.
Expresando la Ec. (100) de acuerdo a la Ec. (93):
{ }( )
Transferencia de masa y flux difusivo de masa en el punto de contacto
10 ( )P
k k kkmn kmn p kmn kmnq
kmnq P tkmnqk m n q
dPV
ρ≠ ≠ ≠
= − + ⋅∑ ∫ v v j λ (101)
Dado que la fase k=l1, l2, g, la forma extendida de la Ec. (101) para cada una de estas fases
al tomar en cuenta las consideraciones hechas en la sección 2.2 (líquidos inmiscibles,
transferencia de masa interracial entre l1 con g l2 con g) son:
Para l1:
{ } { }1 1 1 1 1 1
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
1 2 1 2
1 10 ( ) ( )l l l l l ll l s l l s p l l s l l sg l sl l sl p l sl l sl g
P Pl l sg l sl g
dP dPV V
ρ ρ= − + ⋅ + − + ⋅∫ ∫v v j λ v v j λ (102)
Para l2:
72
{ } { }2 2 2 2 2 2
2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1
2 1 2 1
1 10 ( ) ( )l l l l l ll l s l l s p l l s l l g l sl l sl p l sl l sl g
P Pl l l sl g
s
sg
dP dPV V
ρ ρ= − + ⋅ + − + ⋅∫ ∫v v j λ v v j λ (103)
Fase g:
{ } { }
{ } { }
2 2 2 2 1 2 2 2 2 1
2 1 2 1
1 1 1 1 2 1 1 1 1 2
1 2 1 2
1 10 ( ) ( )
1 1( ) ( )
g g g g g ggl s gl s p gl s gl sl gsl gsl p gsl gsl l
P Pgl sl gsl l
g g g g g ggl s gl s p gl s gl l gsl gsl p gsl gsl l
P Pgl l gsl l
s
s
dP dPV V
dP dPV V
ρ ρ
ρ ρ
= − + ⋅ + − + ⋅
+ − + ⋅ + − + ⋅
∫ ∫
∫ ∫
v v j λ v v j λ
v v j λ v v j λ
(104)
2. 6 DISCUSIÓN DE RESULTADOS
Se desarrollaron un conjunto de ecuaciones de masa promediadas en volumen para flujo
multifásico en un medio poroso. Las ecuaciones, permiten el conocimiento del transporte
de masa en las fases, interfases, líneas y puntos de contacto.
Ecuaciones similares fueron obtenidas por Soria y De lasa (1991) y Gray y Hassanizadeh
(1998). Sin embargo en el trabajo hecho por Soria y De lasa (1991), específicamente en el
balance para la línea de contacto solo se tomó en cuenta el término de transferencia de
masa por lo que el balance en el punto de contacto fue despreciado. Por su parte, Gray y
Hassanizadeh (1998), desarrollaron la ecuación de conservación general de masa en su
forma integral para la fase, interfase, línea y punto de contacto. Sin embargo con la
finalidad de resolver la ecuación de masa a escala macroscópica los autores no tomaron en
cuenta el flux difusivo ni la generación de masa.
A diferencia de lo antes mencionado, en el presente trabajo, se tomaron en cuenta todos los
términos (acumulación, inerciales, flux difusivo, generación de masa y transferencia de
masa) para la ecuación de masa promediada en la fase, interfase y línea de contacto.
Además se planteó el balance de masa para el punto de contacto (ver detalles en Tabla 2.1).
De forma resumida la Tabla 2.1 muestra la comparación de las ecuaciones de masa
obtenidas contra los trabajos presentados por Soria y De lasa (1991) y Gray y
Hassanizadeh (1998).
73
Tabla 2.1 Comparación de las ecuaciones de masa obtenidas contra otros trabajos. Autor Eq.
Soria y De Lasa, (1991) Gray y Hassanizadeh, (1998) En el presente trabajo
Fase
k
{ }N
A Aε ρ ( - )+k k
k k kk k k k k
k kk k k k k
kk kk A k m k k m k m
k m
t
r
ε ρ ε ρ
ε ρ ε
ε
∂ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤+∇⋅⎣ ⎦ ⎣ ⎦∂
⎡ ⎤ ⎡ ⎤+∇⋅ +∇⋅⎣ ⎦ ⎣ ⎦
− = − ⋅∑
v
v j
v w j n
( )
k k kk k k k k
N k mkk m k k k m k m
k m
tε ρ ε ρ
ε ρ
∂ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤+∇ ⋅⎣ ⎦ ⎣ ⎦∂
= − ⋅∑
v
v w n
{ }( )k N kmk k k kk k k
k k k k k k k km k k km k kmkmk m
tε ρ
ε ρ ε ε ε ρ≠
∂+ ∇⋅ + ∇⋅ − Φ =− − + ⋅
∂ ∑v j v w j n
Inte
rfas
e k
m
{ }
{ }
( )
( )
( )
km km kmk k k k kkm km km km km km km
km kmk k k k k kkm km km km km km km
N kmkmk k kkm km km k k km k km
km
Q kmnk k k kkmn km km kmn km kmn
kmn
wt
w
R
ε ρ ε ρ
ε ρ ε
ε ε ρ
ε ρ
∂ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤+∇⋅ +⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦∂
⎡ ⎤ ⎡ ⎤+∇⋅ + +∇⋅⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦
− = − − ⋅
− − − ⋅
∑
∑
n v
n v j
v w j n
v U j υ
( )
( )
km km kmk k k k kkm km km km km
N kmkkm k m km km
km
Q kmnk k kkmn km km kmn kmn
kmn
tε ρ ε ρ
ε ρ
ε ρ
∂ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤+∇⋅⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦∂
= − − ⋅
+ − ⋅
∑
∑
v
v w n
v U υ
( ){ } { }
( )( )
1( )
1 ( )
kmk kk m k m km kmk m k m k k k k k k k
k m k m k m k m k m k m k m k m k m
N Nk k k
k k k m k k m k m k m k mn k m k mnkm kmnk m k m n
L tA t k mnk mV
wt
dA dLV
ρ
ε ρε ρ ε ε
ρ≠ ≠ ≠
− + ⋅
∂+ ∇ ⋅ + + ∇ ⋅ − Φ
∂
= − + ⋅ − ∫∑ ∑∫ v U j υ
v n j
v w j n
74
Continuación (Tabla 2.1)
Autor Eq.
Soria y De Lasa, (1991) Gray y Hassanizadeh, (1998) En el presente trabajo
Lín
ea d
e co
ntac
to k
mn
{ }0 ( )
Q kmnk k k kkmn km km kmn km kmn
kmn
ε ρ= − − ⋅∑ v U j υ ( )
( )
kmn kmn kmnk k k k kkmn kmn kmn kmn kmn
Q kmnk k kkmn km km kmn kmn
kmn
P kmnqk k kkmnq kmn kmn p kmnq
kmnq
tε ρ ε ρ
ε ρ
ε ρ
∂ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤+∇⋅⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦∂
=− − ⋅
+ − ⋅
∑
∑
v
v U υ
v v λ
{ } { }( ) ( )
1( )
(
1 ( )
kmnk kkmn kmn kmn kmnkmn kmn k k k k k k k
kmn kmn kmn kmn kmn kmn kmn
N Pk k k k k kkm km kmn km kmn kmn kmn p kmn kmnq
kmn kmnqk m n k m n q
L t P tkmn kmnqV
t
dL dPV
ρ
ε ρε ρ ε ε
ρ≠ ≠ ≠ ≠ ≠
− + ⋅
∂+∇⋅ +∇⋅ − Φ
∂
= − − + ⋅∫∑ ∑ ∫v U j υ
v j
v v j λ
Punt
o de
con
tact
o km
nq
( ) 0P kmnqk k k
kmnq kmn kmn p kmnqkmnq
ε ρ − ⋅ =∑ v v λ
{ }0 ( )P k mnqk k k k
k mnq k mn kmn p kmn k mnqk mnq
k m n q
ε ρ≠ ≠ ≠
= − + ⋅∑ v v j λ
75
2. 7 CONCLUSIONES
Se obtuvo un conjunto de ecuaciones de masa promediadas en volumen para flujo
multifásico de gas (g) y dos líquidos inmiscibles (l1, l2) dentro de un medio poroso
homogéneo, isotrópico y rígido.
Las ecuaciones de masa fueron promediadas en volumen para cada una de las regiones
coexistentes dentro del volumen de promediado, es decir, para las fases, interfaces, líneas y
puntos de contacto.
En la ecuación de masa para la línea de contacto se consideraron los términos de
acumulación, inerciales, flux difusivo de masa, generación de masa, y transferencia de
masa y flux difusivo interfaciales.
Los términos de transferencia de masa en la interfase, línea y punto de contacto fueron
consideradas como fluxes y se estableció que estos fluían 1) de las fases hacia las
interfaces, 2) de las interfaces hacia las líneas de contacto y 3) de las líneas de contacto
hacia el punto de contacto. Lo anterior permitió obtener, dentro del volumen de
promediado, la interacción completa del flujo multifásico en el medio poroso.
Las ecuaciones de masa promediadas, en cada una de las regiones coexistentes dentro del
volumen de promediado, fueron planteadas tomando en cuenta explícitamente la definición
de medio poroso tal como se muestra en las Ecs. (66), (81), (95) y (101).
76
Capítulo 3
ECUACIÓN DE CANTIDAD DE MOVIMIENTO
3.1 INTRODUCCIÓN
Los procesos de flujo multifásico a través de medios porosos son de interés para ingenieros
y científicos los cuales reconocen la importancia sobre los procesos de recuperación
mejorada de aceite, hidrología y prevención de contaminantes disueltos en agua, secado a
granel de granos, etc. Con la finalidad de describir los fenómenos que se presentan en
dichos flujos, se han desarrollado ecuaciones de transporte de masa, cantidad de
movimiento y energía.
Con el propósito de comprender la transferencia de cantidad de movimiento en medios
porosos, diversos autores (Hassanizadeh y Gray, 1979b; Marle, 1982; Whitaker,
1986b,1986c; Ni y Beckermann, 1991; Gray y Hassanizadeh, 1998; Bousquet et al., 2002;
Andrew et al., 2003; Nordbotten et al., 2007, 2008) se han enfocado a desarrollar
ecuaciones de cantidad de movimiento tomando en cuenta diferentes parámetros. Por
ejemplo, Marle (1982) desarrolló las ecuaciones de masa, cantidad de movimiento y
energía para flujo multifásico para un medio poroso rígido, fijo e isotrópico. Dichas
ecuaciones fueron obtenidas por convolución con una función de peso. El autor propuso las
ecuaciones de conservación para las fases, interfases y líneas de contacto. Para los balances
en la interfase, consideró que la difusividad, transferencia de masa y conducción de calor
eran despreciables, mientras que en el balance para la línea de contacto no se tomaron en
cuenta propiedades termodinámicas. Como caso particular, obtuvo una expresión de la
ecuación de Darcy para la cual consideró y/o supuso: a) flujo monofásico, b) transferencia
de masa (fluido-sólido) despreciable, c) sin reacción química, d) diferencias de temperatura
77
macroscópicas para el sólido, fluido y la interfase despreciables. El autor encontró que si
consideraba una fase adicional dentro del medio poroso incrementaría la complejidad en la
ecuación de cantidad de movimiento, en especial, en los términos de esfuerzos, ya que
además, de proponer una expresión de esfuerzos interfaciales, se debía proponer una
expresión adicional para los esfuerzos en la línea de contacto que se formaría al trabajar
con flujo bifásico fluyendo en un medio poroso.
Por otro lado, Whitaker (1986b) desarrollo la ecuación de continuidad y cantidad de
movimiento para flujo de Stokes monofásico (fluido-sólido) en un medio poroso rígido.
Para derivar las ecuaciones de conservación, el autor, utilizo el método del promedio
volumétrico y supuso flujo incompresible, términos inerciales y viscosos despreciables.
Las ecuaciones de cerradura fueron resueltas utilizando el problema de valor en la frontera
para una celda unitaria, en la cual, se manejó que el medio poroso se encontraba
uniformemente distribuido. Como resultado se obtuvo la ecuación de Darcy, de la cual, la
permeabilidad fue determinada usando una celda unitaria para un medio poroso
uniformemente distribuido. Como aplicación, el autor resuelve la ecuación de cantidad de
movimiento para un problema de tubo capilar obteniendo la expresión de la ecuación de
Hagen-Poiseuille la cual, para un grupo de tubos capilares con diámetro uniforme,
representa el promedio de fase intrínseco de la velocidad para la ley de Darcy.
En el mismo año, Whitaker (1986c) utilizando el método del promedio volumétrico,
desarrollo la ecuación de continuidad y cantidad de movimiento para flujo de Stokes
bifásico en un medio poroso. Para dicho trabajo, el autor supuso: 1) líquidos inmiscibles,
2) sólido rígido e isotrópico y 3) línea de contacto estática formada por fluido-fluido-
sólido. La ecuación obtenida resultó ser similar a la obtenida en Whitaker (1986b). Sin
embargo en el trabajo de Whitaker (1986c), en la solución de problema de cerradura,
obtuvo términos adicionales (desviaciones de presiones y velocidades para las fases fluidas
78
así como el término de curvatura media) no reportados en tratamientos tradicionales de
flujo en dos fases. De la ecuación obtenida, el autor concluye que los coeficientes de
viscosidad son de orden uno y que pueden ser significantes en el movimiento del fluido
para fracciones de volumen muy bajas.
Años más tarde, Hassanizadeh y Gray (1990) desarrollaron una teoría termodinámica a
escala macroscópica que describe el comportamiento del flujo en dos fases en un medio
poroso. Para ello, los autores partieron de las ecuaciones de balance de masa, cantidad de
movimiento y energía macroscópicas para cada fase e interfase previamente propuestas en
los trabajos de Hassanizadeh y Gray (1979a,1979b, 1991) y de Gray y Hassanizadeh
(1989). Para describir el proceso termodinámico para flujo multifásico, los autores
establecieron dos conjuntos de ecuaciones de conservación macroscópicos en términos de:
1) propiedades promedio en fase y 2) propiedades promedio interfaciales. Por otro lado,
con la finalidad de tener las ecuaciones de conservación de forma promediada
intrínsecamente los autores definieron: 1) las fracciones en volumen para las fases y 2) las
fracciones en área para las interfases. Ambos conjuntos de ecuaciones, fueron acoplados.
Durante el acoplamiento, los autores realizaron, consideraciones y suposiciones específicas
tales como:1) líneas de contacto sin propiedades termodinámicas, 2) velocidades relativas
entre las fases e interfases fluidas iguales a cero (por lo que las velocidades relativas de las
fases y de las interfases con respecto al sólido fueron las utilizadas) y 3) equilibrio
termodinámico. Las ecuaciones de cerradura fueron obtenidas basándose en el método de
Colleman y Noll (1963). Los resultados obtenidos fueron: a) una forma extendida de la
Ley de Darcy para flujo multifásico y b) relaciones de la energía interna, energía libre de
Helmholtz, energía libre de Gibbs, entropía, presión, temperatura, tensión interfacial y
saturación para las fases a nivel macroscópico.
79
Gray y Hassanizadeh (1991b) desarrollaron las ecuaciones de balance de masa, cantidad de
movimiento y energía para flujo trifásico (aire-agua-sólido) en un medio poroso no
saturado en estado transitorio. Dichas ecuaciones fueron basadas en las ecuaciones de
balance microscópicas promediadas en volumen para cada fase, interfase y línea de
contacto tal como lo presentaron Gray y Hassanizadeh (1989) y Hassanizadeh y Gray
(1990). En el trabajo de Gray y Hassanizadeh (1991b) se consideró que no existía la
transferencia de masa interfacial y que la ecuación de balance para la línea de contacto
formada por las fases aire, agua y el sólido no poseía propiedades termodinámicas por si
misma y por lo tanto la ecuación de balance en la línea era rigurosamente su propia
ecuación de salto, tal como lo propusieron Deemer y Slattery (1978) y Soria y De lasa,
(1991). Para la solución de las ecuaciones macroscópicas, se definieron ecuaciones
constitutivas que permitieron cerrar el sistema de ecuaciones. El objetivo de dicho trabajo
consistió principalmente en estudiar la ecuación de balance de cantidad de movimiento
para el agua durante la condición de medio poroso no saturado. El resultado fue la
obtención de la ecuación de cantidad de movimiento bajo tres diferentes condiciones: 1)
agua fluyendo lentamente en el medio poroso 2) mojabilidad total del agua en el sólido y
3) porosidad constante. Específicamente en el caso dos, los autores concluyeron que la
mojabilidad relativa de las fases agua-aire era una variable importante desde el punto de
vista termodinámico debido a que esta contribuía a la histéresis natural de la curva de
presión capilar contra saturación.
Por otro lado, Bousquet-Melou et al. (2002) resuelve la ecuación de masa y cantidad de
movimiento (Ecuación de Navier-Stokes), para flujo (fluido-sólido) a través de una
columna de solidificación, utilizando el método de promedio volumétrico. Para el
desarrollo de las ecuaciones se tomó en cuenta flujo incompresible y estado transitorio.
Como condiciones de frontera, se planteo que existía transferencia de masa y cantidad de
80
movimiento interfacial además de no-deslizamiento entre las fases fluido-sólido. La
ecuación de cerrado para la ecuación de cantidad de movimiento macroscópica fue
propuesta estableciendo que: 1) los fenómenos inerciales serían representados por la
corrección de Forchheimer cuando las porosidades fueran pequeñas o moderadas y 2) los
gradientes de porosidad serían representados por la segunda corrección de Brinkman. Se
concluyó que las estructuras dendríticas, con moderadas heterogeneidades y cambio de
fase, influían fuertemente en la descripción de propiedades efectivas (tensor de
permeabilidad e inerciales).
Por su parte, Andrew et al. (2003) utilizaron las ecuaciones de conservación de masa de
especies químicas y cantidad de movimiento para el transporte de gas incompresible en un
medio poroso catalítico. Para derivar las ecuaciones de conservación se utilizo el método
del promedio volumétrico. En este trabajo, los autores consideraron que las variaciones de
la difusividad y el término de corrección de Brinkman (esfuerzos viscosos) podían ser
despreciables dentro del volumen de promediado. Las ecuaciones de cerradura se
determinaron con el problema del valor en la frontera. Como resultado los autores
obtuvieron, en la ecuación de cantidad de movimiento, dos nuevos términos: 1) la
velocidad finita de la fase gas en la interfase con el sólido (advección) y 2) la contribución
de la adsorción/desorción en la interfase. El primero de estos surgió debido a la
consideración de la velocidad de deslizamiento en la frontera a escala micro y el segundo
debido al acoplamiento de la cerradura en la ecuación de masa. Con esto los autores
concluyeron que el primer término tenía una forma funcional diferente que la dispersión
mecánica convencional, por lo que, se consideró importante en situaciones donde la
dispersión mecánica era despresiable mientras que para el segundo término (sobre la
ecuación de masa) podía ser muy significativo para el término de flux advectivo
tradicional.
81
Nordbotten et al. (2007) se enfocaron a promediar en volumen la ecuación microscópica de
masa y cantidad de movimiento para el caso particular en donde existía el gradiente de la
fracción volumen. Algunas suposiciones hechas en este trabajo fueron: 1) flujo
monofásico, 2) medio poroso rígido y fijo, 3) densidad constante, y 4) velocidades de flujo
pequeñas. Como resultado los autores obtuvieron una nueva correlación polinomial como
definición de promedio intrínseco y con ayuda de Elemento Finito demostraron la
restricción de considerar como constante a la fracción volumen. Se concluyo que la
correlación polinomial satisfacía a la ecuación de Darcy y que la consideración de fracción
volumen constante podía ser removida por variaciones lineales de fracción volumen.
Un año más tarde, Nordbotten et al. (2008) partiendo de la ecuación de Stokes, para flujo
bifásico (líquido-gas) en un medio poroso y utilizando el método de promedio volumétrico
obtuvieron una expresión diferente de la interpretación usual de la ecuación de Darcy.
Específicamente, la diferencia mas notable obtenida fue en el término de presión
macroscópica, el cual, contraria a derivaciones previas, no era igual a la presión promedio
de fase intrínseca ya que consideraron el promedio de fase intrínseco sólo cuando las
heterogeneidades de las propiedades del material o distribución del fluido no se conocían.
Algunas de las suposiciones tomadas por los autores fueron: 1) fluido incompresible e
inmiscible, 2) términos inerciales despreciables, 3) condición de no deslizamiento, 4)
velocidades interfaciales entre las fases fluidas iguales y 5) esfuerzos normales, definidos
como, curvatura media formada entre las interfaces. Con la finalidad de comparar la
definición obtenida de la presión macroscópica de primer orden y la presión promedio de
fase intrínseca común, se resolvieron dos casos particulares: 1) para flujo bifásico en un
tubo capilar en una dimensión y 2) la dinámica del flujo dentro de un modelo de arreglo de
poros en tres dimensiones. Los resultados obtenidos en la primera aplicación, mostraron
que la presión capilar podía llegar a ser negativa tomando en cuenta ciertos regimenes de
82
flujo, dependiendo del signo y de la magnitud de la derivada de tiempo de la saturación,
mientras que para la segunda aplicación, los autores concluyeron, que las curvas de
permeabilidad relativa, usando la definición de promedio de fase intrínseco, excedían de la
unidad, mientras que, lo contrario se presentaba al utilizar la definición de la presión
macroscópica de primer orden. Por otro lado, los autores concluyeron que en las curvas de
presión capilar contra saturación, la diferencia de la definición de presión promedio de fase
intrínseco era consistentemente positiva, mientras que la diferencia de la presión
macroscópica de primer orden variaba por arriba o por a bajo de cero.
Como se observa existe poca literatura respecto al estudio de flujo multifásico (tres fases) a
través de un medio poroso que tome en cuenta los balances de cantidad de movimiento,
para cada unas de las regiones existentes dentro del volumen de promediado, es decir, para
las fases, interfases, líneas y punto de contacto (Ver Fig. 1.3).
Por lo anterior, en esta investigación, se derivan las ecuaciones de balance de cantidad de
movimiento para cada una de las regiones antes mencionadas, tomando en cuenta las
propiedades termodinámicas en la interfase y línea de contacto.
3.2 ECUACIÓN DE CONSERVACIÓN LOCAL
El presente estudio tiene como punto de partida las ecuaciones locales para cantidad de
movimiento para las fases, interfases, líneas y punto de contacto. Aplicando el método del
promedio volumétrico se obtendrán las ecuaciones de cantidad de movimiento
promediadas para cada una de las regiones mencionadas.
3. 2. 1 Ecuación para la fase
La ecuación de cantidad de movimiento para la fase es la ecuación de Navier-Stokes,
misma que ha sido presentada por diversos autores (Ochoa-Tapia y Whitaker, 1995a;
83
Whitaker, 1986b y 1996; Bousquet-Melou et al., 2002; Andrew et al., 2003; Nordbotten et
al., 2007; Espinosa-Paredes et al., 2007), y se define como:
2( ) ( ) 0k kk k k k k k k kp
tρ ρ µ ρ∂
+∇⋅ + ∇ − ∇ − =∂
v v v v g , 1 2, ,k l l g= (105)
donde ρ es la densidad de masa (por unidad de volumen), v es la velocidad, p es la
presión, µ es viscosidad, g es el vector de aceleración de la gravedad y t es la coordenada
temporal. El subíndice k denota “de la fase k”.
3. 2. 2 Ecuación para la interfase
La ecuación de balance local de cantidad de movimiento para una interfase km fue
establecida por Deemer y Slatery (1978), Soria y De lasa (1991), Du plessis (1997), y Gray
y Hassanizadeh (1998). La ecuación puede ser escrita como:
( )
{ }2
( ) 2 ( )
( )
k kk m k m k k k k k k
k m k m k m k m k m k m k m k m k m
k k k k kk m k m k m k m k k k k m km k k k m
N
k mk m
H pt
p
ρρ ρ
µ ρ ρ µ
≠
∂+∇ ⋅ − ⋅ = −∇
∂
+ ∇ − + − + − ∇ ⋅∑
vv v v w n
v g v v w I v n (106)
1 2 1 2; , , , ,...k m km l l g l g gsl≠ =
donde H es curvatura media, p es la desviación espacial de la presión, I es el tensor
unitario, v es la desviación espacial de la velocidad, wkm es la velocidad desplazamiento
de la interfase, kmn es el vector normal unitario dirigido de la fase “k” a la fase “m”,
N
kmk m≠
∑ es la sumatoria de todas las interfases es las que interviene la fase k y t es la
coordenada temporal. El superíndice km indica “en la interfase km”.
84
3. 2. 3 Ecuación para la línea de contacto
Una ecuación general de balance para la línea de contacto kmn fue propuesta por Slatery
(1990), Soria y De lasa (1991), Hassanizadeh y Gray (1997), Gray y Hassanizadeh (1998),
y Gray (1999). La ecuación se puede escribir como:
{ }
1 2 1 1 2 2
2
, , , ,..
( ) ( )
( )
k kkmn kmn k k k k k k k k
kmn kmn kmn km n km n km n kmn kmn
Qk k k k k kkm km km kmn k mn k m k m kmn
kmnk m n
g gs s gskmn l l l l l l
pt
p
ρρ µ ρ
ρ µ≠ ≠
=
∂+ ∇⋅ = −∇ + ∇ −
∂
+ − + − ∇ ⋅∑
vv v v g
v v U I v υ (107)
donde, kmnυ es el vector normal unitario a la línea de contacto y tangente a la interfase km
apuntando hacia fuera de dicha interfase, Ukmn es la velocidad de la línea de contacto,
Q
kmnk m n≠ ≠
∑ es la sumatoria de todas la líneas de contacto. El subíndice kmn indica “en la línea de
contacto kmn”.
3. 2. 4 Ecuación para el punto de contacto
A diferencia de los balances de cantidad de movimiento en el volumen, interfase y línea de
contacto, la ecuación en el punto de contacto no tiene propiedades termodinámicas debido
a que los puntos de contacto son los lugares geométricos de la convergencia de las líneas
de contacto. Por lo que, su ecuación de cantidad de movimiento puede escribirse como:
{ }
1 2 1 2 2 1 2
0 ( )
, , , ,....
Pk k k k k kk mn k mn k mn p k mn q k mn k mn k mn q
kmnqk m n q
p
kmn l l g l l s l gl l gs
ρ µ≠ ≠ ≠
= − + − ∇ ⋅
=
∑ v v v I v λ (108)
donde pv , es la velocidad del punto de contacto, kmnqλ es el vector unitario tangente a la
línea de contacto kmn dirigido hacia el punto de contacto kmnq (k≠m≠n≠q). El subíndice
kmnq indica “en el punto de contacto kmnq”.
85
La velocidad de las diferentes líneas en el punto de contacto son iguales por lo que las
ecuaciones, de cada una de las líneas en el punto de contacto, son totalmente equivalentes.
Lo anterior permite expresar la ecuación de cantidad de movimiento en el punto de
contacto tomando en cuenta solo una línea de contacto.
3.3 ECUACIÓN DE CANTIDAD DE MOVIMIENTO PROMEDIADA
Siguiendo el mismo procedimiento de promediado de la ecuación masa, se realizará el
promediado de las ecuaciones locales de cantidad de movimiento [Ecs. (105)-(108)] tal
como se presenta a continuación.
3. 3. 1 Ecuación de cantidad de movimiento promediada en el volumen
En este tema, se obtendrán ecuaciones de cantidad de movimiento del tipo promedio en
volumen. Aplicando el operador promedio en volumen dado por la Ec. (9) a la Ec.(105) se
tiene:
2( ) 0k kk k k k k k k kp
tρ ρ µ ρ∂
+ ∇ ⋅ + ∇ − ∇ − =∂
v v v v g (109)
Aplicando los teoremas dados por las Ecs. (23)-(27) en la Ec.(109) resulta:
( )
1
( )
( ) ( ) ( )
1 ( )
1 1 1
Nk k
k k k k k k k k k k k kmkmk m
N N N
k km k km k k kmkm km kmk m k m k m
kmA tkm
lA t A t A tkm km km
p dAt V
p dA dA dAV V V
ρρ µ ρ ρ
µ µ
≠
≠ ≠ ≠
∂+ ∇ ⋅ + ∇ − ∇ ⋅ ∇ − = − − ⋅
∂
⎞⎛⎟⎜− ⋅ + ∇ ⋅ ⋅ + ∇ ⋅⎟⎜⎜ ⎟
⎝ ⎠
∑ ∫
∑ ∑ ∑∫ ∫ ∫
vv v v g v v w n
n v n v n
(110)
Para la Ec. (110) se toma en cuenta la condición de no deslizamiento por lo que
0k k s k s k s⋅ = ⋅ =v n w n .
86
Por otra parte, una de las variables importantes a determinar es la fracción de volumen kε ,
por lo tanto, al igual que en la ecuación de masa, es conveniente representar la Ec. (110) en
términos de kε y kkmε .
Empezando por el lado izquierdo de la Ec. (110) a la cual se le aplican las definiciones de
las Ecs. (11), (54) y (55) se obtiene:
( )
( ) ( )( ) ( )
1
2 2
( )
( )
1 ( )
1
k kk k kk k kk k k
k k k k k k k kk k k k
kk k k k k kk k k
k k k k k k k k k k k
Nk k k
k k k kmk k k k k k k kkmk m
N
k kmkmk m
kmA tkm
lA tkm
pt
t
dAV
p dAV
ε ρε µ ε µ εε ρ
ε ρε ρ ε ρ ε ρ
ρε ρ ε ρ
µ
≠
≠
∂+ ∇ ⋅ + ∇ − ∇ − ∇
∂
∂− + + ∇ ⋅ + ∇ ⋅
∂
+∇ ⋅ + ∇ ⋅ = − − ⋅
− ⋅ + ∇
∑ ∫
∑ ∫
vv vv v
vg v v v v
v v w nv v v v
n( ) ( )
1 1N N
k km k k kmkm kmk m k m
A t A tkm km
dA dAV V
µ≠ ≠
⎞⎛⎟⎜⋅ ⋅ + ∇ ⋅⎟⎜⎜ ⎟
⎝ ⎠∑ ∑∫ ∫v n v n
(111)
Para el lado derecho de la Ec. (110), específicamente para el término de presión, se aplica
la descomposición espacial propuesta por Banerjee y Chan (1980) dada por
k k kk k km kmp p p p= + ∆ + (112)
donde la diferencia de promedios de la presión está definida por
kk kkm km kp p p∆ = − (113)
En la Ec. (113), el primer término es el promedio en área de la presión y el segundo
término es el promedio intrínseco de la presión de la fase k. Las desviaciones espaciales de
la presión en la interfase km son:
k kkm k kmp p p= − (114)
Esta descomposición tiene la ventaja de distinguir la contribución de los efectos de
cantidad de movimiento interfacial involucrados.
87
Entonces, al usar la Ec. (112) en el segundo término de lado derecho de la Ec. (111) se
tiene:
( )( ) ( )
( )
11 1
1
NN Nk kkmk km k km km
kmkm kmk mk m k m
Nkkm km
kmk m
A tkmA t A tkm km
A tkm
dAp dA p p dAVV V
p dAV
≠≠ ≠
≠
⎞⎛⎞⎛⎟⎜⎟⎜⋅ = + ∆ ⎟⎜⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
+ ⋅
∑ ∫∑ ∑∫ ∫
∑ ∫
nn n
n
(115)
Aplicando la definición de fracción volumen, dada por la Ec. (12), al primer y segundo
término (lado derecho) de la Ec. (115) se tiene una nueva forma de redefinir la Ec. (115)
quedando como:
( ) ( )
1 1N Nk k kk km k k km k km km
km kmk m k m
A t A tkm km
p dA p p p dAV V
ε ε≠ ≠
⋅ = − ∇ − ∆ ∇ + ⋅∑ ∑∫ ∫n n (116)
Por otro lado, para los términos de viscosidad (tercer y cuarto término del lado derecho) de
la Ec. (111) se usa la definición de Gray (1975) quedando:
( )( ) ( )
( ) ( ) ( )
11 1
1 1 1
NN N kkmkk k km k k km k
kmkm km k mk m k m
N N Nkk km kmk k k kmkkm km kmk m k m k m
A tA t A t kmkm km
A t A t A tkm km km
dAdA dA VV V
dA dA dAV V V
µ µ µ
µ µ
≠≠ ≠
≠ ≠ ≠
⎞⎛ ⎛⎟⎜ ⎜∇ ⋅ ⋅ + ∇ ⋅ = ∇ ⋅⎟⎜ ⎜⎜ ⎟ ⎝⎝ ⎠
⎞ ⎞⎛+ ⋅ ⎟ ⎟⎜+ ∇ + ∇ ⋅
⎟ ⎜ ⎟⎝⎠ ⎠
∑ ∫∑ ∑∫ ∫
∑ ∑∫ ∫ ∑ ∫
nvv n v n
v n n v nv
(117)
Usando la definición de fracción de volumen [Ec. (12)] sobre el primer y segundo término
del lado derecho de la Ec. (117) se tiene:
( )( )( )
( ) ( )
1 1N Nk kkkm kmkk k k k kkkm km
k m k m
k
k k k
A t A tkm km
dA dAV Vµ µ µ ε
µ ε
≠ ≠
⎞ ⎞⎛ ⎛⎟ ⎟⎜ ⎜∇ ⋅ + ∇ = ∇ ⋅ −∇
⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎝⎠ ⎠
+ ∇ ⋅ −∇
∑ ∑∫ ∫n nv vv
v (118)
88
donde:
( )( ) ( ) ( )2k k k k k
k k k k k k k k k k k k k k kµ ε µ ε µ ε µ ε µ ε∇⋅ −∇ + ∇ ⋅ −∇ = − ∇ − ∇ ⋅∇ − ∇ ⋅ ∇v v v v v
(119)
Sustituyendo la Ec. (119) en la Ec. (117) se tiene la expresión promediada en volumen de
los términos de viscosidad
( )
2
( ) ( )
( ) ( )
1 1
1 1
N N k k
k k km k k km k k k k k kkm kmk m k m
N Nkk kmk k k k k k km
km kmk m k m
A t A tkm km
A t A tkm km
dA dAV V
dA dAV V
µ µ µ ε µ ε
µ ε µ µ
≠ ≠
≠ ≠
⎞⎛⎟⎜∇ ⋅ ⋅ + ∇ ⋅ = − ∇ − ∇ ⋅∇⎟⎜⎜ ⎟
⎝ ⎠⎞⎛
⋅ ⎟⎜− ∇ ⋅ ∇ + ∇ ⋅ + ∇ ⋅⎜ ⎟⎝ ⎠
∑ ∑∫ ∫
∑ ∫ ∑ ∫
v n v n v v
v nv v n
(120)
Sustituyendo las Ecs. (116) y (120) y despreciando los términos de desviaciones espaciales
de la densidad en la Ec. (111) la ecuación de cantidad de movimiento queda como:
( )( )
2
( )
( )( )
1 ( ) 2
11 1
k kk k kk k kk k k
k k k k k k k kk k k k
N kk k kk k k km km k k k kk k k k
kmk m
NNk
k kmkm km k k kkmkm k mk m
kmA tkm
A tA t Akmkm km
pt
dA pV
dAp dA VV V
ε ρε µ ε ε ρε ρ
ρ ε µ εε ρ
µ µ
≠
≠≠
∂+ ∇ ⋅ + ∇ − ∇ −
∂
+∇ ⋅ = − − ⋅ + ∆ ∇ − ∇ ⋅∇
⎞⎛⋅ ⎟⎜− ⋅ + ∇ ⋅ + ∇
⎜ ⎟⎝ ⎠
∑ ∫
∑ ∫∑ ∫
vv gv v
v v w n vv v
v nn v( )
N
kmkmk m
t
dA≠
⋅∑ ∫ n
(121)
donde
k k k
k k k k k kp p pε ε ε∇ = ∇ + ∇ (122)
Dado que la aceleración de la gravedad es constante se denotara a esta, en la Ec. (121),
como gk.
El tercer término (lado derecho) de la Ec. (121) se define de forma similar a la regla de
Leibnitz, para un Laplaciano, entonces:
89
2 2 2
2 2 2 2
2k k k k
k k k k k k k k k k k k
k k k k
k k k k k k k k k k k k
µ ε µ ε µ ε µ ε
µ ε µ ε µ ε µ ε
− ∇ ⋅∇ = − ∇ + ∇ + ∇
= − ∇ − ∇ + ∇ + ∇
v v v v
v v v v(123)
Sustituyendo la Ec. (123) y tomando en cuenta que 0k k s k s k s⋅ = ⋅ =v n w n en la Ec. (121), se
obtiene la ecuación de cantidad de movimiento promediada en volumen para la fase k en
términos de kε y kkmε , la cual, con la finalidad de manejar la misma nomenclatura que la
ecuación de masa promediada en volumen, se expresa de la siguiente manera:
( ) ( )2 ( )
( )
k kkk k k k kk k k
k kk k k k k k k k
Nk k kk k k k k k km k
kmk m
N N
k kkm kmk m k m
kmkkm k k k km km
km kmk k kkm km km k km k km
pt
p
p
ε ρεε ρ ε ρ
µ ε ε ρ ε ρ ε
ε µ µ ε
≠
≠ ≠
∂+ ∇ ⋅ + ∇ ⋅ + ∇
∂
− ∇ − = − − ⋅ + ∆ ∇
⎞⎛⎟⎜− − + ∇ ⋅ + ∇ ⋅ ⋅ ⎟⎜⎜ ⎟
⎝ ⎠
∑
∑ ∑
vv v v v
v g v v w n
v n v n
(124)
donde el primer, tercer y cuarto término (del lado derecho) de la Ec. (124) se definen
también como
( )
1( ) ( )kmk
km k k k km km k k k km kmA tkm
dAV
ε ρ ρ− − ⋅ = − − ⋅∫v v w n v v w n (125)
( )
1( ) ( )k k
kmk k kkm km km km k k km
A tkm
p p dAV
ε µ µ− + ∇ ⋅ = − + ∇ ⋅∫v n v n (126)
( )
1NN
k kmkkmkm k mk m
Akm
kmkk km k km
tdA
Vµ ε µ≠≠
⎞⎛ ⎞⎛⎟⎜ ⋅ ⎟⎜∇ ⋅ ⋅ = ∇ ⋅⎟⎜ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎝ ⎠⎝ ⎠
∑ ∫∑ v nv n (127)
La Ec. (124), se puede simplificar, tomando en cuenta los ordenes de magnitud definidos
para las fuerzas de presión interfacial y dispersión interfacial (Bousquet-Melou et al.,
2002) tal como se muestra a continuación:
1
11
1 1 1 1 1
11
2( )
1 ( ) og l l g
lll
l l lA tl g l
p dAV
µ ε⎞⎛⎟⎜− + ∇ ⋅ =⎟⎜
⎝ ⎠∫
vv n (128)
90
1 1
1 1
1 1 1 2 1 1 1 1
1 2
2( )
1 o ;ol
l ll l
l l l l l l lA tl l
dAV L L Lε ε
µ ε µ ε µ
⎞⎛ ⎞ ⎞⎛ ⎛⎟⎜ ⎟ ⎟⎜ ⎜∇ ⋅ ⋅ =⎟⎜ ⎟ ⎟⎜ ⎜⎟⎜ ⎝ ⎝⎠ ⎠⎝ ⎠
∫v
v vv n (129)
donde Lε es la longitud característica para 1l
ε , Lv es la longitud característica para 1
1
llv .
Por otro lado, de acuerdo a Bousquet-Melou et al. (2002) 1l
Lε , entonces:
1
1 1 1 1 1 1 1 2
11 2
( ) ( )
1 1( )g l l g lll l l l l
A tl g A tl l
p dA dAV V
µ µ
⎞⎛⎟⎜
− + ∇ ⋅ ∇ ⋅ ⋅ ⎟⎜⎟⎜
⎝ ⎠
∫ ∫v n v n (130)
Tomando en cuenta la Ec. (130) sobre la Ec. (124) se tiene la ecuación de cantidad de
movimiento promediada en volumen.
( ) ( )2
( )
( )
1 ( )
1 ( )
k kkk k k k kk k k
k kk k k k k k k k
Nk k
k k k k k kkmk m
Nkkm k
kmk m
k k k km kmA tkm
kkm k k km
A tkm
pt
dAV
p p dAV
ε ρεε ρ ε ρ
µ ε ε ρ ρ
ε µ
≠
≠
∂+ ∇ ⋅ + ∇ ⋅ + ∇
∂
− ∇ − = − − ⋅
+ ∆ ∇ + − + ∇ ⋅
∑ ∫
∑ ∫
vv v v v
v g v v w n
v n
(131)
Expresiones similares han sido presentadas por (Whitaker, 1986b, 1986c, 1996; Gray y
Hassanizadeh, 1998; Bousquet-Melou et al., 2002; Cazarez-Candia, 2001; Espinosa-
Paredes et al., 2002).
Con la finalidad de expresar la Ec. (131) explícitamente para un medio poroso, ya que este
último fue considerado como homogéneo, rígido e isotrópico, se considera que k ksε φ= ,
donde kk
m
VsV= , mV
Vφ = ,
1 2m l l gV V V V= + + , y m sV V V= + (Ver mas detalle en Espinosa-
Paredes 2010) por lo que la Ec. (131) se reescribe quedando de la siguiente manera:
91
( ) ( )
2
PresiónInércia DispersiónAcumulación
Fuerzas de gravedadEsfuerzos viscosos
1 (
k kkk k k k kk k k
k kk k k k k k k k
k k
k k k k k k k k
ss ps s
t
s sV
φ ρφφ ρ φ ρ
µ φ φ ρ ρ
∂+∇⋅ +∇ ⋅ + ∇
∂
− ∇ − = −
vv v v v
v g v( )
Transferencia de cantidad de movimiento, debido a la masa, en la interfase
( )Promedio de gradientede presión interfacial
)
1 (
N
kmk m
kkm k
k km kmA tkm
kkm k
A tkm
dA
p s pV
φ µ
≠
− ⋅
+ ∆ ∇ + − + ∇
∑ ∫
∫
v w n
Fuerzas de presión interfaciales
)N
kmk m
k kmdA≠
⋅∑ v n
(132)
Dado que la fase k=l1, l2, g, la forma extendida de la Ec. (132) para cada una de estas fases
al tomar en cuenta las consideraciones hechas en la sección 2.2 (líquidos inmiscibles, gas
compresible y transferencia de masa entre l1 con g l2 con g) son:
Para la fase l1:
( ) ( )11
1 1 1 1 1 11 1 1
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
1 1 1
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 11
1
1 1 1
1 1 1 1 1 1 1 1
2 1 ( )
1 ( )
l
l gAl g
g s g
lll l l l l ll l l
l l l l l l l l l
l l ll l l l l l l l l l l l
l l ll l l l l l l
l g
l g
ss s s p
t
s s dA p sV
p s p s p dV
φ ρφ ρ φ ρ φ
µ φ φ ρ ρ φ
φ φ µ
∂+ ∇ ⋅ + ∇ ⋅ + ∇
∂
− ∇ − = − − ⋅ + ∆ ∇
+ ∆ ∇ + ∆ ∇ + − + ∇ ⋅
∫
vv v v v
v g v v w n
v n1
1 1
1 2 1 1 1 2 1 1 1 1
1 2 1
1 1( ) ( )
Al g
A Al l l s
l ll l l l l l l s l l l s
A
p dA p dAV V
µ µ+ − + ∇ ⋅ + − + ∇ ⋅
∫
∫ ∫v n v n
(133)
Para la fase l2:
( ) ( )22
2 2 2 2 2 22 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
2 2
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 22
2 2 2 2
2 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2
2 1 ( )
1 ( )
l
l gA
g s
lll l l l l ll l l
l l l l l l l l l
l l
l l l l l l l l ll
l l ll l l l l l l
l gg
ll g l l l g
ss s s p
t
s s dAV
p s p s p s p dV
φ ρφ ρ φ ρ φ
µ φ φ ρ ρ
φ φ φ µ
∂+∇ ⋅ +∇ ⋅ + ∇
∂
− ∇ − = − − ⋅∫
+ ∆ ∇ + ∆ ∇ + ∆ ∇ + − + ∇ ⋅
vv v v v
v g v v w n
v n2
2 2
2 1 2 2 2 1 2 2 2 22 1 2
1 1( ) ( )
Al g
A Al l l s
l ll l l l l l l s l l l s
A
p dA p dAV V
µ µ+
∫
− + ∇ ⋅ + − + ∇ ⋅∫ ∫v n v n
(134)
92
Para la fase g:
( )1 1
1
2 2 1 22
2 1 ( )
1 ( )
ggg g gg g g
g g g g
g g
g g g g gAgl
ggs g
Agl
g g gg g g g g g
g g g g gl gl
g gg g g gl gl gl g gl g
ss s s p
t
s s dAV
dA p s p s p sV
φ ρφ ρ φ ρ φ
µ φ φ ρ ρ
ρ φ φ φ+ +
∂ ⎞⎛+∇ ⋅ +∇ ⋅ + ∇⎜ ⎟∂ ⎝ ⎠
− ∇ − = − − ⋅∫
− − ⋅ + ∆ ∇ ∆ ∇ ∆ ∇∫
vv v v v
v g v v w n
v v w n
1 1 2 21 2
1 1 1( ) ( ) ( )A A Agl gl gs
g g ggl g g gl gl g g gl gs g g gsp dA p dA p dA
V V Vµ µ µ+ − + ∇ ⋅ + − + ∇ ⋅ + − + ∇ ⋅∫ ∫ ∫v n v n v n
(135)
donde mV es el volumen de la mezcla de fluidos ( )kk
V=∑ y sV es el volumen total del
sólido fijo.
3. 3. 2 Ecuación de cantidad de movimiento promediada en el área interfacial
Retomando la Ec.(106) se tiene
( )
{ }
2( ) 2
( )
k kk m k m k k k k k k k k
k m k m k m k m k m k m k m k m k m k m k m
Nk k kk m k m k k k k m k m k k k m
k mk m
H pt
p
ρρ ρ µ
ρ ρ µ
≠
∂+ ∇ ⋅ − ⋅ = −∇ + ∇
∂
− + − + − ∇ ⋅∑
vv v v w n v
g v v w I v n (136)
donde 1 2, , ,m l l g s= , H es la curvatura media, p es la desviación espacial de la presión, v
es la desviación espacial de la velocidad, kmn es el vector normal unitario dirigido de la
fase k a la fase m y t es la coordenada temporal. El subíndice km indica “en la interfase
km”.
Aplicando la definición del operador promedio interfacial (Ec. 28) a la Ec. (136) se tiene:
93
( )
{ }
2( ) 2
( )
k kk k k k k kk kk m k mk m k m k m k m k m k mk m k m k m k m k m
Nk k kk m k m k k k k m k m k k k m
k mk m
pHt
p
ρ ρ µρ
ρ ρ µ
≠
∂ ∇ ⋅ ∇ ∇+ − ⋅ = − +∂
− + − + − ∇ ⋅∑
v v v vv w n
g v v w I v n
(137)
Aplicando los teoremas de promediado en superficie dados por las Ecs. (32)-(33) a la Ec.
(137) se tiene que:
2
( ) ( )
( )
1 1( )
1 1
Q Q
kmn kmnk m n k m n
Q
kmnk m n
k kk m k m k k k k k k k kk
k m k m k m k m k m k m k m k m k mk m
k k k k k kk m k m k m k m k m kmn kmn k m kmn
L t L tkmn kmn
kk km kmnkmL tkmn
w pt
dL p dLV V
dLV V
ρρ ρ µ
ρ ρ
µ
≠ ≠ ≠ ≠
≠ ≠
∂⋅+ ∇ ⋅ + ∇ ⋅ + ∇ − ∇
∂
− = − − ⋅ − ⋅
⎞⎛⋅ ⎟⎜+ ∇ ⋅ +
⎜ ⎟⎝ ⎠
∑ ∑∫ ∫
∑ ∫
vv v v n v
g v v U υ υ
v υ
{ }( )
( )
Q
kmnk m n
k kkm km kmn
L tkmnN
kk k k k m k m k k k m
k mk m
dL
p
µ
ρ µ
≠ ≠
≠
∇ ⋅
− + − ∇ ⋅
∑ ∫
∑
v υ
v v w I v n
(138)
En la Ec. (138) se toma en cuenta la condición de no deslizamiento por lo que
0k k s k s k s⋅ = ⋅ =v n w n , 0kk m k ms k ms k ms⋅ = ⋅ =v υ U υ y 0k
k ms k mns p k mns⋅ = ⋅ =v λ v λ .
Aplicando los teoremas de productos entre dos y tres variables locales, definidos por las
Ecs. (54) y (55), a la Ec. (138) y posteriormente expresando esta en términos la fracción de
área por unidad de volumen, kkmε , y de fracción de longitud por unidad de volumen k
kmnε ,
la Ec. (138) queda expresada de la siguiente manera:
94
( ) ( )
2 1 (
km kmk k kkm km km km kmkm km km k k k k k k k k
km km km km km km km km
kmkm km km km km kk k k k k k kk mkm km km km km km km km km km km
km kmk kk k k k k k kk m k mk m km km k m k m k m k m km
t
pw w
V
ε ρε ρ ε ρ
ε ρ ε ρ ε
ρµ ε ε ρ
∂+∇ ⋅ +∇ ⋅
∂⎞ ⎞⎛ ⎛+∇ ⋅ +∇ ⋅ +∇⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎝⎠ ⎠
− ∇ − = − −
vv v v v
v n v n
v g v v U
{ }
( )
( )( )
( )
)
11
1 ( )
Q
kmnk m n
kmnkmn k m nk m n
Q
kmnk m n
n kmnL tkmn
kk k km kmnk m kmn kmL tL t kmnkmn
Nk k kkm km kmn k k k k m k m k k k m
k mL tkmn k m
dL
dLp dL VV
dL pV
µ
µ ρ µ
≠ ≠
≠ ≠≠ ≠
≠ ≠ ≠
⋅
⎞⎛⋅ ⎟⎜− ⋅ + ∇ ⋅
⎜ ⎟⎝ ⎠
+ ∇ ⋅ + − + − ∇ ⋅
∑ ∫
∑ ∫∑ ∫
∑ ∑∫
υ
v υυ
v υ v v w I v n
(139)
donde
1 2 1 2, , , ; , , , ;
k m k m k mk k k k k kk m k m k m k m k m k mp p p
k l l g s m l l g s k m
ε ε ε∇ = ∇ + ∇
= = ≠ (140)
para el término de presión (segundo término del lado derecho) de la Ec. (139), dado que es
una variable local, se toma en cuenta una expresión similar a la Ec. (112), misma que es
extendida para relacionar presiones en la interfase y en la línea tal como se muestra a
continuación:
kmk k k kkm km kmn kmnp p p p= + ∆ + (141)
donde la diferencia de promedios de la presión está definida por:
kmk k kkmn kmn kmp p p∆ = − (142)
Para la Ec.(142), el primer término es el promedio en línea de la presión y el segundo
término es el promedio intrínseco de la presión de la interfase km. Las desviaciones
espaciales de la presión en la línea kmn son:
k k kkmn km kmnp p p= − (143)
95
Usando la Ec. (141) en el segundo término del lado derecho de la Ec. (139), se tiene:
( ) ( ) ( )
( )
1 1 1
1
Q Q Q
kmn kmn kmnk m n k m n k m n
Q
kmnk m n
kmk k kkm kmn kmn km kmn kmn
L t L t L tkmn kmn kmn
kkmn kmn
L tkmn
p dL dL p p dLV V V
p dLV
≠ ≠ ≠ ≠ ≠ ≠
≠ ≠
⎞ ⎞⎛ ⎛⎟ ⎟⎜ ⎜⋅ = + ∆⎟ ⎟⎜ ⎜⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎝⎠ ⎠
+ ⋅
∑ ∑ ∑∫ ∫ ∫
∑ ∫
υ υ υ
υ
(144)
Los términos promedio actúan como constantes en la integral sobre la línea de contacto,
mientras que las integrales del vector normal a la línea de contacto representan el gradiente
de la fracción de área por unidad de volumen, entonces
( ) ( )
1 1Q Q
kmn kmnk m n k m n
kmk k k k k kkm kmn km km kmn km kmn kmn
L t L tkmn kmn
p dL p p p dLV V
ε ε≠ ≠ ≠ ≠
⋅ = − ∇ − ∆ ∇ + ⋅∑ ∑∫ ∫υ υ (145)
En cuanto al término de esfuerzos viscosos (tercer y cuarto término del lado derecho) de la
Ec. (139), se utiliza la definición de desviaciones espaciales propuesta por Gray (1975)
[Ec. (52)], esto es:
( )
( ) ( )
1
1 1
Q
kmnk m n
Q Q
kmn kmnk m n k m n
k kkm km kmn
L tkmn
kmk k kkm km kmn km kmn
L t L tkmn kmn
dLV
dL dLV V
µ
µ
≠ ≠
≠ ≠ ≠ ≠
⎞⎛⎟⎜∇⋅ ⋅ ⎟⎜⎜ ⎟
⎝ ⎠⎡ ⎞⎛ ⎤⎢ ⎟⎜ ⎥= ∇⋅ + ⋅⎢ ⎟⎜ ⎥⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎦⎠⎣
∑ ∫
∑ ∑∫ ∫
v υ
v υ v υ
(146)
( ) ( ) ( )
1 1 1Q Q Q
kmn kmn kmnk m n k m n k m n
kmk k k k k kkm km kmn km km kmn km km kmn
L t L t L tkmn kmn kmn
dL dL dLV V V
µ µ µ≠ ≠ ≠ ≠ ≠ ≠
⎞⎛⎟⎜∇ ⋅ = ∇ + ∇ ⋅⎟⎜⎜ ⎟
⎝ ⎠∑ ∑ ∑∫ ∫ ∫v υ v υ v υ
(147)
Recordando que los términos promedio actúan como constantes en la integral sobre la línea
de contacto y que las sumas de las integrales del vector normal a la línea de contacto
representan el gradiente de la fracción de área por unidad de volumen entonces
96
( ) ( )
1 1Q Q
kmn kmnk m n k m n
kmk k k k k kkm km kmn km km km km kmn
L t L tkmn kmn
dL dLV V
µ µ ε≠ ≠ ≠ ≠
⎡⎞⎛ ⎤⎢⎟⎜ ⎥∇⋅ ⋅ = ∇⋅ − ∇ + ⋅⎢⎟⎜ ⎥⎜ ⎟ ⎢ ⎥⎝ ⎦⎠ ⎣
∑ ∑∫ ∫v υ v v υ (148)
( ) ( )
1 1Q Q
kmn kmnk m n k m n
kmk k k k k k kkm km kmn km km km km km kmn
L t L tkmn kmn
dL dLV V
µ µ ε µ≠ ≠ ≠ ≠
∇ ⋅ =− ∇ ⋅∇ + ∇ ⋅∑ ∑∫ ∫v υ v v υ (149)
donde:
2k m k m k mk k k k k k k k kk m k m k m k m k m k m k m k m k mµ ε µ ε µ ε+ ⋅
⎞⎛∇ ⋅ ∇ = ∇ ∇ ∇⎜ ⎟⎝ ⎠
v v v (150)
sustituyendo las Ecs. (140), (145), (148), (149) y (150) en el lado derecho de la Ec. (139) y
factorizando los términos inerciales se tiene:
( )km kmk k k
km km kmkm km km k k k kkm km km km km kmwt
ε ρε ρ
∂+∇⋅ +
∂
vv v n
( ) 2
( )
( )
1 ( )
12
Q
kmnk m n
Q
kmnk m n
km kmkm km k kk k kk k k k kk m k mkm k m kmkm km km km km km km
kmkk k k k k k kk mkm k m k m k m k m kmn kmn kmn km
L tkmn
kmkk k k kk mk m km km km kmn
L tkmn
pw
dL pV
dLV
ε µ εε ρ
ρε ρ ε
µ ε µ
≠ ≠
≠ ≠
+
+
+∇ ⋅ + ∇ − ∇
− = − − ⋅ + ∆ ∇
− ∇ ⋅∇ ∇⋅ ⋅
∑ ∫
∑ ∫
vv v v n
g v v U υ
v v υ
( ) { }( )
1 ( )Q
kmnk m n
Nkk k k
kmn k k k k m k m k k k mkmn km kmk mL tkmn k m
dL ppV
ρ µµ≠ ≠ ≠
⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎦⎣
+ ⋅ + − + − ∇ ⋅− + ∇∑ ∑∫ υ v v w I v nv
(151)
Tomando en cuenta el mismo procedimiento de la Ec. (123) sobre el tercer término de lado
derecho de la Ec. (151) y expresando los términos de las integrales de la Ec. (151) en
términos de fracción de área por unidad de volumen, se tiene:
97
( )( ) 2
( )Q
kmnk m n
km kmk k kkm km kmkm km km k k k k
km km km km km km
km kmkm km k kk k kk k k k kk m k mkm k m kmkm km km km km km km
kmnkmk k k k k k k k kkm km k m kmn km km km kmn kmn kmn km
kk m kmn
wt
pw
p
ε ρε ρ
ε µ εε ρ
ε ρ ε ρ ε
µ ε
≠ ≠
+
∂+∇⋅ +
∂
+∇ ⋅ + ∇ − ∇
− = − − ⋅ + ∆ ∇
+ ∇⋅
∑
vv v n
vv v v n
g v v U υ
( )
{ }
1 2
( )
Q
kmnk m n
kmnkmnk k k k k kk m kmn kmn kmn km km l l g
N kmk kkm k k k k m k m k k k m
k mk m
p
p
ε µ
ε ρ µ
≠ ≠
+
≠
⎡ ⎤⋅ + − ∇ ⋅⎢ ⎥⎣ ⎦
+ − + − ∇ ⋅
∑
∑
v υ v υ
v v w I v n
(152)
donde los términos de integrales de la Ec. (152) se definen como:
( )
1( ) ( )kmnk k k k k k k
kmn km km km kmn kmn km km km kmn kmnL tkmn
dLV
ε ρ ρ− − ⋅ = − − ⋅∫v v U υ v v U υ (153)
( )
1kmnk k k k kkm kmn km kmn km km kmn
L tkmn
dLV
µ ε µ⎡ ⎤
⎡ ⎤ ⎢ ⎥∇⋅ ⋅ = ∇⋅ ⋅⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦⎢ ⎥⎣ ⎦
∫v υ v υ (154)
( ) ( )1 2
1 2
( )
1kmnk k k k k k kkmn kmn km km l l g kmn km km kmn
L tl l g
p p dLV
ε µ µ+ +− ∇ ⋅ = − ∇ ⋅∫v υ v υ (155)
Realizando para la Ec. (152) un análisis de ordenes de magnitud sobre los términos de
fuerza de presión y dispersión en la línea de contacto (tercer y cuarto término del lado
derecho de la ecuación) similar al presentado por las Ecs. (128)-(130) se obtiene
finalmente la ecuación de cantidad de movimiento promediada en el área interfacial
( )( ) 2
km kmk k kkm km kmkm km km k k k k
km km km km km km
km kmkm km k kk k kk k k k kk m k mkm k m kmkm km km km km km km
wt
pw
ε ρε ρ
ε µ εε ρ +
∂+∇ ⋅ +
∂
+∇ ⋅ + ∇ − ∇
vv v n
vv v v n
98
( ) { }1 2
( )
( )
Q
kmnk m n
Q
kmnk m n
kmnkmk k k k k k k k kkm km k m kmn km km km kmn kmn kmn km
N kmkmnk k k k k kkmn kmn km km l l g km k k k k m k m k k k m
k mk m
p
p p
ε ρ ε ρ ε
ε µ ε ρ µ
≠ ≠
≠ ≠
+
≠
− = − − ⋅ + ∆ ∇
+ − ∇ ⋅ + − + − ∇ ⋅
∑
∑ ∑
g v v U υ
v υ v v w I v n
(156)
Expresiones similares a la Ec. (156) en su forma simplificada han sido presentadas por
Gray y Hassanizadeh (1998).
Para la Ec. (132) para la Ec. (156) se considera que k kkm kmsε φ= , donde k km
kmm
AsV
= , y
mVV
φ = , quedando redefinida de la siguiente manera:
( )
( )InercialesAcumulación
Presión Dispersión
km kmk k kkm km kmkm km km k k k k
km km km km km km
kmkm km kkk k k k kk mkmkm km km km km km km
ss wt
pss w
φ ρφ ρ
φφ ρ +
∂+∇⋅ +
∂
+∇ ⋅ + ∇
vv v n
v v v n
2
Esfuerzos viscosos Fuerzas de gravedad Transferencia de cantidad de movimiento, debido a la masa, en la
( )Q
kmnk m n
km km kmnk kk k k k k k k kk m k mk m km km k m kmn km km km kmn kmns s ρµ φ φ ε ρ
≠ ≠
− ∇ − = − − ⋅∑v g v v U υ
( )1 2
línea de contacto
Promedio de gradiente de presión en la línea de
Fuerzas de presión en la línea de contactcontacto
Q
kmnk m n
kmnk k k k k kkmn km kmn kmn km km l l gp s pφ ε µ
≠ ≠
++ ∆ ∇ + − ∇ ⋅∑ v υ
{ }o
Transferencia de cantidad de movimiento interfacial
( )N kmk k
km k k k k m k m k k k mk mk m
pε ρ µ
≠
+ − + − ∇ ⋅∑ v v w I v n
(157)
Dado que la fase k=l1, l2, g, la forma extendida de la Ec. (157) para cada una de estas fases
al tomar en cuenta las consideraciones hechas en la sección 2.2 (líquidos inmiscibles, gas
compresible y transferencia de masa entre l1 con g l2 con g) son:
99
Para la fase l1:
1 2 1 1 1 11 21 1 1 1 1 1 1 1 1
1 2 1 2 1 2 1 1 1 1 1 1
1 2 1 2 1 2 1 1 11 1 1 1 1 1 1 1
1 2 11 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 1 1 1 1
g g s s
g g g s s s
l l l l l l
g
l l l l l ll ll l l l l l l l ll l l l l l l l l l l l
l g l g l gl l l l l l l ll l ll l l l l l l l l l l g l g l g l g l g
s s s
t t t
s w s w
φ ρ φ ρ φ ρ
φ ρ φ ρ+ +
∂ ∂ ∂+ +
∂ ∂ ∂⎛ ⎛⎞+∇ ⋅ +∇ ⋅⎟⎜ ⎠ ⎝⎝
v v v
v v n v v n
1 2 1 21 1 11 1 1 1 1 1 1 1 1
1 1 21 1 1 1 1 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
1 11 1 1 1 1 1 1
1 11 1 1 1 1 1 1
l l l l
s
g s
l s l s l sl l l l l l l l ll l ll s l s l s l s l s l l l l l l l l l l l l
l g l g ll l l l l l ll ll g l g l g l g l g l g l s
s w s w
s w s
φ ρ φ ρ
φ ρ φ ρ
+ +
+
⎞⎜ ⎟
⎠⎞⎛ ⎞⎛+∇ ⋅ +∇ ⋅⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎝ ⎠⎝ ⎠⎞⎛+∇ ⋅ +∇ ⋅⎜ ⎟
⎝ ⎠
v v n v v v n
v v v n 1 11 1 1
1 1 1 1 1
1 2 1 21 1 11 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
1 2 1 1 1 2 11 2 1 1 1 2 1 2 1 1
1 1 21 1 1 1 1
1 1 21 1 1 2
2 2
2
g s g
s
s
s l sl l ll s l s l s l s l s
l l l ll g l s l gl l l l l l l l l l l ll l l l l l ll l l g l s l l l l l g l g
l l ll l l l ll l ll s l s l l l
w
s p s p s p s s
s s
φ φ φ µ φ µ φ
µ φ φ ρ
+⎞⎛
⎜ ⎟⎝ ⎠
+ ∇ + ∇ + ∇ − ∇ + ∇
− ∇ −
v v v n
v v
v g 1 11 1 1 1 1 1 1
1 11 2 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1 1 1
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 1 1 1 1 1 2 1 2
1 2 1
1 1 1 1
1 2 1 2 1 2 1
1 1( ) ( )
g s
L Ll l g l s g
l g l sl l l l l l ll ll l g l g l s l s
l l l l l l l ll l l l l l l l g l l g l s l s l s l sg l s g l l g l l
l l l ll l s l l l g l l g
s s
dL dL p sV V
p s p s
φ ρ φ ρ
ρ ρ φ
φ φ+ +
− −
= − − ⋅ − − ⋅ + ∆ ∇
∆ ∇ ∆ ∇
∫ ∫
g g
v v U υ v v U υ
( ) ( )
( )
1 1 1 1 1 1
1 1 1 2 1 1 1
1 1 1 1 1 1
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
1 2 1 2
1 1 1 1
1 2 1 1 1 2 1
1 2
1 1
1 1
L Ll l g l l s
Ll g l
l l l l l ll g s l g l sl l s l s g l s
l l l l l ll l g l l l l l l g l l s l l l l l l s
l l l ll g l l g l g l g l l g s
p s p s p s
p dL p dLV V
p dL pV V
φ φ φ
µ µ
µ
+ +
+ +
+
∆ ∇ + ∆ ∇ ∆ ∇
+ − ∇ ⋅ + − ∇ ⋅
+ − ∇ ⋅ + −
∫ ∫
∫
v υ v υ
v υ ( )
( ) ( )
{ }
{ }
1 1
1 1 1
1
1 1 1 1 1 1
1 2 1 1 1 2 1 1 1 1
1 2 1
1
1 1 1 1 1 1 1 1
1
1
1 2 1 1 1 2
1 2
1 1
1 ( )
1 1
Ll g s
L Ll s l l s g
Al g
Al l
l ll g l g l g s
l l l l l ll s l l s l s l s l l s g l s l s l s g
ll l l l g l g l l l g
ll l l l l l
dL
p dL p dLV V
p dAV
p dAV
µ
µ µ
ρ µ
µ
+
+ +
∇ ⋅
+ − ∇ ⋅ + − ∇ ⋅
+ − + − ∇ ⋅
+ − ∇ ⋅ +
∫
∫ ∫
∫
∫
v υ
v υ v υ
v v w I v n
I v n { }1
1 1 1 1
1Al s
ll s l l l sp dA
Vµ− ∇ ⋅∫ I v n
(158)
Para la fase l2:
2 1 2 2 2 22 12 2 2 2 2 2 2 2 2
2 1 2 1 2 1 2 2 2 2 2 2
2 1 2 1 2 1 2 2 22 2 2 2 2 2 2 2
2 1 22 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 2 2 2
g g s s
g g g s s g
l l l l l l
g
l l l l l ll ll l l l l l l l ll l l l l l l l l l l l
l g l g l gl l l l l l l ll l ll l l l l l l l l l l g l g l g l g l g
s s s
t t t
s w s w
φ ρ φ ρ φ ρ
φ ρ φ ρ+ +
∂ ∂ ∂+ +
∂ ∂ ∂⎛ ⎛⎞+∇ ⋅ +∇ ⋅⎟⎜ ⎠ ⎝⎝
v v v
v v n v v n
2 1 2 12 2 22 2 2 2 2 2 2 2 2
2 2 12 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1
l l l l
s
l s l s l sl l l l l l l l ll l ll s l s l s l s l s l l l l l l l l l l l ls w s wφ ρ φ ρ+ +
⎞⎜ ⎟
⎠⎞⎛ ⎞⎛+∇ ⋅ +∇ ⋅ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎝ ⎠⎝ ⎠
v v n v v v n
100
2 2 2 22 2 2 2 2 2 2 2 2 2
2 22 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
2 1 2 22 2 2 2 2 2 2 2
2 1 2 2 2 12 1 2 2 2 1 2 1
2
g s
g s
l g l g l s l sl l l l l l l l l ll ll g l g l g l g l g l g l s l s l s l s l s l s
l l l g l sl l l l l l l ll l l l l ll l l g l s l l l l
s w s w
s p s p s p s
φ ρ φ ρ
φ φ φ µ φ
+ +⎞ ⎞⎛ ⎛+∇ ⋅ + +∇ ⋅ +⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎝⎠ ⎠
+ ∇ + ∇ + ∇ − ∇
v v v n v v v n
v2 1 2
2 2 2 2
22 2
2 12 2 22 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
2 2 1 2 22 2 2 1 2 1 2 2 2 2
2 2 2 2 2
2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 2
2 1
2
2
1 1( ) (
s
s
g g s
Ll l g
l l ll l l lll s l s
l ll g l g l sl l l l l l l l l l l ll l l l ll g l g l l l l l g l g l s l s
l l l l l ll l l l l l l l g l l g l s l s l s
s
s s s s
dLV V
µ φ
µ φ φ ρ φ ρ φ ρ
ρ ρ
− ∇
− ∇ − − −
= − − ⋅ −∫
v
v g g g
v v U υ v v
( )
2 2 2
2 2 2 1 2 1
2
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
2 1 2 1 2 1 2 2 2 2 1 2 2 2
2 2 2 2 2
2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1
2 1
)
1 1
Ll s g
Ll l g
l ll sg l sg l l g l l
l l l l l l l l l ll l s l l l g l l g l g s l g l sl l s l s g l s
l l l l ll l g l l l l l l g l l s l l
dL p s
p s p s p s p s p s
p dL pV V
φ
φ φ φ φ φ
µ µ
+ + + +
+ +
− ⋅ + ∆ ∇
∆ ∇ ∆ ∇ ∆ ∇ + ∆ ∇ ∆ ∇
+ − ∇ ⋅ + − ∇
∫
∫
U υ
v υ v( )
( ) ( )
( ) ( )
2
2 1 2 1
2 1
2 2 2 2 2 2
2 1 2 2 2 1 2 2 2 2
2 1 2
2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 1 2 2 2 1
2 2 1
2
1 1
1 1
1
Ll l s
L Ll g l l gs
L Ll sg l sl
ll l l l s
l l l l l ll g l l g l g l g l l gs l g l g l gs
l l l l l ll sg l s l s l sg l sl l s l s l sl
l l
dL
p dL p dLV V
p dL p dLV V
V
µ µ
µ µ
ρ
+ +
+ +
⋅
+ − ∇ ⋅ + − ∇ ⋅
+ − ∇ ⋅ + − ∇ ⋅
+
∫
∫ ∫
∫ ∫
υ
v υ v υ
v υ v υ
v{ }
{ } { }
1
2 2 2 2 2 2 2
2
1 1
2 1 2 2 2 1 2 2 2 2
2 1 2
( )
1 1
Al g
A Al l l s
ll l g l g l l l g
l ll l l l l l l s l l l s
p dA
p dA p dAV V
µ
µ µ
− + − ∇ ⋅
+ − ∇ ⋅ + − ∇ ⋅
∫
∫ ∫
v w I v n
I v n I v n
(159)
Para g:
1 21 2
1 1 1 2 2 2
1 1 21 2 2
1 1 1 1 2 2 2 2 21 1 2
gg s
s s s
s s s s s
l gl gg l g l g sg g g g g g g g gg g gl g l g l gl g l gl
g l g l g lg l g l g lg g g g g g g gg l g l g l g l g l g l g l g l g lg l g l g l
gg s g sg g g gg g g g g g s
s s s
t t t
s w s w
s w
φ ρ φ ρ φ ρ
φ ρ φ ρ
φ ρ
+ +
+
∂ ∂ ∂+ +
∂ ∂ ∂⎛ ⎞ ⎞⎛+∇ ⋅ +∇ ⋅⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝⎠ ⎠⎝
+∇ ⋅
v v v
v v n v v n
v v n 1 1
1 1 1 1 1 1 1
2 2
2 2 2 2 2 2 2 2
1 2
1 1 2 2
g l g ls g g g g ggl g l g l g l g l g l g l
g l g l g sg sg g g g g g g g g gg l g l g l g l g l g l g l g s g s g s g s g s g s g s
g l g lg g g g gg l g l g l g l g s
s w
s w s w
s p s p s
φ ρ
φ ρ φ ρ
φ φ
+
+ +
⎞⎛⎞⎛ +∇ ⋅⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎞ ⎞⎛ ⎛+∇ ⋅ + +∇⋅ +⎜⎜ ⎟ ⎟⎝⎝ ⎠ ⎠
+ ∇ + ∇ +
v v v n
v v v n v v v n
1 22
1 1 1 2 2 2
1 22
1 1 1 2 2 2
1 1 1 1 2 1 2 1
1 2
2 2
2
1 1( ) ( )Lg l l
g l g lg s lg g g g g gg s g l g l g l g l g l g l
g l g lg s g slg g g g g g g g g g ggs g s g s g l g l g l g l g l g l g s g s g s
g g g g g gg l g l g l g l l g l l g s g s g s g sl g sl
p s s
s s s s
dLV V
φ µ φ µ φ
µ φ φ ρ φ ρ φ ρ
ρ ρ=
∇ − ∇ − ∇
− ∇ − − −
− − ⋅ − − ⋅∫
v v
v g g g
v v U υ v v U υ1
1Lg sl
dL∫
101
( )
2 2 2 2 1 2 1 2 2
2 1 2
1 2 1 1 1 2 1 2 2 2
1 2 1 2 1 1 1
1 1( ) ( )
1
L Lg l l g s l
g g g g g gg l g l g l g l l g l l g s g s g s g sl g sl
g g g g g g g ggl l g l g l s g l g l l g l g l s g l
g g g g g g ggsl gs g sl g s gl l gl gl g l
dL dLV V
p s p s p s p s
p s p s pV
ρ ρ
φ φ φ φ
φ φ µ
+ +
+
− − ⋅ − − ⋅
+ ∆ ∇ + ∆ ∇ ∆ ∇ ∆ ∇
+ ∆ ∇ + ∆ ∇ + − ∇ ⋅
∫ ∫v v U υ v v U υ
v υ
( ) ( )
( ) ( )
( )
2
1 2
1 1 1 1 2 1 2 2 2 1
1 2 1
2 2 2 2 1 1
2 1
2 2
2
1 1
1 1
1
Lg l l
L Lg l s gl l
L Lgl s g sl
Lg sl
l
g g g g g ggl s gl gl g l s gl l gl gl g l l
g g g g g ggl s gl gl g l s g sl g s g s g sl
g g gg sl g s g s g sl
dL
p dL p dLV V
p dL p dLV V
p dLV
µ µ
µ µ
µ
+ +
+ +
+
+ − ∇ ⋅ + − ∇ ⋅
+ − ∇ ⋅ + − ∇ ⋅
+ − ∇ ⋅
∫
∫ ∫
∫ ∫
∫
v υ v υ
v υ v υ
v υ { }
{ } { }
1 1 1
1
2 2 2
2
1 ( )
1 1( )
Ag l
A Ag l g s
gg g g g l g l g g g l
g gg g g gl g l g g g l g s g g g s
p dAV
p dA p dAV V
ρ µ
ρ µ µ
+ − + − ∇ ⋅
+ − + − ∇ ⋅ + − ∇ ⋅
∫
∫ ∫
v v w I v n
v v w I v n I v n (160)
3. 3 .3 Ecuación de cantidad de movimiento promediada en la línea de contacto
En esta sección se presenta el balance en la línea de contacto. El balance que a
continuación se presenta es similar al propuesto por (Gray y Hassanizadeh, 1998; Gray,
1999), es decir, se toma en cuenta los términos de acumulación e inerciales para las líneas
de contacto. La Ec. (107) para la fase k se puede escribir de la siguiente manera:
{ }1
1 2 1 1 2 2
2
, , , ,..
( ) ( )
( )Q
l
k kkmn kmn k k k k k k k k
kmn kmn kmn kmn kmn kmn kmn kmn
k k k k k kkm km km kmn kmn km km kmn
mn
g gs s gskmn l l l l l l
pt
p
ρρ µ ρ
ρ µ
=
∂+∇⋅ = −∇ + ∇ −
∂
+ − + − ∇ ⋅∑
vv v v g
v v U I v υ (161)
donde 1 2m= l , l , g, s , 1 2n= l , l g, s y k m n≠ ≠ , 1l mnυ es el vector normal unitario a la
línea de contacto kmn y tangente a la interfase km apuntando hacia fuera de dicha interfase.
El subíndice kmn indica “en la línea de contacto kmn”.
Aplicando el operador promedio dado por la Ec. (34) a la Ec. (161) resulta:
102
{ }1
2( ) ( )
( )Q
l
k kk k k k k k k kkmn kmnkmn kmn kmn kmn kmn kmn kmn kmn
k k k k k kkm km km kmn kmn km km kmn
mn
pt
p
ρ ρ µ ρ
ρ µ
∂ ∇⋅ ∇ ∇+ = − + −∂
+ − + − ∇ ⋅∑
v v v v g
v v U I v υ
(162)
Aplicando los teoremas de promediado dados por las Ecs. (38)-(40) según corresponda a
los términos de la Ec. (162) se tiene que:
1 2
2
( ) ( )
( )
1 1( )
1
P P
kmnq kmnqk m n q k m n q
P
kmnqk m n q
k kkmn kmn k k k k k k k k
kmn kmn kmn kmn kmn kmn kmn kmn
k k k kkmn kmn kmn p kmnq kmn kmnq
P t P tl l gs kmnq
k kkmn kmn kmnq
P tkmnq
pt
dP p dPV V
dPV
ρρ µ ρ
ρ
µ
≠ ≠ ≠ ≠ ≠ ≠
≠ ≠ ≠
∂+∇⋅ +∇ − ∇ −
∂
=− − ⋅ − ⋅
+ ∇⋅ ⋅
∑ ∑∫ ∫
∫
vv v v g
v v v λ λ
v λ
{ }
( )
1
( )
P
kmnqk m n q
Q
kmnk m n
k kkmn kmn kmnq
P tkmnq
k k k k k kkm km km kmn kmn km km kmn
dPV
p
µ
ρ µ
≠ ≠ ≠
≠ ≠
⎞⎛⎟⎜ + ∇ ⋅⎟⎜
⎜ ⎟⎝ ⎠
+ − + − ∇ ⋅
∑ ∑ ∫
∑
v λ
v v U I v υ
(163)
Dada la condición de no deslizamiento, en la Ec. (163), se usa : 0kk m k ms k ms k ms⋅ = ⋅ =v υ U υ y
0kk ms k mn s p k mns⋅ = ⋅ =v λ v λ .
La Ec. (163) se puede expresar en términos de kkmnε y k
kmnqε .
Iniciando con la parte izquierda de esta, en la cual se aplican las Ecs. (54) y (55) y
posteriormente la Ec. (36) quedando expresada de la siguiente manera:
1 2
2
( ) (
1 1( )
kmn kmnk k kkmn kmn kmn kmn kmnkmn kmn kmn k k k k k k k k
kmn kmn kmn kmn kmn kmn kmn kmn
kmn kmn kmnk k k k k k k kkmn kmn kmn kmn kmn kmn kmn kmn
k k k kkmn kmn kmn p kmnq kmn
P t Pl l gs kmnq
t
p
dP pV V
ε ρε ρ ε ρ
ε µ ε ε ρ
ρ
∂+∇ ⋅ + +∇ ⋅
∂
+∇ − ∇ −
= − − ⋅ −∫
vv v v v
v g
v v v λ)
P P
kmnq kmnqk m n q k m n q
kmnqt
dP≠ ≠ ≠ ≠ ≠ ≠
⋅∑ ∑ ∫ λ
103
{ }
( ) ( )
1 1
( )
P P
kmnq kmnqk m n q k m n q
Q
kmnk m n
k k k kkmn kmn kmnq kmn kmn kmnq
P t P tkmnq kmnq
k k k k k kkm km km kmn kmn km km kmn
dP dPV V
p
µ µ
ρ µ
≠ ≠ ≠ ≠ ≠ ≠
≠ ≠
⎞⎛⎟⎜+ ∇⋅ ⋅ + ∇ ⋅⎟⎜
⎜ ⎟⎝ ⎠
+ − + − ∇ ⋅
∑ ∑∫ ∫
∑
v λ v λ
v v U I v υ
(164)
Para el término de presión (segundo término del lado derecho) de la Ec. (164), se toma en
cuenta una expresión similar a la Ec. (141), misma que es extendida para relacionar
presiones de línea y punto de contacto tal como se muestra a continuación:
kmnk k k kkmn kmn kmnq kmnqp p p p= + ∆ + (165)
donde la diferencia de promedios de la presión está definida:
kmnk k kkmnq kmnq kmnp p p∆ = − (166)
En la Ec. (166) el primer término es el promedio en el punto de contacto de la presión y el
segundo término es el promedio intrínseco de la presión en la línea de contacto kmn. Las
desviaciones espaciales de la presión en el punto de contacto kmnq son:
k k kkmnq kmn kmnqp p p= − (167)
Usando la Ec. (165) en el término integral de presión (segundo término del lado derecho)
de la Ec. (164), y recordando que los términos promedio actúan como constantes en la
integral sobre el punto de contacto, mientras que las integrales del vector normal al punto
de contacto representan el gradiente de la fracción de línea por unidad de volumen
entonces, los términos de presión quedan:
( ) ( )
1 1P
kmnqk m n q
kmnk k k k k kkmn kmnq kmn kmn kmnq kmn kmnq kmnq
P t P tkmn kmnq
p dP p p p dPV V
ε ε≠ ≠ ≠
⋅ = − ∇ − ∆ ∇ + ⋅∑∫ ∫λ λ (168)
104
En cuanto al término de esfuerzos viscosos (tercer y cuarto término del lado derecho) de la
Ec. (164), se utiliza la definición de desviaciones espaciales propuesta por Gray (1975) y
se realiza un procedimiento similar al de las Ecs. (146)-(149).
( ) ( )
1 1P
kmnq
kmnk k k k k kkmn kmn kmnq kmn kmn kmn kmn kmnq
P t P tkmn kmnq
dP dPV V
µ µ ε⎡ ⎤⎞⎛⎢ ⎥⎟⎜∇⋅ ⋅ = ∇⋅ − ∇ + ⋅⎢ ⎥⎟⎜⎜ ⎟ ⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎣ ⎦
∑∫ ∫v λ v v λ (169)
( ) ( )
1 1P
kmnq
kmnk k k k k k kkmn kmn kmnq kmn kmn kmn kmn kmn kmnq
P t P tkmnq kmnq
dP dPV V
µ µ ε µ⋅ +∇ ⋅ =− ∇ ∇ ∇ ⋅∑∫ ∫v λ v v λ (170)
En la Ec. (164), se sustituyen las Ecs. (168)-(170), se agrupan términos de integrales
semejantes, y se definen los términos integrales de acuerdo a la definición de fracción de
línea por unidad de volumen, se obtiene:
2
( )P
kmnqk m n q
kmn kmnk k kkmn kmn kmn kmn kmnkmn kmn kmn k k k k k k k k
kmn kmn kmn kmn kmn kmn kmn kmn
kmn kmn kmnk k k k k k k kkmn kmn kmn kmn kmn kmn kmn kmn
kmnqk k kkkmn kmn kmn p kmnqkmnq kmnq
t
p
p
ε ρε ρ ε ρ
ε µ ε ε ρ
ρε≠ ≠ ≠
∂+∇⋅ +∇⋅
∂
+ ∇ − ∇ −
− ⋅=− + ∆∑
vv v v v
v g
v v v λ
( )
{ }( )
P P
kmnq kmnqk m n q
Q
kmnk m n
k kkmn
kmnq kmnqk k k kk k kkmnq kmn kmn kmn kmnqkmnq kmnq kmn kmnq
kmnk k k k k k kkmn km km km kmn kmn km km kmn
p
p
ε
µε µ ε
ε ρ µ
≠ ≠ ≠
≠ ≠
∇
⎡ ⎤− + ∇ ⋅+ ⋅ + ∇⋅⎢ ⎥
⎣ ⎦
+ − + − ∇ ⋅
∑ ∑
∑
v v λλ
v v U I v υ
(171)
donde los términos de integrales de la Ec. (171) se definen por
1( ) ( )kmnqk k kk k k k
kmn kmn kmn p kmnqkmnq kmn kmn kmn p kmnqkmnq
dPV
ρε ρ− ⋅ = − ⋅∫v v v λ v v v λ (172)
( ) ( )( )
1kmnqk k k k k kkkmnq kmn kmn kmnq kmn kmnkmnq kmnq kmnq
P tkmnq
p p dPV
µ µε − + ∇ − + ∇⋅ = ⋅∫v vλ λ (173)
105
( )
1P P
kmnq kmnq
kmnqkk k k kkmn kmnqkmn kmnq kmn kmn kmnq
P tkmnq
dPV
µ ε µ⎡ ⎤
⎡ ⎤ ⎢ ⎥⋅∇ ⋅ = ∇ ⋅ ⋅⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎢ ⎥⎣ ⎦
∑ ∑ ∫v λ v λ (174)
Realizando para la Ec. (171), el análisis de orden de magnitud, similar al presentado por las
Ecs. (128)-(130), sobre los términos de fuerzas de presión y dispersión en el punto de
contacto (tercer y cuarto término de lado derecho), se obtiene finalmente la ecuación de
cantidad de movimiento promediada en la línea de contacto
2
( )P
kmnqk m n q
kmn kmnk k kkmn kmn kmn kmn kmnkmn kmn kmn k k k k k k k k
kmn kmn kmn kmn kmn kmn kmn kmn
kmn kmn kmnk k k k k k k kkmn kmn kmn kmn kmn kmn kmn kmn
kmnqk k kkkmn kmn kmn p kmnqkmnq kmnq
t
p
p
ε ρε ρ ε ρ
ε µ ε ε ρ
ρε≠ ≠ ≠
∂+∇⋅ +∇⋅
∂
+ ∇ − ∇ −
− ⋅=− + ∆∑
vv v v v
v g
v v v λ
( )
{ }( )
P
kmnqk m n q
Q
kmnk m n
k kkmn
kmnqk k kkkmnq kmn kmnkmnq kmnq
kmnk k k k k k kkmn km km km kmn kmn km km kmn
p
p
ε
µε
ε ρ µ
≠ ≠ ≠
≠ ≠
∇
− + ∇+ ⋅
+ − + − ∇ ⋅
∑
∑
v λ
v v U I v υ
(175)
Para la Ec. (175) se considera que k kkmn kmnsε φ= , donde
kk kmnkmn
m
LsV
= , y mVV
φ = , quedando
redefinida de la siguiente manera:
InercialesAcumulación
Dispersión Presión
+
kmn kmnk k kkmn kmn kmnkmn kmn kmn k k k k
kmn kmn kmn kmn
kmn kmn kmnk k k k k kkmn kmn kmn kmn kmn kmn
ss
t
s s p
φ ρφ ρ
φ ρ φ
∂+ ∇ ⋅
∂
+∇ ⋅ ∇ −
vv v
v v 2
Esfuerzos viscosos
kmnk k kkmn kmn kmnsµ φ∇ v
106
1 2
( )Fuerzas de gravedad
Transferencia de cantidad de movimiento, debido a la masa, en el punto de contacto
1 ( )P
kmnqk m n q
kmnk k k k k kkmn kmn kmn kmn kmn kmn p kmnq
P tl l gs
s dPV
φ ρ ρ≠ ≠ ≠
− =− − ⋅∑ ∫g v v v λ
( )( )Promedio de gradiente de
presión en el punto de contacto Fuerzas de presión en el punto de contacto
1P
kmnqk m n q
k k kk kkmnq kmn kmnkmnq kmn kmnq
P tkmnq
pp s dPV
µφ≠ ≠ ≠
− + ∇+ ∆ + ⋅∑ ∫ v λ
{ }1 2
( )
Transferencia de cantidad de movimiento en la línea de contacto
1 ( )Q
kmnk m n
k k k k k kkm km km kmn kmn km km kmn
P tl l gs
p dPV
ρ µ≠ ≠
+ − + − ∇ ⋅∑ ∫ v v U I v υ
(176)
Dado que la fase k=l1, l2, g, la forma extendida de la Ec. (176) para cada una de estas fases
al tomar en cuenta las consideraciones hechas en la sección 2.2 (líquidos inmiscibles, gas
compresible y transferencia de masa entre l1 con g l2 con g) son:
Para l1:
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 21 1 1 1 1 1 1 1 1
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
1 1 1 11 1 1 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1 1 2 1g g g g g g g
l l g l l g l g l l g l l sl l sll l l l l l l l ll l g l l g l l g l g l l g l l g l l sl l sl l sl
l sg l sg l g s l g sl l l l l l ll s l s l s l s l s l s l l s l s
s s s
t t t
s s s
t t
φ ρ φ ρ φ ρ
φ ρ φ ρ φ ρ
∂ ∂ ∂+ +
∂ ∂ ∂
∂ ∂ ∂+ + +
∂ ∂
v v v
v v 1 11 1
1
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 21 1 1 1 1 1 1 1
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
1 2 1 2 1 2 11 1 1 1 1 1
1 2 1 2 1 2 1 2 1 1 1
g
l g s l g sl ll s
l l g l l g l l g l g l l g l l g ll l l l l l l ll l g l l g l l g l l g l g l l g l l g l l g l
l sl l sl l sl l sgl l l l l l ll sl l sl l sl l sl l sg l sg l sg
t
s s
s s
φ ρ φ ρ
φ ρ φ ρ
∂
+ ∇ ⋅ +∇ ⋅
+∇ ⋅ +∇ ⋅
v
v v v v
v v v 1 11 1
1
1 1 11 2 1 2 1 21 1 1 1 1 1 1 1
1 2 1 2 1 2 1 2 1 1 1 1
1 2 1 2 1 21 1 1 1 1 1 1
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
l sg l sgll sg
l g s l g s l g sl l s l l s l l sl l l l l l l ll l s l l s l l s l l s l g s l g s l g s l g s
l l g l l g l g ll l l l l l ll l g l l g l l g l l g l g l l g l l g l l g l
s s
s s
φ ρ φ ρ
φ ρ φ ρ
+∇ ⋅ +∇ ⋅
+∇ ⋅ +∇ ⋅
v
v v v v
v v v v 1 21
1 2 1 2 1 11 1 1 1 1 1 1 1
1 2 1 2 1 2 1 2 1 1 1 1
1 2 1 2 1 11 1 1 1 1 1 1 1
1 2 1 2 1 2 1 2 1 1 1 1
1
1 2
l g ll
l sl l sl l sg l sgl l l l l l l ll sl l sl l sl l sl l sg l sg l sg l sg
l l s l l s l g s l g sl l l l l l l ll l s l l s l l s l l s l g s l g s l g s l g s
ll l g l
s s
s s
s p
φ ρ φ ρ
φ ρ φ ρ
φ
+∇ ⋅ +∇ ⋅
+∇ ⋅ +∇ ⋅
+ ∇
v v v v
v v v v
1 2 1 2 1 2 11 1 1 1 1 1 1
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 1
l l g l g l l sl l sgl l l l l l ll g l g l l g l l sl l sl l sg l sgs p s p s pφ φ φ+ ∇ + ∇ + ∇
107
1 1 2 1 2 1 21 1 1 1 1 1 1 1 1 1
1 21 1 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
1 2 1 21 1 1 1 1 1 1 1
1 2 1 21 2 1 2 1 2 1 2 1 1 1
2 2
2 2 2
l gs l l s l l g l gll l l l l l l l l ll l gl gs l gs l l s l l s l l g l l g l gl l gl l gl
l sl l l sl l l l l l l ll sl l l sl sl l sl l l s l l s l sg l sg l sg
s p s p s s
s s s
φ φ µ φ µ φ
µ φ µ φ µ φ
+ ∇ + ∇ − ∇ − ∇
− ∇ − ∇ − ∇
v v
v v v 11
1 1 2 1 2 1 21 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
1 21 1 1 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
1 1 2 11 1 1 1 1 1 1
1 1 1 2 1 2 1 2 1 1
2
l sgl
l gs l l g l gl l sll l l l l l l l l l l ll l gl gs l gs l gs l l g l l g l gl l gl l gl l sl l sl l sl
l sg l l s l gsl l l l l l ll sg l sg l l s l l s l l s l gs l gs
s s s s
s s s
µ φ φ ρ φ ρ φ ρ
φ ρ φ ρ φ ρ
− ∇ − − −
− − −
v g g g
g g 1
1
1 1 1 1 1 1
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
1 2 1 2
1 1 1 1 1 1 1 1
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 1 2
1 1( ) ( )P Pl sl g l l sg
ll gs
l l l l l ll sl l sl l sl p l sl g l l s l l s l l s p l l sg
l l l l l l l l ll l gs l l g l gl s l gl l sl g l sl l sgl l sg l gs l
dP dPV V
p s p s p s p s p
ρ ρ
φ φ φ φ+
=− − ⋅ − − ⋅
+ ∆ ∇ + ∆ ∇ ∆ ∇ + ∆ ∇ + ∆
∫ ∫v v v λ v v v λ
( ) ( )
( )
1 1
1
1 1 1 1 1 1 1 1
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
1 2 1 2
1 1 1 1
1 2 1 1 1 2 1 2 1
1 2
1 1
1 1
P Pl l sg l sl g
Pl gsl
ll gs
l l l l l l l ll l sg l l s l l sg l l s l l s l l sg l sl g l sl l sl l sl g
l l l ll gsl l gs l gs l gsl l sgl l
s
p s p dP p dPV V
p dP pV V
φ
φ µ µ
µ µ
+ +
∇
∆ ∇ + − + ∇ ⋅ − + ∇ ⋅
+ − + ∇ ⋅ + − +
∫ ∫
∫
v λ v λ
v λ ( )
( ) ( )
{ }
1 1
1 1 2
1 2
1 1 1 1 1 1
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
1 2 1 2
1 1 1 1 1 1
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
1 1
1 ( )
Pl sgl
P Pl l gs l gl s
l lsg l sg l sgl
l l l l l ll l gs l l g l l g l l gs l gl s l gl l gl l gl s
l l l l l ll l l l l l l l g l l g l l l l l l
dP
p dP p dPV V
pV
µ µ
ρ µ
∇ ⋅
+ − + ∇ ⋅ + − + ∇ ⋅
+ − + − ∇ ⋅
∫
∫ ∫
v λ
v λ v λ
v v U I v υ
{ }
{ } { }
{ }
1 2
1 1 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1 1 1
1
1 1 1 1 1 1
1 2 1 1 1 2 1 2 1 1 1 2
1 2 1 2
1 1 1
1 2 1 2 1 2 1
1 ( )
1 1
1
Ll l g
Ll sg
L Ll sl l gl
g
l l l l l ll s l s l s l sg l sg l s l s l sg
l l l l l ll sl l s l s l sl l gl l g l g l gl
l l ll l s l l l l l
dL
p dLV
p dL p dLV V
pV
ρ µ
µ µ
µ
+ − + − ∇ ⋅
+ − ∇ ⋅ + − ∇ ⋅
+ − ∇ ⋅
∫
∫
∫ ∫
v v U I v υ
I v υ I v υ
I v υ { }1 1 1
2 1 1 1 1
1 2 1
1
L Ll l s l gs
l l ll s l gs l g l g l gsdL p dL
Vµ+ − ∇ ⋅∫ ∫ I v υ
(177)
Para l2:
2 1 2 12 1 2 1 2 22 2 22 2 2 2 2 2
22 1 2 1 2 1 2 22 1 2 1 2 1
2 1 2 1 2 1 2 12 2 2 2 2 2 2
22 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1
g gll gs
ll sg
l g l l g ll l g l l g l g s l g sl l ll l l l ll l g l l g l l g l s l sl g l l g l l g l
l sl l sl l l s l l sl l l l l ll sl l sl l sl l l s l l s l l s
ss s
t t t
s s s
t t
φ ρφ ρ φ ρ
φ ρ φ ρ φ ρ
∂∂ ∂+ +
∂ ∂ ∂
∂ ∂ ∂+ + +
∂ ∂
vv v
v v 2 22 2
2 2
2 1 2 1 2 12 1 2 1 2 12 2 2 2 2 2 2 2
2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1
2 1 2 1 2 1 22 2 2 2 2 2
2 1 2 1 2 1 2 1 2 2
g g
l sg l sgl ll s l s
l g l l g l l g ll l g l l g l l gl l l l l l l ll l g l l g l l g l l g l g l l g l l g l l g l
l sl l sl l sl l sgl l l l l ll sl l sl l sl l sl l s g l s g l
t
s s
s s
φ ρ φ ρ
φ ρ φ ρ
∂
+ ∇⋅ +∇ ⋅
+∇ ⋅ +∇ ⋅
v
v v v v
v v v 2 22 2
2 2
l sg l sgl lsg l sgv
108
2 1 2 1 2 1 2 2 22 2 2 2 2 2 2 2
2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 2 2
2 1 2 1 2 1 2 12 2 2 2 2 2 2 2
2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1
2 1
l l s l l s l l s l g s l g s l g sl l l l l l l ll l s l l s l l s l l s l g s l g s l g s l g s
l l g l l g l g l l g ll l l l l l l ll l g l l g l l g l l g l g l l g l l g l l g l
l sl
s s
s s
s
φ ρ φ ρ
φ ρ φ ρ
+∇⋅ +∇ ⋅
+∇ ⋅ +∇ ⋅
+∇ ⋅
v v v v
v v v v
2 1 2 1 2 22 2 2 2 2 2 2 2
2 1 2 1 2 1 2 2 2 2
2 1 2 1 2 22 2 2 2 2 2 2 2
2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 2 2
2 12 2
2 1 2 1 2
l sl l sl l s g l s gl l l l l l l ll sl l sl l sl l sg l sg l sg l s g
l l s l l s l g s l g sl l l l l l l ll l s l l s l l s l l s l g s l g s l g s l g s
l l gl ll l g l l g l g
s
s s
s p s
φ ρ φ ρ
φ ρ φ ρ
φ
+∇ ⋅
+∇ ⋅ +∇ ⋅
+ ∇ +
v v v v
v v v v
2 1 2 1 22 2 2 2 2 2
1 2 1 2 1 2 1 2 2
2 2 1 2 1 2 12 2 2 2 2 2 2 2 2 2
2 1 2 12 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1
2 2
2 12 1 2
2 2
2
l g l l sl l sgl l l l l ll l g l l sl l sl l s g l sg
l g s l l s l l g l g ll l l l l l l l l ll l s l l gl g s l g s l l s l l g l l g l gl l g l l g l
l ll sll sl l s
p s p s p
s p s s p s s
s
φ φ φ
φ φ µ φ µ φ
µ φ
∇ + ∇ + ∇
+ ∇ + ∇ − ∇ − ∇
− ∇
v v
v 2 1 2 2 12 2 2 2 2 2 2
1 2 2 2 2 1 2 1 2 1
2 2 1 2 12 2 2 2 2 2 2 2 2
2 12 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1
2 12 2 2
2 1 2 1 2 1 2
2 2
2
l sl l sg l l sl l l l l l ll l s g l s g l sg l l s l l s l l s
l g s l l g l g ll l l l l l l l ll l gl gs l g s l gs l l g l l g l g l l g l l gl
l sll l l ll sl l sl l sl l s g
s s
s s s
s s
µ φ µ φ
µ φ φ ρ φ ρ
φ ρ
− ∇ − ∇
− ∇ − −
− −
v v
v g g
g 2 22 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2
2 12 2 2 2 2 1 2 2 2
2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 1 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1
2 1 2 1
2 2
2 1 2 1
1 1( ) ( )P Pl l sg l s l g
l sg l g sl l l l ll s g l sg l g s l g s l gs
l l sl l l l l l l l ll l s l l s l l s l l s l l s l l s p l l sg l sl l sl l sl p l sl g
l ll l gs l l g
s
s dP dPV V
p s
φ ρ φ ρ
φ ρ ρ ρ
φ
−
− = − − ⋅ − − ⋅
+ ∆ ∇
∫ ∫
g g
g v v v λ v v v λ
( ) ( )
2 2 2 2 2 2 2 2
2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 1 2 1
2 2 2 2 2 2 2 2
2 1 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1
2 1 2
1 1
P Pl l sg l
l l l l l l l ll g l s l gl l sl g l sl l s g l l sg l l sg l l s
l l l l l l l ll gsl l gs l l sg l l s l l s l l sg l sl g l sl l sl l sl g
p s p s p s p s
p s p dP p dPV V
φ φ φ φ
φ µ µ
+
+ +
+ ∆ ∇ ∆ ∇ + ∆ ∇ + ∆ ∇
+ ∆ ∇ − + ∇ ⋅ − + ∇ ⋅∫ v λ v λ
( ) ( )
( ) ( )
1
2 2 2 2 2 2
2 1 2 2 2 1 2 1 2 2 2 1
2 1 2 1
2 2 2 2 2 2
2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1
2 1 2
1 1
1 1
sl g
P Pl sg l l gs l
P Pl l gs l
l l l l l ll sg l l sg l sg l sg l l gsl l g s l gs l gsl
l l l l l ll l gs l l g l l g l l gs l gl s l gl l gl l g l s
p dP p dPV V
p dP p dPV V
µ µ
µ µ+
+ − + ∇ ⋅ + − + ∇ ⋅
− + ∇ ⋅ + − + ∇ ⋅
∫
∫ ∫
∫
v λ v λ
v λ v λ
{ }
{ }
{ }
1
2 2 2 2 2 2
2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1
2 1
2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2
2
2 2 2
2 1 2 2 2 1
2 1
1 ( )
1 ( )
1 1
gl s
Ll l g
Ll s g
Ll sl
l l l l l ll l l l l l l l g l l g l l l l l l g
l l l l l ll s l s l s l sg l sg l s l s l s g
l l ll sl l s l s l sl l
p dLV
p dLV
p dL pV V
ρ µ
ρ µ
µ
+ − + − ∇ ⋅
+ − + − ∇ ⋅
+ − ∇ ⋅ +
∫
∫
∫
∫
v v U I v υ
v v U I v υ
I v υ { }
{ } { }
2 2 2
2 1 2 2 2 1
2 1
2 2 2 2 2 2
2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 2 2
2 1 2
1 1
Ll gl
L Ll l s l gs
l l lgl l g l g l g l
l l l l l ll l s l l l l l l s l gs l g l g l g s
dL
p dL p dLV V
µ
µ µ
− ∇ ⋅
+ − ∇ ⋅ + − ∇ ⋅
∫
∫ ∫
I v υ
I v υ I v υ
(178)
Para g:
1 2 1 2 2 1 2 1 1 1
1 2 1 2 1 2 2 1 2 1 2 1 1 1 1
gl l gl l gl l gl l g sl g slg g g g g g g g ggl l gl l gl l gl l gl l gl l g sl g sl g sls s s
t t t
φ ρ φ ρ φ ρ∂ ∂ ∂+ +
∂ ∂ ∂
v v v
109
2 2 1 1 2 2
2 2 2 1 1 1 2 2 2
2 1 2 1 2 11 2 1 2 1 2
1 2 1 2 1 2 1 2 2 1 2 1 2 1 2 1
1
s s s s s s
g sl g sl gl s gl s gl s gl sg g g g g g g g gg sl g sl g sl gl gl gl gl gl gl
g l l g l l g l lgl l gl l gl lg g g g g g g ggl l gl l gl l gl l g l l g l l g l l g l l
gg sl g sl
s s s
t t t
s s
s
φ ρ φ ρ φ ρ
φ ρ φ ρ
φ ρ
∂ ∂ ∂+ +
∂ ∂ ∂
+ ∇⋅ +∇ ⋅
+∇ ⋅
v v v
v v v v
1 1 1 2 2 2
1 1 1 2 2 2 2
2 2 21 1 1
1 1 1 1 2 2 2 2
1 1
1 1 1 1 2 2
s s s s
g sl gsl gsl g sl g sl g slg g g g g g gg sl g sl g sl g sl g sl g sl
g l s g l s g l sgl s gl s gl sg g g g g g g ggl gl gl gl g l s g l s g l s g l s
g sl g slg g g g g gg sl g sl g sl g sl g sl g sl
s
s s
s s
φ ρ
φ ρ φ ρ
φ ρ φ ρ
+∇ ⋅
+ ∇⋅ +∇ ⋅
+∇ ⋅ +∇ ⋅
v v v v
v v v v
v v 2 2
2 2
1 2 1 2 2 1 2 1
1 2 1 2 1 2 1 2 2 1 2 1 2 1 2 1
1 1 2 2
1 1 1 1 2 2 2 2
1 2 1
g sl g slg gg sl g sl
gl l gl l g l l g l lg g g g g g g gg l l g l l g l l g l l g l l g l l g l l g l l
gl s gl s g l s g l sg g g g g g g gg l s g l s g l s g l s g l s g l s g l s g l s
ggl l gl
s s
s s
s p
φ ρ φ ρ
φ ρ φ ρ
φ
+∇ ⋅ +∇ ⋅
+∇ ⋅ +∇ ⋅
+ ∇
v v
v v v v
v v v v
1 2 2 1 1 2
2 1 2 1 1 1 2 22
1 2 1 2
1 2 2 1 2 1 2 1 21
2 1 2
2 1 2 1 2 1 2 2 2 2
2
2 2
s s s
s
gl l gl l gsl gslg g g g g g ggl l gl l gsl gsl gsl gsll
gl s gl s gl lg g g g g g ggl gl gl gl l gl l gl lgl s
gl l g slg g g g g g ggl l gl l gl l gsl g sl g sl gl
s p s p s p
s p s p s
s s s
φ φ φ
φ φ µ φ
µ φ µ φ µ
+ ∇ + ∇ + ∇
+ ∇ + ∇ − ∇
− ∇ − ∇ −
v
v v 2
2 2
1 1 1 2
1 1 1 1 1 1 1 2 1 2 1 2
2 1 1 1
2 1 2 1 2 1 1 1 1 1 1 1
2
2 2 2
2
2 2
s s
s s s
s s s
gl sg ggl gl
g sl gl s gl lg g g g g g g g ggsl g sl g sl gl gl gl gl l gl l gl l
gl l gsl gl sg g g g g g g g ggl l gl l gl l gsl gsl gsl gl gl gl
gslg g ggsl gsl gsl
s s s
s s s
s s
φ
µ φ µ φ φ ρ
φ ρ φ ρ φ ρ
φ ρ
∇
− ∇ − ∇ −
− − −
− −
v
v v g
g g g
g 2
2 2 2 1 1 1 1 2
1 2
2 2 2 2 2 22 1 2 1
2 1 2 1
1 1 1 1 2
1 2
1 ( )
1 1( ) ( )
1 ( )
s s sPg l sl
P Pgl sl gsl l
Pgsl l
gl sg g g g g ggl gl gl gl s gl s gl s p g l sl
g g g g g gg l s g l s g l s g sl g sl g slp g l sl p gsl l
g g ggsl gsl gsl p gsl l
dPV
dP dPV V
dPV
φ ρ ρ
ρ ρ
ρ
= − − ⋅
− − ⋅ − − ⋅
− − ⋅ +
∫
∫ ∫
∫
g v v v λ
v v v λ v v v λ
v v v λ
( ) ( )
1 2 1 2 2 1 2 1
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
1 2 1 1 2 1 2 21 2 2 1
1 2 2 1
1 1s s
P Pg l sl g l sl
g g g ggl l s gl l gl l s gl l
g g g g g g g ggsl l gsl gsl l gsl gl sl gl gl sl gl
g g g g g ggl sl gl s gl s gl sl gl s gl sgl sl gl sl
p s p s
p s p s p s p s
p dP p dPV V
φ φ
φ φ φ φ
µ µ+
∆ ∇ + ∆ ∇
+ ∆ ∇ + ∆ ∇ + ∆ ∇ + ∆ ∇
− + ∇ ⋅ + − + ∇ ⋅∫ v λ v λ
( ) ( )
( ) ( )
1 2 1 1 2 1 2 21 2 2 1
1 2 2 1
2 1 1 2 1 2 2 1 2 1 2 11 2 2 1
1 2 2 1
1 1
1 1
P Pgsl l gsl l
P Pgl l s g l l s
g g g g g ggsl l g sl g sl gsl l g sl gslgsl l gsl l
g g g g g ggl l s gl l gl l gl l s gl l gl lgl l s gl l s
p dP p dPV V
p dP p dPV V
µ µ
µ µ
++ − + ∇ ⋅ − + ∇ ⋅
+ − + ∇ ⋅ + − + ∇ ⋅
∫
∫ ∫
∫ ∫
v λ v λ
v λ v λ
110
{ } { }
{ } { }1 1 1 1 2 1 2 1 1 1 2 2 2 2 2
1 2 2
2 2 2 2 1 2 1 2 2 2 1 1 1 1 1
2 1
1 1( )
1 1( )
g
L Lgl l gl s
Lgl l
g g g g g g g ggl gl gl gl l gl l gl gl gl l gl s gl gl gsl
g g g g g g g g ggl gl gl gl l gl l gl gl gl l gl s gl gl gsl
p dL p dLV V
p dL pV V
ρ µ µ
ρ µ µ
+ − + − ∇ ⋅ + − ∇ ⋅
+ − + − ∇ ⋅ + − ∇ ⋅
∫ ∫
∫
v v U I v υ I v υ
v v U I v υ I v υ
{ }
{ }
1
1 1 1
1
2 2 2
2
1 ( )
1 ( )
Lgl s
Lgsl
Lgsl
g g g g g ggs gs gs gsl gsl gs gs gsl
g g g g g ggs gs gs gsl gsl gs gs gsl
dL
p dLV
p dLV
ρ µ
ρ µ
+ − + − ∇ ⋅
+ − + − ∇ ⋅
∫
∫
∫
v v U I v υ
v v U I v υ
(179)
3. 3. 4 Ecuación de cantidad de movimiento promediada en el punto de contacto
Poca literatura ha sido encontrada sobre la ecuación de cantidad de movimiento en el punto
de contacto (Gray y Hassanizadeh, 1998) ya que en la mayoría de los trabajos reportados
hasta el momento (Marle, 1982; Gray y Hassanizadeh, 1989; Achanta et al., 1994;
Hassanizadeh y Gray 1990; Gray y Hassanizadeh, 1998) no lo consideran. Lo anterior se
debe, a que muchos de estos trabajos no toman en cuenta los términos de acumulación e
inerciales en el balance de la línea de contacto, de los cuales, depende que exista el balance
en el punto de contacto. Por lo antes mencionado, partiendo del balance en el punto de
contacto [Ec. (108)] se expresa el balance para el punto de contacto para la fase k como:
{ }( )0P
kmnqk m n q
k k k k kk mn k mn p k mn q k mn k mn k mn qpρ µ
≠ ≠ ≠
− + − ∇= ⋅∑ v v I v λ (180)
donde k=l1, l2, g, m=l1, l2, g, n=l1, l2, g , q=l1, l2, g ( k m n q≠ ≠ ≠ ), pv es la velocidad del
punto de contacto formado por las fases kmnq, kmnqλ es el vector unitario tangente a la línea
de contacto kmn dirigido hacia el punto de contacto kmnq.
Aplicando las ecuaciones (41) y (43) a la ecuación (180) queda expresada en términos de
kkmnqε .
111
{ }( )0P
kmnqk m n q
kmnqk k k k kkk mn k mn p k mn q k mn k mnk mn q k mn qpρ µε
≠ ≠ ≠
− + − ∇= ⋅∑ v v I v λ (181)
Para la Ec. (181), se usa la condición de no deslizamiento por lo que
0kk ms k mn s p k mns⋅ = ⋅ =v λ v λ .
Expresando la Ec. (181) estrictamente para un medio poroso se considera que
k kkmnq kmnqsε φ= , donde
kkmnqk
kmnqm
Ps
V= , y mV
Vφ = , quedando redefinida de la siguiente manera:
{ }Transferencia de cantidad de movimiento en el punto de contacto
1 ( )0P
k k k k kk mn k mn p k mn q k mn k mn k mn q
kmnq Pkmnqk m n q
p dPV
ρ µ
≠ ≠ ≠
− + − ∇= ⋅∑ ∫ v v I v λ (182)
Dado que la fase k=l1, l2, g, la forma extendida de la Ec. (182) para cada una de estas fases
al tomar en cuenta las consideraciones hechas en la sección 2.2 (transferencia de masa
entre l1 con g l2 con g) son:
Para l1:
{ }
{ }
{ }
1 1 1 1 1 1
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
1 2
1 1 1 1 1 1
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
1 2
1 1 1
1 2 1 2 1 2 1 2
10 ( )
1 ( )
1
Pl l sg
Pl s l g
l l l l l ll l s l l s l l s p l l sg l l s l l s l l sg
l l l l l ll sl l sl l sl p l sl g l sl l sl l sl g
l l ll l gs l l g l l g l l g
p dPV
p dPV
pV
ρ µ
ρ µ
µ
= − + − ∇ ⋅
+ − + − ∇ ⋅
+ − ∇ ⋅
∫
∫
v v v v λ
v v v v λ
v λ { }
{ } { }
1 1 1
1 2 1 2 1 2 1 2
1 2 1 2
1 1 1 1 1 1
1 2 1 1 1 2 1 2 1 1 1 2
1 2 1 2
1
1 1
P Pl l gs l g l s
P Pl gsl l s g l
l l ls l g l s l g l l g l l gl s
l l l l l ll gsl l gs l gs l gsl l sg l l sg l sg l sgl
dP p dPV
p dP p dPV V
µ
µ µ
+ − ∇ ⋅
+ − ∇ ⋅ + − ∇ ⋅
∫ ∫
∫ ∫
v λ
v λ v λ
(183)
Para l2:
{ }
{ }
2 2 2 2 2 2
2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1
2 1
2 2 2 2 2 2
2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1
2 1
10 ( )
1 ( )
Pl l sg
Pl s l g
l l l l l ll l s l l s l l s p l l sg l l s l l s l l sg
l l l l l ll sl l sl l sl p l sl g l sl l sl l sl g
p dPV
p dPV
ρ µ
ρ µ
= − + − ∇ ⋅
+ − + − ∇ ⋅
∫
∫
v v v v λ
v v v v λ
112
{ } { }
{ } { }
2 2 2 2 2 2
2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1
2 1 2 1
2 2 2 2 2 2
2 1 2 2 2 1 2 1 2 2 2 1
2 1 2 1
1 1
1 1
P Pl l gs l gl s
P Pl gsl l s g l
l l l l l ll l gs l l g l l g l l gs l g l s l g l l g l l gl s
l l l l l ll gsl l gs l gs l gsl l sg l l sg l sg l sgl
p dP p dPV V
p dP p dPV V
µ µ
µ µ
+ − ∇ ⋅ + − ∇ ⋅
+ − ∇ ⋅ + − ∇ ⋅
∫ ∫
∫ ∫
v λ v λ
v λ v λ(184)
Para g:
{ }
{ }
{ }
1 1 1 1 2 1 2 1 1 2
1 2
2 2 2 2 1 2 2 2 1
2 1
1 1 1 1 1 1 1 2
10 ( )
1 ( )
1 ( )
Pgsl l
Pgsl l
P
g g g g g ggsl gsl gsl p gsl l gsl l gsl gsl l
g g g g g ggsl gsl gsl p gsl l gsl gsl gsl l
g g g g g ggl s gl s gl s p gl s gl s gl s gl sl
p dPV
p dPV
p dPV
ρ µ
ρ µ
ρ µ
= − + − ⋅
+ − + − ∇ ⋅
+ − + − ∇ ⋅
∫
∫
v v v v λ
v v v v λ
v v v v λ
{ }
{ } { }
1 2
2 2 2 2 1 2 2 2 1
2 1
1 2 1 2 1 2 1 2 2 1 2 1 2 1 2 1
1 2 2 1
1 ( )
1 1
gl sl
Pgl sl
P Pgl l s gl l s
g g g g g ggl s gl s gl s p gl sl gl s gl s gl sl
g g g g g ggl l s gl l gl l gl l s gl l s gl l gl l gl l s
p dPV
p dP p dPV V
ρ µ
µ µ
+ − + − ∇ ⋅
+ − ∇ ⋅ + − ∇ ⋅
∫
∫
∫ ∫
v v v v λ
v λ v λ
(185)
3. 4 DISCUSIÓN DE RESULTADOS
Se desarrolló un conjunto de ecuaciones de cantidad de movimiento promediadas en
volumen para flujo multifásico en un medio poroso. Tales ecuaciones, describen el flujo
del fluido en las fases, interfases, líneas y puntos de contacto.
Ecuaciones similares fueron obtenidas por Gray y Hassanizadeh (1989, 1998), Whitaker
(1990, 1996, 1997) y Bousquet et al. (2002). En el trabajo hecho por Gray y Hassanizadeh
(1989), utilizando el método del promedio volumétrico desarrollaron la ecuación de masa y
cantidad de movimiento para las interfases y líneas de contacto. Para ello, los autores
desarrollaron y aplicaron los teoremas de promediado en volumen y en superficie. Sin
embargo, en la ecuación de cantidad de movimiento sobre la línea de contacto, solo tomó
en cuenta el término de transferencia de cantidad de movimiento de la interfase hacia la
línea de contacto (último término de la Ec. 107), es decir, despreciaron los términos de
113
acumulación, inerciales, viscosos, de presión y fuerzas de gravedad, obteniendo así, una
predicción alejada del comportamiento real del sistema.
Años más tarde, Gray y Hassanizadeh (1998) desarrollaron ecuaciones integrales globales
para la fase, interfase, línea y punto de contacto. Con la finalidad de obtener ecuaciones de
masa y cantidad de movimiento y energía a escala macroscópica (promediada en volumen)
los autores plantearon equivalencias entre los términos microscópicos promediados y los
términos macroscópicos. Sin embargo en las ecuaciones macroscópicas obtenidas de
cantidad de movimiento, para la fase, interfase, línea y punto de contacto, el término de
esfuerzos fue definido de forma general por lo que no es posible observar de forma directa
la contribución de la presión y de los esfuerzos viscosos durante el promediado.
Bousquet et al. (2002) obtuvieron la ecuación de masa y cantidad de movimiento
promediada en volumen, para la fase. En su trabajo se tomó en cuenta la transferencia de
masa y la transferencia de cantidad de movimiento (debido a la transferencia de masa,
presión y esfuerzos viscosos). En la ecuación de cantidad de movimiento promediada en
volumen, específicamente en el término presión interfacial, los autores tomaron en cuenta
la definición de desviaciones espaciales propuesta por Gray (1975), con lo cual no es
posible visualizar la contribución de los efectos dispersivos de la presión en el término de
transferencia de cantidad de movimiento.
Trabajos similares al de Bousquet et al. (2002) fueron realizados por Whitaker (1990,
1996, 1997), sin embargo, en estos, se desprecio la transferencia de masa entre el sólido y
la fase fluida debido a que el sólido fue considerado como rígido y fijo. Como resultado,
Whitaker obtuvo ecuaciones de cantidad de movimiento más simplificadas que la obtenida
por Bousquet et al. (2002).
En el presente trabajo, al igual que se hizo para la ecuación de masa se despreciaron los
términos que contienen variaciones de densidad alrededor de su valor promedio. Por otro
114
lado, en las ecuaciones obtenidas, se conservó la consideraron de la existencia de 1) los
términos de transferencia de masa y cantidad de movimiento entre las fases, interfases,
líneas y puntos de contacto y 2) términos de acumulación, inerciales, presión, esfuerzos y
fuerzas de gravedad para la ecuación de cantidad de movimiento promediada en la fase,
interfase y línea de contacto.
Por otro lado, al igual que los trabajos hechos por Gray y Hassanizadeh (1989), Whitaker
(1990, 1996, 1997,), Gray y Hassanizadeh (1998) y Bousquet et al. (2002), se obtuvieron
términos adicionales durante el proceso de promediado (términos de dispersión de presión
y velocidades, así como términos de las diádas de las desviaciones espaciales de la
velocidad) para las fases, interfases y líneas de contacto.
De forma resumida la Tabla 3.1 muestra la comparación de las ecuaciones de cantidad de
movimiento obtenidas contra los trabajos presentados por Gray y Hassanizadeh (1989,
1998), Whitaker (1990, 1996, 1997) y Bousquet et al. (2002).
115
Tabla 3.1 Comparación de las ecuaciones de cantidad de movimiento obtenidas contra otros trabajos. Autor Ecuación
Fase k Gray y
Hassanizadeh (1998)
{ }( )k k N kmk k k k k k kk k k k
k k k k k k k k k k k k k km k k km k kmkmk m
tε ρ
ε ρ ε ρ ε ε ρ ε ρ≠
∂+ ∇⋅ +∇⋅ − ∇⋅ − =− − − ⋅
∂ ∑v
v v v v t g v w t n
Whitaker (1990, 1996,
1997) { }2
k kk k k k k k k kk k k
k k k k k k k k k k k k k k k k
N kmkkm k k k km
kmk m
p pt
ε ρε ρ ε ρ ε µε ε ρ ε µ
≠
∂+ ∇⋅ +∇⋅ + ∇⋅ − ∇ − = − + ∇ ⋅
∂ ∑v
v v v v v g v n
Bousquet et al. (2002) { }2 ( )
k k N kmk k k k k k k kk k k kk k k k k k k k k k k k k k k k km k k km k k k km
kmk m
N kmkk km k km
kmk m
p pt
ε ρε ρ ε ρ ε µ ε ε ρ ε ρ µ
µ ε
≠
≠
∂+ ∇⋅ +∇⋅ + ∇⋅ − ∇ − =− − + − ∇ ⋅
∂
⎞⎛⎟⎜+ ∇⋅ ⋅ ⎟⎜⎜ ⎟
⎝ ⎠
∑
∑
vv v v v v g v w v n
v n
En el
presente trabajo
( ) ( ) 2
( ) ( )
1 1( ) ( )
k kk k kk k k k kk k k
k k k k k k k kk k k k k k k k
N Nkkm k
km kmk m k m
kk k k km km km k k km
A t A tkm km
pt
dA p p dAV V
ε ρε µ ε ε ρε ρ ε ρ
ρ ε µ≠ ≠
∂+ ∇ ⋅ + ∇ ⋅ + ∇ − ∇ −
∂
= − − ⋅ + ∆ ∇ + − + ∇ ⋅∑ ∑∫ ∫
vv gv v v v
v v w n v n
116
Continuación (Tabla 3.1)
Interfase km Gray y
Hassanizadeh
(1989) { } { }( ) ( )
km kmk k kkm km km km kmkm km km k k k k k k k k k
km km km km km km km km km
Q Nkmn kmk k k k k kkmn km km km kmn km kmn km k k k km k km
kmn km
t
ε ρε ρ ε ε ρ
ε ρ ε ρ=
∂ ⎞⎛+∇⋅ −∇⋅ −⎜ ⎟∂ ⎝ ⎠
− − − ⋅ + − − ⋅∑ ∑
vv v t g
v v U t υ v v w t n
Gray y
Hassanizadeh
(1998) { } { }( ) ( )
km kmk k kkm km km km km km kmkm km km k k k k k k k k k k k k k
km km km km km km km km km km km km km
Q Nkmn kmk k k k k kkmn km km km kmn km kmn km k k k km k km
kmn km
t
ε ρε ρ ε ρ ε ε ρ
ε ρ ε ρ=
∂ ⎞ ⎞⎛ ⎛+∇⋅ +∇⋅ −∇⋅ −⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ⎝ ⎝⎠ ⎠
− − − ⋅ + − − ⋅∑ ∑
vv v v v t g
v v U t υ v v w t n
En el
presente trabajo ( ) ( )
2 ( )Q
kmnk m n
km kmk k kkmkm km km km kmkm km km kkk k k k k k k k k
k mkmkm km km km km km km km km km km km km
km kmnkmkk k k k k k k k k k kk mk m km km km k m kmn km km km kmn kmn kmn km
kkmn km
pw wt
p
p
ε ρεε ρ ε ρ
µ ε ε ρ ε ρ ε
ε
≠ ≠
+∂
+∇ ⋅ +∇⋅ + ∇+∂
− ∇ − = − − ⋅ + ∆ ∇
+ −
∑
vv v n v v v n
v g v v U υ
( ) { }1 2
( )Q
kmnk m n
N kmkmnk k k k kn km km l l g km k k k k m k m k k k m
k mk m
pµ ε ρ µ≠ ≠
+
≠
∇ ⋅ + − + − ∇ ⋅∑ ∑v υ v v w I v n
117
Continuación (Tabla 3.1)
Línea de contacto kmn Gray y
Hassanizadeh
(1989)
{ }0 ( )Q k mnk k k k k k
k mn k m k m k m k mn k m k mnkmn
ε ρ= − − ⋅∑ v v v t υ
Gray y Hassanizadeh
(1998)
{ }( ) (k
kmn kmnk k kkmn kmn kmn kmn kmn kmnkmn kmn kmn k k k k k k k k k k
kmn kmn kmn kmn kmn kmn km km kmn kmn
P kmnqkmnk k k k k k k k k k kkmn kmn kmn kmnq kmn kmn kmn p kmn kmnq kmn km km k
kmmq
t
ε ρε ρ ε ρ ε
ε ρ ε ρ ε ρ= −
∂ ⎞ ⎞⎛ ⎛+∇⋅ +∇⋅ −∇⋅⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ⎝ ⎝⎠ ⎠
− − − ⋅ +∑
vv v v v t
g v v v t λ v v{ })Q kmnk k
m kmn km kmnkmn
− − ⋅∑ U t υ
En el
presente trabajo
2
( )P
kmnqk m n q
kmn kmnk k kkmn kmn kmn kmn kmn kmn kmnkmn kmn kmn k k k k k k k k k k k k k
kmn kmn kmn kmn kmn kmn kmn kmn kmn kmn kmn kmn kmn
kmnqkmn k k kk k k kkmn kmn kmn p kmnqkmn kmn kmn kmnq kmnq
pt
p
ε ρε ρ ε ρ ε µ ε
ρε ρ ε≠ ≠ ≠
∂+∇⋅ +∇⋅ + ∇ − ∇
∂
− ⋅− =− + ∆∑
vv v v v v
v v v λg
( ) { }( )QP
kmnq kmnk m n q k m n
k kkmn
kmnq kmnk k kk k k k k k k kkmnq kmn kmnkmnq kmnq kmn km km km kmn kmn km km kmnp p
ε
µε ε ρ µ≠ ≠ ≠ ≠ ≠
∇
− + ∇+ ⋅ + − + − ∇ ⋅∑ ∑v λ v v U I v υ
118
Continuación (Tabla 3.1)
Punto de contacto kmnq Gray y Hassanizadeh
(1998) { }0 ( )kP kmnqk k k k k
kmnq kmn kmn kmn p kmn kmnqkmmq
ε ρ= − − ⋅∑ v v v t λ
En el presente trabajo { }( )0P
kmnqk m n q
kmnqk k k k kkk mn k mn p k mn q k mn k mnk mn q k mn qpρ µε
≠ ≠ ≠
− + − ∇= ⋅∑ v v I v λ
119
3. 5 CONCLUSIONES
Se obtuvo un conjunto de ecuaciones de cantidad de movimiento promediadas en volumen
para flujo multifásico de gas (g) y dos líquidos inmiscibles (l1, l2) dentro de un medio
poroso homogéneo, isotrópico y rígido.
Las ecuaciones de cantidad de movimiento fueron promediadas en volumen para cada una
de las regiones coexistentes dentro del volumen de promediado, es decir, para cada una de
las fases, interfaces, líneas y puntos de contacto, tomando en cuenta la transferencia de
masa y cantidad de movimiento entre las fases 1l g− y 2l g− de acuerdo a la definición del
proceso tipo cascada.
Para la línea de contacto en la ecuación de cantidad de movimiento, se tomaron en cuenta
los términos de acumulación, inerciales, presión, esfuerzos viscosos, fuerzas de gravedad y
transferencia de cantidad de movimiento interfacial. Con lo anterior se obtuvieron términos
que a la fecha no habían sido reportados en la literatura especializada (ver Tabla 3.1).
Las ecuaciones promediadas en cada una de las regiones coexistentes dentro del volumen
de promediado fueron planteadas tomando en cuenta explícitamente la definición de medio
poroso tal como se muestra en las Ecs. (132), (157), (176) y (182).
120
Capítulo 4
ECUACIÓN DE ENERGÍA
4.1 INTRODUCCIÓN
La transferencia de calor y flujo de fluidos con cambio de fase en un medio poroso aparece
en un gran número de situaciones de interés práctico incluyendo procesos de secado
(Daurelle et al., 1988; Levec y Carbonell, 1985 ), sistemas geotérmicos (Woods, 1999),
diseño de intercambiadores de calor (Liter y Kaviany, 2001), análisis de seguridad
industrial (Lipinsky, 1984) y procesos de recuperación de aceite (Chu, 1964; Gottfried,
1965, 1968; Gottfried et al., 1966; Gottfried y Mustafa, 1978).
Por otro lado, la transferencia de calor en un medio poroso, para flujo monofásico y
bifásico, bajo la descripción macroscópica ha sido ampliamente estudiada por Duval et al.
(2004), Vafai y Tien (1981), Moyne (1997), Hsu (1999), Nakayama et al. (2001),
Espinosa-Paredes y Cazarez-Candia (2004), Sha et al. (1984), Nozad et al. (1985a), Levec
y Carbonell (1985), Whitaker (1967, 1986a, 1986c), Anderson y Jackson (1967), Marle
(1967), Slattery (1967), Jiménez-Islas (1999), y Donald et al. (1999), mientras que para
flujo multifásico, se encuentran muy pocos trabajos desarrollados. Por ejemplo el trabajo
presentado por Soria y De lasa (1991), en el cual presentaron balances generales de las
ecuaciones de transporte validos para cada una de las fases, interfases y líneas de contacto
considerando flux difusivo, reacción química y transferencia de masa entre las fases,
interfaces y líneas de contacto. Para el balance general para la línea de contacto,
consideraron que la contribución de términos intrínsecos (de densidad, flux difusivo,
generación, velocidad de flujo de fluido, etc.) fueran irrelevantes por lo que la ecuación de
balance general para la línea de contacto llegó a ser estrictamente su ecuación de salto, tal
121
como lo propusieron Deemer y Slattery (1978). Por lo anterior, el balance en el punto de
contacto no fue tomando en cuenta. Los autores especifican que dichas ecuaciones podían
ser aplicadas para obtener las ecuaciones de transporte de masa, cantidad de movimiento y
energía para el estudio del flujo multifásico.
Otro ejemplo, es el trabajo presentado por Gray y Hassanizadeh (1998), quienes
partiendo de la ecuación de conservación general en su forma integral, desarrollaron de
forma teórica, la ecuación de conservación general macroscópica, para flujo multifásico
(tres fases) en un medio poroso, para las fases, interfases, líneas y puntos de contacto.
Como resultado, se obtuvieron ecuaciones promediadas en volumen para las interfases,
líneas y puntos de contacto con y sin transferencia de masa interfacial. Sin embargo en
estas no se consideró la generación de masa ni flux difusivo.
Otro trabajo es el hecho por Hassanizadeh y Gray (1990), en el cual los autores utilizaron
las ecuaciones promediadas en volumen de masa, cantidad de movimiento y energía para
flujo bifásico (fluido-sólido) en un medio poroso homogéneo en estado transitorio. Las
ecuaciones fueron utilizadas para resolver un caso en particular de presión capilar bajo
condiciones de equilibrio y desequilibrio termodinámico.
De lo comentado anteriormente se detecta que existe muy poca literatura respecto al
estudio de flujo multifásico (tres fases) a través de un medio poroso que tome en cuenta los
balances de energía para cada unas de las regiones existentes dentro del volumen de
promediado, es decir, para las fases, interfases, líneas y punto de contacto.
Por lo anterior, en esta investigación, se presentan las ecuaciones de balance de energía
para cada una de las regiones antes mencionadas para el flujo multifásico de dos líquidos
inmiscibles y un gas (l1, l2, y g) en un medio poroso (s) homogéneo, isotrópico y rigido.
Para ello se toma en cuenta a) propiedades termodinámicas en los balances para la interfase
y línea de contacto y b) el balance en el punto de contacto.
122
Cabe señalar, que para proponer la ecuación de energía se tomarán en cuenta las
consideraciones y suposiciones hechas en la Sección 2.2 (líquidos inmiscibles e
incompresibles, gas compresible, transferencia de masa entre l1 con g y l2 con g, y
generación de calor entre l1 con g).
4.2 ECUACIÓN DE ENERGÍA LOCAL
El presente estudio tiene como punto de partida las ecuaciones locales de energía para las
fases, interfases, líneas y punto de contacto tal como se presentan a continuación.
4. 2. 1 Ecuación para la fase
La ecuación de balance de energía para una fase k compresible se puede presentar en
términos de temperatura (Espinosa-Paredes y cazarez-Candia, 2004; Bird et al., 1998). La
ecuación para una fase k esta definida por:
( ) ( )k kk k k k k k k k k
T pCp T p k Tt t
ρ β∂ ∂⎞ ⎞⎛ ⎛+ ∇ + + ∇ = ∇⋅ ∇ +Φ⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎝⎠ ⎠v v (186)
1 2, ,k l l g=
donde
ln 11 1ln k k
TT Tρ ρβ ρ
⎡ ⎤∂ ∂⎡ ⎤⎞ ⎞⎛ ⎛= + = −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥ ⎢ ⎥∂ ∂⎝ ⎝⎠ ⎠⎣ ⎦⎣ ⎦ (187)
donde ρ es la densidad de masa (por unidad de volumen), Cp es la capacidad calorífica, T
es la temperatura, v es la velocidad, p es la presión, k es la conductividad térmica, Φ es la
fuente térmica homogénea por unidad de volumen y t es la coordenada temporal. El
subíndice k denota “de la fase k”.
123
4. 2. 2 Ecuación para la interfase
La ecuación de balance de energía para una interfase km se puede escribir también en
términos de temperatura tomando en cuenta la compresibilidad del fluido en la interfase.
Cabe señalar que el balance en la interfase ha sido presentado en los trabajos realizados por
Soria y De lasa (1991), Hassanizadeh y Gray (1997) y Gray y Hassanizadeh (1998), sin
embargo, la describen en términos de energía total.
Entonces, la ecuación para la fase k (donde k=l1, l2, g) en la interfase puede ser escrita
como:
( ) ( )
( )) ( )
{ }
2
2
( )( ) ( )( )
k kk k k k k k kkm kmkm km km km k m k m k m k m km km km
k k kk kk m k m km km kmk m k m
k k
k k k k m k k k k k m k k k k k m
N
k mk m
T pCp T H T pt t
H p k T
Cp T T p p k T
ρ β
ρ β
≠
⎞⎛ ⎛∂ ∂+ ∇ − ⋅ + + ∇⎟⎜ ⎜∂ ∂⎝ ⎝⎠
− ⋅ = ∇ ⋅ ∇ +Φ
+ − − + − − − ∇ ⋅∑
v w n v
w n
v w v w n
(188)
1 2 1 2; , , , ,...k m km l l g l g gsl≠ =
donde H es curvatura media, kkp es la presión promedio intrínseco, k mw es la velocidad
de la interfase, nkm es el vector normal unitario dirigido de la fase “k” a la fase m, N
kmk m≠
∑ es la
sumatoria de todas las interfases que involucran la fase k y t es la coordenada temporal. El
subíndice km indica “en la interfase km” y kmβ esta dada por:
ln 11 1ln
k kkm kmk k
km km kmk kkm kmk k
TT Tρ ρβ ρ
⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎞ ⎞⎛ ⎛∂ ∂= + = −⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎟ ⎟⎜ ⎜∂ ∂⎢ ⎥⎝ ⎝⎠ ⎠⎣ ⎦⎣ ⎦
(189)
4. 2. 3 Ecuación para la línea de contacto
Una ecuación general de balance para la fase k (donde k=l1, l2, g) en la línea de contacto
kmn se puede escribir como:
124
( ) ( )
{ }( )( ) ( )( )
k kk k k k k k k k kkmn kmnkmn kmn kmn kmn kmn kmn kmn kmn kmn kmn
km kmk k k k k k k k k kkm km km k mn km km km km k mn km km km km k mn
Q
k mnk m n
T pCp T p k Tt t
Cp T T p p k T
ρ β
ρ β≠ ≠
⎞ ⎞⎛ ⎛∂ ∂+ ∇ + + ∇ = ∇⋅ ∇ +Φ⎟ ⎟⎜ ⎜∂ ∂⎝ ⎝⎠ ⎠
+ − − + − − − ∇ ⋅∑
v v
v U v U υ
1 2 1 1 2 2, , , ,..g gs s gskmn l l l l l l= (190)
donde, kmnυ es el vector normal unitario a la línea de contacto y tangente a la interfase km
apuntando hacia fuera de dicha interfase, k mnU es la velocidad de la línea de
contacto,Q
kmnk m n≠ ≠
∑ es la sumatoria de todas la líneas de contacto. El subíndice kmn indica “en la
línea de contacto kmn” y kmnβ esta dada por:
ln 11 1ln
k kkmn kmnk k
kmn kmn kmnk kkmn kmnk k
TT Tρ ρβ ρ
⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎞ ⎞⎛ ⎛∂ ∂= + = −⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎟ ⎟⎜ ⎜∂ ∂⎢ ⎥⎝ ⎝⎠ ⎠⎣ ⎦⎣ ⎦
(191)
Cabe señalar que una expresión de balance de energía para la línea fue propuesta por
Slattery (1990), Soria y De lasa (1991), Gray y Hassanizadeh (1998), Gray (1999) y
Hassanizadeh y Gray (1997), sin embargo esta fue expresada en términos de energía total.
4. 2. 4 Ecuación para el punto de contacto
A diferencia de los balances de energía en el volumen, interfase y línea de contacto, la
ecuación en el punto de contacto no tiene propiedades termodinámicas debido a que los
puntos de contacto son los lugares geométricos de la convergencia de las líneas de
contacto. Su ecuación puede escribirse como:
{ }0 ( )( ) ( )( )kmn kmk k k k k k k k k k
kmn kmn kmn p kmn kmn kmn kmn p kmn km kmn kmn k mnqCp T T p p k Tρ β= − − + − − − ∇ ⋅v v v v λ
1 2 1 2 2 1 2, , , ,....kmn l l g l l s l gl l gs= (192)
donde pv es la velocidad del punto de contacto, kmnqλ es el vector unitario tangente a la
línea de contacto kmn dirigido hacia el punto de contacto kmnq (k≠m≠n≠q), P
kmn qk m n q≠ ≠ ≠
∑ es la
125
sumatoria de todos los puntos de contacto. El subíndice kmnq indica “en el punto de
contacto kmnq”.
La velocidad de las diferentes líneas en el punto de contacto son iguales por lo que las
ecuaciones, de cada una de las líneas en el punto de contacto, son totalmente equivalentes.
Lo anterior permitiría expresar la ecuación de energía en el punto de contacto tomando en
cuenta solo una línea de contacto.
4.3 ECUACIÓN PROMEDIADA
Siguiendo el mismo procedimiento de promediado las ecuaciones masa y cantidad de
movimiento, se realizará el promediado de las ecuaciones locales de la ecuación de energía
tal como se presenta a continuación.
4. 3. 1 Ecuación promediada en el volumen
En este tema, se obtendrá la ecuación de energía del tipo promedio en volumen. Para ello,
primeramente se aplica el operador promedio en volumen dado por la Ec. (9) a la Ec. (186)
resultando:
( ) ( )k kk k k k k k k k k k
T pCp T p k Tt t
ρ β∂ ⎞ ∂ ⎞⎛ ⎛+ ⋅∇ + + ⋅∇ = ∇ ⋅ ∇ + Φ⎟ ⎟⎜ ⎜∂ ∂⎝ ⎝⎠ ⎠
v v (193)
Aplicando el teorema dado por la Ec. (23) al primer término del lado izquierdo de la Ec.
(193)se obtiene
( )
1Nkk
k km kmkm tk m
Akm
TT T dAt t V
≠
∂∂= − ⋅
∂ ∂ ∑ ∫ w n (194)
Para la Ec. (194) se toma en cuenta la condición de no deslizamiento por lo que
0gs gs⋅ =w n .
126
En este estudio la temperatura representativa es la correspondiente a la temperatura
intrínseca (es la que se mide) por lo cual se utiliza el teorema dado por la Ec. (11) sobre la
Ec. (194)
( )
1g
Ng gkk km km
km tk m
Akm
TT T dAt t V
ε
≠
∂∂= − ⋅
∂ ∂ ∑ ∫ w n (195)
donde el término temporal (lado derecho) de la Ec. (195) se puede expresar como
( )
1k Nkkk k
k k k km kmkm tk m
Akm
TT T T dAt t t V
εε≠
∂∂ ∂= + − ⋅
∂ ∂ ∂ ∑ ∫ w n (196)
Aplicando el mismo procedimiento, al término de presión de la Ec. (193) se tiene:
( )
1k Nkkk k
k k k km kmkm tk m
Akm
pp p p dAt t t V
εε≠
∂∂ ∂= + − ⋅
∂ ∂ ∂ ∑ ∫ w n (197)
El término convectivo de la Ec. (193), se puede expresar como
k k k k k kT T T⋅∇ = ∇ ⋅ − ∇ ⋅v v v (198)
Aplicando el teorema dado por la Ec. (24) al primer término del lado derecho de la Ec.
(198), se obtiene:
( )
1N
k k k k k k kmkm tk m
Akm
T T T dAV
≠
∇ ⋅ = ∇ ⋅ + ⋅∑ ∫v v v n (199)
donde la velocidad de la fase gas en la interfase formada con el sólido es 0g gs⋅ =v n .
Sustituyendo la Ec. (199) en la Ec. (198), se tiene que
( )
1N
k k k k k k km k kkm tk m
Akm
T T T dA TV
≠
⋅∇ = ∇ ⋅ + ⋅ − ∇ ⋅∑ ∫v v v n v (200)
Siguiendo el mismo procedimiento, el término de presión de la Ec. (193) se puede escribir
como
127
( )
1N
g g g g k k km g gkm tk m
Akm
p p p dA pV
≠
⋅∇ = ∇ ⋅ + ⋅ − ∇ ⋅∑ ∫v v v n v (201)
Para el término de conducción, se aplica el teorema dado por la Ec. (25) tal como se
muestra a continuación
( )( )
1N
k k k k k k kmkm tk m
Akm
k T k T k T dAV
≠
∇ ⋅ ∇ = ∇⋅ ∇ + ∇ ⋅∑ ∫ n (202)
Aplicando la definición dada por el teorema (24), al primer término del lado derecho de la
Ec. (202), se tiene:
( )
1N
k k k k k kmkm tk m
Akm
k T k T T dAV
≠
⎡ ⎤⎞⎛⎢ ⎥⎟⎜∇ ⋅ ∇ = ∇ ⋅ ∇ + ⋅⎢ ⎥⎟⎜⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦
∑ ∫ n (203)
Sustituyendo la Ec. (203) en la Ec. (202) se obtiene
( )( ) ( )
1 1N N
k k k k k km k k kmkm kmt tk m k m
A Akm km
k T k T T dA k T dAV V
≠ ≠
⎡ ⎤⎞⎛⎢ ⎥⎟⎜∇ ⋅ ∇ = ∇ ⋅ ∇ + ⋅ + ∇ ⋅⎢ ⎥⎟⎜⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦
∑ ∑∫ ∫n n (204)
Aplicando la definición de fracción volumen a la Ec. (204) resulta
( )( )
( )
1
1
Nk kk k k k k k k k km
km tk m
N
k k kmkm tk m
Akm
Akm
k T k T T T dAV
k T dAV
ε ε≠
≠
⎡ ⎤⎞⎛⎢ ⎥⎟⎜∇ ⋅ ∇ = ∇ ⋅ ∇ + ∇ + ⋅⎢ ⎥⎟⎜⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦
+ ∇ ⋅
∑ ∫
∑ ∫
n
n
(205)
donde
k k kk k k k k kT T Tε ε ε∇ = ∇ + ∇ (206)
Sustituyendo las Ecs. (196), (197), (200), (201) y (206) en la Ec. (193) se obtiene:
128
( ) ( )
( )
( )
( )
( )
1
1
1
k Nk kk kk k k k k k k k km km
km tk m
k Nkk kk k k k k k k k k km km
km tk m
Nk kk k k k k k k k km
km tk m
Akm
Akm
Akm
TCp T T T dA
t t V
pT p p p dA
t t V
p k T T T dAV
ερ ε
εβ ε
ε ε
≠
≠
≠
⎛ ∂ ∂+ +∇ ⋅ + − ⋅⎜⎜ ∂ ∂⎝
⎞ ⎛ ∂ ∂⎟− ∇ ⋅ + + +∇ ⋅ + − ⋅⎜⎜⎟ ∂ ∂⎝⎠⎛⎛⎞ ⎜⎜⎟− ∇ ⋅ = ∇ ⋅ ∇ + ∇ + ⋅⎜⎟ ⎜⎠ ⎝⎝
∑ ∫
∑ ∫
∑ ∫
v v w n
v v v w n
v n
( )
1N kk k
km tk m
k k kmAkm
k T dAV
ε≠
⎡ ⎤⎞⎢ ⎥⎟⎢ ⎥⎟⎜
⎜ ⎟⎢ ⎥⎠⎣ ⎦
+ ∇ ⋅ + Φ∑ ∫ n
(207)
donde
gg g gεΦ = Φ (208)
En la Ec. (207) se puede observar que en los términos de las integrales aparecen
temperaturas locales. La ecuación resultante no puede estar en función de variables locales,
debido a que el objetivo es describir el sistema en términos de variables promedio. Para
intentar atacar este problema se aplica la descomposición de Gray (1975) a la temperatura
y a la velocidad , esto es
kk k kT T T= − (209)
kk k k= −v v v (210)
donde kT y kv representan las desviaciones espaciales alrededor del promedio de la
variable local. Sustituyendo la Ec. (208) en el t término conductivo de la Ec. (207) se
obtiene:
( ) ( ) ( )
1 1 1 kk
t t tk km k km km
A A Akm km km
T dA T dA T dAV V V
⋅ = ⋅ + ⋅∫ ∫ ∫n n n (211)
Si las restricciones de escala longitud dadas por la Ec. (1) se satisfacen, entonces el
promedio de la temperatura es constante respecto a la integral
129
( )( ) ( )
11 1 kk
tt t
kmk km k kmAA A kmkm km
dAT dA T dA T VV V
⎞⎛⋅ = ⋅ + ⎟⎜⎜ ⎟
⎝ ⎠∫∫ ∫ nn n (212)
En forma similar para el término de flux de calor de la Ec. (207) se tiene que
( )( ) ( )
11 1 kk
tt t
kmk k km k k km kAA A kmkm km
dAk T dA k T dA k T VV V
⎞⎛∇ ⋅ = ∇ ⋅ + ∇ ⎟⎜⎜ ⎟
⎝ ⎠∫∫ ∫ nn n (213)
Sustituyendo las Ecs. (212) y (213) en la Ec. (207) resulta
( ) ( )
( )
( )
( )
( )
1
1
11
k Nk kk kk k k k k k k k km km
km tk m
k Nkk kk k k k k k k k k km km
km tk m
Nk k kk k k k kk k k
km tk m
Akm
Akm
k kmAkm
TCp T T T dA
t t V
pT p p p dA
t t V
T T T dA Tp k VV
ερ ε
εβ ε
ε ε
≠
≠
≠
⎛ ∂ ∂+ +∇ ⋅ + − ⋅⎜⎜ ∂ ∂⎝
⎞ ⎛ ∂ ∂⎟− ∇ ⋅ + + +∇ ⋅ + − ⋅⎜⎜⎟ ∂ ∂⎝⎠
⎞∇ + ∇ + ⋅ +⎟− ∇ ⋅ = ∇ ⋅
⎟⎠
∑ ∫
∑ ∫
∑ ∫
v v w n
v v v w n
nnv( )
( )( )
11
N
tkmk m
N Nk kk k k
tkm kmtk m k m
kmAkm
kmk k km kAA kmkm
dA
dAk T dA k T VVε
≠
≠ ≠
⎡ ⎤⎞⎛ ⎞⎛⎢ ⎥⎟⎜ ⎟⎜⎜ ⎟⎢ ⎥⎟⎜ ⎝ ⎠⎝ ⎠⎣ ⎦
⎞⎛+ ∇ ⋅ + ∇ + Φ⎟⎜⎜ ⎟
⎝ ⎠
∫∑
∫∑ ∑∫ nn
(214)
donde
( )
1N
ktkm
k m
kmAkm
dAV ε
≠
⎞⎛= −∇⎟⎜⎜ ⎟
⎝ ⎠∫∑ n (215)
Aplicando la Ec. (54) al término convectivo [tercer término lado izquierdo de la Ec. (214)]
para intercambiar el promedio del producto de dos cantidades al producto de estas
cantidades promediadas, se tiene que
k kk k k k k k kT T Tε∇ ⋅ = ∇ ⋅ +∇ ⋅v v v (216)
Para obtener este resultado se usaron las restricciones de escala de longitud establecidas
por la Ec. (1) y debido a esto, los términos gv y gT son nulos. De la misma forma se
puede obtener el quinto término del lado izquierdo de la Ec. (214)
130
k kk k k k k k kT T Tε∇ ⋅ = ∇ ⋅ + ∇ ⋅v v v (217)
Aplicando el teorema espacial al primer término de la Ec. (217) se obtiene:
( )
1Nk kk k k k k k k k
km tk m
kmAkm
T T dA TV
ε≠
⎞⎛⎟⎜∇ ⋅ = ∇ ⋅ + ⋅ + ∇ ⋅⎟⎜⎜ ⎟
⎝ ⎠∑ ∫v v v n v (218)
donde
1
( )
1Nk kk k k k k
km tk m
kmAkm
dAV
ε ε−
≠
⎞⎛⎟⎜∇ ⋅ = ∇ ⋅ + ⋅ ⎟⎜⎜ ⎟
⎝ ⎠∑ ∫v v v n (219)
Siguiendo el mismo procedimiento, pero ahora para los términos donde aparece la presión
en la Ec. (214):
k kk k k k k k kp p pε∇ ⋅ = ∇ ⋅ + ∇ ⋅v v v (220)
( )
1Nk kk k k k k k km k k
km tk m
Akm
p p dA pV
ε≠
⎞⎛⎟⎜∇ ⋅ = ∇ ⋅ + ⋅ + ∇ ⋅⎟⎜⎜ ⎟
⎝ ⎠∑ ∫v v v n v (221)
Aplicando la Ec. (20) y sustituyendo las Ecs. (216), (218), (220) y (221) en la Ec. (214), se
obtiene la ecuación de transporte de energía promediada en volumen.
( )( )
( )( )
( )
( )
1
1
k kk k k k k kk k
k k k k k k k k k k k k k k
k kk k k k k k k k k k k k k k
Nk kk k k km k k km
km tkmk m
kk k km k k km
km tkmk
A
A
T pCp Cp T p
t tCp T Cp T p p
Cp T T dAV
p p dAV
ρ ε ρ ε β ε β ε
ρ ρ β β
ρ
β
≠
≠
⎞⎛ ∂ ∂+ ⋅∇ + + ⋅∇⎟⎜⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠
+ ∇ ⋅ − ∇ ⋅ + ∇ ⋅ − ∇ ⋅⎞⎛⎟⎜+ − − ⋅ ⎟⎜⎜ ⎟
⎝ ⎠
+ − − ⋅
∑ ∫
∫
v v
v v v v
v w n
v w n
( )( )
( )
1
1
N
m
Nkk k k k k km
km tkmk mN g
k k km g gkm tkmk m
A
A
k T k T dAV
k T dAV
ε
ε
≠
≠
⎞⎛⎟⎜⎟⎜⎜ ⎟
⎝ ⎠⎡ ⎤⎞⎛⎢ ⎥⎟⎜= ∇ ⋅ ∇ +∇ ⋅ ⋅⎢ ⎥⎟⎜⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦
+ ∇ ⋅ + Φ
∑
∑ ∫
∑ ∫
n
n
(222)
131
Expresiones similares han sido presentadas por (Duval et al., 2004; Espinosa-Paredes y
Cazarez-Candia et al., 2004).
Con la finalidad de expresar la Ec. (222) explícitamente para un medio poroso homogéneo
isotrópico y rígido, se considera que k ksε φ= , donde kk
m
VsV= , mV
Vφ = y
1 2m l l gV V V V= + +
por lo que la Ec. (222) se puede escribir de la siguiente manera:
Convectivos CompresiónAcumulación
Dispersi
k kk k k k k kk k
k k k k k k k k k k k k k k
k kk k k k k k k k k k k k k k
T pCp s Cp s T s s p
t t
Cp T Cp T p p
ρ φ ρ φ β φ β φ
ρ ρ β β
⎞⎛ ∂ ∂+ ⋅∇ + + ⋅∇⎟⎜⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠
+ ∇ ⋅ − ∇ ⋅ + ∇ ⋅ − ∇ ⋅
v v
v v v v
( )( )
( )( )
( )
( )
ón
Cambio de fase en la interface
Compresión int
1
1
Nk kk k k km k k km
km tkmk m
N kk k km k k km
km tkmk m
A
A
Cp T T dAV
p p dAV
ρ
β
≠
≠
⎞⎛⎟⎜+ − − ⋅ ⎟⎜⎜ ⎟
⎝ ⎠
⎞⎛⎟⎜+ − − ⋅ ⎟⎜⎜ ⎟
⎝ ⎠
∑ ∫
∑ ∫
v w n
v w n
( )( )
( )
erfacial
Conducción
Generación de
Flux interfacial
1
1
Nkk k k k k km
km tkmk m
N gk k km k g
km tkmk m
A
A
k s T k T dAV
k T dA sV
φ
φ
≠
≠
⎡ ⎤⎞⎛⎢ ⎥⎟⎜= ∇ ⋅ ∇ +∇ ⋅ ⋅⎢ ⎥⎟⎜⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦
+ ∇ ⋅ + Φ
∑ ∫
∑ ∫
n
ncalor
(223)
Dado que la fase k=l1, l2, g la forma extendida de la Ec. (223) para cada una de estas fases
al tomar en cuenta las consideraciones hechas en la sección 2.2 (líquidos inmiscibles e
incompresibles, gas compresible, transferencia de masa entre l1 con g l2 con g, y
generación de calor entre l1 con g) son:
Para g:
g gg g g g g gg g
g g g g g g g g g g g g g g
T pCp s Cp s T s s p
t tρ φ ρ φ β φ β φ
⎞⎛ ∂ ∂⎟⎜ + ⋅∇ + + ⋅∇⎟⎜ ∂ ∂
⎝ ⎠v v
132
( )( ) ( )( )( )( ) ( )( )
1 1 2 2
1 2
1 1 1 2
1 2
( ) ( )
( ) ( )
1 1
1 1
g gg g g g g g g g g g g g g g
g g gg g g gl g g gl g gl g g gl
t tg l g l
g gg gl g g gl g gl g g glg
t tg l g l
A A
A A
Cp T Cp T p p
Cp T T dA T T dAV V
p p dA p p dAV V
ρ ρ β β
ρ
β
+ ∇ ⋅ − ∇ ⋅ + ∇ ⋅ − ∇ ⋅⎞⎛⎟⎜+ − − ⋅ + − − ⋅⎟⎜
⎝ ⎠⎞⎛
− − ⋅ + − − ⋅+ ⎟⎜⎜ ⎟⎝ ⎠
∫ ∫
∫ ∫
v v v v
v w n v w n
v w n v w n
( )( ) ( )
1 2
1 2
1 2
1 2
( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
1
1 1 1
1 1 1
g gg g gs g g gs g g g
tgs
g g gl g gl g gst t tg sg l g l
g g gl g g gl g g gst t tg sg l g l
A
A A A
A A A
p p dA s k TV
k T dA T dA T dAV V V
k T dA k T dA k TV V V
β φ⎞⎛⎟⎜+ + − − ⋅ = ∇ ⋅ ∇
⎜ ⎟⎝ ⎠⎡ ⎤⎞⎛⎢ ⎥⎟⎜+∇ ⋅ ⋅ + ⋅ + ⋅⎢ ⎥⎟⎜
⎝ ⎠⎣ ⎦
+ ∇ ⋅ + ∇ ⋅ + ∇ ⋅
∫
∫ ∫ ∫
∫ ∫ ∫
v w n
n n n
n n ng
g gdA s φ+ Φ
(224)
Para l1:
( )( ) ( )
11 1 1 1 1 11
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 11 1 1
1 1 1
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2
1 1 2( ) ( )
l
1 1
l l l l l ll l l l l l l l l l l l l
l l ll l l l g l l l g l l l l l l l
t tl g l l
ll l l
A A
TCp s Cp s T Cp T Cp T
t
Cp T T dA s k T k T dAV V
ρ φ ρ φ ρ ρ
ρ φ
⎞⎛ ∂ ⎟⎜ + ⋅∇ + ∇ ⋅ − ∇ ⋅⎟⎜ ∂⎜ ⎟⎝ ⎠
⎡⎞⎛ ⎛⎟⎜ ⎜+ − − ⋅ = ∇ ⋅ ∇ +∇⋅ ⋅⎟⎜ ⎜
⎝ ⎝⎠ ⎣∫ ∫
v v v
v w n n
1 1 1 1 1 1 1 2 1 1 1
1 1 1 2 1
1
1 1 1 1 1
1
( ) ( ) ( ) ( )
( )
1 1 1 1
1
l l g l l s l l l l l l l gt t t tl g l s l l l g
ll l l s l l
tl s
A A A A
A
T dA T dA k T dA k T dAV V V V
k T dA sV
φ
⎢⎢
⎤⎞⎥⎟+ ⋅ + ⋅ + ∇ ⋅ + ∇ ⋅⎥⎟⎠⎦
+ ∇ ⋅ + Φ
∫ ∫ ∫ ∫
∫
n n n n
n
(225)
Para l2:
( )( ) ( )
22 2 2 2 2 22
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 22 2 2
2 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1
2 2 1( ) ( )
l
1 1
l l l l l ll l l l l l l l l l l l l
l l ll l l l g l l l g l l l l l l l
t tl g l l
ll l l
A A
TCp s Cp s T Cp T Cp T
t
Cp T T dA s k T k T dAV V
ρ φ ρ φ ρ ρ
ρ φ
⎞⎛ ∂ ⎟⎜ + ⋅∇ + ∇ ⋅ − ∇ ⋅⎟⎜ ∂⎜ ⎟⎝ ⎠
⎡⎞⎛ ⎛⎟⎜ ⎜+ − − ⋅ = ∇ ⋅ ∇ +∇ ⋅ ⋅⎟⎜ ⎜
⎝ ⎝⎠ ⎣∫ ∫
v v v
v w n n
2 2 2 2 2 2 2 1 2 2 2
2 2 2 1 2
2 2 2
2
( ) ( ) ( ) ( )
( )
1 1 1 1
1
l l g l l s l l l l l l l gt t t tl g l s l l l g
l l l stl s
A A A A
A
T dA T dA k T dA k T dAV V V V
k T dAV
⎢⎢
⎤⎞⎥⎟+ ⋅ + ⋅ + ∇ ⋅ + ∇ ⋅⎥⎟⎠⎦
+ ∇ ⋅
∫ ∫ ∫ ∫
∫
n n n n
n
(226)
133
Para s:
( ) 1 2
1 2
1 2
1 2
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
1 1 1(1 ) (1 )
1 1 1
s ss s s s sl s sl s s g
t t ts gs l s l
s s sl s s sl s s sgt t ts gsl s l
ss
s sA A A
A A A
TCp k T k T dA T dA T dA
t V V V
k T dA k T dA k T dAV V V
ρ φ φ⎡ ⎤⎞⎛⎞⎛ ∂ ⎢ ⎥⎟⎜⎟⎜ − = − ∇ ⋅ ∇ +∇⋅ ⋅ + ⋅ + ⋅⎢ ⎥⎟⎜⎜ ⎟∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦
+ ∇ ⋅ + ∇ ⋅ + ∇ ⋅
∫ ∫ ∫
∫ ∫ ∫
n n n
n n n
(227)
4. 3. 2 Ecuación promediada en el área interfacial
A diferencia de la ecuación de energía, para la interfase, presentada por Soria y De lasa
(1991) y Gray y Hassanizadeh (1998) en el presente trabajo doctoral se propone ésta en
términos de temperatura y se considera la compresibilidad de la fase k .Esto es
( ) ( )
( ) ( )
{ }
2
2
( )( ) ( )( )
k kk k k k k k kkm kmkm km km km k m k m k m k m km km km
k k k kk m k m k m k m km km km
N k k
k k k k m k k k k k m k k k k k mk mk m
T pCp T H T pt t
H p k T
Cp T T p p k T
ρ β
ρ β
≠
⎞⎛ ⎛∂ ∂+ ⋅∇ − ⋅ + + ⋅∇⎟⎜ ⎜∂ ∂⎝ ⎝⎠
⎞− ⋅ = ∇ ⋅ ∇ +Φ⎟
⎠
+ − − + − − − ∇ ⋅∑
v w n v
w n
v w v w n
(228)
donde 1 2, , ,k l l g s= , 1 2, , ,m l l g s= ( )k m≠ , H es la curvatura media, gmn es el vector
normal unitario dirigido de la fase k a la fase m y t es la coordenada temporal. El
superíndice k indica “de la fase k” y el subíndice km indica “en la interfase km”.
Aplicando la definición del operador promedio interfacial (Ec. 28) a la Ec. (228) se obtiene
( ) ( )
( ) ( )
{ }
2
2
( )( ) ( )( )
k kk k kk k k kkm kmkm km kmk m k m k m k mkm km km km
k kk kkm kmk m k m k m k m km
N k k
k k k k m k k k k k m k k k k k mk mk m
T pCp H TT pt t
k TH p
Cp T T p p k T
ρ β
ρ β≠
⎞⎛ ⎛∂ ∂+ − + +⋅⋅∇ ⋅∇⎟⎜ ⎜∂ ∂⎝ ⎝⎠⎞
− = ∇ ⋅ ∇ +⋅ Φ⎟⎠
+ − − + − − − ∇ ⋅∑
w nv v
w n
v w v w n
(229)
Aplicando los teoremas de promediado en superficie dados por las Ecs. (32) y (33) a los
términos temporales e inerciales de la Ec. (229) se tiene que:
134
( )( )
12 ( )Q
kmnk m n
kkkm k k k kkm
km km km km km km km km km kmn kmnL tkmn
TTT w H T T dL
t t V≠ ≠
∂∂= +∇ ⋅ ⋅ − ⋅ − − ⋅
∂ ∂ ∑ ∫n w n v U υ
(230)
Usando la definición dada por la Ec. (30) en la Ec. (230), queda de la siguiente manera:
( )1
( )
2
1Q
kmn kmnkmn
k m n
kmg k kkmgl kmk k k kkmkm km km km km km km km km
kkm
L tkmn
T TT T w H T
t t t
T dLV
εε
≠ ≠
∂ ∂ ∂= + +∇ ⋅ − ⋅
∂ ∂ ∂
− ⋅∑ ∫
n w n
U υ
(231)
Aplicando el mismo procedimiento, el término temporal de presión queda como
( )
( )
2
1Q
kmnk m n
kmkk kkmkmk k k kkm kmkm km km km km km km km km
kkm kmn kmn
L tkmn
ppp p w H p
t t t
p dLV
εε
≠ ≠
∂∂ ∂= + +∇ ⋅ − ⋅
∂ ∂ ∂
− ⋅∑ ∫
n w n
U υ
(232)
El término convectivo se puede expresar como
k k k k k kkm km km km km kmT T T⋅∇ = ∇ ⋅ − ∇ ⋅v v v (233)
Aplicando el teorema dado por la Ec. (24) al primer término del lado derecho de la Ec.
(233), se tiene:
( )
1Q
kmnk m n
k k k k k kkm km km km km km kmn
L tkmn
T T T dLV
≠ ≠
∇ ⋅ = ∇ ⋅ + ⋅∑ ∫v v v υ (234)
Sustituyendo la Ec. (234) en la Ec. (233) se obtiene:
( )
1Q
kmnk m n
k k k k k k k kkm km km km km km kmn km km
L tkmn
T T T dL TV
≠ ≠
⋅∇ = ∇⋅ + ⋅ − ∇ ⋅∑ ∫v v v υ v (235)
Siguiendo el mismo procedimiento el término de presión se puede escribir como:
( )
1Q
kmnk m n
k k k k k k k kkm km km km km km kmn km km
L tkmn
p p p dL pV
≠ ≠
⋅∇ = ∇⋅ + ⋅ − ∇ ⋅∑ ∫v v v υ v (236)
135
Para el término conductivo de la Ec. (229), con la finalidad de intercambiar el operador
integral por el diferencial, se le aplica el teorema dado por la Ec. (33) resultando
( )( ) ( )
1 1Q Q
km km km km km kmn km km kmnkmn kmnt tk m n k m n
k k k k k k k
L Lkmn kmn
k T k T T dL k T dLV V
≠ ≠ ≠ ≠
⎡ ⎤⎞⎛⎢ ⎥⎟⎜∇ ⋅ ∇ = ∇ ⋅ ∇ + ⋅ + ∇ ⋅⎢ ⎥⎟⎜⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦
∑ ∑∫ ∫υ υ
(237)
Aplicando la relación dada por la Ec. (30) a la Ec. (237) se obtiene
( )( )
( )
1
1
Qkm km
km km km km km km km km kmnkmn tk m n
Q
km km kmnkmn tk m n
k k k k k k k k
Lkmn
k k
Lkmn
k T k T T T dLV
k T dLV
ε ε≠ ≠
≠ ≠
⎡ ⎤⎞⎛⎢ ⎥⎟⎜∇ ⋅ ∇ = ∇ ⋅ ∇ + ∇ + ⋅⎢ ⎥⎟⎜⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦
+ ∇ ⋅
∑ ∫
∑ ∫
υ
υ
(238)
Para el término de generación de calor se aplica el teorema dado por la Ec. (30), entonces
kmk k kkm km kmεΦ = Φ (239)
De forma similar para el término de transferencia de energía por cambio de fase, presión y
conducción se tiene que
{ }
{ }
{ }
( )( ) ( )( )
( )( ) ( )( )
1 ( )( ) ( )( )
N k k
k k k k m k k k k k m k k k k k m
N k k
k k k k m k k k k k m k k k k k m
N k k
k k k k m k k k k k m k k k k k mAkm
k mk m
kmkkm
k mk m
k mk m
Cp T T p p k T
Cp T T p p k T
Cp T T p p k T dAV
ρ β
ε ρ β
ρ β
≠
≠
≠
− − + − − − ∇ ⋅
= − − + − − − ∇ ⋅
= − − + − − − ∇ ⋅
∑
∑
∑ ∫
v w v w n
v w v w n
v w v w n
(240)
Sustituyendo las Ecs. (231), (232), (235), (236), (238)-(240) en la Ec. (229), se obtiene:
136
( )( )
1
1
kmk kkm kmkmk k k k k k k k kkmkm km km km km km km km km km km
kmk kQ kmkmk k k k kmkm km km km km
kmnk m n
k k k k k kkm km km km km km km
kmn kmnL tkmn
km
TCp T T w T T
t t
pT dL p
V t t
p w p p pV
ερ ε
εβ ε≠ ≠
⎛ ∂ ∂⎜ + +∇ ⋅ +∇ ⋅ − ∇ ⋅⎜ ∂ ∂⎝
⎞ ⎛ ∂ ∂⎟ ⎜+ − ⋅ + +⎟ ⎜ ∂ ∂⎟ ⎝⎠
+∇ ⋅ +∇ ⋅ − ∇ ⋅ +
∑ ∫
n v v
v U υ
n v v ( )
( )
( )
( )
1
1
( )( ) (
Qkkm
kmnk m n
Qkm km
km km km km km km kmnkmn tk m n
Q kmk kkm km kmn km km
kmn tk m n
k
k k k k m k k k k
kmn kmnL tkmn
k k k k k k
Lkmn
k k
Lkmn
kkm
dL
k T T T dLV
k T dLV
Cp T T
ε ε
ε
ε ρ β
≠ ≠
≠ ≠
≠ ≠
⎞⎟− ⋅ ⎟⎟⎠
⎡ ⎤⎞⎛⎢ ⎥⎟⎜= ∇ ⋅ ∇ + ∇ + ⋅⎢ ⎥⎟⎜⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦
+ ∇ ⋅ + Φ
− − +
∑ ∫
∑ ∫
∑ ∫
v U υ
υ
υ
v w v{ })( )N k
k m k k k k k m
km
k mk m
p p k T≠
− − − ∇ ⋅∑ w n (241)
La Ec. (241) toma en cuenta que el sólido es rígido, fijo e impermeable, por lo que las
interacciones interfaciales con el sólido se despecian.
En el resultado dado por la Ec. (241), se observan términos integrales con temperaturas
locales (término de conducción). Dicha ecuación no debe estar en términos de variables
locales, debido a que el objetivo es describir el sistema en términos de variables promedio,
entonces se usa la definición propuesta por Gray (1975). Las integrales de los términos
conductivos de la Ec. (241) se modifican quedando como
( ) ( ) ( )
1 1 1 kmk k kkm km kmkmn kmn kmn
L t L t L tkmn kmn kmn
T dL T dL T dLV V V
⋅ = ⋅ + ⋅∫ ∫ ∫υ υ υ (242)
Si las condiciones de escala de longitud dada por la Ec. (1) se satisfacen, entonces el
promedio de la temperatura es constante con respecto a la integral; con lo cual
( )( ) ( )
11 1 kmk k kkm km km kmnkmn kmn
L tL t L t kmnkmn kmn
dLT dL T dL T VV V
⎞⎛⎟⋅ = ⋅ + ⎜
⎜ ⎟⎝ ⎠
∫∫ ∫ υυ υ (243)
137
Similarmente para los términos de flux interfacial, por lo que al sustituir la Ec. (243) en la
Ec. (241) se tiene que
( )( )
1
1
kmk kkm kmkmk k k k k k k k kkmkm km km km km km km km km km km
kmk kQ kmkmk k k k kkmkm km km km km km km
kmnk m n
k k k k kkm km km km km
kmn kmn kmL tkmn
TCp T T w T T
t t
pT dL p p w
V t t
p p pV
ερ ε
εβ ε≠ ≠
⎛ ∂ ∂⎜ + +∇⋅ +∇ ⋅ − ∇ ⋅⎜ ∂ ∂⎝
⎞ ⎛ ∂ ∂⎟ ⎜+ − ⋅ + + +∇⋅⎟ ⎜ ∂ ∂⎟ ⎝⎠
+∇ ⋅ − ∇ ⋅ +
∑ ∫
n v v
v U υ n
v v ( )
( )
( )
( )( )
11
1
Qkkm
kmnk m n
Q Qkmk kkm km km km km km km
kmn kmnk m n k m n
Q
km km kmn kkmn tk m n
kmn kmnL tkmn
k k k k k kmnkmnL tL t kmnkmn
k k
Lkmn
dL
dLk T T T dL T VV
k T dL kV
ε ε
≠ ≠
≠ ≠ ≠ ≠
≠ ≠
⎞⎟− ⋅ ⎟⎟⎠
⎡ ⎤⎞⎛ ⎞⎛⎢ ⎥⎟⎜ ⎟= ∇ ⋅ ∇ + ∇ + ⋅ + ⎜⎢ ⎥⎟⎜ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦
+ ∇ ⋅ +
∑ ∫
∫∑ ∑∫
∑ ∫
v U υ
υυ
υ
{ }
( )
1
( )( ) ( )( )
Qkm kmk k km km km km
kmnk m n
N k k
k k k k m k k k k k m k k k k k m
k kmnL tkmn
kmkkm
k mk m
dLT V
Cp T T p p k T
ε
ε ρ β
≠ ≠
≠
⎞⎛⎟∇ ⎜ + Φ
⎜ ⎟⎝ ⎠
− − + − − − ∇ ⋅
∫∑
∑
υ
v w v w n
(244)
Extendiendo la definición dada por la Ec. (26) y (27) para el caso del balance interfacial se
tiene que
( )
1
kmn
Qkkm kmn
kmn tLdL
Vε∇ = −∑ ∫ υ (245)
( )
1
kmn
k Qkm
kmn kmnkmn tL
dLt Vε∂
= ⋅∂ ∑ ∫ U υ (246)
Por lo que al tomar en cuenta la definición de la Ec. (245) en la Ec. (244), se simplifica
quedando:
138
( )( )
1
1
kmk kkm kmkmk k k k k k k k kkmkm km km km km km km km km km km
kmk kQ kmkmk k k k kkmkm km km km km km km
kmnk m n
k k k k kkm km km km km
kmn kmn kmL tkmn
TCp T T w T T
t t
pT dL p p w
V t t
p p pV
ερ ε
εβ ε≠ ≠
⎛ ∂ ∂⎜ + +∇⋅ +∇ ⋅ − ∇ ⋅⎜ ∂ ∂⎝
⎞ ⎛ ∂ ∂⎟ ⎜+ − ⋅ + + +∇⋅⎟ ⎜ ∂ ∂⎟ ⎝⎠
+∇ ⋅ − ∇ ⋅ +
∑ ∫
n v v
v U υ n
v v ( )
( )
( )
( )
1 1
( )( ) ( )(
Qkkm
kmnk m n
Q Q kmk k kkm km km km km km kmn km km
kmn kmn tk m n k m n
k
k k k k m k k k k k m k k
kmn kmnL tkmn
k k k k kkmn
LL t kmnkmn
kkm
dL
k T T dL k T dLV V
Cp T T p p
ε ε
ε ρ β
≠ ≠
≠ ≠ ≠ ≠
⎞⎟− ⋅ ⎟⎟⎠
⎡ ⎤⎞⎛⎢ ⎥⎟⎜= ∇ ⋅ ∇ + ⋅ + ∇ ⋅ + Φ⎢ ⎥⎟⎜⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦
+ − − + − −
∑ ∫
∑ ∑∫ ∫
v U υ
υ υ
v w v w{ })N k
k k k m
km
k mk m
k T≠
− ∇ ⋅∑ n
(247)
Para el planteamiento propuesto, es más conveniente tener producto entre promedios de las
variables que el promedio de productos entre variables locales [segundo y tercer término
del lado izquierdo de la Ec. (247)]. Lo anterior se logra introduciendo las desviaciones
espaciales de las variables locales, entonces:
km
km kmk k k kkm km km km km km km km kmT w T w T wε∇ ⋅ = ∇ ⋅ +∇ ⋅n n n (248)
km kmk k k k k k kkm km km km km km kmT T Tε∇ ⋅ = ∇ ⋅ +∇ ⋅v v v (249)
Lo mismo se puede hacer con el cuarto término, del lado izquierdo de la Ec. (247)
km kmk k k k k k kkm km km km km km kmT T Tε∇ ⋅ = ∇ ⋅ + ∇ ⋅v v v (250)
Aplicando el teorema espacial al primer término de la Ec. (250) se tiene que
( )
1Qkm km
kmnk m n
k k k k k k k kkm km km km km km kmn km km
L tkmn
T T dL TV
ε≠ ≠
⎞⎛⎟⎜∇ ⋅ = ∇ ⋅ + ⋅ + ∇ ⋅⎟⎜⎜ ⎟
⎝ ⎠∑ ∫v v v υ v (251)
139
Siguiendo el mismo procedimiento, para los términos donde aparece la presión [séptimo al
noveno término lado izquierdo de la Ec. (247)] se tiene que
km kmk k k kkm km km km km km km km km kmp w p w p wε∇ ⋅ = ∇ ⋅ +∇ ⋅n n n (252)
km kmk k k k k k kkm km km km km km kmp p pε∇ ⋅ = ∇ ⋅ +∇ ⋅v v v (253)
( )
1Q
kmnk m n
km kmk k k k k k k kkm km km km km km kmn km km
L tkmn
p p dL pV
ε≠ ≠
⎞⎛⎟⎜∇ ⋅ = ∇ ⋅ + ⋅ + ∇ ⋅⎟⎜⎜ ⎟
⎝ ⎠∑ ∫v v v υ v (254)
Sustituyendo las Ecs. (246), (248), (249), (251)-(254) en la Ec. (247) se tiene la ecuación
de la fase k en la interfase.
( )
( ) ( )( ) ( )
kmkkm km kmk k k k k kkmkkm km km km km kmkmkm
kmkkm kmkmkkm kmkm
kmkm km k k kkm km km km km
km kmk kkm km km
km kmk k k k kkm km km km km km km
kk k kkm km kmkm km km
TCp Cp CpT wt
pT p wt
Cp T w Cpp
ρ ρ ρεε
β βε εε
β ρ ρε
⎞⎛ ∂ + +⎟ ∇ ⋅⎜⎜ ⎟∂⎝ ⎠
⎞⎛ ∂+ +∇⋅ ⎟ ∇ ⋅⎜⎜ ⎟∂⎝ ⎠
+ + ∇ ⋅ +∇ ⋅
n
v n
nv
( ) ( ) ( )
( ) ( )( )
( )( )( )
( )
1
1
kmk
kmk kkm km km km
Q kmk k kkmk k km km kmkm km kmkmn
k m n
kmk k kkm km kmkm kmn
k k k k k k kkm km km km km km km km km
k k kmn kmnkm kmL tkmn
kmn kmnL tkmn
T Cp T p w p
T T dLp Cp V
p p dLV
ρ β β
β ρ
β
≠ ≠
∇ ⋅ − ∇ ⋅ + ∇ ⋅ + ∇ ⋅
⎞⎛− − ⋅ ⎟⎜− ∇ ⋅ +
⎜ ⎟⎝ ⎠
− − ⋅+
∑ ∫
∫
v v n v
v U υv
v U υ
{ }( )( )
1 1
( )( ) ( )( )
Q
k m n
Q Q kmk k kkm km km km km km kmn km km
kmn kmn tk m n k m n
N k k
k k k k m k k k k k m k k k k k m
k k k k kkmn
LL t kmnkmn
kmkkm
k mk m
k T T dL k T dLV V
Cp T T p p k T
ε ε
ε ρ β
≠ ≠
≠ ≠ ≠ ≠
≠
⎞⎛⎟⎜
⎜ ⎟⎝ ⎠⎡ ⎤⎞⎛⎢ ⎥⎟⎜= ∇ ⋅ ∇ + ⋅ + ∇ ⋅ + Φ⎢ ⎥⎟⎜⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦
− − + − − − ∇ ⋅
∑
∑ ∑∫ ∫
∑
υ υ
v w v w n
(255)
Para la Ec (255) se considera que k kkm kmsε φ= , donde k km
kmm
AsV
= , y mVV
φ = por lo tanto
140
( )
( )Convectivos
Acumulación
Convectivos
kmkkm kmk k k k kkmkkm km km km km kmkm
kmkkm km kmk k k kmkkm km kmkm km
km kmkkm km
k kkm km
TCp Cp s T wst
pCp s T st
ρ ρ φφ
ρ βφ φ
⎞⎛ ∂ +⎟ ∇ ⋅⎜⎜ ⎟∂⎝ ⎠
⎛ ∂+ +∇⋅ ⎜∂⎝
n
v ( )
( ) ( ) ( )Compresión
DispersiónCompresión
kkm km
km kmkm km k k k kkkm km km km kmkm
km kmkkm km km
k k kk kkm km km km kmkm km
s p w
Cp T w Cp Ts p
C
β φ
β ρ ρφ
⎞+⎟ ∇ ⋅⎜ ⎟
⎠
+ + ∇ ⋅ + ∇ ⋅∇ ⋅
−
n
n vv
( ) ( ) ( )
( )( )Dispersión
( )
Transferenci
1
kmk kkm km km km km
Q kmk k kkmk k km km kmkm km kmnk m n
k k k k k k kkm km km km km km km km km
kmn kmnL tkmn
p T p w p p
T T dLCp V
ρ β β β
ρ≠ ≠
∇ ⋅ + ∇ ⋅ + ∇ ⋅ − ∇ ⋅
⎞⎛− − ⋅ ⎟⎜+
⎜ ⎟⎝ ⎠∑ ∫
v n v v
v U υ
( )( )a de energía por cambio de fase en la línea de contacto
( )
Compresión en la línea de contacto
1Q kmk k kkm km kmkm kmn
k m n
kmn kmnL tkmn
p p dLVβ
≠ ≠
⎞⎛− − ⋅ ⎟⎜+
⎜ ⎟⎝ ⎠∑ ∫ v U υ
( )( ) Gene
Flux en la línea de contactoConducción
1 1Q Q kmk k k kkm km km km km km kmn km km
kmn kmn tk m n k m n
k k k kkmn
LL t kmnkmn
k s T T dL k T dL sV V
φ φ≠ ≠ ≠ ≠
⎡ ⎤⎞⎛⎢ ⎥⎟⎜= ∇ ⋅ ∇ + ⋅ + ∇ ⋅ + Φ⎢ ⎥⎟⎜⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦
∑ ∑∫ ∫υ υ
{ }
ración de calor
( )
Transferencia de energía por cambio de fase, presión y conducción en la interfase
1 ( )( ) ( )( )N k k
k k k k m k k k k k m k k k k k mk m A tk m km
Cp T T p p k T dAV
ρ β≠
+ − − + − − − ∇ ⋅∑ ∫ v w v w n
(256)
Dado que la fase k=l1, l2, g, la forma extendida de la Ec. (256) para cada una de estas fases
al tomar en cuenta las consideraciones hechas en la sección 2.2 (líquidos inmiscibles e
incompresibles, gas compresible, transferencia de masa entre l1 con g l2 con g, y
generación de calor entre l1 con g) son:
Para g:
( )
1 2
1 21 2
1 1 1 2 2 2
11 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1 1 1 1 11
gl gl gsg g ggl gl gsgl gl gsg g g g g g g g g
gl gl gl gl gl gl gs gs gs
glgl gl gl gl glg g g g g g g g ggl gl gl gl gl gl gl gl gl glg l
T T TCp s Cp s Cp s
t t t
Cp s T w Cp s T
ρ φ ρ φ ρ φ
ρ φ ρ φ
⎞ ⎞⎛ ⎛ ⎞⎛∂ ∂ ∂⎟ ⎟⎜ ⎜ ⎟⎜+ +⎟ ⎟⎜ ⎜ ⎟⎜∂ ∂ ∂
⎝ ⎠⎝ ⎝⎠ ⎠⎞⎛+ ∇ ⋅ + ⋅∇⎜ ⎟
⎝ ⎠n v
141
( )( )
22 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2 2 22
1
1
1 1 1 1
glgl gl gl gl glg g g g g g g g ggl gl gl gl gl gl gl gl gl gl
gsgs gs gs gs gsg g g g g g g g ggS gS gs gs gs gs gs gs gs gs
glgglg g
gl gl gl gl
g l
g s
Cp s T w Cp s T
Cp s T w Cp s T
ps s
t
ρ φ ρ φ
ρ φ ρ φ
β φ β φ
⎞⎛+ ∇ ⋅ + ⋅∇⎜ ⎟⎝ ⎠
⎞⎛+ ∇ ⋅ + ⋅∇⎜ ⎟⎝ ⎠
⎞⎛ ∂ ⎟⎜+ + ∇⋅⎟⎜ ∂
⎝ ⎠
n v
n v
( )
( )
11 1 1
1 1 1 1 1 11
222 2 22
2 2 2 2 2 2 2 2 2 22
glgl gl glg g g ggl gl gl gl gl gl
glg glgl gl glglg g g g g ggl gl gl gl gl gl gl gl gl gl
gsggsgsg g g
gs gs gs gs gs gs g s
g l
g l
p w s p
ps s p w s p
t
ps s p w
t
β φ
β φ β φ β φ
β φ β φ
⎞⎛ + ⋅∇⎜ ⎟⎝ ⎠
⎞⎛ ∂ ⎞⎛⎟⎜+ + ∇ ⋅ + ⋅∇⎜ ⎟⎟⎜ ∂ ⎝ ⎠⎝ ⎠
⎞⎛ ∂ ⎟⎜+ + ∇ ⋅⎟⎜ ∂
⎝ ⎠
n v
n v
n( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( )
1 1 1
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
2 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
gs gs gsg g ggs gs gs gs
gl gl glg g g g g g g g g g ggl gl gl gl l g gl gl gl gl gl gl gl gl
gl gl glg g g g g g g g g ggl gl gl gl gl gl gl gl gl gl gl gl
s p
Cp T w Cp T Cp T
Cp T w Cp T Cp T
β φ
ρ ρ ρ
ρ ρ ρ
+ ⋅∇
+ ∇⋅ + ∇ ⋅ − ∇ ⋅
+ ∇ ⋅ + ∇ ⋅ − ∇ ⋅
v
n v v
n v ( )( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
2
1 1 1 1 1 1 1 1 11
2 2 2 2 2 2 2 2 22
ggl
gs gs gsg g g g g g g g g g ggs gs gs gs gs gs gs gs gs gs gs gs gs
g g g g ggl gl gl gl gl gl gl gl gl
g g g g ggl gl gl gl gl gl gl gl gl
g l
g l
Cp T w Cp T Cp T
p w p p
p w p p
ρ ρ ρ
β β β
β β β
+ ∇⋅ + ∇ ⋅ − ∇ ⋅
+ ∇ ⋅ + ∇ ⋅ − ∇ ⋅
+ ∇ ⋅ + ∇ ⋅ − ∇ ⋅
+
v
n v v
n v v
n v v
( ) ( ) ( )
( )( )
( )( )
1 1
1 1 1 1 11 2 1 2
1 2
2 2
2 2 2 2 22 1 2 1
2 1
( )
( )
1
1
g g g g ggs gs gs g s gs gs gs gs gs gs
gl glg g g g ggl gl gl gl gl
gl glg g g g ggl gl gl gl gl
ggs
gl l gl lL tgl l
gl l gl lL tgl l
p w p p
Cp T T dLV
Cp T T dLV
Cp
β β β
ρ
ρ
ρ
−
∇ ⋅ + ∇ ⋅ − ∇ ⋅
⎞⎛⎟⎜
+ − − ⋅ ⎟⎜⎜ ⎟⎝ ⎠
⎞⎛⎟⎜
+ − ⋅ ⎟⎜⎜ ⎟⎝ ⎠
+
∫
∫
n v v
v U υ
v U υ
( )( )
( )( )
( )( )
1 1
1
2 2
2
1
1 1 1 11 2 1 2
1 2
( )
( )
( )
1
1
1
gs gsg g g ggs gs gs gs
gs gsg g g g ggs gs gs gs gs
glg g ggl gl gl gl
g sl g slL tg sl
g sl g slL tg sl
gl l gl lL tgl l
T T dLV
Cp T T dLV
p p dLV
ρ
β
−
−
⎞⎛⎟⎜
− − ⋅ ⎟⎜⎜ ⎟⎝ ⎠
⎞⎛⎟⎜
+ − ⋅ ⎟⎜⎜ ⎟⎝ ⎠
⎞⎛⎟⎜
+ − ⋅ ⎟⎜⎜ ⎟⎝ ⎠
∫
∫
∫
v U υ
v U υ
v U υ
142
( )( )
( )( )
( )( )
( )
1 1
1
2
2 2 2 2 2 1 1 2
2 1
2 2
2
1
1 1 1 1
( )
( )
( )
1
1
1
gsg g ggs gs gs gs
glg g ggl gl gl gl
gsg g ggs gs gs gs
glg g ggl gl gl gl
g sl g slL tg sl
gl l gl lL tgl l
g sl g slL tg sl
p p dLV
p p dLV
p p dLV
k s T k
β
β
β
φ
−
−
−
⎞⎛⎟⎜
+ − ⋅ ⎟⎜⎜ ⎟⎝ ⎠
⎞⎛⎟⎜
+ − ⋅ ⎟⎜⎜ ⎟⎝ ⎠
⎞⎛⎟⎜
+ − ⋅ ⎟⎜⎜ ⎟⎝ ⎠
= ∇ ⋅ ∇ +∇ ⋅
∫
∫
∫
v U υ
v U υ
v U υ
( )
( )
1 1 2 1 1
1 2 1
2
2 2 2 2 2 2 1 2 2
2 1 2
( ) ( )
( ) ( )
1 1
1 1
1
g g ggl gl l gl gl s
t tg l l g l s
glg g g g g ggl gl gl gl gl gl l gl gl s
t tg l l g l s
gsg g g ggs gs gs gs
L L
L L
T dL T dLV V
k s T k T dL T dLV V
k s T kV
φ
φ
⎡ ⎤⎞⎛⎢ ⎥⎟⎜ ⋅ + ⋅⎢ ⎥⎟⎜
⎝ ⎠⎣ ⎦⎡ ⎤⎛ ⎞⎢ ⎥⎜ ⎟+∇ ⋅ ∇ +∇ ⋅ ⋅ + ⋅⎢ ⎥⎜ ⎟
⎠⎢ ⎝ ⎦⎣
+∇ ⋅ ∇ +∇ ⋅
∫ ∫
∫ ∫
υ υ
υ υ
1 2
1 2
1 1 1 2 1 1 1 2 2 2 1
1 2 1 2 1
2 2 2
2
( ) ( )
( ) ( ) ( )
( )
1
1 1 1
1 1
g ggs gsl gs gsl
t tgsl gsl
g g g g g ggl gl gl l gl gl gl s gl gl gl l
t t tg l l gl s g l l
g ggl gl gl s gs
tgl s
L L
L L L
L
T dL T dLV
k T dL k T dL k T dLV V V
k T dL kV V
⎞⎡ ⎛ ⎤⎟⎢ ⎜ ⎥⋅ + ⋅⎟⎢ ⎜ ⎥⎝ ⎦⎣ ⎠
+ ∇ ⋅ + ∇ ⋅ + ∇ ⋅
+ ∇ ⋅ +
∫ ∫
∫ ∫ ∫
∫
υ υ
υ υ υ
υ
{ }
{ }{ }
1 2
1 2
1 1 1
1
2 2 2
2
( ) ( )
1
1 ( )( ) ( )( )
1 ( )( ) ( )( )
1
g g g ggs gsl gs gs gsl
t tg sl g s l
g g
g g g g l g g g g g l g g g g g lAg l
g g
g g g g l g g g g g l g g g g g lAg l
g g g sAg s
L LT dL k T dL
V
Cp T T p p k T dAV
Cp T T p p k T dAV
k TV
ρ β
ρ β
∇ ⋅ + ∇ ⋅
+ − − + − − − ∇ ⋅
+ − − + − − − ∇ ⋅
+ − ∇ ⋅
∫ ∫
∫
∫
∫
υ υ
v w v w n
v w v w n
n 1
1 1
glg ggl gls φ+ Φ
(257)
Para l1:
1 2 1 11 1 1
1 2 1 11 2 1 11 1 1 1 1 1 1 1 1
1 2 1 2 1 2 1 1 1 1 1 1
l l l g l sl l ll l l g l sl l l g l sl l l l l l l l l
l l l l l l l g l g l g l s l s l s
T T TCp s Cp s Cp s
t t tρ φ ρ φ ρ φ
⎞ ⎞ ⎞⎛ ⎛ ⎛∂ ∂ ∂⎟ ⎟ ⎟⎜ ⎜ ⎜+ +⎟ ⎟ ⎟⎜ ⎜ ⎜∂ ∂ ∂
⎝ ⎝ ⎝⎠ ⎠ ⎠
143
( ) ( )( ) ( )
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 21 1 1 1 1 1 1 1 1
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
l l l l l l l l l l l ll l l l l l l l ll l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l
l g l g l g l g l g l gl l l l l l l l ll g l g l g l g l g l g l g l g l g l g l g
Cp s T w Cp s T
Cp s T w Cp s T
Cp
ρ φ ρ φ
ρ φ ρ φ
+ ∇ ⋅ + ⋅∇
+ ∇ ⋅ + ⋅∇
+
n v
n v
( ) ( )( ) ( )
1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
1 2 1 2 1 21 1 1 1 1 1 1 1 1 1
1 2 1 2 1 2 1 2 1 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1
l s l s l s l s l s l sl l l l l l l l ll s l s l s l s l s l s l s l s l s l s l s
l l l l l ll l l l l l l l l ll l l l l l l l l g l l l l l l l l l l l l l l l l
s T w Cp s T
Cp T w Cp T Cp T
ρ φ ρ φ
ρ ρ ρ
∇ ⋅ + ⋅∇
+ ∇ ⋅ + ∇ ⋅ − ∇ ⋅
n v
n v v( )( ) ( ) ( )( ) ( )
1
2
1 1 11 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
1 1 11 1 1 1 1 1 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
l
l g l g l gl l l l l l l l l l ll g l g l g l g l g l g l g l g l g l g l g l g l g
l s l s l sl l l l l l l l l ll s l s l s l s l s l s l s l s l s l s l s l s
Cp T w Cp T Cp T
Cp T w Cp T Cp T
ρ ρ ρ
ρ ρ ρ
+ ∇ ⋅ + ∇ ⋅ − ∇ ⋅
+ ∇ ⋅ + ∇ ⋅ − ∇ ⋅
n v v
n v v( )
( )( )
( )( )
( )
1
1
1 2 1 21 1 1 1 1
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
1 2
1 11 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1 1
1
1 21 1 1
1 2 1 2 1 2 1
( )
( )
1
1
ll s
l l l ll l l l ll l l l l l l l g l l l l l l g
l s l sl l l l ll s l s l s l sg l s l s l sg
l ll l ll l l l l l l l
L tl l g
L tl sg
Cp T T dLV
Cp T T dLV
k s T k
ρ
ρ
φ
−
−
⎞⎛⎟⎜
+ − ⋅ ⎟⎜⎜ ⎟⎝ ⎠
⎞⎛⎟⎜
+ − ⋅ ⎟⎜⎜ ⎟⎝ ⎠
= ∇ ⋅ ∇ +∇ ⋅
∫
∫
v U υ
v U υ
( )
1 1 1
2 1 2 1 2 1 2 1 2
1 2 1 2
11 1 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1 2 1 1
1 2 1
1 1
1 1
( ) ( )
( ) ( )
1 1
1 1
l l ll l l l g l l l l s
g t s tl l l l
l gl l l l l ll g l g l g l g l g l gl l g l gs
t tl g l l g s
l ll s l s
L L
L L
T dL T dLV V
k s T k T dL T dLV V
k s
φ
⎡ ⎤⎛ ⎞⎢ ⎥⎜ ⎟⋅ + ⋅⎢ ⎥⎜ ⎟
⎠⎢ ⎝ ⎦⎣⎡ ⎤⎞⎛⎢ ⎥⎟⎜+∇ ⋅ ∇ +∇ ⋅ ⋅ + ⋅⎢ ⎥⎟⎜
⎝ ⎠⎣ ⎦
+∇ ⋅
∫ ∫
∫ ∫
υ υ
υ υ
( )11 1 1 1
1 1 1 1 2 1 1
1 2 1
1 1 1 1 1 1
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 1 1
1 2 1 2 1 2
( ) ( )
( ) ( ) ( )
1 1
1 1 1
l
l sl l l ll s l s l s l sl l s l sg
t tl s l l s g
l l l l l ll l l l l l g l l l l l l s l g l g l gl
t t tl l g l s l g l
L L
L L L
T k T dL T dLV V
k T dL k T dL k TV V V
φ⎡ ⎤⎞⎛⎢ ⎥⎟⎜∇ +∇ ⋅ ⋅ + ⋅⎢ ⎥⎟⎜
⎝ ⎠⎣ ⎦
+ ∇ ⋅ + ∇ ⋅ + ∇ ⋅
∫ ∫
∫ ∫ ∫
υ υ
υ υ υ
{ }{ }
2
1 1 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1 2 1 1 1
1 1 2 1
1 11 1
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
1
1 1 1 2
1
( ) ( ) ( )
1 1 1
1 ( )( )
1
l l l l l ll g l g l gs l s l s l sl l s l s l sg
t t tl g s l l l s gs
l g ll ll g l g l l l l g l l l l l g
Al g
l l l lAl
L L L
dL
k T dL k T dL k T dLV V V
s Cp T T k T dAV
k T dAV
φ ρ
+ ∇ ⋅ + ∇ ⋅ + ∇ ⋅
+ Φ + − − − ∇ ⋅
+ − ∇ ⋅ +
∫ ∫ ∫
∫
υ υ υ
v w n
n { }1 1 1
2 1
1l l l s
Al l s
k T dAV
− ∇ ⋅∫ ∫ n
(258)
144
Para l2:
( )
2 1 2 22 2 2
2 1 2 22 1 2 22 2 2 2 2 1 2 1 2
2 1 2 1 2 1 2 2 1 2 2 2
2 1 2 1 2 12 2 2 2
2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1
l l l g l sl l ll l l g l sl l l g l sl l l l l l l l l
l l l l l l l g l g l g l s l s l s
l l l l l ll l l l ll l l l l l l l l l l l l l
T T TCp s Cp s Cp s
t t t
Cp s T w Cp
ρ φ ρ φ ρ φ
ρ φ
⎞ ⎞ ⎞⎛ ⎛ ⎛∂ ∂ ∂⎟ ⎟ ⎟⎜ ⎜ ⎜+ +⎟ ⎟ ⎟⎜ ⎜ ⎜∂ ∂ ∂
⎝ ⎝ ⎝⎠ ⎠ ⎠
+ ∇ ⋅ +n ( )( )
( )
2 1 2 1 2 12 2 2 2 2
2 1 2 1 2 1 2 1
22 2 2 2 22 2 2 2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2 2 22
2 2 22 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2
l l l l l ll l l ll l l l l l l l
l gl g l g l g l g l gl l l l l l l l ll g l g l g l g l g l g l g l g l g l g
l s l s l sl l l l l ll s l s l s l s l s l s l s l s
l g
s T
Cp s T w Cp s T
Cp s T w Cp
ρ φ
ρ φ ρ φ
ρ φ ρ
⋅∇
⎞⎛+ ∇ ⋅ + ⋅∇⎜ ⎟⎝ ⎠
+ ∇ ⋅ +
v
n v
n ( )( ) ( ) ( )( )
2 2 22 2 2
2 2 2
2 1 2 1 2 12 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1
2 22 2 2 2 2
2 2 2 2 2 22
l s l s l sl l ll s l s l s
l l l l l ll l l l l l l l l l ll l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l
l g l gl l l l ll g l g l g l g l g l gl g
s T
Cp T w Cp T Cp T
Cp T w Cp
φ
ρ ρ ρ
ρ ρ
⋅∇
+ ∇ ⋅ + ∇ ⋅ − ∇ ⋅
+ ∇ ⋅ + ∇
v
n v v
n ( ) ( )( ) ( ) ( )
( )
22 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2
2 2 22 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
2 12 2 2 2 2
2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1
1
l gl l l l l ll g l g l g l g l g l g
l s l s l sl l l l l l l l l l ll s l s l s l s l s l s l s l s l s l s l s l s l s
l ll l l l ll l l l l l l l g l l l l
T Cp T
Cp T w Cp T Cp T
Cp T TV
ρ
ρ ρ ρ
ρ −
⋅ − ∇ ⋅
+ ∇ ⋅ + ∇ ⋅ − ∇ ⋅
+ −
v v
n v v
v U ( )
( )( )
( )
2 1
2 1
2 1
2 22 2 2 2 2
2 2 2 2 22 2
2
2 12 2 2 2 2 2
2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1
2 1 2 1( ) ( )
( )
( )
1
1 1
l l
l l g
l s l sl l l l ll s l s l s l s l s
l ll l l l l ll l l l l l l l l l l l g l l l
t tl l g l l s
L tl l g
l sg l sgL tl sg
L L
dL
Cp T T dLV
k s T k T dL TV V
ρ
φ
⎞⎛⎟⎜
⋅ ⎟⎜⎜ ⎟⎝ ⎠
⎞⎛⎟⎜
+ − − ⋅ ⎟⎜⎜ ⎟⎝ ⎠
= ∇ ⋅ ∇ +∇ ⋅ ⋅ + ⋅
∫
∫
∫ ∫
υ
v U υ
υ υ
( )
( )
2 1
22 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2 1 2 2
2 1 2
22 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2 1 2
2 1
( ) ( )
( )
1 1
1 1
l s
l gl l l l l ll g l g l g l g l g l gl l g l gs
t tl g l l g s
l sl l l l ll s l s l s l s l s l sl l s
tl s l
L L
L
dL
k s T k T dL T dLV V
k s T k T dL TV V
φ
φ
⎡ ⎤⎛ ⎞⎢ ⎥⎜ ⎟⎢ ⎥⎜ ⎟
⎠⎢ ⎝ ⎦⎣⎡ ⎤⎞⎛⎢ ⎥⎟⎜+∇ ⋅ ∇ +∇ ⋅ ⋅ + ⋅⎢ ⎥⎟⎜
⎝ ⎠⎣ ⎦
+∇ ⋅ ∇ +∇⋅ ⋅ +
∫ ∫
∫
υ υ
υ 2
2
2
2 2 2 2 2 2
2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 2 1
2 1 2 1 2 1
2 2 2 2
2 2 2 2 2
2
( )
( ) ( ) ( )
( )
1 1 1
1 1
ll sg
tl s g
l l l l l ll l l l l l g l l l l l l s l g l g l gl
t t tl l g l l s l g l
l l l ll g l g l gs l s l s
tl g s l
L
L L L
L L
dL
k T dL k T dL k T dLV V V
k T dL k TV V
⎡ ⎤⎞⎛⎢ ⎥⎟⎜ ⋅⎢ ⎥⎟⎜
⎝ ⎠⎣ ⎦
+ ∇ ⋅ + ∇ ⋅ + ∇ ⋅
+ ∇ ⋅ + ∇
∫
∫ ∫ ∫
∫
υ
υ υ υ
υ 2 2
2 1 2 2 2
2 1 2( ) ( )
1 l ll sl l s l s l sg
t ts l l s gLdL k T dL
V⋅ + ∇ ⋅∫ ∫υ υ
145
{ }{ } { }
2
2 2 2 2 2 2 2 2 2
2
2 2 2 1 2 2 2
2 1 2
1 ( )( )
1 1
l
l l l l g l l l l l gAl g
l l l l l l l sA Al l l s
Cp T T k T dAV
k T dA k T dAV V
ρ+ − − − ∇ ⋅
+ − ∇ ⋅ + − ∇ ⋅
∫
∫ ∫
v w n
n n (259)
Para s:
( )
1 2
1 21 2
1 1 2 2
1
1 1 1 1 1 2 1 1
1 2 1( ) ( )
(1 ) (1 ) (1 )
1 1(1 )
sl sl sgs s ssl sl sgsl sl sgs s s s s s
sl sl sl sl sg sg
sls s s s ssl sl sl sl sl l sl sl g
t ts l l s l gL L
T T TCp Cp Cp
t t t
k T k T dL T dLV V
ρ φ ρ φ ρ φ
φ
⎞ ⎞⎛ ⎛ ⎞⎛∂ ∂ ∂⎟ ⎟⎜ ⎜ ⎟⎜− + − + −⎟ ⎟⎜ ⎜ ⎟⎜∂ ∂ ∂
⎝ ⎠⎝ ⎝⎠ ⎠
⎛ ⎞⎟= ∇ ⋅ − ∇ +∇ ⋅ ⋅ + ⋅⎟⎠⎝
∫ ∫υ υ
( )
( )
2
2 2 2 2 2 1 2 2
2 1 2
1 2
1 2
( ) ( )
( ) ( )
1 1(1 )
1 1(1 )
sls s s s ssl sl sl sl sl l sl sl g
t ts l l s l g
sgs s s s ssg sg sg sg sgl sg sgl
t ts g l s g l
L L
L L
k T k T dL T dLV V
k T k T dL T dLV V
φ
φ
⎡ ⎤⎢ ⎥⎜⎢ ⎥⎜
⎥⎢ ⎦⎣⎡ ⎤⎞⎛⎢ ⎥⎟⎜+∇ ⋅ − ∇ +∇ ⋅ ⋅ + ⋅⎢ ⎥⎟⎜
⎝ ⎠⎣ ⎦⎡ ⎤⎞⎛⎢ ⎟⎜+∇ ⋅ − ∇ +∇ ⋅ ⋅ + ⋅⎢ ⎟⎜
⎝ ⎠⎣ ⎦
∫ ∫
∫ ∫
υ υ
υ υ
1 1 1 2 1 1 1 2 2 2 1
1 2 1 2 1
2 2 2 1 2
2 1 2
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
1 1 1
1 1 1
1
s s s s s ssl sl sl l sl sl sl g sl sl sl l
t t ts l l s l g s l l
s s s s s ssl sl sl g sg sg sgl sg sg sgl
t t ts l g s g l s g l
s
L L L
L L L
k T dL k T dL k T dLV V V
k T dL k T dL k T dLV V V
kV
⎥⎥
+ ∇ ⋅ + ∇ ⋅ + ∇ ⋅
+ ∇ ⋅ + ∇ ⋅ + ∇ ⋅
+ −
∫ ∫ ∫
∫ ∫ ∫
υ υ υ
υ υ υ
{ } { } { }1 2
1 2
1 1s sl s s sl s s s g
A A Asl sl sg
T dA k T dA k T dAV V
∇ ⋅ + − ∇ ⋅ + − ∇ ⋅∫ ∫ ∫n n n
(260)
4. 3 .3 Ecuación promediada en la línea de contacto
En esta sección se presentan los balances en la línea de contacto para cada una de las fases
que se encuentran fluyendo dentro del medio poroso. La Ec. (190) para la fase k se puede
escribir de la siguiente manera:
146
( ) ( )
{ }( )( ) ( )( )
k kk k k k k k k k kkmn kmnkmn kmn kmn kmn kmn kmn kmn kmn kmn kmn
km kmk k k k k k k k k kkm km km kmn km km km km kmn km km km km kmn
Q
kmnk m n
T pCp T p k Tt t
Cp T T p p k T
ρ β
ρ β≠ ≠
⎞ ⎞⎛ ⎛∂ ∂+ ⋅∇ + + ⋅∇ = ∇ ⋅ ∇ +Φ⎟ ⎟⎜ ⎜∂ ∂⎝ ⎝⎠ ⎠
+ − − + − − − ∇ ⋅∑
v v
v U v U υ
(261)
donde k= l1, l2, g, s, m= l1, l2, g, s, n= l1, l2 g, s y k≠m≠n, gmnυ es el vector normal
unitario a la línea de contacto kmn y tangente a la interfase km apuntando hacia fuera de
dicha interfase. El subíndice kmn indica “en la línea de contacto kmn”.
Aplicando el operador promedio dado por la Ec. (34) a la Ec. (261) resulta:
( ) ( )
{ }( )( ) ( )( )
k kk k k kk k k k kkmn kmnkmn kmn kmn kmn kmnkmn kmn kmn kmn kmn
km kmk k k k k k k k k kkm km km kmn km km km km kmn km km km km kmn
Q
kmnk m n
T pCp k TT pt t
Cp T T p p k T
ρ β
ρ β≠ ≠
⎞ ⎞⎛ ⎛∂ ∂+ + + = ∇ ⋅ ∇ +⋅∇ ⋅∇ Φ⎟ ⎟⎜ ⎜∂ ∂⎝ ⎝⎠ ⎠
+ − − + − − − ∇ ⋅∑
v v
v U v U υ
(262)
Aplicando al término temporal de la Ec. (262) el teorema definido por la Ec. (38) y
aplicando posteriormente la Ec. (36) resulta
( )
1P
kmnqk m n q
kmnkk kkmnkmnk k kkmn kmnkmn kmn kmn p kmnq
P tkmnq
TTT T dP
t t t Vε
ε≠ ≠ ≠
∂∂ ∂= + − ⋅
∂ ∂ ∂ ∑ ∫ v λ (263)
Aplicando el mismo procedimiento, el término de presión, se obtiene
( )
1P
kmnqk m n q
kmnkk kkmnkmnk k kkmn kmnkmn kmn kmn p kmnq
P tkmnq
ppp p dP
t t t Vε
ε≠ ≠ ≠
∂∂ ∂= + − ⋅
∂ ∂ ∂ ∑ ∫ v λ (264)
El término convectivo, se puede expresar como:
k k k k k kkmn kmn kmn kmn kmn kmnT T T⋅∇ = ∇ ⋅ − ∇ ⋅v v v (265)
Aplicando el teorema dado por la Ec. (24) al primer término del lado derecho de la Ec.
(265) se obtiene:
147
( )
1Pk k k k k kkmn kmn kmn kmn kmn kmn
kmnqk m n q
kmnqP tkmnq
T T T dPV
≠ ≠ ≠
∇ ⋅ = ∇ ⋅ + ⋅∑ ∫v v v λ (266)
Sustituyendo la Ec. (266) en la Ec. (265) se tiene que
( )
1Pk k k k k k k kkmn kmn kmn kmn kmn kmn kmn kmn
kmnqk m n q
kmnqP tkmnq
T T T dP TV
≠ ≠ ≠
⋅∇ = ∇⋅ + ⋅ − ∇ ⋅∑ ∫v v v λ v (267)
Siguiendo el mismo procedimiento, el término de presión se puede escribir como
( )
1Pk k k k k k k kkmn kmn kmn kmn kmn kmn kmn kmn
kmnqk m n q
kmnqP tkmnq
p p p dP pV
≠ ≠ ≠
⋅∇ = ∇⋅ + ⋅ − ∇ ⋅∑ ∫v v v λ v
(268)
Para el término conductivo de la Ec. (262), con la finalidad de intercambiar el operador
integral por el diferencial se le aplica el teorema dado por la Ec. (33) quedando entonces
como:
( )( )
( )
1
1
P
kmn kmn kmn kmn kmn kmnqkmnq t
k m n qP
kmn kmn kmnqkmnq t
k m n q
k k k k k
Pkmnq
k k
Pkmnq
k T k T T dPV
k T dPV
≠ ≠ ≠
≠ ≠ ≠
⎡ ⎤⎞⎛⎢ ⎥⎟⎜∇ ⋅ ∇ = ∇ ⋅ ∇ + ⋅⎢ ⎥⎟⎜⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦
+ ∇ ⋅
∑ ∫
∑ ∫
λ
λ
(269)
Aplicando la relación dada por la Ec. (36)en la Ec. (269) se tiene que
( )( )
( )
1
1
Pkmn kmnk k k k k k k kkmn kmn kmn kmn kmn kmn kmn kmn kmnq
kmnq tk m n q
Pk kkmn kmn kmnq
kmnq tk m n q
Pkmnq
Pkmnq
k T k T T T dPV
k T dPV
ε ε≠ ≠ ≠
≠ ≠ ≠
⎡ ⎤⎞⎛⎢ ⎥⎟⎜∇ ⋅ ∇ = ∇ ⋅ ∇ + ∇ + ⋅⎢ ⎥⎟⎜⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦
+ ∇ ⋅
∑ ∫
∑ ∫
λ
λ
(270)
En los términos integrales aparece la temperatura local que no es conveniente ya que la
idea es obtener variables del tipo promedio. Por ello, la temperatura local puede ser
redefinida usando la definición propuesta por Gray (1975), es decir
148
( ) ( ) ( )
1 1 1kmnk k kkmn kmnq kmn kmnq kmn kmnq
t t tP P Pkmnq kmnq kmnq
T dP T dP T dPV V V
⎞⎛⎟⎜⋅ = ⋅ +⎟⎜⎜ ⎟
⎝ ⎠∫ ∫ ∫λ λ λ (271)
Extendiendo la definición dada por las Ecs. (245) y (246) para el caso de la línea de
contacto se obtiene
( )
1
kmnq
Pkkmn kmn
kmnq tPdP
Vε−∇ = ∑ ∫ λ (272)
( )
1
kmnq
Pkkmn
p kmnkmnq tP
dPt V
ε∂= ⋅
∂ ∑ ∫ v λ (273)
Al sustituir la Ec. (272) en la (271) y el resultado en la Ec. (270) se tiene que
( )( )
( ) ( )
1
1 1
Pkmnk k k k kkmn kmn kmn kmn kmn kmnq
kmnq tkmnqk m n qP P
k kkmn kmn kmnq kmnq
kmnq kmnqt tkmnq kmnqk m n q k m n q
kkmn
P
kmnk kkmn kmn
P P
k T k T T dPV
k T dP k T dPV V
ε≠ ≠ ≠
≠ ≠ ≠ ≠ ≠ ≠
⎡ ⎤⎞⎛⎢ ⎥⎟⎜∇ ⋅ ∇ = ∇ ⋅ ∇ + ⋅⎢ ⎥⎟⎜⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦
+ ∇ ⋅ + ∇ ⋅
∑ ∫
∑ ∑∫ ∫
λ
λ λ (274)
Para el término de generación de calor se aplica el teorema dado por la Ec. (36), entonces
kmnk k kkmn kmn kmnεΦ = Φ (275)
De forma similar para el término de transferencia de energía por cambio de fase, presión y
conducción se tiene
{ }{ }
( )( ) ( )( )
( )( ) ( )( )
1 ( )( )
km kmk k k k k k k k k kkm km km kmn km km km km kmn km km km km kmn
km kmk k k k k k k k k k kkmn km km km kmn km km km km kmn km km km km kmn
kmk k k k kkm km km kmn km km
kmn
Cp T T p p k T
Cp T T p p k T
Cp T TV
ρ β
ε ρ β
ρ
− − + − − − ∇ ⋅
= − − + − − − ∇ ⋅
= − − +
v U v U υ
v U v U υ
v U{ }( )( )kmk k k k k
km km kmn km km km km kmn
Lkmn
p p k T dAβ − − − ∇ ⋅∫ v U υ
(276)
149
Al igual que se hizo con los términos anteriores se sigue el mismo procedimiento para el
resto de los términos de la Ec. (262) por lo que al sustituir las Ecs. (263), (264), (267),
(268), (274)-(276) y aplicar definición dada por la Ec. (273) en la Ec. (262), se obtiene
( )
( )( )
1
1
kmnk kkmn kmnkmn kmnk k k k k k k kkmn kmn kmn kmn kmn kmn kmn kmn
kmnkP kkmnkmn kmnk k k k k k kkmn kmn p kmnq kmn kmn kmn kmn kmn
kmnq tkmnqk m n q
k kkmn kmn
P
TCp T T T
t t
pT dP p p
V t t
pV
ερ ε
εβ ε≠ ≠ ≠
⎛ ∂ ∂+ +∇⋅ − ∇ ⋅⎜⎜ ∂ ∂⎝
⎞ ⎛ ∂ ∂⎟+ − ⋅ + + +∇ ⋅⎜⎟ ⎜ ∂ ∂⎟ ⎝⎠
− ∇ ⋅ +
∑ ∫
v v
v v λ v
v ( ) ( )( )
( ) ( )
1 1
P kmnk k k k kkmn kmn p kmnq kmn kmn kmn
kmnq tkmnqk m n q
P P kmnk k k k k kkmn kmn kmnq kmn kmn kmnq kmn kmn
kmnq kmnqt tkmnq kmnqk m n q k m n q
kmn
P
P P
p dP k T
k T dP k T dPV V
ε
ε
ε
≠ ≠ ≠
≠ ≠ ≠ ≠ ≠ ≠
⎞⎟− ⋅ = ∇ ⋅ ∇⎟⎟⎠
⎡ ⎤⎞⎛⎢ ⎥⎟⎜+∇ ⋅ ⋅ + ∇ ⋅ + Φ⎢ ⎥⎟⎜⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦
+
∑ ∫
∑ ∑∫ ∫
v v λ
λ λ
{ }( )( ) ( )( )kmnP km kmk k k k k k k k k k k
km km km kmn km km km km kmn km km km km kmnkmnq
k m n q
Cp T T p p k Tρ β≠ ≠ ≠
− − + − − − ∇ ⋅∑ v U v U υ
(277)
Para la Ec. (277) se toma en cuenta la condición de no deslizamiento, por lo que
0kkmn kmns⋅ =v λ y 0p kmns⋅ =v λ .
Tomando el término inercial de la Ec. (277) para intercambiar el promedio del producto de
dos cantidades al producto de esas cantidades promediadas, se tiene que
kmn kmnk k k k k k kkmn kmn kmn kmn kmn kmn kmnT T Tε∇ ⋅ = ∇ ⋅ +∇ ⋅v v v (278)
Similarmente el cuarto término (lado izquierdo) de la Ec. (277) se puede escribir como
kmn kmnk k k k k k kkmn kmn kmn kmn kmn kmn kmnT T Tε∇ ⋅ = ∇ ⋅ + ∇ ⋅v v v (279)
Aplicando el teorema espacial a la divergencia de la velocidad del primer término del lado
derecho de la Ec. (279) se obtiene
( )
1Pkmn kmnk k k k k k k kkmn kmn kmn kmn kmn kmn kmnq kmn kmn
kmnqk m n q P tkmnq
T T dP TV
ε λ≠ ≠ ≠
⎞⎛⎟⎜∇ ⋅ = ∇ ⋅ + ⋅ + ∇ ⋅⎟⎜
⎜ ⎟⎝ ⎠
∑ ∫v v v v
(280)
150
Siguiendo el mismo procedimiento para los términos de la presión se tiene que
kmn kmnk k k k k k kkmn kmn kmn kmn kmn kmn kmnp p pε∇⋅ = ∇ ⋅ +∇ ⋅v v v (281)
( )
1Pkmn kmnk k k k k k k kkmn kmn kmn kmn kmn kmn kmnq kmn kmn
kmnqk m n q P tkmnq
p p dP pV
ε λ≠ ≠ ≠
⎞⎛⎟⎜∇ ⋅ = ∇ ⋅ + ⋅ + ∇ ⋅⎟⎜
⎜ ⎟⎝ ⎠
∑ ∫v v v v
(282)
Sustituyendo las Ecs. (273), (278), (280)-(282) en la Ec. (277), se tiene la ecuación de
energía promediada para la fase k en la línea de contacto.
( )( )
( ) ( )
kmnkkmn kmn kmn kmnk k k kkmnkkmn kmn kmn kmnkmn
kmnk kmn kmnk kkmn k k kkkmn kmn kmn kmn kmnkmn
kmn kmnk k k k k kkmn kmn kmn kmn kmn kmn
kkmn k
k k kkmn kmn kmn
k kkmn kmn
TCp Cp Tt
p pt
Cp T Cp T
ρ ρ εε
β β εε
ρ ρβ
⎞⎛ ∂ + ∇ ⋅⎟⎜∂⎝ ⎠
⎞⎛ ∂+ + ∇ ⋅⎟⎜∂⎝ ⎠
+ ∇ ⋅ − ∇ ⋅+ ∇ ⋅
v
v
v vv( ) ( )
( )( )
( )( )
( )
( )
( )
1
1
k k k k kmn kmn kmn kmn kmn
Pkmnkkmn k kk k kmn p kmnqkmn kmnkmn kmn kmnq tkmnqk m n q
Pkmnk k kk kmn p kmnqkmn kmnkmn kmnq tkmnqk m n q
kmnk k kkmn kmn kmn
P
P
p p
dPT TCp V
dPp pV
k T k
β
ρ
β
ε
≠ ≠ ≠
≠ ≠ ≠
− ∇ ⋅⎞⎛
− ⋅− ⎟⎜+⎜ ⎟⎝ ⎠
⎞⎛− ⋅− ⎟⎜+
⎜ ⎟⎝ ⎠
= ∇ ⋅ ∇ +∇ ⋅
∑ ∫
∑ ∫
v
v v λ
v v λ
{ }
( )
( )
1
1
( )( ) ( )( )
Pk kkmn kmn kmnq
kmnq tkmnqk m n qP kmnk k k k
kmn kmn kmnq kmn kmnkmnq tkmnqk m n q
km kmk k k k k k k k k k kkmn km km km kmn km km km km kmn km km km km
P
P
T dPV
k T dPV
Cp T T p p k T
ε
ε ρ β
≠ ≠ ≠
≠ ≠ ≠
⎡ ⎤⎞⎛⎢ ⎥⎟⎜ ⋅⎢ ⎥⎟⎜⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦
+ ∇ ⋅ + Φ
+ − − + − − − ∇ ⋅
∑ ∫
∑ ∫
λ
λ
v U v UkmnP
kmnkmnq
k m n q≠ ≠ ≠
∑ υ
(283)
Para la Ec. (283) se considera que k kkmn kmnsε φ= , donde
kk kmnkmn
m
LsV
= , y mVV
φ = , quedando
redefinida de la siguiente manera:
( )Convectivos
Acumulaciόn
kmnkkmn kmn kmn kmnk k k kkmn kkkmn kmn kmn kmn kmnkmnk kkmn kmn
TCp Cp s Tst
ρ ρ φφ⎞⎛ ∂ + ∇ ⋅⎟⎜
∂⎝ ⎠v
151
( )
( ) ( )Compresiόn
Dispersiόn
kmnk kmn kmnk kkmn k k kkkmn kmn kmn kmn kmnkmn
kmn kmnk k k k k kkmn kmn kmn kmn kmn kmn
kkmn
k kkmn kmn
p s pst
Cp T Cp T
β β φφ
ρ ρ
β
⎞⎛ ∂+ + ∇⋅⎟⎜∂⎝ ⎠
+ ∇ ⋅ − ∇ ⋅
+ ∇
v
v v
( ) ( )
( )( )( )
Dispersiόn
Transferencia de energía por cambio de fase en el punto de co
1
k k k k kkmn kmn kmn kmn kmn
Pkmnkkmn k kk k kmn p kmnqkmn kmnkmn kmn kmnq tkmnqk m n q
P
p p
dPT TCp V
β
ρ≠ ≠ ≠
⋅ − ∇ ⋅
⎞⎛− ⋅− ⎟⎜+
⎜ ⎟⎝ ⎠∑ ∫
v v
v v λ
( )( )( )
ntacto
Compresiόn en el punto de contacto
1
1
Pkmnk k kk kmn p kmnqkmn kmnkmn kmnq tkmnqk m n q
kmnk k k kkmn kmn kmn kmn
k
P
P
dPp pV
k s T TV
β
φ
≠ ≠ ≠
⎞⎛− ⋅− ⎟⎜+
⎜ ⎟⎝ ⎠
= ∇ ⋅ ∇ +
∑ ∫ v v λ
( ) ( )
Flux de calor en el punto de contactoConducciόn
Gener
1P Pk k
kmnq kmn kmn kmnqkmnq kmnqt tmnq kmnqk m n q k m n q
kmnk kkmn kmn
PdP k T dP
V
s φ
≠ ≠ ≠ ≠ ≠ ≠
⎡ ⎤⎞⎛⎢ ⎥⎟⎜ ⋅ + ∇ ⋅⎢ ⎥⎟⎜⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦
+ Φ
∑ ∑∫ ∫λ λ
{( )aciόn de calor
Transferencia de energía por cambio de fase, presión y conducción en la lίnea de contacto
1( )( )
(
Qkmk k k k k
km km km kmn km kmkmn tkmnk m n
kkm km kmn
LCp T T
Vρ
β
≠ ≠
+ − −
+ −
∑ ∫ v U
v U }Transferencia de energía por cambio de fase, presión y conducción en la lίnea de contacto
)( )kmk k k kkmnkm km km km dLp p k T ⋅− − ∇ υ
(284)
Dado que la fase k=l1, l2, g, s, la forma extendida de la Ec. (284) para cada una de estas
fases al tomar en cuenta las consideraciones hechas en la sección 2.2 (líquidos inmiscibles
e incompresibles, gas compresible, transferencia de masa entre l1 con g l2 con g, y
generación de calor entre l1 con g) son:
Para g:
( )1 2
1 2 1 2 1 2 1 21 2
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
2 1
2 1 2 1 2 12 1
2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1
gl lggl l gl l gl l gl lgl lg g g g g g g g
gl l gl l gl l gl l gl l gl l gl l gl l
gl lggl l gl l gl lgl lg g g g g g g
gl l gl l gl l gl l gl l gl l gl l
TCp s Cp s T
t
TCp s Cp s
t
ρ φ ρ φ
ρ φ ρ φ
⎞⎛ ∂ ⎟⎜ + ∇ ⋅⎟⎜ ∂
⎝ ⎠⎞⎛ ∂ ⎟⎜+ + ∇⎟⎜ ∂
⎝ ⎠
v
v( )2 1
2 1
gl lggl lT⋅
152
( )
( )
1
1 1 1 11
1 1 1 1 1 1 1 1
2
2 2 2 22
2 2 2 2 2 2 2 2
1 1
gl sggl s gl s gl s gl sgl sg g g g g g g g
gl s gl s gl s gl s gl s gl s gl s gl s
gl sggl s gl s gl s gl sgl sg g g g g g g g
gl s gl s gl s gl s gl s gl s gl s gl s
g ggsl gsl
TCp s Cp s T
t
TCp s Cp s T
t
Cp
ρ φ ρ φ
ρ φ ρ φ
ρ
⎞⎛ ∂ ⎟⎜+ + ∇ ⋅⎟⎜ ∂
⎝ ⎠⎞⎛ ∂ ⎟⎜+ + ∇⋅⎟⎜ ∂
⎝ ⎠
+
v
v
( )
( )
1
1 1 1 11
1 1 1 1 1 1
2
2 2 2 22
2 2 2 2 2 2 2 2
1 2
1 2
1 2 1 2
gslggsl gsl gsl gslgslg g g g g g
gsl gsl gsl gsl gsl gsl
gslggsl gsl gsl gslgslg g g g g g g g
gsl gsl gsl gsl gsl gsl gsl gsl
gl lggl lg
gl l gl l
Ts Cp s T
t
TCp s Cp s T
t
ps
φ ρ φ
ρ φ ρ φ
β φ
⎞⎛ ∂ ⎟⎜ + ∇ ⋅⎟⎜ ∂
⎝ ⎠⎞⎛ ∂ ⎟⎜+ + ∇ ⋅⎟⎜ ∂
⎝ ⎠∂
+
v
v
( )
( ) ( )
2 1
1 2 1 2 2 1
1 2 1 2 1 2 1 2 2 1 2 1
1
2 1 2 1 1 11
2 1 2 1 2 1 2 1 1 1 1 1 1 1
gl lggl l gl l gl lg g g g
gl l gl l gl l gl l gl l gl l
gl sggl l gl l gl s gl sgl sg g g g g g g
gl l gl l gl l gl l gl s gl s gl s gl s gl s gl s
ps p s
t t
ps p s s p
t
β φ β φ
β φ β φ β φ
⎞ ⎞⎛ ⎛ ∂⎟ ⎟⎜ ⎜+ ∇ ⋅ +⎟ ⎟⎜ ⎜∂ ∂
⎝ ⎝⎠ ⎠⎞⎛ ∂ ⎟⎜+ ∇ ⋅ + + ∇ ⋅⎟⎜ ∂
⎝ ⎠
+
v
v v
( )
( )
2 1
2 22 1
2 2 2 2 2 2 1 1
2
1 1 22
1 1 1 1 2 2 2 2 2
gl s gslg ggl s gl sgl s gslg g g g g
gl s gl s gl s gl s gl s gl s gsl gsl
gslggsl gsl gslgslg g g g g g
gsl gsl gsl gsl gsl gsl gsl gsl gsl gsl
p ps s p s
t t
ps p s s p
t
β φ β φ β φ
β φ β φ β φ
⎞ ⎞⎛ ⎛∂ ∂⎟ ⎟⎜ ⎜+ ∇ ⋅ +⎟ ⎟⎜ ⎜∂ ∂
⎝ ⎝⎠ ⎠⎞⎛ ∂ ⎟⎜+ ∇ ⋅ + + ∇⋅⎟⎜ ∂
⎝ ⎠
v
v v( )( ) ( )
( ) ( ) ( )
2
2
1 2 1 2 2 1
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 1 2 1
2 1 1
2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 1 1 1 1
gslg
gl l gl l gl lg g g g g g g g g ggl l gl l gl l gl l gl l gl l gl l gl l gl l gl l
gl l gslg g g g g g g g g ggl l gl l gl l gl l gl l gl l gsl gsl gsl gsl
g
Cp T Cp T Cp
T Cp T Cp T
Cp
ρ ρ ρ
ρ ρ
+ ∇ ⋅ − ∇ ⋅ +
∇ ⋅ − ∇ ⋅ + ∇ ⋅
−
v v
v v v
( ) ( )( ) ( ) ( )
( )
1 2 2
1 1 1 1 2 2 2 2 2 2
1 1
2 2 1 1 1 1 1 1 1 1
2
2 2 2 2
gsl gsl gslg g g g g g g g g gsl gsl gsl gsl gsl gsl gsl gsl gsl gsl
gl s gl sg g g g g g g g g ggsl gsl gl s gl s gl s gl s gl s gl s gl s gl s
gl sg g g ggl s gl s gl s gl s
T Cp T Cp
T Cp T Cp T
Cp T
ρ ρ ρ
ρ ρ
ρ
∇ ⋅ + ∇ ⋅ −
∇ ⋅ + ∇ ⋅ − ∇ ⋅
+ ∇ ⋅
v v
v v v
v ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )
2
2 2 2 2 1 2 1 2 1 2
1 2 1 2 1 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 1 1 1
1 1 1 2 2 2
gl sg g g g g ggl s gl s gl s gl s gl l gl l gl l
g g g g g g g ggl l gl l gl l gl l gl l gl l gl l gl l gl l gsl gsl gsl
g g g ggsl gsl gsl gsl gsl gsl
Cp T pp p p pp p
ρ ββ β β ββ β
− ∇ ⋅ + ∇ ⋅
− ∇ ⋅ + ∇ ⋅ − ∇ ⋅ + ∇ ⋅
− ∇ ⋅ + ∇ ⋅
v vv v v v
v v ( ) ( )( ) ( ) ( )
( )( )
2 2 2 1 1 1
1 1 1 2 2 2 2 2 2
1 1
1 1 1 1 1 1 2 2 2
1 2( )
1
g g g ggsl gsl gsl gl s gl s gl s
g g g g g ggl s gl s gl s gl s gl s gl s gl s gl s gl s
gl s gl s gg g g g g g ggl s gl s gl s p gl s gl s gl sl gl s gl s
tg l slP
p pp p p
Cp T T dP CpV
β ββ β β
ρ ρ
− ∇ ⋅ + ∇ ⋅
− ∇ ⋅ + ∇ ⋅ − ∇ ⋅⎞⎛⎟⎜+ − − ⋅ +⎟⎜
⎝ ⎠∫
v vv v v
v v λ
( )( )
2
2 1
2 2 2 2 1 1 1
2 1( )
1
l s
gl s gslg g g g ggl s p gl s gl s gl sl gsl gsl
tg l slPT T dP Cp
Vρ
⎞⎛⎟⎜ − − ⋅ +⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
∫ v v λ
153
( )( )
( )( ) ( )
( )
1 2
1 1 1 1 2 2 2
1 2
2
2 2 2 2 1 1 1
2 1 1 2
1
1 1 1 2
( )
( ) ( )
1
1 1
gsl gslg g g g ggsl p gsl gsl gsl l gsl gsl
tgsl l
gslg g g ggsl p gsl gsl gsl l gl s gl s p
t tg sl l g l sl
gl sg ggl s gl s gl sl gl
P
P P
T T dP CpV
T T dPV V
p p dP
ρ
β
β
⎞⎛⎟⎜ − − ⋅ +⎟⎜
⎝ ⎠⎞⎛ ⎛⎟⎜ ⎜− − ⋅ + −⎟⎜ ⎜
⎝ ⎝⎠⎞⎟− ⋅ +⎟⎟⎠
∫
∫ ∫
v v λ
v v λ v v
λ ( )( )
( )( ) ( )
( )
1
2 2 2 2 2 1
2 1
1
1 1 1 1 1 2 2 2
1 2 2 1
2
2 2 2 1 1 2 1
( )
( ) ( )
1
1 1
gl sg g gs gl s p gl s gl s gl sl
tg l sl
gslg g g ggsl gsl p gsl gsl g sl l gsl gsl p
t tg sl l g sl l
gslg g ggsl gsl gsl l gl l gl
P
P P
p p dPV
p p dPV V
p p dP s k
β β
φ
⎞⎛⎟⎜ − − ⋅⎟⎜
⎝ ⎠⎞⎛ ⎛⎟⎜ ⎜+ − − ⋅ + −⎟⎜ ⎜
⎝ ⎝⎠⎞⎟− = ∇ ⋅⎟⎟⎠
∫
∫ ∫
v v λ
v v λ v v
λ ( )
( ) ( )
1 2
2 1 2 1 2 1 2 1 2
1 2
1 2 1
1 1 1 1 1 1 2 2 1 2 1 2 1
1 2
2 1 2
( )
( )
1
1
1
gl lg g g gl gl l gl l gl l gl l s
tg l l s
gl s gl lg g g g g g g ggl s gl s gl s gl s gl s gl sl gl l gl l gl l
tg l s l
ggl l gl
P
P
T k T dPV
s k T k T dP s k TV
k TV
φ φ
⎡ ⎤⎞⎛⎢ ⎥⎟⎜∇ +∇ ⋅ ⋅⎢ ⎥⎟⎜
⎝ ⎠⎣ ⎦⎡ ⎞⎛⎢ ⎟⎜+ ∇ ⋅ ∇ +∇⋅ + ⋅ + ∇ ⋅ ∇⎢ ⎟⎜
⎝ ⎠⎣
+∇ ⋅
∫
∫
λ
λ
( )
( )
2
1 2 1 2 2 2
2 1
1
2 2 2 1 1 1 1
2 1
1 1 1 2
1 2
( )
( )
( )
1
1
gl sg g g gl gl l s gl s gl s gl s
tg l l s
gslg g g g ggl s gl s gl sl gsl gsl gsl
tg l s l
g ggsl gsl gsl l
tg sl l
P
P
P
dP s k T
k T dP s k TV
k T dPV
φ
φ
⎡ ⎤⎞⎛⎢ ⎥⎟⎜ ⋅ + ∇ ⋅ ∇⎢ ⎥⎟⎜
⎝ ⎠⎣ ⎦⎡ ⎤⎞⎛⎢ ⎥⎟⎜+∇ ⋅ ⋅ + ∇ ⋅ ∇⎢ ⎥⎟⎜
⎝ ⎠⎣ ⎦⎡ ⎞⎛⎢ ⎟⎜+∇ ⋅ ⋅⎢ ⎟⎜
⎝ ⎠⎣
∫
∫
∫
λ
λ
λ ( )2
2 2 2
2 2 2 1 1 2 1 2 1 2 1 1 1 2
2 1 1 2 1 2
2 1 2 1
2 1
( ) ( ) ( )
( )
1 1 1
1
gslg g ggsl gsl gsl
g g g g g ggsl gsl gsl l gl l gl l gl l s gl s gl s gl sl
t t tg sl l g l l s g l ls
g ggl l gl l gl
tg l sl
P P P
P
s k T
k T dP k T dP k T dPV V V
k TV
φ⎤⎥ + ∇ ⋅ ∇⎥⎦
⎡ ⎤⎛ ⎞⎢ ⎥⎜ ⎟+∇ ⋅ ⋅ + ∇ ⋅ + ∇ ⋅⎢ ⎥⎜ ⎟⎢ ⎥⎠⎝⎣ ⎦
+ ∇ ⋅
∫ ∫ ∫
∫
λ λ λ
λ2 1 2 2 2 1 1 1 1 2
2 1 1 2
2 1 1
2 2 2 1 2 1 2 1 1 1
2 1
1
1 1 1 1 2 1 1
( ) ( )
( )
1 1
1
1( )(
g g g gl s gl s gl s gl sl gsl gsl gsl l
t tg l sl g sl l
gl l gslg g g g g ggsl gsl gsl l gl l gl l gsl gsl
tg sl lglg g g g g
g l g l g l g l l g l g l
P P
P
dP k T dP k T dPV V
k T dPV
Cp T TV
ε ε
ρ
+ ∇ ⋅ + ∇ ⋅
+ ∇ ⋅ + Φ + Φ
+ − −
∫ ∫
∫
λ λ
λ
v U{ 1
1 1 1 2 1 1
1 2
) ( )( )glg g g
g l g l g l l g l g lLgl l
p pβ+ − −∫ v U
154
} {} {
1 1 1 2 1 1
1
2
1 2 2 2 2 1 2 2
2 1
2
2 2 2 1 2 2
1( )( ) ( )
1( ) ( )( )
( )( )
g sg g g g g g g gg l g l g l l g s g s g s gsl g s g s g s g s g slLgsl
g lgs g g g g gg g g gg slg s g s g s g s g l g l g l g l l g l g l
Lgl lg lg g g
g l g l g l l g l g l
k T dL Cp T TV
dLp p k T Cp T TV
p p
ρ β
ρ
β
− ∇ ⋅ + − − + −
⋅ +− − ∇ − −
−+ − −
∫
∫
υ v U v U
υ v U
v U } {
} { }
{ }
22 2 2 1
2
2 1 1 12
1
2 2 2
2
1 ( )
1( ) ( )( )
1
g g g g gg s g s g s g slg l g l g l l
Lgslg s g s g gg g g g g g g
g sl g l g l g l sg s g s g s g s g sl g s g s g s g sLgl s
g gg l g l g l s
Lgl s
Cpk T dLV
dL k T dLT T p p k TV
k T dLV
ρ
β
−∇ ⋅ +
⋅ + − ∇ ⋅− + − − − ∇
+ − ∇ ⋅
∫
∫
∫
v Uυ
υ υv U
υ
(285)
Para l1:
( )1 2
11 2 1 2 1 2 1 21 21 1 1 1 1 1 1 1
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
1 21
1 2 1 21 21 1 1 1 1
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
l l gll l g l l g l l g l l gl l gl l l l l l l l
l l g l l g l l g l l g l l g l l g l l g l l g
l glll gl l gll gll l l l l
l gl l gl l gl l gl l gl l gl
TCp s Cp s T
t
TCp s Cp s
t
ρ φ ρ φ
ρ φ ρ
⎞⎛ ∂ ⎟⎜ + ∇ ⋅⎟⎜ ∂
⎝ ⎠⎞⎛ ∂ ⎟⎜+ +⎟⎜ ∂
⎝ ⎠
v
( )
( )
1 2 1 21 1 1
1 2 1 2
1 21
1 2 1 2 1 2 1 21 21 1 1 1 1 1 1 1
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
11
1 11 1 1
1 1 1
l gl l gll l ll gl l gl
l l sll l s l l s l l s l l sl l sl l l l l l l l
l l s l l s l l s l l s l l s l l s l l s l l s
l gsll gs l gsl l l
l gs l gs l gs
T
TCp s Cp s T
t
TCp s Cp
t
φ
ρ φ ρ φ
ρ φ
∇ ⋅
⎞⎛ ∂ ⎟⎜+ + ∇ ⋅⎟⎜ ∂
⎝ ⎠⎞⎛ ∂ ⎟⎜+ +⎟⎜ ∂
⎝ ⎠
v
v
( )
( )
1 1 11 1 1 1 1
1 1 1 1 1
11
1 1 1 111 1 1 1 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1 1 1
1 21
1 2 1 21 1 1
1 2 1 2 1 2
l gs l gs l gsl l l l ll gs l gs l gs l gs l gs
l sgll sg l sg l sg l sgl sgl l l l l l l l
l sg l sg l sg l sg l sg l sg l sg l sg
l slll sl l sll l l
l sl l sl l sl
s T
TCp s Cp s T
t
TCp s
t
ρ φ
ρ φ ρ φ
ρ φ
∇ ⋅
⎞⎛ ∂ ⎟⎜+ + ∇ ⋅⎟⎜ ∂
⎝ ⎠⎛ ∂
+∂
v
v
( )( ) ( ) ( )
1 2 1 2 1 21 1 1 1 1
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
1 2 1 2 1 21 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
l sl l sl l sll l l l ll sl l sl l sl l sl l sl
l l g l l g l gll l l l l l l l l l l ll l g l l g l l g l l g l l g l l g l l g l l g l gl l gl l gl l gl
l
Cp s T
Cp T Cp T Cp T
Cp
ρ φ
ρ ρ ρ
⎞⎟⎜ + ∇ ⋅⎟⎜
⎝ ⎠+ ∇ ⋅ − ∇ ⋅ + ∇ ⋅
−
v
v v v
( ( ) ( )( )
1 2 1 11 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 11 2 1 2 1 2 1 2 1 1 1 1 1 1 1 1
1 2 1 21 1 1 1 1 1 1
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
l gl l sg l sgl l l l l l l l l l l lgl l gl l gl l gl l sg l sg l sg l sg l sg l sg l sg l sg
l sl l sll l l l l l l ll sl l sl l sl l sl l sl l sl l sl l sl
T Cp T Cp T
Cp T Cp T
ρ ρ ρ
ρ ρ
∇ ⋅ + ∇ ⋅ − ∇ ⋅
+ ∇ ⋅ − ∇ ⋅
v v v
v v( ) ( )( ) ( ) (
1 21 1 1 1 1
1 2 1 2 1 2 1 2
1 2 1 11 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
1 2 1 2 1 2 1 2 1 1 1 1 1 1 1 1
l l sl l l ll l s l l s l l s l l s
l l s l gs l gsl l l l l l l l l l l ll l s l l s l l s l l s l gs l gs l gs l gs l gs l gs l gs l gs
Cp T
Cp T Cp T Cp T
ρ
ρ ρ ρ
+ ∇ ⋅
− ∇ ⋅ + ∇ ⋅ − ∇ ⋅
v
v v v
155
( )( )
( )( )
1 2 1 2 1 21 1 1 1 1 1 1
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
1 2
1 21 1 1 1 1
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1
1 2
( )
( )
1
1
l l s l l s l sll l l l l l ll l s l l s l l s p l l s l l s l l sg l sl l sl
tl l s g
l sll l l l ll sl p l sl l sl l sl g l l g l l g l l
tl s l g
P
P
Cp T T dP CpV
T T dP s k TV
ρ ρ
φ
⎞⎛⎟⎜+ − − ⋅ +⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
⎞⎛⎟⎜ − − ⋅ = ∇ ⋅ ∇⎟⎜
⎝ ⎠
∫
∫
v v λ
v v λ ( )
( )
( )
1 21
2
1 21 1 1 1 1
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
1 2
1 21 1 1 1 1
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
1 2
( )
( )
1
1
l l glg
l gll l l l ll l g l l g l l gs l gl l gl l gl
tl l g s
l l sl l l l ll gl l gl l gl s l l s l l s l l s
tl g l s
P
P
k T dP s k TV
k T dP s k TV
φ
φ
⎡ ⎤⎞⎛⎢ ⎥⎟⎜+∇ ⋅ + ⋅ + ∇ ⋅ ∇⎢ ⎥⎟⎜
⎝ ⎠⎣ ⎦⎡ ⎤⎞⎛⎢ ⎥⎟⎜+∇ ⋅ + ⋅ + ∇ ⋅ ∇ +∇ ⋅⎢ ⎥⎟⎜
⎝ ⎠⎣ ⎦
∫
∫
λ
λ
( ) ( )
1 1
1 2 1 2 1 2
1 2
1 11 1 1 1 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1 2 1 1 1
1 2
1 1
1 1
1
( )
( )
1
1
1
l ll l s l l s l l sg
tl l s g
l gs l sgl l l l l l l ll gs l gs l gs l gs l gs l gsl l sg l sg l sg
tl g sl
l ll sg l sg
l s g
P
P
P
k T dPV
s k T k T dP s k TV
k TV
φ φ
⎡ ⎤⎞⎛⎢ ⎥⎟⎜+ ⋅⎢ ⎥⎟⎜
⎝ ⎠⎣ ⎦⎡ ⎤⎞⎛⎢ ⎥⎟⎜+ ∇ ⋅ ∇ +∇ ⋅ + ⋅ + ∇ ⋅ ∇⎢ ⎥⎟⎜
⎝ ⎠⎣ ⎦
+∇ ⋅
∫
∫
λ
λ
( )1 21 1 1 1
1 2 1 2 1 2 2 1 2 1 2 1 2
2 1 2
1 1 1 1
1 2 1 2 1 2 1 1
1 2 1 2
( ) ( )
( ) ( )
1
1 1
l sll l l lgl sgl l sl l sl gsl l sl l sl l sl g
t tl l sl g
l l l ll l g l l g l l gs l gs l gs l
t tl l g s l g sl
P
P P
dP s k T k T dPV
k T dP k TV V
φ⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎛⎞ ⎞⎛⎢ ⎥⎜⎢ ⎥⎟ ⎟⎜ ⋅ + ∇ ⋅ ∇ +∇ ⋅ ⋅⎢ ⎥⎜⎢ ⎥⎟ ⎟⎜⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎠⎣ ⎦ ⎝⎣ ⎦
+ ∇ ⋅ + ∇ ⋅
∫ ∫
∫ ∫
λ λ
λ λ 1 1
1 2 1 2 1 2 1 2
1 2
1 1 1 1 1 1
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 1 1 2
1 2 1 2 1 2
1 21 1
1 2 1 2 1
( )
( ) ( ) ( )
1
1 1 1
l lgsl l l s l l s l l sg
tl l s g
l l l l l ll gl l gl l gl s l sl l sl l sl g l sg l sg l sgl
t t tl g l s l sl g l s g ll l gl l
l l g l l g l
P
P P P
dP k T dPV
k T dP k T dP k T dPV V V
s sφ
+ ∇ ⋅
+ ∇ ⋅ + ∇ ⋅ + ∇ ⋅
+ Φ +
∫
∫ ∫ ∫
λ
λ λ λ
{ } { }
{ } { }
11 1 1 1 1 1
1 1 1 1 2 1 2 1 2 1 2
1 2 1 2
1 1 1 1
1 1 1 2 1 1 1
1 2 1 2
1 1 1 1
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1
1 1
1 1
1 ( )(
l sgl l l l l lsg l sg l g l g l gl l l l l l l s
L Ll gl l l s
l l l ll s l s l sl l g l g l gs
L Ll sl l gl
l l l ll l l l l l l l g l l l l
k T dL k T dLV V
k T dL k T dLV V
Cp T TV
φ
ρ
Φ + − ∇ ⋅ + − ∇ ⋅
+ − ∇ ⋅ + − ∇ ⋅
+ − −
∫ ∫
∫ ∫
υ υ
υ υ
v U{ }{ }
1 21 1 1
2 1 2 1 2 1 2
1 2
11 1 1 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1 1 1 1
1
)
1 ( )( )
l ll l ll l l l l l g
Ll l gl sl l l l l l l
l s l s l s l sg l s l s l s l s l sgLl sg
k T dL
Cp T T k T dLV
ρ
− ∇ ⋅
+ − − − ∇ ⋅
∫
∫
υ
v U υ
(286)
Para l2:
( )2 1
22 1 2 1 2 1 2 12 12 2 2 2 2 2 2 2
2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1
2 12
2 1 2 12 12 2 2 2 2
2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1
l l gll l g l l g l l g l l gl l gl l l l l l l l
l l g l l g l l g l l g l l g l l g l l g l l g
l glll gl l gll gll l l l l
l gl l gl l gl l gl l gl l gl
TCp s Cp s T
t
TCp s Cp s
t
ρ φ ρ φ
ρ φ ρ
⎞⎛ ∂ ⎟⎜ + ∇ ⋅⎟⎜ ∂
⎝ ⎠⎞⎛ ∂ ⎟⎜+ +⎟⎜ ∂
⎝ ⎠
v
( )
( )
2 1 2 12 2 2
2 1 2 1
2 12
2 1 2 1 2 1 2 12 12 2 2 2 2 2 2 2
2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1
22
2 22 2 22 2 2
l gl l gll l ll gl l gl
l l sll l s l l s l l s l l sl l sl l l l l l l l
l l s l l s l l s l l s l l s l l s l l s l l s
l gsll gs l gsl l l
l gs l gs l gs
T
TCp s Cp s T
t
TCp s Cp
t
φ
ρ φ ρ φ
ρ φ
∇ ⋅
⎞⎛ ∂ ⎟⎜+ + ∇⋅⎟⎜ ∂
⎝ ⎠⎞⎛ ∂ ⎟⎜+ +⎟⎜ ∂
⎝ ⎠
v
v
( )2 2 22 2 2 2 22 2 2 2 2
l gs l gs l gsl l l l ll gs l gs l gs l gs l gss Tρ φ ∇ ⋅v
156
( )2
22 2 2 222 2 2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2
2 12
2 1 2 1 22 12 2 2 2 2 2 22 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1
l sgll sg l sg l sg l sgl sgl l l l l l l l
l sg l sg l sg l sg l sg l sg l sg l sg
l slll sl l sl ll sll l l l l l l
l sl l sl l sl l sl l sl l sl l sl
TCp s Cp s T
t
TCp s Cp s
t
ρ φ ρ φ
ρ φ ρ φ
⎞⎛ ∂ ⎟⎜+ + ∇ ⋅⎟⎜ ∂
⎝ ⎠⎞⎛ ∂ ⎟⎜+ +⎟⎜ ∂
⎝ ⎠
v
v( )( ) ( )
( ) ( )
1 2 12
2 1
2 1 2 1 2 12 2 2 2 2 2 2 2 2 2
2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1
2 12 2 2 2 2 2
2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1
sl l slll sl
l l g l l g l gll l l l l l l l l ll l g l l g l l g l l g l l g l l g l l g l l g l gl l gl
l gll l l l l l ll gl l gl l gl l gl l gl l gl l sl
T
Cp T Cp T Cp
T Cp T Cp
ρ ρ ρ
ρ
∇ ⋅
+ ∇ ⋅ − ∇ ⋅ +
∇ ⋅ − − ∇ ⋅ +
v v
v v ( )( ) ( )
( ) ( )
2 12 2 2 2
2 1 2 1 2 1
2 1 2 22 2 2 2 2 2 2 2 2 2
2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 2 2 2 2
2 12 2 2 2 2 2
2 2 2 1 2 1 2 1 2 1
l sll l ll sl l sl l sl
l sl l sg l sgl l l l l l l l l ll sl l sl l sl l sl l sg l sg l sg l sg l sg l sg
l l sl l l l l ll sg l sg l l s l l s l l s l l s l
T
Cp T Cp T Cp
T Cp T Cp
ρ
ρ ρ ρ
ρ
∇ ⋅
− ∇ ⋅ + ∇ ⋅ −
∇ ⋅ + ∇ ⋅ −
v
v v
v v ( )( ) ( )
( )( )
2 12 2 2 2
2 1 2 1 2 1 2 1
2 2 2 12 2 2 2 2 2 2 2 2 22 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1
2 12 2 2
2 1 2 1 2 1 2 1
2 1( )
1
l l sl l l ll s l l s l l s l l s
l gs l gs l l sl l l l l l l l l ll gs l gs l gs l gs l gs l gs l gs l gs l l s l l s
l l sl l ll l s p l l s l l s l l sg
tl l s gP
T
Cp T Cp T Cp
T T dPV
ρ
ρ ρ ρ
∇ ⋅
+ ∇ ⋅ − − ∇⋅ +⎞⎛
⎜ − − ⋅⎜⎝
∫
v
v v
v v λ
( )( ) ( )
2 12 2
2 1 2 1
2 1 2 12 2 2 2 2 2
2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1
2 1
2 2 22 1 2 1 2 1 2 1 2 1
2 1
( )
( )
1
1
l sll ll sl l sl
l sl l l gl l l l l ll sl p l sl l sl l sl g l l g l l g l l g
tl sl g
l l ll l g l l g l l gs l l s l l
tl l g s
P
P
Cp
T T dP s k TV
k T dP s kV
ρ
φ
φ
⎟ +⎟⎠⎞⎛⎟⎜ − − ⋅ = ∇ ⋅ ∇⎟⎜
⎝ ⎠⎡ ⎤⎞⎛⎢ ⎥⎟⎜+∇ ⋅ ⋅ + ∇ ⋅⎢ ⎥⎟⎜
⎝ ⎠⎣ ⎦
∫
∫
v v λ
λ ( )
( )
( )
2 12 2
2 1
2 12 2 2 2 2
2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1
2 1
22 2 2 2 2
2 1 2 1 2 1 2 2 2
2 1
( )
( )
1
1
l l sl ls l l s
l gll l l l ll l s l l s l l sg l gl l gl l gl
tl l sg
l gsl l l l ll gl l gl l gl s l gs l gs l gs
tl g l s
P
P
T
k T dP s k TV
k T dP s k TV
φ
φ
∇
⎡ ⎤⎞⎛⎢ ⎥⎟⎜+∇ ⋅ ⋅ + ∇ ⋅ ∇⎢ ⎥⎟⎜
⎝ ⎠⎣ ⎦⎡ ⎤⎞⎛⎢ ⎥⎟⎜+∇ ⋅ ⋅ + ∇ ⋅ ∇⎢ ⎥⎟⎜
⎝ ⎠⎣ ⎦
+
∫
∫
λ
λ
( )
( )
22 2 2 2 2
2 2 2 1 2 2 2
2 1
2 12 2 2 2 2
2 2 2 1 2 1 2 1 2 1
2 1
2 2
2 1 2 1
( )
( )
1
1
1
l sgl l l l ll gs l gs l gsl l sg l sg l sg
tl g sl
l sll l l l ll sg l sg l sgl l sl l sl l gl
tl s g l
l ll sl l sl
P
P
P
k T dP s k TV
k T dP s k TV
k TV
φ
φ
⎡ ⎤⎞⎛⎢ ⎥⎟⎜∇ ⋅ ⋅ + ∇ ⋅ ∇⎢ ⎥⎟⎜
⎝ ⎠⎣ ⎦⎡ ⎤⎞⎛⎢ ⎥⎟⎜+∇ ⋅ ⋅ + ∇ ⋅ ∇⎢ ⎥⎟⎜
⎝ ⎠⎣ ⎦
+∇ ⋅
∫
∫
λ
λ
2 2
2 1 2 1 2 1 2 1
2 1 2 1
2 2 2 2
2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1
2 1 2 1
( ) ( )
( ) ( )
1
1 1
l ll sl g l l g l l g l l gs
t tl sl g l l g s
l l l ll gl l gl l gl s l l s l l s l l sg
t tl g l s l l s g
P
P P
dP k T dPV
k T dP k T dPV V
⎡ ⎤⎞⎛⎢ ⎥⎟⎜ ⋅ + ∇ ⋅⎢ ⎥⎟⎜
⎝ ⎠⎣ ⎦
+ ∇ ⋅ + ∇ ⋅
∫ ∫
∫ ∫
λ λ
λ λ
157
2 2 2 2 2 2
2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 2 1
2 1 2 1 2 1
2 12 2 2 2 2 22 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1
( ) ( ) ( )
1 1 1
1 ( )( ) ( )(
l l l l l ll gs l gs l gsl l sl l sl l sl g l sg l sg l sgl
t t tl g sl l sl g l s gll ll l l l l l
l l l l l l l l g l l l l l l l l l l g
P P Pk T dP k T dP k T dP
V V V
Cp T TV
ρ β
+ ∇ ⋅ + ∇ ⋅ + ∇ ⋅
+ − − + −
∫ ∫ ∫λ λ λ
v U v U{} {
} { }
2 12 22 1 2 1
2 1
22 2 2 2 2 2 2 2
2 1 2 1 2 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2
2
22 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1
( )
( )
)
1 ( )( ) ( )
1( )
l ll ll l l l
tl l gl sl l l l l l l l
l l l l l l g l s l s l s l sg l s l s l s l s l sgtl sg
l sl l l l l ll s l s l s l s l sg l l l l l l s
L
L
p p
k T dL Cp T TV
p p k T dL k TV
ρ β
−
− ∇ ⋅ + − − + −
− − ∇ ⋅ + − ∇ ⋅
∫
∫υ v U v U
υ υ
{ } { } { }2 1
2 2 2 2 2 22 2 2 1 2 2 2 1 2 2 2
2 1 2 1 2
( )
( ) ( ) ( )
1 1 1tl l s
l l l l l ll s l s l sl l g l g l gl l g l g l gs
t t tl s l l gl l gs
L
L L L
dL
k T dL k T dL k T dLV V V
+ − ∇ ⋅ + − ∇ ⋅ + − ∇ ⋅
∫
∫ ∫ ∫υ υ υ
(287)
Para s:
2 1 2 1 2
2 1 2 1 22 1 2 1 2
2 1 2 1 2 2 1 2 1 2
1
1 1
1 1 1 1
(1 ) (1 ) (1 )
(1 )
sl l sl g sl ls s s
sl l sl g sl lsl l sl g sl ls s s s s ssl l sl l sl g sl g sl l sl l
sl gs
sl g ssl gs s s ssl g sl g sgl sgl
T T TCp Cp Cp
t t t
TCp Cp
t
ρ φ ρ φ ρ φ
ρ φ ρ
⎞ ⎞ ⎞⎛ ⎛ ⎛∂ ∂ ∂⎟ ⎟ ⎟⎜ ⎜ ⎜− + − + −⎟ ⎟ ⎟⎜ ⎜ ⎜∂ ∂ ∂
⎝ ⎝ ⎝⎠ ⎠ ⎠⎞⎛ ∂ ⎟⎜+ − +⎟⎜ ∂
⎝ ⎠
( ) ( )
1 2
1 21 2
2 2
1 2 1
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 1
1 2
1 1
( )
(1 ) (1 )
1(1 ) (1 )
1
sgl sgls s
gl sglsgl sgls ssgl sgl
sl l sl gs s s s s ssl l sl l sl l sl l sl l g sl g sl g
tsl l g
ssl g sl g
P
T TCp
t t
k T k T dP k TV
k TV
φ ρ φ
φ φ
⎞ ⎞⎛ ⎛∂ ∂⎟ ⎟⎜ ⎜− + −⎟ ⎟⎜ ⎜∂ ∂
⎝ ⎝⎠ ⎠⎡ ⎤⎞⎛⎢ ⎥⎟⎜= − ∇⋅ ∇ +∇ ⋅ ⋅ + − ∇ ⋅ ∇⎢ ⎥⎟⎜
⎝ ⎠⎣ ⎦
+∇ ⋅
∫ λ
( )
( )
2 1
1 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1
1 2 2 1
2
2 2 2 2 2 1
2 1
( ) ( )
( )
1(1 )
1(1 )
sl ls s s s s
sl gl sl l sl l sl l sl l sl l gt tsl gl s l l g
sl gs s s ssl g sl g sl g sl g sl gl
ts l gl
P P
P
dP k T k T dPV
k T k T dPV
φ
φ
⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎞ ⎞⎛ ⎛⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎟ ⎟⎜ ⎜⋅ + − ∇ ⋅ ∇ +∇ ⋅ ⋅⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎟ ⎟⎜ ⎜
⎝ ⎝⎠ ⎠⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎡ ⎤⎞⎛⎢ ⎟⎜+ − ∇ ⋅ ∇ +∇ ⋅ ⋅⎢ ⎟⎜
⎝ ⎠⎣
∫ ∫
∫
λ λ
λ ( )
( )
1
1 1
2
1 1 1 2 2 2 2 2 2 1
1 2 2 1
1 2 1 2 1 2
1 2
( ) ( )
( )
(1 )
1 1(1 )
1
sgls ssgl sgl
sgls s s s s ssgl sgl sgl l sgl sgl sgl sgl sgl l
t ts gl l s gl l
s ssl l sl l sl l
tsl l g
P P
P
k T
k T dP k T k T dPV V
k TV
φ
φ
⎥ + − ∇ ⋅ ∇⎥⎦
⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎞ ⎞⎛ ⎛⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎟ ⎟⎜ ⎜+∇ ⋅ ⋅ + − ∇ ⋅ ∇ +∇⋅ ⋅⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎟ ⎟⎜ ⎜
⎝ ⎝⎠ ⎠⎣ ⎦ ⎣ ⎦
+ ∇ ⋅
∫ ∫
∫
λ λ
λ1 1 1 2 2 1 2 1 2 1
1 2 2 1
2 2 2 1 1 1 1 2 2 2 2 1
2 1 1 2 2 1
( ) ( )
( ) ( ) ( )
1 1
1 1 1
1
s s s sg sl g sl g sl gl sl l sl l sl l g
t tsl g l s l l g
s s s s s ssl g sl g sl gl sgl sgl sgl l sgl sgl sgl l
t t tsl g l s g l l s g l l
P P
P P P
dP k T dP k T dPV V
k T dP k T dP k T dPV V V
kV
+ ∇ ⋅ + ∇ ⋅
+ ∇ ⋅ + ∇ ⋅ + ∇ ⋅
+ −
∫ ∫
∫ ∫ ∫
λ λ
λ λ λ
{ } { } { }
{ } { } { }
1 2 2 2 1 2
1 2 1 2
1 1 1 2 1 1 1 2 2 2
11 2 2
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
1 1
1 1 1
s ss s s ssg sg sg l sl s l sl l s g s g s gl
t t ts g l sl l sgl
s s s s s ss l s l s l l sl sl sl g sl s l sl g
t t ts l gsl l sl g
L L L
L L L
T dL k T dL k T dLV V
k T dL k T dL k T dLV V V
∇ ⋅ + − ∇ ⋅ + − ∇ ⋅
+ − ∇ ⋅ + − ∇ ⋅ + − ∇ ⋅
∫ ∫ ∫
∫ ∫ ∫
υ υ υ
υ υ υ
(288)
Al igual que la Ec. (284), las Ecs. (285)-(288) además de los términos de acumulación,
convectivos, y conductivos presentan términos de: 1) transferencia de energía de las
interfases a la línea de contacto y de la línea de contacto al punto de contacto entre g con l1
158
y l2 , 2) generación de calor de g con l1, y 3) términos de flux de calor de la línea al punto
de contacto.
Es importante mencionar que las Ecs. (285)-(288) hasta el momento no habían sido
reportados en la literatura especializada.
4. 3. 4 Ecuación promediada en el punto de contacto
Como se ha mencionado anteriormente los balances en el punto de contacto han sido poco
estudiados (Gray y Hassanizadeh, 1998). En esta sección se presenta el balance en el punto
de contacto para la ecuación de energía para cada una de las fases involucradas en el
sistema.
Partiendo del balance en el punto de contacto [Ec. (192)] se expresa el balance para el
punto de contacto para la fase k como:
{ }0 ( )( ) ( )( )kmn kmk k k k k k k k k k
kmn kmn kmn p kmn kmn kmn kmn p kmn km kmn kmn k mnqCp T T p p k Tρ β= − − + − − − ∇ ⋅v v v v λ
(289)
donde ( )1 2 1 2 1 2 1 2, , , ; , , , ; , , , ; , , , ;k g l l s m g l l s n g l l s q g l l s k m n= = = = ≠ ≠ , pv es la velocidad
del punto de contacto formado por las fases kmnq, gmnqλ es el vector unitario tangente a la
línea de contacto “kmn” dirigido hacia el punto de contacto kmnq.
Aplicando las Ecs (41) y (43) a la Ec. (289) se tiene la ecuación promediada en el punto de
contacto
{}
0 ( )( )( )( )kmkmnk k k kk k k k k
kmnq kmn kmn p kmn kmkmn kmn kmn p kmn kmn
k mnqk kk mnqkmn kmn
p pCp T T
k T
ε βρ= + − −− −
⋅− ∇
v vv v
λ (290)
Para la Ec. (290) se considera que k kkmnq kmnqsε φ= , donde
kkmnqk
kmnqm
Ps
V= , y mV
Vφ = , quedando
redefinida de la siguiente manera:
159
{( )
Transferencia de energía por cambio de fase y presión en el punto de contacto
10 ( )( ) ( )( )kmn kmk k k k k k k k
kmn kmn kmn p kmn kmn kmn kmn p kmn kmkmnq
kkmn k
P t
Cp T T p pV
k T
ρ β= − − + − −
− ∇
∫ v v v v
}Transferencia de energía por conducción en el punto de contacto
kk mnqmn dP⋅ λ
(291)
Dado que la fase k=l1, l2, g, s, la forma extendida de la Ec. (291) para cada una de estas
fases al tomar en cuenta las consideraciones hechas en la sección 2.2 (líquidos inmiscibles
e incompresibles, gas compresible, transferencia de masa entre l1 con g l2 con g, y
generación de calor entre l1 con g) son:
Para g:
{ }1 1
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2
1 2
1 1
1 1 1 1 1 1 1 1 1
( )
10 ( )( ) ( )( )
1 ( )( ) ( )(
gsl g slg g g g g g g g g ggsl g sl g sl p g sl gsl g sl g sl p g sl g sl g sl g sl g sl l
tg sl lgl s g l sg g g g g g g g
g l s g l s g l s p g l s g l s g l s g l s p g l s g l s
PCp T T p p k T dP
V
Cp T T p pV
ρ β
ρ β
= − − + − − − ∇ ⋅
+ − − + − −
∫ v v v v λ
v v v v{ }{ }
1 1 1 2
1 2
2 2
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1
2 1
2
2 2 2 2 2
( )
( )
)
1 ( )( ) ( )( )
1 ( )(
g gg l s g l s g l sl
tg l slg sl g slg g g g g g g g g g
g sl g sl g sl p g sl g sl g sl g sl p g sl g sl g sl g sl g sl ltg sl l
gl sg g g g gg l s g l s g l s p g l s g l s
P
P
k T dP
Cp T T p p k T dPV
Cp T TV
ρ β
ρ
− ∇ ⋅
+ − − + − − − ∇ ⋅
+ − −
∫
∫
λ
v v v v λ
v v{ }{ } { }
2
2 2 2 2 2 2 2 1
2 1
2 1 2 1 2 1 1 2 1 2 1 2
2 1 1 2
( )
( ) ( )
) ( )( )
1 1
g l sg g g g gg l s g l s p g l s g l s g l s g l s g l sl
tg l sl
g g g gg l l g l l g l l s g l l g l l g l l s
t tgl l s gl l s
P
P P
p p k T dP
k T dP k T dPV V
β+ − − − ∇ ⋅
+ − ∇ ⋅ + − ∇ ⋅
∫
∫ ∫
v v λ
λ λ
(292)
Para l1:
{ }{ }
1 21 1 1 1 1 1 11 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
1 2
1 21 1 1 1 1 1 1
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
1 2
( )
( )
10 ( )( )
1 ( )( )
1
l l sl l l l l l ll l s l l s l l s p l l s l l s l l s l l s l l sg
P tl l sgl sll l l l l l l
l sl l sl l sl p l sl l sl l sl l sl l sl gP tl sl g
Cp T T k T dPV
Cp T T k T dPV
kV
ρ
ρ
= − − − ∇ ⋅
+ − − − ∇ ⋅
+ −
∫
∫
v v λ
v v λ
{ } { }
{ } { }
1 1 1 1
1 1 1 2 1 1 1 2
1 2 1 2
1 1 1 11 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
1 2 1 2
( ) ( )
( ) ( )
1
1 1
l l l ll sg l sg l sg l l gs l gs l gsl
P t P tl sg l l gsl
l l l ll l g l l g l l gs l gl l gl l gl s
P t P tl l gs l gl s
T dP k T dPV
k T dP k T dPV V
∇ ⋅ + − ∇ ⋅
+ − ∇ ⋅ + − ∇ ⋅
∫ ∫
∫ ∫
λ λ
λ λ
(293)
Para l2
{ }2 12 2 2 2 2 2 2
2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1
2 1( )
10 ( )( )l l sl l l l l l l
l l s l l s l l s p l l s l l s l l s l l s l l sgP tl l sg
Cp T T k T dPV
ρ= − − − ∇ ⋅∫ v v λ
160
{ }{ } { }
2 12 2 2 2 2 2 2
2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1
2 1
2 2 2 2
2 2 2 1 2 2 2 1
2 1 2 1
2
2 1 2 1
( )
( ) ( )
1 ( )( )
1 1
1
l sll l l l l l ll sl l sl l sl p l sl l sl l sl l sl l sl g
P tl sl g
l l l ll sg l sg l sg l l gs l gs l gsl
P t P tl sgl l gsl
l ll l g l l g
Cp T T k T dPV
k T dP k T dPV V
k TV
ρ+ − − − ∇ ⋅
+ − ∇ ⋅ + − ∇ ⋅
+ − ∇
∫
∫ ∫
v v λ
λ λ
{ } { }2 2 2
2 1 2 1 2 1 2 1
2 1 2 1( ) ( )
1 l ll l gs l gl l gl l gl s
P t P tl l gs l gl s
dP k T dPV
⋅ + − ∇ ⋅∫ ∫λ λ
(294)
Para s:
{ } { }
{ } { }
{ }
2 2 2 1 2 2 2 1
2 1 2 1
2 1 2 1 2 1 1 2 1 2 1 2
2 1 1 2
1 1 1 2
1 2
( ) ( )
( ) ( )
( )
1 10
1 1
1
s s s ssl g sl g sl gl s gl s gl s gl l
P t P tsl gl sgl l
s s s ssl l sl l sl l g sl l sl l sl l g
P t P tsl l g sl l g
s ss gl s gl sgl l
P tsgl l
k T dP k T dPV V
k T dP k T dPV V
k T dPV
= − ∇ ⋅ + − ∇ ⋅
+ − ∇ ⋅ + − ∇ ⋅
+ − ∇ ⋅
∫ ∫
∫ ∫
∫
λ λ
λ λ
λ { }1 1 1 2
1 2( )
1 s ssl g sl g sl g l
P tsl gl
k T dPV
+ − ∇ ⋅∫ λ
(295)
4. 4 DISCUSIÓN DE RESULTADOS
Se desarrolló un conjunto de ecuaciones de energía promediadas en volumen para flujo
multifásico en un medio poroso. Tales ecuaciones, describen la transferencia de calor en
las fases, interfases, líneas y puntos de contacto [Ver Ecs. (224)-(227), (257)-(260), (285)-
(288) y (292)-(295)].
La ecuación obtenida para la fase k [Ec. (222)] fue propuesta para las fases g, l1, l2 y s con
la finalidad de obtener un modelo de fases separadas o bien un modelo de desequilibrio
termodinámico.
Ecuaciones similares para la fase fueron obtenidas por Espinosa-Paredes y Cazarez-Candia
(2004), Duval et al.(2004), Ochoa-Tapia y Whitaker (1997a, 1997b ), Quintar et al. (1997),
Moyne (1997) y Whitaker (1986a). Por otro lado, los trabajos antes mencionados trabajan
con flujo monofásico y bifásico dentro de un medio poroso y en la mayoría de estos, con
excepción del trabajo de Espinosa-Paredes y Cazarez-Candia (2004), no toman en cuenta
la compresión del gas, la disipación viscosa ni la generación de calor. Por otro lado, el
161
trabajo realizado por Moyne (1997) considera que la transferencia de calor es únicamente
por conducción lo que hace que el balance para la fase sea aun más sencillo.
Otros trabajos que involucran la ecuación de energía para la fase son los trabajos hechos
por Hassanizadeh y Gray (1979b, 1980, 1997), Slattery (1990), Soria y De Lasa (1991),
Achanta et al. (1994), Gray y Hassanizadeh (1998) y Gray (1999). Sin embargo, en éstos,
la ecuación de energía fue expresada en términos de energía total. En dichos trabajos
(Hassanizadeh y Gray 1979b, 1980) consideraron que la transferencia de energía por
cambio de fase, esfuerzos y conducción eran despreciables. Por otro lado, los balances de
energía para la interfase y línea de contacto en términos de energía total se encuentran en
los trabajos hechos por Slattery (1990), Gray y Hassanizadeh (1998), Hassanizadeh y Gray
(1997), Gray (1999) y Achanta et al. (1994). En estos trabajos, los balances en la línea de
contacto, con excepción del presentado por Gray y Hassanizadeh(1998), las propiedades
termodinámicas en línea de contacto fueron consideradas irrelevantes.
Respecto al balance en el punto de contacto, solo fue presentado en el trabajo de Gray y
Hassanizadeh (1998), quienes también propusieron los balances para la fase, interfase y
línea de contacto. Dichos balances también fueron expresados en términos de energía total.
A diferencia de los trabajos antes mencionados, en esta investigación se partió de la
ecuación de energía para el flujo multifásico de l1, l2 y g dentro de un medio poroso
homogéneo, isotrópico y rígido. Se propusieron y desarrollaron balances para la fase,
interfase, línea y punto de contacto en términos de temperatura tomándose en cuenta: 1) la
compresibilidad del gas, 2) la generación de calor, 3) la transferencia de energía por
cambio de fase, presión y conducción, 4) el término de la curvatura media interfacial (para
el caso del balance en la interfase), 5) el balance en la línea de contacto con propiedades
termodinámicas (densidad, temperatura, presión) y 6) la transferencia de calor por
convección y conducción.
162
Por otro lado, al igual que los trabajos hechos por Espinosa-Paredes y Cazarez-Candia
(2004), Duval et al.(2004), Ochoa-Tapia y Whitaker (1997a, 1997b ), Quintar et al. (1997),
Moyne (1997), Whitaker (1986a), Hassanizadeh y Gray (1979b, 1980, 1997), Soria y De
Lasa (1991), Achanta et al. (1994), Gray y Hassanizadeh (1998) y Gray (1999), se
obtuvieron términos adicionales durante el proceso de promediado (términos de dispersión
de temperatura, presión y velocidad) para las fases, interfases, líneas y puntos de contacto
(Ver Ecs. (222), (255), (283) y (290)) conocidos como términos de cerradura.
De forma resumida la Tabla 4.1 muestra la comparación de las ecuaciones de energía
obtenidas contra los trabajos previamente mencionados.
163
Tabla 4.1 Comparación de las ecuaciones de energía obtenidas contra otros trabajos. Autor Ecuación
Fase k Ochoa-Tapia y Whitaker (1997a, 1997b), Quintar et al. (1997)
( ) ( ) ( ) ( )1 2
( ) ( )
1 1
km
k k kk k k k k k k k k k k k m km k k kmk kk
t tl l
kk
k k kA A
TCp Cp T Cp T k T T dA k T dA
t V Vε ρ ρ ε ρ ε
⎡ ⎤⎞⎛∂⎢ ⎥+ ∇ ⋅ + ∇ ⋅ = ∇ ⋅ ∇ + ⋅ + ∇ ⋅⎟⎜⎜ ⎟∂ ⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦
∫ ∫v v n n
Moyne (1997), Whitaker (1986a)
( )( ) ( )
1 1
km km
kk k k m km k k kmk
t t
kk
k k kA A
TCp k T T dA k T dA
t V Vε ρ ε
⎡ ⎤⎞⎛∂⎢ ⎥= ∇ ⋅ ∇ + ⋅ + ∇ ⋅⎟⎜⎜ ⎟∂ ⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦
∫ ∫n n
Duval et al. (2004) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )
( )
( ) ( )
1
1 1
km
km
k k kk k k k k k k k k k k k km k k kmk kk
t
N Nk kk k k k km k k k k k km
km kmt tkm
kk
k k kA
A A
TCp Cp T Cp T Cp T T dA
t V
k T T dA k T k T dAV V
ε ρ ρ ε ρ ρ
ε ε
∂+ ∇ ⋅ + ∇ ⋅ + − − ⋅
∂
⎡ ⎤⎞⎛⎢ ⎥= ∇ ⋅ ∇ + ⋅ −∇ ⋅ ∇ + ∇ ⋅⎟⎜⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦
∫
∑ ∑∫ ∫
v v v w n
n n
Espinosa-Paredes y
Cazarez-Candia (2004)
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )( ) ( )( )( ) ( )
1 1
1km km
k kk k k kk k
k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k kk k k k
k kk k k k k k k k k km k k km k k km k k kmk
t t
kk k k
A A
T pCp Cp T p Cp T Cp T
t t
p p Cp T T dA p p dAV V
k T
ε ρ ε ρ β ε β ε ρ ρ
β β ρ β
ε
∂ ∂+ ⋅∇ + + ⋅∇ + ∇⋅ − ∇ ⋅
∂ ∂⎞ ⎞⎛ ⎛
+ ∇ ⋅ − ∇ ⋅ + − − ⋅ + − − ⋅⎟ ⎟⎜ ⎜⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎝⎠ ⎠
= ∇⋅ ∇ +
∫ ∫
v v v v
v v v w n v w n
( ) ( )
1
km km
N N kk km k k km k k
km kmt tA AT dA k T dA
V Vε
⎡ ⎤⎞⎛⎢ ⎥⋅ + ∇ ⋅ + Φ⎟⎜⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦
∑ ∑∫ ∫n n
164
Continuación (Tabla 4.1) Fase k
Hassanizadeh y Gray
(1979, 1980) ( ) ( )
( )( )( )
1 12 22 2
1 22
( )
1
km
k k k k k k k k k k k k k k kk kk k k k k k k k k k k k k k k
k kkk k km k k k k km
tA
E Et
E dAV
ρ ρ ρ ρ ρ ρ
ρ
∂ ⎡ ⎤+ +∇ ⋅ + −∇ ⋅ +∇ ⋅ − ⋅ − Φ⎣ ⎦∂
= − − + − ⋅ − ⋅∫
v v v t v q g v
v w v t v q n
Hassanizadeh y Gray (1997)
( ) ( ) ( )( )( )
( )
2 21 12 2
212
( )
212
1
1
km
k kk k k k k kk kk k k k k k k k k k k k
N k kk k k k k kk k k k k k k k k k km k k k k kmk
km t k k
km kkmk k k kkm km km kms kmkmk k
km km
A
E Et
E dAV
EV
ε ρ ε ρ ε ε
ε ρ ε ρ ε ρε ρ
ε ρε ρ
∂ ⎡ ⎤+ +∇⋅ + −∇⋅ ⋅ −∇ ⋅⎢ ⎥⎣ ⎦∂⎞⎛ ⎞⎛⎟⎜− ⋅ − Φ = − − + + ⋅ + ⋅⎟⎜⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠
+ − +
∑ ∫
v v v t v q
g v v w v t v q n
v U v( )kms
mk k kkm km km kms
tLdA
⎞⎛ ⎞⎛⎟⎜ + ⋅ + ⋅⎟⎜⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠
∫ t v q υ
Gray (1999) ( ) ( ) ( )( )( )
1:km
k k Nk k k k k k kk k k kk k k k k k k k k k k k km k k k km
km tA
D EE E dA
Dt Vε ρ
ε ε ε ρ ε ρ ρ−∇⋅ −∇ − − Φ = − − − ⋅ − ⋅∑ ∫q v t I v w t v q n
Gray y Hassanizadeh
(1998); Achanta et al.
(1994)
( ) ( )( )( )
1:km
k k Nk k k k k kk k kk k k k k k k k k k km k k k km
km tA
D EE dA
Dt Vε ρ
ε ε ε ρ ρ−∇⋅ − ∇ − Φ = − − − ⋅ − ⋅∑ ∫q t v v w t v q n
donde E es la energía total (energía interna mas energía cinética) y t es el tensor de esfuerzos.
165
Continuación (Tabla 4.1)
Fase k
En el presente trabajo
( )( ) ( )( )( ) ( )
1 1
k kk k k k k k k kk k
k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k
Nk k kk k k k k k k k k km k k km k k km k k km
km kmt tkm kmk m kA A
T pCp Cp T p Cp T Cp T
t t
p p Cp T T dA p p dAV V
ρ ε ρ ε β ε β ε ρ ρ
β β ρ β≠ ≠
⎞⎛ ∂ ∂+ ⋅∇ + + ⋅∇ + ∇⋅ − ∇ ⋅⎟⎜⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠
⎞⎛⎟⎜+ ∇ ⋅ − ∇ ⋅ + − − ⋅ + − − ⋅⎟⎜⎜ ⎟
⎝ ⎠∑ ∫ ∫
v v v v
v v v w n v w n
( )( ) ( )
1 1
N
m
N N gkk k k k k km k k km g g
km kmt tkm kmk m k mA A
k T k T dA k T dAV V
ε ε≠ ≠
⎞⎛⎟⎜⎟⎜⎜ ⎟
⎝ ⎠⎡ ⎤⎞⎛⎢ ⎥⎟⎜= ∇ ⋅ ∇ +∇⋅ ⋅ + ∇ ⋅ + Φ⎢ ⎥⎟⎜⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦
∑
∑ ∑∫ ∫n n
166
Continuación (Tabla 4.1)
Interfase km Gray (1999) ( ) ( )
( )( ) ( )( )( ) ( )
:
1 1
km kmn
kmk k km km km km km km kmkm km k k k k k k k k k kkmkm km km km km km km km km km
Nk k k k kk km
k k km k k k km km km kmn km km km kmnkm t tA L
D EE
DtE dA E dL
V V
ε ρε ε ε ρ ε ρ
ρ ρ
−∇ ⋅ −∇ − − Φ
= − + ⋅ − ⋅ − − + ⋅ − ⋅∑ ∫ ∫
q v t I
v w t v q n v U t v q υ
Gray y Hassanizadeh
(1998) ( ) ( )( )
( )( )( )
( )
1:
1km
kmn
Nkmkm km km km km kmk k k k k k k k k k kkm km km km km km km km km km k k km k k k km
km tQ
k k k k kkmkm km kmn km km km kmn
kmn t
A
L
DE E dADt V
E dLV
ε ρ ε ε ε ρ ρ
ρ
−∇⋅ −∇ − Φ = − − + ⋅ + ⋅
− − + ⋅ + ⋅
∑ ∫
∑ ∫
q v t v w t v q n
v U t v q υ
Achanta et al.
(1994) ( ) ( )( )
( )( )( )
( )
1:
1km
kms
Nkmkm km km km km kmk k k k k k k k k k kkm km km km km km km km km km k k km k k k km
km t
k k k k kkmkm km kms km km km kms
t
A
L
DE E dADt V
E dLV
ε ρ ε ε ε ρ ρ
ρ
−∇⋅ −∇ − Φ = − − + ⋅ + ⋅
− − + ⋅ + ⋅
∑ ∫
∫
q v t v w t v q n
v U t v q υ
Hassanizadeh
y Gray (1997)
( ) ( ) ( )( )( )
2 21 12 2
212
1
k
km kmkm km km km km kmk k k k k k k k k k k kkm kmkm km km km km km km km km km km km
k kkm km km km km kk k k k k k kkm km km km km km km k k k km k k k k kmk
k kA
E Et
E dAV
ε ρ ε ρ ε ε
ε ρ ε ρ ε ρε ρ
∂ ⎡ ⎤+ +∇ ⋅ + −∇⋅ ⋅ −∇ ⋅⎢ ⎥⎣ ⎦∂⎞⎛ ⎞⎛⎟⎜− ⋅ − Φ = − − + + ⋅ + ⋅⎟⎜⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠
v v v t v q
g v v w v t v q n
( )
( )
212
( )
1
m
kms
N
km t
km kmkmk k k k k k kkm km km kms km km km km kmskmk k
t km kmL
E dAV
ε ρε ρ
⎞⎛ ⎞⎛⎟⎜+ − + + ⋅ + ⋅⎟⎜⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠
∑ ∫
∫ v U v t v q υ
167
Continuación (Tabla 4.1)
Interfase km
En el presente trabajo
( ) ( )( ) ( ) ( )
km kmk kkm km km km kmk k k k k kkm kmk kkm km km km km km kmkmkm km
kmkm km k k kkm km km km km km
km km k k kk kkm km kmkm km km
km km kk k kk kkm km kmkm km kmkm km km km
T pCp Cp Cp TT wt t
Cp T w Cppp w
ρ ρ ρ βεεε ε
β β ρ ρεε
⎞ ⎞⎛ ⎛∂ ∂+ + +∇⋅⎟ ∇ ⋅ ⎟⎜ ⎜⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎝⎠ ⎠
+ + + ∇⋅ +∇ ⋅∇ ⋅
vn
nvn ( )( ) ( ) ( )
( )( ) ( )( )( ) ( )
1 1
kmk
kmk kkm km km km km
Q km kmk k k k k kkmk k km km km km km kmkm km kmkmn kmn
k m n
k kkm km
k k k k k k kkm km km km km km km km km
kmn kmn kmn kmnL t L tkmn kmn
T
Cp T p w p p
T T dL p p dLCp V V
ρ β β β
ρ β≠ ≠
∇ ⋅
− ∇ ⋅ + ∇ ⋅ + ∇⋅ − ∇⋅
⎞⎛− − ⋅ − − ⋅⎟⎜+ +
⎜ ⎟⎝ ⎠∑ ∫ ∫
v
v n v v
v U υ v U υ
{ }( )( )
( )
1 1
1 ( )( ) ( )( )
Q
k m n
Q Q kmk k kkm km km km km km kmn km km
kmn kmn tk m n k m n
k k
k k k k m k k k k k m k k k k k m
k k k k kkmn
LL t kmnkmn
k m A tk m km
k T T dL k T dLV V
Cp T T p p k T dAV
ε ε
ρ β
≠ ≠
≠ ≠ ≠ ≠
≠
⎞⎛⎟⎜
⎜ ⎟⎝ ⎠
⎡ ⎤⎞⎛⎢ ⎥⎟⎜= ∇ ⋅ ∇ + ⋅ + ∇ ⋅ + Φ⎢ ⎥⎟⎜⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦
− − + − − − ∇ ⋅
∑
∑ ∑∫ ∫
∫
υ υ
v w v w nN
∑
168
Continuación (Tabla 4.1)
Línea de contacto kmn Gray (1999)
( ) ( )( )( )
( )
:
1
kmn
kmnk k kmn kmn kmn kmn kmn kmn kmnkmn kmn k k k k k k k k k kkmnkmn kmn kmn kmn kmn kmn kmn kmn kmn kmn
k k k k kkmkm km kmn km km km kmn
tL
D EE
DtE dL
V
ε ρε ε ε ρ ε ρ
ρ
−∇ ⋅ −∇ − − Φ
= − − + ⋅ − ⋅∫
q v t I
v U t v q υ
Hassanizadeh y Gray (1997)
( ) ( ) ( )( )
( )
2 21 12 2
1
kmn kmnkmn kmn kmn kmn kmnk k k k k k k k k kkmn kmnkmn kmn kmn kmn kmn kmn kmn kmn kmn kmn
kmn kmn kmn kmn kmn kmnk k k k k k k k kkmn kmn kmn kmn kmn kmn kmn kmn kmn
kmkmk k kkm km km kms
k
E Et
EV
ε ρ ε ρ ε
ε ε ρ ε ρ
ε ρε
∂ ⎡ ⎤+ +∇⋅ + −∇ ⋅ ⋅⎢ ⎥⎣ ⎦∂−∇ ⋅ − ⋅ − Φ
= − −
v v v t v
q g v
v U 212
( )kms
kmk k k kkm km km km kmskmk k
t m kmLdA
ρ
⎞⎛ ⎞⎛⎟⎜ + + ⋅ + ⋅⎟⎜⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠
∫ v t v q υ
Gray y Hassanizadeh
(1998) ( )
( )( ) ( )( )( ) ( )
:
1 1
kmn kmnq
kmnkmn kmn kmn kmn kmn kmnk k k k k k k k k kkmn kmn kmn kmn kmn kmn kmn kmn kmn kmn
Q Pk k k k k k k k k kkm kmnkm km kmn km km km kmn kmn kmn p kmn kmn kmn kmnq
kmn kmnqt tL P
DEDt
E dL E dPV V
ε ρ ε ε ε ρ
ρ ρ
−∇⋅ −∇ − Φ
= − − − ⋅ − ⋅ − − − ⋅ − ⋅∑ ∑∫ ∫
q v t
v U t v q υ v v t v q λ
169
Continuación (Tabla 4.1)
Línea de contacto kmn
En el presente trabajo
( ) (( ) ( )
kmn kmnk kkmn kmn kmn kmn kmn kmnk k k k k kkmn kmn k k kk kkmn kmn kmn kmn kmn kmn kmn kmn kmnkmn kmn
kmn kmnk k k k k k kkmn kmn kmn kmn kmn kmn kmn k
k k kkmn kmn kmn
k kkmn kmn
T pCp Cp T pt t
Cp T Cp T
ρ ρ β βε εε ε
ρ ρ β
⎞ ⎞⎛ ⎛∂ ∂+ + +∇⋅ ∇ ⋅⎟ ⎟⎜ ⎜∂ ∂⎝ ⎝⎠ ⎠
+ ∇ ⋅ − ∇ ⋅ + ∇ ⋅
v v
v v v( ) ( )( )( ) ( )( )
( )
( ) ( )
1 1
k k k k kmn kmn kmn kmn kmn
P Pkmn kmnk kkmn k k k kk k kkmn p kmnq kmn p kmnqkmn kmn kmn kmnkmn kmn kmnkmnq kmnqt tkmnq kmnqk m n q k m n q
kmnk k kkmn kmn kmn
P P
p p
dP dPT T p pCp V V
k T k
β
ρ β
ε
≠ ≠ ≠ ≠ ≠ ≠
− ∇ ⋅⎞ ⎞⎛ ⎛
− ⋅ − ⋅− −⎟⎜ ⎜+ +⎜ ⎟ ⎜⎝ ⎝⎠ ⎠
= ∇ ⋅ ∇ +∇⋅
∑ ∑∫ ∫
v
v v λ v v λ
{ }( ) ( )
1 1
1 ( )( ) ( )( )
P P kmnk k k k k kkmn kmn kmnq kmn kmn kmnq kmn kmn
kmnq kmnqt tkmnq kmnqk m n q k m n q
km kmk k k k k k k k k kkm km km kmn km km km km kmn km km km km km
P PT dP k T dP
V V
Cp T T p p k TV
ε
ρ β
≠ ≠ ≠ ≠ ≠ ≠
⎡ ⎤⎞⎛⎢ ⎥⎟⎜ ⋅ + ∇ ⋅ + Φ⎢ ⎥⎟⎜⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦
+ − − + − − − ∇ ⋅
∑ ∑∫ ∫λ λ
v U v U υ( )
Q
nkmn
k m n L tkmn
dL≠ ≠
∑ ∫
Punto de contacto kmnq
Gray y Hassanizade
h (1998)
( )( )( )212
( )
10kmnq
kmnk k k k k kkmnkmn km kmn kmn kmn kmn kmn kmnq
tPE dP
Vρ= − − + − ⋅ − ⋅∫ v U v t v q λ
En el presente trabajo
{ }( )
10 ( )( ) ( )( )kmn kmnk k k k k k k k k k
kmn kmn kmn p kmn kmn kmn kmn p kmn kmn kmn kmn kmn
P tkmnq
Cp T T p p k T dPV
ρ β= − − + − − − ∇ ⋅∫ v v v v λ
170
4. 5 CONCLUSIONES
Se obtuvo un conjunto de ecuaciones de energía del tipo promedio para flujo multifásico
de gas (g) y dos líquidos inmiscibles (l1, l2) dentro de un medio poroso homogéneo,
isotrópico y rígido.
Las ecuaciones de energía fueron promediadas en volumen para las fases, interfaces, líneas
y puntos de contacto, tomando en cuenta la transferencia de energía por cambio de fase,
presión y conducción de acuerdo al proceso tipo cascada.
La inclusión de las propiedades termodinámicas y de transporte (densidad, presión,
viscosidad y conductividad térmica) dentro del balance de energía en la línea de contacto
permitió completar las teorías para flujo multifásico, obteniéndose términos que a la fecha
no habían sido reportados en la literatura especializada (Ver Tabla 4.1).
Al igual que las ecuaciones de masa y cantidad de movimiento promediadas en cada una
de las regiones coexistentes dentro del volumen de promediado, las ecuaciones de energía
fueron propuestas tomando la definición explícita del medio poroso (Ver Ecs. (222), (255),
(283) y (290)).
171
Capítulo 5 ECUACIÓN DE ENERGÍA BAJO CONDICIONES DE
EQUILIBRIO Y DESEQUILIBRIO TÉRMICO
5.1 ECUACIÓN CON DESEQUILIBRIO TÉRMICO.
Los procesos de transporte de masa y energía en sistemas multifásico a través de medios
porosos se presenta en numerosas aplicaciones prácticas de la ingeniería, tal como,
reactores químicos, columnas de absorción, reactores de lecho fluidizado de tres fases,
explotación de campos petroleros, hidrología y prevención de contaminantes dispersos en
el agua, etc.
Enfocándonos en la recuperación de hidrocarburos, en específico en la técnica de
recuperación por combustión in-situ donde la temperatura en una zona (elemento de
volumen) del yacimiento aumenta, los primeros líquidos en ser vaporizados son el agua y
los hidrocarburos ligeros. Los vapores son llevados a la corriente de gas y condensados en
las regiones frías, delante de la zona de combustión. Por otro lado, el aceite en el elemento
de volumen puede sufrir un proceso llamado craking térmico del cual se forma una
fracción volátil y un residuo pesado (coque). La fracción volátil es llevada por la corriente
de gas, mientras que el residuo pesado constituye el combustible necesario para mantener
el frente de combustión.
Como se puede observar, la técnica de combustión in-situ implica fenómenos tales como
cambio de fase, reacción química y transferencia de calor, entre otros, por lo que los
modelos matemáticos que representen tales fenómenos requieren de la deducción de las
ecuaciones de masa, cantidad de movimiento y energía.
172
Con la finalidad de partir de ecuaciones de energía promediadas en volumen para la fase y
enfocarlas al problema de combustión in-situ se tomarán en cuenta las siguientes
consideraciones a) sistema multifásico de gas (g), aceite (o), agua (w), coque (c) y sólido
(s), b) términos de dispersión despreciables, c) gas incompresible, por lo que los términos
de compresibilidad de fase e interfase no se toman en cuenta.
Entonces, al aplicar las consideraciones antes mencionadas sobre la ecuaciones de energía
promediadas para cada una de las fases [Ec. (222)], se simplifican quedando de la siguiente
manera:
Para el gas:
( )
( ) ( )( )
( ) ( )
( ) ( ) ( )
1
1 1
1 1 1
gw
go gw
go gc gs
g gg g g gg g g g
g g g g g g g g g gw gwt
gg g g g go go g g g g g gw
t t
gg g go g g gc g g gs g g
t t t
A
A A
A A A
Cp TCp T Cp T dA
t V
Cp T dA k T k T dAV V
k T dA k T dA k T dAV V V
ε ρε ρ ρ
ρ ε
ε
∂+ ∇ ⋅ + − ⋅
∂
⎡ ⎤− ⋅ = ∇ ⋅ ∇ + ∇ ⋅⎢ ⎥⎣ ⎦
+ ∇ ⋅ + ∇ ⋅ + ∇ ⋅ + Φ
∫
∫ ∫
∫ ∫ ∫
v v w n
v w n n
n n n
(296)
Para el aceite:
( )
( )( )
( ) ( ) ( )
( )
1
1 1 1
1
og
ow og oc
os
o oo o o oo o o o
o o o o o o o o o og ogt
oo o o o o ow o o og o o oc
t t t
oo o os o o
t
A
A A A
A
Cp TCp T Cp T dA
t V
k T k T dA k T dA k T dAV V V
k T dAV
ε ρε ρ ρ
ε
ε
∂+ ∇ ⋅ + − ⋅
∂
⎡ ⎤= ∇ ⋅ ∇ + ∇ ⋅ + ∇ ⋅ + ∇ ⋅⎣ ⎦
+ ∇ ⋅ + Φ
∫
∫ ∫ ∫
∫
v v w n
n n n
n
(297)
Para el agua:
( )( )
1
wg
w ww w w ww w w w
w w w w w w w w w wg wgtA
Cp TCp T Cp T dA
t Vε ρ
ε ρ ρ∂
+ ∇ ⋅ + − ⋅∂ ∫v v w n
173
( )( ) ( ) ( )
( )
1 1 1
1wg wo wc
ws
ww w w w w wg w w wo w w wc
t t t
w w wst
A A A
A
k T k T dA k T dA k T dAV V V
k T dAV
ε⎡ ⎤= ∇ ⋅ ∇ + ∇ ⋅ + ∇ ⋅ + ∇ ⋅⎣ ⎦
+ ∇ ⋅
∫ ∫ ∫
∫
n n n
n
(298)
Para el coque:
( )( ) ( )
( ) ( )
1 1
1 1cw cg
co cs
c ccc c c c
c c c c c cw c c cgt t
cc c co c c cs c c
t t
A A
A A
Cp Tk T k T dA k T dA
t V V
k T dA k T dAV V
ε ρε
ε
∂ ⎡ ⎤= ∇ ⋅ ∇ + ∇ ⋅ + ∇ ⋅⎣ ⎦∂
+ ∇ ⋅ + ∇ ⋅ + Φ
∫ ∫
∫ ∫
n n
n n
(299)
Para el sólido:
( )( ) ( )
( ) ( )
1 1
1 1sw sg
so sc
s sss s s s
s s s s s sw s s sgt t
s s so s s sct t
A A
A A
Cp Tk T k T dA k T dA
t V V
k T dA k T dAV V
ε ρε
∂ ⎡ ⎤= ∇ ⋅ ∇ + ∇ ⋅ + ∇ ⋅⎣ ⎦∂
+ ∇ ⋅ + ∇ ⋅
∫ ∫
∫ ∫
n n
n n
(300)
Por otro lado, las condiciones de frontera utilizadas para proponer el modelo de fases
separadas para combustión in-situ son:
s kT T= en skA , , ,,k g co w= (301)
k m satT T T= = en kmA , ,,k go w= , ,,m go w= k m≠ (302)
k s k k sk s sk T k T⋅ ∇ = ⋅ ∇n n en ksA , ,,k g co w= (303)
k c k k ck c ck T k T⋅ ∇ = ⋅ ∇n n en kcA , ,,k g so w= (304)
( ) ( )gw g g g g gw g g wg w w w w wg w wCp T k T Cp T k Tρ ρ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⋅ − + ∇ = ⋅ − + ∇⎣ ⎦ ⎣ ⎦n v w n v w en wgA (305)
( ) ( )go g g g g go g g og o o o o og o oCp T k T Cp T k Tρ ρ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⋅ − + ∇ = ⋅ − + ∇⎣ ⎦ ⎣ ⎦n v w n v w en ogA (306)
174
5.1.1 Cerraduras
Ya definida la aplicación y obtenidas las ecuaciones específicas se debe definir y trabajar
con los términos de cerrado así como las ecuaciones constitutivas necesarias. Los términos
de cerradura y las ecuaciones constitutivas para la combustión in-situ implican cambio de
fase, conducción y flux interfacial, los cuales deben ser definidos en términos de variables
dependientes tal como se muestra a continuación.
Flux interfacial
El término de flux interfacial de la Ec. (296), representa el flux de calor en la interfaz entre
la fase gas y la fase sólida y en este caso dada la aplicación, también entre la fase gas y el
coque. Dichos términos se pueden expresar como (Whitaker , 1990):
( )( ) ( ) ( )
1 1 1 g g sgg g gs g g gs g g gs gs g g s
t t tg s g s g sA A Ak T dA k T dA k T dA h T T
V V Vε∇ ⋅ = ∇ ⋅ + ∇ ⋅ = − −∫ ∫ ∫n n n
en gsA (307)
( )( ) ( ) ( )
1 1 1 g g cgg g gc g g gc g g gc gc g g c
t t tg c g c g cA A Ak T dA k T dA k T dA h T T
V V Vε∇ ⋅ = ∇ ⋅ + ∇ ⋅ = − −∫ ∫ ∫n n n
en gcA (308)
donde hg es el coeficiente de transferencia de calor de la fase gas. Los parámetros ggsε y
ggcε representan la fracción de área por unidad de volumen entre las fases g-s y g-c.
De la misma forma que en la fase gaseosa, las integrales del término de flux de calor
interfacial entre las fases o-s, o-c, w-s, w- c, s-o c-o, s-w,c-w, c-g y s-g se pueden expresar
respectivamente como:
( )( ) ( ) ( )
1 1 1 o o soo o os o o os o o os os o o s
t t tos os osA A Ak T dA k T dA k T dA h T T
V V Vε∇ ⋅ = ∇ ⋅ + ∇ ⋅ = − −∫ ∫ ∫n n n
en Aos (309)
( )( ) ( ) ( )
1 1 1 w w sww w ws w w ws w w ws ws w w s
t t tws ws wsA A Ak T dA k T dA k T dA h T T
V V Vε∇ ⋅ = ∇ ⋅ + ∇ ⋅ = − −∫ ∫ ∫n n n
en Aws (310)
175
( )( ) ( ) ( )
1 1 1 o o coo o oc o o oc o o oc oc o o c
t t toc oc ocA A Ak T dA k T dA k T dA h T T
V V Vε∇ ⋅ = ∇ ⋅ + ∇ ⋅ = − −∫ ∫ ∫n n n
en Aoc (311)
( )( ) ( ) ( )
1 1 1 w w cww w wc w w wc w w wc wc w w c
t t twc wc wcA A Ak T dA k T dA k T dA h T T
V V Vε∇ ⋅ = ∇ ⋅ + ∇ ⋅ = − −∫ ∫ ∫n n n
en Awc (312)
( )( ) ( ) ( )
1 1 1 c c occ c co c c co c c co co o c o
t t tco co coA A Ak T dA k T dA k T dA h T T
V V Vε∇ ⋅ = ∇ ⋅ + ∇ ⋅ = − −∫ ∫ ∫n n n
en Aco (313)
( )( ) ( ) ( )
1 1 1 c c wcc c cw c c cw c c cw cw w c w
t t tcw cw cwA A Ak T dA k T dA k T dA h T T
V V Vε∇ ⋅ = ∇ ⋅ + ∇ ⋅ = − −∫ ∫ ∫n n n
en Acw (314)
( )( ) ( ) ( )
1 1 1 gc ccc c cg c c cg c c cg cg g c g
t t tc g c g c gA A Ak T dA k T dA k T dA h T T
V V Vε∇ ⋅ = ∇ ⋅ + ∇ ⋅ = − −∫ ∫ ∫n n n
en Acg (315)
( )( ) ( ) ( )
1 1 1 s s oss s so s s so s s so so o s o
t t tso so soA A Ak T dA k T dA k T dA h T T
V V Vε∇ ⋅ = ∇ ⋅ + ∇ ⋅ = − −∫ ∫ ∫n n n
en Aso (316)
( )( ) ( ) ( )
1 1 1 s s wss s sw s s sw s s sw sw w s w
t t tsw sw swA A Ak T dA k T dA k T dA h T T
V V Vε∇ ⋅ = ∇ ⋅ + ∇ ⋅ = − −∫ ∫ ∫n n n
en Asw (317)
( )( ) ( ) ( )
1 1 1 gs sss s sg s s sg s s sg sg g s g
t t ts g s g s gA A Ak T dA k T dA k T dA h T T
V V Vε∇ ⋅ = ∇ ⋅ + ∇ ⋅ = − −∫ ∫ ∫n n n
en sgA (318)
Respecto a los términos de las integrales de flux interfacial entre las fases fluidas, estos se
expresan como
"
( ) ( ) ( )
1 1 1 gg
g g go g g go g g go go got t tg o g o g oA A A
k T dA k T dA k T dA qV V V
ε∇ ⋅ = ∇ ⋅ + ∇ ⋅ =∫ ∫ ∫n n n
en Ago (319)
176
"
( ) ( ) ( )
1 1 1 gg
g g gw g g gw g g gw gw gwt t tgw gw gwA A A
k T dA k T dA k T dA qV V V
ε∇ ⋅ = ∇ ⋅ + ∇ ⋅ =∫ ∫ ∫n n n
en Agw (320)
"
( ) ( ) ( )
1 1 1 o oo o ow o o ow o o ow ow ow
t t tow ow owA A Ak T dA k T dA k T dA q
V V Vε∇ ⋅ = ∇ ⋅ + ∇ ⋅ =∫ ∫ ∫n n n
en Aow (321)
"
( ) ( ) ( )
1 1 1 o oo o og o o og o o og og og
t t tog og ogA A Ak T dA k T dA k T dA q
V V Vε∇ ⋅ = ∇ ⋅ + ∇ ⋅ = −∫ ∫ ∫n n n
en Aog (322)
"
( ) ( ) ( )
1 1 1 w ww w wg w w wg w w wg wg wg
t t twg wg wgA A Ak T dA k T dA k T dA q
V V Vε∇ ⋅ = ∇ ⋅ + ∇ ⋅ = −∫ ∫ ∫n n n
en Awg (323)
"
( ) ( ) ( )
1 1 1 w ww w wo w w wo w w wo wo wo
t t two wo woA A Ak T dA k T dA k T dA q
V V Vε∇ ⋅ = ∇ ⋅ + ∇ ⋅ = −∫ ∫ ∫n n n
en Awo (324)
"
( ) ( ) ( )
1 1 1 c cc c cs c c cs c c cs cs cs
t t tc s c s c sA A Ak T dA k T dA k T dA q
V V Vε∇ ⋅ = ∇ ⋅ + ∇ ⋅ = −∫ ∫ ∫n n n
en Acs (325)
"
( ) ( ) ( )
1 1 1 s ss s sc s s sc s s sc sc sc
t t tsc sc scA A Ak T dA k T dA k T dA q
V V Vε∇ ⋅ = ∇ ⋅ + ∇ ⋅ =∫ ∫ ∫n n n
en Asc (326)
donde "goq "
gwq "owq "
ogq "woq "
wgq "csq "
scq son los flujos de calor de las diferentes interfases.
Conducción de calor
Las cerraduras para los términos conductivos se proponen para un sistema de tres fases (o,
w, g, c) en el medio poroso (s). Para ello, se tomaron en cuenta los trabajos presentados
177
Quintard y Whitaker (1993) y Espinosa-Paredes y Cazarez-Candia (2004) en los cuales se
consideraron dos (fluido- sólido) y tres fases (gas-aceite-sólido).
El término conductivo de la Ec. (296) para la fase gas se puede escribir como
( ) ( )g gg g g g gk T Tε⎡ ⎤∇ ⋅ ∇ = ∇ ⋅ ⋅∇⎢ ⎥⎣ ⎦
Κ (327)
De la misma forma los términos conductivos para las fases o, w, c y s se pueden expresar
como
( ) ( )o oo o o o ok T Tε⎡ ⎤∇ ⋅ ∇ = ∇ ⋅ ⋅∇
⎣ ⎦Κ (328)
( ) ( )w ww w w w wk T Tε⎡ ⎤∇ ⋅ ∇ = ∇ ⋅ ⋅∇
⎣ ⎦Κ (329)
( ) ( )c cc c c c ck T Tε⎡ ⎤∇ ⋅ ∇ = ∇ ⋅ ⋅∇
⎣ ⎦Κ (330)
( ) ( )s ss s s s sk T Tε⎡ ⎤∇ ⋅ ∇ = ∇ ⋅ ⋅∇
⎣ ⎦Κ (331)
donde gΚ , oΚ , wΚ , cΚ , y sΚ son los tensores de conductividad térmica para las fases g,
o, w, c, y s.
Transferencia de masa interfacial
Durante la evaporación de o y w las correspondientes componentes normales de las
velocidades interfaciales wog y wwg son mayores que las componentes de las velocidades
locales vo y vw, evaluadas en la interfaz, entonces ( )o o og ogρ − ⋅v w n y
( )w w w g wgρ − ⋅v w n son cantidades negativas por lo que
go gw og wgm + m = m m − − (332)
Siguiendo la definición de Lahey y Drew (1989) se puede proponer al término de cambio
de fase para el gas como
( )( )
1g g g g go go g go go
tg oACp T dA Cp m T
Vρ
⎞⎛⎟⎜ − ⋅ =
⎜ ⎟⎝ ⎠
∫ v w n (333)
178
( )( )
1g g g g gw gw g gw gw
tg wACp T dA Cp m T
Vρ
⎞⎛⎟⎜ − ⋅ =
⎜ ⎟⎝ ⎠
∫ v w n (334)
donde la temperatura interfacial del lado de la fase gas, se puede escribir explícitamente
como
( )
1go g go
tg oAT T dA
V
⎞⎛⎟⎜= ⋅
⎜ ⎟⎝ ⎠
∫ n (335)
( )
1gw g gw
tg wAT T dA
V
⎞⎛⎟⎜= ⋅
⎜ ⎟⎝ ⎠
∫ n (336)
De forma similar se definen el resto de los términos de cambio de fase
( )( )
1ogo o o o og og o og
togACp T dA Cp m T
Vρ
⋅⎞⎛⎟⎜ − ⋅ = −
⎜ ⎟⎝ ⎠
∫ v w n (337)
( )( )
1wgw w w w wg wg w wg
twgACp T dA Cp m T
Vρ
⋅⎞⎛⎟⎜ − ⋅ = −
⎜ ⎟⎝ ⎠
∫ v w n (338)
donde la temperatura interfacial del lado de las fases aceite y agua se pueden escribir
explícitamente como:
( )
1og o og
togAT T dA
V
⎞⎛⎟⎜= ⋅
⎜ ⎟⎝ ⎠
∫ n (339)
( )
1wg w wg
twgAT T dA
V
⎞⎛⎟⎜= ⋅
⎜ ⎟⎝ ⎠
∫ n (340)
5.1.2 Forma Cerrada del modelo de fases separadas
El modelo de fases separadas permite describir los procesos de transferencia de calor en
condiciones de desequilibrio térmico ya que las temperaturas de las fases pueden ser
diferentes entre sí. En procesos de cambio de fase los efectos de desequilibrio térmico
pueden ser de gran importancia.
179
Para obtener el modelo de fases separadas, es decir, un sistema cerrado de ecuaciones, se
sustituyen las ecuaciones de cerradura de la Sección 5.1.1 en las Ecs. (296)-(300).
Sustutuyendo las Ecs. (307), (308), (319), (320), (327), (333)-(336) en la Ec. (296) se
obtiene la ecuación de energía para la fase gas
( ) ( ) ( )" "
g g gg g gg g g g
g g g g g g go go g gw gw
g g g gc sg g g gg g go go gw gw gc g g c gs g g s g g
Cp TCp T Cp m T Cp m T
tT q q h T T h T T
ε ρρ ε
ε ε ε ε ε
∂+ ∇ ⋅ = +
∂+∇ ⋅ ⋅∇ + + − − − − + Φ
v
Κ
(341)
De forma similar para la ecuación de energía de la fase aceite [Ec. (297)] se sustituyen las
Ecs. (309), (311), (321), (322), (328), (337) y (339) quedando su expresión de la siguiente
manera
( )( ) ( )" "
o ooo o o o o
o o o o o og og o o
o c o s oo o o oow ow og og oc o o c os o o s o o
oo o o o
oCp T
Cp T Cp m T Tt
q q h T T h T T
ε ρε ρ
ε ε ε ε ε
⎞⎛ ∂⎟⎜ + ∇ ⋅ = − + ∇ ⋅ ⋅∇
⎜ ⎟∂⎝ ⎠+ − − − − − + Φ
v Κ
(342)
Mientras que al sustituir las Ecs. (310), (312), (323), (324), (329), (338) y (340) en la Ec.
(298) se tiene la ecuación de energía para la fase agua
( )( ) ( )" "
w www w w w w
w w w w w wg wg w w
w c w sw w w wwo wo wg wg wc w w c ws w w s
ww w w w
wCp T
Cp T Cp m T Tt
q q h T T h T T
ε ρε ρ
ε ε ε ε
⎞⎛ ∂⎟⎜ + ∇ ⋅ = − + ∇ ⋅ ⋅∇
⎜ ⎟∂⎝ ⎠− − − − − −
v Κ
(343)
La ecuación de energía para el coque Ec. (299) en la cual se sustituyen las Ecs. (313)-
(315), (325) y (330) queda como
( ) ( ) ( )( ) "
c cc c o c wc c
c c co o c o cw w c w
gc cc ccg g c g cs cs c c
cc c c cCp T
T h T T h T Tt
h T T q
ε ρε ε
ε ε ε
⎞⎛ ∂ ⎟⎜ = ∇ ⋅ ⋅∇ − − − −∂ ⎟⎜
⎝ ⎠− − − + Φ
Κ (344)
180
En la ecuación de energía para la fase sólida [Ec. (300)] se sustituyen las Ecs. (316)-(318),
(326) y (331) resultando
( ) ( ) ( )( ) "
s ss s o s ws s
s s so o s o sw w s w
gss ssg g s g sc sc
ss s s sCp T
T h T T h T Tt
h T T q
ε ρε ε
ε ε
⎞⎛ ∂⎟⎜ = ∇ ⋅ ⋅∇ − − − −
⎜ ⎟∂⎝ ⎠− − +
Κ (345)
5.2 ECUACIÓN CON EQUILIBRIO TÉRMICO.
Para desarrollar el modelo de una ecuación de los procesos de transferencia de calor, se
sigue el trabajo original de Whitaker, (1977) el cual consiste en aplicar la siguiente
descomposición de las temperaturas promedio intrínseco:
ˆgg gT T T= + (346)
ˆoo oT T T= + (347)
ˆww wT T T= + (348)
ˆcc cT T T= + (349)
ˆss sT T T= + (350)
donde T representa la temperatura promedio espacial, y k̂T es la desviación espacial
macroscópica de la temperatura, la cual está definida por:
1 g o w c sg g o o w w c c s s
V
T T dV T T T T TV
ε ε ε ε ε= = + + + +∫ (351)
El procedimiento para obtener el modelo de una ecuación consiste en sustituir las
expresiones dadas por las Ecs. (346)-(350) en las Ecs. (341)-(345) y después se suman
cada una de ellas. Entonces, primero se hace la sustitución obteniendo
181
Para g:
( ) ( ) ( )" "ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ
ˆˆ
g gg g gg g g
g g g g g go go g gw gw
g g g gg g g go go gw gw gc g g c gs g g s
g gg g g gg g g g
g g g g g g g
Cp TCp T Cp m T Cp m T
t
T T q q h T T h T T
Cp TCp T
t
ε ρε ρ
ε ε ε ε
ε ρε ε ρ
⎞⎛ ∂ ⎟⎜ + ∇ ⋅ = +⎟⎜ ∂
⎝ ⎠⎡ ⎤+∇ ⋅ ⋅∇ + ∇ ⋅ ⋅∇ + + − − − −⎣ ⎦
⎞⎛ ∂ ⎟⎜+ Φ − − ∇ ⋅⎟⎜ ∂
⎝ ⎠
v
Κ Κ
v
(352)
Para o:
( ) ( ) ( )" "ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ
ˆˆ
o oo o o
o o o o og og o
oo o o oo o ow ow og og oc o o c os o o s o o
o oo o oo
o o o o
o o oo
o o oo
Cp TCp T Cp m T T
t
T q q h T T h T T
Cp TCp T
t
ε ρε ρ
ε ε ε ε ε
ε ρρ ε
⎞⎛ ∂⎟⎜ + ∇ ⋅ = − + ∇ ⋅ ⋅∇⎡ ⎤⎣ ⎦⎜ ⎟∂⎝ ⎠
+∇ ⋅ ⋅∇ + − − − − − + Φ⎞⎛ ∂⎟⎜− − ∇ ⋅
⎜ ⎟∂⎝ ⎠
v Κ
Κ
v
(353)
Para w:
( ) ( ) ( )" "ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ
ˆˆ
w ww w w
w w w w w w wg wg
w w w ww w w wo wo wg wg wc w w c ws w w s
w ww w ww
w w w w
ww w w w
ww w w w
w
Cp TCp T Cp m T
t
T T q q h T T h T T
Cp T TCp T
t
ε ρρ ε
ε ε ε ε
ε ρε ρ
⎞⎛ ∂⎟⎜ + ⋅∇ = −
⎜ ⎟∂⎝ ⎠+∇ ⋅ ⋅∇ + ∇ ⋅ ⋅∇ − − − − − −⎡ ⎤⎣ ⎦
⎞⎛ ∂⎟⎜− − ∇ ⋅
⎜ ⎟∂⎝ ⎠
v
Κ Κ
v
(354)
Para c:
( ) ( ) ( )
( ) "
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ
ˆˆ ˆ
c c c
c cc c c co o c o cw w c w
c c
c ccg g c g c c c cs s
c
c c c c
cc c c c
Cp TT T h T T h T T
t
Cp Th T T q
t
ε ρε ε
ε ρε ε ε
⎞⎛ ∂⎟⎜ = ∇ ⋅ ⋅∇ + ∇ ⋅ ⋅∇ − − − −⎡ ⎤⎣ ⎦⎜ ⎟∂⎝ ⎠
⎞⎛ ∂ ⎟⎜− − − − ⎟⎜ ∂⎜ ⎟⎝
Φ
⎠
+
Κ Κ
(355)
Para s:
( ) ( ) ( )
( ) "
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ
ˆˆ ˆ
s s s
s ss s s so o s o sw w s w
s s
s ssg g s g sc sc
s s s s
ss s s s
Cp TT T h T T h T T
t
Cp Th T T q
t
ε ρε ε
ε ρε ε
⎞⎛ ∂⎟⎜ = ∇ ⋅ ⋅∇ + ∇ ⋅ ⋅∇ − − − −⎡ ⎤⎣ ⎦⎜ ⎟∂⎝ ⎠
⎞⎛ ∂ ⎟⎜− − + − ⎟⎜ ∂⎜ ⎟⎝ ⎠
Κ Κ (356)
182
Como segundo paso, se suman las Ecs. (352)-(356) y se obtiene
( ) ( ) ˆ
g g g o o og g g g o o o o
w w ww w w w ef g g
Cp TCp T Cp T
tCp T T T
ρε ρ ε ρ
ε ρ
∂ ⎞⎛+ ∇ ⋅ + ∇ ⋅⎟⎜ ∂⎝ ⎠
⎡ ⎤ ⎡+∇ ⋅ = ∇ ⋅ ⋅∇ + ∇ ⋅ ⋅∇⎣ ⎦ ⎣
v v
v Κ Κ
( ) ( ) ( ) ( )ˆ
ˆ ˆ ˆ ˆ
ˆ ˆ
ˆ ˆ
g gg g g g
o o w w c c s s
s so o w wo o o o w w w w
c c cg g g o o o
g g g g g o o o o o
w w
ss s s s
c c c c
Cp TT T T T
t
Cp TCp T Cp Tt t t
Cp TCp T Cp T
t
Cp
ε ρ
ε ρε ρ ε ρ
ε ρε ρ ε ρ
ε
⎞⎛ ∂ ⎟⎜⎤+ ⋅∇ + ⋅∇ + ⋅∇ + ⋅∇ + Φ −⎦ ⎟⎜ ∂⎝ ⎠
⎞⎛⎞ ⎞⎛ ⎛ ∂∂ ∂ ⎟⎜− − −⎟ ⎟⎜ ⎜⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂ ∂⎝ ⎝⎠ ⎠ ⎝ ⎠⎞⎛ ∂⎟⎜− − ∇ ⋅ − ∇ ⋅
⎜ ⎟∂⎝ ⎠−∇ ⋅
Κ Κ Κ Κ
v v
ˆw w ww w wTρ v
(357)
donde
ef g o w c s= + + + +Κ Κ Κ Κ Κ Κ (358)
g o cg g o o c cε ε εΦ = Φ + Φ + Φ (359)
g o w c sg g o o w w c c s sρ ε ρ ε ρ ε ρ ε ρ ε ρ= + + + + (360)
g g o o w wg g g
c c s so o o w w w
c c c s s s
Cp Cp Cp CpCp Cp
ρ ε ρ ε ρ ε ρε ρ ε ρ
= + +
+ + (361)
Equilibrio local
En la Ec. (357) se puede observar que los términos de desviaciones espaciales
macroscópicos de la temperatura, T̂ ,son los responsables de los efectos de desequilibrio
térmico. Entonces, para que estos términos sean despreciables se debe cumplir con las
siguientes condiciones:
ˆg gg g g gCp T Cp T
t tε ρ ρ⎞⎛ ∂ ∂ ⎞⎛⎟⎜ ⎟⎜⎟⎜ ∂ ∂⎝ ⎠⎝ ⎠
(362)
ˆo oo o o oCp T Cp T
t tε ρ ρ⎞⎛ ∂ ∂ ⎞⎛
⎟⎜ ⎟⎜⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠⎝ ⎠ (363)
183
ˆw ww w w wCp T Cp T
t tε ρ ρ⎞⎛ ∂ ∂ ⎞⎛
⎟⎜ ⎟⎜⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠⎝ ⎠ (364)
ˆc cc c c cCp T Cp T
t tε ρ ρ⎞⎛ ∂ ∂ ⎞⎛
⎟⎜ ⎟⎜⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠⎝ ⎠ (365)
ˆs ss s s sCp T Cp T
t tε ρ ρ⎞⎛ ∂ ∂ ⎞⎛
⎟⎜ ⎟⎜⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠⎝ ⎠ (366)
ˆg g efT T⎡ ⎤ ⎡ ⎤∇ ⋅ ⋅∇ ∇ ⋅ ⋅∇⎣ ⎦⎣ ⎦Κ Κ (367)
ˆo o efT T⎡ ⎤ ⎡ ⎤∇ ⋅ ⋅∇ ∇ ⋅ ⋅∇⎣ ⎦⎣ ⎦Κ Κ (368)
ˆw w efT T⎡ ⎤ ⎡ ⎤∇ ⋅ ⋅∇ ∇ ⋅ ⋅∇⎣ ⎦⎣ ⎦Κ Κ (369)
ˆc c efT T⎡ ⎤ ⎡ ⎤∇ ⋅ ⋅∇ ∇ ⋅ ⋅∇⎣ ⎦⎣ ⎦Κ Κ (370)
ˆs s efT T⎡ ⎤ ⎡ ⎤∇ ⋅ ⋅∇ ∇ ⋅ ⋅∇⎣ ⎦⎣ ⎦Κ Κ (371)
( ) ( )ˆg g g g g gg g g g g g g g gCp T Cp Tε ρ ε ρ∇ ⋅ ∇ ⋅v v (372)
( ) ( )ˆo o o o o oo o o o o o o o oCp T Cp Tε ρ ε ρ∇ ⋅ ∇ ⋅v v (373)
( ) ( )ˆw w w w w ww w w w w w w w wCp T Cp Tε ρ ε ρ∇ ⋅ ∇ ⋅v v (374)
Whitaker (1991) presenta un desarrollo basado en los órdenes de magnitud de los términos
que aparecen en las ecuaciones anteriores, con el objetivo de encontrar las restricciones de
escala que satisfacen estas desigualdades. El desarrollo mostrado por Whitaker (1991) fue
aplicado a un sistema de dos fases, no obstante en la presente investigación se adoptan y
extienden estas ideas para tres fases fluidas y dos fases sólidas (g, o, w, c, s).
Aplicando las desigualdades dadas por las Ecs. (362)–(374) se obtiene finalmente el
modelo de una ecuación o de equilibrio térmico.
184
( )
g g g o o o wg g g g o o o o w w
w ww w ef
Cp TCp T Cp T Cp
tT T
ρε ρ ε ρ ε
ρ
∂ ⎞⎛+ ∇ ⋅ + ∇ ⋅ + ∇ ⋅⎟⎜ ∂⎝ ⎠
⎡ ⎤= ∇ ⋅ ⋅∇ + Φ⎣ ⎦
v v
v Κ(375)
Con la finalidad de expresar la Ec. (375) explícitamente para un medio poroso homogéneo,
isotrópico y rígido, se considera k ksε φ= , donde kk
m
VsV= , mV
Vφ = y
1 2m l l gV V V V= + + ,
por lo que la Ec. (375) se reescribe quedando de la siguiente manera:
( )
g g g o o o wg g g g o o o o w w
w ww w ef
Cp Ts Cp T s Cp T s Cp
tT T
ρφ ρ φ ρ φ
ρ
∂ ⎞⎛+ ∇ ⋅ + ∇ ⋅ + ∇ ⋅⎟⎜ ∂⎝ ⎠
⎡ ⎤= ∇ ⋅ ⋅∇ + Φ⎣ ⎦
v v
v Κ
(376)
Las Ecs. (359)-(361) se redefinen quedando de la siguiente manera:
g o cg g o co cs s sφ φ φΦ = Φ + Φ + Φ (377)
(1 )g o w c s
g g o o w w c c ss s s sρ φ ρ φ ρ φ ρ φ ρ φ ρ= + + + + − (378)
(1 )
g g o o w wg g g
c c s so o o w w w
c c c s s
Cp s Cp s Cp s Cps Cp Cp
ρ φ ρ φ ρ φ ρφ ρ φ ρ
= + +
+ + − (379)
5.3 CONCLUSIONES
Se presentó el desarrollo de un modelo matemático para describir el proceso de
transferencia de calor en un yacimiento petrolero para una fase gas, dos líquidos
inmiscibles (aceite y agua), coque y el sólido. Dicho desarrollo se basó en el modelo del
promedio volumétrico. Se obtuvieron dos modelos:
1) Modelo de fases separadas o de desequilibrio térmico, definido por las Ecs.(314)-
(345) para el gas, aceite, agua, coque y la fase sólida.
2) Modelo promedio de una ecuación o de equilibrio térmico dado por la Ec. (376).
185
Capítulo 6
ECUACIONES PARA COMBUSTIÓN IN-SITU
6.1 INTRODUCCIÓN
En la literatura especializada existen trabajos que representan modelos matemáticos para la
simulación de combustión in-situ. Por ejemplo, Chu (1964) desarrolló un modelo
matemático (Ecs. de masa y energía) en una dimensión para el proceso de combustión in-
situ. El consideró: flujo multifásico (gas, aceite y agua), cambio de fase del agua y del
aceite sin reacción química. Él concluyó que: 1) el fenómeno de cambio de fase no inducía
apreciables cambios sobre la temperatura del frente de combustión y que su efecto
principal era crear una sección de vapor y aumentar la longitud de la zona calentada
adelante del frente de combustión y 2) el pico de temperatura y el perfil de temperatura
sobre el borde de la onda de calor se estabilizaba después de un cierto período. Por su
parte, Gottfried (1965) presentó un modelo matemático generalizado (Ecs. de masa y
energía) el cual describe la recuperación del aceite en sistemas lineales. Ël consideró: 1)
pérdidas de calor externa por convección, 2) flujo multifásico (gas, aceite y agua), 3)
transferencia de calor por conducción y convección, 4) reacción química entre el oxígeno y
el aceite y 5) cambio de fase de agua. El análisis fue aplicado a un experimento de tubo de
combustión. Como resultado, se obtuvo una aproximación razonable entre lo teórico y lo
experimental de todas las características térmicas e hidrodinámicas (por ejemplo:
propagación de la zona de combustión, bancos de aceite y agua, etc.).
Años más tarde, reexaminando el modelo original de Gottfried (1965), Gottfried y Mustafa
(1978) extendieron el modelo a una geometría radial y propusieron una ecuación adicional
que considera la formación y la combustión de coque. Con dichas modificaciones, los
186
autores obtuvieron como resultado buenas predicciones de las características térmicas e
hidrodinámicas. Y concluyeron, a pesar de haber considerado un modelo con un sistema
radial, que las predicciones obtenidas eran muy parecidas a las obtenidas del trabajo
presentado por Gottfried (1965).
Otros trabajos realizados sobre combustión in-situ son los presentados por Rodriguez
(2004), Malico y Pereira (2001), Mamora (1993), y Lawrence et al. (1963). Sin embargo,
en ninguno de ellos se ha utilizado el método de promedio volumétrico sobre las
ecuaciones de transporte de masa, cantidad de movimiento y energía para flujo multifásico
para resolver un problema de combustión in-situ, lo cual sería de gran utilidad ya que, el
método de promedio volumétrico permite obtener de forma natural los términos de cambio
de fase sobre todas y cada una de las regiones coexistentes dentro del volumen de
promediado, cosa que no ocurre en las ecuaciones encontradas en la literatura de la
industria petrolera (Aziz y Settary, 1979; Peaceman, 1977).
Por lo anterior, y con la finalidad de plantear y resolver una aplicación de las ecuaciones
promedio en volumen se seleccionó la técnica de combustión in-situ ya que es una de las
aplicaciones más compatibles con el modelo desarrollado en esta tesis.
Dicha aplicación implica flujo multifásico (aceite, agua y gas) a través del medio poroso y
fenómenos tales como: cambio de fase, generación de masa (debido a reacción química) y
transferencia de calor.
Cabe señalar que además de las consideraciones de la Sección 2.2 (flujo multifásico de dos
fases fluidas l1 y l2 y un gas, líquidos inmiscibles e incompresibles, transferencia de masa
entre l1 con g y l2 con g, generación de calor entre l1 con g, etc.), en el modelo se toma en
cuenta la formación de coque (c) por lo que es necesario proponer los balances de masa y
energía para el coque tal como se muestra en la sección 6.4.
187
6.2 MODELO FÍSICO
El modelo físico y los datos experimentales (ver Tabla 1) para validar el modelo
matemático desarrollado fueron tomados del trabajo reportado por Cazarez-Candia et al.
(2010). En dicho trabajo se realizaron dos experimentos los cuales se llevaron a cabo en un
tubo de combustión de acero inoxidable con diámetro externo de 0.079375 m., espesor de
0.015875 m y longitud de 0.9906 m, el cual contiene 0.94996 m de una mezcla uniforme
de arena, agua y aceite (ver Fig 6.1). El tubo es cubierto con una banda de aislamiento. El
aceite usado tiene una energía de activación de 1.56x107 J/kg-mol y una viscosidad de 27
API. La parte superior del tubo se llena con arena limpia y en esta misma zona se coloca la
resistencia eléctrica. La corriente eléctrica es gradualmente introducida hasta alcanzar una
temperatura dentro del tubo alrededor de 241ºC y posteriormente se inicia la inyección de
aire. La presión en el tubo de combustión se mantiene fija. Después de la ignición el frente
de combustión se mueve de la parte superior del tubo a la inferior de este.
Los gases de combustión y la producción de líquidos son recolectados al final del tubo. El
experimento termina cuando la arena empacada se quema hasta el extremo inferior del
tubo de combustión.
Tabla 6.1. Parámetros experimentales PARAMETROS EXPERIMENTO 1 EXPERIMENTO 2 Volumen inicial de aceite 418 ml 493 ml Volumen inicial de agua 296 ml 354 ml Saturación de agua (sw) 0.23 0.275 Saturación de aceite (so) 0.325 0.383 Porosidad (φ) 0.41 0.41 Temperarura de ignición 427° C 462 °C Presión de producción 4.13 x 105 Pa 4.20 x 105 Pa Inyeccción de aire 3.166x10-5 m3/s 3.166x10-5 m3/s
188
Figura 6.1 Tubo de Combustión (Modificado de Cazarez-Candia et al., 2010).
6.3 CONSIDERACIONES
Una vez establecida la aplicación, en esta sección se establecen las consideraciones que
gobiernan la deducción y/o selección de las ecuaciones de cerradura (términos de
transferencia de masa), las cuales, son parte fundamental del sistema de ecuaciones
obtenido en capítulos previos [Ecs. (67)-(69), (133)-(135) y (376)] ya que de estas depende
la buena aproximación del fenómeno de estudio. Las consideraciones son:
1. Se resolverá como aplicación un problema de combustión in-situ, en el cual l1=
aceite (o), l2 = agua (w), g= gas, c = coque, y medio poroso = sólido (s).
2. Fases mono-componentes ( kj =0 en Akm y kkmj =0 en Lkmn , k=o, w, g, c; m=o, w, g,
c; k≠m),
189
3. Reacción química del aceite para formar coque y reacción química entre coque y el
aire.
4. El coque depositado (adherido al sólido) no afecta a la porosidad
5. Gas incompresible
6. El gas estará compuesto por una mezcla de oxígeno, vapor de agua, vapor de aceite
y gases de combustión.
7. Cambio de fase del agua y del aceite
8. Para la ecuación de cantidad de movimiento obtenida para cada fase, Ecs. (133)-
(135), se considerará que los términos de acumulación, inerciales, dispersión,
fuerzas de presión interfacial, promedios de gradientes de presión interfacial,
transferencia de cantidad de movimiento debido al cambio de fase, efectos de
capilaridad y segregación gravitacional son despreciables, por lo que ésta se reduce
a la expresión de la definición de la velocidad de Darcy (válida para medios
porosos) (Whitaker 1990, 1986a, 1986b).
9. Para la ecuación de energía se parte del modelo de una ecuación y se toma a) la
definición de entalpía debido al cambio de fase, apareciendo entonces el calor
latente de vaporización ( wλ ), calor latente asociado con la formación de coque ( oλ )
y calor de combustión ( cλ ), b) debido al proceso de combustión in-situ, se
considera, el término de generación de energía debida a una resistencia eléctrica
(además de las debidas a reacciones químicas, mismo que aparece en la ecuación de
masa), y c) la pérdida de calor del sistema a los alrededores por convección.
10. Estudio en 1D.
190
6.4 ECUACIONES DE MASA.
Se usan las ecuaciones promediadas de masa para la fase [Ecs.(67)-(69)], y debido a la
aplicación de combustión in-situ se plantea la ecuación promediada de masa para el coque,
posteriormente se definen las ecuaciones de cerradura en términos de variables
dependientes.
Ecuaciones de masa promediadas en volumen para las fases
Aplicando las consideraciones anteriores, a las ecuaciones de masa promediadas en
volumen para las fases, se tiene:
a) Ecuación de masa promediada para el aceite:
( )
1 ( )o o o
oo o o o oo o og og o o
A tog
s sdA s
t x Vφ ρ φ ρ
ρ φ∂ ∂
+ =− − ⋅ + Φ∂ ∂ ∫
vv w n (380)
b) Ecuación de masa promediada para el agua
( )
1 ( )w w w
w w w w ww w wg wg
A twg
s sdA
t x Vφ ρ φ ρ
ρ∂ ∂
+ =− − ⋅∂ ∂ ∫
vv w n (381)
c) Ecuación de masa promediada para el gas:
( ) ( )
1 1( ) ( )g g g
gg g g g gg g go go g g gw gw g g
A t A tgo gw
s sdA dA s
t x V Vφ ρ φ ρ
ρ ρ φ∂ ∂
+ =− − ⋅ − − ⋅ + Φ∂ ∂ ∫ ∫
vv w n v w n
(382)
d) Ecuación de masa promediada para el coque
ccc c
c c
ss
tφ ρ
φ∂
= Φ∂
(383)
Las Ecs. (380)-(383) fueron redefinidas de acuerdo a la nomenclatura comúnmente
empleada para la industria petrolera, para ello, se consideró que ks es la saturación de la
fase k, ( )k mV V= y φ es porosidad ( )mV V= .
191
Con la finalidad de usar la ecuación de cantidad de movimiento válida para un medio
poroso, usamos la definición de la velocidad de Darcy ( )kk k ks φ=u v , entonces las Ecs.
(380)-(383) quedan de la siguiente de manera
a) Ecuación de masa promediada para el aceite:
( )
1 ( )o o o oo o og og o
A tog
s dAt x Vφρ ρ ρ ϕ∂ ∂
+ =− − ⋅ +∂ ∂ ∫
u v w n (384)
b) Ecuación de masa promediada para el agua
( )
1 ( )w w w ww w wg wg
A twg
s dAt x Vφρ ρ ρ∂ ∂
+ =− − ⋅∂ ∂ ∫
u v w n (385)
c) Ecuación de masa promediada para el gas
( ) ( )
1 1( ) ( )g g g gg g go go g g gw gw g
A t A tgo gw
sdA dA
t x V Vφρ ρ
ρ ρ ϕ∂ ∂
+ =− − ⋅ − − ⋅ +∂ ∂ ∫ ∫
uv w n v w n (386)
d) Ecuación de masa promediada para el coque
cc
Ft
ϕ∂=
∂ (387)
donde ( )k k ksϕ φ= Φ es la generación de masa de la fase k, ( )c cF sρ φ= es la concentración
de coque acumulado el cual es similar al propuesto por Gottfried y Mustafa, (1978).
Los términos del lado derecho de las Ecs. (384)-(387) y gϕ , oϕ , cϕ son conocidos como
términos de transferencia de masa interfacial (términos de cerradura) y ecuaciones
constitutivas, respectivamente, los cuales serán expresados en términos de variables
dependientes.
Cabe mencionar que para los términos de transferencia de masa interfacial w-g y g-w y
ecuaciones constitutivas ( gϕ , oϕ , cϕ ) existen expresiones reportadas en la literatura,
192
mientras que para la transferencia de masa interfacial o-g y g-o, conocido como fenómeno
de vaporización del aceite, se presenta su deducción en el apéndice A.
Transferencia de masa interfacial
De acuerdo a Duval et al., (2004) e Ishii e Hibiki (2006) los términos de transferencia de
masa interfacial se pueden definir como
( )
1 ( )g g g o go goA tg o
dA mV
ρ− − ⋅ =∫ v w n (388)
( )
1 ( )o g
o o og og ogA t
dA mV
ρ− − ⋅ =∫ v w n (389)
( )
1 ( )w g
w w w g w g wgA t
dA mV
ρ− − ⋅ =∫ v w n (390)
( )
1 ( )g g g w g w gwA tg w
dA mV
ρ− − ⋅ =∫ v w n (391)
Las ecuaciones (388) y (389) definen los términos de transferencia de masa interfacial o-g
y g-o. Para este caso, Chu (1963) presentó ecuaciones de transferencia interfacial en
términos de concentraciones molares.
Con la finalidad de manejar expresiones de transferencia de masa interfacial en términos
de presiones (parcial y de vapor), tal como las expresiones reportadas por Gottfried (1965)
para la transferencia de masa interfacial w-g y g-w, la transferencia de masa interfacial o-g
y g-o presentada por Chu (1963) se manipuló de tal forma que permitiera tener una
expresión muy similar a la presentada por Gottfried (1965). Entonces ésta se redefine
como:
( )go o e lo gom =kM k p p− (392)
193
donde go ogm m= − es el término de evaporación del aceite, k está dada por la Ec. (A.5), Mo
está dada en lb/lbmol, plo es la presión de vapor del aceite (psia), pgo es la presión parcial
del aceite en la fase gas (psia) y ek es la constante de equilibrio de vaporización.
Cabe señalar que esta forma de la Ec. (392), expresada en términos de presión parcial de
vapor y presión de vapor, ha sido reportada en Cazarez-Candia et al. (2011) (ver detalles
de la deducción en el Apéndice A).
Las ecuaciones (390) y (391), definen los términos de transferencia de masa interfacial
entre w-g y g –w y están relacionadas con la presión de vapor del agua y la presión parcial
del vapor de agua en la fase gas tal como lo propuso Gottfried (1965), esto es :
( )gw wg lw gwm m = h a p p= − − (393)
donde gw wgm m= − es el término de evaporación del agua, h es el coeficiente de
vaporización (o condensación) (lb de vapor/hr-ft2-psia), a es el área interfacial g-w por
unidad de volumen (ft-1), plw es la presión de vapor del agua (psia) y pgw es la presión
parcial del agua en la fase gas (psia). De acuerdo a Gottfried (1965), cuando plw excede a
pgw la vaporización ocurrirá y gwm será positiva, en caso contrario, wgm será negativa y la
condensación ocurrirá.
Generación de masa
El término de generación de masa se debe a la reacción química entre las fases o y g. En el
caso de la combustión in-situ, las siguientes dos reacciones ocurren en la vecindad de la
zona de combustión:
Calor + Oil Coque + Hidrocarburos ligeros (de aceite) (394)
Coque + Oxígeno CO, CO2, H2O (395)
Ambas ecuaciones pueden ser expresadas de acuerdo al trabajo presentado por Gottfried y
Mustafa (1978) tal como se muestra a continuación.
194
Término de reacción química, para la formación de coque e hidrocarburos ligeros a
partir del aceite
La expresión utilizada para representar la Ec. (394) se considera solo función de la
temperatura por lo que la velocidad de reacción puede expresarse con un orden de reacción
de Arrhenius de cero y se puede expresar de la siguiente manera:
-E/R(T+460)Z elS = (396)
donde Sl es la velocidad de deposición de coque (lb de aceite consumido/hr-ft3), Z es el
coeficiente de la velocidad de Arrhenius para la formación de coque (lb de aceite/hr-ft3), E
es la energía de activación de Arrhenius para la formación de coque (Btu/lb mol), R es la
constante del gas ideal (Btu/lb mol-°R) y T es la temperatura del sistema (°F).
Término de reacción química para la formación del gas (CO, CO2, H2O) a partir del
Coque y Oxígeno.
En la velocidad de reacción para la Ec. (395) se asume que la velocidad de combustión es
dependiente de la concentración de oxígeno, de la concentración del combustible y de la
temperatura dentro de la zona de combustión.
-Ec/R(T+460)Zc ( )F ea g gSc f Sφ ρ= (397)
donde Sc es el término de velocidad de reacción por combustión (lb de coque
consumido/hr-ft3), Zc es el coeficiente de la velocidad de reacción de Arrhenius para la
combustión (ft3/lb O2-hr), fa es la fracción masa del O2 en la fase gas, rg es la densidad del
gas (lb/ft3), sg es la saturación del gas, F es la concentración de coque acumulado (lb de
coque acumulado/ ft3), Ec es la energía de activación de Arrhenius para la combustión
(Btu/lb mol), R es la constante del gas ideal (Btu/lb mol-°R) y T es la temperatura del
sistema (°F).
Los términos de generación de masa gϕ , oϕ , cϕ de las Ecs. (384), (386) y (387) se pueden
expresar de la siguiente manera
195
o lSϕ = − (398)
(1 c) + cg lM S Sϕ = − (399)
c cc lM S Sϕ = − (400)
donde Mc son las lb de coque formado/lb de aceite consumido.
Sustituyendo las Ecs. (392), (393), (398)-(400) en las Ecs. (384)-(387), se obtiene el
sistema cerrado de ecuaciones referente a la ecuación de masa promediada en volumen:
a) Ecuación de masa promediada para el aceite
o o o oog l
s u m St xφρ ρ∂ ∂
+ = − −∂ ∂
(401)
b) Ecuación de masa promediada para el agua:
w w w wwg
s u mt xφρ ρ∂ ∂
+ = −∂ ∂
(402)
c) Ecuación de masa promediada para el gas
(1- ) cg g g ggo gwl
s uMc S S m m
t xφρ ρ∂ ∂
+ = + + +∂ ∂
(403)
d) Ecuación de masa promediada para el coque
cc lF Mc S St
∂= −
∂ (404)
Recordando que la fase gas es considerada una mezcla de oxígeno, vapor de agua, y vapor
aceite y otros gases, es necesario proponer los balances de masa de cada uno de ellos
pesados por su fracción correspondiente. Esto es:
( ) ( )a g g a g gf s f u Ma Sct xφ ρ ρ∂ ∂
− = −∂ ∂
(405)
( ) ( )s g g s g g g wf s f u Ms Sc mt xφ ρ ρ∂ ∂
− = +∂ ∂
(406)
( ) ( )o g g o g g golf s f u MsoS mt xφ ρ ρ∂ ∂
− = +∂ ∂
(407)
196
donde af es la fracción masa del oxígeno en la fase gas, sf es la fracción masa del vapor
de agua en la fase gas, of es la fracción masa del vapor de aceite en la fase gas, Ma es la
relación entre la masa de oxígeno consumido y la masa de coque consumido, Ms es la
relación entre la masa de vapor de agua producido y la masa de coque consumido, Mso es
la relación entre la masa del vapor de aceite producido y la masa de aceite consumido y
Mc es la relación entre la masa de coque formado y la masa de aceite consumido.
6.5 ECUACIONES DE CANTIDAD DE MOVIMIENTO.
Las ecuaciones promediadas de cantidad de movimiento se pueden simplificar hasta llegar
a la definición de la velocidad de Darcy válida para medios porosos. Para ello, se toman en
cuenta las consideraciones hechas en la sección 6.3 (punto 8). Por otra parte, se emplearon
los trabajos de Bousquet-Melou et al. (2002) y Whitaker (1986b), (1986c), los cuales
originalmente fueron desarrollados para un sistema líquido-sólido y aire-agua-sólido,
siendo estos extendidos a un sistema aceite-agua-gas-coque-sólido. Entonces, las
ecuaciones para las fases, g,o w quedan como
vgg
gk pxµ∂ ⎞⎛= − ⎜ ⎟∂⎝ ⎠
(408)
v oo
o
k pxµ∂ ⎞⎛= − ⎜ ⎟∂⎝ ⎠
(409)
v ww
w
k pxµ∂ ⎞⎛= − ⎜ ⎟∂⎝ ⎠
(410)
A las Ecs. (408)-(410) primeramente se le aplica Ec. (11) y posteriormente se toma en
cuenta k ksε φ= , donde kk
m
VsV= , mV
Vφ = y
1 2m l l gV V V V= + + , obteniendose:
gg
gk puxµ∂ ⎞⎛= − ⎜ ⎟∂⎝ ⎠
(411)
197
oo
o
k puxµ∂ ⎞⎛= − ⎜ ⎟∂⎝ ⎠
(412)
ww
w
k puxµ∂ ⎞⎛= − ⎜ ⎟∂⎝ ⎠
(413)
donde ( )v kk k ku s φ= es la velocidad de Darcy de la fase k. gk , ok , wk son las
permeabilidades efectivas de la fase gas, aceite y agua y gµ , oµ , wµ son las viscosidades
de la fase gas, aceite y agua, y p es la presión del sistema.
6.6 ECUACIONES DE ENERGÍA.
El punto de partida es la Ec. (376) (Capítulo 5) la cual se puede escribir como:
( )
g g o o w w c cg g o o w w c c
s sg g g o o o ws s
g g g g o o o o w w
w ww w ef
Cp T Cp T Cp T Cp Tt t t t
Cp Ts Cp T s Cp T s Cp
tT T
ρ ρ ρ ρ
ρφ ρ φ ρ φ
ρ
⎞⎛ ⎞ ⎞ ⎞⎛ ⎛ ⎛∂ ∂ ∂ ∂⎟⎜ + + +⎟ ⎟ ⎟⎜ ⎜ ⎜⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎟⎜ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎝ ⎝⎠ ⎠ ⎠⎝ ⎠⎞⎛ ∂+∇ ⋅ +∇ ⋅ +∇ ⋅⎟⎜⎜ ⎟∂⎝ ⎠⎡ ⎤= ∇ ⋅ ⋅∇ + Φ⎣ ⎦
v v
v Κ
(414)
Dado que el medio poroso es isotrópico, el término de tensor de conductividad térmica
efectiva se define como la suma de escalares tal como se muestra a continuación:
(1 )ef g g o o w w c c s s
g g o o w w c c s
k k k k k ks k s k s k s k kε ε ε ε εφ φ φ φ φ
= + + + += + + + + − (415)
En la Ec. (414) se toma en cuenta: 1) la definición de la entalpía para la fase k, esto es
k fh CpTλ= + donde ( ) , , f o w cλ = es el calor de vaporización, y , , , , k o w g c s= , y 2)
las pérdidas de calor por convección, quedando de la siguiente manera:
198
(1 )
c c cg g g o o o w w w
gg g g gs s o o o w w w c c c
o wo o o o w w w w o
s Cp Ts Cp T s Cp T s Cp Tt t t t
s Cp TCp T s s st t t t x
s Cp T s Cp T sx x
φ ρφ ρ φ ρ φ ρ
φ ρφ ρ φρ λ φρ λ φρ λ
φ ρ φ ρ φρ
∂ ⎞⎛∂ ⎞⎛ ∂ ⎞ ∂ ⎞⎛ ⎛+ + + ⎟⎜⎟⎜ ⎟ ⎟⎜ ⎜∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎝⎠ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠
∂∂ − ⎞⎛ ∂ ∂ ∂⎞ ⎞ ⎞⎛ ⎛ ⎛+ + + +⎟⎜ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎝ ⎝⎠ ⎠ ⎠⎝ ⎠∂ ∂ ∂
+ + +∂ ∂
v
v v
2
2( )
o wo o o w w w w
a ef
sx x
Th a T T k
x
λ φρ λ∂+
∂ ∂∂
′ ′+ − =∂
v v
(416)
donde wλ es el calor latente de vaporización, oλ es el calor latente asociado con la
formación de coque, cλ es el calor de combustión, h′es el coeficiente externo de pérdida de
calor, a′ es el área externa de pérdida de calor por unidad de volumen, aT es la
temperatura ambiente (inicial). Para la Ec. (416) se considera que la porosidad de la roca,
densidad, capacidad calorífica y los calores latentes antes mencionados son constantes. La
Ec. (416) se modifica quedando:
( ) ( ) ( )
( ) ( ) (1 )
(1 )
g gg g o o o og o o w w
c cw w w w sc c s
g g g o o o w w w c c c s s
g g g o o o
us s uCp T Cp T Cp Tt x t x
ss u Cp T Cp Tt x t t
Ts Cp s Cp s Cp s Cp Cp
tu Cp u Cp
ρφρ φρ ρλ λ
φρφρ ρ φ ρλ
φρ φρ φρ φρ φ ρ
ρ ρ
∂∂ ⎞⎛ ∂ ∂ ⎞⎛+ + + + + +⎟⎜ ⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠⎝ ⎠∂ ⎞⎛∂ ∂ ∂ −⎞ ⎞⎛ ⎛+ + + +⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎝⎠ ⎠⎝ ⎠
∂⎡ ⎤+ + + + + −⎣ ⎦ ∂
+ +2
2( )w w w a ef
T Tu Cp h a T T k
x xρ
∂ ∂′ ′⎡ ⎤+ + − =⎣ ⎦ ∂ ∂
(417)
donde ( )v kk k ku s φ= es la velocidad de Darcy de la fase k ( , ,k o w g= ).
Recordando que el gas está compuesto por una mezcla de gases (oxígeno, vapor de agua y
aceite y otros gases), los tres primeros términos, así como los términos sexto y séptimo, se
modifican quedando de la siguiente manera:
199
( ) ( ) ( )
( )
( ) ( )
(1 )(1 )
g g g g o o o og o o w w
g g s og g s ow w w wg
g g s g g s g g o g g ow w o o
s u s uCp T Cp T Cp Tt x t x
u f fs f fs u Cp Tt x t x
s f u f s f u fCp T Cp T
t x t x
φρ ρ φρ ρλ λ
ρφρφρ ρ
φρ ρ φρ ρλ λ
∂ ∂ ⎞⎛ ∂ ∂ ⎞⎛+ + + + + +⎜ ⎟⎟⎜ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠⎝ ⎠∂ − −∂ − − ⎞⎛∂ ∂ ⎞⎛ + = + ⎟⎜ ⎟ ⎜∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠
∂ ∂ ∂ ∂⎞ ⎞⎛ ⎛+ + + + + +⎟ ⎟⎜ ⎜∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎝⎠ ⎠
+( ) ( )w w w w o o o ow o
s u s uCp T Cp Tt x t xφρ ρ φρ ρ∂ ∂ ∂ ∂⎞ ⎞⎛ ⎛+ + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎝⎠ ⎠
(418)
](1 )g g g w w w g g w s g g o o g g g o s
w w w
s Cp s Cp s Cp f s Cp f s Cp f fs Cp
φρ φρ φρ φρ φρφρ
⎡ ⎤ ⎡+ = + + − −⎣ ⎦ ⎣+
(419)
(1 )g g g w w w g g w s g g o o g g g o s w w wu Cp u Cp u Cp f u Cp f u Cp f f u Cpρ ρ ρ ρ ρ ρ⎡ ⎤ ⎡ ⎤+ = + + − − +⎣ ⎦ ⎣ ⎦ (420)
Sustituyendo las Ecs. (418)-(420) en la Ec. (417) se obtiene:
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( )
(1 )(1 )
(1 )
g g s og g s o g g sg w w
g g s g g o g g o w w w wo o w
c co o o oo c c s
u f fs f f s fCp T Cp T
t x tu f s f u f s uCp T Cp T
x t x t xss uCp T Cp T Cp T
t x t
ρφρ φρλ
ρ φρ ρ φρ ρλ
φρφρ ρ φ ρλ
∂ − −∂ − − ∂⎞⎛ ⎛+ + +⎟⎜ ⎜∂ ∂ ∂⎝⎝ ⎠
∂ ∂ ∂⎞ ⎞⎛ ∂ ∂ ⎞⎛+ + + + + +⎜ ⎟⎟ ⎟⎜∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠⎝⎠ ⎠∂ ⎞⎛∂ ∂ ∂ −⎞⎛+ + + + +⎟⎜ ⎟ ⎜∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠
{}
]2
2
(1 ) (1 )
(1 )
( )
s
s s g g w s g g o o g g g o s w w w
o o o c g g w s g g o o g g g o s
w w w o o o a ef
tCp s Cp f s Cp f s Cp f f s Cp
Ts Cp FCp u Cp f u Cp f u Cp f f
tT T
u Cp u Cp h a T T kx x
φ ρ φ ρ ρ ρ ρ
ρ ρ ρ ρ
ρ ρ
⎞⎛⎜ ⎟∂⎝ ⎠
⎡+ − + + + − − +⎣∂
⎡+ + + + + − −⎤⎦ ⎣∂∂ ∂
′ ′+ + + − =∂ ∂
(421)
Sustituyendo las Ecs (401)-(407) en la Ec (421) y en el resultado sustituyendo las Ecs.
(411)-(413), se tiene la ecuación de energía para el proceso de combustión in-situ
2
2
T T TT
x x tα β γ δ∂ ∂ ∂
+ − + =∂ ∂ ∂
(422)
efkα θ= (423)
[ {}
(1 ) (1 )s s g g w s g g o o g g g o s w w w
o o o c
Cp s Cp f s Cp f s Cp f f s Cps Cp FCp
θ φ ρ φ ρ ρ ρ ρρ
= − + + + − − ++ + ⎤⎦
(424)
( )1 (1 )g g w w w o o ow s o o g o s
g w o
k k Cp k CpCp f Cp f Cp f fρ ρ ρβ
θ µ µ µ⎡ ⎤
= + + − − + +⎢ ⎥⎢ ⎦⎣
(425)
200
( ) ( ) ( ){}
1w g g c c g o g g o lCp Cp Ms Cp Cp Sc Cp Cp Mc Cp Cp Mso Cp Cp S
h aγ
θ⎡ ⎤ ⎡ ⎤= − + − + − + − + −⎣ ⎦ ⎣ ⎦′ ′+
(426)
( ) ( )1c w w gw o go o c alMs Sc m m Mso Mc S h a Tδ λ λ λ λ λ λ
θ′ ′⎡ ⎤= − − − − + +⎣ ⎦ (427)
donde α es la difusividad térmica y ( )c cF s φρ= es conocida como la concentración de
coque acumulado (Gottfried y Mustafa, 1978).
El sistema de ecuaciones diferenciales parciales resultante queda expresado en términos de
9 variables dependientes (so, sw,sg, F, fa, fs, fo, p y T) y ocho ecuaciones (Ecs. (401)-(407) y
(422)) por lo que:
1o w gs s s+ + = (428)
permitiendo así resolver numéricamente el modelo para combustión in-situ, como se
muestra a continuación.
6.7 SOLUCIÓN NUMÉRICA.
Se aplica la técnica de diferencias finitas para resolver las ecuaciones de masa [Ecs. (401)-
(407)] y de energía [Ec. (422)]. Para resolver las ecuaciones de masa se utilizó un esquema
explícito hacia atrás. Las derivadas de tiempo y espacio se aproximan usando las siguientes
ecuaciones:
t t ti i
t t
+∆Ψ −Ψ∂Ψ=
∂ ∆ (429)
2 21
t tt t
i i
x x
∆ ∆+ +
−Ψ −Ψ∂Ψ=
∂ ∆ (430)
Mientras que para la ecuación de energía se usó la aproximación de Crank-Nicolson dada
por:
201
t t ti i
t t
+∆Ψ −Ψ∂Ψ=
∂ ∆ (431)
1 1
2
t t t t t ti i i i
x x
+∆ +∆− −Ψ +Ψ −Ψ −Ψ∂Ψ
=∂ ∆
(432)
21 1 1 1
2 22 2
2
t t t t t t t t ti i i i i i
x x
+∆ +∆ +∆+ + − −Ψ +Ψ +Ψ +Ψ − Ψ − Ψ∂ Ψ
=∂ ∆
(433)
donde Ψ es cualquier variable dependiente (temperatura, presión, saturaciones, fracciones
masa, etc.), x∆ es el tamaño de paso espacial, t∆ es el tamaño de paso de tiempo, los
subíndices 1i − , i , y 1i + representan los nodos atrazado, central y adelantado,
respectivamente. Los superíndices t y t t+ ∆ representan el tiempo actual y el tiempo
siguiente.
6.7.1 Discretización de las ecuaciones gobernantes
Sustituyendo las Ecs. (411)-(413) en las Ecs. (401)-(407) y posteriormente efectuando la
discretización mediante las Ecs. (429) y (430) se obtiene la forma discretizada de las
ecuaciones de masa para o, w, g, y c tal como se muestra a continuación:
2 22 2 2 21 1 1 2 2
2 21
1 o o o oo o o o go
o o
t tt t t tt tt t t t t tt tt t t t t t i i i ii ii i i i it t it t
i i
lk q k q
s s S mt x
ρ ρφ ρ ρ
µ µ
∆ ∆∆ ∆ ∆ ∆+ ++ + + + ∆ ∆+ ++∆ +∆ − − −∆ ∆
+ +
−
⎡ ⎤⎢ ⎥
⎡ ⎤ ⎢ ⎥− − − = − −⎣ ⎦∆ ∆ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
(434)
2 22 2 2 2 1 1 1 2
2 2
1
1 w w w ww w w w gw
w w
t tt t t tt tt t t t ttt t t t t t i i i ii ii i i i t t it t
i i
k q k qs s m
t xρ ρφ ρ ρ
µ µ
∆ ∆∆ ∆ ∆ ∆+ ++ + + + ∆++∆ +∆ − − −
∆ ∆+ +
−
⎡ ⎤⎢ ⎥
⎡ ⎤ ⎢ ⎥− − − = −⎣ ⎦∆ ∆ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
(435)
202
( )2 22 2 2 2
11 1 2
2 21
2 2 2
1 1
g
g g g gg g g g
g
go gw
t tt t t tt tt t t t ttt t t t t t i ii i i iit ti i i i t t
iit t tt t t
i i i
l
c
k q k qs s Mc S
t x
S m m
ρ ρφ ρ ρ
µ µ
∆ ∆∆ ∆ ∆ ∆+ ++ + + + ∆++∆ +∆ −− −
∆ ∆+ +
−∆ ∆ ∆+ + +
⎡ ⎤⎢ ⎥
⎡ ⎤ ⎢ ⎥− − − = −⎣ ⎦∆ ∆ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
+ + +
(436)
2 2l c
t tt t t t ti i
i i
F FMc S S
t
∆ ∆+∆ + +⎡ ⎤−⎣ ⎦ = −∆
(437)
Mientras que para las fracciones masa, fa , fs y fo se tiene:
2 22 2 2 21 11 1
2 21
2
1 a g g a g ga g g a g g
g g
t tt t t tt tt t t tt t t ti it t t t t t t t t i ii i i i
i i t ti i i i t t
i itt
i
f k q f k qf s f s
t x
Ma Sc
ρ ρφ ρ ρ
µ µ
∆ ∆∆ ∆ ∆ ∆+ ++ + + ++∆ +∆−+∆ +∆ +∆ −− −
∆ ∆+ +
−∆
+
⎡ ⎤⎢ ⎥
⎡ ⎤ ⎢ ⎥− − −⎣ ⎦∆ ∆ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
= −
(438)
2 22 2 2 21 11 1
2 21
2 2
1 s g g s g gs g g s g g
g g
gw
t tt t t tt tt t t tt t t ti it t t t t t t t t i ii i i i
i i t ti i i i t t
i it tt t
i i
f k q f k qf s f s
t x
Ms Sc m
ρ ρφ ρ ρ
µ µ
∆ ∆∆ ∆ ∆ ∆+ ++ + + ++∆ +∆−+∆ +∆ +∆ −− −
∆ ∆+ +
−∆ ∆+ +
⎡ ⎤⎢ ⎥
⎡ ⎤ ⎢ ⎥− − −⎣ ⎦∆ ∆ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
= − +
(439)
02 22 2 2 2
1 11 1
2 21
2 2
1 o g g g go g g o g g
g g
go
t tt t t tt tt t t tt t t tt t t t t t t t t i ii ii i i ii i t ti i i i t t
i it tt t
i il
f k q f k qf s f s
t x
Mso S m
ρ ρφ ρ ρ
µ µ
∆ ∆∆ ∆ ∆ ∆+ ++ + + ++∆ +∆+∆ +∆ +∆ − −− −
∆ ∆+ +
−∆ ∆+ +
⎡ ⎤⎢ ⎥
⎡ ⎤ ⎢ ⎥− − −⎣ ⎦∆ ∆ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
= − +
(440)
donde ( )2
2
tt
tt
pq x
∆+
∆+
∂= ∂ es el gradiente de presión.
Por otro lado, al aplicar las Ecs. (431)-(433) en la Ec. (422) se obtiene la forma
discretizada de la ecuación de energía tal y como se muestra a continuación:
203
2
1 1 1 1 1 1
1 2 22 2
02
t t t t t t t t t t t t t t t t t ti i i i i i i i i i i i
t t ti i
T T T T T T T T T T T Tt x x
T T
α β
γ δ
+∆ +∆ +∆ +∆ +∆ +∆+ + − − − −
+∆
⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤− − + + + − − − + − −⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦∆ ∆ ∆⎡ ⎤+ − − =⎣ ⎦
(441)
donde:
efkα θ= (442)
2 2 2 2 22 2
2 2 2 2 2
(1 ) (1 )t t t t tt tt t t t tt t
s s g g w s o o g o si i i i iii
t t t t tt t t t t
w i w w o i o o i ci i
Cp s Cp f Cp f Cp f f
s Cp s Cp F Cp
θ φ ρ φ ρ
ρ ρ
∆ ∆ ∆ ∆ ∆∆ ∆+ + + + ++ +
∆ ∆ ∆ ∆ ∆+ + + + +
⎧ ⎞⎡ ⎛⎪= − + + + − −⎨ ⎟⎜⎢⎪⎣ ⎝ ⎠⎩
⎤⎫+ + + ⎥⎬
⎥⎭ ⎦ (443)
2 22 2 2 2
2
2 2 2 22
2 2
1 (1 )
t tt t t t t tt t t tg gi iw s o o g o si i i itt
g it t t tt t t t ttw w w o o oi i i i
it tt t
w oi i
kCp f Cp f Cp f f
k Cp k Cpq
ρβ
θ µ
ρ ρ
µ µ
∆ ∆+ + ∆ ∆ ∆ ∆
+ + + +
∆+
∆ ∆ ∆ ∆+ + + + ∆
+
∆ ∆+ +
⎡ ⎞⎛⎢= + + − − ⎟⎜⎢ ⎝ ⎠⎢⎣⎤⎥+ + ⎥⎥⎦
(444)
( ) ( ) ( )2
2
1 tt
w g g c i c g o g
tt
g o il
Cp Cp Ms Cp Cp Sc Cp Cp Mc Cp Cp Mso
Cp Cp S h a
γθ
∆+
∆+
⎧⎡ ⎤ ⎡= − + − + − + −⎨⎣ ⎦ ⎣
⎩⎫
′ ′⎤+ − + ⎬⎦⎭
(445)
( ) ( )2 22 21 t tt tt tt t
c w i w gw o go o c i ai ilMs Sc m m Mso Mc S h a Tδ λ λ λ λ λ λ
θ
∆ ∆∆ ∆+ ++ +⎡ ⎤′ ′= − − − − + +⎢ ⎥
⎣ ⎦ (446)
6.7.2 Procedimiento de solución del modelo numérico
Para resolver en forma numérica el sistema de ecuaciones obtenido en el punto anterior, se
utilizó la subrutina que combina el método de Newton-Raphson y el de Bisección para
determinar las raíces que definen el valor de la temperatura. Con este método hibrido se
elimina la pobre convergencia que muestra en algunos casos el método de Newton-
Raphson al utilizarse solo.
204
Con la finalidad de estudiar la convergencia del sistema de ecuaciones obtenido (Ecs. 434-
441) se analizó el efecto del mallado. Para ello se corrieron dos casos para el mismo
problema con: 1) =0.01 h.t∆ , =0.1 h.x∆ , 2) =0.005 h.t∆ y =0.05 h.x∆ . Ambos casos
corrieron de forma satisfactoria, indicando que un decremento en el tamaño de malla debe
ser acompañado por un decremento en el paso de tiempo. Una comparación de las
soluciones indica que los resultados obtenidos con 0.1t x∆ ∆ = son suficientemente
aceptables desde el punto de vista de ingeniería (Gottfried, 1965).
Condiciones iniciales: En el tiempo t=0, es necesario establecer las condiciones iniciales
en todas las celdas tal y como se muestra a continuación:
( ,0)T x TR= (447)
( ,0)w wrs x s= (448)
( ,0)g
grs x s= (449)
( ,0)a arf x f= (450)
( ,0)s srf x f= (451)
donde TR es la temperatura inicial (°F), swr es la saturación inicial de agua, sgr es la
saturación inicial del gas, far es la fracción masa inicial del oxígeno en la fase gas y fsr es la
fracción masa inicial del vapor en la fase gas.
Condiciones de frontera: El modelo está sujeto a las siguientes condiciones de entrada.
0
0
( , )x
T x tk qx =
∂=
∂ (452)
0x L
Tx =
∂=
∂ (453)
( , )o
p L t p= (454)
(0, ) 0o
s t = (455)
205
(0, )a aif t f= (456)
(0, )s sif t f= (457)
donde qo es el flujo de calor en la entrada del tubo (Btu/ft2-hr), po es la presión a la salida
del sistema (psia), fai es la fracción masa del oxígeno en la fase gas a la entrada del
sistema, fsi es la fracción masa del vapor de agua en la fase gas a la entrada del sistema, y k
es la conductividad térmica de la matriz.
Parámetros de entrada
La densidad del aceite ( oρ ), agua ( wρ ), y gas ( gρ ), la viscosidad del aceite ( oµ ), agua
( wµ ), y gas ( gµ ), y las permeabilidades efectivas del aceite (ko), agua (kw) y gas (kg) son
obtenidas de correlaciones encontradas en la literatura.
Y otros parámetros de entrada, necesarios para la simulación, son: calores específicos a
presión constante del aceite ( oCp ), agua ( wCp ), gas ( gCp ) y coque ( cCp ), las energías de
activación de formación de coque (E) y de combustión (Ec), los coeficientes de Arrhenius
para la formación de coque (Z) y para la combustión (Zc), permeabilidad absoluta (KK), el
coeficiente de evaporación o condensación multiplicado por el área interfacial por unidad
de volumen (HA), el coeficiente de pérdidas de calor externas multiplicado por la área de
pérdidas de calor externas por unidad de volumen (HA1), la conductividad térmica del
sistema (K), la relación entre la masa de oxígeno consumido y la masa de coque
consumido ( aM ), la relación entre la masa de vapor de agua producido y la masa de coque
consumido ( sM ),la relación entre la masa del vapor de aceite producido y la masa de
aceite consumido ( voM ) y la relación entre la masa de coque formado y la masa de aceite
consumido ( cM ), calor de combustión, (λc), calor de vaporización (λw) y calor asociado
con la formación de coque (λo).
206
Relaciones de cerrado
Estas relaciones de cerrado son determinadas con las ecuaciones descritas en la sección
(6.4) y se refieren principalmente a cambios de fase del agua y del aceite así como a los
términos de generación de masa, mismos que son debidos a las reacciones que se presentan
durante el fenómeno de combustión in-situ, es decir, reacción química del aceite
(generación de coque) y la reacción de combustión entre el coque y el oxígeno (generación
de gas).
Procedimiento de solución:
Paso 1: Se ingresan los valores de entrada: longitud de la mezcla en el tubo de combustión,
velocidad de inyección del gas, tiempo de simulación, temperaturas y presión.
Paso 2: Se asigna la condición inicial en t = 0, Ecs. (447)-(451)
Paso 3: Se asignan las condiciones de frontera, Ecs. (452)-(457)
Paso 4: Se calculan las propiedades de los fluidos.
Paso 5: Se calculan las relaciones de cerrado (cambios de fase del agua y del aceite,
reacción química del aceite y reacción de combustión entre el coque y el oxígeno).
Paso 6: Se evalúa cada coeficiente de la ecuación de energía (α, β, γ, δ, θ).
Paso 7: Se resuelve la ecuación discretizada de energía usando el método de Newton-
Raphson- Bisección.
Paso 8: Se calculan nuevamente las propiedades de los fluidos.
Paso 9: Se recalculan las relaciones de cerrado (cambio de fase del aceite y del agua así
como las reacciones química).
Paso10: Se calculan las fracciones masa para el oxígeno, vapor de agua y vapor de aceite.
Paso 11: Se recalcula el gradiente de presión.
Paso 12: Se recalculan las saturaciones de aceite, agua y gas y la concentración de coque.
207
Paso 13: Calculo del error para el gradiente de presión, se comparan la distribución de
presión del paso 11 con la supuesta en el paso 3. Los pasos 5-13 se repiten hasta que se
alcanza una convergencia establecida.
Paso 14: Calculo del error de las distribuciones de la temperatura, saturación y las
fracciones masa, se comparan las distribuciones de los pasos 10 y 12 con las supuestas en
los pasos 2 y 3.
Paso 15: Los pasos 2-14 se repiten hasta que todas las distribuciones alcanzan una
convergencia establecida.
Paso 16: Se calculan las acumulaciones de gas, agua y aceite producido.
Paso 17: Después de que todas las celdas son evaluadas, las variables calculadas en el
nuevo tiempo tt ∆+ se asignan a las variables en el tiempo t y el proceso se repite desde el
paso 4 hasta que se complete el tiempo total de simulación.
Los pasos descritos anteriormente se esquematizan en la Figura 6.2 a través de un
diagrama de flujo
208
Figura 6.2 Diagrama de flujo para la solución del modelo numérico.
1
2t t t
t ψ ψψ+∆+
=
SI
SI
Cálculo del error de la temperatura, fracciones
masa (o, w y g) y acumulación de coque, si:
Error T ≤ Error 1 Error sk ≤ Error 1 Error fk ≤ Error 1 Error F ≤ Error 1
k= o, w, g
Cálculo del error de la presión
Error p≤ Error 1 NO
Datos de Entrada para la simulación
Cálculo de condiciones iniciales y de frontera
TIME=0 TIME 0
20
40
60
80
100
120
Se resuelv e e lperfil de T, Ec
-564 TIEMPO
i=2 hasta i=N-1
Cálculo de propiedades
Cálculo de coeficientes α, β, γ, δ, θ
Cálculo de propiedades
Cálculo de las relaciones de cerrado
Cálculo de fracciones masa
Cálculo gradiente de presión
Ciclo de espacio ¿Se hicieron los cálculos en todos los nodos?
Cálculo de las relaciones de cerrado
Se resuelve el perfil de T, Ec. (440)
2t t t
t ψ ψψ+∆+
=
NO
NO
1
SI
1i iψ ψ +=
SI
NO
Cálculo de las acumulaciones de gas, agua y aceite producido
Termina
Ciclo de tiempo ¿Concluyó el tiempo de
simulación especificado?
t t tψ ψ +∆=
209
6.8 RESULTADOS
En la Figura 6.3 se muestra la comparación de los perfiles de temperatura entre los datos
experimentales (experimento 1) tomados del trabajo de Cazarez-Candia et al. (2010) y los
resultados obtenidos con el presente modelo. Los perfiles predichos con el modelo detrás
del frente y en la zona de combustión muestran ligeras diferencias respecto a los
experimentales considerándose aceptables puesto que la variación entre estas no es mayor
de 30°C (zona de combustión). Esto posiblemente es debido a:1) la parte inferior del tubo
no se encuentra aislada por lo que en esta área se pierde calor y 2) los fluidos recuperados
(aceite, agua y gases de combustión) llevan consigo calor por lo que el sistema lo pierde
(Cazarez-Candia et al. 2010). El error máximo promedio entre los perfiles de temperatura
predichos y experimentales fue del 11%.
Figura 6.3 Comparación entre datos del experimento 1 y predicciones de temperatura del
modelo.
Con la finalidad de observar el efecto que muestra el término de la vaporización de aceite
sobre el fenómeno de combustión, en la Figura 6.4 se presenta la comparación entre los
210
perfiles de temperatura obtenidos del experimento 1 y las predicciones de temperatura
obtenidas con el modelo sin el término de vaporización del aceite.
A diferencia de la Figura 6.3, en la Figura 6.4 se obtuvo un error promedio máximo del
22%. Por otro lado, se observa que detrás del frente de combustión los perfiles de
temperatura predichos presentan una menor diferencia hasta 260°C respecto a los
experimentales, mientras que por delante del frente las velocidades de combustión y los
perfiles de temperatura tienden a quedar por detrás de los experimentales.
Figura 6.4 Comparación entre datos del experimento 1 y predicciones de temperatura del
modelo sin el término de vaporización de aceite.
De la misma forma en que se compararon las predicciones de los perfiles de temperatura
obtenidas con el modelo y los datos del experimento1 se muestran las comparaciones
obtenidas con el experimento 2. En la Figura 6.5, se observa que las velocidades del frente
y los perfiles de temperatura, detrás y en la zona de combustión, presentan buenas
predicciones sin embargo, en el frente de combustión las diferencias entre estos son
211
ligeramente mayores debido a lo antes mencionado (ver explicación de la Fig. 6.3). A
pesar de lo anterior, el error máximo entre los perfiles de temperatura predichos y
experimentales no son mayores al 10% .
Figura 6.5 Comparación entre datos del experimento 2 y predicciones de temperatura del
modelo.
En la Figura 6.6 se muestra el efecto que tiene el término de vaporización de aceite en la
predicción de temperaturas durante el experimento en un tubo de combustión. En la Figura
6.6 las velocidades y los perfiles de temperatura predichos presentan buenas tendencias sin
embargo, tienden a quedarse por detrás de los obtenidos por el experimento 2. Para estas
predicciones, se obtuvo un error promedio máximo del 20% respecto a los datos
experimentales.
212
Figura 6.6 Comparación entre datos del experimento 2 y predicciones de temperatura del
modelo sin el término de vaporización de aceite.
Con la finalidad de enfatizar el efecto del término de la vaporización de aceite en los
perfiles de temperatura se seleccionaron y compararon tres perfiles, uno experimental y
dos del modelo desarrollado (uno incluye el término de vaporización de aceite y el otro
no), para los tiempos de 3.03 h. y 3.20 h. Además se modificó el parámetro que relaciona
las libras masa de vapor de aceite respecto a las libras masa aceite (= MSO). Los valores
utilizados para MSO son de 0.10, 0.20 y 0.30. Se seleccionaron dichos valores con la
finalidad de analizar si las fracciones ligeras del aceite así como las fracciones pesadas se
evaporan durante el proceso de combustión.
En las Figuras 6.7 y 6.8 se muestra que conforme MSO (lbm vapor de aceite/lbm aceite)
disminuye, los perfiles de temperatura predichos, los cuales incluyen la vaporización de
aceite, tienden acercarse cada vez mas a los perfiles experimentales.
213
Figura 6.7 Efecto del término de vaporización de aceite para el experimento 1
Figura 6.8 Efecto del término de vaporización de aceite para el experimento 2
Como se observa en las Figuras 6.7 y 6.8 es evidente que MSO =0.10 contribuye
notablemente a una mejor predicción en los perfiles de temperaturas y además permite
214
constatar que las fracciones ligeras son las que comúnmente se evaporan en experimentos
realizados en tubos de combustión.
Los datos de temperatura obtenidos con el modelo se compararon con los datos
experimentales obteniéndose predicciones aceptables por lo que uno podría esperar que el
resto de los parámetros muestren buenas predicciones. En términos generales esto ocurre.
Otra de las variables que adicionalmente se pueden obtener del modelo matemático
desarrollado son los perfiles de presión a lo largo del tubo de combustión para diferentes
tiempos de simulación tal y como se muestra en la Figura 6.9. En esta, se observa
específicamente que entre los tiempos de 0.6 h. y 9.85 h. a 0.01 m de la longitud del tubo
se tiene una caída de presión de 20 psia, dicha variación se debe a que al tiempo de 0.6 h.,
de transcurrir el experimento, el aceite empieza a ser recuperado mientras que al tiempo de
9.85 h., en su mayoría éste ha sido recuperado.
Figura 6.9 Perfiles de presión para el experimento 1
Como el frente de combustión se mueve a lo largo del tubo se van formando bancos de
aceite y agua los cuales presentan perfiles parecidos a los mostrados en las Figuras 6.10 y
6.11.
215
Figura 6.10 Saturación de aceite para el experimento1
La Figura 6.11, se muestra la saturación del agua válida para el experimento 1. La cantidad
de agua dentro del tubo se debe al agua original y al agua producida por el frente de
combustión. El agua es desplazada a lo largo del tubo formando bancos. Este banco viaja
detrás de los bancos de aceite causando que el aceite producido se emulsifique con el agua.
Figura 6.11 Saturación de agua para el experimento 1.
216
Por otro lado, existe solo aire detrás del frente de combustión el cual viaja a lo largo del
tubo. Entonces la fase gas, en esa zona, esta formada solo por aire y la saturación de gas
toma el valor de 1. Cuando el aire toca el coque ocurre la combustión y la saturación de
gas cae hasta valores cercanos a 0.2 tal como se observa en la Figura 6.12
Figura 6.12 Saturación de gas para el experimento 1.
En las Figuras 6.13 y 6.14 se muestran las comparaciones de los perfiles de volumen de
aceite recuperado entre los datos experimentales (experimento 1 y 2) tomados del trabajo
de Cazarez-Candia et al. (2010) y los resultados obtenidos con el presente modelo. En las
ambas figuras se observa que al tiempo de 10 y 7.5 h. el volumen de aceite recuperado de
los experimentos 1 y 2, respectivamente fueron del 82 % y 73 %, respectivamente,
mientras que los predichos con el modelo en los mismos tiempos de simulación fueron del
88% y 68% .Cabe señalar que las tendencias de dichos perfiles se observan diferentes ya
que como se mencionó antes, la recuperación de fluidos experimentalmente se lleva acabo
cada 15 min y esto el modelo no lo considera.
217
Figura 6.13 Volumen recuperado para el experimento 1
Figura 6.14 Volumen recuperado para el experimento 2.
Otras de las predicciones que el modelo es capaz de realizar son los perfiles de fracciones
masa de oxígeno, vapor de agua y vapor de aceite tal como se muestra en las Figuras 6.15-
6.17.
218
En la Figura 6.15 se presenta la fracción masa de oxígeno dentro del tubo para varios
tiempos. La concentración de oxígeno inicialmente cae abruptamente en la zona de
combustión. Sin embargo esta no desaparece lo cual indica que el oxígeno no es
enteramente consumido por la reacción de combustión.
Figura 6.15 Fracción masa de oxígeno para el experimento 1.
Por otro lado, en las Figuras 6.16 y 6.17 se presentan las fracciones masa de vapor de
aceite y agua como función del tiempo. La variación de las fracciones masa se muestra
conforme transcurre la combustión. El avance de estas después de 10 h. tiende a reducirse
significativamente ya que la mayor parte de aceite ha sido recuperado y el experimento ha
terminado.
219
Figura 6.16 Fracción masa de vapor de aceite para el experimento 1.
Figura 6.17 Fracción masa de vapor de agua para el experimento 1.
220
6.9 CONCLUSIONES
En el presente capítulo se resolvió un problema de combustión in-situ, partiendo de las
ecuaciones promediadas en volumen de masa, cantidad de movimiento y energía,
desarrolladas en los capítulos 2, 3 y 5, y que son válidas para flujo multifásico a través de
un medio poroso.
Para ello, fue necesario plantear las ecuaciones promedio en volumen de masa y energía
para el coque (c) y las ecuaciones promedio en volumen de masa, cantidad de movimiento
(ecuación de Darcy) y energía para el agua (w), gas (g) y aceite (o) en términos de
variables más comunes de la industria petrolera, es decir, en términos de saturación y
porosidad ( ks y φ ).
Las ecuaciones de cerradura para el cambio de fase del agua y la generación de masa
(formación y combustión de coque), fueron tomadas del trabajo presentado por Gottfried y
Mustafa (1978). Respecto a la ecuación de cambio de fase del aceite, se modificó la
presentada por Chu (1964), expresándola en términos de presiones parciales del vapor de
aceite en la fase gas y presión de vapor del aceite tal y como se mostra en el Apéndice A.
Las predicciones de temperatura obtenidas y volumen de aceite recuperado con el modelo
muestran resultados aceptables al ser comparados con los datos experimentales. En las
predicciones de temperatura se obtuvieron errores promedios del 11% para el experimento
1 mientras que para el experimento 2 se obtuvieron errores promedios no mayores al 10%.
Para la cantidad de aceite recuperado se obtuvieron predicciones aceptables al ser
comparadas con los datos experimentales. Sin embargo las tendencias de dichos perfiles se
observan diferentes debido a que la recuperación de fluidos experimentalmente se lleva
acabo cada 15 min. y esto el modelo no lo considera.
Por otro lado, el modelo es capaz de predecir perfiles de presión, saturaciones de aceite,
agua y gas, y fracciones masa de oxígeno, vapor de aceite y agua.
221
El parámetro MSO (lbm vapor de aceite/lbm aceite), el cual esta directamente relacionado
con el término de vaporización de aceite, contribuye notablemente a una mejor predicción
en los perfiles de temperaturas y con valor de MSO=0.10 permite constatar que las
fracciones ligeras son las que comúnmente se evaporan en experimentos realizados en
tubos de combustión.
222
Capítulo 7
CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES
7.1 CONCLUSIONES GENERALES
Se obtuvieron conjuntos de ecuaciones de masa, cantidad de movimiento y energía
promediadas en volumen para todas y cada una de las siguientes regiones: a) fases, b)
interfaces, c) líneas de contacto y d) puntos de contacto; para flujo multifásico de gas (g) y
dos líquidos inmiscibles (l1, l2) dentro de un medio poroso homogéneo, isotrópico y rígido.
Con la finalidad de tomar en cuenta la definición explícita de medio poroso, las ecuaciones
promedio, se plantearon en términos de saturación y porosidad ( ks y φ ).
Respecto a la ecuación de energía, se obtuvieron dos versiones 1) uno bajo condiciones de
desequilibrio térmico, definido por las Ecs.(341)-(345),y 2) otro bajo condiciones de
equilibrio térmico, definido por la Ec. (376).
Como parte de la aplicación de las ecuaciones obtenidas se planteó un modelo matemático
para resolver un problema de combustión in-situ. Dicho modelo permite predecir perfiles
de temperatura, presión, saturaciones, y fracciones masa de oxígeno, vapor de aceite y
agua así como el volumen de aceite recuperado.
Con el fin de obtener un sistema cerrado de ecuaciones en términos de variables
dependientes, se modificó la ecuación de cerradura que define el cambio de fase del aceite,
expresándola en términos de presiones parciales del vapor de aceite en la fase gas y presión
de vapor del aceite.
Las predicciones de temperatura y de volumen de aceite recuperado obtenidas con el
modelo se compararon con datos experimentales reportados por Cazarez-Candia (2010)
223
(dos experimentos llevados a cabo en un tubo de combustión). En las predicciones de
temperatura se obtuvieron errores promedios del 11% para el experimento 1 mientras que
para el experimento 2 se obtuvieron errores promedios no mayores al 10% y para el
volumen de aceite recuperado se obtuvieron errores del 6% y del 5% en ambos
experimentos.
Al realizar un análisis paramétrico sobre MSO (lbm vapor de aceite/lbm aceite), el cual
está directamente relacionado con el término de vaporización de aceite, se observó que
contribuye notablemente a una mejor predicción de los perfiles de temperatura y además
permitió constatar que las fracciones ligeras son las que comúnmente se evaporan en
experimentos realizados en tubos de combustión.
La comparación de las predicciones con datos experimentales permite suponer que el
código desarrollado se pueda usar para simular experimentos de tubos de combustión.
7.2 RECOMENDACIONES PARA TRABAJOS POSTERIORES
Algunas de las recomendaciones que se sugieren para trabajos posteriores son:
Dado que las ecuaciones de masa, cantidad de movimiento y energía promediadas en
volumen para flujo multifásico a través de un medio poroso para la fase, interfase, línea y
punto de contacto fueron obtenidas partiendo de la forma local de cada una de estas
ecuaciones y aplicando el método del promedio volumétrico en el cual se tomó en cuenta
la restricción de escala dada por la Ec. (1), se recomienda plantearlas en forma no local, es
decir, sin cumplir dicha restricción de escala. Lo anterior permitirá contar con un conjunto
de ecuaciones modificadas, donde su forma no local es válida tanto en una región no
homogénea como en una región homogénea en donde se reducen a las de ecuaciones de
transporte clásicas promediadas en volumen.
Dado que la técnica de combustión in-situ es compleja, debido a la gran diversidad de
fenómenos que ocurren durante su aplicación, se recomienda que en el modelo de
224
combustión in-situ desarrollado (en el capítulo 6) sea enriquecido incluyendose: 1) el resto
de los gases se combustión (CO, CO2, N2) así como su interacción, 2) el resto de las
reacciones químicas (reacciones de combustión del aceite y el vapor de aceite, y de
disolución de carbonato), y 3) que el medio poroso sea considerado no homogéneo.
Por otro lado, dado que el modelo obtenido para resolver el problema de combustión in-
situ fue propuesto y resuelto bajo la consideración de equilibrio térmico, se recomienda
resolverlo también bajo la consideración de desequilibrio térmico. Con lo anterior se
obtendría un modelo matemático que describa de manera más rigurosa el fenómeno de
combustión.
Por otra parte, en la literatura especializada solo se reportan datos como, tipo de aceite,
saturaciones de aceite agua y gas, porosidad, temperatura de ignición, temperatura inicial
(ambiente), longitud del tubo, flujo de aire inyectado al tubo de combustión, y presión. Sin
embargo se requieren de parámetros adicionales como: 1) energías de activación y
coeficientes de Arrhenius para la formación de coque, y la combustión del mismo, 2)
capacidades caloríficas del aceite, agua, gas oxígeno, roca, y coque, 3) permeabilidad
absoluta del medio poroso, 4) conductividad de la roca con el fluido, 5) calores latentes de
formación de coque, combustión, y vaporización, 6) lb de oxígeno consumido/lb de coque
quemado, 7) lb de coque formado/lb de aceite consumido, y 8) lb de vapor de aceite/ lb de
coque consumido.
Inicialmente éstos parámetros se tomaron de la literatura (Gottfried,1965; Gottfried y
Mustafa, 1978, y Cazarez-Candia et al., 2010). Sin embargo, para mejorar las predicciones
es recomendable contar con una base de datos experimentales de los parámetros antes
mencionados.
Adicionalmente se recomienda realizar análisis paramétricos que permitan conocer la
contribución e impacto de cada uno de ellos sobre el fenómeno de combustión in-situ. Para
225
ello se debe tomar en cuenta que los valores asignados, para dichos parámetros, caigan
dentro del rango de valores reales según el fenómeno de estudio.
Finalmente para la solución numérica del modelo de combustión in-situ se recomienda
probar con otras técnicas de discretización u otros métodos numéricos (elemento finito,
volumen finito) que den solución al sistema de ecuaciones diferenciales parciales. Lo
anterior es con la finalidad de que se obtengan mejores resultados y se emplee menor
tiempo de cómputo.
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Mechanics, Vol. 31, pp: 171-199.
Wooley G. R., 1980, “Computing downhole temperatures in circulation, injection, and
productions wells”, Journal of Petroleum Technology, September, pp: 1509-1522.
240
APÉNDICE A Vaporización de aceite
FASES: El término de evaporación se puede escribir como (Chu, 1964)
( )mo e lo gok k C Cχ = − (A.1)
donde loC y goC están dados por:
lolo
pCTR
= (A.2)
gogo
pC
TR= (A.3)
entonces,
( )moe lo go
k k p pTR
χ = − (A.4)
considerando que,
mokkRT
= (A.5)
entonces,
( )e lo gok k p pχ = − (A.6)
Multiplicando la Ec. (A.6) por Mo, tenemos:
( )go o o e lo gom = M =kM k p pχ − (A.7)
donde gom es el término de evaporación como función de la presión. Para calcular k, es
necesario calcular kmo, la cual fue dada por Chu (1964) como:
2253 6.33mok T= + (A. 8)
y ke se define como:
89306.74aT
ek e−
= (A.9)
241
APÉNDICE B
Publicaciones, Congresos y Conferencias
Como productos adicionales de la presente investigación se presentaron conferencias, se
asistió a congresos y se publicaron artículos científicos.
PUBLICACIONES:
Artículos en Revistas:
1. Cazarez-Candia O., Vital-Ocampo A. G. and Montoya -Hernández D. J., 2011, Volume
Averaged Mass Equations for Multiphase Flow in Porous Media for In-Situ Combustion,
Petroleum Science and Technology, ID: LPET479754 (NO. DE SEGUIMIENTO DEL
ART.) ACEPTADO
2. Cazarez-Candia O., Vital-Ocampo A. G., Moya-Acosta S. L and Montoya -Hernández D.
J., 2011, Interfacial Mass Equations for In-Situ Combustion, Petroleum Science and
Technology, Vol. 29, Issue 5, January, pp. 484-498.
OTRAS COLABORACIONES
1. Cazarez-Candia O., Montoya-Hernández D. J. and Vital-Ocampo A. G., 2009,
Mathematical model for Bubbly Water Heavy oil-Gas flow in vertical pipes, (PET/08(040),
Petroleum Science and Technology, Vol. 27, pp. 1715-1726.
2. Cazarez-Candia O.; Montoya-Hernández D. Vital-Ocampo A.G., Bannwart A. C., 2010,
Modeling of three phase heavy oil-water-gas bubbly flow in upward vertical pipes,
International J. Multiphase Flow, Vol. 36 , No. 6, pp.439-448.
242
Artículos en Extenso:
1. Vital-Ocampo A. G., Cazarez-Candia O, 2010, Average Model for In-Situ Combustion I:
Transport Equations, V Congreso Internacional de Métodos Numéricos, 2-5 de Febrero,
Guanajuato, Gto. pp.124.
2. Cazarez-Candia O., Vital-Ocampo A. G., 2010, Average Model For In-Situ Combustion
II: Numerical Solution, V Congreso Internacional de Métodos Numéricos, 2-5 de Febrero,
Guanajuato, Gto. pp. 131.
3. Vital-Ocampo A. G., Cazarez-Candia O, 2010, Volume Average Transport Equations for
In-situ combustion, XVI Congreso de la División de Dinámica de Fluidos realizado del 25-
29 de Octubre , Boca del Río, Veracruz.
Capítulo en libros:
1. Vital-Ocampo A. G., Cazarez-Candia O. Average model for in-situ combustion : transport
equations and numerical solution. Mathematical and numerical applications for porous
media physics modeling, Multiphysics modeling. Ed. CRC Press, Taylor & Francis Group.
Enviado.
PARTICIPACIÓN EN CONGRESOS:
1. Vital-Ocampo A. G., Cazarez-Candia O., Moya-Acosta S. L. y Montoya-Hernández D. J.,
2008, Ecuaciones de masa promediadas en volumen para flujo multifásico a través de un
medio poroso homogéneo, XIV Congreso de la división de Fluidos y Plasmas realizado del
20-24 de Octubre en el Edo. de Zacatecas, Zacatecas.
2. Vital-Ocampo A. G., 2009, Ecuaciones de transporte promediadas en volumen para flujo
multifásico a través de un medio poroso homogéneo, Simposium multidisciplinario
académico celebrado del 23 al 27 de Marzo, Instituto Tecnológico de Zacatepec Mor.
3. Vital-Ocampo A. G., Cazarez-Candia O. y Montoya-Hernández D., 2009, Ecuaciones de
cantidad de movimiento promediadas en volumen para flujo multifásico a través de un
243
medio poroso homogéneo, XV Congreso de la División de Dinámica de Fluidos realizado
del 26-30 de Octubre en el Edo. Acapulco, Guerrero.
4. Vital-Ocampo A. G. y Cazarez-Candia O., 2010, Volume Average Transport Equations
for In-situ combustion, XVI Congreso de la División de Dinámica de Fluidos realizado del
25-29 de Octubre, Boca del Río, Veracruz.
CONFERENCIAS
1. Vital-Ocampo A. G., 2007, Ecuaciones promediadas en volumen para la transferencia de
masa y energía en medios porosos, 1ra Semana académica celebrado en Abril, Instituto
Tecnológico de Zacatepec Mor.
2. Vital-Ocampo A. G., 2009, Deducción de las ecuaciones promedio en volumen para
medios porosos y su aplicación para combustión in-situ, Quinto ciclo de conferencias de la
sección estudiantil IMIQ-ITZ realizado del 20 al 23 de Octubre, Instituto Tecnológico de
Zacatepec Mor.
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