derivacije - vup.hra) odredite prosječnu brzinu za vrijeme između 2 i 3 sekunde. (80) b) odredite...
Post on 02-Feb-2020
0 Views
Preview:
TRANSCRIPT
DERIVACIJE
� problem brzine (Newton)
� problem tangente (Leibniz)
� infitezimalni računinfitezimalni račun
BRZINA
� Čelična kuglica, bačena s tornja, pasti će na udaljenosti od y
metara u x sekundi, što je približno opisano formulom:
Slika prikazuje poziciju kuglice na koordinatnom pravcu na kraju 0, 1, 2 i 3 sekundi.
( ) 216xxfy ==
a) Odredite prosječnu brzinu za vrijeme između 2 i 3 sekunde. (80)
b) Odredite i pojednostavite izraz za prosječnu brzinu za vrijeme između 2 sekunde i 2+h sekunde, (h≠0).
c) Odredite limes izraza iz b) kada h → 0, ako on postoji.
d) Razmotrite moguće interpretacije limesa iz c).
� Trenutačni iznos promjene:
Trenutačni iznos promjene funkcije u točki x = a je
ako taj limes postoji.
( ) ( )
h
afhaf
h
−+
→0lim
( )xfy =
NAGIB GRAFA
� Nagib sekante( ) ( )
h
afhafs
−+=
� Nagib grafa
Za dani graf, nagib grafa u točki (a, f(a)) dan je izrazom
pod pretpostavkom da taj izraz postoji. Nagib grafa ujedno je i nagib
tangente na graf u točki (a, f(a)) .
( ) ( )
h
afhaf
h
−+
→0lim
DERIVACIJA
� Definicija
Za , derivaciju od f u točki x, označenu s f’(x), definiramo kao limes
ako taj limes postoji. Ako f’(x) postoji za svaki x o otvorenom
( )( ) ( )
h
xfhxfxf
h
−+=
→ 0lim'
( )xfy =
ako taj limes postoji. Ako f’(x) postoji za svaki x o otvorenom intervalu , kaže se da je funkcija f diferencijabilna na tom intervalu
� Oznake:
� Primjer: Odredite derivaciju:
( )( )
dx
dy
dx
xdfxDfxf ,),(,'
ba ,
) ( )
) ( )x
xfb
xxfa
1
2
=
=
� Neka su f i g derivabilne na istom intervalu. Tada vrijede slijedeća svojstva:
1. Derivacija zbroja i razlike:
PRAVILA DERIVIRANJA
( ) '''
gfgf ±=±
2. Derivacija umnoška:
3. Derivacija kvocijenta:
( ) ''' gfgffg +=
2
'
''
g
gfgf
g
f −=
� Primjeri:
( )2352)( xxxf +=
( ) 713523
−−−= xxy
xxy sin32
= xxy sin32
=
xe
xxy
sincos +=
� Odredite derivacije funkcija:
1.
2.
3.
4.
πcos2)( += xxf
( ) 55555)(234
−+−+= xxxxxf
( )332 xy +=
1212=y
2:.Rj
( )2239:. +xRj
5.
6.
7.
8.
( ) xxxy 4132323
−−−=
1)( 3 ++= xxxf
12345623
1
3
4 34 3+−+= xxxy
xxxy
85132
−+=
8369:.2
+− xxRj
xxxRj
11:.
4
2−+
432
1528:.
xxxRj −−
6 7
3 2
6
32:.
x
xxRj
+
� Odredite derivacije funkcija:
1.
2.
3.
4.
xxy cos2=
xxy cossin=
322x −
xxy sin32
=
xy 2sin=
xxxyRj sin2cos2:. −=
xxyRj sincos2:. =
xxyRj 22sincos:. −=
( )xxxxyRj cossin23:. +=
244302 ++ xxx
5.
6.
7.
8.
2
3
5
22
x
xy
+
−=
1
24 33
+
++=
x
xxxy
32
1ln
x
xy
+=
1
sin
−
+=
xe
xxy
( )22
24
5
4302:.
+
++=
x
xxxyRj
( )( )363
1263624:.
23 2
233 2
++
+−++=
xxx
xxxxyRj
3 11
3
8
34:.
x
xyRj
−=
DERIVACIJE VIŠEG REDA
� Druga derivacija funkcije f derivacija je prve derivacije. označavamo je s f’’. Derivaciju trećeg reda označavamo f’’’.
Općenito derivaciju n-tog reda označavamo s f(n).
( )( ) ( )( )( ) '1
xfxfnn −
=
� Primjer: Odredite 5. derivaciju funkcije
( ) 1234
+−+= xxxxf
� Odredite prve tri derivacije funkcija:
1.
2.
3.
4.
xxf sin)( =
( ) xxxf sin=
( ) 15
2
3
1
4
1 34−+−= xxxxf 26:. −xRj
4 113 8564
63
27
203:.
xxxRj +−
xRj cos:. −
( ) 1823 34 −+−= xxxxf
xxxRj sin3cos:. −−4.
5.
6.
7.
xxxxf sin)(3
+=
( ) xxxf sin=
6cossin3:. +−− xxxRj
xxxRj sin3cos:. −−
( )2ln)( += xxf( )3
2
2:.
+xRj
( ) ( )2232
3
5
6
5
8:.
+−
+ x
x
x
xRj( )5ln)(
2+= xxf
top related