determinante -...

Determinante

Die DeterminantedetA = det(a1, . . . , an)

einer quadratischen Matrix A mit Spalten aj kann durch folgendeEigenschaften definiert werden.

Multilineariat:

det(. . . , αaj + βbj , . . .) = α det(. . . , aj , . . .) + β det(. . . , bj , . . .)

Antisymmetrie:

det(. . . , aj , . . . , ak , . . .) = − det(. . . , ak , . . . , aj , . . .)

Normierung:det(e1, . . . , en) = 1, (ek)` = δk` .

Determinante als antisymmetrische Multilinearform 1-1

Mit den definierenden Regeln lasst sich eine Determinante als Summen-facher Produkte entwickeln:

detA =∑i∈Sn

σ(i) ai1,1 · · · ain,n ,

wobei uber alle Permutationen (i1, . . . , in) von (1, . . . , n) summiert wirdund σ das Vorzeichen der Permutation bezeichnet.Man benutzt ebenfalls die Schreibweisen

detA = |A| =

∣∣∣∣∣∣∣a1,1 · · · a1,n

......

an,1 · · · an,n

∣∣∣∣∣∣∣ .Wegen der hohen Anzahl der Summanden (es exisitieren n!Permutationen) ist die explizite Darstellung der Determinante fur diepraktische Berechnung schlecht geeignet. Sie ist jedoch unmittelbar mitden definierenden Eigenschaften verknupft und wird zum Beweis sowie zurHerleitung einiger anderer Eigenschaften benotigt.

Determinante als antisymmetrische Multilinearform 1-2

Beweis:

(i) Eigenschaften ⇒ Entwicklung der Determinante via Permutationen:Stelle Spalten von A als Linearkombinationen der Einheitsvektoren ei dar:

aj =n∑

i=1

ai ,jei

Multilinearitat ⇒ detA =∑n

i1=1 · · ·∑n

in=1 ai1,1 · · · ain,n det(ei1 , . . . , ein)︸ ︷︷ ︸=di

Antisymmetrie ⇒ det(. . . , ek , . . . , ek , . . .) = − det(. . . , ek , . . . , ek , . . .) ,d.h. det(ei1 , . . . , ein) = 0, falls nicht alle eiν verschieden sind nur Permutationen (i1, . . . , in) von (1, . . . , n) zu berucksichtigen di = (−1)τ(i) det(e1, . . . , en) , wobei τ(i) die modulo 2 eindeutigbestimmte Anzahl von Vertauschungen bezeichnet, um dieEinheitsvektoren in die kanonische Reihenfolge zu bringen

Definition des Vorzeichens einer Permutation und Normierung =⇒det(ei1 , . . . , ein) = σ(i) det(e1, . . . , en) = σ(i)

Determinante als antisymmetrische Multilinearform 2-1

Beweis:

(i) Eigenschaften ⇒ Entwicklung der Determinante via Permutationen:Stelle Spalten von A als Linearkombinationen der Einheitsvektoren ei dar:

aj =n∑

i=1

ai ,jei

Multilinearitat ⇒ detA =∑n

i1=1 · · ·∑n

in=1 ai1,1 · · · ain,n det(ei1 , . . . , ein)︸ ︷︷ ︸=di

Antisymmetrie ⇒ det(. . . , ek , . . . , ek , . . .) = − det(. . . , ek , . . . , ek , . . .) ,d.h. det(ei1 , . . . , ein) = 0, falls nicht alle eiν verschieden sind nur Permutationen (i1, . . . , in) von (1, . . . , n) zu berucksichtigen di = (−1)τ(i) det(e1, . . . , en) , wobei τ(i) die modulo 2 eindeutigbestimmte Anzahl von Vertauschungen bezeichnet, um dieEinheitsvektoren in die kanonische Reihenfolge zu bringen

Definition des Vorzeichens einer Permutation und Normierung =⇒det(ei1 , . . . , ein) = σ(i) det(e1, . . . , en) = σ(i)

Determinante als antisymmetrische Multilinearform 2-2

Beweis:

(i) Eigenschaften ⇒ Entwicklung der Determinante via Permutationen:Stelle Spalten von A als Linearkombinationen der Einheitsvektoren ei dar:

aj =n∑

i=1

ai ,jei

Multilinearitat ⇒ detA =∑n

i1=1 · · ·∑n

in=1 ai1,1 · · · ain,n det(ei1 , . . . , ein)︸ ︷︷ ︸=di

Antisymmetrie ⇒ det(. . . , ek , . . . , ek , . . .) = − det(. . . , ek , . . . , ek , . . .) ,

d.h. det(ei1 , . . . , ein) = 0, falls nicht alle eiν verschieden sind nur Permutationen (i1, . . . , in) von (1, . . . , n) zu berucksichtigen di = (−1)τ(i) det(e1, . . . , en) , wobei τ(i) die modulo 2 eindeutigbestimmte Anzahl von Vertauschungen bezeichnet, um dieEinheitsvektoren in die kanonische Reihenfolge zu bringen

Definition des Vorzeichens einer Permutation und Normierung =⇒det(ei1 , . . . , ein) = σ(i) det(e1, . . . , en) = σ(i)

Determinante als antisymmetrische Multilinearform 2-3

Beweis:

(i) Eigenschaften ⇒ Entwicklung der Determinante via Permutationen:Stelle Spalten von A als Linearkombinationen der Einheitsvektoren ei dar:

aj =n∑

i=1

ai ,jei

Multilinearitat ⇒ detA =∑n

i1=1 · · ·∑n

in=1 ai1,1 · · · ain,n det(ei1 , . . . , ein)︸ ︷︷ ︸=di

Antisymmetrie ⇒ det(. . . , ek , . . . , ek , . . .) = − det(. . . , ek , . . . , ek , . . .) ,d.h. det(ei1 , . . . , ein) = 0, falls nicht alle eiν verschieden sind

nur Permutationen (i1, . . . , in) von (1, . . . , n) zu berucksichtigen di = (−1)τ(i) det(e1, . . . , en) , wobei τ(i) die modulo 2 eindeutigbestimmte Anzahl von Vertauschungen bezeichnet, um dieEinheitsvektoren in die kanonische Reihenfolge zu bringen

Definition des Vorzeichens einer Permutation und Normierung =⇒det(ei1 , . . . , ein) = σ(i) det(e1, . . . , en) = σ(i)

Determinante als antisymmetrische Multilinearform 2-4

Beweis:

(i) Eigenschaften ⇒ Entwicklung der Determinante via Permutationen:Stelle Spalten von A als Linearkombinationen der Einheitsvektoren ei dar:

aj =n∑

i=1

ai ,jei

Multilinearitat ⇒ detA =∑n

i1=1 · · ·∑n

in=1 ai1,1 · · · ain,n det(ei1 , . . . , ein)︸ ︷︷ ︸=di

Antisymmetrie ⇒ det(. . . , ek , . . . , ek , . . .) = − det(. . . , ek , . . . , ek , . . .) ,d.h. det(ei1 , . . . , ein) = 0, falls nicht alle eiν verschieden sind nur Permutationen (i1, . . . , in) von (1, . . . , n) zu berucksichtigen

di = (−1)τ(i) det(e1, . . . , en) , wobei τ(i) die modulo 2 eindeutigbestimmte Anzahl von Vertauschungen bezeichnet, um dieEinheitsvektoren in die kanonische Reihenfolge zu bringen

Definition des Vorzeichens einer Permutation und Normierung =⇒det(ei1 , . . . , ein) = σ(i) det(e1, . . . , en) = σ(i)

Determinante als antisymmetrische Multilinearform 2-5

Beweis:

(i) Eigenschaften ⇒ Entwicklung der Determinante via Permutationen:Stelle Spalten von A als Linearkombinationen der Einheitsvektoren ei dar:

aj =n∑

i=1

ai ,jei

Multilinearitat ⇒ detA =∑n

i1=1 · · ·∑n

in=1 ai1,1 · · · ain,n det(ei1 , . . . , ein)︸ ︷︷ ︸=di

Antisymmetrie ⇒ det(. . . , ek , . . . , ek , . . .) = − det(. . . , ek , . . . , ek , . . .) ,d.h. det(ei1 , . . . , ein) = 0, falls nicht alle eiν verschieden sind nur Permutationen (i1, . . . , in) von (1, . . . , n) zu berucksichtigen di = (−1)τ(i) det(e1, . . . , en) , wobei τ(i) die modulo 2 eindeutigbestimmte Anzahl von Vertauschungen bezeichnet, um dieEinheitsvektoren in die kanonische Reihenfolge zu bringen

Definition des Vorzeichens einer Permutation und Normierung =⇒det(ei1 , . . . , ein) = σ(i) det(e1, . . . , en) = σ(i)

Determinante als antisymmetrische Multilinearform 2-6

Beweis:

(i) Eigenschaften ⇒ Entwicklung der Determinante via Permutationen:Stelle Spalten von A als Linearkombinationen der Einheitsvektoren ei dar:

aj =n∑

i=1

ai ,jei

Multilinearitat ⇒ detA =∑n

i1=1 · · ·∑n

in=1 ai1,1 · · · ain,n det(ei1 , . . . , ein)︸ ︷︷ ︸=di

Antisymmetrie ⇒ det(. . . , ek , . . . , ek , . . .) = − det(. . . , ek , . . . , ek , . . .) ,d.h. det(ei1 , . . . , ein) = 0, falls nicht alle eiν verschieden sind nur Permutationen (i1, . . . , in) von (1, . . . , n) zu berucksichtigen di = (−1)τ(i) det(e1, . . . , en) , wobei τ(i) die modulo 2 eindeutigbestimmte Anzahl von Vertauschungen bezeichnet, um dieEinheitsvektoren in die kanonische Reihenfolge zu bringen

Definition des Vorzeichens einer Permutation und Normierung =⇒det(ei1 , . . . , ein) = σ(i) det(e1, . . . , en) = σ(i)

Determinante als antisymmetrische Multilinearform 2-7

(ii) Entwicklung ⇒ Eigenschaften:

Multilinearitat: Produkteai1,1 · · · ain,n

enthalten aus jeder Spalte jeweils genau ein Element.

Antisymmetrie: Vertauschung von Spalten andert Vorzeichen derPermutation.

Normierung: Fur die Einheitsmatrix existiert nur ein nichttrivialerSummand:

a1,1 · · · an,n = 1 · · · 1 = 1 .

Determinante als antisymmetrische Multilinearform 2-8

(ii) Entwicklung ⇒ Eigenschaften:

Multilinearitat: Produkteai1,1 · · · ain,n

enthalten aus jeder Spalte jeweils genau ein Element.

Antisymmetrie: Vertauschung von Spalten andert Vorzeichen derPermutation.

Normierung: Fur die Einheitsmatrix existiert nur ein nichttrivialerSummand:

a1,1 · · · an,n = 1 · · · 1 = 1 .

Determinante als antisymmetrische Multilinearform 2-9

(ii) Entwicklung ⇒ Eigenschaften:

Multilinearitat: Produkteai1,1 · · · ain,n

enthalten aus jeder Spalte jeweils genau ein Element.

Antisymmetrie: Vertauschung von Spalten andert Vorzeichen derPermutation.

Normierung: Fur die Einheitsmatrix existiert nur ein nichttrivialerSummand:

a1,1 · · · an,n = 1 · · · 1 = 1 .

Determinante als antisymmetrische Multilinearform 2-10

Beispiel:

Determinante einer (2× 2)-Matrix:∣∣∣∣ a bc d

∣∣∣∣ = ad − bc

nur 2 Summanden bei der Entwicklung nach Permutationen

alternative Herleitung mit Hilfe der definierenden Eigenschaften:

det(ae1 + ce2, be1 + de2) = a det(e1, be1 + de2) + c det(e2, be1 + de2)

= ab det(e1, e1) + ad det(e1, e2)

+ cb det(e2, e1) + cd det(e2, e2)

= ab · 0 + ad · 1 + cb · (−1) + cd · 0= ad − bc

Determinante als antisymmetrische Multilinearform 3-1

Beispiel:

Determinante einer (2× 2)-Matrix:∣∣∣∣ a bc d

∣∣∣∣ = ad − bc

nur 2 Summanden bei der Entwicklung nach Permutationen

alternative Herleitung mit Hilfe der definierenden Eigenschaften:

det(ae1 + ce2, be1 + de2) = a det(e1, be1 + de2) + c det(e2, be1 + de2)

= ab det(e1, e1) + ad det(e1, e2)

+ cb det(e2, e1) + cd det(e2, e2)

= ab · 0 + ad · 1 + cb · (−1) + cd · 0= ad − bc

Determinante als antisymmetrische Multilinearform 3-2

Beispiel:

Determinante einer (2× 2)-Matrix:∣∣∣∣ a bc d

∣∣∣∣ = ad − bc

nur 2 Summanden bei der Entwicklung nach Permutationen

alternative Herleitung mit Hilfe der definierenden Eigenschaften:

det(ae1 + ce2, be1 + de2) = a det(e1, be1 + de2) + c det(e2, be1 + de2)

= ab det(e1, e1) + ad det(e1, e2)

+ cb det(e2, e1) + cd det(e2, e2)

= ab · 0 + ad · 1 + cb · (−1) + cd · 0= ad − bc

Determinante als antisymmetrische Multilinearform 3-3

Beispiel:

Determinante einer (2× 2)-Matrix:∣∣∣∣ a bc d

∣∣∣∣ = ad − bc

nur 2 Summanden bei der Entwicklung nach Permutationen

alternative Herleitung mit Hilfe der definierenden Eigenschaften:

det(ae1 + ce2, be1 + de2) = a det(e1, be1 + de2) + c det(e2, be1 + de2)

= ab det(e1, e1) + ad det(e1, e2)

+ cb det(e2, e1) + cd det(e2, e2)

= ab · 0 + ad · 1 + cb · (−1) + cd · 0

= ad − bc

Determinante als antisymmetrische Multilinearform 3-4

Beispiel:

Determinante einer (2× 2)-Matrix:∣∣∣∣ a bc d

∣∣∣∣ = ad − bc

nur 2 Summanden bei der Entwicklung nach Permutationen

alternative Herleitung mit Hilfe der definierenden Eigenschaften:

det(ae1 + ce2, be1 + de2) = a det(e1, be1 + de2) + c det(e2, be1 + de2)

= ab det(e1, e1) + ad det(e1, e2)

+ cb det(e2, e1) + cd det(e2, e2)

= ab · 0 + ad · 1 + cb · (−1) + cd · 0= ad − bc

Determinante als antisymmetrische Multilinearform 3-5

Beispiel:

Die Determinante einer 3× 3-Matrix ist eine Summe von Produkten, dieden verschiedenen Diagonalen entsprechen.

Dieses sogenannte Sarrus-Schema ist in der Abbildung illustriert.

PSfrag repla ementsa1;1 a1;2 a1;3a2;1 a2;2 a2;3a3;1 a3;2 a3;3a1;1 a1;2 a1;3a2;1 a2;3

= a1;1a2;2a3;3 + a2;1a3;2a1;3 + a3;1a1;2a2;3�a3;1a2;2a1;3 � a1;1a3;2a2;3 � a2;1a1;2a3;3Determinante als antisymmetrische Multilinearform 4-1

Uberprufung des Sarrus-Schemas durch Entwicklung nach Permutationen:

i Vertauschungen σ(i) Produkt

(1, 2, 3) + a1,1a2,2a3,3

(2, 3, 1) → (3, 2, 1)→ (1, 2, 3) + a2,1a3,2a1,3(3, 1, 2) → (2, 1, 3)→ (1, 2, 3) + a3,1a1,2a2,3(3, 2, 1) → (1, 2, 3) − a3,1a2,2a1,3(1, 3, 2) → (1, 2, 3) − a1,1a3,2a2,3(2, 1, 3) → (1, 2, 3) − a2,1a1,2a3,3

Determinante als antisymmetrische Multilinearform 4-2

Uberprufung des Sarrus-Schemas durch Entwicklung nach Permutationen:

i Vertauschungen σ(i) Produkt

(1, 2, 3) + a1,1a2,2a3,3(2, 3, 1) → (3, 2, 1)→ (1, 2, 3) + a2,1a3,2a1,3

(3, 1, 2) → (2, 1, 3)→ (1, 2, 3) + a3,1a1,2a2,3(3, 2, 1) → (1, 2, 3) − a3,1a2,2a1,3(1, 3, 2) → (1, 2, 3) − a1,1a3,2a2,3(2, 1, 3) → (1, 2, 3) − a2,1a1,2a3,3

Determinante als antisymmetrische Multilinearform 4-3

Uberprufung des Sarrus-Schemas durch Entwicklung nach Permutationen:

i Vertauschungen σ(i) Produkt

(1, 2, 3) + a1,1a2,2a3,3(2, 3, 1) → (3, 2, 1)→ (1, 2, 3) + a2,1a3,2a1,3(3, 1, 2) → (2, 1, 3)→ (1, 2, 3) + a3,1a1,2a2,3

(3, 2, 1) → (1, 2, 3) − a3,1a2,2a1,3(1, 3, 2) → (1, 2, 3) − a1,1a3,2a2,3(2, 1, 3) → (1, 2, 3) − a2,1a1,2a3,3

Determinante als antisymmetrische Multilinearform 4-4

Uberprufung des Sarrus-Schemas durch Entwicklung nach Permutationen:

i Vertauschungen σ(i) Produkt

(1, 2, 3) + a1,1a2,2a3,3(2, 3, 1) → (3, 2, 1)→ (1, 2, 3) + a2,1a3,2a1,3(3, 1, 2) → (2, 1, 3)→ (1, 2, 3) + a3,1a1,2a2,3(3, 2, 1) → (1, 2, 3) − a3,1a2,2a1,3

(1, 3, 2) → (1, 2, 3) − a1,1a3,2a2,3(2, 1, 3) → (1, 2, 3) − a2,1a1,2a3,3

Determinante als antisymmetrische Multilinearform 4-5

Uberprufung des Sarrus-Schemas durch Entwicklung nach Permutationen:

i Vertauschungen σ(i) Produkt

(1, 2, 3) + a1,1a2,2a3,3(2, 3, 1) → (3, 2, 1)→ (1, 2, 3) + a2,1a3,2a1,3(3, 1, 2) → (2, 1, 3)→ (1, 2, 3) + a3,1a1,2a2,3(3, 2, 1) → (1, 2, 3) − a3,1a2,2a1,3(1, 3, 2) → (1, 2, 3) − a1,1a3,2a2,3

(2, 1, 3) → (1, 2, 3) − a2,1a1,2a3,3

Determinante als antisymmetrische Multilinearform 4-6

Uberprufung des Sarrus-Schemas durch Entwicklung nach Permutationen:

i Vertauschungen σ(i) Produkt

(1, 2, 3) + a1,1a2,2a3,3(2, 3, 1) → (3, 2, 1)→ (1, 2, 3) + a2,1a3,2a1,3(3, 1, 2) → (2, 1, 3)→ (1, 2, 3) + a3,1a1,2a2,3(3, 2, 1) → (1, 2, 3) − a3,1a2,2a1,3(1, 3, 2) → (1, 2, 3) − a1,1a3,2a2,3(2, 1, 3) → (1, 2, 3) − a2,1a1,2a3,3

Determinante als antisymmetrische Multilinearform 4-7

Uberprufung des Sarrus-Schemas durch Entwicklung nach Permutationen:

i Vertauschungen σ(i) Produkt

(1, 2, 3) + a1,1a2,2a3,3(2, 3, 1) → (3, 2, 1)→ (1, 2, 3) + a2,1a3,2a1,3(3, 1, 2) → (2, 1, 3)→ (1, 2, 3) + a3,1a1,2a2,3(3, 2, 1) → (1, 2, 3) − a3,1a2,2a1,3(1, 3, 2) → (1, 2, 3) − a1,1a3,2a2,3(2, 1, 3) → (1, 2, 3) − a2,1a1,2a3,3

Determinante als antisymmetrische Multilinearform 4-8

Eigenschaften von Determinanten

Die Determinante einer Matrix ist genau dann nicht Null, wenn die Spalten(Zeilen) eine Basis bilden. Insbesondere ist die Determinante einer Matrixmit zwei gleichen Spalten oder Zeilen Null. Daraus folgt, dass sich dieDeterminante nicht andert, wenn man ein Vielfaches einer Spalte (Zeile)zu einer anderen Spalte (Zeile) addiert.Durch Skalierung, Addition und Vertauschung von Zeilen und Spalten lasstsich eine Determinante sukzessive auf Dreiecksform transformieren unddamit als Produkt der modifizierten Diagonalelemente berechnen.Es gelten die folgenden Regeln:

det(AB) = (detA)(detB)

detA = detAt

det(A−1) = (detA)−1

Determinante als antisymmetrische Multilinearform 5-1

Beweis:

(i) Basistest:Die Vektoren a1, . . . , an ∈ Rn sind genau dann linear unabhangig, wenn sienicht in einer Hyperebene liegen.=⇒ Basiseigenschaft aufgrund der Interpretation von | det(a1, . . . , an)|

als Volumen des von ak aufgespannten Parallelepipeds.(ii) Transposition:Entwicklung nach Permutationen

detA =∑π

σ(π) aπ(1),1 · · · aπ(n),1

Umordnung der Faktoren

aπ(1),1 · · · aπ(n),1 = a1,π−1(1) · · · an,π−1(n)

mit π−1 der inversen Permutation zu πσ(π) = σ(π−1) ∑

π

σ(π−1) atπ−1(1),1 · · · atπ−1(n),1 = detAt

Invarianz unter Transposition analoge Aussagen fur Spalten- undZeilenoperationen

Determinante als antisymmetrische Multilinearform 6-1

(iii) Produkte von Matrizen:detA = 0 ⇔ a1, . . . , an linear abhangig=⇒ Ab1, . . . ,Abn linear abhangig, da Abk Linearkombinationen der a`

sind=⇒ det(AB) = det(Ab1, . . . ,Abn) = 0 = detA detB X

fur detA 6= 0 definiere

d(b1, . . . , bn) = det(AB)/ detA

und verifiziere die definierenden Eigenschaften der DeterminanteAntisymmetrie und Normierung unmittelbar ersichtlichzum Beweis der Linearitat bemerke fur bk = αu + βv

d(. . . , αu + βv , . . .) = det(. . . , αAu + βAv , . . .)/ detA

= αd(. . . , u, . . .) + βd(. . . , v , . . .)

Determinante als antisymmetrische Multilinearform 6-2

(iv) Inverse:AA−1 = E =⇒

1 = detE = det(AA−1) = det(A) det(A−1)

Determinante als antisymmetrische Multilinearform 6-3

Beispiel:

Transformation von Determinanten auf Dreiecksform durch

Skalierung

Addition

Vertauschen

Berechnung der Determinante von

A =

1 4 0 20 8 0 43 3 3 20 6 0 4

Zeile 3 - 3× Zeile 1:

detA = det

1 4 0 20 8 0 40 −9 3 −40 6 0 4

Determinante als antisymmetrische Multilinearform 7-1

Beispiel:

Transformation von Determinanten auf Dreiecksform durch

Skalierung

Addition

Vertauschen

Berechnung der Determinante von

A =

1 4 0 20 8 0 43 3 3 20 6 0 4

Zeile 3 - 3× Zeile 1:

detA = det

1 4 0 20 8 0 40 −9 3 −40 6 0 4

Determinante als antisymmetrische Multilinearform 7-2

Beispiel:

Transformation von Determinanten auf Dreiecksform durch

Skalierung

Addition

Vertauschen

Berechnung der Determinante von

A =

1 4 0 20 8 0 43 3 3 20 6 0 4

Zeile 3 - 3× Zeile 1:

detA = det

1 4 0 20 8 0 40 −9 3 −40 6 0 4

Determinante als antisymmetrische Multilinearform 7-3

Vertauschen von Spalte 2 und Spalte 4:

detA = − det

1 2 0 40 4 0 80 −4 3 −90 4 0 6

Zeile 3 + Zeile 2, Zeile 4 - Zeile 2:

detA = − det

1 2 0 40 4 0 80 0 3 −10 0 0 −2

= −1 · 4 · 3 · (−2) = 24

Determinante als antisymmetrische Multilinearform 7-4

Vertauschen von Spalte 2 und Spalte 4:

detA = − det

1 2 0 40 4 0 80 −4 3 −90 4 0 6

Zeile 3 + Zeile 2, Zeile 4 - Zeile 2:

detA = − det

1 2 0 40 4 0 80 0 3 −10 0 0 −2

= −1 · 4 · 3 · (−2) = 24

Determinante als antisymmetrische Multilinearform 7-5