determinantes de matrices álgebra lineal (uia-torreón)

Mtro. Javier Solis Noyola

Objetivos

Conocer y comprender el concepto de Determinante y sus diferentes procesos de cálculo.

Desarrollar ejercicios de determinantes.

¿Qué es el Álgebra Lineal?

El álgebra lineal es la rama de las matemáticas que estudia conceptos tales como vectores, matrices, sistemas de ecuaciones lineales y en un enfoque más formal, espacios vectoriales, y sus transformaciones lineales. Es un área activa que tiene conexiones con muchas áreas dentro y fuera de las matemáticas como: análisis funcional, ecuaciones diferenciales, investigación de operaciones, gráficas por computadora, ingeniería, etc.

Se denomina matriz a todo conjunto de números o expresiones dispuestos en forma rectangular, formando filas (renglones) y columnas.

¿Qué es una Matriz?

x1

x2

x3::xn

Para encontrar las soluciones (x1, x2,...xn) un sistema de ecuaciones lineales, se utilizan conceptos y procedimientos de matrices y determinantes.

Matriz

Determinante

Sistema de ecuaciones lineales

¿Qué es un determinante?

Determinante de una matriz cuadrada de orden n es el conjunto de nxn números ordenados de igual manera que en la matriz.

En cuanto a su notación, sirve cambiar los paréntesis de la matriz por dos rayas verticales que comprendan dicho conjunto de números, ordenados en n filas y en n columnas.

Ejemplo: |A| =

11 12 1n

21 22 2n

1 2

a a ... a

a a ... a|... ... ...

...ij

n n nn

a

a a a 1 3 5 -1

3 2 4 0

0 1 2 3

2 2 0 0

Un determinante de orden 4 (4x4) será |A| =

[Cuatro Renglones x cuatro Columnas]

Cálculo de un determinante de 0rden 2 ó 2x2

El valor de un determinante es la suma de los productos de todos los elementos de cada diagonal principal, menos la suma de los productos de todos los elementos de cada diagonal secundaria.

Cada elemento aij del determinante formará parte de un producto positivo y de un producto negativo.

Matriz A Determinante A

Ejemplos de Cálculo de un determinante de 2x2

Det A = (3) (4) –(1)(-2) = 12+ 2 = 14

Det B = (-2) (2) –(-1)(1) = -4 + 1 = -3

Cálculo de Determinantes de 3x3 por método de adjuntar 2 columnas

Dado un determinante de 3x3, podemos calcularlo a partir del método de las diagonales. Para ello, hay que adjuntar las 2 primeras columnas al determinante, y posteriormente efectuar los productos de los elementos de las diagonales como se muestra en la figura.

Det A= a11a22a33 + a12a23a31 + a13a21a32 – a13a22a31 - a11a23a32 - a12a21a31

Ejemplo de cálculo de determinante de 3x3

2 -1 21 2 33 1 4

2 -1 2 2 -1 1 2 3 1 2 3 1 4 3 1

Det A= (2)(2)(4) + (-1)(3)(3) + (2)(1)(1) – (3)(2)(2) – (1)(3)(2) – (4)(1)(-1)

Det A = 16 - 9 + 2 -12 - 6 + 4 = 22 – 27 = -5

Cálculo de Determinantes de 3x3 por método de adjuntar 2 renglones o filas

Dado un determinante de 3x3, podemos calcularlo a partir del método de las diagonales. Para ello, hay que adjuntar los 2 primeros renglones al determinante, y posteriormente efectuar los productos de los elementos de las diagonales como se muestra en la figura.

Ejemplo de cálculo de determinante de 3x3

2 -1 21 2 33 1 4

Det A= (2)(2)(4) + (1)(1)(2) + (3)(-1)(3) – (3)(2)(2) – (2)(1)(3) – (1)(-1)(4)

Det A = 16 + 2 – 9 -12 – 6 + 4 = 22 – 27 = -5

2 -1 21 2 33 1 4

2 -1 2 1 2 3

Cálculo de Determinantes de 3x3 por el método de Cofactores

Dado un determinante de 3x3, podemos calcularlo a partir del método de Cofactores. Tomando del primer renglón, cada uno de los elementos a11, a12, a13 multiplicará a un determinante de orden 2x2. El determinante de 2x2 que multiplicará a sus respectivas componentes (a11, a12, a13), se hará a partir de cancelar los elementos del renglón y columna de la componente. Por ejemplo, para la componente a11 deberá multiplicarse por un determinante de 2x2, el cual se forma a partir de cancelar los elementos del renglón1 y la columna 1, quedando 4 elementos que conforman el determinante a multiplicar; y así sucesivamente. Considere también el cambio de signo para cada componente del 1er. Renglón (ver figura).

a11 a22 a23

a32 a33

(+) (-) (+)

-a12 a21 a23

a31 a33

+a13 a21 a22

a31 a32

=

(+) (-) (+)

Ejemplo de determinante de 3x3 por Cofactores

2 -1 21 2 33 1 4

a11 a22 a23

a32 a33

-a12 a21 a23

a31 a33

+a13 a21 a22

a31 a32

=

(+) (-) (+)

2 -1 21 2 33 1 4

2 2 3

1 4

-(-1) 1 3

3 4

+ 2 1 2

3 1

=

2 [(2)(4)-(1)(3)] - (-1) [(1)(4)-(3)(3)] + 2 [(1)(1)-(3)(2)]

=

2 [8-3] - (-1) [4-9] + 2 [1-6] =

2 [5] - (-1) [-5] + 2 [-5] =

10 -5 - 10 = -5 =

REFERENCIAS INFORMÁTICAS (textos):

•Cárdenas, Humberto y Emilio Luis R., y Francisco Tomas. ÁLGEBRA SUPERIOR. Editorial Trillas, 2002.

•Frank S Budnick. MATEMÁTICAS APLICADAS PARA ADMINISTTRACIÓN, ECONOMÍA Y CIENCIAS SOCIALES. Editorial Mc Graw Hill.

•Haeussler, Ernest F.. MATEMÁTICAS PARA LA ADMINISTRACIÓN, ECONOMÍA, CIENCIAS SOCIALES Y DE LA VIDA. Editorial Prentice Hall.

•Reyes Guerrero, Araceli. ÁLGEBRA LINEAL. Editorial Thomson, 2005.

•Richar Hill. ÁLGEBRA LINEAL CON APLICACIONES. Editorial Prentice Hall.

•Stanley I Grossman. ÁLGEBRA LINEAL CON APLICACIONES. Editorial Mc Graw Hill