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40
Determinantes
Prof. Diego Medeiros – Álgebra II – Escola Preparatória da UFABC
Até agora nós estudamos vários tipos de matrizes e
suas mais diversas ordens. Em especial, vimos a
matriz quadrada, que tinha o mesmo número de
linhas e colunas. Toda matriz quadrada tem
associado a ela um número, que nós chamamos de
determinante. Os determinantes apareceram há
cerca de 300 anos, embora haja registros de
“esboços” de determinantes na matemática chinesa
há mais de 2000 anos, geralmente associados à
resolução de sistemas lineares, que veremos no
próximo capítulo. Junto com as matrizes, é uma
importantíssima ferramenta matemática com
diversas aplicações.
ATENÇÃO INICIAL: Não existe determinante se a
matriz não é quadrada!
Vamos então aprender como calcular estes
determinantes. Vale ressaltar que para matrizes
quadradas de ordem maior que 4 o cálculo do
determinante torna-se muito demorado e
dispendioso.
Uma matriz de ordem 1 nada mais é do que a matriz
com um único elemento, o elemento 11a . Logo, ela
se apresenta da seguinte forma: 11A a .
Por definição, o determinante de A é igual ao
número 11a , ou seja, det A = 11a
Por exemplo, se temos A = [5] e B = [ 4], então
det A = 5 e det B = 4.
Se A é uma matriz quadrada de ordem 2, o
determinante é calculado através do produto dos
elementos da diagonal principal menos o
produto dos elementos da diagonal secundária.
Dada a matriz 11 12
21 22
a aA
a a
, calculamos o
determinante da seguinte forma:
det A = 11 22 12 21a a a a ou até mesmo
11 12
21 22
a a
a a= 11 22 12 21a a a a .
Por exemplo, o determinante da matriz A (det A),
sendo 6 3
2 4A
, é dado por:
6 3
det 6 ( 4) 3 2 302 4
A
Vamos considerar uma matriz quadrada genérica
de ordem 3:
11 12 13
21 22 23
31 32 33
a a a
A a a a
a a a
O determinante de uma matriz de ordem 3 é
calculado por:
11 12 13
21 22 23
31 32 33
det
a a a
A a a a
a a a
= 11 22 33 12 23 31a a a a a a +
13 21 32 13 22 31 11 23 32 12 21 33a a a a a a a a a a a a .
Complicado? Sim. Precisamos decorar? Não!
Para calcularmos o determinante de uma matriz de
ordem 3 usamos uma regra chamada Regra de
Sarrus. Vamos a ela:
1 Introdução
2 determinante de matriz
quadrada de ordem 1
3 determinante de matriz
quadrada de ordem 2
4 determinante de matriz
quadrada de ordem 3
41
Capítulo 4 – Determinantes Álgebra II
Prof. Diego Medeiros – Álgebra II – Escola Preparatória da UFABC
Repetimos as duas primeiras colunas e as
colocamos ao lado da terceira coluna.
Efetuamos as multiplicações no sentido
diagonal;
Os produtos obtidos na direção da diagonal
principal permanecem com o mesmo sinal;
Os produtos obtidos na direção da diagonal
secundária invertem de sinal;
O determinante é a soma dos valores
obtidos.
Para explicar passo a passo, vamos a um exemplo:
Vamos calcular o determinante da matriz
3 1 5
2 0 2
1 4 3
A
.
+ + +
3 1 5 3 1
2 0 2 2 0
1 4 3 1 4
0 24 6 +0 +2 +40
As duas primeiras colunas foram repetidas e as
multiplicações foram feitas no sentido diagonal. As
diagonais rosas foram feitas no sentido da diagonal
principal (mantendo o sinal) e as azuis no sentido
da diagonal secundária (invertendo o sinal).
Multiplicando os elementos no sentido das setas e
somando-os no final, temos:
0 ( 24) ( 6) + 0 + 2 + 40 = 72 det A = 72
Mas tem outro jeito de fazer sem repetir as colunas?
Sim, tem!
Vamos pegar a mesma matriz acima:
3 1 5
2 0 2
1 4 3
Começamos multiplicando a diagonal principal
como já fazemos habitualmente.
3 1 5
2 0 2
1 4 3
Vamos agora pra próxima coluna. Mas se
multiplicarmos na diagonal, só teremos dois
elementos na diagonal. Precisamos de mais um.
Este elemento que precisamos está na ponta
inferior esquerda da matriz.
3 1 5
2 0 2
1 4 3
Avançamos para a próxima coluna. Mas essa só tem
um elemento. Precisamos de dois para completar.
Para isso, usamos os dois elementos que não foram
multiplicados que estão logo abaixo da diagonal
principal.
3 1 5
2 0 2
1 4 3
O processo então se repete no sentido da diagonal
secundária, tomando o cuidado de inverter os
sinais, e somando tudo no final. Pode conferir que o
resultado é o mesmo. Importante lembrar que em
matemática há vários jeitos para se chegar no
mesmo resultado.
O cálculo de determinantes também podem
envolver problemas mais complexos. Vamos a um
exemplo:
Determine x para que det A = det B, dadas as
matrizes 2
3 9
xA
e
1 1 0
2 3
1 2 1
B x
.
Por mais que as matrizes tenham ordens diferentes,
o determinante é um número. Portanto diversas
matrizes podem resultar no mesmo determinante.
A é matriz de ordem 2: logo det A =
2 9 3 18 3x x .
42
Capítulo 4 – Determinantes Álgebra II
Prof. Diego Medeiros – Álgebra II – Escola Preparatória da UFABC
B é matriz de ordem 3: usamos a regra de
Sarrus:
1 1 0 1 1
2 3 2 3
1 2 1 1 2
x
0 2x ( 2) 3 x 0
det 5B x
Resta agora igualar os dois determinantes:
det det
18 3 5
2 13
6
5
A B
x x
x
x
Logo, 6
5x .
O cálculo do determinante de matriz de ordem 3
pode parecer um tanto trabalhoso a princípio. Mas
como em qualquer parte da Matemática, é questão
de treino.
Exercícios de treino
1. Calcule os determinantes:
a) 6 2
4 3
b) 3 8
1 2
c) 6 10
3 5
d) 1 5 10
3 1 5
e)2 4
8 0
2. Resolva as equações:
a) 2 6
23 5
x
b) 3 5
01 1
x
x
3. Calcule os determinantes:
a)
3 2 1
5 0 4
2 3 1
b)
2 1 2
3 1 0
4 1 3
c)
3 5 1
0 4 2
0 0 2
d)
3 0 8
0 7 7
4 9 0
Estudar as propriedades dos determinantes pode
nos economizar esforço e tempo na hora de calcular
os determinantes, principalmente em ordens
maiores do que 3. Todas as propriedades abaixo
serão admitidas sem demonstração. Lembre-se que
todas as matrizes descritas nas propriedades
devem ser quadradas.
1. FILA DE ZEROS
Se todos os elementos de uma linha ou coluna de
uma matriz M forem iguais a zero, então o
determinante será igual a zero, isto é, det M = 0.
Exemplos:
3 0 0
0 7 0
4 9 0
= 0 0 0
1 2 = 0
5 propriedades dos determinantes
43
Capítulo 4 – Determinantes Álgebra II
Prof. Diego Medeiros – Álgebra II – Escola Preparatória da UFABC
2. FILAS IGUAIS
Se os elementos correspondentes de duas linhas ou
duas colunas de uma matriz M forem iguais, seu
determinante será nulo, isto é, det M = 0.
Exemplos:
4 5 5 6
1 8 7 8
1 8 7 8
2 1 9 0
= 0 (2ª e 3ª linhas iguais)
1 1 0
1 1 0
4 4 6
= 0 (1ª e 2ª colunas iguais)
3. FILAS PROPORCIONAIS
Se uma matriz M possui duas linhas ou duas
colunas proporcionais, seu determinante será nulo,
isto é, det M = 0.
Exemplo:
3 1 4
6 2 8
4 5 6
= 0 (2ª linha é o dobro da 1ª)
4. MULTIPLICAÇÃO DE UMA FILA POR CONSTANTE
Se todos os elementos de uma linha ou de uma
coluna de uma matriz são multiplicados por um
mesmo número real k, então seu determinante fica
multiplicado por k.
Exemplos:
21 35
4 9
=
3 57
4 9
(A 1ª linha foi multiplicada
por 7, logo, o determinante é multiplicado por 7).
3 6 7
9 8 5
4 2 9
=
3 3 7
2 9 4 5
4 1 9
(A 2ª linha foi
multiplicada por 2, logo o determinante fica
multiplicado por 2).
5. MULTIPLICAÇÃO DE UMA MATRIZ POR UMA
CONSTANTE
Se uma matriz M de ordem n é multiplicada por um
número real k, o seu determinante fica multiplicado
por nk , isto é, det( ) detn
n nkM k M .
Exemplo:
3 4det 15 8 7
2 5
15 205 det(5 ) 375 200 175 5² 7
10 25
A A
A A
6. DETERMINANTE DA TRANSPOSTA
O determinante de uma matriz M é igual ao
determinante de sua transposta, isto é,
det det tM M .
Exemplo:
2 3det 2
4 5
2 4det 2
3 5
t t
A A
A A
7. TROCA DE FILAS PARALELAS
Se trocarmos de posição duas linhas ou duas
colunas de uma matriz M, o determinante da nova
matriz obtida é o oposto do determinante da matriz
anterior.
1 2 3
4 5 6
7 8 9
A
e
2 1 3
5 4 6
8 7 9
B
.
A matriz B foi obtida a partir de A, trocando a 1ª e a
2ª colunas.
detA 45 84 96 105 72– 48 258
detB 72 48 105 96 84 45 258
8. DETERMINANTE DA MATRIZ TRIANGULAR
O determinante da matriz triangular é igual ao
produto dos elementos da diagonal principal.
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Capítulo 4 – Determinantes Álgebra II
Prof. Diego Medeiros – Álgebra II – Escola Preparatória da UFABC
Exemplo:
2 0 0
3 4 0
1 7 6
2 4 6 0 0 0 0 3 7 1 4 0 7 0 2 6 3 0 48
Somente a multiplicação feita pelos termos da
diagonal principal possui termos não nulos.
9. TEOREMA DE BINET
Sendo A e B duas matrizes de mesma ordem e AB a
matriz-produto, então det (AB) = (det A)(det B).
Exemplo:
3 2
5 1A
e
0 2
3 4B
.
6 14det( ) 36 42 78
3 6AB AB
det det ( 13) ( 6) 78A B
10. TEOREMA DE JACOBI
Seja A uma matriz. Se multiplicarmos todos os
elementos de uma linha ou coluna pelo mesmo
número e somarmos os resultados aos elementos
correspondentes de outra linha ou coluna,
formando a matriz B, então det A = det B.
Este é mais complicado. Vamos por partes.
Exemplo:
1 5det 9 20 11
4 9A A
Multiplicando a primeira linha por 2 e somando os
resultados à segunda linha, obtemos:
2 1 51 5 1 5
( 2) 1 4 ( 2) 1 4 2 14 9
1 5det 1 10 11
2 1B B
ou seja, det A = det B.
Podemos indicar por:
1 5 1 52
4 9 2 1
11. DETERMINANTE DA INVERSA
Seja M uma matriz invertível e M 1 a sua inversa.
Então 1 1
detdet
AA
.
Exemplo:
Se 1 1
,2 0
A
então 1
102
112
A
.
1
1
det 0 2 2
1 1det 0
2 2
1 1 1det
det 2 2
A
A
AA
Desta propriedade extraímos algo bastante
importante: uma matriz não possui inversa se o
determinante dela for igual a zero.
Exercícios de treino
4. Se det A = 20, calcule det At.
5. Seja A uma matriz quadrada de ordem 3 tal que
det A = m. Calcule det (2A) em função de m.
6. Dentre as seis matrizes abaixo, cinco delas tem o
determinante nulo. Descubra quais são elas,
justificando através das propriedades:
a)
5 4 10 1
3 9 6 6
1 5 2 3
2 3 4 2
b)
3 2 9 6
2 9 1 8
6 7 4 0
6 7 4 0
c)
8 0 0 0
1 4 0 0
2 1 3 0
3 2 1 5
d)
3 0 2 4
2 0 6 8
1 0 3 6
4 0 1 5
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Capítulo 4 – Determinantes Álgebra II
Prof. Diego Medeiros – Álgebra II – Escola Preparatória da UFABC
e)
2 9 3 4
0 5 2 2
0 0 0 3
0 0 0 7
f)
4 5 0 2
3 1 2 5
4 5 0 2
6 8 3 5
7. Sendo
2 5 1 3
0 3 0 1
0 0 5 1
0 0 0 10
A
, calcule det A.
8. Sejam A e B duas matrizes quadradas de mesma
ordem. Sabendo que det A = 6 e det B = 4, calcule
det (AB)
9. Seja M uma matriz quadrada de segunda orem tal
que det M = D. A partir dela constrói-se uma nova
matriz N em que cada elemento é igual ao triplo dos
elementos da matriz M. Calcule det N.
10. Sendo 1 2
1 3A
, calcule det A1
.
11. Dada a matriz
1 2
3 2 2
0 1 1
a
A
, calcule a para
que A seja invertível.
O teorema de Laplace é o mais abrangente na
resolução de determinantes de ordem maior do que
3. Para tanto, utilizaremos o conceito do cofator.
COFATOR
Dada uma certa linha ou coluna numa matriz
quadrada de ordem n, cofator é equivalente a:
( 1)i j
ij ijA D
No qual ijD é o determinante da matriz quadrada
de ordem n – 1 que exclui a linha i e a coluna j de
sua formação.
O teorema de Laplace se baseia em:
Escolher uma linha ou coluna qualquer (de
preferência uma que tenha o maior número
de zeros).
Para cada elemento dessa linha ou coluna ,
deve se calcular o produto desse elemento
pelo seu respectivo cofator.
Somar todos os elementos no final. Este será
o valor do determinante.
Para ficar mais claro, vamos a um exemplo:
Seja
1 2 0 1
1 3 6 9
4 1 2 0
2 2 3 4
M
.
Nesse caso, escolhemos a 3ª coluna (lembrando que
o processo funciona com qualquer linha e qualquer
coluna):
1 2 0 1
1 3 6 9
4 1 2 0
2 2 3 4
M
Agora, multiplicamos cada um dos elementos pelos
seus respectivos cofatores:
13 13 23 23 33 33 33 33 43 43det M a A a A a A a A a A 1 3
13
2 3
23 23
3 3
33 33
4 3
43 43
0 ( 1) 0
6 ( 1) 6
2 ( 1) 2
3 ( 1) 3
D
D D
D D
D D
13D será a nova matriz quadrada sem a 1ª linha e a
3ª coluna e por aí vai. Montando as novas matrizes,
teremos o nosso esquema para calcular o
determinante:
1 2 1 1 2 1 1 2 1
6 4 1 0 2 1 3 9 3 1 3 9
2 2 4 2 2 4 4 1 0
Sabemos calcular determinantes de ordem 3. Então
temos:
6 teorema de laplace
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Capítulo 4 – Determinantes Álgebra II
Prof. Diego Medeiros – Álgebra II – Escola Preparatória da UFABC
1 2 1 1 2
4 1 0 4 1
2 2 4 2 2
2 0 +32 4 +0 8 = 18
1 2 1 1 2
1 3 9 1 3
2 2 4 2 2
6 18 +8 12 36 2 = 66
1 2 1 1 2
1 3 9 1 3
4 1 0 4 1
+12 9 0 +0 +72 1 = 74
Então temos: det 6 18 2 ( 66) 3 74
det 108 132 222
M
M
Logo, det M = 462
Esta é outra regra interessante. Ela permite que
possa se calcular o determinante de qualquer
matriz quadrada de ordem n usando uma matriz de
ordem n – 1. A regra de Chió é muito prática quando
o elemento 11a é igual a 1. Assim:
Sendo 11a =1, suprime-se a 1ª linha e a
primeira coluna.
De cada elemento restante, subtrai-se o
produto dos dois elementos suprimidos, na
linha e na coluna de cada elemento restante.
Com os resultados das subtrações, obtém-se
uma matriz uma ordem menor que a
primeira, mas com o mesmo determinante.
Complicado? Vamos ao mesmo exemplo usado no
teorema de Laplace:
Seja
1 2 0 1
1 3 6 9
4 1 2 0
2 2 3 4
M
.
Já que 11a =1, simplesmente suprimimos a primeira
linha e a primeira coluna.
1 2 0 1
1 3 6 9
4 1 2 0
2 2 3 4
Para cada um dos termos que não foi suprimido
subtraímos o produto dos termos que foram
suprimidos, na linha e coluna correspondente.
Exemplificamos com o termo 33a .
1 2 0 1
1 3 6 9
4 1 2 0
2 2 3 4
3 2 1 6 0 1 9 ( 1)1
1 2 4 2 0 4 0 ( 1)4
2 2( 2) 3 0( 2) 4 ( 1)( 2)
Chegamos então à matriz quadrada de ordem 3 que
tem o mesmo determinante que a matriz inicial.
Podemos então calcular o determinante usanto a
regra de Sarrus.
1 6 10
7 2 4
6 3 6
1 6 10 1 6
7 2 4 7 2
6 3 6 6 3
120 12 252 12 +144 210
Logo, det M = 462.
Você pode estar se perguntando: mas e se o
primeiro elemento não for igual a 1? Nesse caso
cabe utilizar as propriedades que acabamos de ver.
Se houver algum elemento com valor 1 na
matriz podemos fazer trocas de linhas e
7 regra de chió
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Capítulo 4 – Determinantes Álgebra II
Prof. Diego Medeiros – Álgebra II – Escola Preparatória da UFABC
colunas, sempre se preocupando com a
troca de sinal quando trocamos de linha ou
coluna.
Exemplo:
3 5 3 9
5 3 8 2
5 6 1 0
9 3 8 4
=
5 6 1 0
5 3 8 2
3 5 3 9
9 3 8 4
=
1 6 5 0
8 3 5 2
3 5 3 9
8 3 9 4
Fizemos duas mudanças de sinal porque fizemos
duas trocas - de positivo pra negativo e depois para
positivo
Outro jeito é colocar um número em
evidência (4ª propriedade)
0 6 7 0 0 6 7 0
5 3 8 2 5 3 8 23
3 6 3 9 1 2 1 3
6 3 8 4 6 3 8 4
1 2 1 3
5 3 8 23
0 6 7 0
6 3 8 4
.
Colocamos 3 em evidência na 3ª linha, depois
trocamos a 1ª com a 3ª linha, atentando-se à
mudança de sinal.
Outra saída é utilizar o teorema de Jacobi
3 2 0 1
2 3 6 9 ( 1)
4 5 2 0
2 2 3 4
=
1 1 6 10
2 3 6 9
4 5 2 0
2 2 3 4
Exercícios de treino
12. Calcule os determinantes:
a)
2 1 3 1
1 2 5 1
4 1 3 4
0 0 2 1
b)
1 1 1 1
1 2 2 2
1 2 3 3
1 2 3 4
c)
1 2 0 0
2 3 0 0
0 0 3 1
0 0 1 1
d)
2 1 3 2
3 0 0 0
4 1 5 1
10 3 2 2
e)
3 2 4 6
2 1 2 0
2 1 1 2
5 3 3 2
LISTA DE EXERCÍCIOS
1. (UECE) Sabe-se que M é uma matriz quadrada de
ordem 3 e que det(M) = 2. Então det (3M) é igual a:
a) 2
b) 6
c) 18
d) 27
e) 54
2. (UFSM) Sejam as matrizes A, de ordem 3 e
2 1 4
1 0 2
0 1 6
B
. Se o det A = 6 e C = A B, o det C
vale:
a) 24
b) 12
48
Capítulo 4 – Determinantes Álgebra II
Prof. Diego Medeiros – Álgebra II – Escola Preparatória da UFABC
c) 6
d) 12
e) 24
3. (SANTA CASA) Dadas as matrizes A e B tais que:
1 5 1 3
0 2 2 4
0 0 3 1
0 0 0 4
A
e
1 0 0 0
3 4 0 0
1 2 1 0
2 1 3 2
B
, o
determinante de A B é:
a) 192
b) 32
c) 16
d) 0
e) 16
4. (PUC-MG) Dadas as matrizes 1 3
2 4A
e
1 2
3 1B
, o determinante do produto A B será
igual a:
a) l
b) 6
c) 10
d) 12
e) 14
5. (PUC-SP) Se
1 2 3
2 3 4
x y z
= 4, 6 9 12
1 2 3
x y z
vale:
a) 12
b) 12
c) 4
d) 3
4
e) 3
4
6. (CEFET-MG) O(s) valor(es) de x para que
1 2
0 1 8
2 3
x
x
x
é (são):
a) 1
b) 1
c) 3
d) 1 e 1
e) 1 e 3
7. (UFPB) Se a matriz 2 5
5
x x
x
não é
invertível, o valor de x é igual a:
a) 10
b) 10
c) 5
d) 5
e) 25
8. (Mackenzie-SP) O valor de um determinante é 42.
Se dividirmos a primeira linha por 7 e
multiplicarmos a primeira coluna por 3, o valor do
novo determinante será:
a) 42
b) 21
c) 14
d) 18
e) 6
9. Se o determinante da matriz
2 2
4 4
4 1
p
p
p
é igual a
18, o determinante da matriz
1 2
2 4
2 1
p
p
p
é:
a) 9
b) 6
c) 6
d) 9
e) 0
49
Capítulo 4 – Determinantes Álgebra II
Prof. Diego Medeiros – Álgebra II – Escola Preparatória da UFABC
10. Seja
1 2 0
0 1 1
0 0 1
0 0 0
x
xY
x
x
e det Y = y . Qual(is)
é(são) o(s) valor(es) de x para que ² 2 1 0y y ?
a) 1 e 1
b) 2
c) 2
d) 0
e) 1
11. Em 1773, Lagrange, em um trabalho sobre
Mecânica mostrou que o volume de um tetraedro
ABCD de vértices A , ,a a ax y z , B , ,b b bx y z , C
, ,c c cx y z e D , ,d d dx y z é dado por 1
6V D em
que D é o módulo do determinante a seguir:
1
1
1
1
a a a
b b b
c c c
d d d
x y z
x y z
x y z
x y z
Determine o volume do tetraedro ABCD de vértices
A(1, 0, 0), B(2, 3, 1), C( 1, 2, 3) e D(5, 1, 2).
12. (Unirio) A soma das raízes da equação
1 1
1 0
x
x x
x x x
é:
a) 0
b) 1
c) 2
d) 3
e) 4
13. (UFSC) O valor de m para que a equação do 2º
grau
2
1 1 0
2 0 1
x m
x , admita raízes iguais, é:
a) 0
b) 1
c) 2
d) 3
e) 4
14. (Unitau) O valor do determinante
a a a
a b b
a b c
,
como produto de 3 fatores, é:
a) abc
b) a(b + c)c
c) a(a b)(b c)
d) (a + c)(a b)c
e) (a + b)(b + c)(a + c)
15. (UFRN) Seja
a b c
A d e f
g h i
uma matriz 33.
Se det 6
a b c
A d e f
g h i
, então:
a b c a b c g h i g h i
d e f g h i a b c d e f
g h i d e f d e f a b c
é igual a:
a) 18
b) 12
c) 6
d) 0
e) -6
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