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Diagramas de Venn
María Manzano
USAL
Febrero 2010
María Manzano (USAL) Venn Febrero 2010 1 / 22
Diagramas de VennDiagrama Hoja de Trébol
A
B
C
5 2
8
U
6
13 4
7
Figura: Hoja de trébol
María Manzano (USAL) Venn Febrero 2010 2 / 22
Diagramas de VennÁreas del diagrama
¿Pertenece a a A, pertenece a a B, pertenece a a C?
Área 1si, si, siA\B\C
Área 2si, si, no(A\B)�C
Área 3si, no, si(A\C)�B
Área 4no, si, si(B\C)�A
Área 5si, no, noA� (B[C)
Área 6no, si, noB� (A[C)
Área 7no, no, siC� (A[B)
Área 8no, no, no� (A[B[C)
María Manzano (USAL) Venn Febrero 2010 3 / 22
Diagramas de VennConvenciones
1 Sombrearemos en el diagrama las zonas vacías.2 Usaremos cruces entrelazadas para indicar la existencia de elementosen una zona.
3 Las zonas de las que carecemos de información permanecerán sinsombras ni cruces.
María Manzano (USAL) Venn Febrero 2010 4 / 22
Diagramas de VennSintaxis
La representación diagramática utiliza cuatro objetos básicos
1 Rectángulo2 Curva cerrada3 Sombreado4 Cruces
Como objetos auxiliares:5 Líneas, para unir las cruces6 Para nombrar las curvas y el rectángulo se usarán letras.
María Manzano (USAL) Venn Febrero 2010 5 / 22
Diagramas de VennRepresentar zonas vacías
Para expresar en el diagrama que Q � P sombrearemos en el diagrama elárea Q�P.
Q P
U
Figura: Q � P
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Diagramas de VennRepresentar existencia elementos
Para indicar en el diagrama que � (P\Q) 6= ∅ pondremos una pequeñamarca en todas aquellas zonas que constituyen � (P\Q) y uniremosestas marcas entre sí
Q P
U
Figura: � (P\Q) 6= ∅
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Diagramas de VennSuperposición de diagramas
U
P Q
U
P
U
&P QQ
María Manzano (USAL) Venn Febrero 2010 8 / 22
Diagramas de VennConsistencia e inconsistencia
Inconsistente: sombreados y cruces entrelazadas y un entrelazado completotodo sombreado. Consistente en el resto de los casos.
P
U
Q P
U
Q P
U
Q
P 6= ∅ P � Q P �� QEl resultado �nal es el siguiente:
P
U
Q
Diagrama �nal
María Manzano (USAL) Venn Febrero 2010 9 / 22
Diagramas de VennModelos que satisfacen diagramas
En los cuatro apartados que siguen pondremos algunos modelos deldiagrama de la �gura Q � P.
1 U = f1, 2, 3g P = f1, 2g Q = f2g2 U = f1, 2, 3g P = ∅ Q = ∅3 U = fn j n es un número natural} P = fn j n es un número par}Q = fn j n es múltiplo de cuatrog
4 U = fx j x es un paísg P = fx j x es un país mediterráneogQ = fEspaña, Italiag
María Manzano (USAL) Venn Febrero 2010 10 / 22
Diagramas de VennRazonamientos con diagramas I
Hipótesis 1 J\R 6= ∅Hipótesis 2 E\ J = ∅Conclusión (J\R)\ � E 6= ∅
J
R
U
E
J
R
E
U J
R
U
E
Hipótesis 1 Hipótesis 2 Conclusión negada
J
R
U
E
Diagrama �nal
Diagrama Inconsistente FRazonamiento Correcto F
María Manzano (USAL) Venn Febrero 2010 11 / 22
Diagramas de VennRazonamientos con diagramas II
Hipótesis 1 L � FHipótesis 2 L\ � C 6= ∅Conclusión C\ � F 6= ∅
L
F
U
C
L
F
U
C
L
F
U
C
Hipótesis 1 Hipótesis 2 Conclusión negada
L
F
U
C
Diagrama �nal
Diagrama Consistente FRazonamiento Incorrecto F
María Manzano (USAL) Venn Febrero 2010 12 / 22
Diagramas de VennContraejemplo
Puesto que el diagrama �nal es consistente, construimos un modelo quecumpla las especi�caciones del mismo.
U = fa, b, cg F = fa, b, cg C = fa, bg L = fa, cg
Se observa que en este modelo se cumplen las hipótesis, pues:
fa, cg = L � F = fa, b, cgfa, cg \ fcg = fcg 6= ∅ L\ � C 6= ∅)
Pero la conclusión C\ � F 6= ∅ falla, pues:
fα, bg \∅ = ∅
María Manzano (USAL) Venn Febrero 2010 13 / 22
Diagramas de VennHallar conclusión
Los casos son tres:
1 El diagrama de las hipótesis sólo contiene áreas sombreadas. En estecaso cualquiera de las subáreas sombreadas está sombreada y puedeser una conclusión.
2 El diagrama de las hipótesis contiene sombreado y cruces:
1 Es inconsistente.2 Es consistente. En este caso cualquiera de las subáreas sombreadasestá sombreada y puede ser una conclusión. También lo es cualquierade los entrelazados tomado completo e incluso un nuevo entrelazadoque una los entrelazados existentes (si hay más de uno).
3 El diagrama de las hipótesis sólo contiene cruces entrelazadas. Seráconclusión cualquiera de los entrelazados tomado completo e inclusoun nuevo entrelazado que una los entrelazados existentes (si hay másde uno).
María Manzano (USAL) Venn Febrero 2010 14 / 22
Diagramas de VennLa Isla del Tesoro I
� HIPÓTESIS 1 Todos los piratas enrolados en La Española saben de laexistencia de un tesoro.
P � T� HIPÓTESIS 2 Nadie que sepa de la existencia de un tesoro obradesinteresadamente.
T �� D� CONCLUSIÓN Hay piratas que obran desinteresadamente, pero novan enrolados en La Española.
D\ � P 6= ∅
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Diagramas de VennLa Isla del Tesoro II
P
T
U
D
P
T
U
D
P
T
U
D
Hipótesis 1 Hipótesis 2 Conclusión negada
P
T
U
D
Diagrama �nal
DiagramaConsistente FInconsistente �
RazonamientoCorrecto �Incorrecto F
María Manzano (USAL) Venn Febrero 2010 16 / 22
Diagramas de VennLa Isla del Tesoro III
Puesto que el diagrama �nal es consistente, construimos un modelo quecumpla las especi�caciones del mismo.
U = f1, 2g P = D = ∅ T = f1g
Se observa que en este modelo se cumplen las hipótesis, pues:
∅ = P � T = f1g f1g = T �� D = f1, 2g
Pero la conclusión D\ � P 6= ∅ falla, pues:
∅\ � P = ∅
María Manzano (USAL) Venn Febrero 2010 17 / 22
Diagramas de VennHallar conclusión: Sólo sombreado
A
B
U
C
A
B
U
C
A
B
U
C
A
B
U
C
Figura: Sólo contiene áreas sombreadas
María Manzano (USAL) Venn Febrero 2010 18 / 22
Diagramas de VennHallar conclusión: cruces y sombreado
A
B
U
C
A
B
U
C
A
B
U
C
A
B
U
C
A
B
U
C
A
B
U
C
A
B
U
C
Figura: Áreas sombreadas y cruces entrelazadasMaría Manzano (USAL) Venn Febrero 2010 19 / 22
Diagramas de VennHallar conclusión: sólo cruces
A
B
U
C
A
B
U
C
A
B
U
C
A
B
U
C
Figura: Sólo contiene cruces entrelazadasMaría Manzano (USAL) Venn Febrero 2010 20 / 22
Diagramas de VennLewis Carroll: Hipótesis
HIPÓTESIS 1 Algunas ostras (O) son silenciosas (S).
O\ S 6= ∅
HIPÓTESIS 2 Las criaturas silenciosas no son divertidas (D).
S �� D
Mediante diagramas de Venn buscamos conclusión al argumento:
O
S
U
D
O
S
U
D
O
S
U
D
Hipótesis 1 Hipótesis 2 Superposición de hipótesis
María Manzano (USAL) Venn Febrero 2010 21 / 22
Diagramas de VennLewis Carroll: conclusión
De entre las diversas conclusiones posibles elegiremos la estándar; esto es,la que relaciona a los conjuntos O y D.
O
S
U
D
O\ � D 6= ∅
Expresada en español diría:
Algunas ostras no son divertidas.
María Manzano (USAL) Venn Febrero 2010 22 / 22
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