didownload dari ririez.blog.uns.ac · didownload dari ririez.blog.uns.ac.id presented by...
Post on 27-Apr-2019
227 Views
Preview:
TRANSCRIPT
Didownload dari ririez.blog.uns.ac.id
Presented By Ririez-EkaHely-Kartini
HALAMAN 36 – 37
5. Dengan definisi limit barisan buktikan limit berikut ini :
a. lim�→� � ���� = 0
PENYELESAIAN :
lim�→� � 12� + 3� = 0
∀� > 0 ������ ∃ !" #$ℎ��&&� ∀� ≥
|)� − +| = , 12� + 3 − 0, = 12� + 3
≤ 12� ≤ 12� ≤ 12 < �
jadi terbukti bahwa lim�→∞ � ���� = 0
b. lim�→� ��5���6 = 5
PENYELESAIAN :
+� → +, artinya
∀� > 0, ∃ ∈ " ∋ � ≥ berlaku
|+� − +| < �
Akan ditunjukkan ��5���6 → 2
Karena +� → +, maka untuk ∀� > 0, ∃ ∈ " ∋ � ≥ berlaku
;2� − 1� + 5 − 2; = ;2� − 1 − 2� − 10� + 5 ; = < 5��
��6< = ��
��6
Didownload dari ririez.blog.uns.ac.id
Presented By Ririez-EkaHely-Kartini
≤ ��� ≤ ��
�
≤ ��= < � ,
jadi terbukti bahwa lim�→∞ ��5���6 = 5
8. Misalkan (��) dan (+�) barisan bilangan real sehingga |+� − +| ≤ @|��| untuk semua � ∈ "
untuk suatu @ > 0 dan + ∈ A. Jika lim�→∞(+�) = +
PENYELESAIAN :
Diketahui |+� − +| ≤ @|��| � ≥ B
(��) → 0
∀� > 0 ∃C ∈ " sehingga � ≥ C berlaku
|+� − +| ≤ @|��| < D . FG = �
∃B ∈ " sehingga � ≥ B
|�� − 0| = |��| < FG , Untuk � ≥ B
|+� − +| ≤ @|��| + @|��| < D . FG + D . F
G = 2�
Sehingga terbukti bahwa lim�→ �(+�) = +.
9. Tunjukkan bahwa :
a. lim�→� �DHI = 1, D > 0
PENYELESAIAN :
Akan dibuktikan bahwa �� → 0
∀� > 0, ∃ !" sehingga ∀� ≥ , �J < �, berlaku |)� − +| < �
Didownload dari ririez.blog.uns.ac.id
Presented By Ririez-EkaHely-Kartini
,1� − 0, = 1� ≤ 1C < �
Terbukti bahwa �� → 0, ��C� lim�→∞ �DHI = lim�→∞(DK) = 1
b. lim�→� ��HI = 1
PENYELESAIAN :
Akan dibuktikan lim�→� ��� �L = 1.
Ambil sembarang � > 0 ∃ < � ∈ ℕ akibatnya ∀� ≥ berlaku,
<�� �L − 1< ≤ <�� �L < + 1 ≤ �� �L + 1 ≤ � + 1 ≤ + 1 < � + 1 = �
Terbukti bahwa lim�→� ��� �L = 1
HALAMAN 43 – 45
6. Misalkan (+�) barisan bilangan real tak nol dan N� = OI5OOI5OP , + ∈ A. Jika (N�) konvergen ke
0, tunjukkan bahwa (+�) konvergen. Hitung limitnya!
PENYELESAIAN :
Diketahui : (yn) konvergen ke 0 berarti ( ) 0lim =∞→ n
ny
Akan dibuktikan bahwa (xn) konvergen.
( )
)1()1(
)1()1(
n
nn
nnn
nnnn
nnnn
nnnn
nn
y
yxx
yxyx
xyxxyx
xxxyxy
xxxxyxx
xxy
−+=⇔
−=+⇔−=+⇔
−=+⇔
−=+⇔+−=
Diberikan sembarang ε > 0, terdapat K ∈ N dan untuk setiap n ≥ K berlaku
Didownload dari ririez.blog.uns.ac.id
Presented By Ririez-EkaHely-Kartini
( )( )
( )( ) xx
y
yx
y
yxx
nn
nn
n
n
nn
n=
−+=
−
+=
−+=
∞→
∞→
∞→∞→ 01
01
)lim1(
)lim1(
1
1limlim
Karena ( ) xxnn
=∞→
lim maka ε<− xxn atau (xn) konvergen.
Misalkan (+�) barisan bilangan real tak nol dan N� = OI5OOI5OP , + ∈ A
Diketahui (N�) → 0, akan ditunjukkan (+�) konvergen
N� = +� − ++� − +Q
N�+� + N�+Q = +� − +
N�+� − +� = −+−N�+Q
|+� − +| < � Sehingga terbukti bahwa (+�) konvergen
9. Jika (+�) konvergen ke 0 dan (N�) terbatas, tunjukkan bahwa (+�N�) konvergen ke 0.
PENYELESAIAN :
(N�) terbatas,
|N�| ≤ B, ∀�!ℕ
Diketahui +� → 0
∀� > 0, ∃ ∈ " ∋ � > berlaku
|+� − +| < �
Akan ditunjukkan +� → 0
Karena +� → +, maka untuk ∀� > 0, ∃ ∈ " ∋ � > berlaku
|+� − 0| = |+�| < � BL
Didownload dari ririez.blog.uns.ac.id
Presented By Ririez-EkaHely-Kartini
Untuk � ≥ maka R+�N� − 0R = |+�||N�| < � BL . B = �
Jadi,terbukti +�N� konvergen ke 0
10. Berikan contoh barisan (+�) yang tidak terbatas tetapi lim�→�(OI� ) = 0
PENYELESAIAN :
+� = √� − 1�
+� = √1 − 11 = 1 − 1 = 0
+ = √2 − 12 = 0.914 …
+� = √3 − 13 = 1.398 …
Sehingga +� tidak terbatas di atas.
lim�→�(OI� ) = 0 , lim�→�(√�5HI� ) = lim�→� �√�� − �
� = 0 − 0 = 0
11. Jika lim�→�(OI� ) = + ≠ 0, buktikan bahwa (+�) tidak terbatas!
PENYELESAIAN :
Diketahui : lim�→�(OI� ) = + ≠ 0
Akan dibuktikan (+�) tidak terbatas
Dengan kontradiksi :
Misalkan (+�) terbatas maka terdapat � > 0, sehingga |+�| ≤ � dan karena lim�→�(OI� )
ada maka (OI� ) terbatas.
<OI� < = <OI� − + + +< ≤ <OI� − +< + |+| = <OI5�O
� < + |+| ≤ |+� − �+| + |+| ≤ |+�|+|�+| + |+| = |+�| + �|+| + |+| = |+�|+(� + 1)|+| ≤ � + (� + 1)|+|
Didownload dari ririez.blog.uns.ac.id
Presented By Ririez-EkaHely-Kartini
Adanya (� + 1)|+| menyebabkan (OI� ) tidak terbatas. Hal ini kontradiksi dengan yang
diketahui bahwa (OI� ) terbatas.
Jadi (+�) seharusnya tidak terbatas.
15. Misalkan +� = √� + 1 − √� untuk � ∈ ". Tunjukkan bahwa (+�) dan (√�+�) konvergen
PENYELESAIAN :
+� = √� + 1 − √� untuk ∀� ∈ "
• +� = √� + 1 − √�
= √� + 1 − √� . √����√�√����√� = (���)5�
√����√� = �√����√�
lim�→� �√����√� = 0 , jadi +� → 0
• Y�+� = √�(√� + 1 − √�)
= Y� + � − �
= √� + � − � . √�����√����� = ���5�
√����� = �√����� = �
���ZHI(���) = �
[��Z��HI\
lim�→� Y�+� = lim�→� �[��Z��H
I\= �
[��Z�� H]\
= �^��√��K_ = �
, jadi Y�+� → �
21. Jika (+�) barisan bilangan real positif sehingga lim�→� �OI`HOI = a > 1. Tunjukkan bahwa
(+�) tidak terbatas dan sehingga tidak konvergen.
PENYELESAIAN :
Akan dibuktikan bahwa (+�) tidak terbatas,
Ambil b ∈ ℝ, sehingga 1 < b < a. Untuk � = a − b > 0. Karena lim�→� �OI`HOI =
a, ∃ ∈ ℕ ∋ ∀� ≥ berlaku
Didownload dari ririez.blog.uns.ac.id
Presented By Ririez-EkaHely-Kartini
<OI`HOI − a< < � oleh karena itu, ∀� ≥ berlaku
OI`HOI < � − a = a − b − a = −b atau,
+��� < +�. −b < +�5�. b > +�5. −b� Terbukti bahwa (+�) tidak terbatas, Karena (+�)
tidak terbatas maka (+�) tidak konvergen . Terbukti.
24. Misalkan (+�) barisan konvergen dari (N�) sehingga untuk sembarang � > 0 terdapat d
sehingga |+� − N�| < � untuk semua � ≥ d. Apakah ini menyimpulkan bahwa (N�)
konvergen?
PENYELESAIAN :
Diketahui (+�) barisan yang konvergen misalkan ke +. Diberikan sembarang � > 0 terdapat
bilangan asli C sehingga untuk � ≥ C berlaku |+� − +| < F. Dengan yang diketahui untuk
� > 0 diatas terdapat B sehingga untuk � ≥ B, |+� − +| < F. Akibatnya untuk � ≥ C� =
��C# (C, B) berlaku :
|N� − +| = |N� − +� + +� − +| ≤ |N� − +�| + |+� − +| < �2 + �
2 = �
Sehingga barisan (N�) konvergen ke +.
HALAMAN 51 - 53
2. Misalkan barisan (+�) didefinisikan secara rekursif sebagai :
+� = 0, +��� = +� + 14 , � ∈ "
a) Dengan induksi tunjukkan bahwa 0 ≤ +� ≤ � untuk semua � ∈ "
PENYELESAIAN :
1) � = 1, 2
+� = 0;
Didownload dari ririez.blog.uns.ac.id
Presented By Ririez-EkaHely-Kartini
+ = 0 + �f = �
f
0 ≤ +� = 0 < + = �f ≤ �
terbukti benar untuk � = 1, 2
2) Dianggap benar untuk � = C.
+=�� = += + �f
0 ≤ += ≤ �
3) Akan dibuktikan benar untuk � = C + 1
+=� = +=�� + 14
0 ≤ +=�� < +=� ≤ 12
0 ≤ 0 + 14 < +=�� < +=� ≤ �1
2� + 14
0 ≤ 14 < +=�� < +=� ≤ 1
2
0 ≤ +=� ≤ 12
Terbukti benar untuk � = C + 1
Jadi, dengan induksi terbukti bahwa 0 ≤ +� ≤ �
b) Tunjukkan bahwa (+�) naik
PENYELESAIAN :
Akan dibuktikan +��� − +� > 0 maka +� naik.
Bukti :
+��� − +� = +� + �f − +� = +� − +� + �
f
= �+� − � �+� − �
> 0
+� − � = 0
+� = �
Didownload dari ririez.blog.uns.ac.id
Presented By Ririez-EkaHely-Kartini
Diketahui 0 ≤ +� ≤ � maka terbukti +��� − +� > 0 sehingga (+�) naik.
c) Simpulkan bahwa (+�) konvergen dan tentukan limitnya.
PENYELESAIAN :
1) Dari a) terbukti bahwa 0 ≤ +� ≤ � , ∀� ∈ ", artinya (+�) terbatas.
2) Dari b) terbukti bahwa +��� − +� > 0 , ∀� ∈ ", artinya (+�) monoton naik.
Kesimpulan :
Karena (+�) terbatas dan monoton naik maka (+�) konvergen.
Misalkan :
lim�→�(+�) = + , maka lim�→�(+���) = +
lim�→�(+���) = lim�→� �+� + �f = +
+ + �f = +
+ − + + �f = 0
�+ − � �+ − �
= 0
+ = �
Jadi, lim�→�(+�) = � , �bg��N� (+�) → �
5. Misalkan � > 0 dan h� > 0. Didefinisikan h��� = Y� + h� untuk � ∈ ". Tunjukkan bahwa
(h�) konvergen dan tentukan limitnya!
PENYELESAIAN :
8. Misalkan (��) barisan naik dan (i�) barisan turun sehingga (��) ≤ (i�) untuk semua � ∈". Tunjukkan bahwa lim�→�(��) ≤ lim�→�(i�).
PENYELESAIAN :
Didownload dari ririez.blog.uns.ac.id
Presented By Ririez-EkaHely-Kartini
9. Misalkan j himpunan tak hingga di dalam A yang terbatas di atas dengan k = sup {+=|C ≥�}. Tunjukkan ada barisan naik (+�) dengan +� ∈ j untuk semua � ∈ " sehingga k =lim�→�(+�).
PENYELESAIAN :
(+�) naik , +� ∈ r, ∀� ∈ " , k = lim (+�)
k = sup r ↔ ∀� > 0, ∃#F ∈ " ∋ k − � < #F
• � = 1 , ∃+� ∈ " ∋ k − 1 < +�
• � = � , ∃+ ∈ " ∋ k − �
< +, +� < +
⋮ • � = �
� , ∃+� ∈ " ∋ k − �� < +�, +�5� < +�
Jadi, terbukti bahwa (+�) naik.
+� − k < �
k − � < +�
k − +� < �
0 < k − +� < 1�
↓ ↓ ↓
0 0 0
+� = 1� , � ∈ "
+�= = 12� , � ∈ "
(+�)Cv�w$b&$� → ∀(+�=)konvegen ke limit yang sama. 11. Misalkan +� = �
� + � + ⋯ + �
� untuk semua � ∈ ". Buktikan bahwa (+�) barisan naik dan
terbatas oleh karena itu (+�) konvergen.
Didownload dari ririez.blog.uns.ac.id
Presented By Ririez-EkaHely-Kartini
PENYELESAIAN :
Akan dibuktikan (+�) barisan naik,
+��� − +� = �� + �
+ ⋯ + �� + �
��� − � �� + �
+ ⋯ + ��
= ���� > 0
Karena +��� − +� > 0 maka +��� > +� Sehingga terbukti (+�) barisan naik,
Akan dibuktikan (+�) terbatas,
< �� + �
+ ⋯ + ��< ≤ �
, Artinya ∃B = � > 0 ∋ |+�| ≤ B. Sehingga terbukti (+�) terbatas.
Berdasarkan Teori Kekonvergenan Monoton, Barisan bilangan real monoton konvergen, jika
dan hanya jika terbatas Karena (+�) terbatas maka menurut Teori Kekonvergenan Monoton
(+�) konvergen. Terbukti.
15. Tunjukkan bahwa jika (+�) konvergen, maka +��� − +� → 0. Tunjukkan dengan contoh
bahwa sebaliknya tidak benar! {YANG SEBALIKNYA BLOMAN!!}
PENYELESAIAN :
Tunjukkan (+�) konvergen ⇒ +��� − +� → 0
Diketahui (+�) konvergen, missal (+�) → +
∀� > 0∃ = (�) ∈ " ∋ � ≥ i$b~�Ck |+� − +| < �2
Dari theorema diketahui bahwa jika (+�) → + maka
+��� → +
∀� > 0∃ = (�) ∈ " ∋ � ≥ i$b~�Ck |+��� − +| < �2
|(+��� − +�) − 0| = |+��� − + − +� + + − 0| = |(+��� − +) − (+� − +) + 0| ≤ |+��� − +| + |+� − +| + 0
Didownload dari ririez.blog.uns.ac.id
Presented By Ririez-EkaHely-Kartini
< F + F
= �
Jadi terbukti jika (+�) konvergen, maka +��� − +� → 0
17. Misalkan (+�) barisan terbatas dan untuk setiap � ∈ ", #� didefinisikan seperti pada nomor 5
dan # = inf{#�|� ∈ "}. Tunjukkan bahwa ada subbarisan dari (+�) yang konvergen ke #.
PENYELESAIAN :
18. Jika +� > 0 untuk semua � ∈ " dan lim�→�((−1)�+�) ada, tunjukkan bahwa (+�)
konvergen,
PENYELESAIAN :
Diketahui +� > 0 untuk semua �!ℕ dan lim�→∞((−1)�+�) ada,
Akan ditunjukkan (+�) konvergen
Jika lim�→∞((−1)�+�) dianggap ada berarti ambil sembarang � > 0, ∃ ∈ " ∋ � ≥ berlaku
|(−1)�+� − +| < �
|(−1)�+� − +| ≤ |(−1)�+�| + |+�| = |+�| + |+| < �
Untuk � ≥ C maka,
|+�| = |+� − + + +| ≤ |+� − +| + |+| Karena dari yang diketahui +� ≥ 0 diperoleh
+� ≤ |+� − +| + |+| +� ≤ |+� − +| + +
+� − + ≤ |+� − +| ≤ |+�| + |+| Sehingga |+� − +| ≤ |+�| + |+| < �
Jadi, benar bahwa (+�) konvergen
21. Jika (+�) barisan terbatas dan # = sup {+=|� ∈ "} sehingga #∉{+=|� ∈ "}. Tunjukkan
bahwa terdapat subbarisan yang konvergen ke #.
PENYELESAIAN :
Misal (+�) terbatas
Didownload dari ririez.blog.uns.ac.id
Presented By Ririez-EkaHely-Kartini
# = sup{+=; � ∈ " }
# ∈ {+=; � ∈ " }. Akan ditunjukkan bahwa terdapat subbarisan yang konvergen ke s.
Diambil sembarang � > 0, terdapat #� ∈ {#�; � ∈ " } #$ℎ��&&� #� < # + �
Dimana #� = sup{+�; � ∈ " }
Untuk � ≥ d ��C� # ≤ #� ≤ #�
# − � < # ≤ #� ≤ #� < # + �
# − � < #� − � ≤ #� ≤ #� < # + �
Sehingga jika diambil sembarang � > 0 , ∃�= ∈ ", � ≥ d #$ℎ��&&� #� − � ≤ +��
#� − � ≤ +��
# − � < #� − � ≤ +�� < # + �
# − � < +�� < # + �
−� < +�� < # + �
R+�� − #R < �
Jadi terdapat subbaris ^+��_��� (+�) yang konvergen ke s
HALAMAN 59 – 60
3. Tunjukkan secara langsung dari definisi bahwa barisan berikut bukan barisan Cauchy
+� = � + (−1)��
PENYELESAIAN :
Misalkan +� = � + (5�)I� , +� = � + (5�)�
� sehingga untuk � > �
Didownload dari ririez.blog.uns.ac.id
Presented By Ririez-EkaHely-Kartini
|+� − +�| = |� + (5�)�� − (� + (5�)I
� )| = <� + (5�)�
� − � − (5�)I� <
= � − � + (5�)�� − (5�)I
�
= (�5�)����(5�)�5�(5�)I��
• Untuk � ganjil dan � genap
|+� − +�| = (� − �)�� + �(−1)� − �(−1)���
= (� − �)�� + � + ���
> (� − �)(�� + 1)�� > �� + 1�� = 1 + 1�� >
4. Tunjukkan secara langsung bahwa jika (+�) dan (N�) barisan Cauchy, maka (+� + N�) dan
(+�N�) juga barisan Cauchy.
PENYELESAIAN :
• �� barisan Cauchy
∀� > 0∃d = d(�) ∈ " ∋ ∀�, � > d berlaku |+� − +�| < F
• �� barisan Cauchy
∀� > 0∃d = d(�) ∈ " ∋ ∀�, � > d berlaku |N� − N�| < F
1. Akan dibuktikan bahwa (+� + N�) barisan Cauchy
∀� > 0∃d = d(�) ∈ " ∋ ∀�, � > d berlaku
|(+� + N�) − (+� + N�)| = |+� + N� − +� − N�| = |(+� − +�) + (N� − N�)| ≤ |(+� − +�)| + |(N� − N�)| < F
+ F = �
Jadi terbukti bahwa (+� + N�) merupakan barisan Cauchy
2. Akan dibuktikan bahwa (+�N�) barisan Cauchy
∀� > 0∃d = d(�) ∈ " ∋ ∀�, � > d berlaku
Didownload dari ririez.blog.uns.ac.id
Presented By Ririez-EkaHely-Kartini
|(+�. N�) − (+�. N�)| < �
|(+�. N�) − (+�. N�)| = |+�. N� − +�N� + +�N� − +� . N�| = |(+� . N� − +�N�) + (+�N� − +�N�)| = |+�(N� − N�) + N�(+� − +�)| ≤ |+�(N� − N�)| + |N�(+� − +�)| = |+�||(N� − N�)| + |N�||(+� − +�)|
Diberikan sembarang � > 0∃d = d(�) ∈ " ∋ ∀�, � > d
|+� − +�| < �2|N�| , |N� − N�| < �2|+�|
Akibatnya
|(+�. N�) − (+�. N�)| = |+�(N� − N�) + N�(+� − +�)| ≤ |+�(N� − N�)| + |N�(+� − +�)| = |+�||(N� − N�)| + |N�||+� − +�| < |+�| F
|O�| + |N�| F|�I| = F
+ F = �
Jadi terbukti bahwa (+�. N�) merupakan barisan Cauchy
6. Tunjukkan secara langsung bahwa barisan monoton adalah barisan Cauchy!
PENYELESAIAN :
Menurut TKM, barisan monoton jika hanya jika terbatas.
(+�) terbatas jika ∃B > 0 Sehingga berlaku |+�| ≤ B
(+�) Cauchy, ∀� > 0, ∃d ∈ " ∀�, � ≥ d berlaku |+� − +�| < �
misal ambil � = 1, ∃d ∈ " ∀�, � ≥ d berlaku
Didownload dari ririez.blog.uns.ac.id
Presented By Ririez-EkaHely-Kartini
|+� − +�| < 1
|+�| < |+�| + 1 ;
Pilih B = ��C# {|+�|, |+|, |+�|, |+f|, … , |+�| + 1}
Maka terbukti bahwa barisan monoton adalah Cauchy.
11. Misalkan (+�) sembarang barisan bilangan real dari :
#� = � +=, g� = � |+=|�
=��
�
=��
Tunjukkan jika g� barisan Cauchy, maka (#�) juga barisan Cauchy. Apakah berlaku
sebaliknya?
PENYELESAIAN:
Misal g� = ∑ |+C|�C=1 , g� = ∑ RNCR�C=1 , #� = ∑ +C�C=1 , #� = ∑ NC�C=1 " ⟹ ": (g�) Barisan Cauchy, artinya ∀ F > 0, ∃d� ∈ " ∋ k�gkC �, � ≥ d� berlaku
|g� − g�| = ��|+C|�C=1
− �RNCR�
C=1� ≤ ��RNCR
�C=1
� + ��|+C|�C=1
� < �2 + �2 = �
Maka ∀ F > 0, ∃d ∈ " ∋ k�gkC �, � ≥ d berlaku
|#� − #�| = �� +C�
C=1− � NC
�C=1
� ≤ �� +C�
C=1� + �� NC
�C=1
� = |+� + + + ⋯ + +�| + |N� + N + ⋯ + N�| ≤ |+�| + |+| + ⋯ + |+�| + |N�| + |N| + ⋯ + |N�|
= �|+=|�
=��+ �|N=|�
=��
≤ �2 + �2 = �
Jadi, (#�) juga barisan Chaucy " ⟸ ": (#�) barisan Cauchy, artinya
∀ F > 0, ∃d ∈ " ∋ k�gkC �, � ≥ d berlaku
Didownload dari ririez.blog.uns.ac.id
Presented By Ririez-EkaHely-Kartini
|#� − #�| = �� +C�
C=1− � NC
�C=1
� ≤ �� +C�
C=1� + �� NC
�C=1
� < �2 + �2 = �
Akan ditunjukkan (g�) juga barisan Cauchy
∀ F > 0, ∃d� ∈ " ∋ k�gkC �, � ≥ d� berlaku
|g� − g�| = ��|+C|�C=1
− �RNCR�
C=1� ≤ ��|+C|�
C=1� + ��RNCR
�C=1
� = R|+�| + |+| + ⋯ + |+�|R + R|N�| + |N| + ⋯ + |N�|R ≤ |+�| + |+| + ⋯ + |+�| + |N�| + |N| + ⋯ + |N�| = ∑ |+=|�=�� + ∑ |N=|�=�� < F
+ F = �
(g�) barisan Cauchy. Jadi, berlaku pernyataan jika (#�) barisan Cauchy maka (g�) juga barisan Cauchy.
14. Polinomial +� − 9+ + 2 mempunyai akar b dengan 0 < b < 1. Gunakan pendekatan barisan
susut untuk menhitung b dengan error kurang 105f.
PENYELESAIAN :
��(+) = +� − 9+ + 2
��(0) = 2, ��(1) = −6
untuk + = 0 ; tinggi = 2
untuk + = 1 ; tinggi = −6
hal ini dikarenakan akar dari persamaan +� − 9+ + 2 = 0 terletak diantara 0 < b < 1. Didefinisikan barisan (+�) dengan 0 < +� < 1 dan
+� − 9+ + 2 = 0 → +� + 2 = 9+
+ = 19 (+� + 2)
Sehingga +��� = �� (+� + 2), � ∈ ℕ
Karena 0 < +� < 1 maka 0 < +� < 1, ∀ � ∈ ℕ.
Didownload dari ririez.blog.uns.ac.id
Presented By Ririez-EkaHely-Kartini
|+�� − +���| ≤ <�� (+���� + 2) − �
� (+�� + 2)< ≤ <�
� (+���� − +��)< = �
� |+��� + +���+� + +�||+��� − +�| ≤ �
� |+��� − +�| Karena 0 < D < 1 , berarti (+�) barisan susut, terdapat b sehingga
b = lim�→�(+�). Jika diambil limit kedua ruas barisan +��� = �� (+� + 2) diperoleh
b = �� (b� + 2). Sehingga b� − 9b + 2 = 0 dihampiri b dengan memilih +� = 0.5
diperoleh,
+ = �� (+�� + 2) = 0.236111
+� = �� (+� + 2) = 0.223685
+f = �� (+�� + 2) = 0.223466
+6 = �� (+f + 2) = 0.223462
Menurut akibat 2.4.8
a) |b − +�| ≤ �H� I�H�5H�
|+ − +�| = �.�I 0.263889
Jika � = 5 maka
|b − +6| ≤ �.�� 0.263889 = 0.004887
b) |b − +�| ≤ � |+� − +�5�|
Jika � = 5 maka
|b − +6| ≤ � |+6 − +f| = �
. 4. 105f = 2. 105¡ < 105f
Jadi +6 merupakan hampiran dari b.
Didownload dari ririez.blog.uns.ac.id
Presented By Ririez-EkaHely-Kartini
HALAMAN 63
7. Misalkan (+�) dan (N�) dua barisan bilangan positif sehingga lim�→�(OI�I) = 0
a. Tunjukkan bahwa jika lim�→�(+�) = +∞ , maka lim�→�(N�) = +∞.
PENYELESAIAN :
i. 0lim =∞→
n
n
n y
x, berarti ,0 1 NK ∈∃>∀ε sehingga untuk setiap n ≥ K1 berlaku
ε<=−n
n
n
n
y
x
y
x0
ii. ( ) +∞=∞→ n
nxlim , berarti untuk sembarang NKR ∈∃∈ )( , αα sehingga
untuk n ≥ K(α) berlaku xn > εα .
Akan dibuktikan bahwa ( ) +∞=∞→ n
nylim
0>∀ε , untuk sembarang ,R∈α pilih K = maks(K1, K(α)) sehingga untuk n ≥ K berlaku :
ε<n
n
y
x (dari i)
nn y
x <⇔ε
αε
εαε
=>>⇔ nn
xy (dari ii)
Jadi, terbukti ( ) +∞=∞→ n
nylim
b. Tunjukkan bahwa jika (N�) terbatas, makalim�→�(+�) = 0
PENYELESAIAN :
Didownload dari ririez.blog.uns.ac.id
Presented By Ririez-EkaHely-Kartini
i. 0lim =∞→
n
n
n y
x, berarti ,0 1 NK ∈∃>∀ε sehingga untuk setiap n ≥ K1 berlaku
My
x
y
x
n
n
n
n ε<=− 0
ii. (yn) terbatas, berarti terdapat RM ∈ dengan M > 0 sehingga untuk semua
n ≥ K berlaku Myn ≤ atau MyM n ≤≤−
Akan dibuktikan bahwa ( ) 0lim =∞→ n
nx
0>∀ε , pilih K = maks(K1, M) sehingga untuk n ≥ K berlaku :
My
x
n
n ε< (dari i)
εεε =≤<⇔M
M
M
yx n
n (dari ii)
ε<−⇔ 0nx
Jadi, terbukti ( ) 0lim =∞→ n
nx
∀� > 0 , +� < �. N� , � ≥
|N�| ≤ B, ∀� ∈ "
Ambil � > 0 , ∃ ∈ " ∋ � ≥
; − 0; < → | − 0| = | | ≤ | | ≤ B = �, → 0
8. Misalkan (+�) dan (N�) dua barisan bilangan positif sehingga lim�→�(OI�I) = +∞
a. Tunjukkan bahwa jika lim�→�(N�) = +∞ , maka lim�→�(+�) = +∞.
PENYELESAIAN :
Akan ditunjukkan bahwa lim�→∞(N�) = +∞ maka lim�→∞(+�) = +∞
Misal lim�→∞(N�) = +∞
Ambil sembarang ¢!ℝ , ∃ ∈ " ∋ � ≥ maka berlaku N� > ¢
Karena lim�→∞ �OI�I = +∞ maka untuk � ≥ berlaku OI�I > ¢ sehingga +� > ¢N�
Didownload dari ririez.blog.uns.ac.id
Presented By Ririez-EkaHely-Kartini
Karena ¢ > 0 maka lim�→∞(+�) = +∞
Terbukti lim�→∞(N�) = +∞ maka lim�→∞(+�) = +∞
b. Tunjukkan bahwa jika (+�) terbatas, makalim�→�(N�) = 0
PENYELESAIAN :
Akan ditunjukkan bahwa jika (+�) terbatas maka lim�→∞(N�) = 0
Jika terdapat |+�| ≤ B untuk �!"
Ambil sembarang � > 0
+� < B
+�N� > ¢
+� > ¢N�
N� < +�¢ < B¢
B¢ < �
Diambil ¢ = £F
Terdapat ∈ " ∋ � ≥ berlaku OI�I > ¢
Sehingga untuk � ≥
|+� − 0| = +� < +�¢ < B¢ = �
+� < � maka lim�→∞(N�) = 0
9. Tunjukkan bahwa jika lim�→�(OI� ) = a , a > 0 , maka lim�→�(+�) = +∞.
PENYELESAIAN :
Misalkan (+� �⁄ ) adalah sebuah barisan (+� N�⁄ ) dengan N� = �.
Karena (N�) divergen, sehingga lim�→�(N�) = +∞.
Didownload dari ririez.blog.uns.ac.id
Presented By Ririez-EkaHely-Kartini
Berdasarkan Teorema Perbandingan Limit, dua barisan bilangan real dengan
lim�→�(+� N�⁄ ) = a, a > 0 maka ~���→�(+�) = +∞ jika dan hanya jika ~���→�(N�) =+∞. Karena lim�→�(N�) = +∞ Terbukti bahwa lim�→�(+�) = +∞.
top related