diferansiyel denklemler ders notlar

HAZIRLAYAN:

MUHSİN POYRAZ06TM1038

1) Tek Değişkenli Fonksiyonlarda Maksimum ve Minimum Değerler2) İki Değişkenli Fonksiyonlarda Maksimum ve Minimum Değerler3) Üç Değişkenli Fonksiyonlarda Maksimum ve Minimum Değerler4) Vektörel Analiz5) Çift Katlı İntegraller6) Diferansiyel Denklemler6.1.) Diferansiyel denklemlerin Derece ve Mertebesi6.2.) Diferansiyel Denklem Çözümü6.3.) Tekil Çözüm6.4.) Özel Çözüm6.5.) Başlangıç Değer Problemi6.6.) Sınır Değer Problemi6.7.) Adi Diferansiyel Denklemleri6.8.) Tam Diferansiyel6.9.) İntegrasyon Çarpanı ile Tam Diferansiyele Dönüştürme 7.) Konu Tekrar Soruları ve Çözümleri8.) Quiz Soruları ve Çözümleri9.) Ara Sınav Soruları ve Çözümleri

1.TEK DEĞİŞKENLİ FONKSİYONLARDA MAKSİMUM ve MİNİMUM DEĞERLER F(x)` in ekstramumları(max, min, dönüm noktaları) X0 F(x)>0 MİNİMUM X0 F(x)<0 MAKSİMUM Örnek. Üç tarafı telle çevrili dikdörtgen biçimindeki bahçenin çevresi 240 cm olduğuna göre alanı maksimum ne olur? Çözüm:

A=x.y 2y+x=240 y y A=(240-2y)y x A'=240-4y=0 x=240-2y y=60 , x=120 A=60.120=7200cm2

2.İKİ DEĞİŞKENLİ FONKSİYONLARDA MAKSİMUM ve MİNİMUM DEĞERLER F(x,y)=x3+y2-2xy+x-y gibi iki değişkenli fonksiyonlarda ekstramumlar kısmi türevlerden yaralanılır. Yani, Fx=0 eşitlenerek bulunabilecek noktalar P(x0,y0) için " " tanımlanır. Fy=0

=Fxx.Fyy-Fxy2

2.1) >0 ise P için p’ye bakılır. Maksimum ve minimum değerleri vardır. Fxx(p)>0 , Fyy(p)>0 olması durumunda MİNİMUM 2.2) >0 ise P için p’ ye bakılır. Yani, Fxx(p)<0 , Fyy(p)<0 olması durumunda MAKSİMUM 2.3) <0 ise fonksiyonun maksimum ve minimum değerleri yoktur. Eyer(semer) noktası vardır.

Örnek: F(x,y)=x3+y3-3x-12y+20 fonksiyonun ekstramum noktalarını bulunuz? Çözüm: 1) Fx=3x2-3=0 x1=1 , x2=-1 A(1,2) B(-1,2 ) C(1,-2) D(-1,-2)

Fy=3y2-12=0 y1=2 , y2=-2

2) Fxx=6x =Fxx.Fyy-Fxy2

Fyy=6y = 6x.6y Fxy=0 =36xy

3) A noktası için; Fmin=F(A)=F(1,2) değerini denklemde yerine A=36xy=36.1.2=72>0 yazarsak; Fxx(A)=6>0 , Fyy(A)=12>0 F(1,2)=13+23-3.(1)-12(2)+20 A’da bir minimum değeri vardır. =2 B noktası için; B=36xy=36.(-1).2=-72<0 olduğundan semer noktası vardır.

C noktası için; C=36xy=36.1.(-2)=-72<0 olduğundan semer noktası vardır. D noktası için; D=36xy=36.(-1)(-2)=72>0 Fmax=F(D)=F(-1,-2) değerini denklemde yerine Fxx(D)=-6<0 , Fyy=-12<0 yazarsak; D’de bir maksimum noktası vardır. F(-1,-2)=(-1)3+(-2)3-3(-1)-12(-2)+20=38

3.ÜÇ DEĞİŞKENLİ FONKSİYONLARDA MAKSİMUM ve MİNİMUM DEĞERLER F(x,y,z) üç boyutlu bir düzlemde bir fonksiyon olsun.A(a,b,c) civarında ikinci mertebeden sürekli kısmi türevi var olan fonksiyondur.

1)fx=(a,b,c)= 0 2)fxx>0 fy=(a,b,c)=0

fz=(a,b,c)=0 fxx fxy

fyx fyy>0

fxx fxy fxz

fyx fyy fyz

fzx fzy fzz

<0

Fonksiyon A noktasında bir MAKSİMUM vardır. 3)fxx>0

fxx fxy

fyx fyy>0

fxx fxy fxz

fyx fyy fyz

fzx fzy fzz

>0

Fonksiyonun A noktasında bir MİNİMUM vardır.

Örnek: f(x,y,z)=x2+y2+z2-xy+x-2z fonksiyonun maksimum ve minimum değerlerini bulunuz? Çözüm:

1)fx=2x-y+1=0 x=-2

3 A( -

2

3, -

1

3,1)

fy=2y-x=0 y=-1

3

fz=2z-2=0 z=1 2)fxx=2 fzz=2 fxx>0 olduğunda

fxy=-1 fxz=0 fxx fxy

fyx fyy=

2 1

1 2

=3

fyy=2 fyz=0 3)

fxx fxy fxz

fyx fyy fyz

fzx fzy fzz

=

2 1 0

1 2 0

0 0 2

=(1)6.2.

2 1

1 2

=6>0 (MİNİMUM)

fmin=f( -2

3, -

1

3,1)=

4

3

(denklemde değerleri yerine yazıyoruz)

VEKTÖREL ANALİZ Üç boyutlu bir uzayda dik bir eksen sisteminde koordinatları x,y,z olan bir "P" noktası düşünelim. Eğer x,y,z noktası m≤ t ≥n aralığında parametrenin t’nin bir fonksiyonu ise ‘P’ nin geometrik yerine bir eğri denir. Denklemlerin bir ‘c’ eğrisini tamamlar ve denklemine c eğrisinin parametrik denklemi denir. 1) x=x(t) y=y(t) z=z(t) ‘c’ eğrisine ait herhangi (x,y,z) noktasının yer vektörü op r

alınırsa

2) ( ) ( ) ( ) ( )r r t x t i y t j z t k

bu ifadeye vektörel denklem denir.

Eğer (2) denklemi ile verilen ‘c’ eğrisinin Po’daki teğet vektörü alınacak olunursa

3) ' ' '( ) ( ) ( ) ( )dr

to x to i y to j z to kdt

( Teğet Vektör)

Eğer ‘c’ nin Po’daki teğetinin kartezyen denklemi isteniyorsa

4) ' '( ) ( ) ( )

x xo y yo z zo

x to y to z to

5) ( )x xo x to (teğetin parametrik denklemini ifade eder) ( )y yo y to ( )y yo y to

6) ( )( ) ( )( ) ( )( ) 0x to x xo y to y yo z to z zo (Normal Düzlem Denklemi)

Örnek: 2

32

2( ) ln(1 ) 2

1

tr t t i j t k

t

vektörel fonksiyonun t=1 de teğetin

kartezyen denklemi ve normal düzlem denklemini bulunuz? Çözüm:

1)Po(ln2, 3

2,-2)

2) 2 2

22

1 2 ( 1) 2 ( 2)( ) 6

1 ( 1)

t t t tr t i j t k

t t

3) 1 1

( ) 62 2

r t i j k

4) ' '( ) ( ) ( )

x xo y yo z zo

x to y to z to

3ln 2 221 1 62 2

yx z

(Teğetin Kartezyen Denklemi)

5) 1 1 3

( ln 2) ( ) 6( 2) 02 2 2

x y z (Normal Düzlem Denklemi)

ÇİFT KATLI İNTEGRAL Bir D bölgesi üzerinde sınırları belli olan veya olmayan

D ancak mutlaka sınırları

belirlenen iç içe integrallerdir.

D

dxdy yazılışında dx ve dy’ler integral operatörleridir. Bunların yerleri belli koşullarda

değişebilir. Bu koşullar sınırlara bağlıdır. NOT: Çift katlı integral genelde alan hesaplarında kullanılır.

Örnek: 1 1

2 2

0 1

( )xy x y dxdy

integralini hesaplayınız?

Çözüm: 1 2 3

2 2 2 11

1

( )2 3

x y xxy x y dx xy

= 222

3y

1 32 1

0

0

2 2 2( 2 )3 3 3

y yy dy

=2

3+

2

3=

4

3br2

DİFERANSİYEL DENKLEMLER 1.1.Açık Fonksiyonların Türevi

dyy

dx

2

2

d yy

dx

nn

n

d yy

dx (Adi Türev)

1.2.Kapalı Fonksiyonların Türevi F(x,y,z)=0 z=f(x,y)

z

x

, z

y

, 2

2

z

y

, 2

2

z

x

, 2z

x y

(Kısmi Türev)

Bağımlı değişkeni bir veya daha fazla bağımsız değişkene göre türevinde içeren ifadelere diferansiyel denklemler denir. Türevler bir tek bağımsız değişkene göre ise(bunlar adi türev) adi diferansiyel denklemler denir. İki veya daha fazla değişkene göre ise(ki bunlar kısmi türev) kısmi diferansiyel denir.

1.3.Diferansiyel Denklemlerin Derece ve Mertebesi Bir diferansiyel denklemin mertebesi içindeki türevlerin en yüksek mertebesine eşittir. Derecesi bütün türevlerin üssü kökten kurtarıldığı takdirde en yüksek mertebeden türevin üssüne eşittir. Diğer yandan diferansiyel denklemin mertebesi verilen diferansiyel denklemin en yüksek basamaktan türevin sayısına uzun kuvvetine derecedir.

Örnek: 2

2

32 0

d y dyy

dx dx M:2 D:1

2 2

2 22 2

d z d zx y

dx dy M:2 D:1

4 2

64

( )d z d z

xdx dxdy

M:4 D:1

1.4.Diferansiyel Denklemin Çözümü Bir diferansiyel denklem çözümü diferansiyel denklemin mertebesi kadar türevi alınabilen açık veya kapalı bir fonksiyon bulunmasıdır ki bu fonksiyon ve türevleri diferansiyel denkleminde yerine yazıldığında eşitlik sağlansın. Bir diferansiyel denklemin sonsuz sayıda çözümü olabilir.Bu çözümler integrasyon sabitleri içeren bir tek formül ile temsil edilir.Buna diferansiyel denklemlerin genel çözümleri denir.Bir genel çözümde integrasyon sabitlerinin sayısı diferansiyel denklemin mertebesine eşittir

1.5.Tekil Çözüm Bazı durumlarda diferansiyel denklemin bazı çözümleri olur ki bunlar genelde çözümde integrasyon sabitlerine özel değerler verilerek elde edilmezler. Böyle bir çözüme diferansiyel denklemin tekil çözümü denir. Lineer denklemlerin tekil çözümü yoktur.

1.6.Özel Çözüm Bi diferansiyel denklemin çözümünden elde edilen genel çözümdeki integrasyon sabitlerine özel değerler verilerek diferansiyel denklemin özel çözümleri elde edilir. Örnek: cosy x c=2 ve c=3 için özel çözümleri bulunuz?

cosy x c=2 için yözel=sinx+2

siny x c c=3 için yö=sinx+3

NOT: Bir diferansiyel denklemin genel çözümündeki integrasyon sabitleri iki yolla bulunabilir. 1)Başlangıç değer problemi yöntemi 2)Sınır değer problemi yöntemi

1.7.Başlangıç Değer Problemi 1( , , ........ )n ny f x y y y diferansiyel denklemin x=xo için y(xo)=yo ( )o oy x y ve

1 1( )n no oy x y başlangıç şartını sağlayan bir tek çözümü vardır. Bu tip probleme denir.

Örnek: siny x y(0)=4 y’(0)=2 ise çözümü nedir?

Çözüm:

1cosy x c (1.integral) 2=-cos0+c1

c1=3

1 2siny x c x c (2.integral) 4=-sin0+c2

c2=4 sin 3 4y x x

1.8.Sınır Değer Problemi İntegrasyon sabitlerinin bulunmasında kullanılan diğer bir yol a x b aralığının başında ve sonunda verilen belirli sınır şartlarının kullanılmasıdır. Bu tip problemlere denir.

Adi Diferansiyel Denklemleri a) Birinci derece ve birinci mertebe adi dif denklemi b)Değişkenlere ayrılabilen birinci derece ve birinci mertebe dif denklemi

NOT: x ve y değişkenleri birbirinden gruplar halinde ayrılmış olarak yazılabilen dif denklemleridir.Bu denklemlerin genel çözümleri değişkenlerine ayrıldıktan sonra integrasyon alınarak çözülür. M(x,y)dx+N(x,y)dy=0

Örnek: 1dy x

dx y

dif denklemini çözünüz?

Çözüm:

( 1) 0ydy x dx (integralini al)

( 1) 0x dx ydy

2 2

1 2 32 2

x yx c c c 2 2

42x y x c

Örnek: 21y y dif denklemini çözünüz?

Çözüm:

21dy

ydx

21

dydx

y

1 2arctan y c x c

arctan y x c tan( )x c y

Örnek: 3 2( 1) 0x dx y dy dif denklemini çözünüz?

Çözüm:

3 2( 1) 0x dx y dy

4 3

1 2 3

( 1)

4 3

x yc c c

4 33 4( 1)x y C

Değişkenlere Ayrılabilene Dönüştürülebilen 1. mertebe ve 1. derece diferansiyel denklemler Bir f(x,y) fonksiyonunda ( , ) ( , )n

x yf t t t f x y geliyorsa yazılabiliyorsa f(x,y)’ye n. dereceden

homojendir denir.

Örnek: f(x,y)= 3 2 2 32 3x x y xy y (3.dereceden homojen)

2 2( , ) 8f x y x y xy (1.dereceden homojen)

2 2

2

2( , )

8 4

x yf x y

xy y

(0.dereceden homojen)

( , ) tany

x yf x y e

x (0.dereceden homojen)

( , ) ( , ) 0M x y dx N x y dy dif denkleminde ( , )M x y ve ( , )N x y fonksiyonları aynı

dereceden homojen iseler denkleme homojen dif denklemi denir. Bu denklemlerin bu denklemlerin çözümünde y ux

dy udx xdu şeklinde dönüşümü yapılarak çözümlenir. Gerekli integrasyon işlemlerinden

sonra u yerine yu

x yazılarak genel çözüm elde edilir.

Örnek: 2 2 2( ) 0x xy y dx x dy dif denklemini çözünüz?

Çözüm: y ux dy udx xdu

2 2 2 2 2( ) ( ) 0x ux u x dx x udx xdu

2 2 2(1 ) ( ) 0x u u dx x udx xdu

2(1 ) 0u u dx udx xdu

20

1

du dx

u x

21

du dx

u x

1 2arctan lnu c x c

arctan lnu x c tan( ln )u c x tan( ln )y x c x

Örnek: 2 2 0xdy ydx x y dx dif denklemini çözünüz?

Çözüm: y ux dy udx xdu

2 2 0xdy ydx x y dx

2 2( ) 0xdy y x y dx

2 2( ) ( ) 0x xdu udx ux x y dx

2 2 2 2 0x du uxdx uxdx x u x dx

21

du dx

xu

20

1

du dx

xu

arcsin ln 0u x c

arcsin lny

x cx

Tam Diferansiyel Denklemler

( , ) ( , ) 0M x y dx N x y dy verilen iki denklem birbirine benzetilerek M ve N fonksiyonları tariflenir. Bulunan M ve N değerleri kısmi türevleri alınarak tam dif şartını sağlayıp sağlamadığı kontrol edilir. Tam dif şartı ise; M N

y x

ve ya My Nx (tam diferansiyel olma koşulu)

Kısmi türevin bilinen adı adi türevdir. Ancak y’ye göre kısmi türev alınırken x sabit veya x’e göre türev alınırken y sabit kabul edilir. Aynı kısmi integrasyonda da ( x) üzerinden dx integrasyonunda y sabit dy integrasyonunda x sabittir. M ve N ‘den biriyle C(x,y) çözüm fonksiyonu diğeri ile ise Co(x) veya Co(y) fonksiyonel integral sabiti bulunur. Böylece çözüm elde edilmiş olur.

Örnek: 3 2( 2 ) (3 1) 0y x dx xy dy dif denklemini çözünüz?

Çözüm:

1) 23M

ydy

23

Ny

dx

(My Nx old. tam diftir)

2) 3 2c

y xx

3( 2 )c y x dx 3 2 ( )oc y x x c y 3 2c y x x y

2 23 ( , ) 3 1occxy N x y xy

y y

1oc

y

oc y ( )oc y y

Örnek: (2 ) 0y yx e dx xe dy dif denklemini çözünüz?

Çözüm:

1) yMe

y

yN

ex

(My Nx old. tam diftir)

2) 2 ycx e

x

(2 )yc x e dx 2 ( )yoc x xe c y

3) ( )

( , )y yoc ycxe N x y xe

y y

( )

0oc y

y

( ) 0oc y 2 yc x xe

Örnek: 2 2(2 cos sin ) (2 cos sin ) 0x y y x dx y x x y dy dif denklemini çözünüz?

Çözüm:

1) 2 sin 2 sinM

x y y xy

2 sin 2 sin

Nx y y x

x

(old. tam diftir.)

2) 22 cos sinc

x y y xx

2(2 cos sin )c x y y x dx 2 2cos cos ( )oc x y y x c y

3) 2 2( )sin 2 cos ( , ) 2 cos sinoc yc

x y y x N x y y x x yy y

( )0oc y

y

( ) 0oc y

2 2cos cosc x y y x

İntegrasyon Çarpanı İle Tam Diferansiyele Dönüştürme

( , ) ( , ) 0M x y dx N x y dy denklemin birinci tarafı tam dif şartını sağlamıyor olsun. Bu durumda öyle bir ( , )x y fonksiyonu bulunur ki bu fonksiyon denklemle çarpıldığında ifade tam dife dönüşür. Böylece bulunan denklemin genel çözümü ile verilen denklemin genel çözümü aynıdır. Bu ( , )x y integrasyon çarpanı denir. ( ( , )M x y + ( , )N x y )=0

( ) ( )M N

y x

ln

N Mx y

y M

ve

N Mx yM

=ifadesi x’e bağlı değil ise çözüm olasıdır.

Benzer şekilde; N Mx yN

=ifadesi y’e bağlı değil ise çözüm mümkündür.

Örnek: 22 0xy xy y denklemin çözümünü bulunuz?

Çözüm:

1) 22 0xdx

xy ydy

2(2 ) 0xy y dx xdy

2) 4 1M

xyy

1

N

x

(Tam dif değildir)

3) 2

1 4 1 2

2

N Mxyx y

M xy y y

4) ln 2

y y

2ln y

y

2ln y

y

2

1

y

5) 2

1(2 ) 0

xx dx dy

y y

6) 2

1M

y y

2

1N

x y

(Tam diferansiyel)

7) 1

2c

xx y

1

2c x xy

2 ( )o

xc x c y

y

8) 2 2

( )( , )oc yc x x

N x yy y y y

( ) 0oc y

2 xc x

y

II. Mertebe Diferansiyel Denklemler

a)önce değişkenlerden birini içermeyen II. derece mertebe dif 2

2( )

d yf x

dx ( )y f x bu

dif denklemleri çözmek için art arda iki integral almak yeterlidir.

( ) ( )dy

d f x dxdx

1 1( ) ( ) ( )dy

d f x c dy f x dx c dxdx

1 2( )y f x dx c x c c1 ve c2 keyfi sabittir.

Örnek: 2

26

d yx

dx dif denklemini çözünüz?

Çözüm:

( ) 6dy

d xdxdx

( ) 6dy

d xdxdx

213

dyx c

dx 3

1 2y x c x c

II. Mertebeden Lineer ve Sabit Katsayılı Dif Denklemler 1

1 1( ) ( ) ...... ( ) ( ) ( )n no n na x y a x y a x y a x y f x

şeklindeki dif denklem n. mertebeden

lineer bir denklem

1a :katsayıları sabit katsayılı lineer dif denklem olur. 2

2( ) 0

d y dyA B Cydx dx

a) 0A olursa

0By Cy dy C

dx rdxy B

( )log

y

ke rx . rxy k e

Bu durumda 2 0Ar Br C elde edilir. O halde . rxy k e de r sayısı bu denklemi sağlayan bir köktür. Kök ise;

. rxy k e homojen denklemin bir çözümüdür. 2 0Ar Br C denklemin ikinci tarafsız denklemin karakteristik denklemi denir.Bu

denklemde ; 2

2

d y

dx yerine r2

dy

dx yerine r

y yerine 1 yazılarak elde edilir.

a)İki Reel Kökün Varlığı

2 4b ac >0 Karakteristik denklemin reel kökleri r1 ve r2 olsun.

11 1

r xy k e ve 22 2

r xy k e ifadeleri dif denklemin birer çözümleri olarak sağlarlar.

Ancak birer tane sabit içerdiklerinden genel çözüm olmazlar. 1y ve 2y nin genel denklemi sağlama koşulu ise;

1 1 1 0Ay By Cy bu iki denklemi taraf tarafa toplarsak

2 2 2 0Ay By Cy

1 2 1 2 1 1( ) ( ) ( ) 0A y y B y y C y y Bu ise 1 2y y y

b)Köklerin Eşitliği(Katlı Kök)

2 4 0B AC

2 0Ar Br C 2

Br

A

olup dif denklemin çözümü rxy ke

( ) rxy k x e şeklindedir. Katlı kökte k sabit sayı değil bir fonksiyondur.

1 2( ) rxy c c x e (genel çözüm)

c)Reel Kök Yok(Kompleks Kök Var)

2 4 <0B AC bu durumda kökler;

21

14

2 2

Br B AC

A A

1r i

2

2

14

2 2

Br B AC

A A

2r i

1 2( cos sin )xy e c x c x

İkinci Taraflı İkinci Mertebe Lineer Sabit Katsayılı Diferansiyel Denklemin

2

2( )

Ad y BdyCy f x

dx dx

y1 ikinci tarafsız homojen diferansiyel denklemi çözümü y2 ikinci taraflı diferansiyel denklemin çözümü olsun. İkici taraflı çözüme öze çözüm denir.

I)f(x) in kc1 dereceden bir tam çok terimli olması durumu Bu durumda 2Ay By Cy ax bx c

22y x x amaç , , bulmaktır.

2 2y x

2 2y

Örnek: 23 2 2 5 3y y y x x denklemi çözünüz?

Çözüm: 1)ikinci tarafsız çözüm(homojen)

2 3 2 0r r 1 1r ve 2 2r 2

1 1 2x xy c e c e

2)ikinci taraflı(özel) çözüm

2 22 6 3 2 2 2 2 5 3x x x x x

1 ,1

2 ,

5

4

2

2

5

4 4

xy x 2 2

1 2

5

4 4x x

G

xy c e c e x

II)f(x)’ in xDe şeklinde bir üstel fonksiyon olması

xAy By Cy De 2xy ke

2xy k e

22

xy k e denklemde yerine yazılarak k bulunur.

Örnek: 24 8 xy y y e denklemi çözünüz?

Çözüm: 1)ikinci tarafsız (homojen) çözüm

2 4 8 0r r 1 2 2r i ve 2 2 2r i 2

1 1 2( cos 2 sin 2 )xy e c x c x

2)ikinci taraflı (özel) çözüm

22

xy ke

22 2 xy ke

22 4 xy ke

2 2 2 24 4( 2 ) 8x x x xke ke ke e

1

4k

22

1

4xy e 2

1 2

1cos 2 sin 2

4x

Gy e c x c x

III) xAy By Cy De ifadesinin çözümü;

a) , karakteristik denklemin bir kökü değil ise, 2

xy ke

b) , karakteristik denklemin bir kökü ise, 2

xy kxe

c) ,karakteristik denklemin katlı kökü ise, 2

2xy kx e

d)f(x)’ in sin cosM px N px şeklinde olması hali,

2 sin cosy px px yazılır.

Örnek: 2 8sin 2y y y x dif denklemini çözünüz?

Çözüm: I)ikinci tarafsız (homojen) çözüm

2 2 0r r 1 2r ve 2 1r 2

1 1 2x xy c e c e

II)ikinci taraflı (özel) çözüm

2 sin 2 cos 2y x x

2 2 cos 2 2 sin 2y x x denklemde yerine yazarsak

2 4 sin 2 4 cos 2y x x

4 sin 2 4 cos 2 2 cos 2 2 sin 2 2( sin 2 cos 2 ) 8sin 2x x x x x x x

6

5

ve 2

5

21 2

6 2sin 2 cos 2

5 5x x

Gy c e c e x x

IV) ( ) ( )xf x e x olması hali

( )xAy By Cy e x durumunda 2y için,

2xy ze (z bir fonksiyon)

2x xy z e z e

2x x x xy z e z e e e z

2(2 ) ( ) ( )Az A B z A B C z x

( )x ’e karşılık gelen özel çözüm bulunur.

SABİTLERİN DEĞİŞİM KURALI (LAGRENGE METODU) İkinci tarafsız denklem çözümü biliniyorsa ikinci taraflı denklem çözümü integral işlemi uygulanır.

( )Ay By Cy f x 1 1 2 2y c y c y olsun.

0Ay By Cy Bu sabitler c1(x) ve c2(x) fonksiyon olmalıdır ki bu bağıntı ikinci taraflı denklem çözümü olur.

1 1 2 2y c y c y

21 1 2 2 1 1 2y c y c y c y c y 2 2 1 1 0c y c y [Bütünler şartı]

21 1 2y c y c y

2 21 1 2 1 1 2y c y c y c y c y y, y, y ikinci taraflı denklem yazılırsa

2 2 2 0Ay By Cy

21 1 2 ( )Ac y Ac y f x 2 2 1 1 0c y c y

1c ve 2c elde edilir. İntegral alınarak c1 ve c2 bulunur.

n. Mertebeden Lineer ve Sabit Katsayılı Diferansiyel Denklemler I)ikinci tarafsız çözüm

1

0 1 11.......... 0

n n

n nn n

d y d y dyA A A A y

dx dx dx

k keyfi sabit rxy ke

rxy kre gerekli türevler alınır ve yerine yazılır.

Örnek: 4 6 5 24 36 0y y y y y dif denklemi çözünüz?

4 3 26 5 24 36 0r r r r (küplü bir polinom katsayılar toplamı ‘0’ ise köklerden biri 1’dir.)

1 3r (katlı kök)

2 2r

3 2r

3 2 21 2 2 3( )x x xy e c c x c e c e

n. Mertebeden Diferansiyel Denklemler

a)İkinci Tarafsız Çözüm

1

0 1 11..........

n n

n nn n

d y d y dyA A A A y

dx dx dx

k bir sabit sayı olmak üzere

rxy ke

rxy kre ( ) n n rxy r ke elde edilir. 2 rxy kr e

Bu ifadeler denklemde yerine yazılarak ‘x’ bulunur. Genel çözüm ise;

1 1 2 2 .... n ny c y c y c y c1 ve c2 … sabittir.

Örnek: 3 3 0 y y y y diferansiyel denklemini çözünüz?

Çözüm: 3 23 3 1 0 r r r

3( 1) 0 r 1r (katlı)

2

1 1 2 3( ) xy c c x c x e

Örnek: 4 0 y y diferansiyel denklemini çözünüz?

Çözüm: 3 4 0 r r

2( 4) 0 r r

1 0r 2 2r i

1 1 2 3cos 2 sin 2 y c c x c x

b)İkinci Taraflı n. Mertebeden Diferansiyel Denklemler 1) 1

1( ) ..... P Po Pf x B x B x B

y2 özel çözümü aynı dereceden bir polinom ile tanımlanır. Ancak ,rm karakteristik denklemin bir çarpanı yani, r=0 karakteristik denklemin m katlı kökü ise özel çözüm;

12 0 1( .... ) m P P

Py x c x c x c

Örnek: 4 2

24 2

2

d y d yy x x

dx dx diferansiyel denklemini çözünüz?

Çözüm: 1)ikinci tarafsız (homojen) çözüm

4 22 1 0 r r

2 2( 1) 0 r

2 1r ise r i

1 1 2 3 4( ) cos ( )sin y c c x x c c x x 2)ikinci tarafsız (özel) çözüm

22 y ax bx c 2 20 4 a ax bx c x x

2 2 y ax b 1a 1b 4c

2 2 y a

2 0 y 22 4 y x x

21 2 3 4( )cos ( )sin 4 Gy c c x x c c x x x x

2) ( ) xf x De şeklinde ise; 2 xy ke şeklindedir.

Ancak , ( ) mr karakteristik denklemin bir çarpanı yani r= karakteristik denklemi m katlı kökü ise özel çözüm;

2 m xy kx e

Örnek: 32 5 6 xy y y y e diferansiyel denklemini çözünüz?

Çözüm: 1) 3 22 5 6 0 r r r 3. dereceden bir denklemin katsayıları toplamı sıfır olursa köklerden biri 1 olur.

3 222 5 6

61

r r r

r rr

1 1r 2 3r 3 2r 3 2

1 1 2 3 x x xy c e c e c e

2) ikinci tarafsız (özel) çözüm

32 xy kxe

3 32 3

x xy k e e x

3 3 32 3 3(3 )

x x xy k e e e

3 32 27 27

x xy k e xe

Denklemde yerine yazarsak 1

10k

32

1

10 xy e 3 2 3

1 2 3

1

10 x x x x

Gy c e c e c e e

3) ( ) sinf x M px veya cosM px şeklinde ise Aranan özel çözüm;

2sin cos y A px B px

Ancak , 2 2( ) mr p karakteristik denklemin bir çarpanı ise özel çözüm

2 ( sin cos ) my x A px B px

Örnek: 4 3

4 3

44cos 4

d y d yx

dx dx diferansiyel denklemini çözünüz?

Çözüm: 1) 4 34 0 r r 3( 4)0r r 1 0r (3 katlı kök) 2 4r

2 41 1 2 3 4

xy c c x c x c e

2) 2 sin 4 cos 4 y A x B x

2 4 cos 4 4 sin 4 y A x B x

2 16 sin 4 16 cos 4 y A x B x

2 64 cos 4 64 sin 4 y A x B x

2 256 sin 4 256 cos 4 ıvy A x B x 256 sin 4 256 cos 4 4( 64 cos 4 64 sin 4 ) 4cos 4 A x B x A x B x x

1

128

A

1

128B

2

1 1sin 4 cos 4

128 128

y x x

2 41 2 3 4

1 1sin 4 cos 4

128 128 x

Gy c c x c x c e x x

Örnek: 24 4 xy y y e diferansiyel denklemini çözünüz?

Çözüm: 1) 2 4 4 0 r r 2( 2) 0 r 2

1 1 2( ) xy c c x e

2r (katlı) 2) 2

2 xy ke

22 2 xy k e

22 4 xy k e

2 2 2 24 4( 2 ) 4 x x x xk e k e ke e 1

16k

22

1

16 xy e 2 2

1 2

1( )

16 x x

Gy c c x e e

DİFERANSİYEL DENKLEM SİSTEMLERİ Diferansiyel denklemlerin birkaç tanesinin birkaç değişkene göre yazılması ile elde edilirler. Çözümde bilinen yöntemler uygulanmakla birlikte genel olarak sistemin diferansiyel denklem tiplerinden hangisine benzediğini belirlenmelidir.

Örnek: 2( )

dy z

dx z y

2( )

dz y

dx z y sistemini çözünüz?

2( )

dx dy dz

z y z y

0 ydy zdz 2 2 y z c

ÇÖZÜMLÜ SORULAR

SORU: 9 4 0 dy

y xdx

diferansiyel denklemi çözüp doğruluğunu kontrol ediniz?

Çözüm: 9 4 0 ydy xdx

9 4 ydy xdx 2

292

2

yx c

221 9

( 2 )9 2

y

x c

2 22

2 9

y xc

22 4

9

xy c (türevi alarak doğruluğu kontrol edilir.)

SORU: 3

23

5 xd ye

dx diferansiyel denklemi çözünüz?

Çözüm: 3

23

5 xd ye

dx

2

212

5

2

xd ye c

dx

2

1 2

5

4 xdye c x c

dx 2 2

1 2 3

5

8

xy e c x c x c

SORU: 4 25 0 dy

x ydx

(0) 1y koşulunda çözünüz?

Çözüm: 4 25dy x y dx

42

5dy

x dxy

42

5 dy

x dxy

51

1 x c

y

1 1c 5

1

1

y

x

SORU: 3 2( 2 ) (3 1) 0 y x dx xy dy diferansiyel denklemi çözünüz?

Çözüm: 23

M

yy

23

N

yx

(tam diferansiyeldir)

3 2

C

y xx

3 2 C y xdx 3 2 ( ) C xy x Co y

2 2( )3 3 1

C Co y

xy xyy Cy

( )

1

Co y

Cy ( ) Co y y

3 2 C xy x y

SORU: 3 3 2( ) 3 0 x y dx xy dy diferansiyel denklemi çözünüz?

Çözüm: y ux dy xdu udx

3 3 3 2 2( ) 3 ( ) x u x dx xu x xdu udx

3 2 33 3 0 dx u dx u du u dx

2

3

3

1 2

dx u

x u

2

3

3

1 2

dx u

dux u

1

ln ln2

x t

31

ln(1 2 ) ln ln2

u x c

3

2ln(1 2 ) ln( )

cu

x

3 32 cx x y

SORU: 53 2 xy y y e diferansiyel denklemi çözünüz?

Çözüm: 1) 2 3 2 0 r r 1 2r 2 1r

2

1 1 2 x xy c e c e

2) 5

2 xy ke

52 5 xy ke

52 25 xy ke

5 5 5 525 15 2 x x x xke ke ke e 1

12k

52

1

12 xy e

2 51 2

1

12 x x xGy c e c e e

2

2

2

2

' (2) 21

.sin , .cos ,3

1

t t t

xy y

y

x e t y e t z e t

dx

diferansiyel denklemini koşulunda çözünüz.

denklemini fonksiyonun

noktasındaki teğetinin ve normal düzlem denklemini

1)

bu

6.) QUİZ SOR

lunuz.

2)

)

U

3

LARI

2

4 3

4 3

2

0

'' 3 ' 8

4 4cos 4

'' 4 ' 4

x

x

yxy

dx

y y e

d y d yx

dx dx

y y e

diferansiyel denklemini çözünüz.

diferansiyel denklemini çözünüz.

diferansiyel denklemini çözünüz.

diferansiyel denklemini çöz

4)

5)

6) ünüz.

2 3 32 2

2

3 3 2 3

2 3

2 3

(1 )1 3 3

3 (3 )

(3 ) 2(3 4) 8 6

(3 ) 6 0

1)

dy x y xy dy x dx y c

dx y

y y x c y y x c

y y x c c c

y y x

Quiz sorularının çözümleri

3 3

2 2 2

3 3 3 3 30

3

3.sin .

3 2

1 3 1.co

2)

s. . . , . ,3 2 2 2

x e e

y e e P e e e

z e

3 3 3

2 2 22 2 3 3 3

2 3

1 3 1( ) ' .sin cos . ' 3. .

3 2 2

3 2 3( ) ' 2. .cos sin . ' .

3 2 2

( ) ' '3

t t

t t

t

x t e t t e x e e e

y t e t t e y e e e

z t e z e

233

3

233 3

2 233 3 3 3 3

3. 1.

2 2 . .3 1 2 32 2

3 1 3. 2 3 1. . . . . . 0 . .

2 2 2 2

ex y e z e

T KD

ee e

ee x e y e e z e N D D

2 22

1 12 22 21

2 2

1( 1) . . ln 1 ln

1 2

1 1ln 1 ln ln

3)

c

dx xx dy x y dx dx x y c

y x

x xx y c c e

y y

1 1

2 22 21 1x xc y

y c

2 31 2 1 1 2

2 2 22 2 2

2 2 2 2 2

22

3 21 2 1 1 2

3 0 ( 3) 0 0, 3

. , 2 . , 4 .

4 . 6 . 8 10 . 8

7 710 7 ,

10 107

1

4)

0

x

x x x

x x x x x

x

x xgenel

r r r r r r y c c e

y k e y k e y k e

k e k e e k e e

k k y e

y y y y c c e e

4 3 31 2

2 41 1 2 3 4

2

2 2

2 2

'''' 4 ''' 0

4 0, ( 4) 0 , 0 ( ) 4

sin 4 cos 4

' 4 cos 4 4 sin 4 ''' 16 sin 4 16 cos 4

''' 64 cos 4 64sin 4 '''' 256 sin 4 256 cos 4

(256 s

5)

in 4

x

y y

r r r r r katlı kök r

y c c x c x c e

y x x x

y x x x y x x x

y x x x y x x x

x x

2

2 41 2 1 2 3 4

256 cos 4 ) 4( 64 cos 4 64sin 4 ) 0

1 1 1 1, sin 4 cos 4

128 128 128 1281 1

sin 4 cos 4128 128

xgenel

x x x x

y x x

y y y c c x c x c e x x

21

21 1 2

2 2 22 2 2

2 2 2 2 2 2 22

2 21 2 1 2

4 4 0 ( 2)( 2) 0 2 ( )

( )

. , ' 2 . , '' 4 .

1 14 . 8. . 4 . 16 . ,

16 161

(

)

1

6

)6

x

x x x

x x x x x x x

x xgenel

r r r r r katlı kök

y c c x e

y k e y k e y k e

k e k e k e e k e e k y e

y y y c c x e e

3 3 2

2

3 4

( , ) .cos 0

( ) -3 0

2 30

axxx yyZ x y e by Z Z a b

x y dx xy dy

x y xdx dy

y y

verliyor. olması için ile

arasındaki bağıntı nedi

1)

2)

3

7.) ARA SINAV SORU

r?

dif

LAR

eransiyel denklemini çözünüz.

diferansiyel denkle

I

) mini

2( -1) 0

1' (1) 0

dyx xy

dxy

y yx

4)

5

çözünüz.

diferansiyel denklemini çözünüz.

diferansiyel denklemini koşulunda çözü) nüz.

2

2

2 2

2 2

2 2

. .cos , . .cos

. .cos , . .cos

. .cos . .cos cos

.cos ( ) 0

0

ax axx xx

ax axy yy

ax ax

ax

Z a e by Z a e by

Z b e by Z b e by

a e by b e by by

e by a b

a b a b

Ara sınav soruları Çözümleri

1)

3 3 3 3 2

3 3 3 2 4

23 2 2

3

13 3 2

13

. . .

( ) (3 )( . . ) 0

(1 3 ) 3 .

3 . 12 6 . 3

1 2 2

121

1 1ln ln(1 ) ln(1 2 ) ln(1 2 )

2 2

ln l

2

n )

)

(1 2

y u x dy u dx du x

x u x u x x du du x

xdx u u u x du

dx u duu z u du dz u du dz

x u

dzdx

x z

x z c u c u c

x u

olsun olur. olur.

3 1

2 23

ln ln(1 2 )y

c x cx

3 31 1

2 23 3

3 31 1

2 23 3 31

23

32 3 2 53 3

2 3 3 2 2

3 5

32

ln

(1 2 ) (1 2 )

.(1 2 ) (1 2 )

(1 2 )

(1 2 ) 1 2

2 2

cx xc e

y yx x

x y x yc x c

x c xyx

x y y x xy x

c x x c c

x xy

c

4 4

2

0 0 03 3 3

2 2 20

4 4

20

04 2

2

0 3

6 6,

2 2( )

3 3( , )

1

3

(

)

1 1)

dM x dN x

dy y dx y

dc x x xdc dx c c y

dx y y y

dcdc x y xN x y

dy y dy y

dc ydy dc dy

dy y y

xc y c

y y y

olduğundantamdif.tir.

2

2 2 2 2 2

2 2 2

2 2

( 1) . .

ln1 1 1 1 1

1 1 1 1 1 1( 1) ( 1)

2 2 2 1 2 11 1

[ln( 1) ln( 1)] [ln( 1).ln( 1)]2 21

[ln( 1)] ln ln( 1) 2 ln ln( 1)

4

2ln 02

1l ( ) 0

2

)

n

x dy x y dx

dy x x x A Bdx y dx

y x x x x x

x A x B x A Bx x

x x x x

x y x y x y

x x

y

2 201 1 1

12 2 2

x xe y

y y

1

ln( 1) ln ln( 1) n 01

1 1 1ln( ) 0

1 . 1

(1) 0

0 1. 1 1

5)

1

c

dy y

dx xdy dx

y x c y l xy x

y y ye c y

x x xx c y cx

y

c c y x