dimensión de un espacio y subespacios vectoriales
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Escuela Politécnica Nacional
Álgebra Lineal 1
Dimensión de un Espacio y
Subespacio Vectorial
Grupo N°06
Sean (V, k, +, ·) un espacio vectorial y S V⊆
S es base de V si:
Cumple con 2 de las 3 condiciones:
BASE
PASOS PARA HALLAR UNA BASE
Hallar el conjunto generador
Probar que es L.I.
TEOREMA 11
Sean (V, K , +, · ) un espacio vectorial, dim V = n, S V
, entonces
Si es linealmente independiente, es una base de V
Donde n es el número de vectores de S
Ejemplo:
Demostrar que S es una base de W:
1. Comprobar si S es LI
2. Dim () = 3 → N° de vectores de S = 3
Dim () = N° de vectores de S
Si ˄ Dim () = N° de vectores de S
∴ 𝑺 𝒆𝒔 𝒃𝒂𝒔𝒆 𝒅𝒆 𝑾
TEOREMA 12
, entonces
Sean (V, K , +, · ) un espacio vectorial, dim V=n, S V
Si es generador de V, entonces es una base de V
Donde n es el número de vectores de S
Ejemplo (anterior):
Demostrar que S es una base de W:
1. Comprobar si <S> =W
2. Dim () = 3 → N° de vectores de S = 3
Dim () = N° de vectores de S
Si ˄ Dim () = N° de vectores de S
∴ 𝑺 𝒆𝒔 𝒃𝒂𝒔𝒆 𝒅𝒆 𝑾
Completación de bases(Teorema de la base incompleta)
Si ⊂ S, con k<n, es un conjunto linealmente independiente
Sean (V, K , +, · ) un espacio vectorial, dim V=n
Entonces existen vectores ,…,∈ S, tales que
es base de S
Dimensión de un Espacio Vectorial
Dimensión de un Subespacio Vectorial
Dim(W) = Dim(V) – N° restricciones
Dim(V) = n
donde N° de vectores de la base
Ejemplo:• Hallar el conjunto generador
Notamos que el N° de vectores de s no es igual a Dim ()
1. Tenemos la base S pero podemos observar que para que se cumpla que sea base de R3 tienen que haber tres vectores en la base, por lo que aumentamos un vector a la base S que no cumpla la restricción y lo ponemos seguido a los que ya teníamos.
El vectorno cumple que y= x+z
2. Ahora tenemos que es de dimensión tres por lo tanto tenemos la primera condición para que sea base de R3.
Dim (S’)=3
3. Ahora demostramos si es LI para completar una base de 3.
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