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DIMENSIONAMENTO DE LAJES ARMADAS EM DUAS DIRECÇÕES
EXEMPLO DE APLICAÇÃO
Carlos Moutinho
FEUP, Maio de 2002
1. Dados Gerais - Laje destinada a zona comercial (Q = 4 kN/m2) - Peso de revestimentos e paredes divisórias: 3 kN/m2 - Materiais: C20/25; A400 2. Geometria
0.30 0.30 0.306.70 4.70
0.30
0.30
0.30
4.70
4.70
P1VIGA 1
L1
L2
L3
L4
P2 P1
P1
P1 P1
VIGA 2
VIGA 1
VIG
A 3
VIG
A 4
PAR
EDE
1
1-2y
1-2y 3-4y
3-4y
1-3x 1-3x
2-4x 2-4x
Planta estrutural 3. Pré-dimensionamento da laje Critério utilizado: Verificação do estado limite de deformação sem cálculo directo
λ≤dl
; slT KKK σλλ ×××= 0
λ = 32 × 1 × 1 × 1.25 = 40 → =≥405d 0.125 m
com 0λ = 32 (caso 2 do quadro 4.14 do EC2 para todas as lajes)
TK =1 (laje maciça)
LK =1 (vão < 7m)
cals
effs
yks A
Af
K,
,400 ⋅=σ =1×1.25=1.25(ter em conta o factor αdef = 1.25 na atribuição de armaduras)
Dimensões adoptadas para todas as lajes: h = 0.17 m ; d = 0.14 m
Dimensionamento de lajes armadas em duas direcções – exemplo de aplicação 2
4. Acções Acções permanentes: Peso próprio (0.17 × 25) 4.25 kN/m2 Rev. + P. divisórias 3.00 kN/m2 G = 7.25 kN/mk
2 Acções variáveis: Sobrecarga Q = 4 kN/mk
2
dS = 1.35 + 1.5 = 1.35 × 7.25 + 1.5 × 4 = 15.79 kN/mkG kQ 2 5. Cálculo dos momentos flectores máximos 5.1 Cálculo dos momentos iniciais Utilização do método do Regulamento Britânico (Norma BS8110) cujos coeficientes sxβ e syβ já incluem a influência da alternância de sobrecargas e da redistribuição de esforços (ver tabelas em anexo). Lajes L1 e L2:
Painel tipo 3
xl = 5.00 m; l = 7.00 m y
x
y
ll
= 1.4
3M4M 4M
xl
2M
yl
Lajes L3 e L4:
7M8M
5M xl
6M
yl
Dimensionamento de lajes armadas em duas direcçõ
=1M 0.047 × 15.79 × 52 = 18.55 kN×m/m 2
1M
=2M 0.063 × 15.79 × 5 = 24.87 kN×m/m =3M 0.028 × 15.79 × 52 = 11.05 kN×m/m =4M 0.037 × 15.79 × 52 = 14.60 kN×m/m
Painel tipo 4
xl = = 5.00 m yl
x
y
ll
= 1.0
== 75 MM 0.035 × 15.79 × 52 =13.82 kN×m/m == 86 MM 0.047 × 15.79 × 52 =18.55 kN×m/m
es – exemplo de aplicação 3
5.2 Equilíbrio de momentos flectores sobre os apoios de painéis adjacentes Regras para o equilíbrio de momentos: a) Tratar os valores obtidos pela utilização das tabelas como momentos iniciais e equilibrar os momentos negativos sobre os apoios de acordo com a rigidez relativa dos vãos adjacentes; b) Em cada tramo, a soma dos módulos dos momentos negativos e positivo mantém-se constante antes e após o equilíbrio; c) Caso o momento positivo diminua, devido à aplicação da regra enunciada na alínea anterior, é conveniente manter o valor inicial. Neste exemplo é necessário equilibrar os momentos flectores negativos sobre os apoios dos painéis 1 e 3 (direcção 1-3x) e dos painéis 2 e 4 (direcção 2-4x). Direcção 1-3x = 2-4x:
CdM
CeM
Mo Mo
ke
M
M Mo 1º 2º
Dim
AM
BM
mentos negativos:
mento a distribuir: = |14.60 –|| CdCe MMM −=∆
744 EI
lEI
e== ;
533 EI
lEI
dd ==k
kkk
MMkk
kM
de
dCd
de
eCefinalC ×
+−=∆×
++=,
finalC , = 14.60 + 0.488 × 3.95 = 18.55 – 0.512 × 3.
mentos positivos:
tramo: manter o inicial → = 11.05BfinalB MM =,
tramo: ⇔ finalDfinalCDCd MMMM ,, +=+ DM ,
finalDM 13.82 + (18.55 –=,
ensionamento de lajes armadas em duas direcções – exemplo de a
DM
18.55| = 3.95 kN×
M∆
95 = 16.53 kN×m/m
kN×m/m
( CdDfinal MM +=
16.53) = 15.84 kN
plicação
m/m
)finalCM ,−
×m/m
4
5.3 Diagramas finais de momentos flectores Direcção 1-3x = 2-4x:
14.60 16.53
11.05
15.84
Direcção 1-2y :
24.87
18.55 18.55
Direcção 3-4y :
18.55
13.82 13.82
Dimensionamento de lajes armadas em duas direcções – exemplo de aplicação 5
6. Cálculo das armaduras principais Armadura mínima:
min,sA = 0.0015 = 0.0015 × 100 × 14 = 2.10 cmdbw ×× 2/m Armadura para momentos flectores máximos:
Direcção Msd (kN×m/m)
As (cm2/m)
As,cal = As × αdef (*) (cm2/m)
Armadura Adoptada
As,eff (cm2/m)
14.60 3.14 3.93 φ8//0.10 5.03 11.05 2.36 2.95 φ8//0.20+φ6//0.20 3.92 16.53 3.57 4.46 φ8//0.10 5.03
1-3x 2-4x
15.84 3.41 4.26 φ8//0.10 5.03 24.87 5.47 6.84 φ10//0.10 7.85 1-2y 18.55 4.02 5.03 φ8//0.10 5.03 18.55 4.02 5.03 φ8//0.10 5.03 3-4y 13.82 2.97 3.71 φ8//0.20+φ6//0.20 3.92
(*) Eventualmente agravar apenas armadura inferior 7. Verificação ao esforço transverso Utilização do método do Regulamento Britânico para a determinação dos esforços transversos máximos nos apoios, sendo os coeficientes vxβ e vyβ retirados das tabelas em anexo. Corte no apoio intermédio das lajes L1 e L2: Painel tipo 3
xl = 5.00 m; l = 7.00 m y
x
y
ll
= 1.4; vxβ =0.49
sxv = 0.49 × 15.79 × 5 = 38.68 kN/m Corte no apoios interiores das lajes L3 e L4: Painel tipo 4
xl = l = 5.00 m y
x
y
ll
= 1.0; vxβ = vyβ = 0.40
sxv = 0.40 × 15.79 × 5 = 31.58 kN/m ∴ v = 38.68 kN/m sd
dkv lRdRd ×+××= )402.1(1 ρτ =260 × (1.6 – 0.14) × (1.2 + 40 × 0.0036) × 0.14 = 71.42 kN/m
sdv ≤ v ∴ dispensa armadura de esforço transverso 1Rd
Dimensionamento de lajes armadas em duas direcções – exemplo de aplicação 6
8. Verificação dos estados limites de utilização Estado limite de deformação: Verificação implícita no pré-dimensionamento da espessura da laje (ver ponto 3). Estado limite de fendilhação: De acordo com o parágrafo 4.4.2.3(1) do EC2, as lajes cuja espessura total não exceda 200mm não necessitam de medidas específicas para controlar a fendilhação, desde que se respeite as disposições construtivas indicadas na secção 5.4.3. Por outro lado, tendo-se utilizado um diâmetro máximo de varões de 10mm, facilmente se verifica que a tensão na armadura na combinação quase permanente não excede o valor de 360MPa (visto que em estado limite último a tensão na armadura é de 348MPa), valor limite indicado no quadro 4.11 do EC2 para que seja verificado o estado limite de fendilhação. 9. Desenhos (Ver páginas seguintes) BIBLIOGRAFIA - Apontamentos da disciplina de Estruturas de Betão “Cálculo de esforços em lajes armadas em
duas direcções” do Prof. Joaquim Figueiras; - Pré-norma Europeia Eurocódigo 2, 1991; - Norma Britânica BS8110, parte 1, 1985.
Dimensionamento de lajes armadas em duas direcções – exemplo de aplicação 7
ARMADURAS INFERIORES – DIRECÇÃO X (Esc. 1/100)
Dimensionamento de lajes armadas em duas direcções – exemplo de aplicação 8
ARMADURAS INFERIORES – DIRECÇÃO Y (Esc. 1/100)
Dimensionamento de lajes armadas em duas direcções – exemplo de aplicação 9
ARMADURAS SUPERIORES – DIRECÇÃO X (Esc. 1/100)
0.30 6.70 0.30 0.304.70
4.70
0.30
0.30
0.30
4.70
Nota: armadura de distribuição para φ8//0.10 e φ8//0.20: φ6//0.20
Dimensionamento de lajes armadas em duas direcções – exemplo de aplicação 10
ARMADURAS SUPERIORES – DIRECÇÃO Y (Esc. 1/100)
0.30 6.70 0.30 4.70 0.30
0.30
4.70
0.30
4.70
0.30
Nota: armadura de distribuição para φ8//0.10 e φ8//0.20: φ6//0.20 armadura de distribuição para φ10//0.10 e φ10//0.20: φ8//0.20
Dimensionamento de lajes armadas em duas direcções – exemplo de aplicação 11
ARMADURAS SUPLEMENTARES – AMBAS AS DIRECÇÕES
(A ADICIONAR ÀS ARMADURAS PRINCIPAIS) (Esc. 1/100)
0.30 0.306.70 4.70
4.70
0.30
0.30
4.70
0.30
0.30
CORTE NUM APOIO DESCONTÍNUO (Esc. 1/20)
Dimensionamento de lajes armadas em duas direcções – exemplo de aplicação 12
0.17
0.33
0.50
armadura superior
armadura inferior
0.30
0.35
da laje
da laje
estribos da viga
da vigaarmadura longitudinal
Tipo de painel e
momentos considerados
1.0 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.75 2.01 Quatro lados contínuos
Momento negativo sobreo lado contínuo
Momento positivoa meio vão
2 Um lado menor descontínuoMomento negativo sobreo lado contínuo
Momento positivoa meio vão
3 Um lado maior descontínuoMomento negativo sobreo lado contínuo
Momento positivoa meio vão
4 Dois lados adjacentesdescontínuosMomento negativo sobreo lado contínuo
Momento positivoa meio vão
5 Dois lados menoresdescontínuosMomento negativo sobreo lado contínuo
Momento positivoa meio vão
6 Dois lados maioresdescontínuosMomento negativo sobreo lado contínuo
Momento positivoa meio vão
7 Três lados descontínuos(um lado maior contínuo)Momento negativo sobreo lado contínuo
Momento positivoa meio vão
8 Três lados descontínuos(um lado menor contínuo)Momento negativo sobreo lado contínuo
Momento positivoa meio vão
9 Quatro lados descontínuosMomento positivoa meio vão
0.024
0.065 0.032
0.024 0.028 0.032 0.036 0.039 0.041 0.045 0.049
0.047 0.051 0.053 0.0600.032 0.037 0.043
Relação l y/ l x
Coeficientes para o menor vão, βsx
Coe
f. pa
ra o
m
aior
vão
, βsy
, pa
ra to
dos
os
valo
res
de l y
/l x
Cas
o
0.037 0.043 0.048 0.051 0.055 0.057 0.064 0.068 0.037
0.028 0.032 0.036 0.039 0.041 0.044 0.048 0.052 0.028
0.037 0.044 0.052 0.057 0.063 0.067 0.077 0.085 0.037
0.028 0.033 0.039 0.044 0.047 0.051 0.059 0.065 0.028
0.047 0.053 0.060 0.065 0.071 0.075 0.084 0.091 0.047
0.035 0.040 0.045 0.049 0.053 0.056 0.063 0.069 0.035
0.045 0.049 0.052 0.056 0.059 0.060 0.065 0.069 -
0.035 0.037 0.040 0.043 0.044 0.045 0.049 0.052 0.035
- - - - - - - - 0.04
0.035 0.043 0.051 0.057 0.063 0.068 0.080 0.088 0.035
0.057 0.064 0.071 0.076 0.080 0.084 0.091 0.097 -
0.043 0.048 0.053 0.057 0.060 0.064 0.069 0.073 0.043
- - - - - - - - 0.05
0.043 0.051 0.059 0.065 0.071 0.076 0.087 0.096 0.043
0.056 0.064 0.072 0.079 0.085 0.089 0.100 0.107 0.056
5
7
yx ll ≤ 2
xdsxsx lSM ××= β 2
xdsysy lSM ××= β
l
x
syM
sxMl
y
Quadro 1
Dimensionamento
– Coeficientes dec
de lajes armadas em du
momento para painéis rectangulares suportados nos 4 lados, om armadura de torção nos cantos
as direcções – exemplo de aplicação 13
Tipo de painel e
lados considerados
1.0 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.75 2.01 Quatro lados contínuos
Lado contínuo 0.33 0.36 0.39 0.41 0.43 0.45 0.48 0.50 0.33
2 Um lado menor descontínuoLado contínuo 0.36 0.39 0.42 0.44 0.45 0.47 0.50 0.52 0.36Lado descontínuo - - - - - - - - 0.24
3 Um lado maior descontínuoLado contínuo 0.36 0.40 0.44 0.47 0.49 0.51 0.55 0.59 0.36Lado descontínuo 0.24 0.27 0.29 0.31 0.32 0.34 0.36 0.38 -
4 Dois lados adjacentesdescontínuosLado contínuo 0.40 0.44 0.47 0.50 0.52 0.54 0.57 0.60 0.40Lado descontínuo 0.26 0.29 0.31 0.33 0.34 0.35 0.38 0.40 0.26
5 Dois lados menoresdescontínuosLado contínuo 0.40 0.43 0.45 0.47 0.48 0.49 0.52 0.54 -Lado descontínuo - - - - - - - - 0.26
6 Dois lados maioresdescontínuosLado contínuo - - - - - - - - 0.40Lado descontínuo 0.26 0.30 0.33 0.36 0.38 0.40 0.44 0.47 -
7 Três lados descontínuos(um lado maior contínuo)Lado contínuo 0.45 0.48 0.51 0.53 0.55 0.57 0.60 0.63 -Lado descontínuo 0.30 0.32 0.34 0.35 0.36 0.37 0.39 0.41 0.29
8 Três lados descontínuos(um lado menor contínuo)Lado contínuo - - - - - - - - 0.45Lado descontínuo 0.29 0.33 0.36 0.38 0.40 0.42 0.45 0.48 0.30
9 Quatro lados descontínuos
Lado descontínuo 0.33 0.36 0.39 0.41 0.43 0.45 0.48 0.50 0.33
Coeficientes para o lado maior, βvx
Coe
f. pa
ra o
lado
m
enor
, βvy
, par
a to
dos
os v
alor
es
de l y
/l x
Cas
o
Relação l y/ l x
yx ll ≤
xdvxsx lSv ××= β
xdvysy lSv ××= β
syvl x
sxv
yl
Quadro 2
Dimensionamento d
l
sv
0.75 l
– Coeficientes de co
e lajes armadas em duas
reacção para painéis rectangulares suportados nos 4 lados, m armadura de torção nos cantos
direcções – exemplo de aplicação 14
REGRAS SIMPLIFICADAS PARA DISPENSA DE ARMADURAS EM LAJES
100%
40%
0.2 l
100%
50% armadura paramomentos negativos
eixo do apoio
vão efectivo l
face do apoio
l0.15> 0.45
l0.3
momentos positivosarmadura para
φ
a) Apoio interior
No
Dim
b) Extremidade simplesmente apoiada
100%
vão efectivo
eixo do apoioface do apoio
0.1 l
40% momentos positivosarmadura para
l
vão efectivo
> 0.45
eixo do apoioface do apoio
l / 2
100%
50%momentos negativosarmadura para
l
d / 2
φ
c) Consola
ta: d - altura útil Válido para: l - vão efectivo Cargas distribuídas φ - diâmetro dos varões Vãos aproximadamente iguais
ensionamento de lajes armadas em duas direcções – exemplo de aplicação 15
DIVISÃO DA ARMADURA INFERIOR EM FAIXAS
lx/8 Faixa lateral
Faix
a ce
ntra
l
Faix
a la
tera
l
Faix
a la
tera
l
lx
x l 3/4lx
Faixa central
lx/8
ly/8
3/4ly
ly/8
ly
- Nas faixas centrais colocar a armadura para os momentos máximos - Nas faixas laterais colocar a armadura mínima
ARMADURAS DE CANT
0.3lx
0.3lx
0.3lx
As,vão
0.3lx
0.3lx
0.3lx
0.3lx
ly
- A armadura principal existente na zona dos cantos pode ser contabilizada
Dimensionamento de lajes armadas em duas direcções – exemplo de aplicação
Faixa lateral
ly
O
lx
1/2As,vão face superior
3/4As,vão ambas as faces
1/2As,vão face superior
0.3lx
como armadura de canto
16
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