diseño óptimo de estructuras mecánicas bajo incertidumbre en las
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Diseño óptimo de estructurasmecánicas bajo incertidumbre en las
cargasFelipe Alvarez y Miguel Carrasco
II Encuentro Nucleo Cientıfico Milenio
Sistemas Complejos de Ingenierıa
Universidad de Chile
15 - 16 de diciembre 2003
Diseno optimo de estructuras.– p. 1/30
Plan
Introduccion.Estructuras reticulares y equilibrio mecánico.Minimización de la complacencia.Formulación primal-dual.Inestabilidad de soluciones óptimas
Modelo con cargas aleatorias.Perturbaciones aleatorias en las cargas.Minimización de la complacencia esperada.Ejemplos: distribuciones discretas y continuas.
Aplicaciones y experiencias numericas.
Diseno optimo de estructuras.– p. 2/30
Plan
Introduccion.Estructuras reticulares y equilibrio mecánico.Minimización de la complacencia.Formulación primal-dual.Inestabilidad de soluciones óptimas
Modelo con cargas aleatorias.Perturbaciones aleatorias en las cargas.Minimización de la complacencia esperada.Ejemplos: distribuciones discretas y continuas.
Aplicaciones y experiencias numericas.
Diseno optimo de estructuras.– p. 2/30
Plan
Introduccion.Estructuras reticulares y equilibrio mecánico.Minimización de la complacencia.Formulación primal-dual.Inestabilidad de soluciones óptimas
Modelo con cargas aleatorias.Perturbaciones aleatorias en las cargas.Minimización de la complacencia esperada.Ejemplos: distribuciones discretas y continuas.
Aplicaciones y experiencias numericas.
Diseno optimo de estructuras.– p. 2/30
Estructuras reticulares
Grafo de puntos en
�
unidos por barras delgadas.
−1
−0.5
0
0.5
1
−1
−0.5
0
0.5
1
0
0.5
1
Problema: diseñar la “mejor” estructura quesoporte una distribución de cargas nodales.
Diseno optimo de estructuras.– p. 4/30
Estructuras reticulares
Grafo de puntos en
�
unidos por barras delgadas.
−1
−0.5
0
0.5
1
−1
−0.5
0
0.5
1
0
0.5
1
Problema: diseñar la “mejor” estructura quesoporte una distribución de cargas nodales.
Diseno optimo de estructuras.– p. 4/30
Estructuras reticulares
Grafo de puntos en
�
unidos por barras delgadas.
−1
−0.5
0
0.5
1
−1
−0.5
0
0.5
1
0
0.5
1
Problema: diseñar la “mejor” estructura quesoporte una distribución de cargas nodales.
Diseno optimo de estructuras.– p. 4/30
Notaciones
� : número de nodos (puntos en
�
).
� �: número de barras.
�� : número de restricciones en los desplazamientos.
� � � � �� : grados de libertad.
Variables de diseño
Topología: volumen de las barras .
Geometría: posición de los nodos .
Diseno optimo de estructuras.– p. 5/30
Notaciones
� : número de nodos (puntos en
�
).
� �: número de barras.
�� : número de restricciones en los desplazamientos.
� � � � �� : grados de libertad.
Variables de diseño
Topología: volumen de las barras
� � ��.
Geometría: posición de los nodos � � � �
.
Diseno optimo de estructuras.– p. 5/30
Matriz de rigidez y equilibrio
� Distribución de cargas: � �
.� Desplazamientos nodales: � � �
.
Ecuación de equilibrio mecánico:
Matriz de rigidez: ,
Barra -ésima: es el módulo de Young; , lalongitud; , el vector director.
Diseno optimo de estructuras.– p. 6/30
Matriz de rigidez y equilibrio
� Distribución de cargas: � �
.� Desplazamientos nodales: � � �
.
Ecuación de equilibrio mecánico:
� ��
� �
� �
Matriz de rigidez: ,
Barra -ésima: es el módulo de Young; , lalongitud; , el vector director.
Diseno optimo de estructuras.– p. 6/30
Matriz de rigidez y equilibrio
� Distribución de cargas: � �
.� Desplazamientos nodales: � � �
.
Ecuación de equilibrio mecánico:
� ��
� �
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Matriz de rigidez:
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Barra
�
-ésima: � es el módulo de Young;
��
� � �
, lalongitud; � �
� � �
, el vector director.Diseno optimo de estructuras.– p. 6/30
Complacencia
Energía potencial:
��� �
�
�� � �
� �� � �
�
� �
� � ����
Se tiene
en cuyo caso,
Complacencia: (medida de rigidez).
Diseno optimo de estructuras.– p. 7/30
Complacencia
Energía potencial:
��� �
�
�� � �
� �� � �
�
� �
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Se tiene
��� �
�
�� � � ����� �� ��
� ��
�� � �
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en cuyo caso,
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Complacencia: (medida de rigidez).
Diseno optimo de estructuras.– p. 7/30
Complacencia
Energía potencial:
��� �
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�� � �
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Se tiene
��� �
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en cuyo caso,
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Complacencia:
��
�� (medida de rigidez).
Diseno optimo de estructuras.– p. 7/30
Problema de diseño
� Restricciones: equilibrio mecánico, volumen total,posición de ciertos nodos,.... . .
� Criterio: maximizar la rigidez.
( )
Diseno optimo de estructuras.– p. 8/30
Problema de diseño
� Restricciones: equilibrio mecánico, volumen total,posición de ciertos nodos,.... . .
� Criterio: maximizar la rigidez.
� � ��� �
��
��( )
��
��
� ��
� �
� �
� �
� � � � � � � � ��
�� � �
� � � � �
� � � �� � �
� � �
Diseno optimo de estructuras.– p. 8/30
Simplificación: estructura base
Inconvenientes de la variable ��
� Altamente no lineal.
� Difícil de resolver numéricamente.
Estrategia:Eliminamos como variable de diseño.
Utilizamos una estructura base llena de nodos y barras.
Problema: aumenta la dimensión pues
0 1 2 3 4 5 6−1
−0.5
0
0.5
1
1.5
f
0 1 2 3 4 5 6−1
−0.5
0
0.5
1
1.5
f
Diseno optimo de estructuras.– p. 9/30
Simplificación: estructura base
Inconvenientes de la variable ��
� Altamente no lineal.
� Difícil de resolver numéricamente.
Estrategia:
� Eliminamos � como variable de diseño.
� Utilizamos una estructura base llena de nodos y barras.
� Problema: aumenta la dimensión pues � � � ��
0 1 2 3 4 5 6−1
−0.5
0
0.5
1
1.5
f
0 1 2 3 4 5 6−1
−0.5
0
0.5
1
1.5
f
Diseno optimo de estructuras.– p. 9/30
Simplificación: estructura base
Inconvenientes de la variable ��
� Altamente no lineal.
� Difícil de resolver numéricamente.
Estrategia:
� Eliminamos � como variable de diseño.
� Utilizamos una estructura base llena de nodos y barras.
� Problema: aumenta la dimensión pues � � � ��
0 1 2 3 4 5 6−1
−0.5
0
0.5
1
1.5
f
0 1 2 3 4 5 6−1
−0.5
0
0.5
1
1.5
f
Diseno optimo de estructuras.– p. 9/30
Simplificación: estructura base
Inconvenientes de la variable ��
� Altamente no lineal.
� Difícil de resolver numéricamente.
Estrategia:
� Eliminamos � como variable de diseño.
� Utilizamos una estructura base llena de nodos y barras.
� Problema: aumenta la dimensión pues � � � ��
0 1 2 3 4 5 6−1
−0.5
0
0.5
1
1.5
f
0 1 2 3 4 5 6−1
−0.5
0
0.5
1
1.5
f
Diseno optimo de estructuras.– p. 9/30
Formulación primal-dual
Problema de diseño:
( ) � ���� � ��
� ��
��
� � � �
� ��
� �
��
El dual de Lagrange de está dado por
( )
Método: resolver y recuperar los volúmenes a partirde los multiplicadores.
Diseno optimo de estructuras.– p. 10/30
Formulación primal-dual
Problema de diseño:
( ) � ���� � ��
� ��
��
� � � �
� ��
� �
��
El dual de Lagrange de
� �
está dado por
( ) � � � �� �� � ���� �� �
��
�
��
� � � ��
��
Método: resolver y recuperar los volúmenes a partirde los multiplicadores.
Diseno optimo de estructuras.– p. 10/30
Formulación primal-dual
Problema de diseño:
( ) � ���� � ��
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��
El dual de Lagrange de
� �
está dado por
( ) � � � �� �� � ���� �� �
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Método: resolver� �
y recuperar los volúmenes a partirde los multiplicadores.
Diseno optimo de estructuras.– p. 10/30
Dualidad
(
�
) � ����� �� � �� � � �� ��� � � �� � ��� � � � �� ��
Pero
Lagrangiano: .
Diseno optimo de estructuras.– p. 11/30
Dualidad
(
�
) � ����� �� � �� � � �� ��� � � �� � ��� � � � �� ��
Pero
� �� ��� �� �� � � � � � � ���
� � �
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Lagrangiano: .
Diseno optimo de estructuras.– p. 11/30
Dualidad
(
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) � ����� �� � �� � � �� ��� � � �� � ��� � � � �� ��
Pero
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� � �
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Lagrangiano:
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� � � � � � � � ��� � � �
� � �� � � � � � � �� .
Diseno optimo de estructuras.– p. 11/30
Dualidad
(
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Pero
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Lagrangiano:
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� � � � � ���� �� � � � ��� ���
�� � �� � � � � � ��� ���� �� � ���
�� �
�
Diseno optimo de estructuras.– p. 11/30
Ejemplos (1/2)
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.5−1
−0.5
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
X
Y
f
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.5−1
−0.5
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
X
Y
f
Diseno optimo de estructuras.– p. 12/30
Ejemplos (1/2)
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.5−1
−0.5
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
X
Y
f
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.5−1
−0.5
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
X
Y
f
Diseno optimo de estructuras.– p. 12/30
Ejemplos (2/2)
Problema: se constata la inestabilidad física de lasolución óptima.
Volver al plan
Diseno optimo de estructuras.– p. 13/30
Ejemplos (2/2)
Problema: se constata la inestabilidad física de lasolución óptima.
Volver al plan
Diseno optimo de estructuras.– p. 13/30
Ejemplos (2/2)
Problema: se constata la inestabilidad física de lasolución óptima.
Volver al plan
Diseno optimo de estructuras.– p. 13/30
Perturbaciones en las cargas
Sea � � � � � � � �
definida por
�� �
�
� � ��
��
�� � � �
� si existe � � �
t.q.
� � �
� � �
si no
El problema de diseño original:
( )
Perturbación aleatoria:
Diseno optimo de estructuras.– p. 15/30
Perturbaciones en las cargas
Sea � � � � � � � �
definida por
�� �
�
� � ��
��
�� � � �
� si existe � � �
t.q.
� � �
� � �
si no
El problema de diseño original:
( ) � ���� � � �
�� �
�
� ��
Perturbación aleatoria:
Diseno optimo de estructuras.– p. 15/30
Perturbaciones en las cargas
Sea � � � � � � � �
definida por
�� �
�
� � ��
��
�� � � �
� si existe � � �
t.q.
� � �
� � �
si no
El problema de diseño original:
( ) � ���� � � �
�� �
�
� ��
Perturbación aleatoria:
� �
���
�
Diseno optimo de estructuras.– p. 15/30
Modelo estocástico
Minimización de la complacencia esperada:
( � ) � � �� � � �
��
�� �
�
� �� � ���
� ��
� � � � � �
Sea
Se tiene que
Si es infactible.
Diseno optimo de estructuras.– p. 16/30
Modelo estocástico
Minimización de la complacencia esperada:
( � ) � � �� � � �
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Sea
� � � � � � � � �
Se tiene que
��
�� �
�
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�� �
�
� � � � � � � � � � �
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Si es infactible.
Diseno optimo de estructuras.– p. 16/30
Modelo estocástico
Minimización de la complacencia esperada:
( � ) � � �� � � �
��
�� �
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Sea
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Se tiene que
��
�� �
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�� �
�
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��
Si� � � �
�� � � �
es infactible.
Diseno optimo de estructuras.– p. 16/30
Ejemplo: distribución discreta
Si ��� � � � � � ��
� � � � �
��� ��
entonces
�
�
� � ���� � � �
��
�� � �
� � � � � � �� �
��
��
� � �
� � � � ��
� � �� � � � �
donde� �� � � � � � � ��
Diseno optimo de estructuras.– p. 17/30
Distribución continua (1/2)
Sea
� � �
v.a. continua con:Media � � �
.Matriz de varianza-covarianza
� � �
.
Entonces
asociada a la media asociada a la dispersión
Diseno optimo de estructuras.– p. 18/30
Distribución continua (1/2)
Sea
� � �
v.a. continua con:Media � � �
.Matriz de varianza-covarianza
� � �
.
Entonces
�
�
� � � �� � � �
��
��
� �� �
asociada a la media
�� � �� � � � �
� �� �
asociada a la dispersión
��
��
� � �
� ��
� � � ��
Diseno optimo de estructuras.– p. 18/30
Distribución continua (2/2)
Sea ��� � ��
la columna
�
-ésima de
�
y
�� � � �� ��
� �� � � � � �� �
� � � �� � � �
.
�� � � � �� �� � � � � �� � � �� � � ��� � � � �
.
�� � � � � � � � � �� .
Se tiene:
( )
( )
Volver al planDiseno optimo de estructuras.– p. 19/30
Distribución continua (2/2)
Sea ��� � ��
la columna
�
-ésima de
�
y
�� � � �� ��
� �� � � � � �� �
� � � �� � � �
.
�� � � � �� �� � � � � �� � � �� � � ��� � � � �
.
�� � � � � � � � � �� .
Se tiene:
(
��� �
) � ��� � ��� �
��� � ��� � �� � � � �� � �� �
(
� � �
) � ����� �� �� � �
� �� � � � �
� � �� � � �� �� ��
Volver al planDiseno optimo de estructuras.– p. 19/30
Ejemplo de juguete
Modelo con una distribución de cargas:
0 0.5 1 1.5 2 2.5−0.5
0
0.5
1
1.5
1 2 3
4 5 6
0 0.5 1 1.5 2 2.5−0.5
0
0.5
1
1.5
Dos modelos estocásticos:
0 0.5 1 1.5 2 2.5−0.5
0
0.5
1
1.5
(a)
0 0.5 1 1.5 2 2.5−0.5
0
0.5
1
1.5
(b)
Diseno optimo de estructuras.– p. 21/30
Ejemplo de juguete
Modelo con una distribución de cargas:
0 0.5 1 1.5 2 2.5−0.5
0
0.5
1
1.5
1 2 3
4 5 6
0 0.5 1 1.5 2 2.5−0.5
0
0.5
1
1.5
Dos modelos estocásticos:
0 0.5 1 1.5 2 2.5−0.5
0
0.5
1
1.5
(a)
0 0.5 1 1.5 2 2.5−0.5
0
0.5
1
1.5
(b)
Diseno optimo de estructuras.– p. 21/30
Torre
−6 −4 −2 0 2 4 6 8 10 12
0
5
10
15
−6 −4 −2 0 2 4 6 8 10 12
0
5
10
15
−6 −4 −2 0 2 4 6 8 10 12
0
5
10
15
Diseno optimo de estructuras.– p. 22/30
Torre
−6 −4 −2 0 2 4 6 8 10 12
0
5
10
15
−6 −4 −2 0 2 4 6 8 10 12
0
5
10
15
−6 −4 −2 0 2 4 6 8 10 12
0
5
10
15
Diseno optimo de estructuras.– p. 22/30
Cúpula (1/3)
Estructura base:
−1
−0.5
0
0.5
1
−1
−0.5
0
0.5
1
0
0.5
1
Diseno optimo de estructuras.– p. 23/30
Cúpula (3/3)
Solución óptima con 2 perturbaciones horizontalesindependientes:
Diseno optimo de estructuras.– p. 25/30
Último ejemplo
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6 −0.2
0
0.2
−0.1
0
0.1
0.2
0.3
0.4
Y
X
Z
Diseno optimo de estructuras.– p. 28/30
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6−0.2
0
0.2
−0.1
0
0.1
0.2
0.3
f
Diseno optimo de estructuras.– p. 29/30
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