doktorsky seminar katedry mechaniky 2010

Paralelnı implementace metody sdruzenych gradientu a vyber fixujıcıch uzlu pro metodu FETI-DP

Paralelnı implementace metody sdruzenychgradientu a vyber fixujıcıch uzlu pro metodu

FETI-DP

Jaroslav Broz

Katedra mechanikyFakulta stavebnıCVUT v Praze

Seminar Katedry mechaniky25. unor 2010

1 Motivace

2 Paralelnı implementace metody sdruzenych gradientu

3 Metoda FETI-DP

4 Zaver a budoucı prace

Motivace

1 Motivace

3 Metoda FETI-DP

Motivace

Geotechnika Mostnı konstrukce Analyza sırenı tepla

Materialovy vyzkumAnalyza chovanıkontejmentu

Vodnı stavby

Paralelnı implementace metody sdruzenych gradientu

1 Motivace

3 Metoda FETI-DP

Iteracnı metoda pro resenı systemu linearnıch rovnic

Matice soustavy musı byt symetricka a positivne definitnı

A ∈ Rnxn, A = AT , ∀v, v 6= 0 : vTAv > 0

Algoritmus CG

Algoritmus metody sdruzenych gradientu

A = AT ∀v, v 6= 0 : vTAv > 0x0 ← 0r0 = b− Ax0d0 = r0i← 0while i ≤ imax || tol < rT

i ri doαi = rT

dTi Adi

ri+1 = ri − αiAdi

xi+1 = xi + αidi

βi =rT

i+1ri+1

rTi ri

di+1 = ri+1 + βidi

i← i + 1end while

Predpodmınenı metody sdruzenych gradientu

Existuje nekolik typu predpodmınenı:

Diagonalnı (Jacobiho) predpodmınenı,

Predpodmınenı nekompletnı faktorizacı matice (LU, LDLT ),

BOSS predpodmınenı.

Predpodmınenı metody sdruzenych gradientu

Algoritmus predpodmınene metody sdruzenych gradientu

A = AT ∀x, x 6= 0 : xTAx > 0x0 ← 0r0 = b− Ax0z0 = C−1r0d0 = z0i← 0while i ≤ imax || tol < rT

i ri doαi = rT

dTi Adi

ri+1 = ri − αiAdi

xi+1 = xi + αidi

zi+1 = C−1ri+1

βi =rT

i+1zi+1

rTi zi

di+1 = zi+1 + βidi

i← i + 1end while

Implementace metody

Zalozena na paralelizaci nasobenı matice vektorem a naskalarnım nasobenı vektoru

Puvodnı oblast rozdelena na nekolik mensıch podoblastı

Implementovana do volne dostupneho programoveho balıkuSIFEL

Pouzito paralelizacnı schema Master - Slave

Knihovna MPICH2 pro mezi-procesorovou komunikaci

Knihovna PETSc pro nekompletnı LU faktorizaci maticepodoblasti pro predpodmınenı

Implementace metody

Paralelnı implementace metody sdruzenych gradientuSrovnanı moznych implementacı

Numericke testy

Numericke testyPocet iteracı vzhledem k celkovemu poctu elementu

Numericke testy

Numericke testyPocet iteracı vzhledem k celkovemu poctu elementu

Numericke testy

Numericke testyNaroky na ulozenı matice podoblasti

Metoda FETI-DP

1 Motivace

3 Metoda FETI-DP

Metoda FETI-DP

Metoda FETI-DPUvod

Metoda FETI-DP (Finite Element Tearing and InterconnectingDual-Primal) publikovana prof. Farhatem a jeho spolupracovnıky

Jedna z metod rozkladu oblasti na podoblasti (angl. DomainDecomposition Method)

Metoda FETI-DP

Odvozenı zakladnıch rovnic metody

Funkcional energie elastickeho telesa

Π (u) =12

∫Ωε (x)T D (x) ε (x) dΩ−

u (x)T b (x) dΩ

−∫

Γtu (x)T t (x) dΓt (1)

ΩΓu Γt

Metoda FETI-DP

Diskretizovany funkcional energie elastickeho telesa

Π (u) =12

uTB (x)T D (x) B (x) udΩ−∫

ΩuTN (x)T N (x) bdΩ

−∫

ΓtuTN (x)T N (x) tdΓt + λTBu (2)

ΩΓu Γt

Γu Γt

Metoda FETI-DP

Definice fixujıcıch uzlu dle puvodnıho clanku prof. Farhata

D1 Prusecıky - uzly nalezejıcı vıce nez dvema podoblastem

D2 Mnozina uzlu umıstena na konci kazde hrany na kazdepodoblasti

D1D2 D2

Metoda FETI-DP

Globalnı vektor fixujıcıch neznamych

ujc...

Definice matic vyberu B

r = ±usbr

Bscuc = us

Metoda FETI-DP

Podmınka spojitosti pole posunutı nahranici podoblastı

λTBu...

usbr,j = uq

usbr,j+1 = uq

br,k+1

usbr,j+2 = uq

br,k+2

· · ·+ λm

br,j − uqbr,k

+λm+1

br,j+1 − uqbr,k+1

+λm+2

br,j+2 − uqbr,k+2

)+ . . .

k+1j+1 m+1

k+2j+2 m+2

Metoda FETI-DP

Minimalizace funkcionalu energie elastickeho telesa

∂Π (u)∂u

ΩB (x)T D (x) B (x) udΩ−

N (x)T N (x) bdΩ

−∫

ΓtN (x)T N (x) tdΓt + BTλ = 0 (6)

∂Π (u)∂λ

=i=Ns∑i=1

BTuj = 0 (7)

Matice tuhosti a vektor zatızenı

K =∫

ΩB (x)T D (x) B (x) dΩ (8)

f =∫

ΩN (x)T N (x) bdΩ−

∫Γt

N (x)T N (x) tdΓt (9)

Metoda FETI-DP

Podmınky rovnovahy na podoblasti

sr + Ks

rcBscuc + BsT

r λ = fsr s = 1, 2, . . . ,Ns (10)

s=Ns∑s=1

rc usr +

s=Ns∑s=1

c KsccBs

cuc =s=Ns∑s=1

c fsbc

= fc (11)

s=Ns∑s=1

r = 0 (12)

Ksrr a Kcc =

s=Ns∑s=1

c KsccBs

c → regularnı (13)

usr = Ks−1

(fsr − BsT

r λ−KsrcBs

Metoda FETI-DP

Hruby problem

(FIrr FIrc

FTIrc−K∗

)(λuc

−f∗c

FIrr =s=Ns∑s=1

BsrKs−1

rr BsT

r FIrc =s=Ns∑s=1

BsrKs−1

rr KsrcBsT

K∗cc = Kcc −

s=Ns∑s=1

(KsrcBs

c)T Ks−1

rr (KsrcBs

c) dr =s=Ns∑s=1

BsrKs−1

rr fsr

f∗c = fc −s=Ns∑s=1

rc Ks−1

rr fsr

Metoda FETI-DP

Redukovany problem na rozhranı

(FIrr + FIrcK

∗−1

cc FTIrc

)λ = dr − FIrcK

∗−1

cc f∗c (16)

Resenı hrubeho problemuMatice soustavy hrubeho problemu je symetricka a positivne definitnı→ Resenı redukovaneho hrubeho problemu pomocı metodysdruzenych gradientu

Metoda FETI-DP

Fixujıcı uzly

Dulezitost vyberu fixujıcıch uzluZajistenı regularity matice podoblasti Ks

Zajistenı regularity matice hrubeho problemu(FIrr FIrc

FTIrc−K∗

)Vhodne vybrane fixujıcı uzly→ male cıslo podmınenosti κmatice hrubeho problemu→ rychlost konvergence resenıhrubeho problemu

Teoreticky mozno vybrat vsechny uzly na rozhranı→ metodaSchurovych doplnku

Metoda FETI-DP

Fixujıcı uzly

Problemy s vyberem fixujıcıch uzlu

Definice z puvodnıho clanku produkuje mnoho fixujıcıch uzlu

Neexistuje zadny program pro vyber fixujıcıch uzlu

Existujı pouze nastroje na rozklad sıte na podoblasti (METIS,JOSTLE, CHACO atd.) - zalozeny na delenı grafu

Problem s interpretacı definice na sıtıch rozdelenych pomocıtechto programu

Omezena data - k dispozici pro vyber je pouze sıt’ konecnychprvku

Metoda FETI-DP

Algoritmus pro vyber fixujıcıch uzlu ve 2D

Definice uzlove multiplicityUzlova multiplicita - pocet podoblastı, na kterych uzel lezı

Definice fixujıcıch uzluUzel s uzlovou multiplicitou > 2→ fixujıcı uzel

Uzel s uzlovou multiplicitou = 2 a jen s jednım sousedem, kteryma uzlovou multiplicitou = 2→ fixujıcı uzel.

Metoda FETI-DP

Definice hranicnıch krivekHranicnı krivka spojuje hranicnı uzly mezi dvema fixujıcımi uzly.

Dalsı fixujıcı uzly mohou byt pridany:Do kazdeho n-teho clena hranicnı krivkyNa konec kazde n-te casti hranicnı krivky

”Integracnı body ” hranicnı krivkyNa nahodnou pozici

Metoda FETI-DP

Numericke testy of Algoritmus for 2D

Numericke testyNepravidelna oblast- Patro

Metoda FETI-DP

PatroVysledky testu - Pocet iteracı vzhledem k poctu fixujıcıch uzlu.

Metoda FETI-DP

PatroVysledky testu - Celkovy cas resenı vzhledem k poctu fixujıcıch uzlu.

Metoda FETI-DP

Definice hranyHrana je definovana hranicnımi uzly, ktere lezı na vıce nez dvoupodoblastech.

Definice plochyPlocha je definovana hranicnımi uzly, ktere lezı prave na dvoupodoblastech.

Metoda FETI-DP

Definice hranyHrana je definovana hranicnımi uzly, ktere lezı na vıce nez dvoupodoblastech.

Definice plochyPlocha je definovana hranicnımi uzly, ktere lezı prave na dvoupodoblastech.

Metoda FETI-DP

Definice fixujıcıch uzluuzel s maximalnı uzlovou multiplictou, nebo krızenı hran→fixujıcı uzel

konec hrany→ fixujıcı uzel

Metoda FETI-DP

Numericky test algoritmu pro vyber fixujıcıch uzlu

Numericky testPravidelna podoblast - Kostka

Metoda FETI-DP

Kostka - 64000 prvkuVysledky testu -Pocet iteracı vzhledem k poctu fixujıcıch uzlu.

Metoda FETI-DP

Kostka - 64000 prvkuVysledky testu - Celkovy cas resenı vzhledem k poctu fixujıcıch uzlu.

Zaver a budoucı prace

1 Motivace

3 Metoda FETI-DP

Zaver a budoucı prace

Provedena paralelnı implementace metody sdruzenych gradientu

Vyvinut algoritmus pro vyber fixujıcıch uzlu pro libovolnou sıt’2D prvku a pro pravidelnou sıt’ 3D prvkuPozorovano nasledujıcı chovanı:

S narustem fixujıcıch uzlu dochazı ke snizovanı poctu iteracı vhrubem problemuVelky pocet fixujıcıch uzlu prodluzuje celkovy cas resenıExistuje optimalnı pocet fixujıcıch uzlu

Budoucı prace: Optimalizace algoritmu, vyvoj algoritmu provyber fixujıcıch uzlu pro libovolne 3D sıte a automaticka volbapoctu fixujıcıch uzlu

Podekovanı

Dekuji Vam za Vasi pozornost.

doktorsky seminar katedry mechaniky 2010

Documents

historia katedry fortepianu 1810-1944

základy mechaniky pevných...

fd Čvut - Ústav mechaniky a materiálů

experimentální metody mechaniky těles

příklady aplikací optimalizačních algoritmů na...

základní pojmy mechaniky...

slabikář analytické mechaniky - novinky · slabikář...

Úlohy z mechaniky ii

historie olomouckÉ katedry psychologie

publikacje pracownikÓw katedry skandynawistyki...

Úlohy z mechaniky i

základy mechaniky, 6 . přednáška

vedeckÝ internetovÝ asopis katedry histÓrie …

učebnice mechaniky pro gymnázium

zpráva o stavu katedry počítačů

základy mechaniky pevných telies - weby na [fbiw.uniza.sk]

sbírka řešených příkladů z mechaniky

základy stavební mechaniky pro architekty pomůcka ke

identifikace vizuÁlnÍ mechaniky porozumĚnÍ textu a...

počítačové metody mechaniky ii -...