dosen pengampuh : meyta dwi kurniasih,...
Post on 10-Nov-2020
9 Views
Preview:
TRANSCRIPT
Page 1
HANDOUT MATA KULIAH
Dosen Pengampuh :
Meyta Dwi Kurniasih, M.Pd.
NAMA : .......................................................................................................
KELAS : .......................................................................................................
NIM : ...........................................................................................................
PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN
UNIVERSITAS MUHAMMADIYAH PROF DR HAMKA JAKARTA- 2015
Kata Pengantar
Puji syukur kami panjatkan ke hadirat Allah SWT atas karunia dan hidayah-Nya, kami
dapat menyusun bahan ajar modul manual untuk mahasiswa Pendidikan Matematika,
yakni mata kuliah Statistika Matematika. Handout yang disusun ini berdasarkan silabus
perkuliahan Program Linier yang berlaku di Universitas Muhammadiyah Prof. DR.
HAMKA.
Prasyarat mengikuti mata kuliah Program Linier ini adalah lulus mata kuliah Aljabar
Linier. Deskripsi mata kuliah ini adalah formulasi model-model optimasi linier,
representasi aljabar dan geometri, metode simpleks, uji kesensitivitasan dan duaalitas,
transportasi serta analisis pasca optimum.
Penyusunan handout ini tidak lepas dari dorongan semua pihak baik berupa moril
maupun materil yang tidak dapat kami sebutkan satu persatu, terutama pada seluruh
keluarga besar Program Studi Pendidikan Matematika.
Kami menyadari masih banyak kekurangan atas modul ini, oleh sebab itu kritik dan
saran terhadap penyempurnaan modul ini kami harapkan.
Demikian, semoga modul ini dapat bermanfaat bagi semua, khususnya mahasiswa
Pendidikan Matematika FKIP UHAMKA.
Jakarta, Maret 2015
Penyusun,
Meyta Dwi Kurniasih, M.Pd.
Meyta Dwi Kurniasih, M.Pd. P. Matematika UHAMKA
iii
Daftar Isi
Kata Pengantar........................................................................................................................................................ii
Dafta Isi......................................................................................................................................................................iii
BAB I Model Matematika ....................................................................................................................................1
A. Pendahuluan......................................................................................................................................1
B. Definisi Pemprograman Linier..................................................................................................1
C. Ide Dasar Program Linier.............................................................................................................1
D. Karakteristik Pemprograman Linier.......................................................................................2
E. Formulasi Masalah Pemprograman Linier...........................................................................3
F. Soal Latihan........................................................................................................................................3
BAB II Pendekatan Geometris ..........................................................................................................................8
A. Metode Grafik dengan Dua Variabel.......................................................................................8
B. Metode Grafik dengan Tiga Variabel....................................................................................19
BAB III Analisis Simpleks..................................................................................................................................24
A. Pengantar Simpleks.....................................................................................................................24
B. Metode Pemecahan Dasar (Basis).........................................................................................26
C. Simpleks dengan Tabel Berkolom Variabel Dasar..........................................................28
D. Membaca Tabel Optimal............................................................................................................32
E. Soal Latihan.....................................................................................................................................33
BAB IV Metode Simpleks I ...............................................................................................................................36
A. Metode M Charnes........................................................................................................................36
B. Metode Simpleks Fase 1.............................................................................................................38
C. Soal Latihan.....................................................................................................................................40
BAB V Metode Simpleks II ...............................................................................................................................44
A. Langkah-langkah Metode Simpleks 2 Fase........................................................................44
B. Contoh Soal......................................................................................................................................44
C. Soal Latihan.....................................................................................................................................46
BAB VI Primal, Dual dan Kemerosotan ......................................................................................................53
A. Primal dan Dual.............................................................................................................................53
B. Kemerosotan...................................................................................................................................60
Meyta Dwi Kurniasih, M. Pd. Pemrograman Linier
iv
C. Soal Latihan.....................................................................................................................................61
BAB VII Model Transportasi ...........................................................................................................................67
A. Pendahuluan...................................................................................................................................67
B. Formulasi Model Matematika..................................................................................................68
C. Pendekatan Model Transportasi............................................................................................70
D. Skenario Model Transportasi..................................................................................................78
E. Langkah-langkah Penyelesaian...............................................................................................78
F. Contoh Soal......................................................................................................................................80
G. Soal Latihan.....................................................................................................................................84
Daftar Pustaka......................................................................................................................................................92
BAB I Model Matematika
A. Pendahuluan
Program linier (Linier Programming) merupakan pengembangan lebih lanjut dari
konsep-konsep aljabar linier. Model ini dikembangkan oleh George B. Dantzig, seorang
matematikawan AS tahun 1947. Benih- benih model ini sesungguhnya sudah
ditemukan jauh sebelumnya. Seorang matematisian Rusia bernama L.V. Kontrovich
memperkenalkan penerapan program linier dalam bidang produksi tahun 1939. Lebih
dari seabad sebelumnya tahun 1928, Fourier asal Perancis juga telah merumuskan
masalah program linier. Akan tetapi baru setelah Dantzig mengembangkan dan
mempopulerkannya, model ini memperoleh perhatian yang berarti. Dantzig pulalah
yang dikenal dunia sebagai “Bapak Program Linier.”
B. Definisi Pemprograman Linier
Pemprograman linier adalah metode matematik dalam mengalokasikan sumber
daya yang terbatas untuk mencapai suatu tujuan seperti memaksimalkan keuntungan
atau meminimummkan biaya. Program linier berkaitan dengan penjelasan suatu kasus
dalam dunia nyata sebagai suatu model matematik yang terdiri dari sebuah fungsi
tujuan linier dengan beberapa kendala linier (Taha, 1993).
Semula model program linier dimanfaatkan dibidang kemiliteran, khususnya
oleh Angkatan Udara AS (USAF), untuk merencanakan dan memecahkan masalah-
masalah logistik di masa perang. Kini penggunaan program linier sudah sangat meluas
terutama di bidang bisnis. Selain itu banyak digunakan untuk menyelesaikan masalah
optimasi didalam industri, perbankan, pendidikan, dan masalah-masalah lain yang
dapat dinyatakan dalam bentuk linier.
C. Ide Dasar Program Linier
Telah disampaikan sebelumnya bahwa program linier adalah suatu model
optimasi persamaan linier berkenaan dengan kendala-kendala linier yang dihadapinya
Meyta Dwi Kurniasih, M.Pd. Pendidikan Matematika UHAMKA
2
Masalah program linier berarti adalah masalah pencarian nilai-nilai optimum
(maksimum atau minimum) sebah fungsi linier pada suatu sistem atau sehimpun
kendala linier. Fungsi linier yng hendak dicari nilai optimumnya, berbentuk sebuah
persamaan, disebut fungsi tujuan, sedangkan fungsi-fungsi linier yang harus
terpenuhi dalam optimasi fungsi tujuan tadi, dapat berbentuk persamaan atau
pertidaksamaan, disebut fungsi kendala.
Agar suatu masalah optimasasi dapat diselesaiakan dengan program linier, ada
beberapa syarat yang harus dipenuhi :
1. Masalah itu harus dapat diubah menjadi permasalahan matematis. Ini berarti
bahwa masalah tadi harus bisa dituangkan kedalam bentuk model matematik,
dalam hal ini model linier, baik berupa persamaan atau pertidaksamaan.
2. Keseluruhan sistem permasalahan harus dapat dipilih-pilih menjadi satuan-
satuan aktivitas, misal : di mana dan adalah aktivitas.
3. Masing-masing aktivitas hars dapat ditentukan dengan tepat, baik jenis
maupun letaknya dalam model program linier.
4. Setiap aktivitas harus dapat dikualivikasikan sehingga masing-masing
nilainya dapat dihitung dan dibandingkan.
Dengan demikian di dalam suatu masalah program linier dapat dilakukan
langkah sebagai berikut :
1. Menentukan aktivitas
2. Menentukan sumber-sumber (masukan)
3. Menghitung jumlah mtas
4. Masukan dan keluaran untuk setiap satuan aktivitas
5. Merumuskan model, yakni membentuk fungsi tujuan dan fungsi-fungsi
kendala.
D. Karakteristik Program Linier
1. Sifat linieritas suatu kasus dapat ditentukan dengan menggunakan beberapa
cara. Secara statistik, cara ini dapat diperiksa kelinieran menggunakan grafik
(diagram pencar).
2. Sifat proposional dipenuhi jika kontribusi setiap variabel pada fungsi tujuan
atau penggunaan sumber daya yang membatasi proposional terhadap level nilai
variabel. Jika harga per unit produk misalnya adalah sama berapa pun jumlah
yang dibeli, maka sifat proposional dipenuhi. Atau jika pembelian dalam jumlah
Handout Program Linier : Model Matematika
3
besar mendapatkan diskon, maka sifat proposional tidak dipenuhi. Jika
penggunaan sumber daya per unit tergantung dai jumlah yang diproduksi,
maka sifat proposional tidak dipenuhi.
3. Sifat additivitas mengasumsikan bahwa tidak ada bentuk perkalian silang
diantara berbagai aktivitas, sehingga tidak dapat ditemukan bentuk perkalian
silang pada model. Sifat aditivitas berlaku baik bagi sifat tujuan maupun
pembatas (kendala). Sifat aditivitas dipenuhi jika fungsi tujuan merupakan
penambahan langsung kontribusi masing-masing variabel keputusan.
4. Sifat divisiabel berarti unit aktivitas dapat dibagi dalam sembarang level
fraksional, sehingga nilai variabel keputusan non integer dimungkinkan
5. Sifat kepastian menunjukkan bahwa semua parameter model berupa konstanta.
Artinya koefisien fungsi tujuan maupun fungsi pembatas merupakan suatu nilai
pasti, bukan merupakan nilai dengan peluang tertentu.
E. Formulasi permasalahan
☺ Masalah keputusan yang sering dihadapi analis adalah alokasi optimum sumber
daya.
☺ Sumber daya dapat berupa uang, tenaga kerja, bahan mentah, kapasitas mesin,
waktu, ruangan atau teknologi.
☺ Tugas analis adalah mencapai hasil terbaik dengan keterbatasan sumber daya
itu.
☺ Setelah masalah diidentifikasikan, tujuan ditetapkan, langkah selanjutnya
adalah formulasi model matematik.
☺ Formulasi model matematik .
F. Soal Latihan :
Buatlah model matematik dari setiap permasalahan berikut:
1. Seorang penjahit mempunyai bahan 60 m woll dan 40 m katun, dari bahan tersebut
ia akan membuat setelan jas dan rok untuk di jual. Satu stel jas memerlukan 3 m
woll dan 1 m katun. Sedangkan satu rok memerlukan 2 m woll dan 2 m katun.
Berapa stel jas dan rok yang harus penjahit tersebut buat agar mendapat
Aktivitas 1
Meyta Dwi Kurniasih, M.Pd. Pendidikan Matematika UHAMKA
4
keuntungan sebesar- besarnya. Bila satu stel jas Rp. 1.500.000 dan 1 stel rok
Rp.1.000.000?
Jawab :
..................................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................................
2. Seorang anak diharuskan meminum dua jenis obat setiap hari. Obat jenis I
mengandung 5 unit vitamin A dan 3 unit vitamin B. Sedangkan obat jenis II
mengandung 10 unit vitamin A dan 1 unit vitamin B. Dalam satu hari anak itu
memerlukan 20 unit vitamin A dan 5 unit vitamin B. Jika harga obat jenis I Rp.
400 dan obat jenis II Rp. 800 per biji. Susunlah model matematikanya dan
fungsi sasaran agar pengeluaran sekecil mungkin?
Jawab :
..................................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................................
................................................................................................................................... ...............................
..................................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................... ........
..................................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................................
3. Seorang petani besar memiliki tanah seluas 50 ha. yang akan ditanami padi,
jagung dan kedelai. Untuk mengelola tanahnya ini dia memiliki modal sebesar
Rp 6.000.000,- untuk biaya persiapan penanaman.Ketiga jenis tanaman ini
Handout Program Linier : Model Matematika
5
memerlukan tenaga kerja, biaya dan memberikan keuntungan masing-masing
sebagai berikut :
Susunlah model matematikanya dan fungsi sasaran agar pendapatan sebesar
mungkin?
Jawab :
..................................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................................
4. Seorang ahli pertanian ingin mencampur dua jenis pupuk dengan memberikan
15 g kalium karbonat, 20 g nitrat dan 24 g fosfat seminimal mungkin pada suatu
takaran. Satu takaran pupuk merek I yang harganya Rp. 75.000 per bungkus
memerlukan 3 g kalium karbonat, 1 g nitrat dan 1 g fosfat. Pupuk merek II yang
harganya Rp. 60.000 per bungkus memerlukan 1 g kalium karbonat, 5 g nitrat
dan 2 g fosfat. Susunlah model matematikanya dan fungsi sasaran agar
pengeluaran sekecil mungkin?
Jawab :
..................................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................................
Tanaman Orang hari/ ha Biaya/ ha (Rp) Keuntungan/ ha (Rp)
Padi 6 100.000 60.000
Jagung 8 150.000 100.000
Kedelai 10 120.000 80.000
Meyta Dwi Kurniasih, M.Pd. Pendidikan Matematika UHAMKA
6
5. PT. “WAHYU” mempunyai 600 orang pegawai dan menghadapi persoalan untuk
mengurangi biaya- biaya umum. Tiap pegawai mendapat penggantian ongkos
jalan Rp 50,- per hari. Untuk menggurangi biaya transportasi ini, direncanakan
untuk membeli sejumlah micro bus dan bus yang masing-masing dapat memuat
15 dan 40 orang untuk antar jemput pegawai. Untuk itu perusahaan
menyediakan dana dalam jumlah terbatas, masing-masing untuk maintanance
kendaraan Rp 225.000,- per bulan dan bensin 450 liter per hari. Selanjutnya dari
tiap kendaraan diketahui :
Keterangan Micro Bus Bus Maintanance per bulan (Rp) 7.500 10.000
Pemakaian bensin (liter) 10 30 Tentukan model matematika dari masalah di atas, jika Micro Bus memiliki life
time yang relatif lebih panjang dari Bus!
Jawab :
..................................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................................
Dari kelima masalah di atas, apakah perbedaan dari setiap
masalah tersebut!
...........................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................
Aktivitas 2
Handout Program Linier : Model Matematika
7
Tentukan langkah- langkah dalam membuat model
matematika dari sebuah masalah program liner!
...........................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................................... ..
...........................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................
Tanggal Nilai Paraf Dosen
Aktivitas 3
BAB II Pendekatan Geometris
Bab ini akan dibahas upaya menganalisis persoalan program linier dua variabel
atau tiga variabel dengan pendekatan geometris atau metode grafik. Program linier
adalah teknik analisis kuantitatif yang tergabung dalam penelitian operasional.
Analisis kualitatif maksudnya proses pengembangan secara bertahap dan sistematis
dengan memperhatikan tiga tahap yaitu: (1) identifikasi persoalan dan penyusunan
model matematika, (2) analisis model, dan (3) merumuskan kesimpulan dan
implementasi hasil. Berikut beberapa cara penyelesaian masalah progran linier
dengan metode grafik..
A. Metode Grafik dengan Dua Variabel
Ada metode untuk mengidentifikasi solusi optimum pada ruang/ daerah feasible
yaitu metode kesamaan garis (isoline) dan metode titik ekstrim.
1.1. Langkah- langkah penyelesaian masalah program linier dengan
Metode Isoline :
1. Tentukan kemiringan garis fungsi tujuan (merupakan himpunan infinitif dari
isoline).
Pilihlah dua titik tertentu di daerah feasible
Gambarlah garis fungsi tujuan yang mengenai titik-titik tersebut
2. Tentukan arah peningkatan (penurunan) dari fungsi tujuan persoalan
maksimum (minimum). Pilihlah dua garis (isoline) fungsi tujuan di daerah
feasible dan evaluasi nilai fungsi tujuan pada kedua garis isoline tersebut.
3. Ikuti arah peningkatan atau penurunan sampai mencapai titik batas (sudut)
dimana peningkatan atau penurunan dari fungsi tujuan keluar dari daerah
feasible
4. Solusi optimum diperoleh dari titik batas di mana peningkatan atau penurunan
dari fungsi tujuan (Z) akan meninggalkan daerah feasible.
Handout Program Linier : Pendekatan Geometris
9
1.2. Langkah- langkah penyelesaian masalah program linier dengan
Metode Titik Ekstrim
1. Tentukan interseksi dari semua daerah feasible yang didefinisikan
semua pembatasan sehingga diperoleh daerah feasible.
2. Tentukan titik ekstrim (sudut) dari daerah feasible. Setiap titik
ekstrim merupakan titik interseksi dari dua pembatasan linier.
3. Tentukan nilai fungsi tujuan (Z) pada setiap titik ekstrim daerah
feasible. Solusi optimum terletak pada salah satu titik ekstrim
daerah feasible
1.3. Contoh Soal :
1. Nilai maksimum fungsi sasaran 8 6Z x y dengan syarat
4 2 60;2 4 48; 0; 0x y x y x y adalah ....
Penyelesaian :
Fungsi tujuan → 8 6maksZ x y
a. Jadikan setiap kendala menjadi bentuk persamaan
4 2 60x y → 2 30x y
2 4 48x y → 2 24x y
b. Buat grafik untuk setiap kendala dan tentukan daerah penyelesaiannya
(HP):
Fungsi Kendala Titik potong terhadap sumbu
Titik potong terhadap sumbu
2 30x y
2 24x y
Meyta Dwi Kurniasih, M.Pd. Pendidikan Matematika UHAMKA
10
c. Dari grafik diatas garis I : 2 30x y dan garis II : 2 24x y . Dengan
menggunakan metode titik ekstrim, setelah menentukan himpunan
penyelesaian (HP) lalu tentukan titik-titik terluar/ titik ekstrim di dapat
seperti tabel berikut :
d. Ditentukan nilai maksimumnya adalah 132 pada titik (12, 6).
Dengan menggunakan Metode Isoline :
( , )x y 8 6Z x y
(0, 12) (12, 6) (15, 0)
72 132 120
Handout Program Linier : Pendekatan Geometris
11
2. Nilai maksimum dari ( , ) 2 3f x y x y pada himpunan penyelesaian sistem
pertidaksamaan: 3 2 24x y ; 2 8x y ; , 0x y adalah …..
Penyelesaian :
Fungsi tujuan : 2 3maksZ x y
a. Jadikan setiap kendala menjadi bentuk persamaan
3 2 24x y → 3 2 24x y
2 8x y → 2 8x y
b. Buat grafik untuk setiap kendala dan tentukan daerah penyelesaiannya
Fungsi Kendala Titik potong terhadap sb Titik potong terhadap sb
3 2 24x y .... ....
2 8x y .... ....
c. Dari grafik diatas garis I : 2 8x y dan garis II : 3 2 24x y . Setelah
menentukan himpunan penyelesaian (HP) lalu tentukan titik-titik terluar di
dapat seperti tabel berikut :
Meyta Dwi Kurniasih, M.Pd. Pendidikan Matematika UHAMKA
12
d. Ditentukan nilai maksimumnya adalah .... pada titik (....,....)
3. Nilai maksimum dari 20 8Z x untuk dan yang memenuhi ,
, , dan adalah ….
Penyelesaian :
Fungsi tujuan : ....maksZ
a. Jadikan setiap kendala menjadi bentuk persamaan
→ ....
→ ....
b. Buat grafik untuk setiap kendala dan tentukan daerah penyelesaiannya
(HP)
( , )x y 2 3maksZ x y
(0, 4) ....
(4, 6) ....
(8, 0) ....
Handout Program Linier : Pendekatan Geometris
13
c. Dari grafik diatas setelah menentukan himpunan penyelesaian (HP) lalu
tentukan titik-titik terluar
Titik Potong 20x + 8
.... ....
.... ....
.... ....
.... ....
d. Jadi, nilai maksimumnya adalah ....
1.4. Soal Latihan
Petunjuk : Diskusikan dengan kelompokmu soal-soal dibawah ini,
kemudian buat langkah-langkah penyelesaiannya!
Isilah kolom di bawah ini!
No. Sistem pertidaksamaan Grafik
1.
0,
1232
2
yx
yx
yx
Aktivitas 1
Meyta Dwi Kurniasih, M.Pd. Pendidikan Matematika UHAMKA
14
No. Sistem pertidaksamaan Grafik
2.
0
3 5 15
, 0
x y
x y
x y
3.
Handout Program Linier : Pendekatan Geometris
15
Petunjuk : Kerjakan soal-soal berikut beserta langkah-langkah
penyelesaiannya!
1. Nilai minimum dari -2x - 4y – 6 = 0 untuk x dan y yang memenuhi
da
adalah....
Jawaban
Aktivitas 2
Meyta Dwi Kurniasih, M.Pd. Pendidikan Matematika UHAMKA
16
2. Sebuah pabrik baku akan memproduksi buku jenis polos dan buku jenis
bergaris. Dalam satu hari pabrik itu paling banyak memproduksi 1000 buku.
Dari bagian penjualan diperoleh keterangan bahwa tiap hari terjual tidak lebih
dari 800 buku polos dan 600 buku bergaris. Keuntungan tiap buku jenis polos
adalah Rp.100,00 dan bergaris adalah Rp.150,00. Berapakah keuntungan
bersih sebesar-besarnya yang dapat diperoleh tiap hari ? Berapa banyak buku
polos dan bergaris yang harus diproduksi tiap hari !
Jawaban :
Handout Program Linier : Pendekatan Geometris
17
3. Luas daerah parkir 1.760 m2. Luas rata-rata untuk mobil kecil 4 m2 dan mobil
besar 20 m2. Daya tampung maksimum hanya 200 kendaraan, biaya parkir
mobil kecil Rp. 2000/jam dan mobil besar Rp. 3000/jam. Jika dalam satu jam
terisi penuh dan tidak ada kendaraan yang pergi dan datang. Tentukan hasil
pendapatan maksimum tempat parkir tersebut!
Jawaban :
Meyta Dwi Kurniasih, M.Pd. Pendidikan Matematika UHAMKA
18
Dari diskusi yang telah kalian lakukan, tentukan langkah-
langkah dalam menyelesaikan sebuah masalah program linier
dengan metode grafik!
....................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................
Tanggal Nilai Paraf Dosen
Aktivitas 3
Handout Program Linier : Pendekatan Geometris
19
B. Metode Grafik dengan Tiga Variabel
2.1. Soal Latihan
Diskusikan dengan kelompokmu soal-soal berikut ini, kemudian
buat langkah-langkah penyelesaiannya!
No. Sistem
pertidaksamaan Grafik
1.
4 3 2 12
2 4 3 12
, , 0
x y z
x y z
x y z
2.
Aktivitas 1
Meyta Dwi Kurniasih, M.Pd. Pendidikan Matematika UHAMKA
20
Kerjakan soal-soal berikut dan langkah-langkah penyelesaiannya!
1. Nilai maksimum dari pada himpunan
penyelesaian sistem pertidaksamaan ;
; , adalah ...
Jawaban :
Aktivitas 2
Handout Program Linier : Pendekatan Geometris
21
2. Nilai minimum dari untuk x dan y yang memenuhi
; ; ;
adalah....
Jawaban :
Meyta Dwi Kurniasih, M.Pd. Pendidikan Matematika UHAMKA
22
3. Suatu perusahaan manufaktur menghentika salah satu produk yang tidak
menguntungkan. Penghentian ini menghasilkan kapasitas produksi yang
menganggur (berlebih). Kelebihan kapasitas produksi ini oleh manajeman
sedang dipertimbangkan untuk di alokasikan ke salah satu atau ke semua
produk yang dihasilkan (produk 1, 2 dan 3). Kapasitas yang tersedia pada
mesin yang mungkin akan membatasi output diringkas pada tabel berikut:
Tipe Mesin Waktu yang dibutuhkan produk pada masing-masing mesin (jam)
Waktu yang tersedia (jam per minggu)
Produk 1 Produk 2 Produk 3
Mesin milling 9 3 5 500
Lathe 5 4 0 350
Grinder 3 0 2 150
Bagian penjualan mengidentifikasi bahwa penjualan potensial pada produk 1
dan 2 tidak akan melebihi laju produksi maksimum dan penjualan potensial
untuk produk 3 adalah 20 unit per minggu. Keuntungan per unit masing-
masing produk secara berturut-turut adalah $50, $20 dan $25. Formulasi
masalah di atas ke dalam model matematik? Dan tentukan banyak produksi
masing-masing produk agar keuntungan maksimal!
Jawaban :
Handout Program Linier : Pendekatan Geometris
23
Dari diskusi yang telah kalian lakukan, tentukan langkah- langkah
dalam menyelesaikan sebuah masalah program linier dengan
metode grafik 3 variabel!
.....................................................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................... ...........................
.....................................................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................................... ............
Tanggal Nilai Paraf Dosen
Aktivitas 3
BAB III Analisis Simpleks
A. Pengantar Simpleks
Salah satu teknik penentuan solusi optimal yang digunakan dalam
pemrograman linier adalah metode simpleks. Penentuan solusi optimal
menggunakan metode simpleks didasarkan pada teknik eleminasi Gauss Jordan.
Penentuan solusi optimal dilakukan dengan memeriksa titik ekstrim satu per satu
dengan cara perhitungan iteratif. Sehingga penentuan solusi optimal dengan
simpleks dilakukan tahap demi tahap yang disebut dengan iterasi. Iterasi ke-i
hanya tergantung dari iterasi sebelumnya (i-1).
Dapat disimpulkan juga bahwa metode simplek adalah Suatu metode yang
secara sistematis di mulai dari suatu pemecahan dasar yang fleksibel ke
pemecahan dasar yang fisibel lainnya dan ini di lakukan berulang- ulang (dengan
jumlah ulangan yang terbatas) sehingga tercapai sesuatu pemecahan dasar yang
optimum dan pada setiap step menghasilkan suatu nilai dari fungsi tujuan yang
selalu lebih besar atau sama dari step- step sebelumnya.
Ada beberapa istilah yang sangat sering digunakan dalam metode simpleks,
diantaranya :
1. Iterasi adalah tahapan perhitungan dimana nilai dalam perhitungan itu
tergantung dari nilai tabel sebelumnya.
2. Variabel non basis adalah variabel yang nilainya diatur menjadi nol pada
sembarang iterasi. Dalam terminologi umum, jumlah variabel non basis selalu
sama dengan derajat bebas dalam sistem persamaan.
3. Variabel basis merupakan variabel yang nilainya bukan nol pada sembarang
iterasi. Pada solusi awal, variabel basis merupakan variabel slack (jika fungsi
kendala merupakan pertidaksamaan ≤ ) atau variabel buatan (jika fungsi
kendala menggunakan pertidaksamaan ≥ atau =). Secara umum, jumlah
variabel basis selalu sama dengan jumlah fungsi pembatas (tanpa fungsi non
negatif).
4. Solusi atau nilai kanan merupakan nilai sumber daya pembatas yang masih
tersedia. Pada solusi awal, nilai kanan atau solusi sama dengan jumlah sumber
Handout Program Linier : Analisis Simpleks
25
daya pembatas awal yang ada, karena aktivitas belum dilaksanakan.
5. Variabel slack adalah variabel yang ditambahkan ke model matematik
kendala untuk mengkonversikan pertidaksamaan ≤ menjadi persamaan (=).
Penambahan variabel ini terjadi pada tahap inisialisasi. Pada solusi awal,
variabel slack akan berfungsi sebagai variabel basis.
6. Variabel surplus adalah variabel yang dikurangkan dari model matematik
kendala untuk mengkonversikan pertidaksamaan ≥ menjadi persamaan (=).
Penambahan ini terjadi pada tahap inisialisasi. Pada solusi awal, variabel
surplus tidak dapat berfungsi sebagai variabel basis.
7. Variabel buatan adalah variabel yang ditambahkan ke model matematik
kendala dengan bentuk ≥ atau = untuk difungsikan sebagai variabel basis
awal. Penambahan variabel ini terjadi pada tahap inisialisasi. Variabel ini
harus bernilai 0 pada solusi optimal, karena kenyataannya variabel ini tidak
ada. Variabel hanya ada di atas kertas.
8. Kolom pivot (kolom kerja) adalah kolom yang memuat variabel masuk.
Koefisien pada kolom ini akn menjadi pembagi nilai kanan untuk menentukan
baris pivot (baris kerja).
9. Baris pivot (baris kerja) adalah salah satu baris dari antara variabel basis
yang memuat variabel keluar.
10. Elemen pivot (elemen kerja) adalah elemen yang terletak pada perpotongan
kolom dan baris pivot. Elemen pivot akan menjadi dasar perhitungan untuk
tabel simpleks berikutnya.
11. Variabel masuk adalah variabel yang terpilih untuk menjadi variabel basis
pada iterasi berikutnya. Variabel masuk dipilih satu dari antara variabel non
basis pada setiap iterasi. Variabel ini pada iterasi berikutnya akan bernilai
positif.
12. Variabel keluar adalah variabel yang keluar dari variabel basis pada iterasi
berikutnya dan digantikan oleh variabel masuk. Variabel keluar dipilih satu
dari antara variabel basis pada setiap iiterasi. Variabel ini pada iterasi
berikutnya akan bernilai nol.
Meyta Dwi Kurniasih, M.Pd. Pendidikan Matematika UHAMKA
26
B. Metode Pemecahan Dasar (Basis) atau Simplek 1
2.1. Langkah-langkah :
1. Fungsi kendala dengan pertidaksamaan ≤ dalam bentuk umum, dirubah
menjadi persamaan (=) dengan menambahkan satu variabel slack (yaitu u, v,
dan w)
2. Menentukan variabel basis dan variabel non basis. Menentuka keterangan
Layak/ Tidak Layak dan menentukan nilai Z untuk variabel yang Layak,
dimana :
Layak (L) karena memenuhi syarat nilai variabel non-negatif
Tidak Layak (TL) karena ada variabel yang bernilai negatif.
3. Nilai Z bernilai Layak merupakan daerah penyelesaian, menentukan nilai Z
sesuai dengan yang di tuju (nilai maksimum atau minimum)
2.2. Contoh Soal
1. Nilai maksimum dari ( , ) pada himpunan penyelesaian system
pertidaksamaan ....
≤ ≤ ≤ ( , , , , )
1. , ,
2. , , , ,
3. , , , , ,
4.
5. , , , , ,
6. , , , , ,
7. , , , , , ,
8. ,
,
9. , , , , , ,
10. , , , , ,
Handout Program Linier : Analisis Simpleks
27
Jadi dari data table diatas maka nilai maksimumnya adalah 60 pada titik (10,0) 2. Untuk (x,y) yang memenuhi , , ≤ , maka
nilai maksimum untuk ( , ) adalah . . .
Jawab: ( , , , , )
No Variabel Variabel non Basis
Ket Titik
1 , , TL
2 , , TL
3 , , TL
4 , , TL
5 , , L ( , ) ....
6 , , L ( , ) ....
7 , , L ( , ) ....
8 , , L ( , ) ....
9 , , TL
10 , , L ( , ) ....
Meyta Dwi Kurniasih, M.Pd. Pendidikan Matematika UHAMKA
28
No Variabel Basis Variabel Non Basis
Ket Titik
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Jadi dari data diatas nilai maksimumnya adalah .... pada titik ( .......................)
C. Simpleks dengan Tabel Berkolom Variabel Dasar (VD)
3.1. Langkah- langkah mengerjakan :
1. Rumuskan dan standarisasi modelnya
Optimumkan :
0...2211 nn xcxcxcz
Terhadap :
11 1 12 2 1n 1 1
mnm1 1 m2 2
a a ... a
..
a a ... a
n
n n n
x x x s b
x x x s b
Dari dua contoh soal di atas, bagaimana cara menentukan banyaknya penyelesaian dasar ?
................................................................................................................................................................................
Handout Program Linier : Analisis Simpleks
29
2. Bentuk table awal VD
VD Z 1x 2x … nx 1S 2S … nS NK
Z 1 1c 2c … nc 0 0 … 0 0
1s 0 11a 12a … 1na 0 1 … 0 1b
2s 0 21a 22a … 2na 1 0 … 0 2b
… … … … … … … … … … …
ms 0 m1a m2a … mna 0 0 … 1 nb
3. Tentukan “variable pendatang” (entering variable) yaitu kolom kunci
4. Menentukan “variable perantau” (leaving variable) yaitu baris kunci
5. Memasukkan variable pendatang ke kolom VD
Transformasi baris kunci :
Transformasi baris-baris yang lain :
6. Pengujian optimalisasi
Jika semua baris dasar baris-Z sudah tidak ada lagi yang negatif→max
Jika semua baris dasar baris-Z sudah tidak ada lagi yang positif→min
Berarti sudah cukup (SELESAI)
3.2. Contoh Soal:
1. Maksimum
Pembatas:
≤
≤
,
Penyelesaian :
Optimumkan :
Baris kunci baru =
Baris baru = baris lama – (baris pada kolom kunci x baris kunci baru)
Meyta Dwi Kurniasih, M.Pd. Pendidikan Matematika UHAMKA
30
Kendala :
Tabel Awal
VD Z NK r
Z 1 -3 -5 0 0 0 -
0 1 2 1 0 10 5
0 3 1 0 1 10 10
Tabel 1
VD Z NK r
Z 1
0
0 25 -
0
1
0 5 10
0
0
1 5 2
Tabel 2
VD Z NK
Z 1 0
26
0 1
4
0 0
2
Pada baris Z sudah tidak ada nilai negatif (kasus maksimum) maka iterasi
selesai. Didapat : untuk nilai dan dimana semua
sumber daya habis terpakai.
2. Maksimum
Pembatas:
≤
≤
≤
Handout Program Linier : Analisis Simpleks
31
,
Penyelesaian:
Optimumkan:
Kendala :
Tabel Awal
VD Z NK r
Z
Tabel 1
VD Z NK
Z
Meyta Dwi Kurniasih, M.Pd. Pendidikan Matematika UHAMKA
32
D. Membaca Tabel Optimal
Membaca tabel optimal adalah bagian penting bagi pengambil keputusan.
Ada beberapa hal yang bisa dibaca dari table optimal :
1. Solusi optimal variable keputusan
2. Status sumber daya
3. harga bayangan (shadow prices).
Menggunakan table optimal :
VD x1 x2 x3 s1 s2 s3 NK
Z 0 0 4 0 5/3 2/3 31/3
s1 0 0 4/3 1 -1/9 -1/9 7/9
x2 0 1 8/3 0 7/9 -2/9 5/9
x1 1 0 -2 0 -2/3 1/3 2/3
1. Solusi optimal
,
, dan
, artinya untuk mendapatkan
keuntungan maksimum sebesar $
, maka perusahaan sebaiknya
menghasilkan produk 1 sebesar
unit dan produk 2 sebesar
unit.
2. Status sumber daya :
Sumber daya pertama dilihat dari keberadaan variable basis awal
dari setiap fungsi kendala pada table optimal. Dalam kasus di atas,
untuk fungsi kendala pertama periksa keberadaan S1 pada variable
basis table optimal. Periksa keberadaan S2 pada variable basis table
optimal untuk fungsi kendala kedua. Periksa keberadaan S3 pada
variable basis table optimal untuk fungsi kendala ketiga.
S1 =
. Sumber daya ini disebut berlebih (abundant)
S2 = S3 = 0. Kedua sumber daya ini disebut habis terpakai (scarce).
3. Harga bayangan :
Harga bayangan dilihat dari koefisien variable slack atau surplus
pada baris fungsi tujuan.
Koefisien S1 pada baris fungsi tujuan table optimal = 0, dengan
demikian harga bayangan sumber daya pertama adalah 0
Handout Program Linier : Analisis Simpleks
33
Koefisien S2 pada baris fungsi tujuan table optimal =
, dengan
demikian harga bayangan sumber daya kedua adalah
Koefisien S3 pada baris fungsi tujuan table optimal =
, dengan
demikian harga bayangan sumber daya kedua adalah
.
E. Soal Latihan
Tentukan solusi setiap masalah berikut dengan
menggunakan metode simpleks, serta berikan
kesimpulannya!
1. Suatu perusahaan menghasilkan dua produk, meja dan kursi yang diproses melalui dua
bagian fungsi: perakitan dan pemolesan. Pada bagian perakitan tersedia 60 jam kerja
sedangkan pada bagian pemolesan hanya 48 jam kerja. Untuk menghasilkan 1 meja
diperlukan 4 jam kerja perakitan dan 2 jam kerja pemolesan, sedangkan untuk
menghasilkan 1 kursi diperlukan 2 jam kerja perakitan dan 4 jam kerja pemolesan.
Laba untuk setiap meja dan kursi yang dihasilkan masing-masing Rp. 80.000 dan
Rp.60.000;. berapa jumlah meja dan kursi yang optimal dihasilkan?
Jawaban :
Aktivitas 1
Meyta Dwi Kurniasih, M.Pd. Pendidikan Matematika UHAMKA
34
2. Pesawat penumpang mempunyai tempat duduk 48 kursi setiap penumpang
kelas utama boleh membawa bagasi 60 kg, sedangkan kelas ekonomi 20 kg.
Pesawat hanya dapat membawa bagasi 1.440 kg, harga tiket kelas utama Rp.
1.500.000 dan kelas ekonomi Rp.1.000.0000, supaya mendapat penjualan tiket
pada saat pesawat penuh mencapai maksimum, maka jumlah masing-masing
kelas adalah....
Jawaban :
Handout Program Linier : Analisis Simpleks
35
Buatlah simpulan dari pembelajaran yang telah di lakukan? ................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................
Tanggal Nilai Paraf Dosen
Aktivitas 2
BAB IV Metode Simpleks I
A. Metode M Charnes
1.1. Pendahuluan
Untuk kasus di mana fungsi kendala ada tanda lebih dari atau lebih dari sama
dengan ( t u maka perlu menambahkan variabel pengurang (surplus)dan
variabel penambah (variabel slack) yang non-negatif. Akan menjadi sebuah
persoalan bagaimana variabel slack tersebut dapat digunakan untuk membantu
mencari penyelesaian masalah program linier.
Salah satu caranya, dipaparkan oleh Charnes dengan menggunakan metode
simpleks agar variabel slack menjadi nol, dengan menentukan nilai konstanta (-M)
jika masalah yang dihadapi adalah memaksimumkan fungsi tujuan, dan
menentukan nilai konstanta (M) pada variabel slack jika masalah yang dihadapi
meminimumkan.
1.2. Contoh Soal
Minimumkan :
Kendala :
Penyelesaian :
Masalah PL menjadi :
dengan kendala,
Menggunakan prosedur memaksimalkan :
Sehingga fungsi objektif menjadi : d maks
Handout Program Linier : Metode Simpleks 1
37
Tabel Awal:
Cj -3 -2 0 0 -M -M HB Rasio
VB x y a B c D
C -M 1 1 -1 0 1 0 2 2
D -M 2 1 0 -1 0 1 3 1,5
Zj-Cj 3 2 0 0 0 0 0
-3 -2 1 1 0 0 -5
Keterangan :
Baris Zj-Cj baris pertama tidak mengandung unsur M sedangkan baris Zj-Cj baris
kedua mengandung unsur M. Variabel masuk (variabel pendatang) = x, variabel
keluar (variabel perantau) = d
Tabel 2
Cj -3 -2 0 0 -M -M HB r
VB x Y a b c D
C -M 0
-1
1
1
X -3 1
0
0
3
Zj-Cj
0
0
0
0
1
0
Tabel 3
Cj -3 -2 0 0 -M -M
HB Variabel
Basis X Y a B C D
Y -2 0 1 -2 1 2 -1 1
X -3 1 0 1 -1 -1 1 1
Zj-Cj 0 1 1 -1 -1 -5
0 0 1 1 0
Dari baris Zj-Cj yang kedua sudah tidak ada yang negatif maka iterasi
selesai. sehingga dapat di simpulkan :
1
2B2
Meyta Dwi Kurniasih, M.Pd. Pendidikan Matematika UHAMKA
38
B. Metode Simpleks Fase 1
2.1. Langkah- langkah
1. Menambahkan variabel pada pertidaksamaan yang telah diketahui, jika
pertid ks m n tersebut tel h memenuhi sy r t simpleks y itu ≤ ber rti
pertidaksamaan tersebut ditambahkan satu variabel(variabel slack), jika
pertid ks m n tersebut tid k memenuhi sy r t simpleks t u berarti
dikurangi variabel surplus dan ditambah variabel slack.
2. Fungsi Z ditambahkan variabel dari persamaan yang tidak memenuhi syarat
tersebut dengan simbol M yang berarti M = 106
3. Persamaan tersebut disusun fungsi Z diletakkan paling atas, lalu dari fungsi Z
yang koefisiennya adalah M maka hasilnya harus nol.
4. Setelah dikalikan dan ditambahkan dengan fungsi Z, maka dicari nilai yang
paling kecil dari hasilnya.
5. Lalu dicari kunci dari peersamaan yang diketahui dengan cara membagi gasil
dengan persamaan dengan angka yang telah diberi tanda pada gasil yang paling
kecil tersebut.
6. Dari kunci tersebut dibuat menjadi 1(satu) dan angka yang berada satu kolom
dengan angka 1(satu tersebut dijadikan nol.
7. Lalukan hal tersebut berulang-ulang hingga tidak ada yang bernilai negatif pada
hasil yang berada paling bawah kecuali nilai Z.
2.2. Contoh Soal :
Minimumkan Z = 3x + 2y
Kendala :
x y ≤ 6
2x + 5y
x y
Penyelesaian :
Fungsi Objektif :
Z x y →
Handout Program Linier : Metode Simpleks 1
39
dengan fungsi kendala menjadi,
≤ 6 → 6
→
Tabel Awal
Cj -3 -2 0 0 -M HB
r VB CB x Y a B c a 0 1 1 1 0 0 6 6 C -M 2 5 0 -1 1 10 2
Zj-Cj -3 -2 0 0 0 -5
-2M -5M 0 M 0 -7M
Cj -3 -2 0 0 -M HB
VB CB x Y a b c A 0 1 1 1 0 0 6
Y -2
1 0
2
Zj-Cj -3 -2 0 0 0 -5
-2M -5M 0 M 0 -7M
Tabel 1
Cj -3 -2 0 0 -M HB
VB CB x Y a b c
A 0
0 1
4
Y -2
1 0
2
Zj-Cj
0 0
- 0 0 0 M 0
Karena pada baris objektif (B3) sudah tidak ada yang negatif maka iterasi
selesai. Dari perhitungan di atas dapat diambil kesimpulan :
1
5𝐵2
𝐵1−𝐵2
Meyta Dwi Kurniasih, M.Pd. Pendidikan Matematika UHAMKA
40
C. Soal Latihan
Kerjakan soal berikut dengan menggunakan metode M Charnes atau simpleks 1 fase!
1. Minimumkan : 1 2
Kendala : 1 2 ≤ 1 2 6 1 2 ≤ 1 2
2. Minimumkan : 6 1 2 Kendala : 1 2
1 2
1 2
3. Minimumkan : Kendala :
4. Minimumkan : 1 2 Kendala : 1 2
1 2 1 2
Aktivitas 1
Handout Program Linier : Metode Simpleks 1
41
Meyta Dwi Kurniasih, M.Pd. Pendidikan Matematika UHAMKA
42
Handout Program Linier : Metode Simpleks 1
43
Buatlah simpulan dari pembelajaran yang telah di lakukan?
...........................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................
Tanggal Nilai Paraf Dosen
Aktivitas 2
BAB V Metode Simpleks II
A. Langkah- langkah Metode Simpleks 2 Fase
1. Sistem pertidaksamaan 1 & seterusnya dibuat sama seperti simpleks dengan 1
fase.
2. Nilai Z di minimumkan ( dikalikan denagan - ) .
3. Z pindah ruas menjadi bernilai + .
4. Selanjutnya sama seperti pada simpleks dengan 1 fase . namun pembedanya
adalah yg mempunyai nilai hanya fariabel M dan Z . Variabel yang mengandung
nilai M bernilai = -1 dan Z = 1 selebihnya bernilai 0 .
5. Cari nilai pada sistem pertidaksamaan yg membentuk identitas dan pada posisi 1
di sebelah kiri (pengali ) di letakkan nilai x . lalu setelah 2 fariabel dikali & di
jumlahkan, dikurang nilai x di atasnya .
6. Selanjutnya sama seperti pada simpleks 2 dengan 1 fase hingga berakhir pada
nilai baris terakhir yang bernilai positif .
7. Hilangkan kolom yang mengandung nilai M pada Z lalu letakkan nilai
keseluruhan Z pada atas baris ( nilai x ).
8. Lalu seperrti cara pada no 5 hingga nilai baris terakhir bernilai positif .
9. Dan itulah nilai Z (jangan lupa nilai Z dalah –Z).
B. Contoh Soal :
Minimumkan :
Kendala :
Penyelesaian :
3 4
5 6
4 6
Handout Program Linier : Metode Simpleks 2
45
Tabel Awal Fase 1
Cj 0 0 0 -1 0 -1 HB r
VB x y -1 4 2 -1 1 0 0 60 30 -1 2 4 0 0 -1 1 48 12
Zi-Cj -6 -6 1 0 1 0 -108
Cj 0 0 0 -1 0 -1 HB
VB x y -1 4 2 -1 1 0 0 60
0
1 0 0
12
Zj-Cj -6 -6 1 0 1 0 -108 Tabel 2
Cj 0 0 0 -1 0 -1 HB R
VB x Y
-1 3 0 -1 1
36 12
0
1 0
12 24
Zj-Cj -3 0 1 0
-36
Cj 0 0 0 -1 0 -1 HB
VB x y
x 0 1 0
12
0
1 0
12
Zj-Cj -3 0 1 0
-36
Tabel Akhir Fase 1
Cj 0 0 0 -1 0 -1 HB
VB x y
0 1 0
12
0 0 1
6
Zj-Cj 0 0 0 1 0 1 0
→1
4𝐵2
B1-2B2
B3+6B2
B2-1
2𝐵1
B3+3𝐵1
→1
3𝐵1
Meyta Dwi Kurniasih, M.Pd. Pendidikan Matematika UHAMKA
46
Tabel Awal Fase 2
Cj 8 6 HB
VB x y
8 1 0 12
6 0 1 6
Zj-Cj 0 0 132
Karena sudah tidak ada yang negatif pada baris objektif maka iterasi selesai.
Dapat di simpulkan : 3 4 5 6
(nilai minimum).
C. Soal Latihan :
Tentukan solusi setiap masalah berikut dengan
menggunakan metode simpleks, serta berikan
kesimpulannya!
1. Sebuah peusahaan industri mempunyai, berturut-turut 240kg, 360kg, dan
180kg bahan yaitu kayu, plastik dan baja. Perusahaan itu akan membuat dua
macam produk yaitu P dan Q yang berturut-turut memerlukan bahan-bahan
(dalam kg) seperti data berikut:
Produk Bahan yang diperlukan
Kayu Plastik Baja
P 1 3 2
Q 3 4 1
Keuntungan produk P ialah Rp. 40.0000 dan tiap produk Q ialah Rp. 60.000
a. Rumuskan persoalan perusahaan ini dalam model matematika suatu
program linier?
b. Gunakan analisis simpleks untuk memperoleh nilai maksimum fungsi
tujuan?
Jawaban
Aktivitas 1
Handout Program Linier : Metode Simpleks 2
47
Jawaban
Meyta Dwi Kurniasih, M.Pd. Pendidikan Matematika UHAMKA
48
2.
min 1 2
1 2 1 2 1 2 1 2
2 3
: 2 16; 3 20; 10; , 0
z x x
pembatas x x x x x x x x
Jawaban :
Handout Program Linier : Metode Simpleks 2
49
3.
2 3 5
: 7;2 5 10; , , 0
maksz x y z
pembatas x y z x y z x y z
Jawaban :
Meyta Dwi Kurniasih, M.Pd. Pendidikan Matematika UHAMKA
50
4. Sebuah lembaga penelitian harus mengirimkan 10.000 kuisioner (daftar
pernyataan) kepada sasaran responden-respondennya di pulau Jawa, Sumatera,
dan Sulawesi. Biaya kirim seberkas kuisioner ke tiap responden adalah Rp. 80
(Jawa), Rp. 100 (Sumatera) dan Rp.110 (Sulawesi). Lembaga tersebut menetapkan
tidak lebih dari 3.000 kuisioner yang akan dikirim ke responden di pulau Jawa,
serta setidak-tidaknya 1500 dan 200 kuisioner harus dikirimkan masing-masing
responden di pulau Sumatera dan Selawesi. Berapa berkas kuisioner harus
dikirimkan ke masing-masing pulau agar biaya kirim totalnya minimum?
Jawaban :
Handout Program Linier : Metode Simpleks 2
51
Meyta Dwi Kurniasih, M.Pd. Pendidikan Matematika UHAMKA
52
Buatlah simpulan dari pembelajaran yang telah di lakukan?
...................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................
Tanggal Nilai Paraf Dosen
Aktivitas 2
BAB VI Dual, Primal dan Kemerosotan
A. Primal dan Dual
1.1. Pendahuluan
Biasanya, setelah solusi optimal dari masalah program linier ditemukan
maka peneliti cenderung untuk berhenti menganalisis model yang telah dibuat.
Padahal sesungguhnya dengan menganalisis lebih jauh atas solusi optimal akan
dapat menghasilkan informasi lain yang berguna. Analisis yang dilakukan
terhadap solusi optimal untuk mendapatkan informasi tambahan yang berguna
tersebut dikenal dengan analisis post-optimal. Analisis ini dapat dilakukan
dengan dua cara, yaitu Analisis Dualitas dan Analisis Sensitivitas.
Analisis dualitas dilakukan dengan merumuskan dan menginterpretasikan
bentuk dual dari model. Bentuk dual adalah suatu bentuk alternatif dari model
program linier yang telah dibuat dan berisi informasi mengenai nilai-nilai sumber
biasanya membentuk sebagai batasan model. Setiap masalah prolin yang
bertujuan mencari nilai maksimum selalu bertalian dengan suatu masalah prolin
dengan tujuan mencari nilai minimum, yang disebut dual masalah yang pertama.
Sebaliknya setiap masalah prolin yang berrtujuan mencari nilai minimum selalu
bertalian dengan suatu masalah program linier yang bertujuan mencari nilai
maksimum yang disebut dual. Masalah pertama disebut primal sedangkan
masalah kedua dengan tujuan berlawanan disebut dual.
Kegunaan analisis dualitas bagi pengambilan keputusan adalah :
Model primal akan menghasilkan solusi dalam bentuk jumlah laba yang
diperoleh dari memproduksi barang atau biaya yang dibutuhkan untuk
memproduksi barang.
Maks Min DUAL
Min Maks DUAL
Meyta Dwi Kurniasih, M.Pd. Pendidikan Matematika UHAMKA
54
Model dual akan menghasilkan informasi mengenai nilai (harga) dari
sumber-sumber yang membatasi tercapainya laba tersebut.
Solusi pada model dual memberikan informasi tentang sumber-sumber
yang digunakan untuk menentukan apakah perlu menambah sumber-
sumber daya, serta berapa biaya yang harus dikeluarkan untuk tambahan
tersebut.
Hubungan khusus antara primal dan dual adalah :
1. Variabel dual Y1 , Y2 , Y3 berhubungan dengan batasan model primal.
Dimana untuk setia batasan dalam primal terdapat satu variabel dual.
Misal, dalam kasus di atas model primal mempunyai 3 batasan, maka
dualnya akan mempunyai 3 variabel keputusan.
2. Nilai kuantitas pada sisi kanan pertidaksamaan pada model primal
merupakan koefisien fungsi tujuan dual.
3. Koefisien batasan model primal merupakan koefisien variabel
keputusan dual.
4. Koefisien fungsi tujuan primal, merupakan nilai kuantitas pada sisi
kanan pertidaksamaan pada model dual.
5. Pada bentuk standar, model maksimisasi primal memiliki batasan-
batasan <, sedangkan model minimisasi dual memiliki batasan-batasan
>.
Handout Program Linier : Dual, Primal dan Kemerosotan
55
1.2. Contoh Kasus :
Maksimum :
Kendala :
Maka dualnya menjadi :
Minimumkan :
Kendala :
Agar lebih mudah dapat dibuat matriks sebagai berikut :
Matriks Koefisien dari masalah primal yaitu [
]
Matriks koefisien dari masalah dual yaitu [
]
Contoh Soal :
Selesaikan dengan cara primal/dual
Minimumkan : 5
Kendala :
Penyelesaian :
Primal Minimumkan : 5
Kendala :
Matriks koefisien primal : [
5
]
Primal
Dual
Meyta Dwi Kurniasih, M.Pd. Pendidikan Matematika UHAMKA
56
Dual, matriks koefisien dualnya : [
5
]
Masalah dualnya dapat ditulis sbb :
Maksimumkan :
Kendala :
PL menjadi :
Tabel Awal VD
VD Z u v a b NB
Z 1 -40 -50 0 0 0
a 0 2 3 1 0 3
b 0 4 2 0 1
VD Z u v a b NK
Z 1 -40 -50 0 0 0
v 0
1
0 1
b 0 4 2 0 1
𝐵
B1+50B2
B3-2B2
Handout Program Linier : Dual, Primal dan Kemerosotan
57
Tabel 2
VD Z u v a b S
Z 1
0
0 50
v 0
1
0 1
B 0
0
1
VD Z u v a b S
Z 1
0
0 50
V 0
1
0 1
U 0 0
Tabel Akhir
VD Z u v a b S
Z 1 0
0
v 0 1
0
u 0 0
Karena dari baris objektif (B1) sudah tidak ada yang negatif maka iterasi selesai.
Dari perhitungan di atas di dapat bahwa ⁄ .
𝐵
𝐵
𝐵
B2-
3𝐵
Meyta Dwi Kurniasih, M.Pd. Pendidikan Matematika UHAMKA
58
Untuk memastikan kebenaran ini, akan dihitung juga masalah primalnya
yaitu :
Minimumkan : 5
Kendala :
Penyelesaian :
Tabel Awal Simpleks
Cj 0 0 0 -1 -1 Harga
Basis Rasio Variabel
Basis x y a b c d
c -1 2 4 -1 0 1 0 40 10
d -1 3 2 0 -1 0 1 50 25
Zj-Cj -5 -6 1 1 0 0 -90
Cj 0 0 0 -1 -1 Harga
Basis Variabel
Basis x y a b c d
y -1
1
0
0 10
d -1 3 2 0 -1 0 1 50
Zj-Cj -5 -6 1 1 0 0 -90
B2-2B1
B3+6B1
1
4B1
Handout Program Linier : Dual, Primal dan Kemerosotan
59
Tabel 1
Cj 0 0 0 -1 -1 Harga
Basis r Variabel
Basis x Y a b c d
y 0
1
0
0 10 20
d -1 2 0
-1
1 30 15
Zj-Cj -2 0
1
0 -30
Cj 0 0 0 -1 -1 Harga
Basis Variabel
Basis x y a b c d
y 0
1
0
0
5
x 0 0
15
Zj-Cj 0 0 0 1 0
Iterasi selesai karena baris objektif (Zj-Cj) sudah tidak ada yang negatif. Dari
data di atas di dapat : fungsi objektif untuk primal :
( ) ( )
(
)
Dari penyelesaian di atas mempunyai hasil yang sama : 5
4
𝐵
B1-1
B2
B3+2B2
Meyta Dwi Kurniasih, M.Pd. Pendidikan Matematika UHAMKA
60
B. Kemerosotan (degeneracy)
2.1. Pengertian Kemerosotan
Metode simpleks didasarkan pada beberapa aturan yang di proses dari sebuah
program awal yang memenuhi syarat, yang diperbaiki dan diperbaiki kembali
sehingga tercapai suatu penyelesaian optimal. Pemilihan terhadap kolom kunci/
pivot ialah tugas simpleks, karena harus mengenai kolom yang memiliki nilai
positif terbesar (kasus maks) atau nilai negatif terbasar (kasus min) dalam baris
penilaian/ objektif dari tabel simpleks. Tetapi dalam memilih baris kunci dengan
tujuan mengganti salah satu vektor basis, akan dihadapkan pada 2 kesulitan :
1. Tabel program simpleks awal dapat sedemikian sehingga satu/ lebih variabel
dalam kolom kuantitas bernilai nol. Jika terjadi, maka nilai hasil pembagian
yang menentukan minimum penggantian ialah nol. Maka proses penggantian
tidak dapat dilaksanakan karena variabel yang harus diganti sudah bernilai nol.
2. Nilai hasil pembagian yang tidak negatif yang menentukan baris kunci mungkin
sama untuk dua atau lebih variabel yang sedang dalam basis. Jika ini terjadi
maka akan terjalin ada keterikatan dalam pemilihan terhadap beris kunci.
Penghapusan terhadap salah satu variabel yang terikat akan menakibatkan
variabel terikat lain akan susut menjadi nol. Ini berakibat satu/ lebih vektor
basis akan memiliki nilai nol.
Kedua peristiwa tersebut, menimbulkan gejala yang di kenal sebagai
kemerosotan. Usaha terhadap penyelesaian PL yang mengalami kemerosotan
dapat mengakibatkan salah satu peristiwa berikut :
1. Setelah berkali-kali iterasi akan diperoleh penyelesaian optimal, atau
2. Masalah akan menjadi siklus sehingga menghalangi tercapainya
penyelesaian optima
Penyebab kemerosotan adalah jika pada kolom kuantitas terdapat nilai nol,
dan jika hasil pembagian yang tidak negatif yang menentukan baris kunci sama
untuk dua variabel atau lebih.
kemerosotan Pemilihan variabel secara sembarangan Siklus
Handout Program Linier : Dual, Primal dan Kemerosotan
61
2.2. Contoh Kasus Kemerosotan :
Maksimumkan :
Kendala :
Tahukan Anda mengapa masalah di atas di sebut kemerosotan?
Penanggulangan kemerosotan (Charnes dan Cooper) :
1. Tentukan semua variabel terikat/ baris variabel itu.
2. Untuk setiap kolom dalam identitas (dimulai dari kolom paling kiri dalam
identitas dengan memproses satu demi satu kekanan), hitunglah
perbandingan dengan membagi angka setiap baris terikat dengan bilangan
kolom kunci yang ada di dalam baris tersebut.
3. Bandingkan hasil bagi ini, kolom demi kolom, di proses ke kanan. Untuk
pertama kali perbandingan tidak sama, ikatan sudah putus.
4. Diantara baris yang terikat, baris dengan perbandingan aljabar lebih kecil di
tunjuk sebagai baris kunci
5. Jika nilai perbandingan dalam identitas tidak mematahkan ikatan, bentuklah
perbandingan untuk kolom-kolom dari ‘badan utama’ dan pilihlah baris
kunci seperti yang di jelaskan pada langkah 3 dan 4.
C. Soal Latihan
Selesaikan setiap permasalahan berikut:
1. Seseorang memerlukan 10, 12 dan 12 unit bahan kimia A, B, dan C berturut-
turut untuk halamannya. Pupuk berupa cairan mengandung 5, 2, dan 1 unit
dari A, B, dan C berturut-turut perbotolnya, dan pupuk berupa serbuk
mengandung 1, 2 dan 4 unit A, B dan C berturut-turut perkotak karton. Harga
Aktivitas 1
Meyta Dwi Kurniasih, M.Pd. Pendidikan Matematika UHAMKA
62
pupuk cair Rp. 30.000 per botol dan serbuk Rp. 20.000 per kotak. Beberapa
pupuk dari masing-masing harus di beli agar biaya serendah mungkin tetapi
masih memenuhi persyaratan?(Kerjakan dengan Dual)
Jawaban :
Handout Program Linier : Dual, Primal dan Kemerosotan
63
2. Sebuah perusahaan mebel membuat lemari, meja dan kursi. Setiap produk mebel
tersebut dibutuhkan bahan/ pekerjaan yaitu kayu, finishing, dan pengecatan.
Informasi dalam pembuatan mebel tersebut sebagai berikut :
Bahan/ Pekerjaan Lemari Meja Kursi Ketersediaan waktu
Kayu Finishing 4 jam 2 jam 1,5 jam 20 jam
Pengecatan 2 jam 1,5 jam 0,5 jam 8 jam Harga Jual (Ribuan Rp) 600 300 200
Formulasikan persolaan utama (primal problem) dan persoalan rangkap (dual
problem) dari pemprograman linier tersebut di atas.
Jawaban :
Meyta Dwi Kurniasih, M.Pd. Pendidikan Matematika UHAMKA
64
3. Formulasikan persolaan utama (primal problem) dan persoalan rangkap (dual
problem) pemprograman linier berikut dan cari solusi optimumnya.
Minimumkan :
Fungsi kendala :
Jawaban:
Handout Program Linier : Dual, Primal dan Kemerosotan
65
Meyta Dwi Kurniasih, M.Pd. Pendidikan Matematika UHAMKA
66
Berikan kesimpulan dari pembelajaran yang telah
dilakukan!
...........................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................
Tanggal Nilai Paraf Dosen
Aktivitas 2
BAB VII Model Transportasi
A. Pendahuluan
Model transportasi merupakan kasus khusus dari persoalan program linier
dengan tujuan untuk ‘Mengangkut’ barang tunnggal dari berbagai asal (origin) ke
berbagai tempat tujuan (destination), dengan biaya angkut serendah mungkin. Model
transportasi ialah suatu kasus khusus PL sehingga dapat di selesaikan dengan metode
simpleks. Tetapi ‘algoritma’ yang digunakan lebih efisien untuk menengani masalah
transportasi= algoritma transportasi. Ciri khasnya ialah bahwa koefisiennya dari
variabel struktur yaitu terbatas pada nilai-nilai 0 atau 1.
Telah dijelaskan bahwa model transportasi merupakan suatu kasus khusus
dalam masalah program linear, namun dapat susut menjadi masalah transportasi jika :
(1) koefisien dari variabel struktural , yaitu amn terbatas pada nilai-nilai 0 atau 1. (2)
terdapat adanya kehomogenan antara unit-unit dalam persyaratan.
Ada 2 macam
- Transportasi standar (Single Delivery System)
O1 D1
O2 D2
Masalah transportasi di mana origin hanya berfungsi sebagai daerah asal dan
destination hanya berfungsi sebagai daerah tujuan.
- Transshipment / Multi Delivery System
Masalah transportasi dimana origin maupun destination berfungsi sebagai
daerah asal dan tujuan.
O1 D2
O2 D2
Alokasi produk ini harus diatur sedemikian rupa, karena terdapat perbedaan
biaya-biaya alokasi dari satu sumber ke tempat-tempat tujuan yang berbeda-beda,
dan dari beberapa sumber ke suatu tempat tujuan juga berbeda-beda. Tujuan
penyelesaian masalah trransportasi adalah menentukan jalur pengangkutan barang-
Meyta Dwi Kurniasih, M.Pd. Pendidikan Matematika UHAMKA
68
barang yang berkaitan dengan biaya pengangkutan termurah dan tetap memenuhi
persyaratan. Langkah kedua bertujuan untuk menentukan ‘opportunity cost’ setiap sel
kosong. Jika ‘opportunity cost’ setiap sel kosong tidak positif maka kemungkinan
optimal telah di peroleh dan dan toko sebagai pelanggan ditandai dengan
. Data relevan.
B. Formulasi Model Matematika
Model transportasi memiliki ciri-ciri khas seperti yang dimiliki oleh program
linear, yaitu :
1. Fungsi obyektif yang linear
( ) ∑
2. Struktur persyaratan yang linear
Setiap masalah program linear memiliki sekumpulan persyaratan linear.
∑
∑
Dimana : dan
dengan merupakan koefisien struktural yang mencerminkan spesifikasi teknik
dari masalah yang dibahas, dan ditampil sebagai koefisien dari variabel
struktural dalam persyaratan-persyaratan struktural. Sedangkan adalah
konstanta yang menggambarkan kapasitas maksimum atau minimum dari
fasilitas-fasilitas yang ada maupun sumber-sumber yang tersedia. Bentuk
persyaratan struktural yang linear dituliskan secara lengkap sebagai berikut :
Handout Program Linier : Model Transportasi
69
3. Persyaratan tidak negatif
Variabel struktural, variabel slack, variabel slack buatan dari masalah
program linear terbatas pada nilai-nilai tidak negatif, ditulis :
Tabel Model Transportasi
ORIGIN DESTINATION
Kapasitas Origin Per
Priode D1 D2 D3 Dn (Waktu)
Permintaan tujuan per
priode (waktu)
Keterangan : (asal) (tujuan) biaya pengangkutan unit barang dari asal m ke tujuan n banyak unit barang yang dapat diangkut dari daerah asal m ke tujuan n banyak unit barang yang diangkut dari daerah asal m ke tujuan n kapasitas per priode aktu
Jika m adalah jumlah baris dan n adalah jumlah kolom dalam suatu
masalah transportasi, kita dapat menyatakan masalah secara lengkap dengan
m+n-1 persamaan. Ini berarti bahwa suatu penyelesaian dasar yang memenuhi
persyaratan dari suatu masalah transportasi hanya memiliki m+n-1 komponen-
komponen positif.
Meyta Dwi Kurniasih, M.Pd. Pendidikan Matematika UHAMKA
70
C. Pendekatan Model Transportasi
Model transportasi terdiri atas 3 langkah dasar :
1. Melibatkan penentuan pengiriman awal, sedemikian rupa sehingga
diperoleh solusi dasar yang memenuhi syarat. Ini berarti bahwa m+n-1 sel
atau rute dari matriks transformasi digunakan untuk tujuan
pengangkutan. Sel yang digunakan untuk pengangkutan disebut sel yang
ditempati, sedang sel lainnya dari matriks transportasi akan disebut sel
kosong.
2. Bertujuan menentukan biaya kesempatan (opportunity cost) yang
berkaitan dengan sel kosong. Biaya kesempatan dari sel kosong dapat dihitung
untuk setiap sel kosong tersendiri, atau dihitung untuk semua sel kosong
secara keseluruhan. Jika biaya kesempatan dari semua sel kosong tidak positif,
maka telah diperoleh solusi optimal. Di lain pihak, jika terdapat hanya satu sel
saja memiliki biaya kesempatan bernilai positif, solusi pasti belum optimal dan
kita harus melangkah ketiga.
3. Melibatkan penentuan solusi dasar yang memenuhi syarat, baru dan lebih baik.
Sekali solusi dasar yang baru dan memenuhi syarat telah dicapai, kita ulangi
langkah 2 dan langkah 3 sampai suatu solusi optimal telah ditentukan.
Sebelum masuk ke dalam penyelesaian model transportasi, sesuai
langkah pertama harus ditentukan dahulu solusi awalnya.
Ada beberapa cara menentukan solusi awal, yaitu
1. Metode Pojok Barat-Laut
2. Metode Inspeksi
3. Metode Batu Loncatan
4. Metode Modified Distribution (MODI)
5. Metode Vogel Approximation (VAM)
Handout Program Linier : Model Transportasi
71
Lebih jelas mengenai beberapa metode di atas akan di jabarkan sebagai berikut :
2.1. Metode Pojok Barat Laut
Metode ini dikenal juga dengan nama North West Corner Method. Metode
ini ditemukan oleh Charnes dan Cooper, dan kemudian dikembangkan oleh Danzig.
Sesuai nama aturan ini, maka penempatan pertama dilakukan di sel paling kiri dan
paling atas dari matriks, yaitu sel O1D1. Bandingkan persediaan di O1 dengan
kebutuhan di D1, yaitu masing-masing d1 dan b1. Buat x11 = Min (b1, d1).
Bila b1 > d1, maka x11 = d1. Teruskan ke sel O1D2, yaitu gerakan
horizontal dimana x12 = min. (b1 - d1, d2).
Bila b1 < d1, maka x11 = b1. Teruskan ke sel O2D1, yaitu gerakan vertikal
dimana x21 = min. (d1 - b1, b2).
Bila b1 = d1, maka buatlah x11 = d1 dan teruskan ke sel O2D2 (gerakan
miring).
Teruskan langkah ini menjauhi pojok barat laut menuju pojok tenggara dari
tabel, hingga akhirnya semua permintaan terpenuhi. Setelah program awal ini selesai
ditentukan, maka perlu diuji persyaratan bahwa m+n-1 sel harus terisi. Bila m+n-1
sama dengan jumlah sel yang terisi, maka solusi tidak merosot.
Metode pojok barat-laut ini memperlihatkan bahwa tiap langkah yang
dilakukan akan memenuhi satu kendala. Hingga akhirnya berhenti di langkah ke
m+n-1, karena pada langkah ini sudah terpenuhi m+n-1 kendala.
Metode pojok barat-laut ini belum bisa dibilang optimal, dikarenakan metode
ini mengabaikan biaya yang relevan dari tiap-tiap rute.
2.2. Metode Inspeksi
Penyelesaian masalah transportasi, diperlukan adanya inspeksi dan
pertimbangan. Untuk masalah transportasi berdimensi kecil, hal ini akan memberi
pengurangan terhadap waktu.
Meyta Dwi Kurniasih, M.Pd. Pendidikan Matematika UHAMKA
72
Alokasi pertama dibuat terhadap sel yang berkaitan dengan biaya
pengangkutan terendah. Sel dengan ongkos terendah ini diisi sebanyak mungkin
dengan mengingat persyaratan kapasitas origin maupun persyaratan permintaan
tempat tujuan. Lalu beralih mengalokasikan ke sel termurah berikutnya dengan
memperhatikan kapasitas yang tersisa dan permintaan baris dan kolomnya.
Ada kemungkinan terdapat adanya ikatan antara sel-sel termurah. Ikatan
tersebut dapat dipatahkan atau dengan memilih sembarang sel untuk diisi.
Banyaknya sel yang terisi harus sedemikian hingga diperoleh m+n-1 sel yang
terisi.
Secara singkat, pendekatan metode transportasi didasarkan atas tiga
langkah, yaitu : 1.) menentukan program awal untuk mencapai solusi dasar yang
memenuhi syarat, 2.) menentukan biaya kesempatan dari setiap sel kosong, dan 3.)
memperbaiki program yang sedang berjalan untuk memperoleh program yang
lebih baik, hingga akhirnya mencapai solusi optimal.
Metode pojok barat-laut dan metode inspeksi merupakan metode untuk
menentukan solusi awal. Selanjutnya, terdapat beberapa cara penyelesaian masalah
dalam model transportasi. Semua cara penyelesaian ini mengarah pada penyelesaian
optimal dari masalah-masalah transportasi yang terjadi, yaitu Metode Batu Loncatan,
Metode MODI, dan Metode Pendekatan Vogel.
2.3. Metode Batu Loncatan
Metode ini dikenal juga dengan nama Stepping Stone Method. Metode ini
digunakan untuk menentukan optimal atau tidaknya solusi dasar yang didapat
pada langkah pertama.
Sebelum mengaplikasikan metode batu loncatan ini, harus ditentukan terlebih
dahulu biaya kesempatan atau opportunity cost dari sel yang kosong. Dalam model
transportasi melibatkan pengambilan keputusan dengan kepastian, maka suatu solusi
optimal tidak akan menimbulkan suatu biaya kesempatan yang positif. Untuk
menentukan adanya suatu biaya kesempatan yang bernilai positif dalam suatu
program, maka setiap sel kosong (sel yang tidak ikut dalam jalur pengangkutan)
Handout Program Linier : Model Transportasi
73
harus diselidiki.
Metode batu loncatan ini dapat dipergunakan untuk setiap matriks yang
berukuran m x n. Dalam metode ini, sebuah loop tertutup dilengkapi dengan
tanda (+) dan (-) harus ditentukan untuk setiap sel kosong sebelum menentukan
biaya kesempatannya. Setelah loop-loop tersebut ditentukan, barulah ditentukan
biaya kesempatannya. Tiap loop tersebut dihitung dengan cara menambah dan
mengurangi secara bergantian biayanya dimulai dari sel kosong yang akan
dicari.
Jika ternyata biaya kesempatan dari tiap loop tersebut tidak ada yang bernilai
positif, maka program telah optimal. Sebaliknya, jika terdapat satu saja sel kosong
yang memiliki biaya kesempatan positif, maka program belum optimal. Sehingga
program tersebut masih perlu diperbaiki. Perbaikan program awal diarahkan oleh
loop tertutup yang bernilai positif dari sel kosong. Tentukan bilangan dengan tanda
negatif (-) yang terkecil dalam sel yang terdapat dalam loop tersebut. Dalam loop
tersebut, tambahkan bilangan tersebut ke semua sel yang bertanda positif (+) dan
kurangkan semua sel yang bertanda negatif (-) dengan bilangan tersebut.
Metode batu loncatan dapat digunakan untuk setiap matriks yang berukuran
m x n. Inti dari prosedur batu loncatan dalam penyelesaian masalah transportasi
secara singkat yaitu : 1.) menyusun solusi dasar yang memenuhi syarat, 2.) setelah
memperoleh solusi dasar yang memenuhi syarat, lalu dilakukan penentuan biaya
kesempatan dari sel-sel yang kosong, dan 3.) jika tidak ada satu sel pun memiliki biaya
kesempatan yang bernilai positif, maka program sudah optimal. Sebaliknya, jika ada
satu saja sel yang memiliki biaya kesempatan yang bernilai postitif, maka program
belum optimal. Maka harus dilakukan perbaikan program dengan mengikut sertakan
sel kosong yang memiliki biaya kesempatan tertinggi.
2.4. Metode MODI
a. Pengertian Metode MODI
Metode MODI disebut juga Modified Distribution Method, sangat mirip dengan
metode batu loncatan, kecuali bahwa ia menyajikan cara yang lebih efisien untuk
Meyta Dwi Kurniasih, M.Pd. Pendidikan Matematika UHAMKA
74
menghitung tanda-tanda peningkatan dari sel-sel yang kosong. Perbedaan utama
antara dua metode ini menyangkut langkah dalam penyelesaian masalah, dimana
diperlukan adanya suatu lintasan tertutup. Untuk menghitung penunjuk
peningkatan suatu solusi khusus, maka dalam metode batu loncatan perlu digambar
suatu lintasan tertutup untuk setiap sel kosong. Ditentukan sel kosong dengan
biaya kesempatan tertinggi, kemudian dipilih untuk ikut dalam program perbaikan
berikutnya.
Metode MODI penunjuk peningkatan dapat dihitung tanpa menggambar
lintasan tertutup. Dalam kenyataannya metode MODI memerlukan hanya satu
lintasan tertutup. Lintasan ini digambar setelah sel kosong yang memiliki biaya
kesempatan tertinggi positif ditemukan. Seperti dalam metode batu loncatan,
kegunaan lintasan ini ialah untuk menentukan jumlah unit maksimum yang dapat
dipindahkan ke sel kosong dalam program perbaikan berikutnya. Maka, prosedur
untuk menghitung biaya kesempatan dari sel kosong dalam MODI tidak tergantung
pada lintasan loop tersebut.
Cara menentukan implied cost dari sebuah sel kosong tanpa menggambarkan
lintasan loop terlebih dahulu, dengan menyusun kerangka utama dari metode
MODI, kemudian mengurangkan biaya sebenarnya dari implied cost sel kosong yang
telah dihitung.
Sesuai itu dapat ditunjukkan bahwa dalam kasus masalah transportasi,
kesempatan dari setiap sel terisi (sel berisi variable basis) adalah nol. Dengan
perkataan lain, jika variable basis tidak akan diubah, maka pemasukan dan
pemindahan 1 unit di sembarang sel terisi tidak akan mengakibatkan perubahan
biaya. Sekarang, tentukan sekumpulan bilangan baris (ditempatkan di sebelah
paling kanan) dan sekumpulan bilangan kolom (ditempatkan di bawah setiap kolom
dari tabel) sedemikian rupa sehingga ongkos pengangkutan per unit dari setiap sel
terisi sama dengan jumlah dari bilangan baris dan bilangan kolom.
Selanjutnya, kerana jumlah bilangan baris dan bilangan kolom dari
Biaya kesempatan = implied cost – biaya sebenarnya
Handout Program Linier : Model Transportasi
75
sembarang sel terisi sama dengan ongkos dari sel tersebut (suatu variable basis),
maka jumlah bilangan baris dan bilangan kolom dari setiap sel kosong memberikan
implied cost dari sel kosong tersebut. Maka implied cost dari sembarang sel kosong
diberikan oleh : .
Maka dengan menentukan bilangan baris dan bilangan kolom secara lengkap,
dapat menghitung implied cost untuk setiap sel kosong tanpa menggambar lintasan
loop. Untuk setiap sel terisi, pilih um (bilangan baris) dan vn (bilangan kolom)
sehingga cmn (biaya pengangkutan sebenarnya per unit di sel terisi) sama dengan
jumlah dari um dan vn. Misalkan untuk sel terisi yang terletak di baris 1 dan
kolom 1, maka c11 = u1 + v1 dan c12 = u1 +v2 dan seterusnya.
Proses ini harus dilakukan untuk setiap sel terisi. Tetapi harap disadari
bahwa walaupun solusi dasar yang memenuhi syarat dalam suatu model
transportasi terdiri atas m+n–1 variabel (dengan perkataan lain, terdapat m+n–1 sel
terisi), tentukan m+n nilai untuk memperoleh sekumpulan bilangan baris dan
kolom, harus dipilih satu bilangan sembarang yang mewakili suatu baris atau suatu
kolom.
Sekali suatu bilangan baris atau kolom telah dipilih secara sebarang, bilangan
baris dan bilangan kolom lainnya dapat ditentukan oleh hubungan cmn = um + vn.
Hubungan ini harus berlaku untuk semua sel isi karena sembarang bilangan
dapat dipilih untuk mewakili salah satu dari um atau vn, ikuti secara praktis
dengan memisahkan u1 = 0.
Tabel Metode MODI
Implied Cost Biaya Sebenarnya Tindakan Program yang lebih baik dapat disusun
dengan mengikut sertakan sel ini
Tidak berpengaruh
Sel ini jangan diikut sertakan dalam program
Jika implied cost (um + vn) dari suatu sel kosong lebih besar dari ongkos
sebenarnya (cmn), maka sel kosong ini dapat diikut sertakan dalam perbaikan
program berikutnya. Jika implied cost (um + vn) dari suatu sel kosong kurang dari
ongkos sebenarnya (cmn), maka sel kosong ini jangan diikut sertakan. Jika (um + vn) =
Meyta Dwi Kurniasih, M.Pd. Pendidikan Matematika UHAMKA
76
cmn maka sel kosong ini tidak berpengaruh terhadap perbaikan program.
Singkatnya, untuk menilai dan meningkatkan suatu program dimana tujuannya
ialah meminimumkan fungsi obyektif, maka aturan yang tertera pada tabel aturan
MODI diatas berlaku.
Langkah terakhir dalam metode MODI persis sama seperti langkah berkaitan
dalam metode batu loncatan. Setelah mengenali sel kosong yang memiliki biaya
kesempatan terbesar positif, sel kosong ini harus diikut sertakan dalam program
perbaikan dan sebuah lintasan tertutup harus digambar untuk sel ini.
Solusi dasar yang baru dan memenuhi syarat diturunkan dari program awal
dengan menggeser unit barang sebanyak mungkin kedalam sel kosong tanpa
melanggar persyaratan rim.
iaya kesempatan biaya sebenarnya
b. Prosedur Metode MODI (untuk kasus minimum)
Memperoleh solusi dasar yang memenuhi syarat. Metode yang
digunakan metode pojok barat-laut atau inspeksi. Harus
diperoleh m+n–1 sel terisi. Jika jumlah sel terisi melebihi m+n–1,
maka ada salah hitung. Jika jumlah sel terisi kurang dari
m+n-1, maka solusi ini mengalami kemerosotan.
Menentukan biaya kesempatan dari setiap sel kosong.
a. Tentukan bilangan baris dan bilangan kolom secara lengkap. b.
Untuk setiap sel terisi berlaku cmn = um + vn ambillah u1 = 0.
Hitunglah implied cost dari setiap sel kosong.
Implied cost = bilangan baris + bilangan kolom.
b. Tentukan biaya kesempatan dari setiap sel kosong.
Opportunity cost = um + vn - cmn.
Jika semua sel kosong memiliki biaya kesempatan tidak
positif, maka solusi sudah optimal. Jika masih ada sel kosong
yang memiliki biaya kesempatan positif, program masih dapat
Langkah 1
Langkah 2
Handout Program Linier : Model Transportasi
77
diperbaiki.
Merancang peningkatan program Sel kosong yang memiliki
biaya kesempatan positif terbesar diikut sertakan dalam
program perbaikan.
a. Gambarlah suatu loop melalui sel kosong tersebut menuju
sel- sel terisi kemudian kembali lagi ke sel kosongnya.
b. Beri tanda (+) pada sel kosong yang akan diisi, kemudian
berganti-ganti letakkan tanda (+) dan (-) pada sel-sel
terisi yang dilalui loop.
c. Banyaknya barang yang harus digeser ditentukan oleh
alokasi terendah dari sel yang bertanda (-).
Ulangi langkah 2 dan 3 sampai diperoleh program yang optimal.
c. Prosedur Metode MODI (untuk kasus maksimum)
Kecuali untuk satu transformasi, suatu masalah transportasi dengan tujuan
menentukan nilai maksimum dari suatu fungsi, dapat diselesaikan dengan algoritma
MODI seperti telah dijelaskan. Transformasi dilakukan dengan mengurangkan
semua cmn dari cmn tertinggi dari matriks transportasi. Nilai cmn yang telah
mengalami transformasi memberikan ongkos relevan, dan masalah menjadi
masalah menentukan minimum. Jika suatu solusi optimal telah dicapai untuk
masalah transformasi minimum ini, nilai dari fungsi obyektif dapat dihitung dengan
memasukan nilai asli dari cmn kedalam rute yang merupakan basis (sel terisi) dalam
solusi optimal.
2.5. Metode VAM
Metode ini disebut juga Vogel Approximation Metod (VAM). Metode ini
didasarkan atas suatu beda kolom dan suatu beda baris, yang menentukan beda
antara dua ongkos. Setiap beda dapat dianggap sebagai penalti karena tidak
menggunakan rute termurah. Setelah dilakukan perhitungan penalti sesuai
Langkah 3
Langkah 4
Meyta Dwi Kurniasih, M.Pd. Pendidikan Matematika UHAMKA
78
metode pendekatan Vogel, ditentukanlah penalti tertinggi. Baris atau kolom
berkaitan dengan penalti tertinggi, akan dijadikan alokasi yang pertama.
Alokasi pertama ini ditempatkan pada sel dengan penalti tertinggi pada
baris atau kolom yang berkaitan dengan biaya termurah. Alokasi pertama ini
menentukan baris atau kolom mana yang akan dihapus dari matriks transportasi,
akibat terpenuhinya keperluan dari alokasi pertama tadi.
Metode ini memiliki kelemahan dikarenakan harus melakukan perhitungan-
perhitungan yang banyak, sebelum tercapainya solusi dasar yang memenuhi
syarat. Akan tetapi, metode pendekatan Vogel dapat menghasilkan biaya
pengangkutan yang jauh lebih murah dibanding dengan menggunakan metode
pojok barat-laut.
D. Skenario Model Transportasi
Masalah transportasi diformulasikan berdasarkan skenario sebagai berikut :
1. Ada sumber/daerah asal (origin) dengan kapasitas (supply) maksimumnya.
2. Ada tujuan (destination) dengan permintaan (demand) minimumnya.
3. Ada jalur angkutan dari setiap sumber ke setiap tujuan beserta ongkos angkut
satuan. (Ongkos sifatnya linier proporsional terhadap jarak)
4. Ada satu macam komoditi saja yang diangkut
5. Meminimalkan ongkos angkut.
6. Adanya fungsi sasaran (objective function) yang diasumsikan linear.
E. Langkah-Langkah Penyelesaian :
Akibatnya banyaknya variabel basis adalah m+n-1, sebab m+n-1 merupakan
banyaknya persamaan yang saling independen. Oleh karena itu penyelesaian fisibel
basis (pfb) terdiri atas m+n-1 variabel basis. Untuk mencari solusi optimal (minimal)
masalah transportasi, dikerjakan dengan 3 langkah:
Handout Program Linier : Model Transportasi
79
5.1. Langkah 1 : Menyusun solusi awal (tabel awal)
Maksud menyusun solusi awal: untuk mencari pfb. Dasar hukum (dalil) :
Hukum 1: Tabel transportasi akan memberikan suatu pfb bila dalam setiap
pengisian alokasi dipilih alokasi yang memaksimalkan kotak dengan
batasan supply & demand.
Hukum 2: pfb paling tidak memuat satu solusi optimal.
Berdasarkan kedua hukum di atas, ada beberapa metode peyusunan
tabel awal antara lain : yaitu metode sudut barat laut (North West Corner) dan
metode inspeksi.
5.2. Uji Optimalitas
Ada beberapa metode untuk menguji optimalisasi, antara lain Metode
Batu Loncatan, Metode MODI, dan Metode Pendekatan Vogel. Berikut adalah
langkah untuk metode Stepping-Stone (Metode Batu Loncat). Uji optimalitas
metode stepping-stone dikerjakan sebagai berikut :
a. Untuk setiap kotak kosong xij dicari lintasan horisontal & vertikal
(tertutup/loop) melewati kotak-kotak yang sudah isi. Loop ini selalu bisa
diperoleh, karena kita sudah mempunyai m+n-1 kotak isi. Sebagai gambaran
misalkan Ada kotak kosong yang mempunyai lintasan tertutup
x13 x14 x34 x33 x13,
maka “opportunity Cost” c13* didefinisikan sebagai :
c13* = --Δf13
di mana Δf13 = c13 – c14 + c34 – c33.
Hitunglah opportunity cost cij untuk setiap kotak kosong xij.
b. Solusi sudah optimal, bila dan hanya bila /jika opportunity cost cij* ≤ 0,
untuk semua kotak kosong xij.
c. Solusi belum optimal, jika terdapat opportunity cost cij* > 0, untuk suatu
kotak kosong xij jika ini terjadi, maka langkah selanjutnya adalah
memperbaiki tabel (langkah III)
Meyta Dwi Kurniasih, M.Pd. Pendidikan Matematika UHAMKA
80
5.3. Memperbaiki Tabel
Memperbaiki tabel pada dasarnya adalah menentukan variabel basis yang
keluar dan sekaligus menentukan variabel baru yang masuk sebagai basis. Caranya
sebagai berikut :
a. Kotak kosong yang diisi (yaitu variabel baru yang masuk sebagai basis)
adalah kotak kosong xij yang mempunyai opportunity cost cij* > 0 (mxn)-(n
terbesar)
b. Untuk kotak kosong yang terpilih untuk diisi, ditentukan loop dulu. Lintasan
tertutup (loop) seperti langkah II (metode stepping-stone) dan diberi tanda
berselang-seling positif negatip mulai dengan kotak kosong terpilih. Pilih
alokasi kotak bertanda negatip paling kecil (paling melarat), itulah alokasi
maksimum yang bisa digeser dan masuk kotak terpilih melalui loop tadi. Tanda
negatip berarti alokasi doner & alokasi donor paling melarat itulah variabel
basis yang keluar. Ia menjadi kotak kosong pada tabel berikutnya.
c. Setelah kotak kosong tersebut diisi, kemudian dikerjakan langkah II (uji
optimalitas) lagi. Demikian seterusnya sampai diperoleh solusi optimal.
F. Contoh Soal
1. Diketahui model transportasi seperti gambar berikut :
b1 = 50 a1 = 30
b2 = 40 a2 = 60
O1
O2
D1
D2
Handout Program Linier : Model Transportasi
81
Penyajian : c11 = 3, c12 = 5 , c21 = 1, c22 = 2
Origin D1 D2 bi
3 5
O1 30 20 50
1 2
O2 0 40 40
ai 30 60
90
Tabel awal diisi dengan metode North-West-Corner
- Setiap pengisian harus full kolom/ baris
- Alokasi kosong tak perlu diisi, x21 = 0
Nilai f = 30(3) + 20(5) + 2(40) + 0(1) = 270
Andaikan x21 diisi 1 alokasi, maka tabel menjadi
D1 D2 bi
3 5
O1 29(-) 21(+) 50
1 2
O2 1+ 39(-) 40
ai 30 60
Dan akibatnya f baru = 29(3) + 21(5) + 1(1) + 39(2) = 271
f lama = 270
maka Δ f21 = f baru – f lama = 1
Perhatikan Δf = (-1)3 + (1)(5) (+1)(1) + (-1)(2) = 1 → f bertambah besar
x-21 mempunyai opportunity cost
c21* = -Δ f21 = -1 (lawan Δ f21)
Jadi tabel sudah optimum (minimum)
Meyta Dwi Kurniasih, M.Pd. Pendidikan Matematika UHAMKA
82
jadi solusinya adalah:
30
50 30
20
40 60
40
Jadi dalam contoh ini tabel pertama langsung memberikan hasil yang optimum.
2. Perhatikan skema model transportasi berikut :
b1 = 80 a1 = 50
b2=20 a2 = 50
Penyajian: c11 = 4 c12 = 3 c21 = 2 c22 = 5
Penyelesaian :
Langkah 1 :
D1 D2 bi
3 5
O1 50 (+)30 80
1 2
O2 + (-)20 20
ai 50 50 100
x21 = 0
Tabel awal diisi dengan metode North West Corner :
f = 4(50) + 3(30) + 0(2) + 5(20) = 390
Jika x21 diisi 1 alokasi, maka tabel berubah menjadi :
O2 D2
O1
D1
O2 D2
O1
D1
Handout Program Linier : Model Transportasi
83
D1 D2 bi
4 3
O1 49 (+)31 80
2 5
O2 1+ (-)19 20
ai 50 50 100
Dengan fbaru = 4(49) + 3(31) + (1)(2) + 5(19) = 386
Δ f21 = fbaru – flama = - 4
Jadi c21* = - Δ f21 = 4 solusi belum optimal (minimal).
Langkah 2 :
Karena kotak X21 satu-satunya kotak dengan c21* = 4 > 0, maka X21 harus diisi dengan
alokasi donor yang paling melarat ialah X22 = 20 (digeser sepanjang lintasan(loop))
tertutup : x21, x11, x12.
x22 keluar dari basis
X21 masuk basis
Jadi tabel pada langkah II, ialah:
D1 D2 bi
4 3
O1 30(+) (-)50 80
2 5
O2 20(-) (+) 20
ai 50 50 100
x22 = 0.
c22* = -Δf = - (+5+4-2-3) = -4 < 0.
Karena c22* < 0, maka solusi sudah optimal.
Jadi solusi optimalnya ialah:
Meyta Dwi Kurniasih, M.Pd. Pendidikan Matematika UHAMKA
84
80 30 =50
50
20 20 =50
G. Soal Latihan
Kerjakan soal berikut :
1. perusahaan mempunyai 4 buah pabrik dengan 4 daerah pemasaran. Ke empat
pabrik mempunyai kapasitas produksi yang sama yaitu 100 ton. Sedangkan ke
empat daerah pemasaran masing-masing mempunyai demand 75, 75, 160 dan 90
ton per bulan. Tentukan besarnya komoditi yang seharusnya diikirim dari masing-
masing pabrik ke masing-masing daerah pemasaran agar ongkos angkut total
minimal, jika diketahui ongkos angkut satuan dari setiap pabrik ke daerah
pemasaran sebagai berikut:
Destination Origin
D1 D2 D3 D4 Supply
bi
O1 4 5 6 7
100
O2 5 2 1 7
100
O3 6 6 2 5
100
O4 1 3 6 4
100
Demand ( a)j 75 75 160 90 400 400
Atau pakai North West Corner (mulai dari barat laut)
Atau pakai Least Cost Method (pilih yang costnya terkecil)
O2 D2
O1
D1
Aktivitas 1
Handout Program Linier : Model Transportasi
85
k23 b2=100, a3 = 160 (pilih yang min) = 100 baris 2 penuh
yang 1dipilih k41 b4=100, a1=75 (pilih yan min) =75 kolom 1 penuh.
yang 2 dipilih k33 160-100 = 60 baris 3 penuh dan seterusnya.
Penyelesaian :
Destination
Origin D1 D2 D3 D4
Supply
bi
O1
O2
O3
O4
Demand ( a)j
Tabel awal diisi dengan cij terkecil. Urutan : k23, k41, k33, k42, k12, k34, k14.
Kotak isi = m+n-1 = 4 + 4 – 1 = 7
c11* = -Δf = - (4-5+3-1) = -1 lintasan k11, k12, k42, k41
c13* = -Δf = - ( .............................................) = ............. lintasan k13, k14, k34, k33
c21* = -Δf = - (...................................................) = ....... lintasan k21, k23, k33, k34, k14, k12, k42, k41
c22* = -Δf = - (...............................................................) = .......... lintasan k22, k23, k33, k34, k14, k12
c24* = -Δf = - (...............................................................) = .............. lintasan k24, k34, k33, k23
c31* = -Δf = - (...............................................................) = ............ lintasan k31, k34, k14, k12, k42, k41
c32* = -Δf = - (............................................................) = .............. lintasan k32, k12, k14, k34
c43* = -Δf = - (...............................................................) = ............ lintasan k43, k42, k12, k14, k34,k33,
c44* = -Δf = - (...............................................................) = ............ > 0 lintasan k44, k42, k12, k14, k44
solusi belum optimal, sebab c44* = ........... > 0. Maka tabel baru: (II)
Meyta Dwi Kurniasih, M.Pd. Pendidikan Matematika UHAMKA
86
Destination
Origin D1 D2 D3 D4
Supply
bi
O1
O2
O3
O4
Demand ( a)j
Alokasi donor yang paling melarat ialah x42 = 25 digeser ke x44 melewati lintasan k42, k44, k-
14, k12
Periksa opportunity cost:
c11* = -Δf = - (.....................................................) = ............... lintasan k11, k14, k44, k41, k11
c13* = -Δf = - (.....................................................) = ............... lintasan k13, k14, k34, k33, k13
c21* = -Δf = - (..................................................... )= .......... lintasan k21, k23, k33, k34, k44, k41
c22* = -Δf = - (.....................................................) = ......... lintasan k22, k23, k33, k34, k14, k12
c24* = -Δf = - (..................................................) = ....... lintasan k24, k23, k33, k34, k24.
c31* = -Δf = - (...................................................) = ......... lintasan k31, k34, k44, k41, k31
c32* = -Δf = - (...................................................) =.......... lintasan k32, k34, k14, k12, k32
c42* = -Δf = - (...................................................) = ........... lintasan k42, k44, k14, k12, k42
c43* = -Δf = - (....................................................) = ........... lintasan k43, k44, k34, k33,
karena cij* ≤ 0, untuk semua kotak kosong xij, maka solusi sudah optimum (minimum),
dengan min = ...............................................................................................
Handout Program Linier : Model Transportasi
87
Jadi solusinya adalah sebagai berikut:
100 75 -75
25
100 100 -75
60
100 -160
75 40
100 25 -90
2. Jaka Sebuah perusahaan pupuk mempunyai 3 pabrik di Cirebon, Bandung dan
Cilacap yang masing-masing mampu memproduksi 120, 80 dan 80 ton per bulan.
Perusahaan tersebut juga mempunyai 3 gudang di Semarang, Jakarta dan
Purwoketo yang masing-masing mampu menampung 150, 70, dan 60 ton per
bulan. Tentukan banyaknya pupuk yang seharusnya dikirim dari masing-masing
pabrik ke masing-masing gudang, agaraongkostotal minimum, jika diketahui
ongkos angkut sasaran dari masing-masing pabrik ke masing-masing gudang
sebagai berikut
Gudang Pabrik
D1 D2 D3 bi
O1 8 5 6
120
O2 15 10 12
80
O3 3 9 10
80
aj 150 70 60 280 280
O1 = pabrik di Cirebon D1 = gudang di Semarang
O2 = pabrik di Bandung D2 = gudang di Jakarta
O3 = pabrik di Cilacap D3 = gudang di Purwokerto
O1 D1
O2 D2
O3 D3
D4 O4
Meyta Dwi Kurniasih, M.Pd. Pendidikan Matematika UHAMKA
88
3.
Jawaban :
O1 D1
O2
O3
D2
D3
Handout Program Linier : Model Transportasi
89
Meyta Dwi Kurniasih, M.Pd. Pendidikan Matematika UHAMKA
90
Handout Program Linier : Model Transportasi
91
Kesimpulan apa yang dapat Anda ambil pada pembelajaran ini :
...........................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................
Tanggal Nilai Paraf Dosen
Aktivitas 2
Meyta Dwi Kurniasih, M.Pd. Pendidikan Matematika UHAMKA
92
Daftar Pustaka
Bintang K, Yosep. 2005. Matematika Ekonomi dan Bisnis. Jakarta : Salemba Empat Dumairy. 1991. Matematika Terapan Untuk Bisnis dan Ekonomi (Edisi 2). Yogjakarta :
BPFE Levin, Richard I., et al. 1992. Quantitative Approaches to Management, eighth edition.
New York : McGraw-Hill. Render, Barry dan Jay Heizer. 1997. Principles of Operations Management, second
edition, Upper Saddle River. New Jersey : Prentice Hall, Inc. Ruminta. 2009. Matriks, Persamaan Linier dan Pemprograman Linier. Bandung:
Rekayasa Sains. Siringoringo, Hotniar. 2005. Seri Teknik Riset Operasional: Pemrograman Linear.
Yogjakarta: Graha Ilmu. Sudrajat. 2008. Pendahuluan Penelitian Operasional. Bandung : Univ. Padjajaran. Taha, Hamdy A. 1997. Operations Research, an Introduction, sixth edition, Upper Saddle
River. New Jersey : Prentice Hall, Inc. Tapilouw, Marten & Soemartojo. 2007. Program Linier. Jakarta : UT. Yuwono, Bambang & Putri Istiani. 2007. Riset Operasional. Yogjakarta : UPN Veteran
top related