du monde réel au monde virtuel : voyage aller et retour · Élasticité linéaire, edp rupture,...
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Du monde réel au monde virtuel :
voyage aller et retour
S. Labbé (UJF - LJK)
Simulation du monde réel : du monde réel au virtuel réel et retour
Monde physique
Mondevirtuel
Monde numérique
Infini au fini
Étude mathématique des modèles
Validation mathématique
Optimisation etcalcul hautes performances
Étude de systèmes discretsConstruction d’algorithmes
Comparaison avec le monde physique
Améliorationdes modèlessymboliques
Prototype C-armLaboratoire TIMC
Simulation d’advection avec 2563 particules par méthode particulaire (projet PARMES, LJK)
Un modèle analogique de spins (projet HM-MAG, LJK)
Un modèle pour l’effet Leidenfrost (projet MIGAL, LJK)
Modélisation, simulation, comparaisons
Les points clefsModèles analogiques
Compréhension des erreurs
Méthodes numériques
Com
paraisons avec l’expérience
Quelqu
es do
maines
d’app
licati
ons e
t outi
ls
Limites
Algorithmique
Physique élémentaire
Dérivation
Expériences
Magnétisme de base
Langages interprétés
et bien d’autres...
Mouvement de points
Quelques exemples de travaux en laboratoire
Deux exemples de domaines
La dynamique de la banquiseLa mécanique des fluides
Point commun : les équations au dérivées partielles
Dynamique de la banquise
ObjectifsComprendre la fonte des glaces de mer
Prévoir les variations climatiquesPrévenir les dangers
Processus de recherche
Travaux de Matthias Rabatel, thèse au LJK
Choc de plaques entre ellesRupture des plaquesBeaucoup de donnéesLiens avec les grandes échelles
Les plaques rigidesLes plaques élastiquesLes plaques fragiles
Mécanique des chocs et des frottements, EDOÉlasticité linéaire, EDPRupture, méthodes variationnelles
Observations en bassinObservations en mer
Identification du problème
Découpage du problème
Développement des outils
Comparaisons au réel
Travaux de Matthias Rabatel, thèse au LJK
Dynamique des fluides
ObjectifsComprendre l’effet Leidenfrost
Simuler cet effetOptimiser cet effet
Processus de rechercheModélisation de l’évaporationÉchelles de modélisation
Construction du modèle mathématiqueAnalyse des équationsChoix d’une méthode numériqueSimulations
Mécanique des fluides : EDPMéthode numérique : Level Set
Expériences de physique : données de temps de vieComparaison qualitative : forme des gouttes
Identification du problème
Découpage du problème
Développement des outils
Comparaisons au réel
Travaux de Denis Roland, thèse au LJK
Trois exemples
Cartographie Mirages BoussolesNiveau collège et lycée
Niveau Lycée
Niveau collège
Théorème de Pythagore
Construction géométrique
Volumes
Taux de variationFonctions trigonométriquesMinimum et maximum
SommesLimites
Programmation
Boussoles
Positionnement du problème
Plan d’expérience
Outils mathématiques
Comment modéliser le mouvement des boussoles ?
Compréhension des expériences et construction du modèle.Mise en place du modèle.Test du modèle.
Fonctions trigonométriques.Géométrie.Minimum et maximum d’une fonction.
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Les aimants : expérience analogique et numérique
Simulation Expérience
Observations
1- champ magnétique
2- interactions avec une boussole
Expérience de la limaille de fer pour caractériser le champ.Analogie avec le champ magnétique terrestre.
Jeux avec une boussole : trouver les équilibres stables et instables.Compte-rendu des observations.
Construction du modèle
Analogie des montagnes russes
Construction d’un graphique de l’énergie de la boussole à partir de l’analogie.
Lien avec le cosinus
Périodicité, symétries en font un bon candidat.Lien éventuel avec le produit scalaire.
E(a)=cos(a),
où a est l’angle entre la boussole et le champ appliqué b.
b
direction de la boussole
angle a
Un cran plus loin : deux boussoles
Le champ magnétique généré en y par une boussole de direction m placée en y :
Un cran plus loin : deux boussoles
On peut alors calculer l’énergie du système à deux boussoles espacées d’une unité de longueur
Le minimum est atteint pour des
boussoles opposées
Énergie en fonction de l’angle des deux boussoles par rapport à l’axe des abscisses.
Les mirages
Positionnement du problème
Plan d’expérience
Outils mathématiques
Comment expliquer le phénomène des mirages ?
Construction du modèle numérique.Calcul sur ordinateur.Expérience de physique.
Trigonométrie, géométrie.Sommes, limites.Taux de variation, dérivée.
Les principes
Trajectoire d’un rayon lumineux
Plaques d’indice de réfraction croissant
Le modèle
Lois de la réfraction de Descartes
Milieu d’indice n2
Milieu d’indice n1
a1
a2
n1 sin(a1) = n2 sin(a2)
Hypothèse
Si a1 est proche de 90o, on considère une réflexion.
Construction de la suite
N couches : la couche i a un indice de réfraction de n0 + (i-1) m
Chaque couche a une épaisseur égale à h
Expérience
Gros sel
Eau
Laser
Cartographie
Positionnement du problème
Plan d’expérience
Outils mathématiques
Comment, avec un rapporteur, un compas et un bâton de un mètre peut-on cartographier un lieu ?
Depuis la salle de classe, mise en place d’un plan de la cours.Construction du plan en utilisant le compas, le rapporteur et le bâton de un mètre : comment faire ?Comparaison avec des mesures directes, évaluation des erreurs commises.
Théorème de PytaghoreThéorème de Thalès.
Les principes
Angle a
Bâton de un mètre
L=1/(2 sin(a/2))
Estimation de l’erreur par encadrement
- a priori quelle erreur va-t-on commettre ?- a posteriori, a-t-on été efficace ?
Appliquer le même principe pour les hauteurs.
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