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1 Christian A. Mandery:DuE-Tutorien 16 und 17
Fakultät für Informatik
Tutorienwoche 2 am 12.11.2010
DuE-Tutorien 16 und 17Tutorien zur Vorlesung “Digitaltechnik und Entwurfsverfahren”
KIT – Universität des Landes Baden-Württemberg undnationales Grossforschungszentrum in der Helmholtz-Gemeinschaft www.kit.edu
Heute
2 Christian A. Mandery:DuE-Tutorien 16 und 17
Fakultät für Informatik
BCD-CodeGray-CodeAiken-CodeStibitz-CodeGleitzomma-DarstellungIEEE 754Übungsaufgaben
BCD-Code: Einführung
3 Christian A. Mandery:DuE-Tutorien 16 und 17
Fakultät für Informatik
Binary Coded DecimalJe vier Bits werden zu einer dezimalen Stelle zusammengefasst undals Tetrade bezeichnetDie hexadezimalen Ziffern, die keine dezimale Ziffer darstellen (A-F)werden als Pseudotetraden bezeichnet und sind ungültigKommadarstellung z.B. durch Festkomma-DarstellungBeispiel: 1001010100010111BCD = 951710
BCD-Code: Codetabelle
4 Christian A. Mandery:DuE-Tutorien 16 und 17
Fakultät für Informatik
Wert Codewort Wert Codewort0 0000 5 01011 0001 6 01102 0010 7 01113 0011 8 10004 0100 9 1001
Vor- und Nachteile des BCD-Code?
BCD-Code: Codetabelle
4 Christian A. Mandery:DuE-Tutorien 16 und 17
Fakultät für Informatik
Wert Codewort Wert Codewort0 0000 5 01011 0001 6 01102 0010 7 01113 0011 8 10004 0100 9 1001
Vor- und Nachteile des BCD-Code?
Gray-Code
5 Christian A. Mandery:DuE-Tutorien 16 und 17
Fakultät für Informatik
Code, bei dem sich benachbarte Codewörter nur in einer ZifferunterscheidenAuch das niedrigste und höchste Codewort sind als benachbart zubetrachtenGray-Code für 3 Bit:
Wert Codewort Wert Codewort0 000 4 1101 001 5 1112 011 6 1013 010 7 100
Vor- und Nachteile?
Gray-Code
5 Christian A. Mandery:DuE-Tutorien 16 und 17
Fakultät für Informatik
Code, bei dem sich benachbarte Codewörter nur in einer ZifferunterscheidenAuch das niedrigste und höchste Codewort sind als benachbart zubetrachtenGray-Code für 3 Bit:
Wert Codewort Wert Codewort0 000 4 1101 001 5 1112 011 6 1013 010 7 100
Vor- und Nachteile?
Aiken-Code
6 Christian A. Mandery:DuE-Tutorien 16 und 17
Fakultät für Informatik
Ähnlich dem BCD-Code, aber mit den Wertigkeiten 2-4-2-1Pseudotetraden sind hier 5 bis A
Aiken(n) = not Aiken(9 - n)Berechnung von 9 - n (Neunerkomplement) ist sehr einfachWas nützt einem das?
Aiken-Code für 4 Bit:Wert Codewort Wert Codewort
0 0000 5 10111 0001 6 11002 0010 7 11013 0011 8 11104 0100 9 1111
Vor- und Nachteile?
Aiken-Code
6 Christian A. Mandery:DuE-Tutorien 16 und 17
Fakultät für Informatik
Ähnlich dem BCD-Code, aber mit den Wertigkeiten 2-4-2-1Pseudotetraden sind hier 5 bis A
Aiken(n) = not Aiken(9 - n)Berechnung von 9 - n (Neunerkomplement) ist sehr einfachWas nützt einem das?
Aiken-Code für 4 Bit:Wert Codewort Wert Codewort
0 0000 5 10111 0001 6 11002 0010 7 11013 0011 8 11104 0100 9 1111
Vor- und Nachteile?
Stibitz-Code
7 Christian A. Mandery:DuE-Tutorien 16 und 17
Fakultät für Informatik
Entspricht dem BCD-Code, wenn man zu jeder Ziffer 3 addiertPseudotetraden sind 0 bis 2 und D bis FBereich der gültigen Tetraden ist “zentriert”Daher wieder einfache Berechnung von Neunerkomplement durchNegation (wie Aiken-Code)
Codetabelle:Wert Codewort Wert Codewort
0 0011 5 10001 0100 6 10012 0101 7 10103 0110 8 10114 0111 9 1100
Vor- und Nachteile?
Stibitz-Code
7 Christian A. Mandery:DuE-Tutorien 16 und 17
Fakultät für Informatik
Entspricht dem BCD-Code, wenn man zu jeder Ziffer 3 addiertPseudotetraden sind 0 bis 2 und D bis FBereich der gültigen Tetraden ist “zentriert”Daher wieder einfache Berechnung von Neunerkomplement durchNegation (wie Aiken-Code)
Codetabelle:Wert Codewort Wert Codewort
0 0011 5 10001 0100 6 10012 0101 7 10103 0110 8 10114 0111 9 1100
Vor- und Nachteile?
Bisher: Festkomma-Darstellung
8 Christian A. Mandery:DuE-Tutorien 16 und 17
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Das Komma wird an eine feste Stelle verfügt, mit derentsprechenden Wertigkeit der StellenBeispiel für Format mit drei Nachkommazahlen:
Stelle Wertigkeit0. Bit (LSB) 1/8
1. Bit 1/42. Bit 1/23. Bit 14. Bit 2
... ...
Probleme der Festkomma-Darstellung
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Fakultät für Informatik
Festkomma-Darstellung hat Vorteile ...Assoziativgesetz giltKeine Auslöschung
... aber auch Nachteile:Sehr große und sehr kleine Zahlen nicht darstellbarDifferenz von aufeinanderfolgenden Zahlen ist über den ganzenZahlenbereich gleich groß
→ Gleitkommazahlen
Gleitkomma-Darstellung
10 Christian A. Mandery:DuE-Tutorien 16 und 17
Fakultät für Informatik
Eine Gleitkommazahl wird durch drei Werte beschrieben:Vorzeichen-BitMantisse: Ziffern der Gleitkommazahl (als Nachkommastellen)Exponent: Verschiebung der Mantisse, um die Zahl zu erhalten
Der Exponent wird in der Offset-Darstellung (Exzess-Code)gespeichert und dann als Charakteristik bezeichnetBerechnung des Werts der Gleitkommazahl:
Zahl = (−1)Vorzeichen−Bit ∗ (0, Mantisse) ∗ bExponent
Achtung: Bei normierter Darstellung steht vor dem Komma eine Eins!Die Basis b ist meistens 2
Gleitkomma-Darstellung
10 Christian A. Mandery:DuE-Tutorien 16 und 17
Fakultät für Informatik
Eine Gleitkommazahl wird durch drei Werte beschrieben:Vorzeichen-BitMantisse: Ziffern der Gleitkommazahl (als Nachkommastellen)Exponent: Verschiebung der Mantisse, um die Zahl zu erhalten
Der Exponent wird in der Offset-Darstellung (Exzess-Code)gespeichert und dann als Charakteristik bezeichnetBerechnung des Werts der Gleitkommazahl:
Zahl = (−1)Vorzeichen−Bit ∗ (0, Mantisse) ∗ bExponent
Achtung: Bei normierter Darstellung steht vor dem Komma eine Eins!Die Basis b ist meistens 2
Gleitkomma-Darstellung
10 Christian A. Mandery:DuE-Tutorien 16 und 17
Fakultät für Informatik
Eine Gleitkommazahl wird durch drei Werte beschrieben:Vorzeichen-BitMantisse: Ziffern der Gleitkommazahl (als Nachkommastellen)Exponent: Verschiebung der Mantisse, um die Zahl zu erhalten
Der Exponent wird in der Offset-Darstellung (Exzess-Code)gespeichert und dann als Charakteristik bezeichnetBerechnung des Werts der Gleitkommazahl:
Zahl = (−1)Vorzeichen−Bit ∗ (0, Mantisse) ∗ bExponent
Achtung: Bei normierter Darstellung steht vor dem Komma eine Eins!Die Basis b ist meistens 2
Normalisierte Gleitkommazahlen
11 Christian A. Mandery:DuE-Tutorien 16 und 17
Fakultät für Informatik
Jeder Binärzahl außer der Null enthält irgendwo eine EinsWenn die Zahl nicht zu klein ist, kann man die erste Eins mit demExponent immer vor das Komma schieben→ Normalisierte DarstellungDurch eine implizite Eins statt Null vor dem Komma gewinnt man einBit GenauigkeitAber: Man braucht dann eine spezielle Darstellung für die Null (undggf. sehr kleine Zahlen)
Normalisierte Gleitkommazahlen
11 Christian A. Mandery:DuE-Tutorien 16 und 17
Fakultät für Informatik
Jeder Binärzahl außer der Null enthält irgendwo eine EinsWenn die Zahl nicht zu klein ist, kann man die erste Eins mit demExponent immer vor das Komma schieben→ Normalisierte DarstellungDurch eine implizite Eins statt Null vor dem Komma gewinnt man einBit GenauigkeitAber: Man braucht dann eine spezielle Darstellung für die Null (undggf. sehr kleine Zahlen)
Aufbau von Gleitkommazahlen
12 Christian A. Mandery:DuE-Tutorien 16 und 17
Fakultät für Informatik
Um ein einheitliches Format zu verwenden, legt man fest, welcheBits der Gleitkommazahl Vorzeichen, Mantisse und ExponentspezifizierenEine solche Festlegung macht der IEEE 754-Standard (“IEEEStandard for Binary Floating-Point Arithmetic for MicroprocessorSystems”)
Spezielle Gleitkommazahlen
13 Christian A. Mandery:DuE-Tutorien 16 und 17
Fakultät für Informatik
Bestimmte Gleitkommazahlen, mit denen man eineGleitkomma-Darstellung charakterisieren kann, haben einenspeziellen Wert.
Maxreal: Größte normalisierte ZahlMinreal: Kleinste normalisierte ZahlSmallreal: Kleinste Zahl x mit 1 + x 6= 1
IEEE 754: Formate
14 Christian A. Mandery:DuE-Tutorien 16 und 17
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Single Precision (“float“):32 Bit = 1 Bit Vorzeichen + 8 Bit Charakteristik + 23 Bit MantisseOffset für Charakteristik: 127
Double Precision (”double”):64 Bit = 1 Bit Vorzeichen + 11 Bit Charakteristik + 52 Bit MantisseOffset für Charakteristik: 1023
IEEE 754: Formate
14 Christian A. Mandery:DuE-Tutorien 16 und 17
Fakultät für Informatik
Single Precision (“float“):32 Bit = 1 Bit Vorzeichen + 8 Bit Charakteristik + 23 Bit MantisseOffset für Charakteristik: 127
Double Precision (”double”):64 Bit = 1 Bit Vorzeichen + 11 Bit Charakteristik + 52 Bit MantisseOffset für Charakteristik: 1023
IEEE 754: Charakteristik
15 Christian A. Mandery:DuE-Tutorien 16 und 17
Fakultät für Informatik
1 ≤ Charakteristik ≤ 254:Exponent = Charakteristik − 127Normalisierung
Charakteristik = 0:Kleinstmöglicher Exponent (-126)Keine Normalisierung (nur so ist die Null darstellbar!)
Charakteristik = 255:Mantisse = 0: Überlauf (“unendlich”)Mantisse 6= 0: NaN (“Not a Number”)
IEEE 754: Charakteristik
15 Christian A. Mandery:DuE-Tutorien 16 und 17
Fakultät für Informatik
1 ≤ Charakteristik ≤ 254:Exponent = Charakteristik − 127Normalisierung
Charakteristik = 0:Kleinstmöglicher Exponent (-126)Keine Normalisierung (nur so ist die Null darstellbar!)
Charakteristik = 255:Mantisse = 0: Überlauf (“unendlich”)Mantisse 6= 0: NaN (“Not a Number”)
IEEE 754: Charakteristik
15 Christian A. Mandery:DuE-Tutorien 16 und 17
Fakultät für Informatik
1 ≤ Charakteristik ≤ 254:Exponent = Charakteristik − 127Normalisierung
Charakteristik = 0:Kleinstmöglicher Exponent (-126)Keine Normalisierung (nur so ist die Null darstellbar!)
Charakteristik = 255:Mantisse = 0: Überlauf (“unendlich”)Mantisse 6= 0: NaN (“Not a Number”)
Übungsaufgabe 1
16 Christian A. Mandery:DuE-Tutorien 16 und 17
Fakultät für Informatik
Vervollständigen Sie folgende Tabelle:
Dezimalzahl BCD-Kode AIKEN-Kode STIBITZ-Kode13,78
10010111,10011001,00011010
0110,01000111
Übungsaufgabe 2
17 Christian A. Mandery:DuE-Tutorien 16 und 17
Fakultät für Informatik
Gegeben sei das folgende Maschinenformat für die Darstellung vonGleitkommazahlen:Bit 31: Vorzeichen, Bits 30 - 24: Charakteristik, Bits 23 - 0: Mantisse
Vorzeichen: VZ = 0→ positive Zahl, VZ = 1→ negative ZahlCharakteristik = Exponent + 4016
Basis 16Die Mantisse liegt im Zahlenbereich 16−1 ≤ Mantisse ≤ (1− 16−6).1. Geben Sie in obigem Format die größte und die kleinste negative
Zahl in normalisierter und nicht-normalisierter Maschinendarstellungan.
2. Was sind die Vor- und Nachteile, wenn man statt der Basis 16 dieBasis 2 verwendet?
3. Was ändert sich, wenn man (im Fall der Basis 2) ein Bit derMantisse aufgibt zugunsten eines Bits für die Charakterisik?
Übungsaufgabe 2
17 Christian A. Mandery:DuE-Tutorien 16 und 17
Fakultät für Informatik
Gegeben sei das folgende Maschinenformat für die Darstellung vonGleitkommazahlen:Bit 31: Vorzeichen, Bits 30 - 24: Charakteristik, Bits 23 - 0: Mantisse
Vorzeichen: VZ = 0→ positive Zahl, VZ = 1→ negative ZahlCharakteristik = Exponent + 4016
Basis 16Die Mantisse liegt im Zahlenbereich 16−1 ≤ Mantisse ≤ (1− 16−6).1. Geben Sie in obigem Format die größte und die kleinste negative
Zahl in normalisierter und nicht-normalisierter Maschinendarstellungan.
2. Was sind die Vor- und Nachteile, wenn man statt der Basis 16 dieBasis 2 verwendet?
3. Was ändert sich, wenn man (im Fall der Basis 2) ein Bit derMantisse aufgibt zugunsten eines Bits für die Charakterisik?
Übungsaufgabe 2
17 Christian A. Mandery:DuE-Tutorien 16 und 17
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Gegeben sei das folgende Maschinenformat für die Darstellung vonGleitkommazahlen:Bit 31: Vorzeichen, Bits 30 - 24: Charakteristik, Bits 23 - 0: Mantisse
Vorzeichen: VZ = 0→ positive Zahl, VZ = 1→ negative ZahlCharakteristik = Exponent + 4016
Basis 16Die Mantisse liegt im Zahlenbereich 16−1 ≤ Mantisse ≤ (1− 16−6).1. Geben Sie in obigem Format die größte und die kleinste negative
Zahl in normalisierter und nicht-normalisierter Maschinendarstellungan.
2. Was sind die Vor- und Nachteile, wenn man statt der Basis 16 dieBasis 2 verwendet?
3. Was ändert sich, wenn man (im Fall der Basis 2) ein Bit derMantisse aufgibt zugunsten eines Bits für die Charakterisik?
Übungsaufgabe 2
17 Christian A. Mandery:DuE-Tutorien 16 und 17
Fakultät für Informatik
Gegeben sei das folgende Maschinenformat für die Darstellung vonGleitkommazahlen:Bit 31: Vorzeichen, Bits 30 - 24: Charakteristik, Bits 23 - 0: Mantisse
Vorzeichen: VZ = 0→ positive Zahl, VZ = 1→ negative ZahlCharakteristik = Exponent + 4016
Basis 16Die Mantisse liegt im Zahlenbereich 16−1 ≤ Mantisse ≤ (1− 16−6).1. Geben Sie in obigem Format die größte und die kleinste negative
Zahl in normalisierter und nicht-normalisierter Maschinendarstellungan.
2. Was sind die Vor- und Nachteile, wenn man statt der Basis 16 dieBasis 2 verwendet?
3. Was ändert sich, wenn man (im Fall der Basis 2) ein Bit derMantisse aufgibt zugunsten eines Bits für die Charakterisik?
Übungsaufgabe 3
18 Christian A. Mandery:DuE-Tutorien 16 und 17
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Wandeln Sie die Dezimalzahl 21 in das 32-Bit-Format desIEEE-754-Standard um. Stellen Sie die Gleitkommazahl alshexadezimale Zahl dar.
Verbleibende Aufgaben der Übung
19 Christian A. Mandery:DuE-Tutorien 16 und 17
Fakultät für Informatik
(nicht enthalten auf diesem Foliensatz, siehe Folien Ü1-40 ff.)
Fertig!
20 Christian A. Mandery:DuE-Tutorien 16 und 17
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Quelle: http://xkcd.com/138/
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