dynamic programming

Modul-7 : Analisis Algoritma dan Struktur data

Teknik pemrograman yang menghindari komputasi berulang dari hal-hal yang sama dengan cara menyimpan hasil setiap langkah (subproblem) dalam memory atau suatu tabel / vektor

Teknik pemrograman “bottom-up”, dimulai dari subproblem kecil selangkah-demi selangkah, dengan antisipasi hal-hal yang mungkin berulang (diperlukan lagi) sehingga dapat disimpan dalam suatu tabel.

Rekursif Fibonacci:% algoritma rekursifFungsi fibo1(n)

if (n < 2) return nelse return fibo1(n-1) + fibo1(n-2);

Misalnya: fibo1(4) = fibo1(3) + fibo1(2), sehingga fibo1(3) dihitung = fibo1(2)+fibo1(1), dan fibo1(2) juga dihitung = fibo1(1) + fibo1(0). Disini fibo1(2) dua kali dihitung, demikian pula fibo1(1). Komputasinya tidak efisien

Karena F(n+1)/F(n) = golden ratio = 1.61803, maka kompleksitasnya adalah O(1.62n)

Algoritma yang menerapkan dynamic programming diharapkan memiliki kompleksitas linier O(n)

Solusi dinamis:% algoritma non rekursifFungsi fibo2(n)

i 1; j 0;for k 1 to n do {

j i + j;i j – i;

}return j;

Atau sbb:F(0) = 0; F(1)=1for i=1 to n

F(i) = F(i-1) + F(i-2)end.

Andaikan ada dua tim olahraga, tim A dan tim B, bertanding sebanyak maksimum 2n-1 pertandingan, dimana tim yang pertama memenangkan n pertandingan dianggap sebagai pemenang.

Assumsi pertama yang harus diterapkan adalah tidak pernah ada pertandingan dengan hasil draw, kedua, setiap pertandingan adalah independen, tidak bergantung dengan pertandingan sebelumnya.

Anggaplah bahwa kebolehjadian untuk tim A menang adalah p, dan tentu saja kebolehjadian tim B menang adalah q = 1 – p.

Apabila P(i,j) adalah kebolehjadian untuk A menang perlu i kemenangan, dan untuk B perlu j kemenangan.

Pada awal pertandingan kebolehjadian=P(n,n) Ketika A menang maka P(0,j)=1, p=1, q=0, dan

ketika B menang maka P(i,0)=1, p=0 dan q=1 Secara umum P(i,j)=p*P(i-1,j) + q*P(i,j-1)

Fungsi P(i,j)if i = 0 then return 1else if j = 0 then return 0

else return p*P(i-1,j) + q*P(i,j-1)

Kompleksitasnya: T(k) 2T(k-1) + dAsimptotik : O(2k) = O(4n) bila i=j=n

Solusi dinamik adalah dengan menyimpan hasil perhitungan P(i,j) dalam suatu tabel/array, kemudian bila diperlukan tinggal diakses dari tabel

Fungsi Pertandingan(n, p) array P[0..n, 0..n]; q = 1 – p; for s = 1 to n {

P[0,s] 1; P[s,0] 0;for k = 1 to (s-1) {

P[k,s-k] = p*P[k-1,s-k] + q*P[k,s-k-1];}

} for s = 1 to n {

for k = 0 to (n-s) { P[s+k,n-k] = p*P[s+k-1,n-k] + q*P[s+k,n-k-1];

} } return P[n,n].

Kompleksitas-nya hanya O(n2)

Perkalian dua matriks A,B bisa dilakukan bila jumlah kolom A = jumlah baris B

Fungsi Kali-Matrix(A, B)if columns(A) ≠ rows(B)

then error “dimensi tidak sesuai”;else {

for i 1 to rows(A)for j 1 to columns(B){

C[i,j] 0;for k 1 to columns(A)

C[i,j] C[i,j] + A[i,k]*B[k,j];}

Andaikan ada 4 matriks A1,A2,A3, dan A4 akan diperkalikan maka ada 5 kemungkinan perkalian:

(A1(A2(A3A4)))(A1((A2A3)A4))((A1A2)(A3A4))((A1(A2A3))A4)(((A1A2)A3)A4)

Andaikan dimensinya sbb:◦ A1 : 13 x 5◦ A2 : 5 x 89◦ A3 : 89 x 3◦ A4 : 3 x 34

Maka (A1A2) perlu: 13 x 5 x 89 = 5785 perkalian, (A1A2)A3 perlu: 13 x 89 x 3 = 3471, dan ((A1A2)A3)A4 perlu : 13 x 3 x 34 = 1326

Total perlu 5785 + 3471 + 1326 = 10582 perkalian

dapat dibuktikan bahwa :((A1A2)A3)A4 = 10582 perkalian(A1A2)(A3A4) = 54201 perkalian(A1(A2A3))A4 = 2856 perkalianA1((A2A3)A4) = 4055 perkalianA1(A2(A3A4)) = 26418 perkalian

Dengan kata lain kompleksitas tergantung pada cara perkalian yang dipilih, dimana yang paling efisien adalah (A1(A2A3))A4 = 2856

Persoalannya: bagaimana menemukan cara perkalian matriks berantai yang efisien? Apakah dengan cara coba-coba satu persatu?

Secara teoritis cara coba-coba tdk efisien: Andaikan jumlah percobaan yang harus

dilakukan adalah P(n) untuk n buah matriks. Karena tanda kurung bisa disisipkan antara matriks ke-k dan ke (k+1) untuk semua nilai k mulai dari 1 hingga (n-1), maka akan diperoleh rekurensi:

 P(n) = 1 bila n = 1

= bila n 2 Solusinya adalah “catalan number” C(n-1) = dengan Ω(4n/n3/2).

1

1

)()(n

k

knPkP

1

)1(21)1(

n

n

nnC

Solusi dinamik:Function Matrix-Chain-Order(d) arrayn length[d] – 1;for i = 1 to n A[i,i] 0;endFor;for l = 2 to n for i = 1 to (n – l + 1) j i + l – 1; A[i,j] ; for k = i to j-1

q A[i,k] + A[k+1,j] + d(i-1)*d(k)*d(j); if (q < A[i,j]) then A[i,j] q; s[i,j] k; endIf endFor;

endForendForreturn A, s;

d : adalah vektor yang menyatakan dimensi dari n buah matriks, misalnya: M1 : d0 x d1, M2 : d1 x d2 … Mn : d(n-1) x d(n)

Contoh: d = [13, 5, 89, 3, 34] adalah dimensi dari 4 matriks A1, A2, A3, dan A4

Tabel A[n,n] memuat biaya perkalian setiap kombinasi perkalian matriks

Tabel s[n,n] berisi indeks, dimana s[i,j] berisi indeks k pada saat A[i,j] optimum

the call PRINT-OPTIMAL-PARENS(s, 1, 6) prints theparenthesization ((A1 (A2 A3)) ((A4 A5)A6)).

Algoritma Matrix-Chain-Multiply(A, s, i, j)if (j > i)then X Matrix-Chain-Multiply(A, s, i, s[i,j]); Y Matrix-Chain-Multiply(A, s, s[i,j] + 1,j); return Matrix-Multiply(X, Y);else return A(i)endIf

Algoritma ini menggunakan tabel A[ ] dan tabel s[ ] dari algoritma “matrix-chain-order” untuk menujukkan cara melakukan perkalian matriksnya. Mula-mula algoritma ini dipanggil dengan argumen (A, s, 1, n)